Transfert Thermique 2 1 [PDF]

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TRANSFERT DE CHALEUR DANS LES ÉCHANGEURS I. ECHANGEURS TUBULAIRES SIMPLES 1. GENERALITES a) Description.- Un échangeur tubulaire simple ou échangeur double tube, est constitué par deux tubes concentriques, un fluide (généralement le chaud) circulant dans le tube intérieur, l'autre dans l'espace compris entre les deux tubes. Le transfert de chaleur du fluide chaud au fluide froid se fait a travers la paroi constituant le tube intérieur.

b) Hypothèses. - Pour tous les calculs de flux de chaleur, on fera les hypothèses suivantes : - pas de pertes thermiques (la surface de séparation est la seule surface d'échange) - pas de changement de phases au cours du transfert.

c) Conventions adoptées.- Par convention, le fluide chaud entre dans l'échangeur à la température 𝜽𝟏 et sort de celui-ci a la température 𝜽𝟐 tandis que le fluide froid entre dans l'échangeur à 𝜽𝟏 et sort 𝜽𝟐 On réservera l'appellation entrée de l'échangeur au côté où entre le fluide chaud.

d) Types de fonctionnement.- Les échangeurs double-tube peuvent fonctionner : - à co-courant : les deux fluides circulent dans le même sens ; - à contre courant : fluide chaud et fluide froid circulent en sens inverse.

2. EXPRESSION DU FLUX a) U peut être considéré comme constant.- Toutes les grandeurs physiques liées au fluide et dépendant de la température sont déterminées pour chaque fluide à la température moyenne de celui-ci (moyenne arithmétique entre la température d'entrée et celle de sortie). Le coefficient de transmission global est pris constant tout au long de l'échangeur.

𝜶) Fonctionnement à co-courant : soit un échangeur de longueur 𝐋𝐄 . Faisons le bilan thermique dans une partie élémentaire de l'échangeur de longueur dL situé à la cote L de I'entrée.

Dans le plan transversal a I'échangeur situé à la cote L+ dL, les températures deviennent algébriquement θ + 𝐝𝛉 et θ’ + dθ’. Le bilan the thermique consiste à écrire que le flux de chaleur perdu par le fluide chaud lors de son passage entre les plans aux températures θ et θ + d𝛉 est intégralement passé a travers la paroi de séparation des deux fluides, soit :

- 𝐪𝐯 𝛒 𝐜 𝐝𝛉 = 𝐔 𝐝 𝐒 (𝛉 − 𝛉′ ) Remarque : on met le signe - pour tenir compte du fait, que algébriquement, dθ est négatif. On peut poser 𝐪𝐯 . 𝛒 . 𝐜 = 𝐪𝐜 débit calorifique, de sorte que l'équation différentielle s'écrit :

𝐝𝛉 𝐔𝐝𝐒 =− 𝛉 − 𝛉′ 𝐪𝐜 La température 𝛉' du fluide froid étant liée a la température θ du fluide chaud, il faut donc établir la loi θ’ = f(θ) avant d'intégrer cette équation différentielle. Pour trouver la relation entre θ' et θ il suffit d'écrire le bilan thermique de l'appareil entre l'entrée et le plan à la cote L en écrivant que le flux de chaleur perdu par le fluide chaud a été intégralement récupéré par le fluide froid, soit:

𝐪𝐜 (θ1 - θ) = 𝐪′𝐜 (θ' - θ'1) d'où :

𝑞𝑐

𝜃′ =

𝑞′𝑐

(θ1 – θ ) + θ’1

On peut alors écrire, en intégrant pour l'échangeur de surface totale d'échange S :

s UdS

-∫o

qc

θ

θ

dθ

= ∫θ 2

q θ− ′c (θ1 −θ)−θ′1 q

1

dθ

=∫θ 2

q q (1+ ′c ) θ−( c θ1 +θ′ 1 )

1

q c

c

q′c

soit :

