Transfert Thermique [PDF]

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Les transferts thermiques

Transfert thermique • Le transfert thermique est un transfert d’énergie ne passant pas par une action mécanique macroscopique. • Il correspond donc à un échange d’énergie thermique entre deux corps de température différentes. • Le sens de ce transfert est imposé par le second principe de la thermodynamique. Le transfert se fait d’une façon spontanée du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. • A tout transfert thermique correspond un courant d’énergie thermique ou flux thermique ou puissance thermique.

Modes de transfert thermique Il existe trois modes fondamentaux de transfert thermique. • Conduction thermique • Convection thermique • Rayonnement

Conduction thermique • Mode de transfert thermique qui se fait à travers un milieu matériel, dit conducteur thermique. Ce transfert se fait sans déplacement macroscopique de matière. • Ce transport d’énergie est dû à l’agitation thermique des particules microscopique existant dans le matériau. Au cours des chocs qui en résultent les particules des zones chaudes qui ont le plus d’énergie cèdent de l’énergie aux particules des zones froides qui en ont le moins. • Exemples : Le transfert thermique à travers les murs d’une maison ou à travers le fond d’une casserole est un transfert conductif.

Convection thermique • Mode de transfert thermique qui se fait par déplacement de matière.

• Un fluide en mouvement, on dit aussi en écoulement, transporte avec lui son énergie interne. Le fluide en contact avec le corps chaud reçoit de l’énergie thermique qu’il cède au contact du corps froid. • On parle de convection naturelle lorsque le mouvement du fluide apparait spontanément, du fait de l’inégalité des températures.

• Exemple : eau dans une casserole que l’on chauffe par le bas.

• On parle de convection forcée lorsque le mouvement du fluide est provoquée par une cause extérieure. • Exemples : * Les circuits intégrés d’un ordinateur sont refroidis par transfert convectif à l’aide d’un petit ventilateur. * Moteur d’un véhicule.

Rayonnement • Mode de transfert à travers un milieu transparent par l’intermédiaire d’un rayonnement électromagnétique. • Les transferts radiatifs sont les seuls qui puissent exister à travers le vide. • Leur mécanisme met en jeu les phénomènes d’émission thermique et d’absorption de photons. • Exemples : * Rayonnement solaire, on se chauffe au soleil. * feu de cheminée.

1. La conduction thermique 1. Le courant thermique 1.1. Vecteur courant densité de courant thermique  Le moteur de la conduction thermique est l’existence d’un gradient de température au sein du milieu.  L’expérience montre que l’énergie thermique se déplace dans le sens opposé à ce gradient.  Ce courant d’énergie est décrit par un champ vectoriel 𝑗𝑐𝑑 (𝑀, 𝑡) appelé vecteur densité de courant thermique conductif. (vecteur analogue au vecteur densité de courant électrique) Tapez une équation ici.  Son flux à travers une surface représente la puissance thermique (ou courant thermique) qui traverse cette surface. Le vecteur surface orienté

𝒅𝑺 𝑴 = 𝒅𝑺(𝑴)𝒏𝑴

Le transfert thermique élémentaire à travers 𝒅𝑺 𝑴 entre les instants t et t+dt:

𝛿 2 𝑄 = 𝑗𝑐𝑑 𝑀, 𝑡 . 𝒅𝑺 𝑴 . 𝒅𝒕 J (Joule)

𝒋𝒄𝒅 (𝑴, 𝒕)

𝑊. 𝑚−2

M

𝒏𝑴 𝒅𝑺(𝑴)

Le flux surfacique dans le sens du vecteur 𝒏𝑴 est donné par:

𝜑 𝑀, 𝑡 = 𝑗𝑐𝑑

1.2. Flux thermique traversant une surface

𝛿 2𝑄 𝑀, 𝑡 . 𝒏𝑴 = 𝑑𝑆(𝑀)𝑑𝑡

Soit une surface orientée (S). Le flux thermique traversant (S) dans le sens du vecteur surface élémentaire 𝑑 𝑆 𝑀 est :

𝛷 𝑡 =

𝜑 𝑀, 𝑡 𝑑𝑆(𝑀) = 𝑆

𝑗𝑐𝑑 𝑀, 𝑡 . 𝑑 𝑆 𝑀 (𝑆)

1.3. Analogie avec le courant électrique

 Le courant thermique présente une forte analogie avec le courant électrique.  La densité de courant thermique 𝑗𝑐𝑑 𝑀, 𝑡 joue le rôle de la densité de courant électrique 𝑗é𝑙 𝑀, 𝑡 .  La charge électrique élémentaire 𝑑 2 𝑞 traversant la surface élémentaire dans le cas du courant électrique :

