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École Nationale Polytechnique d’Alger Département des Classes Préparatoires Année 2016-2017
Série de TD. 6
Intégrale & Transformation de Fourier Exercice 1
−x e si x > 0 1 Soit f la fonction définie par f ( x ) = si x = 0 2 0 si x < 0 1. Calculer les coefficients de Fourier de f ; 2. Vérifier, à l’aide du théorème de convergence de Dirichlet, que l’on a : −x Z∞ si x > 0 e 1 cos(ωx ) + ω sin(ωx ) α si x = 0 dω = π 1 + ω2 β si x < 0 0 où α et β sont à déterminer. Corrigé Exo.1 1.
(a) Vérifions les conditions du théorème de Dirichlet. i.e. ; i. La fonction f est continûment dérivable (lisse par morceaux) sur R+ et R− . En 0, nous avons f 0 ( x − 0) = 0 f 0 ( x + 0) = lim −e− x = −1 x 7 → >0
ii. La convergence de l’intégrale
+ R∞
| f ( x )|dx :
−∞ +∞ Z
+∞ Z
−∞
0
| f ( x )|dx =
e− x dx = 1 < ∞
(b) Calculons les coefficients de Fourier de f . Par définition, et en intégrant deux fois par parties ou bien à l’aide d’une représentation en complexe, on obtient : 1 R∞ − x 1 1 1 R∞ f ( x ) cos(ωx )dx = e cos(ωx )dx = A(ω ) = π π −∞ π 1 + ω2 −∞ ∞ ∞ R R 1 1 1 ω f ( x ) sin(ωx )dx = e− x sin(ωx )dx = B(ω ) = π −∞ π −∞ π 1 + ω2 2. D’après le théorème de convergence et en tenant compte de continuité de la fonction f , on obtient : f ( x + 0) + f ( x − 0) 2
C’est à dire α =
=
R∞
[ A(ω ) cos(ωx ) + B(ω ) sin(ωx )] dω 1 R∞ cos(ωx ) + ω sin(ωx ) = dω = f ( x ), π0 1 + ω2 0
1 et β = 0. 2 1
∀x ∈ R
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Exercice 2 Établir à l’aide des développements en intégrales de Fourier chacune des relations suivantes : a)
b)
c)
2 R∞ ω 3 sin(ωx )dω = e− x cos( x ), x > 0 π 0 ω4 + 4 cos( x ) si | x | < π πω ∞ R 2 cos( 2 ) 2 cos(ωx )dω = π 0 π 0 1 − ω2 si | x | > 2 2 R∞ sin(πω ) sin( x ) si 0 < x < π sin(ωx )dω = 0 si x > π π 0 1 − ω2
Corrigé Exo.2 1. Établissement de la relation (a) (a) Soit f ( x ) = e− x cos( x ), x > 0, le développement du prolongement impair correspondant à : A(ω ) = 0 2 R∞ 2 R∞ − x B(ω ) = f ( x ) sin(ωx )dx = e cos( x ) sin(ωx )dx π0 π0 1 R∞ − x = e [sin(1 + ω ) x − sin(1 − ω ) x ] dx π 0 1+ω 1−ω 1 − (voir exo. 1) = π 1 + (1 + ω )2 1 + (1 − ω )2 2 ω3 = π ω4 + 4 puisque
(ω 2 + 2ω + 2)(ω 2 − 2ω + 2) = ω 4 + 4 et (ω 2 − 2ω + 2)(1 + ω ) − (ω 2 + 2ω + 2)(1 − ω ) = 2ω 3 (b) En tenant compte de la continuité de la fonction f , on déduit que
R∞
B(ω ) sin(ωx )dω = f ( x ) ⇒
0
2 π
Z∞ 0
ω3 sin(ωx )dω = e− x cos( x ), x > 0 ω4 + 4
d’après le théorème de Dirichlet. 2. Établissement de la relation (b) Supposons que cos( x ) si | x | < π 2 f (x) = π 0 si | x | > 2 Comme la fonction f est paire, alors on trouve : B(ω )
=0 2 R∞ 2 R∞ − x A(ω ) = f ( x ) cos(ωx )dx = e cos( x ) cos(ωx )dx π0 π0 π 1 R2 − x = e [cos(1 + ω ) x + cos(1 − ω ) x ] dx π0
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On peut distinguer deux cas possibles : π
1 1 R2 − x e [cos 2x + 1] dx = ω = 1 ⇒ A(ω ) = π0 π π sin(1 − ω ) π2 1 sin(1 + ω ) x sin(1 − ω ) x 2 1 sin(1 + ω ) π2 ω 6= 1 ⇒ A(ω ) = = + + π 1+ω 1−ω π 1+ω 1−ω 0 π sin ( 1 − ω ) 1 1 1 1 2 = sin(1 − ω ) π2 + = 2 π 1 + ω 1 − ω π 1 − ω 1 cos( ωπ 2 ) = π 1 − ω2 1 cos( ωπ 2 ) A l’aide d’un prolongement par continuité en ω = 1, on A(ω ) = , ∀ω > 0. π 1 − ω2 De la même manière, la continuité de la fonction f et le théorème de Dirichlet donne : Z∞ cos( x ) si | x | < π πω cos( 2 ) 2 2 cos(ωx )dω = π 0 π 1 − ω2 si | x | > 0 2 3. Établissement de la relation (c) de la même manière. Pour cela, supposons que sin( x ) si 0 < x < π f (x) = 0 si x > π Le développement du prolongement impair de la fonction donne : A(ω ) = 0 2 R∞ 2 R∞ B(ω ) = f ( x ) sin(ωx )dx = sin( x ) sin(ωx )dx π0 π0 1 Rπ = [cos(1 + ω ) x + cos(1 − ω ) x ] dx π0 1 si ω = 1 = 2 sin(ωπ ) si ω 6= 1 π 1 − ω2 A l’aide d’un prolongement par continuité en ω = 1, on B(ω ) = D’après le théorème de Dirichlet, on déduit que : 2 π
Z∞ 0
sin(πω ) sin(ωx )dω = 1 − ω2
2 sin(ωπ ) , π 1 − ω2
∀ω > 0.
