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Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
Applications
Bases du traitement des images I Transformée de Fourier J
Nicolas Thome
27 septembre 2016
Bases du traitement des images 1 / 60
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Applications
Transformée de Fourier Contexte et objectif I
Transformée de Fourier (TF) : outil fondamental en traitement d’images
I
Concept abordé durant les 4 prochaines séances : • • • •
I
Aujourd’hui (cours 3) : présentation de la TF et des applications cours 4 : numérisation et Transformée de Fourier Discrète (TFD) cours 5 : filtrage linéaire ⇒ traitement fréquentiel cours 6 : détection de contours : filtrage (linéaire) particulier
Aujourd’hui : objectifs • Comprendre l’espace de représentation Fourier Changement d’espace : temporel (spatial) ⇒ fréquentiel Et son intérêt pour des applications en traitement d’images
• Introduction d’outils mathématiques (convolution, Dirac, TF usuelles) importants pour la suite • Définition et propriétés de la TF 2d (images) Savoir calculer, visualiser et interpréter la TF Bases du traitement des images 2 / 60
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Outline
1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D Série de Fourier
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3
TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
Bases du traitement des images 3 / 60
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Analyse Fréquentielle des signaux Décomposition en Série de Fourier d’une fonction 1D périodique I
Soit x(t) est une fonction réelle (ou complexe) périodique de période T , on a : x(t) =
k=∞ X 1 2kπt 2kπt a0 + (ak cos( ) + bk sin( )) 2 T T
(1)
k=1
I
les coefficients ak et bk sont calculés par : RT ak = T2 0 x(t)cos( 2kπt T )dt RT bk = T2 0 x(t)sin( 2kπt T )dt
(2)
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Série de Fourier d’une fonction périodique
Écriture avec amplitude et phase I
Posons rk =
p
ak2 + bk2
θk tel que : cos θk = I
ak rk
et sin θk =
bk rk
,
La formule (1) devient alors :
x(t) =
k=∞ X k=1
rk cos(
2kπt − θk ) T
(3)
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Série de Fourier d’une fonction périodique Écriture avec l’exponentielle complexe : exp(iz) = cos(z) + i sin(z) exp(kiz) = (cos(z) + i sin(z))k = cos(kz) + i sin(kz) cos(kiz) = exp(kiz)+exp(−kiz) sin(kiz) = exp(kiz)−exp(−kiz) 2 2i k=∞ P 2kπt (ak cos( 2kπt x(t) = 12 a0 + T ) + bk sin( T )) k=1
En reportant on obtient : 1a + x(t) = 2 0
x(t) =
1 a 2 0
k=∞ P ak 2 k=1
+
h i k=∞ i P bk h exp i2πkt + exp −i2πkt + exp i2πkt − exp −i2πkt T T 2i T T
k=∞ P k=1
k=1
exp
i2πkt T
h
ak 2
− i b2k
i
+
k=∞ P
exp
k=1
−i2πkt T
h
ak 2
+ i b2k
i
k 0 ← −k (2nde somme), a−k = ak , b−k = −bk h i h i k=−1 k=∞ P P ak ak x(t) = 12 a0 + exp i2πkt − i b2k + exp i2πkt − i b2k T 2 T 2 k=1
k=−∞
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Série de Fourier d’une fonction périodique Écriture avec l’exponentielle complexe : x(t) =
1 a 2 0
+
k=∞ P k=1 ak 2
On pose : ck =
exp
i2πkt T
h
− i b2k
ak 2
i
+
k=−1 P
exp
k=−∞
i2πkt T
h
ak 2
− i b2k
i
− i b2k , on a alors : k=∞ X
x(t) =
2ikπt ) T
(4)
−2iπkt )dt T
