Exercices Transformée de Fourier [PDF]

Zitiervorschau

École Nationale Polytechnique d’Alger Département des Classes Préparatoires Année 2016-2017

Série de TD. 6

Intégrale & Transformation de Fourier Exercice 1

 −x e si x > 0   1 Soit f la fonction définie par f ( x ) = si x = 0   2 0 si x < 0 1. Calculer les coefficients de Fourier de f ; 2. Vérifier, à l’aide du théorème de convergence de Dirichlet, que l’on a :  −x Z∞ si x > 0  e 1 cos(ωx ) + ω sin(ωx ) α si x = 0 dω =  π 1 + ω2 β si x < 0 0 où α et β sont à déterminer. Corrigé Exo.1 1.

(a) Vérifions les conditions du théorème de Dirichlet. i.e. ; i. La fonction f est continûment dérivable (lisse par morceaux) sur R+ et R− . En 0, nous avons f 0 ( x − 0) = 0 f 0 ( x + 0) = lim −e− x = −1 x 7 → >0

ii. La convergence de l’intégrale

+ R∞

| f ( x )|dx :

−∞ +∞ Z

+∞ Z

−∞

0

| f ( x )|dx =

e− x dx = 1 < ∞

(b) Calculons les coefficients de Fourier de f . Par définition, et en intégrant deux fois par parties ou bien à l’aide d’une représentation en complexe, on obtient :  1 R∞ − x 1 1 1 R∞   f ( x ) cos(ωx )dx = e cos(ωx )dx =  A(ω ) = π π −∞ π 1 + ω2 −∞ ∞ ∞ R R 1 1 1 ω   f ( x ) sin(ωx )dx = e− x sin(ωx )dx =  B(ω ) = π −∞ π −∞ π 1 + ω2 2. D’après le théorème de convergence et en tenant compte de continuité de la fonction f , on obtient : f ( x + 0) + f ( x − 0) 2

C’est à dire α =

=

R∞

[ A(ω ) cos(ωx ) + B(ω ) sin(ωx )] dω   1 R∞ cos(ωx ) + ω sin(ωx ) = dω = f ( x ), π0 1 + ω2 0

1 et β = 0. 2 1

∀x ∈ R

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Exercice 2 Établir à l’aide des développements en intégrales de Fourier chacune des relations suivantes : a)

b)

c)

2 R∞ ω 3 sin(ωx )dω = e− x cos( x ), x > 0 π 0 ω4 + 4   cos( x ) si | x | < π πω ∞ R 2 cos( 2 ) 2 cos(ωx )dω = π  0 π 0 1 − ω2 si | x | > 2  2 R∞ sin(πω ) sin( x ) si 0 < x < π sin(ωx )dω = 0 si x > π π 0 1 − ω2

Corrigé Exo.2 1. Établissement de la relation (a) (a) Soit f ( x ) = e− x cos( x ), x > 0, le développement du prolongement impair correspondant à : A(ω ) = 0 2 R∞ 2 R∞ − x B(ω ) = f ( x ) sin(ωx )dx = e cos( x ) sin(ωx )dx π0 π0 1 R∞ − x = e [sin(1 + ω ) x − sin(1 − ω ) x ] dx π 0  1+ω 1−ω 1 − (voir exo. 1) = π 1 + (1 + ω )2 1 + (1 − ω )2 2 ω3 = π ω4 + 4 puisque

(ω 2 + 2ω + 2)(ω 2 − 2ω + 2) = ω 4 + 4 et (ω 2 − 2ω + 2)(1 + ω ) − (ω 2 + 2ω + 2)(1 − ω ) = 2ω 3 (b) En tenant compte de la continuité de la fonction f , on déduit que

R∞

B(ω ) sin(ωx )dω = f ( x ) ⇒

0

2 π

Z∞ 0

ω3 sin(ωx )dω = e− x cos( x ), x > 0 ω4 + 4

d’après le théorème de Dirichlet. 2. Établissement de la relation (b) Supposons que   cos( x ) si | x | < π 2 f (x) = π  0 si | x | > 2 Comme la fonction f est paire, alors on trouve : B(ω )

=0 2 R∞ 2 R∞ − x A(ω ) = f ( x ) cos(ωx )dx = e cos( x ) cos(ωx )dx π0 π0 π 1 R2 − x = e [cos(1 + ω ) x + cos(1 − ω ) x ] dx π0

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On peut distinguer deux cas possibles : π

1 1 R2 − x e [cos 2x + 1] dx = ω = 1 ⇒ A(ω ) = π0 π  π   sin(1 − ω ) π2 1 sin(1 + ω ) x sin(1 − ω ) x 2 1 sin(1 + ω ) π2 ω 6= 1 ⇒ A(ω ) = = + + π 1+ω  1−ω π 1+ω  1−ω 0 π sin ( 1 − ω ) 1 1 1 1 2 = sin(1 − ω ) π2 + = 2 π 1 + ω 1 − ω π 1 − ω  1 cos( ωπ 2 ) = π 1 − ω2   1 cos( ωπ 2 ) A l’aide d’un prolongement par continuité en ω = 1, on A(ω ) = , ∀ω > 0. π 1 − ω2 De la même manière, la continuité de la fonction f et le théorème de Dirichlet donne :  Z∞  cos( x ) si | x | < π πω cos( 2 ) 2 2 cos(ωx )dω = π  0 π 1 − ω2 si | x | > 0 2 3. Établissement de la relation (c) de la même manière. Pour cela, supposons que  sin( x ) si 0 < x < π f (x) = 0 si x > π Le développement du prolongement impair de la fonction donne : A(ω ) = 0 2 R∞ 2 R∞ B(ω ) = f ( x ) sin(ωx )dx = sin( x ) sin(ωx )dx π0 π0 1 Rπ = [cos(1 + ω ) x + cos(1 − ω ) x ] dx π0   1 si ω = 1 = 2 sin(ωπ )  si ω 6= 1 π 1 − ω2 A l’aide d’un prolongement par continuité en ω = 1, on B(ω ) = D’après le théorème de Dirichlet, on déduit que : 2 π

