57 1 399KB
SERRANO
Hallar la serie de Fourier de la funciΓ³n π(π) = ππππ π en el intervalo βπ β€ π β€ π
. SoluciΓ³n 1)
La funciΓ³n π(π) = ππππ π tiene una representaciΓ³n ΓΊnica en serie de Fourier de la forma β
ππ ππ
π ππ
π + β [ππ πππ( ) + ππ πππ( )] = π π³ π³ π=π
β ππ + β [ππ πππ(ππ) + ππ πππ(ππ)] π π=π
en el intervalo βπ β€ π β€ π
.
A) Primera forma (Usando exponenciales complejas y la formula de Euler ) πππ + πβππ π( ) ) πππ π = ( π
π
π πππ (π + πππππ πβππ + ππππππ πβπππ πππ π) = ππ + ππππππ πβπππ + ππππ πβπππ + πβπππ ) ππππ (π) π πππ (π + πππππ + πππππ + πππβππ + ππβπππ = ππ + πβπππ ) π(
SERRANO
π ((ππππ + πβπππ ) + π(ππππ + πβπππ ) + ππ(πππ ππ + πβππ ))
ππππ (π) =
π(
πππ π) =
π(
π [π πππ(ππ) + π(π πππ(ππ)) + ππ(π πππ(π))] ππ
πππ π) =
π (π πππ(ππ) + ππ πππ(ππ) + ππ πππ(π)) ππ
ππππ (π) =
π π π πππβ‘(ππ) + πππβ‘(ππ) + πππ(π) ππ ππ π
La serie de Fourier es π π πππ(π) + πππ(ππ) π ππ π + πππ(ππ) π·πππ[β π
, π
] ππ
ππππ (π) =
B). Segunda Forma (identidades): ππππ (π) = ππππ (π) ππππ (π) π π π π ππππ (π) = ( + πππβ‘(ππ)) ( πππ(π) + πππβ‘(ππ)) π π π π π π π ) ( ) ( ) πππ π = πππ π + πππ ππ + πππ(ππ) πππ(π) π π π π + πππ(ππ) πππβ‘(ππ) π π(
SERRANO
π π π πππ(ππ) + πππβ‘(π) ) πππ π) = πππ(π) + πππ(ππ) + ( π π π π π πππ(ππ) + πππβ‘(βπ) ) + ( π π π(
π π π ) ( ) ( ) πππ π = πππ π + πππ ππ + πππ(ππ) π π ππ π π π ( ) ( ) + πππ π + πππ ππ + πππβ‘(βπ) ππ ππ ππ π(
Si aplicamos la propiedad ππ¨π¬(βπ) = ππ¨π¬(π)tenemos: π π π ) ( ) ( ) πππ π = πππ π + πππ ππ + πππ(ππ) π π ππ π π π ( ) ( ) + πππ π + πππ ππ + πππβ‘(π) ππ ππ ππ π(
π π π π π ππππ (π) = ( + + ) πππ(π) + ( + ) πππ(ππ) π ππ ππ π ππ π + πππ(π) ππ π π π ) ( ) ( ) πππ π = πππ π + πππ ππ + πππ(ππ) π ππ ππ π(
La serie de Fourier es π(
π π ( ) πππ π + πππ(ππ) π ππ π + πππ(ππ) β‘β‘β‘β‘ππβ‘β‘β‘[β π
, π
] ππ
πππ π) =
C). Tercera Forma (Integrando):
SERRANO
Como ππ¨π¬ π (π) es una funciΓ³n par, entonces ππ = π, π = π, π, β¦ π
π
ππ βππ π π
π π + π ) π
π ππ = β« ππππ (π)π
π = β« ( π
π π
π π
En el inciso(A) de este punto demostramos que: π
πππ + πβππ π π π ( ) = πππ(π) + πππ(ππ) + πππ(ππ) π π ππ ππ π π
π π π ππ = β« ( πππ(π) + πππ(ππ) + πππ(ππ)) π
π π
π π ππ ππ π π