−

𝐔𝐒 𝐪𝐜

=

𝟏 𝐪 𝟏+ 𝐪′𝐜 𝐜

ln [(𝟏 +

𝐪𝐜 𝐪′

)𝛉 − (

𝐪𝐜

𝐪′𝐜

𝐜

𝛉

𝛉𝟏 + 𝛉′ 𝟏 ) ] .𝛉𝟐𝟏

En tenant compte de l'expression du bilan thermique global entre l'entrée et la sortie de l'échangeur, soit :

𝑞𝑐 (𝜃1 – 𝜃2 ) = 𝑞′𝑐 (𝜃′2 – 𝜃′1 ) l'expression précédente devient :

− De même, on peut exprimer

𝑼𝑺 𝒒𝒄

𝟏 𝒒 𝟏+ 𝒄

=

𝟏 𝒒 𝟏+ 𝒒′𝒄 𝒄

ln

θ2 −θ′2 𝜽𝟏 −𝜽′𝟏

uniquement en fonetion des températures des

𝒒′𝒄

fluides : 𝟏 𝒒 𝟏+ 𝒒′𝒄 𝒄

=

𝟏 θ′ −θ′ 𝟏+ 𝜽 2−𝜽′ 1 𝟏 𝟐

=

𝜃1 – 𝜃2 𝜃1 – 𝜃2 + 𝜃′2 – 𝜃′1

d'où la relation :

−

𝑼𝑺 𝒒𝒄

=

𝜃1 – 𝜃2 (𝜃1 – 𝜃 ′ 1 )−( 𝜃2 – 𝜃′ 2 )

ln

θ2 −θ′2 𝜽𝟏 −𝜽′𝟏

𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏 représentant l'écart de température entre le fluide chaud et le fluide froid à l'entrée de l'échangeur, peut être noté Δθe.

Pour les fluides à la sortie de l'échangeur, on écrira de même : 𝛉𝟐 – 𝛉′ 𝟐 = ∆𝛉𝐬 .

L'expression précédente peut alors se mettre sous la forme :

qc (θ1 – θ2 ) = US

∆θs −∆θe ln

∆θs ∆θe

Le premier membre de cette équation représente le flux de chaleur ф cédé par le fluide chaud lors de son passage dans l'échangeur. Le rapport

∆𝛉𝐬 −∆𝛉𝐞 ∆𝛉𝐬 𝐥𝐧 ∆𝛉 𝐞

est la moyenne logarithmique ∆θm de la fonction Δθ, (Δθ représentant l'écart de température entre les deux fluides dans un même plan transversal de l'échangeur) entre I’entrée et la sortie de l'échangeur. Le flux de chaleur échangé se mot ainsi sous la forme simple: ф = 𝑈𝑆 ∆θm Remarque : on prend généralement le coefficient de transfert ramené à la surface extérieure du tube interne. La distribution des températures des fluides le long de l'échangeur a l'allure suivante:

Remarque : en aucun cas on ne peut avoir θ’2 > θ2 . En effet, à partir de la cote où les deux fluides seraient à la même température (point d'intersection sur le diagramme), il n'y aurait d'échange de chaleur possible. Les deux fluides voient leurs températures respectives se rapprocher d’une température limite intermédiaire 𝜃𝑙𝑖𝑚 par rapport aux deux températures d'entrée. Pour une valeur donnée du flux, on a, d'après l'équation de bilan :

𝐪𝐜 (𝛉𝟏 − 𝛉) = 𝐪′𝐜 (𝛉′ − 𝛉′𝟏 ) En posant :

𝐪𝐜 𝐪′ 𝐜

= z, 𝛉′ − 𝛉′𝟏 = z (𝛉𝟏 − 𝛉)