𝑑2 𝑞 = 𝑗é𝑙 𝑀, 𝑡 . 𝒅𝑺 𝑴 . 𝒅𝒕  Le flux thermique 𝛷 est analogue à l’intensité de courant 𝐼 , la formule étant analogue à l’expression de l’intensité :

𝐼 𝑡 =

𝑗é𝑙 𝑀, 𝑡 . 𝑑𝑆 𝑀 (𝑆)

2. Loi de Fourier, conductivité électrique 2.1. Loi phénoménologique de Fourier  La relation fondamentale de la conduction thermique a été proposée par Fourier en 1822.  La loi de Fourier exprime une relation linéaire entre le vecteur densité de courant thermique et le gradient du champ de température 𝑇 𝑀, 𝑡 : 𝑗𝑐𝑑 𝑀, 𝑡 = −𝜆𝑔𝑟𝑎𝑑𝑀 𝑇 𝑀, 𝑡 = −𝜆𝛻𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜆 est la conductivité thermique. C’est une grandeur positive caractéristique du matériau que l’on exprime en 𝑊. 𝑚−1 . 𝐾 −1  Le signe (-) traduit le fait que l’énergie thermique est transportée, conformément au deuxième principe, des régions chaudes vers les régions froides.  Le phénomène décrit est irréversible puisque, si l’on renverse le sens du temps, la densité de courant change de signe mais pas le gradient!  Le milieu conducteur est hors équilibre thermodynamique.

 Cette relation est analogue à la loi d’Ohm locale:

𝑗é𝑙 𝑀, 𝑡 = −𝛾𝑔𝑟𝑎𝑑𝑀 𝑉 𝑀, 𝑡 = −𝛾𝐸(𝑀, 𝑡) 𝛾 est la conductivité électrique.

2.2. Limites de validité de la loi de Fourier  Le gradient de température ne doit pas être fort. Sinon la relation entre 𝑗𝑐𝑑 et 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑀 𝑇 cesse d’être linéaire.

 Si le gradient de température varie trop rapidement dans le temps, la relation entre 𝑗𝑐𝑑 et 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑀 𝑇 cesse d’être instantanée.  Il existe des milieux dits anisotropes dont la conductivité thermique dépend de la direction d’espace. 2.3. Conductivités thermiques

3. Equation locale de bilan thermique 3.1. Hypothèses de travail

 Nous considérons un milieu conducteur thermique solide. Il évolue à volume constant. Il est aussi au repos dans le référentiel d’étude.  Il est caractérisé par : • Sa masse volumique µ • Sa capacité calorifique massique à volume constant C • Sa conductivité thermique 𝜆. Toutes ces grandeurs sont supposées uniformes et constantes.

 On raisonnera sur un élément du conducteur qui est supposé en évolution quasi-statique. L’élément est considéré en équilibre thermodynamique local en chaque point de son évolution.  Le transfert est supposé unidirectionnel de direction (Ox).  Alors 𝑗𝑐𝑑 𝑀, 𝑡 = 𝑗𝑐𝑑 𝑥, 𝑡 = 𝑗𝑐𝑑 (𝑥, 𝑡) 𝑒𝑥 et 𝑇(𝑥, 𝑡).

Equation de la chaleur sans perte latérale et avec production d’énergie à l’intérieur du conducteur thermique 𝜆 TC

S

𝛿 2 𝑄𝑝

𝜹𝟐 𝑸𝒄𝒅 (𝒙, 𝒕) x

0

𝜹𝟐 𝑸𝒄𝒅 (𝒙 + 𝒅𝒙, 𝒕)

x+dx

L

x

 Soit 𝑃 la puissance volumique produite localement à l’intérieur du conducteur thermique.  Dans la tranche Sdx la quantité d’énergie thermique produite pendant dt est : 𝛿 2 𝑄𝑝  Le premier principe s ’écrit alors : 𝑑 2 𝑈 = 𝛿 2 𝑄𝑝 + 𝛿 2 𝑄𝑐𝑑

δ2 Q cd = 𝛅𝟐 𝐐𝐜𝐝 𝐱, 𝐭 − 𝛅𝟐 𝐐𝐜𝐝 (𝐱 + 𝐝𝐱, 𝐭) 𝜕2 𝑇  L’équation de la chaleur devient : 𝜆 2 𝜕𝑥

