Fourier 1 [PDF]

Zitiervorschau

Analyse fréquentielle

TF 1D

TF 2D

Applications

Bases du traitement des images I Transformée de Fourier J

Nicolas Thome

27 septembre 2016

Bases du traitement des images 1 / 60

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TF 1D

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Applications

Transformée de Fourier Contexte et objectif I

Transformée de Fourier (TF) : outil fondamental en traitement d’images

I

Concept abordé durant les 4 prochaines séances : • • • •

I

Aujourd’hui (cours 3) : présentation de la TF et des applications cours 4 : numérisation et Transformée de Fourier Discrète (TFD) cours 5 : filtrage linéaire ⇒ traitement fréquentiel cours 6 : détection de contours : filtrage (linéaire) particulier

Aujourd’hui : objectifs • Comprendre l’espace de représentation Fourier Changement d’espace : temporel (spatial) ⇒ fréquentiel Et son intérêt pour des applications en traitement d’images

• Introduction d’outils mathématiques (convolution, Dirac, TF usuelles) importants pour la suite • Définition et propriétés de la TF 2d (images) Savoir calculer, visualiser et interpréter la TF Bases du traitement des images 2 / 60

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Outline

1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D Série de Fourier

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu

3

TF 2D

4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

Bases du traitement des images 3 / 60

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Analyse Fréquentielle des signaux Décomposition en Série de Fourier d’une fonction 1D périodique I

Soit x(t) est une fonction réelle (ou complexe) périodique de période T , on a : x(t) =

k=∞ X 1 2kπt 2kπt a0 + (ak cos( ) + bk sin( )) 2 T T

(1)

k=1

I

les coefficients ak et bk sont calculés par : RT ak = T2 0 x(t)cos( 2kπt T )dt RT bk = T2 0 x(t)sin( 2kπt T )dt

(2)

Bases du traitement des images 4 / 60

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Série de Fourier d’une fonction périodique

Écriture avec amplitude et phase I

Posons rk =

p

ak2 + bk2

θk tel que : cos θk = I

ak rk

et sin θk =

bk rk

,

La formule (1) devient alors :

x(t) =

k=∞ X k=1

rk cos(

2kπt − θk ) T

(3)

Bases du traitement des images 5 / 60

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Série de Fourier d’une fonction périodique Écriture avec l’exponentielle complexe : exp(iz) = cos(z) + i sin(z) exp(kiz) = (cos(z) + i sin(z))k = cos(kz) + i sin(kz) cos(kiz) = exp(kiz)+exp(−kiz) sin(kiz) = exp(kiz)−exp(−kiz) 2 2i k=∞ P 2kπt (ak cos( 2kπt x(t) = 12 a0 + T ) + bk sin( T )) k=1

En reportant on obtient : 1a + x(t) = 2 0

x(t) =

1 a 2 0

k=∞ P ak 2 k=1

+

h    i k=∞    i P bk h exp i2πkt + exp −i2πkt + exp i2πkt − exp −i2πkt T T 2i T T

k=∞ P k=1

k=1

exp



i2πkt T

h

ak 2

− i b2k

i

+

k=∞ P

exp

k=1



−i2πkt T

h

ak 2

+ i b2k

i

k 0 ← −k (2nde somme), a−k = ak , b−k = −bk  h i  h i k=−1 k=∞ P P ak ak x(t) = 12 a0 + exp i2πkt − i b2k + exp i2πkt − i b2k T 2 T 2 k=1

k=−∞

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Série de Fourier d’une fonction périodique Écriture avec l’exponentielle complexe : x(t) =

1 a 2 0

+

k=∞ P k=1 ak 2

On pose : ck =

exp



i2πkt T

h

− i b2k

ak 2

i

+

k=−1 P

exp



k=−∞

i2πkt T

h

ak 2

− i b2k

i

− i b2k , on a alors : k=∞ X

x(t) =

2ikπt ) T

(4)

−2iπkt )dt T

(5)

ck exp(

k=−∞

avec : ck =

I

1 T

Z

T

x(t) exp( 0

Apparition de fonctions de base exp

2ikπt T




avec fréquence

k T

=

¯ f (t)g (t)dt

avec f ∈ R

(6)