(5)
ck exp(
k=−∞
avec : ck =
I
1 T
Z
T
x(t) exp( 0
Apparition de fonctions de base exp
2ikπt T
avec fréquence
k T
=
¯ f (t)g (t)dt
avec f ∈ R
(6)
−∞
¯ est le conjugué de g (t) où g (t) I
Interprétation de la décomposition en série de fourier : RT ck = T1 0 x(t) exp( −2iπkt )dt =< x, exp( 2iπkt T T ) > : projection de la fonction x(t) sur la fonction complexe sinusoïdale exp( 2iπkt T ) • fréquence "pure" f0 =
k T
I On peut montrer que exp( 2iπkt ) , k ∈ {−∞; +∞} forment une T base orthonormée de L2 ([0, T ]) (exercice) Bases du traitement des images 8 / 60
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Série de Fourier : Interprétation graphique
I
1t exp( 2iπk T )
2t exp( 2iπk T )
ck1 3t exp( 2iπk T )
ck2 4t exp( 2iπk T )
ck3
ck4
Soit un signal x(t)
x(t) =
P k
ck exp( 2ikπt T )
ck =< x, exp( 2iπkt T )>
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Série de Fourier : Interprétation graphique Fonction de base bk = exp( 2ikπt T )
Signal x(t)
x(t) =
k=∞ X k=−∞
ck exp(
2ikπt ) T
ck =< x, exp(
2iπkt )> T
=⇒ le produit scalaire ck mesure la similarité entre le signal x(t) à représenter et chacune des fonctions sinusoïdales I
Degré de présence de la fréquence "pure" de la fonction exp( 2iπkt T ) Bases du traitement des images 10 / 60
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Série de Fourier : conclusion Changement d’espace de représentation x(t) =
k=∞ X
ck exp(
k=−∞
2ikπt ) T
ck =< x, exp(
2iπkt )> T
I
Toute fonction périodique peut etre reconstruite dans la base de Fourier, il suffit de connaître les ck
I
Les ck indiquent : • les composantes fréquentielles contenues dans un signal • leur "niveau" de présence
I
Exemple : x(t) = cos(2π Tt ) : ck =
1/2 0
si k = ±1 sinon
• Projection sur la base des exp( 2iπkt ) , k ∈ {−∞; +∞} T • Projection = 6 0 : seules les fonctions de base exp( 2iπ ) et exp( −2iπ ) T T Bases du traitement des images 11 / 60
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1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Calcul de la Transformée Outils Mathématiques & TF usuelles
3
TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Décomposition en série de Fourier → Transformée de Fourier I
Tout signal périodique est décomposable en série de Fourier
I
Signal non périodique : cas limite d’un signal périodique qd T → ∞
I
Si x(t), n’est pas pérdiodique, il est nécessaire de considérer la projection du signal sur une base "continue" de fontions au lieu de la base dénombrable exp( 2iπkt T ) , k ∈ {−∞; +∞}
I
Définition : la transformée de Fourier X (f ) est donnée par : Z
+∞
X (f ) =
x(t)e −i2πft dt
avec f ∈ R
−∞
I
Transformée de Fourier d’une fonction : généralisation au cas non périodique du calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique. Bases du traitement des images 13 / 60
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Transformée de Fourier d’un signal Interprétation Z X (f ) =
+∞
x(t)e −i2πft dt = hx, ei2πft i avec f ∈ R
−∞ I
on projette x(t) sur un ensemble de fonctions continues (i.e. non dénombrables) {exp(2iπft)}, f ∈ {−∞; +∞} , on obtient donc un ensemble de projections continues X (f )
I
TF : x(t) → X (f ), X (f ) fonction de la variable continue f .
