Series de Fourier en Senos y Cosenos [PDF]

Zitiervorschau

SERRANO

Hallar la serie de Fourier de la función 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 en el intervalo −𝛑 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅. Solución 1)

La función 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 tiene una representación única en serie de Fourier de la forma ∞

𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( )] = 𝟐 𝑳 𝑳 𝒏=𝟏

∞ 𝒂𝟎 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙)] 𝟐 𝒏=𝟏

en el intervalo −𝛑 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅.

A) Primera forma (Usando exponenciales complejas y la formula de Euler ) 𝒆𝒋𝒕 + 𝒆−𝒋𝒕 𝟓( ) ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = ( 𝟐

𝟓

𝟏 𝟓𝒋𝒕 (𝒆 + 𝟓𝒆𝟒𝒋𝒕 𝒆−𝒋𝒕 + 𝟏𝟎𝒆𝟑𝒋𝒕 𝒆−𝟐𝒋𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒕) = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟎𝒆𝟐𝒋𝒕 𝒆−𝟑𝒋𝒕 + 𝟓𝒆𝒋𝒕 𝒆−𝟒𝒋𝒕 + 𝒆−𝟓𝒋𝒕 ) 𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) 𝟏 𝟓𝒋𝒕 (𝒆 + 𝟓𝒆𝟑𝒋𝒕 + 𝟏𝟎𝒆𝒋𝒕 + 𝟏𝟎𝒆−𝒋𝒕 + 𝟓𝒆−𝟑𝒋𝒕 = 𝟑𝟐 + 𝒆−𝟓𝒋𝒕 ) 𝟓(

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𝟏 ((𝒆𝟓𝒋𝒕 + 𝒆−𝟓𝒋𝒕 ) + 𝟓(𝒆𝟑𝒋𝒕 + 𝒆−𝟑𝒋𝒕 ) + 𝟏𝟎(𝒆𝒋𝒕 𝟑𝟐 + 𝒆−𝒋𝒕 ))

𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) =

𝟓(

𝒄𝒐𝒔 𝒕) =

𝟓(

𝟏 [𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) + 𝟓(𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕)) + 𝟏𝟎(𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒕))] 𝟑𝟐

𝒄𝒐𝒔 𝒕) =

𝟏 (𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) + 𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) + 𝟐𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝒕)) 𝟑𝟐

𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) =

𝟏 𝟓 𝟓 𝒄𝒐𝒔⁡(𝟓𝒕) + 𝒄𝒐𝒔⁡(𝟑𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟖

La serie de Fourier es 𝟓 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟏𝟔 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) 𝑷𝒂𝒓𝒂[– 𝝅, 𝝅] 𝟏𝟔

𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) =

B). Segunda Forma (identidades): 𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕) 𝒄𝒐𝒔𝟑 (𝒕) 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) = ( + 𝒄𝒐𝒔⁡(𝟐𝒕)) ( 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔⁡(𝟑𝒕)) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 ) ( ) ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕) 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 𝟖 𝟖 𝟖 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕) 𝒄𝒐𝒔⁡(𝟑𝒕) 𝟖 𝟓(

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𝟑 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) + 𝒄𝒐𝒔⁡(𝒕) ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕) = 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) + ( 𝟖 𝟖 𝟖 𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) + 𝒄𝒐𝒔⁡(−𝒕) ) + ( 𝟖 𝟐 𝟓(

𝟑 𝟏 𝟑 ) ( ) ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟏 𝟏 ( ) ( ) + 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕 + 𝒄𝒐𝒔⁡(−𝒕) 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟓(

Si aplicamos la propiedad 𝐜𝐨𝐬(−𝒕) = 𝐜𝐨𝐬(𝒕)tenemos: 𝟑 𝟏 𝟑 ) ( ) ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟏 𝟏 ( ) ( ) + 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕 + 𝒄𝒐𝒔⁡(𝒕) 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟓(

𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) = ( + + ) 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + ( + ) 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓) 𝟏𝟔 𝟓 𝟓 𝟏 ) ( ) ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟓(

La serie de Fourier es 𝟓(

𝟓 𝟓 ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟏𝟔 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) ⁡⁡⁡⁡𝒆𝒏⁡⁡⁡[– 𝝅, 𝝅] 𝟏𝟔