π π π
π ππ = β« πππ(π) π
π + β« πππ(ππ) π
π π
π π π
π ππ π π
π + β« πππ(ππ) π
π π
π ππ π
π π π π ππ = ( πππ(ππ) + πππ(ππ) + πππ(π)) π
ππ ππ π π π π π π = ( πππ(ππ
) + πππ(ππ
) + πππ(π
)) π
ππ ππ π = πβ‘β‘β‘ π
π π
π π ( ) ( ) π ππ¨π¬ ππ π
π β« ( πππ(π) ππ = β« ππππ π
π π
π π = π π ( ) + πππ ππ + πππ(ππ)) πππβ‘(ππ)π
ππ ππ
SERRANO
π π
π ππ = β« πππ(π)πππβ‘(ππ) π
π π
π π π π
π + β« πππ(ππ) πππβ‘(ππ) π
π π
π ππ π π
π + β« πππ(ππ)πππβ‘(ππ) π
π π
π ππ En virtud de las relaciones de ortogonalidad tenemos que ππ π
πβ‘β‘πππ β π β« πππ(π) πππ(ππ) π
π = { πβπ πππ = π ππ
π π π
πβ‘β‘πππ β π β« πππ(ππ)πππβ‘(ππ) π
π = { πβππ πππ = π ππ
π π π
πβ‘β‘πππ β π β« πππ(ππ)πππβ‘(ππ) π
π = { πβππ πππ = π ππ
π La serie de Fourier es π π πππ(π) + πππ(ππ) π ππ π + πππ(ππ) π·πππ[β π
, π
] ππ
ππππ (π) =
2)
Serie geomΓ©trica
SERRANO
La fΓ³rmula de la serie geomΓ©trica ( serie de potencias ) β
β ππ π€=π
es muy ΓΊtil en el calculo de la transformada Z . Esta serie converge a π πβπ si |π| < π y diverge si |π| > π. La suma finita π
β ππ π€=π
tambiΓ©n es ΓΊtil y tiene una expresiΓ³n sencilla para π β π π β ππ+π πβπ Es claro que para π = π el valor de la suma es π + π.
1)
Se demuestra que si π no es mΓΊltiplo entero de 2π
, es decir π β πππ
( π entero). Entonces
SERRANO
π π πππ [(π + ) π] β πππ ( ) π π β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘(π) β ππ¨π¬(ππ) = π ( ) ππππ π=π π π
de aquΓ , se deduce que π πππ [(π + ) π] π π β ππ¨π¬(ππ) = β π π ππππ (π) π=π π
por lo tanto, π π πππ [(π + ) π] π π + β ππ¨π¬(ππ) = π π ( ) ππππ π=π π Observacion Haciendo π
π¨ + π© = (π + π) πβ‘β‘πβ‘π¨ β π© = π/π , obtenemos que π¨ = (π + π)
π ππ β‘β‘πβ‘β‘β‘β‘π© = πβ‘ π
luego, ππ π πππ ( ) πππ [(π + π) ] π π β‘β‘β‘(π) β ππ¨π¬(ππ) = π ( ) πππ π=π π π
de manera similar se demuestra que
SERRANO
π π πππ ( ) β πππ [(π + ) π] π π β π¬ππ§(ππ) = β‘β‘(π) π ππππ (π) π=π ππ π π πππ ( ) πππ [(π + π) ] π π β‘β‘(π) β π¬ππ§(ππ) = π ( ) πππ π=π π π
2) Deduzca la identidad trigonomΓ©trica π [(π ) π] πππ + π π + β ππ¨π¬(ππ) = π π ( ) ππππ π=π π π
, donde π/π no es un mΓΊltiplo entero de π
. 3)
El siguiente teorema demuestra rΓ‘pidamente las identidades (2) y (4).