La température limite 𝜽𝒍𝒊𝒎

est telle que θ’ = θ = 𝜽𝒍𝒊𝒎

soit : (𝛉𝐥𝐢𝐦 − 𝛉′𝟏 ) = z (𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦 ) On peut écrire d'autre part : (𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏 ) = (𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦 ) + (𝛉𝐥𝐢𝐦 − 𝛉′𝟏 ) En combinant les deux relations : (𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏 ) = (𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦 ) + z (𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦 ) = (𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦 ) (1 + Z) 𝟏

d'où : 𝛉𝐥𝐢𝐦 = 𝛉𝟏 − (𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏 ) 𝟏+𝐙 Les températures de sortie 𝛉𝟐 et 𝛉′𝟐 se rapprochant asymptotiquement de la température 𝛉𝐥𝐢𝐦 , on peut considérer que la chute de température du liquide le plus chaud, de sa température d'entrée 𝛉𝟏 à la température 𝛉𝐥𝐢𝐦 serait celle obtenue avec une surface d'échange infinie. 𝜷) Fonctionnement à contre courant : un calcul analogue à celui effectué pour le fonctionnement à co-courant conduit à une expression du flux de chaleur de la même forme, soit : ф = 𝑼𝑺 ∆𝛉𝐦

avec : ∆𝛉𝐦

=

∆𝛉𝐬 −∆𝛉𝐞 ∆𝛉

𝐥𝐧 ∆𝛉 𝐬

où ∆𝛉𝐬 et ∆𝛉𝐞 ont toujours la même signification mais,

𝐞

attention, on aura cette fois :

∆𝛉𝐬 = 𝜽𝟐 – 𝜽′𝟏 ∆𝛉𝐞 = 𝜽𝟏 – 𝜽′𝟐

Dans un fonctionnement à contre courant, le fluide froid peut sortir plus chaud que le fluide chaud (𝛉′𝟐 > 𝛉𝟐 possible). La limite inférieure de la température de sortie 𝛉𝟐 , du fluide le plus chaud est la température d'entrée 𝛉′𝟏 du fluide froid. De même 𝛉𝟏 représente la limite supérieure de la température de sortie 𝛉′𝟐 du fluide le plus froid. Si l'un des fluides subissait la plus forte variation de température possible (c'esta-dire l'élévation (𝛉𝟏 – 𝛉′𝟐 ) pour le fluide froid ou l'abaissement (𝛉𝟐 – 𝛉′𝟏 ) pour le fluide chaud), on serait dans les conditions du flux maximal de chaleur transférable, conditions réalisées avec une surface d'échange infinie. 𝜸) Comparaison entre les deux modes de fonctionnement: pour un échangeur double tube donné, le flux de chaleur transféré est plus important dans le cas du fonctionnement à contre courant, par suite de la valeur plus élevée de Exemple∶

θ1 = 300°c

θ2 = 200°c

θ′1 = 20°c

θ′2 = 100°c

A courants parallèles (co-courant) :

∆𝛉𝐦 =

(𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎) − (𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒏 𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟎

=

𝟏𝟖𝟎 𝐥𝐧 𝟐,𝟖

= 174,8°C

A contre courant:

∆𝛉𝐦 =

(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) − (𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎) 𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎 𝒍𝒏𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎

=

𝟐𝟎 𝟐

𝐥𝐧 𝟏,𝟖

= 189,8°C

Chaque fois que les deux systèmes de fonctionnement sont possibles, ce qui n'est pas toujours le cas suivant les conditions opératoires imposées, on préférera naturellement le contre-courant, mais dans la pratique, certaines conditions d'exploitation peuvent rendre souhaitable, voire imposer, un fonctionnement à co-courant (pour éviter par exemple, des dépôts par solidification ou des condensations corrosives liés aux distributions de température le long des tubes).

EXERCICE : De L'acide sulfurique circule avec une vitesse de 0,8 m/s dans l’espace annulaire d'un échangeur tubulaire constitué de deux tube de diamètres 18/21 et 50/60. Sachant que La température de l'acide sulfurique passe a de 85°c à 21°c déterminer le flux de chaleur cédé a l'eau de refroidissement. Données :

acide sulfurique:

𝜌 = 1.840 kg/m3 𝐶𝑝 = 0,36 kcal/kg.°c.

Solution : Section de passage pour l' acide sulfurique : s=

𝜋 4

𝜋 (𝐷32 - 𝐷22 ) =4 ( ̅̅̅̅̅ 502 − ̅̅̅̅̅ 212 ) x 10−6 = 1,617.10-3 m2.