𝒄𝒐𝒔 𝒕) =

C). Tercera Forma (Integrando):

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Como 𝐜𝐨𝐬 𝟓 (𝐭) es una función par, entonces 𝒃𝒏 = 𝟎, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … 𝟓

𝝅 𝒋𝒕 −𝒋𝒕 𝟐 𝝅 𝟐 𝒆 + 𝒆 ) 𝒅𝒕 𝒂𝟎 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕)𝒅𝒕 = ∫ ( 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝟐

En el inciso(A) de este punto demostramos que: 𝟓

𝒆𝒋𝒕 + 𝒆−𝒋𝒕 𝟓 𝟓 𝟏 ( ) = 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝝅 𝟓 𝟓 𝟏 𝒂𝟎 = ∫ ( 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕)) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝝅𝟓 𝟐 𝝅 𝟓 𝒂𝟎 = ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 𝒅𝒕 + ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟖 𝝅 𝟎 𝟏𝟔 𝟐 𝝅 𝟏 + ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟏𝟔 𝝅 𝟐 𝟏 𝟓 𝟓 𝒂𝟎 = ( 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒕) + 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕) + 𝒔𝒆𝒏(𝒕)) 𝝅 𝟖𝟎 𝟒𝟖 𝟖 𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 𝟓 = ( 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝝅) + 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝝅) + 𝒔𝒆𝒏(𝝅)) 𝝅 𝟖𝟎 𝟒𝟖 𝟖 = 𝟎⁡⁡⁡ 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟓 ( ) ( ) 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒕 𝒅𝒕 ∫ ( 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 𝒂𝒏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝟖 = 𝟓 𝟏 ( ) + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕)) 𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕)𝒅 𝟏𝟔 𝟏𝟔

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𝟐 𝝅𝟓 𝒂𝟎 = ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒕)𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟖 𝟐 𝝅 𝟓 + ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟏𝟔 𝟐 𝝅 𝟏 + ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕)𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝟏𝟔 En virtud de las relaciones de ortogonalidad tenemos que 𝟏𝟎 𝝅 𝟎⁡⁡𝒔𝒊𝒏 ≠ 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 = { 𝟓⁄𝟖 𝒔𝒊𝒏 = 𝟏 𝟖𝝅 𝟎 𝟓 𝝅 𝟎⁡⁡𝒔𝒊𝒏 ≠ 𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕)𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 = { 𝟓⁄𝟏𝟔 𝒔𝒊𝒏 = 𝟑 𝟖𝝅 𝟎 𝟏 𝝅 𝟎⁡⁡𝒔𝒊𝒏 ≠ 𝟓 ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕)𝒄𝒐𝒔⁡(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 = { 𝟏⁄𝟏𝟔 𝒔𝒊𝒏 = 𝟓 𝟖𝝅 𝟎 La serie de Fourier es 𝟓 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕) 𝟖 𝟏𝟔 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒕) 𝑷𝒂𝒓𝒂[– 𝝅, 𝝅] 𝟏𝟔

𝒄𝒐𝒔𝟓 (𝒕) =

2)

Serie geométrica

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La fórmula de la serie geométrica ( serie de potencias ) ∞

∑ 𝒛𝒌 𝐤=𝟎

es muy útil en el calculo de la transformada Z . Esta serie converge a 𝟏 𝟏−𝒛 si |𝒛| < 𝟏 y diverge si |𝒛| > 𝟏. La suma finita 𝒏

∑ 𝒛𝒌 𝐤=𝟎

también es útil y tiene una expresión sencilla para 𝒛 ≠ 𝟏 𝟏 − 𝒛𝒏+𝟏 𝟏−𝒛 Es claro que para 𝒛 = 𝟏 el valor de la suma es 𝒏 + 𝟏.

