Transfert Thermique 1 [PDF]

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CONVECTION I- MÉCANISME DE LA CONVECTION

1. ANALOGIE DE REYNOLDS.

Le nombre élevé de particules qui constituent un fluide (gaz ou liquide) permet l'approximation toujours faite, qui consiste à remplacer un fluide réel par un milieu continu hypothétique.‫وسط مستمر افتراضية‬ C'est le comportement individuel des molécules qui constituent le fluide qui fixe les propriétés physiques du fluide considéré. Au niveau moléculaire, on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités de mouvement des molécules lors des chocs intermoléculaires, on explique la transmission de la chaleur par la transmission d'énergie cinétique lors des mêmes chocs intermoléculaires. Cette liaison intime des phénomènes de viscosité et de transfert de chaleur conduit à l’analogie de Reynolds : dans un écoulement fluide avec transfert de chaleur dans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude.

2. COUCHES LIMITES DYNAMIQUE ET THERMIQUE

Quel que soit le régime d'écoulement du fluide, il demeure une sous couche laminaire (couche limite dynamique) dont l'épaisseur est d'autant plus réduite que le nombre de Reynolds est plus grand.

L'épaisseur de cette couche limite varie naturellement en fonction de nombreux paramètres : * nature du fluide –

*température - *degré d'agitation - * rugosité de la

paroi........ L'analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c'est- à-dire dans la sous couche laminaire. Ce gradient thermique élevé traduit la faible conductibilité de contact du film qui adhère pratiquement à la paroi. Quel que soit 1e régime d'écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le film laminaire qui joue le rôle d'isolant (couche limite thermique).

3. EXPRESSION DU FLUX DE CHALEUR On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que le flux de chaleur rencontrerait en conduction à travers une paroi dont l'épaisseur serait celle du film 1aminaire et qui possèderait les mêmes caractéristiques thermiques que le fluide, soit: Rth=

𝒆

e : épaisseur du film laminaire

𝝀

λ : conductibilité thermique du fluide Rigoureusement, le flux de chaleur par unité de surface s'écrit alors: 𝛌

 = (θ1- θi) 𝐞

où

θ1 : est la température de 1a paroi et θi : la température du fluide à la 1imite du film laminaire

Si à l'origine, la masse fluide est au repos au contact de la paroi, l‘énergie transmise par conduction à travers le film va accroitre 1'agitation thermique liée à la température. La densité du fluide diminuant, les courants de convection prennent naissance et deviennent rapidement importants pour assurer le transport d'énergie en masquant le phénomène de conduction : c'est la convection libre.

Si à l'origine, la masse fluide est animée d'une certaine vitesse, 1es transferts de chaleur sont naturellement activés on a la convection forcée. Pour un régime thermique bien établi, on peut considérer en première approximation, par suite des courants de convection que la masse fluide au delà du film laminaire est à une température moyenne θ2 et prendre comme loi du flux de chaleur surfacique par convection, la relation : 𝛌

 = (θ1- θ2) 𝐞

qui correspond au modèle de Prandtl.

θ2, qui est la température moyenne du fluide dans une section transversale à l'écoulement dans le cas de la circulation d'un fluide dans une canalisation, dépend du régime d'écoulement. Dans le cas d'un échange paroi-fluide, on prendra θ2, la température du fluide, loin de la paroi.

4. COEFF1CIENT DE CONVECTION : LOI DE NEWTON Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque 1'on ne connait pas 1'épaisseur e du film laminaire. Les auteurs de la théorie ont été amenés à définir un coefficient de transfert superficiel ou coefficient de convection h tel que :

h =

𝝀 𝒆

unités : W. m-2 .K-1 ou bien kcal .h-1 .m-2 .°C-1

Quelle que soit la convection (1ibre ou forcée), quelle que soit la nature du régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), 1e flux de chaleur est donné par la relation :

ф = h . S . Δθ : loi de Newton Le problème majeur préalable avant le calcul du flux consiste à déterminer h qui dépend d'un nombre important de paramètres : *caractéristiques du fluide, *de 1'écoulement, *de la température, *de la forme de la surface d'échange.... Il est donc nécessaire d'utiliser les variables réduites et faire apparaître entre celles-ci les corrélations théoriques qui existent en vue d'une détermination (essentiellement expérimentale) de la forme mathématique et des coefficients numériques qui relient ces nombres sans dimension. C'est le but même de 1'Analyse dimensionne1le.

Après avoir appliqué le principe de 1'analyse dimensionnelle à un exemple de convection forcée (fluide circulant dans une canalisation) et à un exemple de convection libre (fluide au repos au contact d'une paroi chauffée), le f1uide dans ces deux cas ne subissant aucun changement d'état, on donnera quelques relations empiriques du coefficient de convection h.

II. TRANSFERTS SANS CHANGEMENT D'ETAT 1. CONVECTION FORCEE Le but principal de cette étude étant de faire apparaitre les relations qui seront à la base des calculs à effectuer pour résoudre des problèmes d'échangeurs. Le plus important du point de vue pratique à considérer est celui d'un fluide en circulation dans une canalisation, pour lequel on se propose de déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi, qui correspond à une convection forcée.

a) Application de l'analyse dimensionnelle Le flux de chaleur par unité de surface dépend : * des caractéristique du fluide : λ coefficient de conductibilité thermique  Cp chaleur massique

 masse volumique - η viscosité dynamique ;

* des caractéristiques de l'écoulement : u (vitesse moyenne) * de la géométrie de la surface d'échange : D (diamètre) * de l’écart de température paroi-fluide Δθ;

soit :  = f ( λ ,Cp ,, η, u, D, Δθ ) ou encore : f ( λ ,Cp ,, η, u, D, Δθ,) = 0

Avec 5 dimensions fondamentales, cette relation entre 8 grandeurs physiques sera réduite à une relation entre 8 - 5 = 3 rapports sans dimensions.