Antes, recordamos las identidades de Euler πππ½ = ππππ½ + πππππ½ ππππ½ =
π ππ½ (π + πβππ½ ) π
π ππ½ ππππ½ = (π β πβππ½ ) ππ Teorema.
SERRANO
Si π no es mΓΊltiplo entero de 2π
, es decir π β πππ
( π entero). Entonces se cumple la identidad compleja π πππ
βπ π=π
πππ(ππ/π) π(π+π)π/π) = π πππ(π/π)
A partir de la cual obtenemos la acotaciΓ³n π
|β ππππ | β€ π=π
π |πππ(π/π)|
DemostraciΓ³n Si π β π recordamos que la expresiΓ³n para una suma geomΓ©trica finita es π
ππ β π π β ππ+π βπ = π = πβπ πβπ π
π=π
Haciendo π = πππ en esta expresiΓ³n y como π β πππ
, tenemos que β‘π³ = πππ[ππ] β π, obtenemos π
β ππππ = πππ[ππ] π=π
πππ[πππ] β π πππ[ππ] β π
Factorizando πππ[πππ/π] en el numerador y denominador obtenemos
SERRANO
β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘ πππ[πππ/π]{πππ[πππ/π] β πππ[βπππ/π]} [ ] = β‘πππ ππ πππ[ππ/π]{πππ[ππ/π] β πππ[βππ/π]} = πππ[ππ/π]πππ[πππ/π] β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘=
πππ[πππ/π] β πππ[βπππ/π] πππ[ππ/π] β πππ[βππ/π]
πππ[πππ/π] β πππ[βπππ/π] πππ[π(π + π)π/π] πππ[ππ/π] β πππ[βππ/π] πππ(ππ/π) = πππ[π(π + π)π/π] ( ) πππ π/π
ahora, en virtud de la fΓ³rmula de Euler π
π
β πππ[πππ] = β(πππ(ππ) + ππππ(ππ)) π=π
π=π π
π΅
β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘= β πππ(ππ) + π β πππ(ππ) π=π π
π=π π
β πππ(ππ) + π β πππ(ππ) π=π
π=π
πππ(ππ/π) = πππ[π(π + π)π/π] πππ(π/π) =
πππ(ππ/π) (πππ((π + π)π/π) + ππππ((π + π)π/π)) πππ(π/π)
SERRANO
Igualando partes reales e imaginarias , obtenemos (2) y (4) π
πππ(ππ/π)πππ[(π + π)π/π] β ππ¨π¬(ππ) = πππ(π/π)
π=π π
πππ(ππ/π)πππ[(π + π)π/π] β π¬ππ§(ππ) = πππ(π/π)
π=π
Las fΓ³rmulas (2) y (4) son de mucha utilidad en la demostraciΓ³n del teorema de convergencia de Fourier, en el anΓ‘lisis del fenΓ³meno de Gibbs y en general en el anΓ‘lisis de Fourier.
Series de Fourier en cosenos y senos Se verΓ‘ cΓ³mo escribir una serie de Fourier de una funciΓ³n π en el intervalo [π, π³] que contenga ΓΊnicamente senos o cosenos , segΓΊn se elija. Tales desarrollos se denominan desarrollos de medio rango Serie de Fourier en cosenos de π en [π, π³]
SERRANO
Supongamos que π es Riemann integrable en el intervalo[π, π³]. Entonces π puede desarrollarse en una serie de Fourier de cosenos ΓΊnicamente en el intervalo π β€ π β€ π³. β
ππ ππ
π + β ππ πππ( ) π π³ π=π
o bien en una serie de ΓΊnicamente segΓΊn se elija.