sin( x ) si 0 < x < π 0 si x > π
Exercice 3
1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f donnée par f ( x ) = e−α| x| , α > 0 et x ∈ R. R∞ cos(ωx ) 2. En déduire la valeur de l’intégrale de Laplace de première espèce dω 2 2 0 α +ω 3.
(a) Trouver à l’aide d’un calcul direct la valeur de l’intégrale
R∞ 0
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dω ; (1 + ω 2 )2 B. Kebli, O. Kherif
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(b) Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Parseval. Corrigé Exo.3 1. Remarquons que la fonction f donnée par f ( x ) = e−α| x| , α > 0 et x ∈ R est paire, la transformée de Fourier de f est donc F (ω ) =
+∞ Z
f ( x )e
iωx
+∞ Z
dx =
e
−∞
−α| x |
cos(ωx )dx = 2
−∞
+∞ Z
e−αx cos(ωx )dx =
0
α2
2α + ω2
2. En tenant compte de la continuité de f , à l’aide de la formule de la transformée inverse de Fourier on obtient +∞ +∞ Z Z 1 1 2α −iωx f (x) = F (ω )e dω = cos(ωx )dω 2 2π π α + ω2 −∞
0
Donc, la valeur de l’intégrale de Laplace de première espèce est Z∞ 0
3.
cos(ωx ) π π −α| x | dω = f (x) = e , α > 0 et x ∈ R 2 2 α +ω 2α 2α
R∞
dω ; 2 2 0 (1 + ω ) Effectuent le changement de variable ω = tan(t), on obtient
(a) A l’aide d’un calcul direct, on évalue l’intégrale I =
dω = Ainsi
dt cos2 (t)
π
I=
Z2
1 + ω2 =
et
1 cos2 (t)
π
cos2 (t)dt =
0
1 2
Z2
1 + cos(2t)dt =
0
π 4
(b) Retrouvons maintenant le résultat de l’intégrale en utilisant la formule de Parseval : Par définition, on a +∞ Z −∞
1 | f ( x )| dx = 2π 2
+∞ Z
2
| F (ω )| dω
⇒
2
−∞
+∞ Z
e
0
−2αx
4α2 dx = π
+∞ Z 0
1 2 α + ω2
2 dω
Posons α = 1, on trouve +∞ Z −∞
( ) +∞ Z −2αx +∞ π − e π 1 π dω = 2 e−2x dx = 2 = 2 2 (1 + ω ) 4 4 −2 0 4 0
Exercice 4
1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f définie par f ( x ) =
1−
0 2. En déduire la valeur de l’intégrale 2016-2017
|x| si | x | < 2 2 si | x | ≥ 2
R∞ sin2 (ω ) cos(ωx ) dω. ω2 0 page 4
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Corrigé Exo.4 1. Remarquons que la fonction f suivante
f (x) =
1−
0
|x| si | x | < 2 2 si | x | ≥ 2
est paire. Par définition, la transformée de Fourier de f est donnée par F (ω ) =
+∞ Z
f ( x )e
iωx
dx = 2
−∞
Z2
x cos(ωx )dx 2
1−
0
On distingue deux cas suivant la valeur de ω ; 2 x2 x dx = 2 x− ω = 0 ⇒ F (ω ) = 2 1− =2 2 4 0 0 R2 x sin(ωx ) 1 cos(ωx ) 2 x ω 6= 0 ⇒ F (ω ) = 2 cos(ωx )dx = 2 1 − − 1− 2 2 ω 2 ω2 0 0 sin2 (ω ) 1 − cos(2ω ) =2 = ω2 ω2
R2
Par prolongement par continuité en ω = 0 lim
2
ω 7 →0
sin2 (ω ) ω2
=2
⇒
F (ω ) = 2
sin2 (ω ) , ω2
∀ω > 0
2. Comme f est continue sur R, à l’aide de la formule de la transformée inverse de Fourier de f on trouve 1 f (x) = 2π Par suite
Z∞ 0
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+∞ Z −∞
F (ω )e
−iωx
1 dω = π
+∞ Z 0
sin2 (ω ) cos(ωx )dω ω2
|x| sin (ω ) cos(ωx ) 1 − dω = 2 0 ω2 2
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si | x | < 2 si | x | ≥ 2
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