Z∞ 0

sin(πω ) sin(ωx )dω = 1 − ω2



2 sin(ωπ ) , π 1 − ω2

∀ω > 0.

sin( x ) si 0 < x < π 0 si x > π

Exercice 3

1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f donnée par f ( x ) = e−α| x| , α > 0 et x ∈ R. R∞ cos(ωx ) 2. En déduire la valeur de l’intégrale de Laplace de première espèce dω 2 2 0 α +ω 3.

(a) Trouver à l’aide d’un calcul direct la valeur de l’intégrale

R∞ 0

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dω ; (1 + ω 2 )2 B. Kebli, O. Kherif

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(b) Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Parseval. Corrigé Exo.3 1. Remarquons que la fonction f donnée par f ( x ) = e−α| x| , α > 0 et x ∈ R est paire, la transformée de Fourier de f est donc F (ω ) =

+∞ Z

f ( x )e

iωx

+∞ Z

dx =

e

−∞

−α| x |

cos(ωx )dx = 2

−∞

+∞ Z

e−αx cos(ωx )dx =

0

α2

2α + ω2

2. En tenant compte de la continuité de f , à l’aide de la formule de la transformée inverse de Fourier on obtient +∞ +∞ Z Z 1 1 2α −iωx f (x) = F (ω )e dω = cos(ωx )dω 2 2π π α + ω2 −∞

0

Donc, la valeur de l’intégrale de Laplace de première espèce est Z∞ 0

3.

cos(ωx ) π π −α| x | dω = f (x) = e , α > 0 et x ∈ R 2 2 α +ω 2α 2α

R∞

dω ; 2 2 0 (1 + ω ) Effectuent le changement de variable ω = tan(t), on obtient

(a) A l’aide d’un calcul direct, on évalue l’intégrale I =

dω = Ainsi

dt cos2 (t)

π

I=

Z2

1 + ω2 =

et

1 cos2 (t)

π

cos2 (t)dt =

0

1 2

Z2

1 + cos(2t)dt =

0

π 4

(b) Retrouvons maintenant le résultat de l’intégrale en utilisant la formule de Parseval : Par définition, on a +∞ Z −∞

1 | f ( x )| dx = 2π 2

+∞ Z

2

| F (ω )| dω

⇒

2

−∞

+∞ Z

e

0

−2αx

4α2 dx = π

+∞ Z 0

1 2 α + ω2

2 dω

Posons α = 1, on trouve +∞ Z −∞

  (  ) +∞ Z   −2αx +∞ π − e π 1 π dω = 2 e−2x dx = 2 = 2 2   (1 + ω ) 4 4 −2 0 4 0

Exercice 4

1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f définie par f ( x ) =

 

1−

 0 2. En déduire la valeur de l’intégrale 2016-2017

|x| si | x | < 2 2 si | x | ≥ 2

R∞ sin2 (ω ) cos(ωx ) dω. ω2 0 page 4

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Corrigé Exo.4 1. Remarquons que la fonction f suivante

f (x) =

 

1−

 0

|x| si | x | < 2 2 si | x | ≥ 2

est paire. Par définition, la transformée de Fourier de f est donnée par F (ω ) =

+∞ Z

f ( x )e

iωx

dx = 2

−∞

Z2 

x cos(ωx )dx 2

1−

0

On distingue deux cas suivant la valeur de ω ;  2 x2 x dx = 2 x− ω = 0 ⇒ F (ω ) = 2 1− =2 2 4 0 0    R2  x  sin(ωx ) 1 cos(ωx ) 2 x ω 6= 0 ⇒ F (ω ) = 2 cos(ωx )dx = 2 1 − − 1− 2 2 ω 2 ω2 0 0 sin2 (ω ) 1 − cos(2ω ) =2 = ω2 ω2

R2 

Par prolongement par continuité en ω = 0  lim

2

ω 7 →0

sin2 (ω ) ω2



=2

⇒

F (ω ) = 2

sin2 (ω ) , ω2

∀ω > 0

2. Comme f est continue sur R, à l’aide de la formule de la transformée inverse de Fourier de f on trouve 1 f (x) = 2π Par suite

Z∞ 0

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+∞ Z −∞

F (ω )e

−iωx

1 dω = π  

+∞ Z 0

sin2 (ω ) cos(ωx )dω ω2

|x| sin (ω ) cos(ωx ) 1 − dω = 2  0 ω2 2

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si | x | < 2 si | x | ≥ 2

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