Débit volumique : 𝑄𝑣 = us = 0,8 x 1,617.10-3 = 1,3. 10-3 m3/s Débit massique horaire : 𝑄𝑚 = 𝜌𝑄𝑣 = 1840 x 3600 x 1,3.10-3 = 8611 kg/h. Flux de chaleur cédé a l'eau de refroidissement : ф = 𝑄𝑚 . 𝐶 Δθ = 8611 x 0,36 (85 - 21) = 1,98.105 kcal/h.

EXERCICE.-

Refroidisseur à deux étages. De l'acide sulfurique circule avec un débit de 4.500 kg/h dans un circuit qui comprend deux réservoirs en série où il est en contact, par agitation, avec des serpentins de refroidissement. De l'eau circule dans les serpentins à contre courant de l'acide. Sachant que le 1er réservoir traversé par l'acide a un coefficient global de transmission : U1 = 1000 kcal. 𝒉−𝟏 .𝒎−𝟐 .°𝒄−𝟏 et le second un coefficient : U2 = 630 kcal. 𝒉−𝟏 .𝒎−𝟐 .°𝒄−𝟏 Calculer la surface totale de serpentins nécessaire pour te refroidissement. On négligera les déperditions calorifique dans Le circuit. Données : acide sulfurique : 𝐶𝑝 = 0,36 kcal/kg °c eau

𝐶𝑝 = 1 kcal/kg °c

les température aux différents pointe du circuit sont indiquées sur le achéma ci-dessous :

Solution : a) - Quantité de chaleur cédée par l'acide sulfurique dans le réservoir "chaud ": ф = 𝐪𝐜 𝚫𝛉 = 4500 x 0,36 (174 - 88) = 139320 kcal/h. Cette chaleur est récupérée par l'eau soit : 139320 = 𝐪𝐦 x 1 x (80 – θ) b) Dans le second réservoir on a de même : 4500 x 0,36 (88 - 45) = 𝐪𝐦 x 1 x (θ - 20) = 69660 kcal/h. On a un système de deux équations à deux inconnues. En faisant le rapport membre à membre des 2 équations: 𝟖𝟎 − 𝛉 𝛉 − 𝟐𝟎

=

𝟏𝟑𝟗𝟑𝟐𝟎 𝟔𝟗𝟔𝟔𝟎

=2

80 – θ = 2 θ - 40 soit θ = 40°c Pour le premier réservoir : ф = US𝜟𝜽𝒎

S=

𝜟𝜽𝒎 =

𝟏𝟑𝟗𝟑𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟔𝟖,𝟒𝟒

(𝟖𝟖 − 𝟒𝟎) − (𝟏𝟕𝟒 − 𝟖𝟎) 𝒍𝒏

(𝟖𝟖 − 𝟒𝟎) (𝟏𝟕𝟒 − 𝟖𝟎)

= 2 m2

Pour le s second réservoir : 𝜟𝜽𝒎 =

S=

(𝟒𝟓 − 𝟐𝟎) − (𝟖𝟖 − 𝟒𝟎) 𝒍𝒏

(𝟒𝟓 −𝟐𝟎) (𝟖𝟖 − 𝟒𝟎)

𝟔𝟗𝟔𝟔𝟎 𝟔𝟑𝟎 𝐱 𝟑𝟓,𝟒

= 68,44 °c

= 3,1 m2

Surface totale de serpentins nécessaire : S = 2 + 3,1= 5,1 m2

= 68,44 °c

b) U ne peut être considéré comme constant.- Pour des variations des grandeurs physiques avec la température, telles que le coefficient de transfert U ne peut plus être considéré comme constant, la séparation des variables dans l'équation différentielle de base est telle qu'il faut résoudre :

s dS

θ

c

1

-∫o q = ∫θ 2

1

dθ

U θ−θ′

α) Résolution graphique : l'intégration du deuxième membre se fait généralement graphiquement en traçant la courbe : 𝟏 𝑼 (𝜽−𝜽′ )

= f (θ)

Cette méthode qui donne de bons résultats est néanmoins fastidieuse. β) Méthode de Colburn : Colburn fait l'hypothèse que le coefficient de transfert U varie linéairement en fonction de l'écart de température 𝛉 − 𝛉′ = Δθ des deux fluides dans un même plan transversal de l'échangeur.

