Transforme de Fourier [PDF]

Zitiervorschau

Transformation de Fourier IV 1 - Convolution a. Système de convolution. b. Principe de la convolution. c. Définition. d. Exemples. IV 2 - Transformation de Fourier a. Définition. Théorème d’inversion. b. Exemples. c. Convolution. 1 2 d. TF dans L ∩ L . Transformation de Fourier

1

IV 1 a - Système de convolution . X:

e

f

s

Définition : Un système de convolution X est * linéaire. Inconnue * continue. * invariant par translation. Théorème : Tout système de convolution vérifie s = e * f

s( t ) =

+∞

∫ e(t − u) f (u)du −∞

Dirac

Sous réserve d’existence e * f = f * e. f est dite réponse impulsionnelle car f * δ = f. Transformation de Fourier

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IV 1 b - Principe de la convolution. La transformation de Fourier de de Laplace opérent les transformations suivantes :

e f s

→ E → F → S

de telle manière que : s = e* f →

S=EF

Principe :

S = EF → F = S / E ↑ ↓ s = e* f f Réponse impulsionnelle Transformation de Fourier

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IV 1 c - Définition.

( f * g)(t ) =

+∞

∫ f (t − u) g(u)du

t ∈ R.

−∞

Théorème : f * g existe et appartient à si f et g sont dans

1

L

L1 2

ou dans L .

Ce résultat est obtenu à l’aide de l’inégalité de Cauchy Schwarz et du théorème de Fubini.

Transformation de Fourier

4

Ex er cic e

IV -1 d : Exemples. Calculer les carrés de convolution des signaux 1.

f (t) = e

2.

f (t) =

−t 2

1 1+ t2

T  1 t si ≤ 3. f ( t ) =  2 0 ailleurs

Transformation de Fourier

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M AP LE

> f :=t -> exp(-t^2);

f := t → e

−t2

> Int( f(t-u) * f(u), u=-infinity..infinity ) : "=value(");

∫

+∞

−∞

π − t −u e ( ) e − u du = 2 2

2

Transformation de Fourier

1 − t2 e 2

6

M AP LE

> f := t -> 1 / (1+t^2) : > Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..infinity) : value( " ) ; +∞

∫ (1 + (t − u) )(1 + u ) du 1

2

−∞

2

pas de réponse

> Int( f(t-u)*f(u), u=0..infinity) : value( " ) ;

(

)

ln 1 + t 2 + t arctan t π − 2 4+t t 4 + t2

(

)

> Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..0) + " : value( " ) ;

2π 4 + t2 Transformation de Fourier

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> assume( T > 0) : f := t -> piecewise( t-T/2, 1 , 0 ) ;

M AP LE

T   T f : = t → piecewise  t < and − < t , 1, 0   2 2 > convert( f(t), piecewise, t ) ;

T  0 ≤ − t  2  T ≤ 1 t  2  0 T < t  2 Transformation de Fourier

ATTENTION il faut décoder

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M AP LE

> Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..infinity ) ;

∫

+∞  

−∞

T T   u u 1 − < 0 and − − < 0   2 2   otherwise  0  T T    t u t u 1 0 and 0 − − < − − + <   du 2 2   otherwise  0 

Nous exprimons ce produit selon la valeur de Les valeurs utiles sont :

t.

t = -T et t = T . Transformation de Fourier

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> assume( t> T ) : Int(f(u)*f(t-u), u=-infinity..infinity ) : value( " ) ;

M AP LE

0 > assume( t assume( t>- T, u