1)

Se demuestra que si 𝒙 no es múltiplo entero de 2𝝅, es decir 𝒙 ≠ 𝟐𝒎𝝅 ( 𝒎 entero). Entonces

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𝟏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 [(𝒏 + ) 𝒙] − 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝟏) ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = 𝒙 ( ) 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒌=𝟏 𝟐 𝒏

de aquí , se deduce que 𝟏 𝒔𝒆𝒏 [(𝒏 + ) 𝒙] 𝟏 𝟐 ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = − 𝒙 𝟐 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟐) 𝒌=𝟏 𝒏

por lo tanto, 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏 [(𝒏 + ) 𝒙] 𝟏 𝟐 + ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = 𝒙 𝟐 ( ) 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒌=𝟏 𝟐 Observacion Haciendo 𝟏

𝑨 + 𝑩 = (𝒏 + 𝟐) 𝒙⁡⁡𝒚⁡𝑨 − 𝑩 = 𝒙/𝟐 , obtenemos que 𝑨 = (𝒏 + 𝟏)

𝒙 𝒏𝒙 ⁡⁡𝒚⁡⁡⁡⁡𝑩 = 𝟐⁡ 𝟐

luego, 𝒏𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒄𝒐𝒔 [(𝒏 + 𝟏) ] 𝟐 𝟐 ⁡⁡⁡(𝟐) ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = 𝒙 ( ) 𝒔𝒆𝒏 𝒌=𝟏 𝟐 𝒏

de manera similar se demuestra que

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𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 ( ) − 𝒄𝒐𝒔 [(𝒏 + ) 𝒙] 𝟐 𝟐 ∑ 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙) = ⁡⁡(𝟑) 𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟐) 𝒌=𝟏 𝒏𝒙 𝒙 𝒏 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒔𝒆𝒏 [(𝒏 + 𝟏) ] 𝟐 𝟐 ⁡⁡(𝟒) ∑ 𝐬𝐞𝐧(𝒏𝒙) = 𝒙 ( ) 𝒔𝒆𝒏 𝒌=𝟏 𝟐 𝒏

2) Deduzca la identidad trigonométrica 𝟏 [(𝒏 ) 𝒙] 𝒔𝒆𝒏 + 𝟏 𝟐 + ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = 𝒙 𝟐 ( ) 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒌=𝟏 𝟐 𝒏

, donde 𝒙/𝟐 no es un múltiplo entero de 𝝅. 3)

El siguiente teorema demuestra rápidamente las identidades (2) y (4).

Antes, recordamos las identidades de Euler 𝒆𝒋𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

𝟏 𝒋𝜽 (𝒆 + 𝒆−𝒋𝜽 ) 𝟐

𝟏 𝒋𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 = (𝒆 − 𝒆−𝒋𝜽 ) 𝟐𝒋 Teorema.

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Si 𝒙 no es múltiplo entero de 2𝝅, es decir 𝒙 ≠ 𝟐𝒎𝝅 ( 𝒎 entero). Entonces se cumple la identidad compleja 𝒏 𝒋𝒌𝒙

∑𝒆 𝒌=𝟏

𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐) 𝒋(𝒏+𝟏)𝒙/𝟐) = 𝒆 𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐)

A partir de la cual obtenemos la acotación 𝒏

|∑ 𝒆𝒋𝒌𝒙 | ≤ 𝒌=𝟏

𝟏 |𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐)|

Demostración Si 𝒛 ≠ 𝟏 recordamos que la expresión para una suma geométrica finita es 𝒏

𝒛𝒏 − 𝟏 𝒛 − 𝒛𝒏+𝟏 ∑𝒛 = 𝒛 = 𝒛−𝟏 𝟏−𝒛 𝒌

𝒌=𝟏

Haciendo 𝒛 = 𝒆𝒋𝒙 en esta expresión y como 𝒙 ≠ 𝟐𝒎𝝅, tenemos que ⁡𝐳 = 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙] ≠ 𝟏, obtenemos 𝒏

∑ 𝒆𝒋𝒌𝒙 = 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙] 𝒌=𝟏

𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙] − 𝟏 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙] − 𝟏

Factorizando 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐] en el numerador y denominador obtenemos

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⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐]{𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒏𝒙/𝟐]} [ ] = ⁡𝒆𝒙𝒑 𝒋𝒙 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙/𝟐]{𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒙/𝟐]} = 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙/𝟐]𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐] ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=

𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒏𝒙/𝟐] 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒙/𝟐]

𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒏𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒏𝒙/𝟐] 𝒆𝒙𝒑[𝒋(𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐] 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒙/𝟐] − 𝒆𝒙𝒑[−𝒋𝒙/𝟐] 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐) = 𝒆𝒙𝒑[𝒋(𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐] ( ) 𝒔𝒆𝒏 𝒙/𝟐

ahora, en virtud de la fórmula de Euler 𝒏

𝒏

∑ 𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒌𝒙] = ∑(𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙) + 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙)) 𝒌=𝟏

𝒏=𝟏 𝒏

𝑵

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= ∑ 𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙) + 𝒋 ∑ 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙) 𝒌=𝟏 𝒏

𝒏=𝟏 𝒏

∑ 𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙) + 𝒋 ∑ 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙) 𝒌=𝟏

𝒌=𝟏

𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐) = 𝒆𝒙𝒑[𝒋(𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐] 𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐) =

𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐) (𝒄𝒐𝒔((𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐) + 𝒋𝒔𝒆𝒏((𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐)) 𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐)

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Igualando partes reales e imaginarias , obtenemos (2) y (4) 𝒏

𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐)𝒄𝒐𝒔[(𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐] ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐)

𝒌=𝟏 𝒏

𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙/𝟐)𝒔𝒆𝒏[(𝒏 + 𝟏)𝒙/𝟐] ∑ 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙/𝟐)

𝒌=𝟏

Las fórmulas (2) y (4) son de mucha utilidad en la demostración del teorema de convergencia de Fourier, en el análisis del fenómeno de Gibbs y en general en el análisis de Fourier.

Series de Fourier en cosenos y senos Se verá cómo escribir una serie de Fourier de una función 𝒇 en el intervalo [𝟎, 𝑳] que contenga únicamente senos o cosenos , según se elija. Tales desarrollos se denominan desarrollos de medio rango Serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳]

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Supongamos que 𝒇 es Riemann integrable en el intervalo[𝟎, 𝑳]. Entonces 𝒇 puede desarrollarse en una serie de Fourier de cosenos únicamente en el intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳. ∞

𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) 𝟐 𝑳 𝒏=𝟏

o bien en una serie de únicamente según se elija.

Fourier que contiene senos

En el primer caso, los coeficientes 𝒂𝒏 están dados por las expresiones: 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒂𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝐜𝐨𝐬⁡( )𝒅𝒙⁡, 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ⋯ 𝑳 𝟎 𝑳 Mientras que en el segundo caso, los coeficientes 𝒃𝒏 están dados por las expresiones 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒃𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝐬𝐞𝐧⁡( )𝒅𝒙⁡⁡𝒑𝒂𝒓𝒂⁡⁡𝒏 = 𝟏, 𝟐, ⋯ 𝑳 𝟎 𝑳 Demostración: Caso 1 La idea es extender 𝒇 a una nueva funcion 𝒘 definida en el intervalo [−𝑳, 𝑳] de tal manera que 𝒘 sea una función par.

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La serie de Fourier de en [−𝑳, 𝑳] contiene únicamente términos en cosenos. Como 𝒘 y 𝒇 coinciden en intervalo [𝟎, 𝑳] Entonces podemos usar la serie de Fourier de 𝒘 como una serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳]. Para lograrlo, se define 𝒘(𝒙) = {

𝒇(𝒙), 𝒇(−𝒙),

𝟎≤𝒙≤𝑳 −𝑳 ≤ 𝒙 < 𝟎

(Describir la gráfica de 𝒘(𝒙)) 𝒘 es una función par, es decir,⁡𝒘(−𝒙) = 𝒘(𝒙) (por esta razón se dice que 𝒘 es la extensión par de⁡𝒇)⁡. Por lo tanto, la serie de Fourier de 𝒘 en [−𝑳, 𝑳] es ∞

𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 ) + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 𝑳 𝒏=𝟏

en donde 𝟏 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒂𝒏 = ∫ 𝒘(𝒙)𝐜𝐨𝐬⁡( )𝒅𝒙, 𝑳 −𝑳 𝑳

𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝒏𝝅𝒙

la paridad de la función 𝒘(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 (

𝑳

) implica que

𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒂𝒏 = ∫ 𝒘(𝒙)𝒄𝒐𝒔⁡( )𝒅𝒙 𝑳 𝟎 𝑳 Como 𝒘(𝒙) = 𝒇(𝒙) para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳.