U = a + b Δθ. A l’entrée de l’échangeur

𝐔𝐞 = a + b 𝚫𝛉𝐞

A la sortie de l’échangeur

𝐔𝐬 = a + b 𝚫𝛉𝐬

on démontre que le flux de chaleur ф

ф=

:

(𝐔𝐞 ∆𝛉𝐬 − 𝐔𝐬 ∆𝛉𝐞 ) 𝑺 𝐔𝐞 . ∆𝛉𝐬 𝐥𝐧 𝐔𝐬 . ∆𝛉𝐞

On peut écrire ф = ( 𝐔𝚫𝛉 )m S, ce qui met en jeu la moyenne logarithmique du produit 𝐔𝚫𝛉 , mais il est important de noter que chaque produit comprend l'écart de température Δθ d'une extrémité de l'échangeur associé au coefficient de transfert U de l'autre extrémité.

EXARCICE : Une vapeur sèche saturée circulant à l'intérieur de tubes doit assurer par condensation à 108°C, le chauffage de 6000 kg/h de benzène de 20°C a 75°C. 𝐶𝑝 benzène : 0,44 kcal/kg.°C.

1°- La détermination du coefficient global de transmission thermique à l'entrée et à la sortie du condenseur donne respectivement : 𝑼𝒆 = 120 kcal/h.m2.°C. 𝑼𝒔 = 380 kcal/h.m2.°C. Calculer la surface d'échange nécessaire. 2°- Le coefficient global de transmission thermique U entre la vapeur et le benzène varie en fait avec la température du benzène selon le tableau suivant :

a) Déterminer la surface d'échange nécessaire. b) En admettant cette 2éme valeur comme plus correcte, quel écart (en pourcentage) représente l'application de la formule utilisée en 1°- ?

Solution : 1) - Quantité de chaleur reçue par le benzène : ф = 6000 x 0,44 x (75 - 20) = 145 . 200 kcal/h. On a le schéma : ∆𝜽𝒔 = 33 soit : ∆𝜽𝒆 = 88 ф = S (𝐔𝚫𝛉)𝒎

(𝐔𝚫𝛉)𝒎 =

𝐔𝐞 ∆𝛉𝐬 − 𝐔𝐬 ∆𝛉𝐞 𝐥𝐧

𝐔𝐞 . ∆𝛉𝐬 𝐔𝐬 . ∆𝛉𝐞

=

Surface d'échange nécessaire : S

=

𝟏𝟐𝟎 𝐱 𝟑𝟑 − 𝟑𝟖𝟎 𝐱 𝟖𝟖 𝟏𝟐𝟎 𝐱 𝟑𝟑

𝐥𝐧 𝟑𝟖𝟎 𝐱 𝟖𝟖 145200 13817,6

= 13817,6

= 10,5 m2

2) - Soit la représentation graphique : U = f ( θ )

On peut décomposer cet échangeur en 3 tronçons correspondant aux domaines de température : 20°C – 36°C , 36°C – 56°C , 56°C – 75°C dans chacun desquels on peut considérer que U varie linéairement avec la température :

( 𝐔𝚫𝛉 )𝒎 = 18325 ф = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝐱 0,44 (36 – 20) = 42240 kcal. h-1

soit : 𝑺𝟏 =

𝟒𝟐𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟖𝟑𝟐𝟓

= 2,30 m2

( 𝐔𝚫𝛉 )𝒎 = 17189 ф = 𝟓𝟐𝟖𝟎𝟎 𝐤𝐜𝐚𝐥/𝐡.

soit : 𝑺𝟐 = 3,07 m2 ( 𝐔𝚫𝛉 )𝒎 = 14703 ф = 𝟓𝟎𝟏𝟔𝟎 𝐤𝐜𝐚𝐥/𝐡.