−∞

¯ est le conjugué de g (t) où g (t) I

Interprétation de la décomposition en série de fourier : RT ck = T1 0 x(t) exp( −2iπkt )dt =< x, exp( 2iπkt T T ) > : projection de la fonction x(t) sur la fonction complexe sinusoïdale exp( 2iπkt T ) • fréquence "pure" f0 =

k T

 I On peut montrer que exp( 2iπkt ) , k ∈ {−∞; +∞} forment une T base orthonormée de L2 ([0, T ]) (exercice) Bases du traitement des images 8 / 60

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Série de Fourier : Interprétation graphique

I

1t exp( 2iπk T )

2t exp( 2iπk T )

ck1 3t exp( 2iπk T )

ck2 4t exp( 2iπk T )

ck3

ck4

Soit un signal x(t)

x(t) =

P k

ck exp( 2ikπt T )

ck =< x, exp( 2iπkt T )>

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Série de Fourier : Interprétation graphique Fonction de base bk = exp( 2ikπt T )

Signal x(t)

x(t) =

k=∞ X k=−∞

ck exp(

2ikπt ) T

ck =< x, exp(

2iπkt )> T

=⇒ le produit scalaire ck mesure la similarité entre le signal x(t) à représenter et chacune des fonctions sinusoïdales I

Degré de présence de la fréquence "pure" de la fonction exp( 2iπkt T ) Bases du traitement des images 10 / 60

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Série de Fourier : conclusion Changement d’espace de représentation x(t) =

k=∞ X

ck exp(

k=−∞

2ikπt ) T

ck =< x, exp(

2iπkt )> T

I

Toute fonction périodique peut etre reconstruite dans la base de Fourier, il suffit de connaître les ck

I

Les ck indiquent : • les composantes fréquentielles contenues dans un signal • leur "niveau" de présence

I

Exemple : x(t) = cos(2π Tt ) : ck =



1/2 0

si k = ±1 sinon

 • Projection sur la base des exp( 2iπkt ) , k ∈ {−∞; +∞} T • Projection = 6 0 : seules les fonctions de base exp( 2iπ ) et exp( −2iπ ) T T Bases du traitement des images 11 / 60

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Outline

1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Calcul de la Transformée Outils Mathématiques & TF usuelles

3

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4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

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Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Décomposition en série de Fourier → Transformée de Fourier I

Tout signal périodique est décomposable en série de Fourier

I

Signal non périodique : cas limite d’un signal périodique qd T → ∞

I

Si x(t), n’est pas pérdiodique, il est nécessaire de considérer la projection du signal sur  une base "continue" de fontions au lieu de la base dénombrable exp( 2iπkt T ) , k ∈ {−∞; +∞}

I

Définition : la transformée de Fourier X (f ) est donnée par : Z

+∞

X (f ) =

x(t)e −i2πft dt

avec f ∈ R

−∞

I

Transformée de Fourier d’une fonction : généralisation au cas non périodique du calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique. Bases du traitement des images 13 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal Interprétation Z X (f ) =

+∞

x(t)e −i2πft dt = hx, ei2πft i avec f ∈ R

−∞ I

on projette x(t) sur un ensemble de fonctions continues (i.e. non dénombrables) {exp(2iπft)}, f ∈ {−∞; +∞} , on obtient donc un ensemble de projections continues X (f )

I

TF : x(t) → X (f ), X (f ) fonction de la variable continue f .

I

X (f ) extrait une information fréquentielle sur le signal x(t) • La fréquence f est-elle présente dans le signal x(t) ? A quel "degré" ? • si x(t) est T − périodique, on retombe sur la décomposition en Série de Fourier : X (f ) = 0 sauf pour f = Tk , k ∈ {−∞; +∞} où X (f ) = ck Bases du traitement des images 14 / 60

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I

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exp(2iπf1 t)

exp(2iπf2 t)

X (f1 ) =< x, exp(2iπf1 t) >

X (f2 ) =< x, exp(2iπf2 t) >

exp(2iπf3 t)

exp(2iπf4 t)

X (f3 ) =< x, exp(2iπf3 t) >

X (f4 ) =< x, exp(2iπf4 t) >

Soit un signal x(t)

X (f ) =< x, exp(2iπft) >

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Transformée de Fourier d’un signal Interprétation : hautes et basses fréquences d’un signal I

Hautes fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | important : variations rapides du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | gd

I

Basses fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | faible : variations lentes du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | faible

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Transformée de Fourier d’un signal Remarque I