+ 𝑃 = 𝜇𝐶

𝜕𝑇 𝜕𝑡

= 𝑃. 𝑆. 𝑑𝑥. 𝑑𝑡

𝑗𝑧

Généralisation de l’équation de la chaleur à 3D En considérant le milieu isotrope 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇

𝜕2𝑇 𝜕𝑇 𝜆 + 2 + 2 + 𝑃 = 𝜇𝐶 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑇 𝜆Δ𝑇 + 𝑃 = 𝜇𝐶 𝜕𝑡

En régime permanent

dy

𝑗𝑥

dx

𝑃 Δ𝑇 + = 0 𝜆

Equation de Poisson

Si pas d’effet thermique intérieur

Δ𝑇 = 0

Equation de Laplace

Cette dernière possède une solution en fonction de la symétrie du problème  Symétrie cartésienne d’axe x  Symétrie cylindrique d’axe z :  Symétrie sphérique :

dz

:

𝑇 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑇 𝑟 = 𝑎𝐿𝑛(𝑟) + 𝑏 𝑎 𝑟

𝑇 𝑟 = +𝑏

𝑗𝑦

Symétrie cylindrique

TC TF

R1

R2 R2

Flux thermique radial Calcul du flux thermique; T(r), résistance thermique? Symétrie sphérique

R1

Exemple avec terme de production: TC

TF

𝜆

I

𝛾

I En régime permanent

D’où

U

𝑗2 𝐼2 𝑃 = 𝑗. 𝐸 = = 2 𝛾 𝛾𝑆

𝑑2𝑇 𝐼2 + =0 2 2 𝑑𝑥 𝜆𝛾𝑆

Avec les conditions aux limites

𝐼2 2 𝑇 𝑥 =− 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 2 𝜆𝛾𝑆

4. Transfert conducto-convectif entre un solide et un fluide ambiant

Ta

Gradient de température

Fluide

Fluide

Transfert convecti Couche limite

Zoom

T

Transfert conductif Conducteur thermique 𝜆

Conducteur thermique 𝜆  Au voisinage de la paroi, le champ des vitesses et le champ de température du fluide ne sont pas uniforme. Ils varient dans une domaine restreint, perpendiculairement à la paroi, appelé Couche limite.  Dans cette couche, le transfert thermique se fait par conduction thermique.  L’échange se fait difficilement vu la grande résistance thermique du fluide.  Le transfert thermique entre la couche limite et le reste du fluide se fait par convection. Il est d’autant plus important que le fluide est turbulent.

Modélisation par un vecteur densité de courant thermique conductoconvectif  La cause de transfert est la différence de température entre le conducteur (T) et le fluide (Ta).  Le transfert est normale à la surface, au premier ordre en (𝑇  On montre que couche limite. 

ℎ

ℎ=

− 𝑇𝑎 ) : 𝑗𝑐𝑐 = ℎ(𝑇 − 𝑇𝑎 )𝑛.

𝜆𝐹 où 𝜆𝐹 est la conductivité thermique du fluide et 𝑒 l’épaisseur de la 𝑒

dépend de la vitesse du fluide.

 Dans le cas d’une convection forcée, la couche limite est moins épaisse et donc ℎ augmente : le transfert conductoconvectif est alors favorisé. 

ℎ

dépend aussi de la nature du fluide (viscosité) et de la température.

Configurations Convection naturelle Plaque verticale de hauteur 0,3m dans l’air Cylindre horizontal de diamètre 5 cm dans dans l’air. Cylindre horizontal de diamètre 5 cm dans dans l’eau.

Convection forcée Courant d’air à 2m/s sur une plaque carrée de 2m de côté. Courant d’air à 35m/s sur une plaque carrée de 0,75m de côté. Eau à 0,5 kg/s dans un tube de diamètre 2,5 cm. Courant d Courant d’air à 50m/s perpendiculaire/tube de 5 cm de diamètre

H (W.m-2.K-1) 4,5 6,5 890 12 75 3500 180

2. Rayonnement thermique • Le soleil qui se situe à une distance considérable dans le " vide spatial " nous procure une sensation de chaleur. De même, si nous ouvrons la porte d'un four en fonctionnement, nous percevons une sensation de chaleur instantanée que nous ne pouvons attribuer à un transfert convectif du à l'air entre le four et notre peau. • Cet échange de chaleur attribué à l'émission, par la matière du fait de sa température, d'ondes électromagnétiques est appelé rayonnement thermique, il ne nécessite pas la présence d'un milieu intermédiaire matériel.