soit : 𝑺𝟑 = 3,41 m2

Surface d'échange totale, 9,5 m2 soit un écart de 10,5 %

3. EFFICACITE D'UN ECHANGEUR : a) Fonctionnement à contre- courant.- On peut définir l'efficacité d'un échangeur fonctionnant à contre courant comme étant le rapport entre le flux de chaleur effectivement transféré par l'échangeur et le flux maximal transférable dans les conditions d'une surface d'échange infinie qui permet d'obtenir la température finale d'un des fluides identique, en fin d'opération, à la température initiale de l'autre fluide. D'après l'équation de bilan calorifique 𝐪𝐜 (θ1 – θ2) = 𝐪′𝐜 (θ'2 - θ'1) le fluide qui a le plus faible débit calorifique accuse naturellement le changement de température le plus important. C'est donc de lui que dépendra la quantité de chaleur maximale qui pourra être transférée : on dit qu'il commande le transfert. Hypothèse: le fluide chaud commande le transfert ( 𝐪𝐜 flux de chaleur transféré

< 𝐪′𝐜 )

ф = 𝐪𝐜 (θ1 – θ2)

flux de chaleur maximal transférable : ф𝒎𝒂𝒙

d'où :

𝛈𝐫 =

= 𝐪𝐜 (θ1 – θ'1)

𝛉𝟏 – 𝛉𝟐 𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏

Ce rapport est bien nul quand θ2 = θ1 et égal à 1 pour θ2 = θ'1 (surface d'échange ∞). Le numérateur représente le refroidissement réel du fluide chaud, le dénominateur représente le refroidissement maximal possible de ce fluide. Ce rapport a donc la signification d'une efficacité de refroidissement d'ou la natation 𝛈𝐫 . Dans le cas où le fluide froid commande le transfert ( 𝐪′𝐜 < 𝐪𝐜 ) on définit de même . 𝛈𝐜

=

𝛉′𝟐 – 𝛉′𝟏 𝛉𝟏 − 𝛉′𝟏

qui a la signification d'une efficacité de chauffage (le numérateur représente l'élévation réelle de température du fluide froid, le dénominateur l'élévation maximale possible).

b) fonctionnement a co-courant.- L'efficacité est toujours définie comme le rapport entre le flux de chaleur effectivement transféré et le flux de chaleur maximal transférable dans les conditions d'une surface d'échange infinie, la température finale des fluides dans ce cas étant 𝛉𝐥𝐢𝐦 d’où :

𝛈𝐫 =

𝛉𝟏 – 𝛉𝟐 𝛉𝟏 − 𝛉𝐥𝐢𝐦

ηc =

𝛉′𝟐 – 𝛉′𝟏 𝛉𝐥𝐢𝐦 − 𝛉′𝟏

c) Justification économique du rendement.- Lorsque le but recherché par l'installation d'un échangeur est de récupérer de Ia chaleur, la notion de rendement prend toute sa justification au point de vue économique. L'efficacité est liée au flux de chaleur maximal transférable défini pour un échangeur de surface infinie. Augmenter la surface d'échange, c'est naturellement augmenter le flux de chaleur transféré, c'est-à-dire le rendement .

L'augmentation de la surface d'échange n'a d'intérêt économiquement, que tant que la valeur du flux de chaleur supplémentaire récupéré par m2 de surface ajoutée est supérieure à la dépense entraînée par chacun de ces m 2 ajoutés. Il y a donc une limite économique de la surface d'échange qu'il est nécessaire, pour les industriels, de déterminer. Pour pouvoir déterminer cette limite économique, il faut donc mettre en balance d'une part la valeur de la chaleur économisée et, d'autre part, le prix de revient de la surface d'échange.

En pratique, la surface économique utilisée correspond à un rendement économique η de l'ordre de 85 a 90%, qui peut descendre jusqu'a 60% dans le cas de récupérations de chaleur sur les gaz, où le coefficient global de transfert est nettement plus faible.