I
X (f ) extrait une information fréquentielle sur le signal x(t) • La fréquence f est-elle présente dans le signal x(t) ? A quel "degré" ? • si x(t) est T − périodique, on retombe sur la décomposition en Série de Fourier : X (f ) = 0 sauf pour f = Tk , k ∈ {−∞; +∞} où X (f ) = ck Bases du traitement des images 14 / 60
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I
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exp(2iπf1 t)
exp(2iπf2 t)
X (f1 ) =< x, exp(2iπf1 t) >
X (f2 ) =< x, exp(2iπf2 t) >
exp(2iπf3 t)
exp(2iπf4 t)
X (f3 ) =< x, exp(2iπf3 t) >
X (f4 ) =< x, exp(2iπf4 t) >
Soit un signal x(t)
X (f ) =< x, exp(2iπft) >
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Transformée de Fourier d’un signal Interprétation : hautes et basses fréquences d’un signal I
Hautes fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | important : variations rapides du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | gd
I
Basses fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | faible : variations lentes du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | faible
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Transformée de Fourier d’un signal Remarque I
Les X (f ) sont des nombres complexes R +∞ • La partie réelle XR (f ) = −∞ x(t) cos (2πft) dt est paire R +∞ • La partie imaginaire XI (f ) = − −∞ x(t) sin (2πft) dt est impaire
I
Deux informations importantes à regarder : p • le module, ou spectre d’amplitude |X (f )| = XR (f )2 + XI (f )2 ; • le module représente l’intensité de la projection sur la fonction de base considérée • la phase Φ(f ) = arctan XXI (f(f )) . R • la phase représente le déphasage entre x(t) et la fonction de base considérée
I
f = 0 : fréquence fondamentale, représente la valeur moyenne du signal : Z +∞ X (0) = x(t)dt −∞ Bases du traitement des images 17 / 60
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Transformée de Fourier Inverse Inversion de la TF I
On peut reconstruire le signal x(t) à partir de sa représentation fréquentielle X (f ) par la formule : Z
+∞
x(t) =
X (f )e i2πft df
−∞
I
En terme de projection (produit scalaire) Z
+∞
< x(t); Φf (t) > Φf (t)df
x(t) =
(7)
−∞
avec Φf (t) = e i2πft I
On peut donc reconstruire le signal par "sommation" des projections • Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée Bases du traitement des images 18 / 60
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1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu Calcul de la Transformée Outils Mathématiques & TF usuelles
3
TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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TF : Outils mathématiques Produit de convolution I
l’opérateur ? est le produit de convolution entre signaux. Considérons deux signaux x(t) et y (t), le produit de convolution entre x et y calculé comme suit : Z +∞ z =x ?y = x(τ )y (t − τ )dτ (8) −∞
I
Etapes : 1 2 3 4
Retournement du signal : y (τ ) → y (−τ ) Translation du signal de t : → y (t − τ ) Produit entre Translation du signal de t : x(τ )y (t − τ ) Calcul de l’intégrale de x(τ )y (t − τ )
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Produit de convolution : Illustration 1
Retournement du signal : g (t) → g (−t)
2
Translation du signal de t : → g (x − t)
3
Produit entre Translation du signal de t : f (t)y (x − t)
4
Calcul de l’intégrale de f (t)y (x − t) → f ? y (x) Bases du traitement des images 21 / 60
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Propriétés principales de la TF 1d I
Linéarité : TF [ax(t) + by (t)] = aX (f ) + bY (f )
I
Contraction du domaine : TF [x(αt)] =
1 |α| X
f α
Translation temporelle : TF [x(t − t0 )] = X (f ) · e −i2πt0 t I Modulation temporelle : TF x(t) · e −i2πf0 t = X (f − f0 )
I
I
Produit de convolution (démo en TD) : • TF [x(t) ? y (t)] = X (f ) · Y (f ) • TF [x(t) · y (t)] = X (f ) ? Y (f ) • Cette propriété est très importante pour le filtrage : correspondance entre le filtrage spatial et le filtrage fréquentiel (voir le cours 5)
I
si x(t) réelle ⇒ symétrie Hermitienne : X (f ) = X ∗ (−f ), donc • |X (−f )| = |X (f )| : module pair (idem partie réelle) • Phase et partie imaginaire impaires • Tous les signaux et images sont réels, on aura donc toujours un module pair |X (−f )| = |X (f )| (symétrie par rapport à l’axe y ) Bases du traitement des images 22 / 60
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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d Transformée de Fourier d’une fonction porte I
I
la fonction "Porte" est définie de la manière suivante : 1 si |t| ≤ 21 Rect(t) = 0 sinon
(9)
La transformée de Fourier d’un signal porte (fonction rectangle) est un sinus cardinal (démo en TD) h
TF Rect
t i a
Z
+ 2a
= − 2a
e −i2πft dt = a
sin(πfa) = a sinc(πfa) πfa
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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d Transformée de Fourier d’une fonction porte h t i TF Rect = a sinc(πfa) a
I
Très utilisé pour la numérisation des signaux - fenêtrage et échantillonnage - (voir cours 4) Bases du traitement des images 24 / 60
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Transformée de Fourier de signaux usuels 1d
Transformée de Fourier d’une gaussienne I
La transformée de Fourier d’une gaussiene est une gaussienne h i √π π 2 f 2 −b 2 t 2 e − b2 TF e = |b|
I
Écart-type de la Gaussienne dans le domaine fréquenctielle inversement proportionnel à l’écart-type dans le domaine temporel
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TF : Outils mathématiques Distributions : Distribution de Dirac δ(t) I
Définition informelle : O si t 6= 0 δ(t) = ∞ sinon
avec I
R +∞ −∞
δ(t)dt = 1.
