LIGNES de Transmission [PDF]

Zitiervorschau

Théorie des lignes de transmission

Les lignes de transmission forment la base de l’analyse des circuits a hautes fréquences. La méthode de lignes de transmission permet d’analyser des circuits à hautes fréquences en termes communs a l’analyse de circuits : tension, courant, impédance

• Il y a deux catégories principales de la propagation guidée : les ligne de transmission et les guides d’ondes.

• Les ligne de transmission sont des dispositifs formés de deux conducteurs: ligne bifilaire, câble coaxial, piste de circuit imprimé avec son plan de masse …

ligne bifilaire

Ligne imprimée

Câble coaxial

Différence entre une ligne de transmission et un circuit ordinaire

l

• On travaille aux basses-fréquences ou avec une ligne de longueur faible devant la longueur d’onde du signal l  • on néglige le temps de propagation que met le signal pour aller de l’entrée à la sortie de la ligne s(t)=e(t) alors le courant est constant quel que soit. • On tient compte du temps de propagation to que met le signal pour aller de l’entrée à la sortie de la ligne s(t)≠e(t) • On travaille à des fréquences élevées ou avec une ligne voisine ou plus longue que la longueur d’onde du signal . • Les lois classiques de l’électricité ne s’appliquent plus.

Pour faire l'étude de la propagation le long de la ligne, il faut modéliser la ligne en la décomposant en une suite de quadripôles mis en cascade. Les tronçons de  (alors on peut considérer que les courants sont longueur infiniment petite dz quasi-stationnaires) : i(z,t) RDz i(z+Dz,t) LDz +

+

Dz

v(z,t) -

GDz

CDz

v(z+Dz,t) -

z

On définit pour la ligne quatre grandeurs : • la résistance linéique R ou résistance des conducteurs par unité de longueur qui est en général très faible ( en ohms/m) • l’inductance linéique L: chaque tronçon de ligne est soumis à un champ variable créé par le courant circulant dans les tronçons voisins. Il est donc le siège de phénomènes d’induction caractérisés par l’inductance par unit éde longueur (en H/m) • la conductance linéique G: c’est l’inverse de la résistance entre les deux conducteurs constituant la ligne. Pour un bon diélectrique, la résistance de fuite est très élevée et on prend souvent G = 0 ( en Siemens/m) • la capacité linéique C: c’est la capacité qui existe entre les deux fils (en F/m)

L’équation des télégraphistes

L’application de la loi de Kirchhoff sue le circuit donne:

i ( z , t ) v( z , t )  v( z  Dz , t )  i ( z , t ) RDz  LDz t v( z  Dz , t ) i ( z , t )  i ( z  Dz , t )  v( z  Dz , t ) G Dz  C Dz t

(a)

b

Les équations (a)et (b) sont divisées par Δz ,après on prend la limite pour Δz͢--0 les équations différentielles devient :

I ( z , t ) V z , t   ( R ) I ( z , t )  L t z V z , t  I z , t   G V z , t   C t z

dV z    ( R  j L ) I ( z ) dz dI z   G  jC V z  dz

Ces équations sont similaires aux équations de MAXWELL alors on peut écrire:

d 2V z  2   V z   0 2 dz d I z  2   I z   0 2 dz 2

γ la constant de propagation complexe



R  jL G  jC 

   j

La solution de ses équations donne la formule de V(z)et courant sous la forme phaseur:

V  z   V0 e   z  V0 e   z  0

j 

V e e

 z  j  z

e

j 

 V e e  z e  j  z  0

Onde vers la direction +z Onde vers la direction -z

Note:

v  z , t   Re V  z  e jt   V0 e  z cos t   z      V0 e  z cos t   z    

Résumé des formules de base de la ligne de transmission I(z) + V(z) -

z

V  z   V0 e  z  V0 e   z V0  z V0   z I z  e  e Z0 Z0

    j    R  j L  G  jC    R  j L  Z0    G  j  C  

1

La longueur d’onde  g 1

2

g 

2



 m

2

La vitesse de phase  vp

vp  𝑍0 :impédance caractéristique de la ligne

 [m/s] 

Cas d’une ligne de transmission sans parte

R  0, G  0     j    ( R  j L)(G  j C )

1/ 2

 j LC donc

 0

 vp  

   LC 1/2

 R  j L  Z0     G  jC 

Les formules de la tension et le courant devient :

L Z0  C

vp 

1 LC

V  z   V0 e  jz  V0 e jz V0  jz V0 jz I z   e  e Z0 Z0

Ligne fermée sur un charge I(z) + V(z) -

ZL

z z=0

• Un axe qui a son origine en bout de ligne et orienté de la sortie vers l’entrée

• Une origine des temps telle que la phase de l’onde incidente soit nulle au niveau de la charge • •

Quand on cherche à transmettre un signal à une charge, la tension crée par le générateur se propage le long de la ligne. On calcule la propagation de proche en proche sur des tronçons élémentaire jusqu’à atteindre la charge. les conditions imposées au courant et à la tension changent (discontinuité), créant une tension et un courant réfléchis

La tension et courant sur la ligne s’écrivent:

V z   V e  0

 jz

 0

V e

V0  jz V0 jz I z   e  e Z0 Z0

jz

Au niveau de la charge ,la tension et courant s’écrivent :

V 0 V0  V0 ZL    Z0  I 0 V0  V0

Z L  Z0  V  V0 Z L  Z0  0

Le rapport entre l’amplitude l’onde réfléchie et l’onde incidente est définie par le coefficient de réflexion Γ :