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Entonces podemos usar la serie de Fourier de 𝒘 como una serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳]. ∞

𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) 𝟐 𝑳 𝒏=𝟏

Los coeficientes pueden escribirse en términos de 𝒇, como⁡⁡ 𝒘(𝒙) = 𝒇(𝒙) para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳, estos coeficientes son 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒂𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔⁡( )𝒅𝒙 𝑳 𝟎 𝑳 Conclusión 1 Si 𝒇 es una funcion integrable en [𝟎, 𝑳]. Entonces la serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en el intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 es ∞

𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) 𝟐 𝑳 𝒏=𝟏

en donde 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 ( ) 𝒂𝒏 = ∫ 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬⁡( )𝒅𝒙⁡, 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ⋯ 𝑳 𝟎 𝑳 Ejemplo 1 Sea 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 .

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Escribir la serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en el intervalo [𝟎, 𝟏]. Solución 𝟏

𝒂𝟎 = 𝟐 ∫𝟎 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐(𝒆 − 𝟏) y 𝟏

𝟏

𝒂𝒏 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐𝑹𝒆 {∫ 𝒆𝒙 𝒆𝒋𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙} 𝟎

𝟎 𝟏

= 𝟐𝑹𝒆 {∫ 𝒆(𝟏+𝒋𝒏𝝅)𝒙 𝒅𝒙} 𝟎

𝒆𝟏+𝒋𝒏𝝅 − 𝟏 } ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 𝟐𝑹𝒆 { 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅 𝒆(𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) + 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅)) − 𝟏 } = ⁡⁡𝟐𝑹𝒆 { 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅 = 𝟐𝑹𝒆 {

𝒆𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅) − 𝟏 } 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅

(𝒆𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅) − 𝟏)(𝟏 − 𝒋𝒏𝝅) } = 𝟐𝑹𝒆 { 𝟏 + 𝒏𝟐 𝝅𝟐 =

𝟐(𝒆𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅) − 𝟏) 𝟏 + 𝒏𝟐 𝝅𝟐

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por lo tanto, la serie de Fourier en cosenos de 𝒆𝒙 en [𝟎, 𝟏] es ∞

(𝒆(−𝟏)𝒏 − 𝟏) (𝒆 − 𝟏) + 𝟐 ∑ 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅𝒙) 𝟐 𝟐 𝟏+𝒏 𝝅 𝒏=𝟏

Teorema de convergencia de una serie de Fourier en cosenos Sea 𝒇 continua a pedazos en el intervalo [𝟎, 𝑳]. Si 𝟎 < 𝒙 < 𝑳 y 𝒇′+ (𝒙) , 𝒇′− (𝒙) existen y son finitos. Entonces en cada punto 𝒙 de dicho intervalo la serie de Fourier en cosenos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳] converge en 𝒙 a 𝟏 [𝒇(𝒙 +) + 𝒇(𝒙−)] 𝟐 Si 𝒇′+ (𝟎) existe . Entonces la serie de Fourier en cosenos converge en 0 a 𝒇(𝟎+). Si 𝒇′− (𝑳) existe. Entonces la serie de Fourier en cosenos converge a 𝒇(𝑳−). La serie de Fourier en senos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳] Se procede de manera similar a la que acabamos de usar, ahora se extiende 𝒇 a una función impar 𝒈 en el intervalo [−𝑳, 𝑳]. Caso 2

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Se define la función 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = {−𝒇(−𝒙) 𝟎,

⁡⁡𝟎 < 𝒙 ≤ 𝑳 −𝑳 ≤ 𝒙 < 𝟎 𝒙 = 𝟎,

(Describir la gráfica de𝒈(𝒙) ). Como la función⁡𝒈es una función impar en [−𝑳, 𝑳] (por esta razón, 𝒈se denomina extensión impar de 𝒇)⁡su serie de Fourier en [−𝑳, 𝑳]contiene solamente términos en senos ∞

𝒏𝝅𝒙 ∑ 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( ) 𝑳

𝒏=𝟏

donde, 𝟏 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒃𝒏 = ∫ 𝒈(𝒙)𝐬𝐞𝐧⁡( )𝒅𝒙⁡ 𝑳 −𝑳 𝑳 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 ∫ 𝒈(𝒙)𝐬𝐞𝐧⁡( )𝒅𝒙⁡⁡⁡ 𝑳 𝟎 𝑳 Como 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙),⁡𝟎 < 𝒙 < 𝑳se concluye que 𝟏 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒃𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏⁡( )𝒅𝒙⁡ 𝑳 −𝑳 𝑳 Además en el intervalo [𝟎, 𝑳] podemos usar la serie de Fourier de la función 𝒈 como una serie de Fourier en senos de 𝒇.