Intuitivement : peut être interprété comme la limite d’une fonction porte de longueur nulle : δ(t) = lim 1a Rect at . a→0
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TF : Outils mathématiques Distribution de Dirac δ(t) I
Formellement, δ(t) n’est pas une fonction mais une distribution • Généralisation de la notion de fonction
I
δ(t) joue un rôle central en traitement du signal et des images • Convolution et TF (ce cours) : δ(t) intervient pour la TF de fonctions de base • Échantillonnage des signaux 1d et 2d (cours 4)
I
Propriétés essentielles : R +∞ • −∞ δ(t)dt = 1. • x(t) · δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 ) • x(t) ? δ(t − t0 ) = x(t − t0 ) : δ(t) élément neutre pour la convolution • Transformée de Fourier : TF e 2iπf0 t = δ(f − f0 ) : fréquence pure f0 TF [δ(t − t0 )] = e −2iπft0 : toutes les fréquences présentes
• scaling property : |α| · δ(αt) = δ(t) Bases du traitement des images 27 / 60
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TF 1D : exemples simples TF d’une fonction cosinus : x(t) = cos(2πfo t) TF [cos(2πfo t)] =
w0 = 2πf0 I
1 · [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 2
(10)
Fréquence pure ±f0
Voir TD : TF réelle Bases du traitement des images 28 / 60
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TF 1D : exemples simples TF d’une fonction sinus : x(t) = sin(2πfo t) TF [sin(2πfo t)] =
i · [δ(f + f0 ) − δ(f − f0 )] 2
x(t) = sin(2πfo t) I
(11)
Fréquence pure ±f0
Voir TD : TF imaginaire pure Bases du traitement des images 29 / 60
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Applications
Transformée de Fourier d’un signal : exemples simples
Bases du traitement des images 30 / 60
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Transformée de Fourier d’un signal : exemple avec du bruit
Bases du traitement des images 31 / 60
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1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3
TF 2D Calcul de la Transformée Différences et Similitudes TF 1D vs TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
Bases du traitement des images 32 / 60
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Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Définitions I
Si on considère un signal continu x(t, u), alors sa transformée de Fourier X (f , g ) est donnée par : Z
+∞
Z
+∞
X (f , g ) = −∞
I
x(t, u)e −i2π(ft+gu) dtdu
avec (f , g ) ∈ R2
−∞
Interprétation : projection de x(t, u) sur un ensemble de fonctions 2d de base {exp (2iπ(ft + gu))}, (f , g ) ∈ IR2 = images de base • X (f , g ) =< x(t, u); e i2π(ft+gu) > : produit scalaire entre x(t, u) et la fonction 2d e i2π(ft+gu)
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Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D continu X (f , g ) =< x(t, u); e −i2π(ft+gu) dtdu > : e i2π(ft+gu) image de base
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Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Définitions R +∞ R +∞
I
Partie réelle XR (f , g ) = paire.
I
Partie imaginaire R +∞ R +∞ XI (f , g ) = − −∞ −∞ x(t, u) sin (2π(ft + gu)) dtdu impaire.