V0 Z L  Z 0    V0 Z L  Z0 La tension et courant sur la ligne s’écrivent maintenant:

 e

V z   V0 e  jz  e jz V0 I z   Z0

 j z

  e j z

 

Une ligne adaptée Zg Vg

I l 

+

+-

-

z

V  l 

Z in

ZL

Z0

l

z 0

A Une ligne adaptée: (ZL=Z0)

Z L  Z0 L  0 Z L  Z0 V 

  V0 e j

I

V0  j   e Z0

Pas de réfléxion à partir de la charge

Z

  Z0

Pour toute l

Ligne non adaptée B Une charge court-circuité : (ZL = 0) L 

0  Z0  1 0  Z0 Z

  2

g



Z0 , 

jZ 0 tan  



l

Ondes stationnaires sur la ligne non adaptée

I  z

Zg Sinusoidal source

Z0

Vg +-

+

L

V  z

ZL

-

z0



V ( z )  A e  j z   L e  j z I ( z) 





1 A e  j z   L e  j z Z0



V ( z )  Ae

 j z



V ( z )  Ae  j z 1   L e  j 2  z



V  ( z )  A  L e  j z

I ( z) 





1 Ae  j z 1   L e  j 2  z Z0

V  ( z ) / V  ( z )   L e j 2  z



Lorsque l'impédance de la charge de la ligne n'est pas strictement égale à celle de l'impédance caractéristique Z0 de la ligne. L'interférence entre les deux ondes (incidente et réfléchie) provoque la mise en vibration électrique de la totalité de la ligne avec formation d'une onde stationnaire.



V ( z )  Ae  j z 1   L e  j 2  z Donc on obtient



V ( z )  Ae

L’amplitude est

 j z 

 L   L e j

Dénote

 j  2  z  

1   L e   j 2  z  V ( z)  A 1  L e

 

Le voltage maximum :

Vmax  V ( z ) max  A 1   L

Le voltage Minimum

Vmin  V ( z ) min  A 1   L





  2 z  2 m   2 z    2 n m, n  0, 1, 2,

Le taux d’onde stationnaire est le rapport entre Vmax to Vmin .

VSWR  On a:

Vmax Vmin

1  L VSWR  1  L

1  VSWR   Adaptation parfait : L = 0

On peut retenir comme repères les valeurs suivantes : • ROS = 1la ligne est parfaitement adaptée , Γ = 0 • ROS de 1 à1,5 la ligne est presque adaptée • ROS supérieur à 2 la ligne est désadaptée

Pour une ligne adaptée, ZL = Z0, Γ = 0 and

~ V z  = |V0+| pour toutes valeurs de z.

Pour une charge court-circuité, (ZL=0), Γ = -1

Pour une charge a circuit-ouvert, (ZL=∞), Γ = 1.

Exemple: Une ligne de transmission d’une impédance caractéristique .Z0=50 Ohm, se termine par une charge avec ZL = (100 + j50) Ω. Trouvez le coefficient de réflexion et le rapport d'onde stationnaire de tension (TOS).

On a, Z L  Z 0 100  j 50  50    0.45e j 26.6 Z L  Z 0 100  j 50  50

Le TOS est donné:

1 

1  0.45 VSWR    2.6 1   1  0.45

Impédance d'une ligne de transmission On peut définir l’impédance d’entrée à tout point z sur la ligne : I  z

Zg Vg

+-

+ Z0

-

Z in

Z in  z  

z

V  z

z

ZL

z 0

V  z I  z

L'impédance d'entrée est l'impédance «vue» en regardant vers la droite.

Zg Vg

I  l 

+

+-

-

z

V  l 

ZL

Z0

Z in l z 0 A une distance z= -l de la charge , l’impédance d’entrée :

 

 

V  l  V0 e jl  e  jl Z in    jl Z0  j l I  l  V0 e  e Z in  Z 0

Z L cos  l  jZ 0 sin  l Z 0 cos  l  jZ L sin  l

1  e 2 jl  Z0  2 j l 1  e

 Z L  Z 0 e jl  Z L  Z 0 e  jl Z in  Z 0 Z L  Z 0 e jl  Z L  Z 0 e  jl Z L  jZ 0 tan  l Z in  Z 0 Z 0  jZ L tan  l

Pour une distance z = - d :

Zg Vg

+-

I  d  Z0

+

z

V  d 

ZL

-

Zin  d 

d

Z L  jZ 0 tan  d Z in  Z 0 Z 0  jZ L tan  d d = distance de la charge

z 0

Cas special Ligne court-circuit ZL  0

Z0

Z in

l

 Z L  jZ 0 tan   l   Zin  Z 0    Z 0  jZ L tan   l  

Zin  jZ0 tan   l 

Circuit-ouverte Z in

Z0

ZL  

l  Z L  jZ 0 tan   l   Zin  Z 0    Z 0  jZ L tan   l  

Zin   jZ0 cot   l 

Flux de puissance moyen I  l 

Zg Vg

+

+-

-

z

V  l 

l  2 0



1V 2 P  d   e 2 1   L e 4 2 Z0  2 0



 2 0

1V 1V 2 2 2  e   L e * * 2 Z0 2 Z0 puissance refléchie

puissance incidente

Ligne sans perte ( = 0) 2

 V 1 0 2 P  d   1 L 2 Z0





ZL

Z0

z 0

Si ZL ≠ Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute a la charge. Ce sont les pertes par réflexion :

RL  20 log 