EXERCICE : Du benzène, à la température de 70°C, circule avec un débit de 3.000 kg/h dans un échangeur tubulaire simple où il va être refroidi par de l'eau qui entre à 15°C avec un débit de 2.000 kg/h. 1°- Fonctionnement à co-courant : a) Déterminer La température Iimite 𝛉𝐥𝐢𝐦 que l'on obtiendrait avec un échangeur de surface infinie. b) En s'imposant une température de sortie du benzène de 37°C, déterminer la température de sortie de l’eau ainsi que la surface d'échange nécessaire. c) Calculer l'efficacité de refroidissement 𝛈𝐫 . 2°- Fonctionnement à contre courant. a) Pour les même conditions de température, déterminer la surface d'échange nécessaire. b) Calculer l'efficacité de refroidissement 𝛈𝐫 c) On dispose d'un échangeur de surface identique à celle nécessaire en 1°- b). calculer La température minimale que l'on peut atteindre pour le benzène (résolution graphique). Que devient l'efficacité de refroidissement ? 3°- En utilisant ce même échangeur de façon préférentielle à co- courant, quel pourcentage d'énergie (défini par rapport à L’énergie qu'on aurait pu tirer dans les meilleures conditions d'utilisation, c'est-à-dire à contre-courant) gaspille-t-on ? Données : benzène : 𝑪𝒑 = 0,44 kcal/kg.°C eau : 𝑪𝒑 = 1 kcal/kg.°C échangeur : U = 750 kcal/h.m2. °C

Solution : 1- a) 𝛉𝐥𝐢𝐦 = 𝛉𝟏 -

𝟏 𝒛+𝟏

(𝛉𝟏 − 𝛉′𝟏 ) avec Z = 𝟏

Soit : 𝛉𝐥𝐢𝐦 = 𝟕𝟎 −

𝟏,𝟔𝟔

𝐪𝐜 𝐪′𝐜

=

𝟑𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟎,𝟒𝟒 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟏

= 0,66

(70 - 15) = 36,87 ≅ 36,9°c –

b) Le benzène sortant à 37°C, l'équation de bilan calorifique s'écrit : 3000 x 0,44 (70 - 37) = 2000 x 1 x (θ'2 - 15) θ'2 - 15 = 21,8 soit

θ'2 = 36,8°c.

(𝟑𝟕 – 𝟑𝟔,𝟖)– (𝟕𝟎− 𝟏𝟓)

Δθm =

𝐈𝐧

𝟑𝟕−𝟑𝟔,𝟖 𝟕𝟎−𝟏𝟓

= 𝟗, 𝟖

Surface d'échange nécessaire : ф

S= 𝑼𝚫𝛉𝐦 =

𝟑𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟎,𝟒𝟒 (𝟕𝟎 − 𝟑𝟕) 𝟕𝟓𝟎 𝐱 𝟗,𝟖

= 5,9 m2

c) efficacité de refroidissement : 𝛉 −𝛉

𝟕𝟎 − 𝟑𝟕

𝜼𝒓 = 𝛉 𝟏− 𝛉 𝟐 = 𝟕𝟎 − 𝟑𝟔,𝟗 = 0,997 𝟏 𝐥𝐢𝐦 2-a) Contre courant

Δθm =

S=

b)

ф 𝑼𝚫𝜃𝑚

𝜂𝑟 =

=

3000 x 0,44 x 33

𝛉𝟏 − 𝛉𝟐 𝛉𝟏 – 𝛉′𝟏

750 x 27,2

=

70 − 37 70 − 15

=

(𝟑𝟕 – 𝟏𝟓)– (𝟕𝟎− 𝟑𝟔,𝟖)

= 2,1 m2

33 15

= 0,6

(𝟑𝟕−𝟏𝟓)

𝐈𝐧 (𝟕𝟎−𝟑𝟔,𝟖)

= 𝟐𝟕, 𝟐

c) On a le schéma suivant avec une surface d'échange de 5,9 m2

ф = 3000 x 0,44 ( 70 - 𝜃2 ) = 𝑈𝑆𝛥𝜃𝑚 .