Les X (f ) sont des nombres complexes R +∞ • La partie réelle XR (f ) = −∞ x(t) cos (2πft) dt est paire R +∞ • La partie imaginaire XI (f ) = − −∞ x(t) sin (2πft) dt est impaire

I

Deux informations importantes à regarder : p • le module, ou spectre d’amplitude |X (f )| = XR (f )2 + XI (f )2 ; • le module représente l’intensité de la projection sur la fonction de base considérée   • la phase Φ(f ) = arctan XXI (f(f )) . R • la phase représente le déphasage entre x(t) et la fonction de base considérée

I

f = 0 : fréquence fondamentale, représente la valeur moyenne du signal : Z +∞ X (0) = x(t)dt −∞ Bases du traitement des images 17 / 60

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Transformée de Fourier Inverse Inversion de la TF I

On peut reconstruire le signal x(t) à partir de sa représentation fréquentielle X (f ) par la formule : Z

+∞

x(t) =

X (f )e i2πft df

−∞

I

En terme de projection (produit scalaire) Z

+∞

< x(t); Φf (t) > Φf (t)df

x(t) =

(7)

−∞

avec Φf (t) = e i2πft I

On peut donc reconstruire le signal par "sommation" des projections • Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée Bases du traitement des images 18 / 60

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1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Calcul de la Transformée Outils Mathématiques & TF usuelles

3

TF 2D

4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

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TF : Outils mathématiques Produit de convolution I

l’opérateur ? est le produit de convolution entre signaux. Considérons deux signaux x(t) et y (t), le produit de convolution entre x et y calculé comme suit : Z +∞ z =x ?y = x(τ )y (t − τ )dτ (8) −∞

I

Etapes : 1 2 3 4

Retournement du signal : y (τ ) → y (−τ ) Translation du signal de t : → y (t − τ ) Produit entre Translation du signal de t : x(τ )y (t − τ ) Calcul de l’intégrale de x(τ )y (t − τ )

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Produit de convolution : Illustration 1

Retournement du signal : g (t) → g (−t)

2

Translation du signal de t : → g (x − t)

3

Produit entre Translation du signal de t : f (t)y (x − t)

4

Calcul de l’intégrale de f (t)y (x − t) → f ? y (x) Bases du traitement des images 21 / 60

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Propriétés principales de la TF 1d I

Linéarité : TF [ax(t) + by (t)] = aX (f ) + bY (f )

I

Contraction du domaine : TF [x(αt)] =

1 |α| X

f α




Translation temporelle : TF [x(t − t0 )] = X (f ) · e −i2πt0 t   I Modulation temporelle : TF x(t) · e −i2πf0 t = X (f − f0 )

I

I

Produit de convolution (démo en TD) : • TF [x(t) ? y (t)] = X (f ) · Y (f ) • TF [x(t) · y (t)] = X (f ) ? Y (f ) • Cette propriété est très importante pour le filtrage : correspondance entre le filtrage spatial et le filtrage fréquentiel (voir le cours 5)

I

si x(t) réelle ⇒ symétrie Hermitienne : X (f ) = X ∗ (−f ), donc • |X (−f )| = |X (f )| : module pair (idem partie réelle) • Phase et partie imaginaire impaires • Tous les signaux et images sont réels, on aura donc toujours un module pair |X (−f )| = |X (f )| (symétrie par rapport à l’axe y ) Bases du traitement des images 22 / 60

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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d Transformée de Fourier d’une fonction porte I

I

la fonction "Porte" est définie de la manière suivante :  1 si |t| ≤ 21 Rect(t) = 0 sinon

(9)

La transformée de Fourier d’un signal porte (fonction rectangle) est un sinus cardinal (démo en TD) h

TF Rect

 t i a

Z

+ 2a

= − 2a

e −i2πft dt = a

sin(πfa) = a sinc(πfa) πfa

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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d Transformée de Fourier d’une fonction porte h  t i TF Rect = a sinc(πfa) a

I

Très utilisé pour la numérisation des signaux - fenêtrage et échantillonnage - (voir cours 4) Bases du traitement des images 24 / 60

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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d

Transformée de Fourier d’une gaussienne I

La transformée de Fourier d’une gaussiene est une gaussienne h i √π π 2 f 2 −b 2 t 2 e − b2 TF e = |b|

I

Écart-type de la Gaussienne dans le domaine fréquenctielle inversement proportionnel à l’écart-type dans le domaine temporel

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TF : Outils mathématiques Distributions : Distribution de Dirac δ(t) I

Définition informelle :  O si t 6= 0 δ(t) = ∞ sinon

avec I

R +∞ −∞

δ(t)dt = 1.