Fourier que contiene senos
En el primer caso, los coeficientes ππ estΓ‘n dados por las expresiones: π π³ ππ
π ππ = β« π(π)ππ¨π¬β‘( )π
πβ‘, π = π, π, π, β― π³ π π³ Mientras que en el segundo caso, los coeficientes ππ estΓ‘n dados por las expresiones π π³ ππ
π ππ = β« π(π)π¬ππ§β‘( )π
πβ‘β‘ππππβ‘β‘π = π, π, β― π³ π π³ DemostraciΓ³n: Caso 1 La idea es extender π a una nueva funcion π definida en el intervalo [βπ³, π³] de tal manera que π sea una funciΓ³n par.
SERRANO
La serie de Fourier de en [βπ³, π³] contiene ΓΊnicamente tΓ©rminos en cosenos. Como π y π coinciden en intervalo [π, π³] Entonces podemos usar la serie de Fourier de π como una serie de Fourier en cosenos de π en [π, π³]. Para lograrlo, se define π(π) = {
π(π), π(βπ),
πβ€πβ€π³ βπ³ β€ π < π
(Describir la grΓ‘fica de π(π)) π es una funciΓ³n par, es decir,β‘π(βπ) = π(π) (por esta razΓ³n se dice que π es la extensiΓ³n par deβ‘π)β‘. Por lo tanto, la serie de Fourier de π en [βπ³, π³] es β
ππ ππ
π ) + β ππ πππ ( π π³ π=π
en donde π π³ ππ
π ππ = β« π(π)ππ¨π¬β‘( )π
π, π³ βπ³ π³
π = π, π, π, β¦ ππ
π
la paridad de la funciΓ³n π(π) ππ¨π¬ (
π³
) implica que
π π³ ππ
π ππ = β« π(π)πππβ‘( )π
π π³ π π³ Como π(π) = π(π) para π β€ π β€ π³.
SERRANO
Entonces podemos usar la serie de Fourier de π como una serie de Fourier en cosenos de π en [π, π³]. β
ππ ππ
π + β ππ πππ( ) π π³ π=π
Los coeficientes pueden escribirse en tΓ©rminos de π, comoβ‘β‘ π(π) = π(π) para π β€ π β€ π³, estos coeficientes son π π³ ππ
π ππ = β« π(π)πππβ‘( )π
π π³ π π³ ConclusiΓ³n 1 Si π es una funcion integrable en [π, π³]. Entonces la serie de Fourier en cosenos de π en el intervalo π β€ π β€ π³ es β
ππ ππ
π + β ππ πππ( ) π π³ π=π
en donde π π³ ππ
π ( ) ππ = β« π π ππ¨π¬β‘( )π
πβ‘, π = π, π, π, β― π³ π π³ Ejemplo 1 Sea π(π) = ππ .
SERRANO
Escribir la serie de Fourier en cosenos de π en el intervalo [π, π]. SoluciΓ³n π
ππ = π β«π ππ π
π = π(π β π) y π
π
ππ = π β« ππ πππ(ππ
π)π
π = ππΉπ {β« ππ ππππ
π π
π} π
π π
= ππΉπ {β« π(π+πππ
)π π
π} π
ππ+πππ
β π } β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘= ππΉπ { π + πππ
π(ππ¨π¬(ππ
) + ππππ(ππ
)) β π } = β‘β‘ππΉπ { π + πππ
= ππΉπ {
ππππ(ππ
) β π } π + πππ
(ππππ(ππ
) β π)(π β πππ
) } = ππΉπ { π + ππ π
π =
π(ππππ(ππ
) β π) π + ππ π
π
SERRANO
por lo tanto, la serie de Fourier en cosenos de ππ en [π, π] es β
(π(βπ)π β π) (π β π) + π β ππ¨π¬(ππ
π) π π π+π π
π=π