avec 𝛥𝜃𝑚 =

(𝜃2 − 15)−(70 − 𝛉′ 𝟐 ) 𝐈𝐧

(𝜽𝟐 − 𝟏𝟓) (𝟕𝟎 − 𝛉′ 𝟐 )

D'autre part 𝛉𝟐 et 𝛉′ 𝟐 sont liés par la relation :

Z = 0,66 =

(𝛉′ 𝟐 − 𝟏𝟓) (𝟕𝟎 − 𝛉𝟐 )

soit 𝛉′𝟐 = 61,2 - 0,66 𝛉𝟐

En remplaçant θ′2 , par cette relation dans Δθm , il faut résoudre : 𝛉𝟐 − 𝟏𝟓− 𝟕𝟎 +𝟔𝟏,𝟐 − 𝟎,𝟔𝟔 𝛉𝟐 𝛉𝟐 − 𝟏𝟓 𝒍𝒏 𝟕𝟎− 𝟔𝟏,𝟐 + 𝟎,𝟔𝟔 𝛉𝟐

=

𝟎,𝟑𝟒 𝛉𝟐 − 𝟐𝟑,𝟖 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟎,𝟒𝟒 (𝟕𝟎− 𝛉𝟐 ) 𝛉 − 𝟏𝟓

𝒍𝒏𝟎,𝟔𝟔𝟐𝛉 + 𝟖,𝟖 𝟐

=

𝟕𝟓𝟎 𝐱 𝟓,𝟗

𝟎, 𝟑𝟒 𝛉𝟐 − 𝟐𝟑, 𝟖 = 𝟐𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟑 𝛉𝟐 𝛉𝟐 − 𝟏𝟓 𝒍𝒏 𝟎, 𝟔𝟔 𝛉 + 𝟖, 𝟖 𝟐

ou encore :

𝒍𝒏

𝛉𝟐 −𝟏𝟓 𝟎,𝟔𝟔 𝛉𝟐 +𝟖,𝟖

=

𝟎,𝟑𝟒 𝛉𝟐 −𝟐𝟑,𝟖 𝟐𝟎,𝟗 − 𝟎,𝟑 𝛉𝟐

=

𝛉𝟐 − 𝟕𝟎 𝟔𝟏,𝟓 − 𝟎,𝟖𝟖 𝛉𝟐

Résolution graphique, on pose : 𝒚𝟏 = 𝒍𝒏

𝛉𝟐 −𝟏𝟓

𝒚𝟐 =

𝟎,𝟔𝟔 𝛉𝟐 + 𝟖,𝟖

𝛉𝟐 − 𝟕𝟎 𝟔𝟏,𝟓 − 𝟎,𝟖𝟖 𝛉𝟐

graphiquement on trouve l'intersection de 𝑦1 𝑒𝑡 𝑦2 pour 𝜃2 = 23,1°C

Ceci implique une température de sortie de l'eau θ′2 de 46°C.

𝛈′𝐫 =

𝟕𝟎 − 𝟐𝟑,𝟏 𝟕𝟎 − 𝟏𝟓

= 0,85

Pour un fonctionnement à co-courant, la quantité de chaleur récupérée par l'eau est : ф = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟎, 𝟒𝟒 (𝟕𝟎 − 𝟑𝟕) = 𝟒𝟑. 𝟓𝟔𝟎 𝒌𝒄𝒂𝒍/𝒉. Pour un fonctionnement à contre-courant la même surface donne: ф = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝐱 𝟎, 𝟒𝟒 (𝟕𝟎 − 𝟐𝟑, 𝟏) = 𝟔𝟏𝟗𝟏𝟎 𝒌𝒄𝒂𝒍/𝒉.

Le co-courant correspond à un gaspillage de soit près de 30% de l'énergie récupérable.

𝟔𝟏𝟗𝟏𝟎 − 𝟒𝟑𝟓𝟔𝟎 𝟔𝟏𝟗𝟏𝟎

= 𝟎, 𝟐𝟗𝟔