Séries de Fourier - Séries de Fourier Et Équations Différentielles PDF [PDF]

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Enoncés

1

Séries de Fourier et équations différentielles Exercice 1 [ 03331 ] [correction] Soit α ∈ C\iZ et f continue sur R à valeurs dans C et 2π-périodique. Soit y solution de l’équation y 0 + αy = f a) Montrer que y est de la forme −αx

y(x) = e



Z

x

y(0) +

αt



f (t)e dt 0

b) Montrer que y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) (on pourra utiliser que z(x) = y(x + 2π) est solution de l’équation différentielle). c) En déduire qu’il existe une unique fonction φ, 2π-périodique solution de l’équation différentielle. d) Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et l’exprimer en fonction des coefficients complexes de f .

Exercice 2 [ 03327 ] [correction] Soit f : R → C 2π-périodique dérivable telle qu’il existe λ ∈ R vérifiant ∀t ∈ R, f 0 (t) = f (t + λ) (*) a) Montrer ∀n ∈ Z, (in − einλ )cn (f ) = 0 b) Pour quel(s) λ ∈ R existe-t-il des fonctions 2π-périodiques, autres que la fonction nulle, vérifiant (*) ?

Exercice 3 [ 03439 ] [correction] On considère la fonction f : R → C 2π-périodique donnée par f (x) =

ix sur ]−π, 0[ ∪ ]0, π[ , f (0) = 1 et f (π) = 0 eix − 1

Développer f en série de Fourier.

Exercice 4 [ 00967 ] [correction] Déterminer les solutions 2π périodiques de l’équation différentielle y 00 + eit y = 0

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Corrections

Corrections

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et cn (f 0 ) =

Exercice 1 : [énoncé] a) On vérifie que  Z −αx y˜ : x 7→ e y(0) +

x

 αt f (t)e dt

0

est solution de l’équation différentielle et vérifie y˜(0) = y(0) donc par le théorème de Cauchy, y˜ = y. b) Si y est 2π-périodique alors y(0) = y(2π). Inversement, si y(0) = y(2π) alors z : x 7→ y(x + 2π) est solution de l’équation différentielle et vérifie z(0) = y(0) donc z = y. Par suite y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) i.e. Z 2π y(0)(e2πα − 1) = f (t)eαt dt

2πα

(avec e 6= 1 car α ∈ / iZ). d) Cette solution est de classe C 1 donc développable en série de Fourier. φ(x) =

+∞ X

Z

f (t + λ)e−int dt =

2π

cn = cn (φ) = et

cn (φ0 ) = incn (φ) donc

cn (f ) cn = in + α

f (t + λ)e−in(t+λ) dt = einλ cn (f )

2π

est vérifiée alors nécessairement |n| = 1 et alors eiλ = i Si la condition eiλ = i n’est pas vérifiée alors la propriété ∀n ∈ Z, (in − einλ )cn (f ) = 0 entraîne ∀n ∈ Z, cn (f ) = 0 et donc f est la fonction nulle (en vertu de la formule de Parseval ou parce que f est de classe C 1 donc développable en série de Fourier. . . ) Inversement, si eiλ = i alors les fonctions f (t) = αeit + βe−it vérifient la relation (*) (et ce sont les seules) et parmi celles-ci figurent des fonctions non nulles. On en déduit qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe des fonctions 2π-périodiques non nulles vérifiant (*) est que eiλ = i i.e.

cn einx

1 1 cn (f − φ0 ) = (cn (f ) − cn (φ0 )) α α

Z

in = einλ

λ∈

n=−∞

avec

1 inλ e 2π

On en déduit la relation proposée. b) Si l’égalité

0

avec e2πα − 1 6= 0. c) Par suite, il existe une unique solution φ 2π-périodique à l’équation différentielle, solution déterminée par Z 2π 1 φ(0) = 2πα f (t)eαt dt e −1 0

1 2π

π + 2πZ 2

Exercice 3 : [énoncé] La fonction f est de classe C 1 par morceaux et régularisée donc développable en série de Fourier. Puisque sur (eix − 1)f (x) = ix, on a sur ]−π, π[ (eix − 1)f 0 (x) + ieix f (x) = i donc cn−1 (f 0 ) − cn (f 0 ) + icn−1 (f ) = iδ0,n

Exercice 2 : [énoncé] a) On a par intégration par parties cn (f 0 ) = incn (f )

Par intégration par parties (avec ici f (π − ) 6= f (−π + )) cn (f 0 ) = i

(−1)n+1 + incn (f ) 2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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ce qui donne (−1)n + n (cn−1 (f ) − cn (f )) = δ0,n Pour n > 0, on obtient n

cn (f ) = cn−1 (f ) +

X (−1)k (−1)n = c0 (f ) + n k k=1

Or cn (f ) → 0 donc c0 (f ) = ln 2 puis, pour n > 0, +∞ X (−1)k−1 k

cn (f ) =

k=n+1

De façon analogue, pour n > 0 c−n (f ) =

+∞ X (−1)k−1 k

k=n

Exercice 4 : [énoncé] Une telle fonction f est nécessairement de classe C ∞ et donc égale à la somme de sa série de Fourier. On peut donc écrire f (t) =

+∞ X

cn eint

n=−∞

Puisque cn (f 0 ) = incn (f ), la satisfaction de l’équation différentielle donne n2 cn (f ) = cn−1 (f ) On en déduit cn = 0 pour tout n < 0 et cn = c0 /(n!)2 pour tout n ∈ N. Inversement, les coefficients proposés définissent une fonction qu’on vérifie être de classe C 2 (par un argument de convergence normale) et par calcul on vérifie que celle-ci est solution de l’équation différentielle.

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