Teorema de convergencia de una serie de Fourier en cosenos Sea π continua a pedazos en el intervalo [π, π³]. Si π < π < π³ y πβ²+ (π) , πβ²β (π) existen y son finitos. Entonces en cada punto π de dicho intervalo la serie de Fourier en cosenos de π en [π, π³] converge en π a π [π(π +) + π(πβ)] π Si πβ²+ (π) existe . Entonces la serie de Fourier en cosenos converge en 0 a π(π+). Si πβ²β (π³) existe. Entonces la serie de Fourier en cosenos converge a π(π³β). La serie de Fourier en senos de π en [π, π³] Se procede de manera similar a la que acabamos de usar, ahora se extiende π a una funciΓ³n impar π en el intervalo [βπ³, π³]. Caso 2
SERRANO
Se define la funciΓ³n π(π) π(π) = {βπ(βπ) π,
β‘β‘π < π β€ π³ βπ³ β€ π < π π = π,
(Describir la grΓ‘fica deπ(π) ). Como la funciΓ³nβ‘πes una funciΓ³n impar en [βπ³, π³] (por esta razΓ³n, πse denomina extensiΓ³n impar de π)β‘su serie de Fourier en [βπ³, π³]contiene solamente tΓ©rminos en senos β
ππ
π β ππ πππ( ) π³
π=π
donde, π π³ ππ
π ππ = β« π(π)π¬ππ§β‘( )π
πβ‘ π³ βπ³ π³ π π³ ππ
π β« π(π)π¬ππ§β‘( )π
πβ‘β‘β‘ π³ π π³ Como π(π) = π(π),β‘π < π < π³se concluye que π π³ ππ
π ππ = β« π(π)πππβ‘( )π
πβ‘ π³ βπ³ π³ AdemΓ‘s en el intervalo [π, π³] podemos usar la serie de Fourier de la funciΓ³n π como una serie de Fourier en senos de π.
SERRANO
ConclusiΓ³n 2 Si π es una funciΓ³n Riemann integrable en [π, π³]. Entonces la serie de Fourier en senos de π en el intervalo π β€ π β€ π³ es β
β ππ πππ( π=π
ππ
π ) π³
en donde π π³ ππ
π ππ = β« π(π)πππβ‘( )π
πβ‘, π = β‘π, π, β― π³ π π³ Ejemplo 2 Sea π(π) = ππ . Escribir la serie de Fourier en senos de π en el intervalo [π, π]. SoluciΓ³n π
π π
ππ = π β« π πππ(ππ
π)π
π = ππ°π {β« ππ ππππ
π π
π} π
π π
= ππ°π {β« π(π+πππ
)π π
π} π
ππ+πππ
β π } β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘β‘= ππ°π { π + πππ
SERRANO
π(ππ¨π¬(ππ
) + ππππ(ππ
)) β π } = β‘β‘ππ°π { π + πππ
π(βπ)π β π } = ππ°π { π + πππ
= ππΉπ {
(ππππ(ππ
) β π)(π β πππ
) } π + ππ π
π
πππ
(π β π(βπ)π ) = π + ππ π
π Por lo tanto, la serie de Fourier en senos de ππ en [π, π] es β
πππ
(π β π(βπ)π ) β πππ(ππ
π) π + ππ π
π
π=π
Teorema de convergencia de una serie de Fourier en senos Sea π continua a pedazos en el intervalo [π, π³].Entonces Si π < π < π³ , y πβ²+ (π) , πβ²β (π) existen .
SERRANO
Entonces la serie de Fourier en senos de π en [π, π³] converge en el punto π a π [π(π +) + π(πβ)] π En 0 y en π³ , la serie de Fourier en senos de π en [π, π³] converge a 0. Ejemplo 3 Desarrolle la funciΓ³n π(π) = π en una serie de senos en el intervalo (π, π
). SoluciΓ³n En virtud el teorema de convergencia en el intervalo (π, π
). Se tiene que β
ππ
π ( ) π π = π = β ππ πππ( ) π³ π=π
π π
π (π β (βπ)π ) ππ = β« πππβ‘(ππ)π
πβ‘ = π
π ππ
π, πβ‘πππ ={ π , πβ‘πππππ ππ
Por lo tanto
SERRANO
π=
π πππ(π) πππ(ππ) πππ(ππ) [ + + + β―], π
π π π π