Émission, absorption, réflexion-diffusion, transparence et opacité Nous allons étudier les différents comportements de la matière vis à vis du rayonnement thermique. Nous rappelons que le rayonnement thermique est un rayonnement électromagnétique; on retrouve donc le vocabulaire des ondes.

 Émission Un corps porté à une certaine température convertit son énergie interne (énergie microscopique) en rayonnement thermique. Une unité de surface d'un corps émet durant une unité de temps une quantité d'énergie appelée flux d'émission. On le note

Φ𝑒 .  Absorption Il s'agit de l'opération inverse. Quand une surface reçoit un flux d'énergie, la fraction transformée en énergie interne est appelée flux absorbé (noté Φ𝑎 ).

 Réflexion et diffusion Au lieu d'être absorbé, le rayonnement incident sur une paroi peut être directement renvoyé par la paroi. Dans ces conditions on distingue 2 cas.  Le renvoi obéit aux lois de l'optique géométrique (un angle d'incidence, un angle de réflexion). Il s'agit alors de réflexion.  Le renvoi se fait dans toutes les directions (même si l'on a une seule direction incidente). On parle alors de diffusion. On note que l'onde diffusée ou réfléchie a la même fréquence que l'onde incidente. La somme de ces deux flux est notée Φ𝑟 .

 Transparence et opacité Un milieu peut transmettre intégralement l'onde incidente, il est alors appelé milieu transparent. Le vide est un exemple de milieu transparent. En première approximation, le verre est aussi un milieu transparent pour des longueurs d'ondes dans le domaine du visible. Inversement, un corps ne transmettant aucune partie du rayonnement incident est dit corps opaque.

Relations entre les flux lumineux, notion de rayonnement d'équilibre  Flux incident Le flux incident Fi est défini comme la puissance surfacique du rayonnement incident en un point considéré de la surface du corps étudié. Le flux incident est soit réfléchi-diffusé, soit absorbé. On a donc la relation suivante :

Φ𝑖 = Φ 𝑎 + Φ 𝑟

 Flux partant Le flux surfacique partant du corps est la somme du flux émis et du flux réfléchi. On a donc la relation suivante :

Φ𝑝 = Φ𝑒 + Φ𝑟

 Équilibre radiatif On dit qu'un corps opaque est en équilibre radiatif avec le rayonnement qui l'entoure, s'il n'emmagasine pas d'énergie ou n'en perd pas. Dans ces conditions, le flux incident doit être égal au flux partant. On a donc : Φ𝑝

= Φ𝑖

et

Φ𝑒 = Φ𝑎

Définition du « corps noir », lois de Planck, de Wien et de Stephan  Le corps noir Le corps noir est par définition un corps absorbant intégralement les radiations qu'il reçoit. Dans ces conditions, le flux réfléchi est nul et le flux partant est seulement constitué du flux émis. On a donc :

Φ𝑟 = 0

et

Φ𝑝 = Φ𝑒

 Loi de Planck La loi de Planck donne la répartition suivant la longueur d'onde du flux émis Φ𝑒 d'un corps noir à la température T. Notre but n'est pas de démontrer la loi de Planck, mais elle s'obtient en établissant une relation entre la densité volumique d'énergie électromagnétique du champ rayonné et le flux partant ou incident. Dans un petit intervalle de longueur d'onde, le flux émis Φ𝑒 a l'expression suivante :

2𝜋ℎ𝑐 2 1 𝑑Φ𝑒 = 𝑑𝜆 5 ℎ𝑐 𝜆 exp( −1 𝑘𝐵 𝜆𝑇)

(W.m-2 )

h = 6,63 x 10-34 J.s : constante de Planck ; kB = 1,38 x 10-23 J/s constante de Boltzmann ; c = 3,00 x 108 m/s vitesse de la lumière ; λ : longueur d'onde ; T : Température du corps opaque.

On peut introduire aussi le flux émis spectral 𝜙𝑒

=

𝑑Φ𝑒 𝑑𝜆

(W.m-3 )

courbes de Planck

𝜙𝑒

pour le Soleil (T=6000K) et la Terre (T=300K).