−∞
−∞
x(t, u) cos (2π(ft + gu)) dtdu
Module, ou p spectre d’amplitude |X (f , g )| = XR (f , g )2 + XI (f , g )2 . I Phase Φ(f , g ) = arctan XI (f ,g ) . XR (f ,g )
I
I
La fréquence fondamentale, pour f = g = 0, R +∞ R +∞ X (0, 0) = −∞ −∞ x(t, u)dtdu Bases du traitement des images 35 / 60
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Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D continu Reconstruction I
On peut reconstruire le signal x(t, u) à partir de sa représentation fréquentielle X (f , g ) par la formule : Z
+∞
Z
+∞
x(t, u) = −∞
I
X (f , g )e i2π(ft+gu) dfdg
−∞
Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée : Z +∞ Z +∞ x(t, u) = < x(t, u); Φf ,g (t, u) > Φf ,g (t, u)dfdg (12) −∞
−∞
avec Φf ,g (t, u) = e i2π(ft+gu) Bases du traitement des images 36 / 60
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Transformée de Fourier d’un signal 2D Composantes fréquentielles en 2d
I
Basses fréquences spatiales : f 2 + g 2 faible
I
Hautes fréquences spatiales : f 2 + g 2 élévé Bases du traitement des images 37 / 60
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TF 2D
Applications
TF 2D : un premier exemple
x(t, u) = cos(2πf0 t) +f0 )) X (f , g ) = δ(f −f0 )+δ(f 2 (voir TD)
TF [A cos [2πfo (x cos(θ) + y sin(θ))]] = ? ? (Voir TD) Bases du traitement des images 38 / 60
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TF 2D : un second exemple Fonction Porte 2D : x(t, u) = Rect
t T
· Rect
u T
x(t, u)
X (f , g ) X (f , g ) sinc 2D (voir TD)
Bases du traitement des images 39 / 60
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Applications
Outline
1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3
TF 2D Calcul de la Transformée Différences et Similitudes TF 1D vs TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
Bases du traitement des images 40 / 60
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TF 2D
Applications
Transformée de Fourier d’un signal 2D
Passage du 1D au 2D I
La TD 2D : une extension assez naturelle de la TF 1D • Beaucoup de propriétés communes • Quelques spécificités liées au 2D
I
TF 2D : ∼ 2 TF 1D sucessives (voir TD ) • X (f , g ) = TF [Z (f , u)] : extension directe 1D
I
Si x(t, u) séparable x(t, u) = z(t) · k(u), on a : X (f , g ) = Z (f ) · K (g ), avec Z (u) = TF [z(t)] et K (g ) = TF [k(u)] • Produit simple de 2 TF 1D
Bases du traitement des images 41 / 60
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TF 2D
Applications
TF 1D et 2D : propriétés communes
1 2 3 4 5
TF continue 1D x(t) X(f) x(t) + λy (t) X (f ) + λY (f ) x(t − t0 ) X (f ) e −2iπft0 f 1 X(α ) x(αt) |α| x(t) ? y (t) X (f ) · Y (f ) x(t) · y (t) X (f ) ? Y (f )
TF continue 2D x (t,u) X(f,g) x(t, u) + λy (t, u) X (f , g ) + λY (f , g ) x(t − t0 , u − u0 ) X (f , g ) e −2iπ(ft0 +gu0 ) f g 1 X(α , β) x(αt, βu) |α||β| x(t, u) ? y (t, u) X (f , g ) · Y (f , g ) x(t, u) · y (t, u) X (f , g ) ? Y (f , g )
Table – Propriétés des TF continues 1D et 2D
1
linéarité
2
translation
3
contraction
4
convolution
5
produit Bases du traitement des images 42 / 60
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TTF 1D et 2D : propriétés communes
Illustration des propriétés
Bases du traitement des images 43 / 60
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Applications
TF : spécificités de la 2D Notion de fréquence spatiale I
Image : I : (x, y ) → I (x, y ) : fonction 2d à valeur dans IR
I
Fréquence spatiale : "vitesse" de variation du signal I(x,y) (luminance) par rapport aux variables spatiale (x,y)
Basse fréquence spatiale
Haute fréquence spatiale Bases du traitement des images 44 / 60
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Applications
TF : spécificités de la 2D Notion de fréquence spatiale I
Images réelles : signaux non stationnaires
I
6= fréquences spatiales (hautes/basses) dans 6= régions
Bases du traitement des images 45 / 60
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TF : spécificités de la 2D
Rotation I
Une rotation d’angle α dans le domaine spatial se traduit par une rotation d’angle α dans le domaine fréquentiel TF [x (t cos θ + u sin θ, −t sin θ + u cos θ)] = X (f cos θ + g sin θ, −f sin θ + g cos θ)
I
Important : la réponse fréquenielle de X (f , g ) comporte une information structurelle sur la direction des fréquences spatiales
Bases du traitement des images 46 / 60
Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
Applications
TF 2D : exemple de rotation
Bases du traitement des images 47 / 60
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TF 2D
Applications
TF 2D : rotation I
Important : la réponse fréquenielle de X (f , g ) comporte une information structurelle sur la direction des fréquences spatiales
I
Exemples sur des textures
Bases du traitement des images 48 / 60
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TF 2D
Applications
Exemples sur des images réelles
I
Les lignes directrices fortement représentées dans les images sont mises en valeur dans les spectres
Bases du traitement des images 49 / 60
Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
Applications
TF 2D : Visualisation Spectre centré : matlab I
Fonction matlab pour le calcul de la FT 2D : fft2 • fft2 Transformée de Fourier discrète (DFT) → voir cours 4
I
fft2 :origine du spectre (composante continue) : en haut à gauche
I
Plus naturel de voir l’origine des fréquences au centre du spectre I
Ne change pas le contenu dans le spectre, juste son agencement
I
Opération de centrage : multiplier chaque pixel de coordonnées (i, j) par (−1)i+j
I
Cela met en avant la propriété de symétrie des spectres par rapport à F (0, 0) : |F (u, v )| = |F (−u, −v )|
I
Fonction fftshift sous matlab Bases du traitement des images 50 / 60
Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
Applications
Spectre centré : illustration
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Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
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Visualisation de la TF 2D hautes/basses fréquences sur les images réelles I
énergie BF >> HF ⇒ visualiser 1 + log (|X (f , g )|)
|X (f , g )|
1 + log (|X (f , g )|) Bases du traitement des images 52 / 60
Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
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Outline
1
Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D
2
Transformée de Fourier d’un signal 1D continu
3
TF 2D
4
Applications de la TF 2D pour le traitement d’images
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Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
Applications
Utilisation de la TF pour les images I
Transformée de Fourier : représentation fréquentielle d’une image
I
On passe dans un autre espace de représentation, rappel en 1D : 1 Représentation temporelle : décomposition de la fonction sur une
base de distributions de dirac : Z x(u)δ(t − u)du
x(t) = x(t) ? δ(t) =
(13)
R
2 Représentation fréquentielle : décomposition de la fonction sur une
base de fonctions sinusidales (Fourier) Z x(t) = X (f )e 2iπft df
(14)
R
I
Utilisation de la TF ⇒ Hypothèse fondamentale : espace fréquentiel > espace temporel pour représenter les données • espace fréquentiel plus efficace pour séparer l’information "utile" de l’information "inutile" • "utile"/inutile dépendant du contexte applicatif visé Bases du traitement des images 54 / 60
Analyse fréquentielle
TF 1D
TF 2D
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Applications de la TF Débruitage I
Formulation du problème : isoler le signal du bruit
I
Hypothèse : le bruit et le signal utile vont être portés par des composantes fréquentielles 6= : signal ⇔ BF, bruit ⇔ HF
I
Méthodologie du débruitage : composantes fréquentielles correspond aux hautes fréquences ← 0
Image originale
Image bruitée
Image débruitée Bases du traitement des images 55 / 60
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TF 2D
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Applications de la TF Compression I
Formulation : représenter efficacement le signal (peu de composantes)
I
Hypothèse : Hautes Fréquences : énergie négligeable
I
Méthodologie : ne conserver que les BF
Image brute Image compressée (/2) ⇒ Idée à la base de la norme JPEG, voir TME 4 Bases du traitement des images 56 / 60
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TF 1D
TF 2D
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Applications de la TF De nombreuses autres utilisations de l’analyse fréquentielle I
Débruitage, compression, restauration : opérations bas niveau
I
TF aussi beaucoup utilisée pour des tâches plus haut niveau
I
Filtrage linéaire (cours 5) : covolution domaine spatial ↔ multiplication domaine Fourier : opérations duales
I
Filtrage : étape préliminaire à de très nombreuses applications en traitement d’images, e.g. reconnaissance des formes : • Détection de contours (cours 6), détection et description de points d’intétêt, e.g. Harris, SIFT (cours 7-8), représenter texture, etc
TF : bilan I
TF bien adapté pour représenter les signaux 1 réguliers 2 périodiques, stationnaires Bases du traitement des images 57 / 60
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TF : limites Signaux non stationnaires I
TF : on connait les fréquences spatiales de l’image • perte totale de l’information de localisation (spatiale) des fréquences
I
Images : contenu fréquentiel différent dans différentes régions
I
Avoir des espace de représentation temps (espace)-fréquences • e.g. ondelettes Bases du traitement des images 58 / 60
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TF : limites Signaux non réguliers I
TF : nécessite un nombre ∞ de coeffs pour représenter des fonctions non dérivables • phénomène de Gibbs
I
Pas adapté pour tout ce qui est contours dans les images
I
JPEG par adapté pour la compression des images comportant beaucoup de contours (e.g. texte) Bases du traitement des images 59 / 60
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THE END
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