SERRANO

Conclusión 2 Si 𝒇 es una función Riemann integrable en [𝟎, 𝑳]. Entonces la serie de Fourier en senos de 𝒇 en el intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 es ∞

∑ 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( 𝒏=𝟏

𝒏𝝅𝒙 ) 𝑳

en donde 𝟐 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒃𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏⁡( )𝒅𝒙⁡, 𝒏 = ⁡𝟏, 𝟐, ⋯ 𝑳 𝟎 𝑳 Ejemplo 2 Sea 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 . Escribir la serie de Fourier en senos de 𝒇 en el intervalo [𝟎, 𝟏]. Solución 𝟏

𝟏 𝒙

𝒃𝒏 = 𝟐 ∫ 𝒆 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐𝑰𝒎 {∫ 𝒆𝒙 𝒆𝒋𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙} 𝟎

𝟎 𝟏

= 𝟐𝑰𝒎 {∫ 𝒆(𝟏+𝒋𝒏𝝅)𝒙 𝒅𝒙} 𝟎

𝒆𝟏+𝒋𝒏𝝅 − 𝟏 } ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 𝟐𝑰𝒎 { 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅

SERRANO

𝒆(𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) + 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅)) − 𝟏 } = ⁡⁡𝟐𝑰𝒎 { 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅 𝒆(−𝟏)𝒏 − 𝟏 } = 𝟐𝑰𝒎 { 𝟏 + 𝒋𝒏𝝅 = 𝟐𝑹𝒆 {

(𝒆𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅) − 𝟏)(𝟏 − 𝒋𝒏𝝅) } 𝟏 + 𝒏𝟐 𝝅𝟐

𝟐𝒏𝝅(𝟏 − 𝒆(−𝟏)𝒏 ) = 𝟏 + 𝒏𝟐 𝝅𝟐 Por lo tanto, la serie de Fourier en senos de 𝒆𝒙 en [𝟎, 𝟏] es ∞

𝟐𝒏𝝅(𝟏 − 𝒆(−𝟏)𝒏 ) ∑ 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅𝒙) 𝟏 + 𝒏𝟐 𝝅𝟐

𝒏=𝟏

Teorema de convergencia de una serie de Fourier en senos Sea 𝒇 continua a pedazos en el intervalo [𝟎, 𝑳].Entonces Si 𝟎 < 𝒙 < 𝑳 , y 𝒇′+ (𝒙) , 𝒇′− (𝒙) existen .

SERRANO

Entonces la serie de Fourier en senos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳] converge en el punto 𝒙 a 𝟏 [𝒇(𝒙 +) + 𝒇(𝒙−)] 𝟐 En 0 y en 𝑳 , la serie de Fourier en senos de 𝒇 en [𝟎, 𝑳] converge a 0. Ejemplo 3 Desarrolle la función 𝒇(𝒙) = 𝟏 en una serie de senos en el intervalo (𝟎, 𝝅). Solución En virtud el teorema de convergencia en el intervalo (𝟎, 𝝅). Se tiene que ∞

𝒏𝝅𝒙 ( ) 𝒇 𝒙 = 𝟏 = ∑ 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( ) 𝑳 𝒏=𝟏

𝟐 𝝅 𝟐 (𝟏 − (−𝟏)𝒏 ) 𝒃𝒏 = ∫ 𝒔𝒆𝒏⁡(𝒏𝒙)𝒅𝒙⁡ = 𝝅 𝟎 𝒏𝝅 𝟎, 𝒏⁡𝒑𝒂𝒓 ={ 𝟒 , 𝒏⁡𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒏𝝅

Por lo tanto

SERRANO

𝟏=

𝟒 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙) [ + + + ⋯], 𝝅 𝟏 𝟑 𝟓 𝟎