Intuitivement : peut être interprété comme la limite d’une fonction porte de longueur nulle  :
 δ(t) = lim 1a Rect at . a→0

Bases du traitement des images 26 / 60

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TF : Outils mathématiques Distribution de Dirac δ(t) I

Formellement, δ(t) n’est pas une fonction mais une distribution • Généralisation de la notion de fonction

I

δ(t) joue un rôle central en traitement du signal et des images • Convolution et TF (ce cours) : δ(t) intervient pour la TF de fonctions de base • Échantillonnage des signaux 1d et 2d (cours 4)

I

Propriétés essentielles : R +∞ • −∞ δ(t)dt = 1. • x(t) · δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 ) • x(t) ? δ(t − t0 ) = x(t − t0 ) : δ(t) élément neutre pour la convolution • Transformée de Fourier :   TF e 2iπf0 t = δ(f − f0 ) : fréquence pure f0 TF [δ(t − t0 )] = e −2iπft0 : toutes les fréquences présentes

• scaling property : |α| · δ(αt) = δ(t) Bases du traitement des images 27 / 60

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TF 1D : exemples simples TF d’une fonction cosinus : x(t) = cos(2πfo t) TF [cos(2πfo t)] =

w0 = 2πf0 I

1 · [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 2

(10)

Fréquence pure ±f0

Voir TD : TF réelle Bases du traitement des images 28 / 60

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TF 1D : exemples simples TF d’une fonction sinus : x(t) = sin(2πfo t) TF [sin(2πfo t)] =

i · [δ(f + f0 ) − δ(f − f0 )] 2

x(t) = sin(2πfo t) I

(11)

Fréquence pure ±f0

Voir TD : TF imaginaire pure Bases du traitement des images 29 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal : exemples simples

Bases du traitement des images 30 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal : exemple avec du bruit

Bases du traitement des images 31 / 60

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Outline

1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu

3

TF 2D Calcul de la Transformée Différences et Similitudes TF 1D vs TF 2D

4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

Bases du traitement des images 32 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Définitions I

Si on considère un signal continu x(t, u), alors sa transformée de Fourier X (f , g ) est donnée par : Z

+∞

Z

+∞

X (f , g ) = −∞

I

x(t, u)e −i2π(ft+gu) dtdu

avec (f , g ) ∈ R2

−∞

Interprétation : projection de x(t, u) sur un ensemble de fonctions 2d de base {exp (2iπ(ft + gu))}, (f , g ) ∈ IR2 = images de base • X (f , g ) =< x(t, u); e i2π(ft+gu) > : produit scalaire entre x(t, u) et la fonction 2d e i2π(ft+gu)

Bases du traitement des images 33 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal 2D continu X (f , g ) =< x(t, u); e −i2π(ft+gu) dtdu > : e i2π(ft+gu) image de base

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Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Définitions R +∞ R +∞

I

Partie réelle XR (f , g ) = paire.

I

Partie imaginaire R +∞ R +∞ XI (f , g ) = − −∞ −∞ x(t, u) sin (2π(ft + gu)) dtdu impaire.

−∞

−∞

x(t, u) cos (2π(ft + gu)) dtdu

Module, ou p spectre d’amplitude |X (f , g )| = XR (f , g )2 + XI (f , g )2 .   I Phase Φ(f , g ) = arctan XI (f ,g ) . XR (f ,g )

I

I

La fréquence fondamentale, pour f = g = 0, R +∞ R +∞ X (0, 0) = −∞ −∞ x(t, u)dtdu Bases du traitement des images 35 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Reconstruction I

On peut reconstruire le signal x(t, u) à partir de sa représentation fréquentielle X (f , g ) par la formule : Z

+∞

Z

+∞

x(t, u) = −∞

I

X (f , g )e i2π(ft+gu) dfdg

−∞

Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée : Z +∞ Z +∞ x(t, u) = < x(t, u); Φf ,g (t, u) > Φf ,g (t, u)dfdg (12) −∞