 Loi de Wien Cette loi dite du « déplacement de Wien » découle directement de la formule de Planck. Pour une température donnée, elle donne la valeur de la longueur d'onde λm où le flux surfacique spectral est maximal :

𝜆𝑚 . 𝑇 = 2898 𝜇𝑚. 𝐾

OU

𝜆𝑚 . 𝑇 = 3000 𝜇𝑚. 𝐾

 À l'aide de la figure précédente montrant les courbes de Planck pour les 2 températures, on peut trouver graphiquement que : •Pour T = 6 000 K, λm = O,6 micromètre (μm), soit le milieu du spectre visible. •Pour T = 300 K, λm = 10 μm, situé dans infra-Rouge.  Loi très utilisée en astrophysique pour avoir un ordre de grandeur de la température d’une étoile.  Loi de Stefan La loi de Stefan est la simple intégration de la loi de Planck sur l'ensemble des longueurs d'onde. Ce peut être un petit exercice de mathématiques qui donne : 𝜆=+∞

Φ𝑒 = 𝜆=0

2𝜋ℎ𝑐 2 1 4 𝑑𝜆 = 𝜎𝑇 𝜆5 exp( ℎ𝑐 − 1 𝑘𝐵 𝜆𝑇)

avec σ = 5,67 x 10-8 W.m-2.K4

Exemples d’application 1. Calcul des différents paramètres du rayonnement solaire i) Calcul du flux surfacique à la surface du soleil. Le soleil est supposé un corps noir de température de surface égale à 𝑇𝑠 = 5800𝐾. ii) Sachant que le diamètre du soleil est 𝑑𝑠 = 2𝑅𝑠 = 1,4. 109 𝑚, déterminer la puissance totale émise par le soleil. Le soleil est assimilable à une sphère. iii) Calcul de la longueur d'onde où le flux solaire est maximal. iv) Calculer la constante solaire. Sachant que La constante solaire, souvent notée E0, est par définition la puissance reçue du soleil par unité de surface normale aux rayons solaires sur la surface terrestre sans atmosphère (ou au sommet de l'atmosphère).

𝑫𝑺𝑻 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎

𝟐𝑹𝑻

2. Bilan radiatif de la terre La terre est assimilable à un corps noir sous forme d’une sphère de rayon 𝑅𝑇 = 6,4. 106 𝑚. On néglige la présence de l’atmosphère, en conséquence la puissance surfacique reçue par unité de surface orthogonale est égale à la constante solaire E0. Ecrire le bilan radiatif de la terre. On notera 𝑇𝑇,𝑠𝑎 sa température d’équilibre sans atmosphère. Calculer cette température sachant que la trre est en équilibre radiatif à la température 𝑇𝑠𝑎 . ii) On tient compte de la présence de l’atmosphère. On suppose que l’atmosphère renvoie vers l’extérieur une fraction 𝛼 = 0.34. On suppose en outre que l’atmosphère est transparente pour le rayonnement solaire (n’absorbe pas ce rayonnement). Cependant elle absorbe tout le rayonnement terrestre qu’elle reçoit. i)

Ecrire les bilans radiatifs de la terre et de l’atmosphère. On notera 𝑇𝑇,𝑎𝑎 la température de la terre dans ce cas et 𝑇𝑎 la température de l’atmosphère. Les deux corps sont en équilibre radiatif.

Déterminer 𝑇𝑇,𝑎𝑎 . Conclure.

𝑫𝑺𝑻 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎 𝟐𝑹𝑻

3. Capteur solaire  La vitre est transparente pour le rayonnement solaire. Mais elle absorbe totalement le rayonnement infrarouge émis par le corps noir N. Elle émet un rayonnement IR par ses deux faces.  Le corps noir N absorbe tout le rayonnement solaire et émet son propre rayonnement IR. I. Le capteur sans vitre 1. Calculer la température 𝑇1 d’équilibre du corps noir N. 2. Déterminer la longueur d’onde 𝜆𝑁 du rayonnement émis par le corps noir N. 3. Dans quelle partie se situe ce rayonnement? II. Le capteur avec vitrage 1. Faites le bilan radiatif, à l’équilibre, du corps noir N. 2. Faites le bilan radiatif, à l’équilibre de la vitre.

𝜑 𝑆 = 1.0 𝑘𝑊. 𝑚−2

𝜑𝑉 Vitre V

3. En déduire deux relations liant 𝑇𝑉 , 𝑇𝑁 et Φ𝑠 .

4. Calculer 𝑇𝑉 et 𝑇𝑁 .

𝜑𝑉

𝜑𝑁

5. Quel est l’intérêt d’ajouter une vitre sur le capteur?

Corps noir N Flux radiatif nul

Evolution de la température d’un corps placé dans une enceinte à température constante B A

T0

T1=T0 + q

q