−∞

avec Φf ,g (t, u) = e i2π(ft+gu) Bases du traitement des images 36 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal 2D Composantes fréquentielles en 2d

I

Basses fréquences spatiales : f 2 + g 2 faible

I

Hautes fréquences spatiales : f 2 + g 2 élévé Bases du traitement des images 37 / 60

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TF 2D : un premier exemple

x(t, u) = cos(2πf0 t) +f0 )) X (f , g ) = δ(f −f0 )+δ(f 2 (voir TD)

TF [A cos [2πfo (x cos(θ) + y sin(θ))]] = ? ? (Voir TD) Bases du traitement des images 38 / 60

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TF 2D : un second exemple Fonction Porte 2D : x(t, u) = Rect

t T




· Rect

u T




x(t, u)

X (f , g ) X (f , g ) sinc 2D (voir TD)

Bases du traitement des images 39 / 60

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Applications

Outline

1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu

3

TF 2D Calcul de la Transformée Différences et Similitudes TF 1D vs TF 2D

4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

Bases du traitement des images 40 / 60

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Transformée de Fourier d’un signal 2D

Passage du 1D au 2D I

La TD 2D : une extension assez naturelle de la TF 1D • Beaucoup de propriétés communes • Quelques spécificités liées au 2D

I

TF 2D : ∼ 2 TF 1D sucessives (voir TD ) • X (f , g ) = TF [Z (f , u)] : extension directe 1D

I

Si x(t, u) séparable x(t, u) = z(t) · k(u), on a : X (f , g ) = Z (f ) · K (g ), avec Z (u) = TF [z(t)] et K (g ) = TF [k(u)] • Produit simple de 2 TF 1D

Bases du traitement des images 41 / 60

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TF 1D et 2D : propriétés communes

1 2 3 4 5

TF continue 1D x(t) X(f) x(t) + λy (t) X (f ) + λY (f ) x(t − t0 ) X (f ) e −2iπft0 f 1 X(α ) x(αt) |α| x(t) ? y (t) X (f ) · Y (f ) x(t) · y (t) X (f ) ? Y (f )

TF continue 2D x (t,u) X(f,g) x(t, u) + λy (t, u) X (f , g ) + λY (f , g ) x(t − t0 , u − u0 ) X (f , g ) e −2iπ(ft0 +gu0 ) f g 1 X(α , β) x(αt, βu) |α||β| x(t, u) ? y (t, u) X (f , g ) · Y (f , g ) x(t, u) · y (t, u) X (f , g ) ? Y (f , g )

Table – Propriétés des TF continues 1D et 2D

1

linéarité

2

translation

3

contraction

4

convolution

5

produit Bases du traitement des images 42 / 60

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TTF 1D et 2D : propriétés communes

Illustration des propriétés

Bases du traitement des images 43 / 60

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TF 1D

TF 2D

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TF : spécificités de la 2D Notion de fréquence spatiale I

Image : I : (x, y ) → I (x, y ) : fonction 2d à valeur dans IR

I

Fréquence spatiale : "vitesse" de variation du signal I(x,y) (luminance) par rapport aux variables spatiale (x,y)

Basse fréquence spatiale

Haute fréquence spatiale Bases du traitement des images 44 / 60

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TF : spécificités de la 2D Notion de fréquence spatiale I

Images réelles : signaux non stationnaires

I

6= fréquences spatiales (hautes/basses) dans 6= régions

Bases du traitement des images 45 / 60

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TF : spécificités de la 2D

Rotation I

Une rotation d’angle α dans le domaine spatial se traduit par une rotation d’angle α dans le domaine fréquentiel TF [x (t cos θ + u sin θ, −t sin θ + u cos θ)] = X (f cos θ + g sin θ, −f sin θ + g cos θ)

I

Important : la réponse fréquenielle de X (f , g ) comporte une information structurelle sur la direction des fréquences spatiales

Bases du traitement des images 46 / 60

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TF 1D

TF 2D

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TF 2D : exemple de rotation

Bases du traitement des images 47 / 60

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TF 2D

Applications

TF 2D : rotation I

Important : la réponse fréquenielle de X (f , g ) comporte une information structurelle sur la direction des fréquences spatiales

I

Exemples sur des textures

Bases du traitement des images 48 / 60

Analyse fréquentielle

TF 1D

TF 2D

Applications

Exemples sur des images réelles

I

Les lignes directrices fortement représentées dans les images sont mises en valeur dans les spectres

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Analyse fréquentielle

TF 1D

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Applications

TF 2D : Visualisation Spectre centré : matlab I

Fonction matlab pour le calcul de la FT 2D : fft2 • fft2 Transformée de Fourier discrète (DFT) → voir cours 4

I

fft2 :origine du spectre (composante continue) : en haut à gauche

I

Plus naturel de voir l’origine des fréquences au centre du spectre I

Ne change pas le contenu dans le spectre, juste son agencement

I

Opération de centrage : multiplier chaque pixel de coordonnées (i, j) par (−1)i+j

I

Cela met en avant la propriété de symétrie des spectres par rapport à F (0, 0) : |F (u, v )| = |F (−u, −v )|

I

Fonction fftshift sous matlab Bases du traitement des images 50 / 60

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Spectre centré : illustration

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Visualisation de la TF 2D hautes/basses fréquences sur les images réelles I

énergie BF >> HF ⇒ visualiser 1 + log (|X (f , g )|)

|X (f , g )|

1 + log (|X (f , g )|) Bases du traitement des images 52 / 60

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TF 1D

TF 2D

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Outline

1

Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2

Transformée de Fourier d’un signal 1D continu

3

TF 2D

4

Applications de la TF 2D pour le traitement d’images

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Utilisation de la TF pour les images I

Transformée de Fourier : représentation fréquentielle d’une image

I

On passe dans un autre espace de représentation, rappel en 1D : 1 Représentation temporelle : décomposition de la fonction sur une

base de distributions de dirac : Z x(u)δ(t − u)du

x(t) = x(t) ? δ(t) =

(13)

R

2 Représentation fréquentielle : décomposition de la fonction sur une

base de fonctions sinusidales (Fourier) Z x(t) = X (f )e 2iπft df

(14)

R

I

Utilisation de la TF ⇒ Hypothèse fondamentale : espace fréquentiel > espace temporel pour représenter les données • espace fréquentiel plus efficace pour séparer l’information "utile" de l’information "inutile" • "utile"/inutile dépendant du contexte applicatif visé Bases du traitement des images 54 / 60

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Applications de la TF Débruitage I

Formulation du problème : isoler le signal du bruit

I

Hypothèse : le bruit et le signal utile vont être portés par des composantes fréquentielles 6= : signal ⇔ BF, bruit ⇔ HF

I

Méthodologie du débruitage : composantes fréquentielles correspond aux hautes fréquences ← 0

Image originale

Image bruitée

Image débruitée Bases du traitement des images 55 / 60

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Applications de la TF Compression I

Formulation : représenter efficacement le signal (peu de composantes)

I

Hypothèse : Hautes Fréquences : énergie négligeable

I

Méthodologie : ne conserver que les BF

Image brute Image compressée (/2) ⇒ Idée à la base de la norme JPEG, voir TME 4 Bases du traitement des images 56 / 60

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Applications de la TF De nombreuses autres utilisations de l’analyse fréquentielle I

Débruitage, compression, restauration : opérations bas niveau

I

TF aussi beaucoup utilisée pour des tâches plus haut niveau

I

Filtrage linéaire (cours 5) : covolution domaine spatial ↔ multiplication domaine Fourier : opérations duales

I

Filtrage : étape préliminaire à de très nombreuses applications en traitement d’images, e.g. reconnaissance des formes : • Détection de contours (cours 6), détection et description de points d’intétêt, e.g. Harris, SIFT (cours 7-8), représenter texture, etc

TF : bilan I

TF bien adapté pour représenter les signaux 1 réguliers 2 périodiques, stationnaires Bases du traitement des images 57 / 60

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TF : limites Signaux non stationnaires I

TF : on connait les fréquences spatiales de l’image • perte totale de l’information de localisation (spatiale) des fréquences

I

Images : contenu fréquentiel différent dans différentes régions

I

Avoir des espace de représentation temps (espace)-fréquences • e.g. ondelettes Bases du traitement des images 58 / 60

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TF : limites Signaux non réguliers I

TF : nécessite un nombre ∞ de coeffs pour représenter des fonctions non dérivables • phénomène de Gibbs

I

Pas adapté pour tout ce qui est contours dans les images

I

JPEG par adapté pour la compression des images comportant beaucoup de contours (e.g. texte) Bases du traitement des images 59 / 60

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