Equation au dimension de chacune des grandeurs physiques : : Q. T-1.L-1.-1

u : L.T-1

Cp : Q.M-1.-1

D:L

: M.L-3

Δθ : θ : Q.T-1.L-2

η: M.T-1.L-1

Il faut choisir 5 équations de base. Prenons par exemple λ , , u, D, Δθ (toutes 1es dimensions fondamentales figurent bien au moins une fois sur l'ensemble des cinq équations) ; il reste :  ,Cp etη. On écrit alors les 3 rapports sans dimensions correspondant à ces variables sous 1a forme :

Pour chaque rapport

π,

on remplace les grandeurs physiques par leurs équations aux

dimensions. Pour π1 on écrira :

Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénominateur relatifs à une même dimension ce qui conduit au système à résoudre:

(Q) : 1 = b1 (T) : -1 = -b1 – e1 (L) : -2 = -b1 – 3c1 + d1 + e1 () : 0 = a1 – b1 (M) : 0 = c1 Le rapport π1 s'écrit donc :

avec =

h . S . Sloi de Newton

on peut le mettre encore sous la forme Ce rapport sans dimension qui est d'autant plus é1evé que 1a transmission de chaleur par convection est importante est appelé : nombre de Nusselt et noté Nu. Pour le rapport π2 le numérateur étant QM-1 θ-1, il suffit de remplacer les membres de gauche des équations du système à résoudre par : 1, 0, 0,-1 et -1 respectivement pour (Q) (T) (L) (θ) (M)

(Q) : 1 = b2 (T) : 0 = -b2 – e2 (L) : 0 = -b2 – 3c2 + d2 + e2 () : -1 = a2 – b2 (M) : -1 = c2

Ce qui donne

a2 = 0 , b2 = 1 , c2 = -1 , d2 = -1 , e2 = -1

On écrit alors π2 sous la forme :

Pour la détermination de π3 1e numérateur étant M L-1 T-1 , on a à résoudre :

(Q) : 0 = b3 (T) : -1 = -b3 – e3 (L) : -1 = -b3 – 3c3 + d3 + e3 () : 0 = a3 – b3 (M) : 1 = c3

d’où les coefficients : a3 = 0 , b3 = 0 , c3 = 1 , d3 = 1 , e3 = 1

ce qui permet d'écrire :

Dans le rapport adimensionnel π3 on reconnait 1'inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le régime d'écoulement du fluide dans la canalisation. la relation 1 = f (2 , 3) se traduit alors sous 1a forme Nu = f ( 𝐏𝐞 , 𝐑 𝐞 ). En fait, dans :

on peut faire apparaitre :

ce qui implique :

Par le nombre de 𝐏𝐞 on retrouve 1'influence du régime d’écoulement du fluide sur le transfert de chaleur et on fait apparaitre un nouveau nombre sans dimension

𝐂𝐩 𝛈 𝝀

qui

présente 1'intérêt de ne faire intervenir que des grandeurs physiques propres au fluide.

Ce rapport adimensionne1 appelé nombre de Prandtl et noté Pr est donc calculable pour un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (i1 ne dépend que de la température) et caractérise 1'influence de 1a nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. On préfère donc rechercher une relation de 1a forme :

Nu= f ( 𝐑𝐞 , 𝐏𝐫 ) Remarque : Changement de grandeurs de base. Si, comme grandeurs de base, on choisit Δθ, 𝐜𝐩 , 𝛒 , D et u , il faut alors écrire les rapports sans dimensions pour ф , η et λ Un traitement analogue permet d'établir :

1 = Le rapport

𝐡

2 = 𝐑𝐞

𝛒 𝐮 𝐂𝐩

3 = 𝐏𝐫

1 est appelé nombre de Margoulis et noté Ma , ou , dans les ouvrages anglo-

saxons nombre de Stanton et noté St. Ce nouveau nombre sans dimension sert également à caractériser le transfert de 𝒉𝑫 chaleur par convection, comme 1e nombre de Nusselt ( 𝝀 ). En fait, on peut passer de 1'un à 1'autre. En effet :

St=

𝐡 𝛒 𝐮 𝐜𝐩

=

St=

𝐡𝐃 𝛌

.

𝛌 𝐃𝛒 𝐮 𝐜𝐩

= Nu . 𝐃 𝛒 𝐮 𝛈

𝛌 . 𝐜𝐩 𝛈

𝐍𝐮 𝐑 𝐞 . 𝐏𝐫

Chercher 1a relation St = f ( 𝐑 𝐞 , 𝐏𝐫 ) est tout-à-fait équivalent à chercher 1a relation Nu = f (𝐑 𝐞 , 𝐏𝐫 ).

L’analyse dimensionnelle indique entre quels rapports il faut rechercher une relation, et c'est las recherche expérimentale (considérablement simplifiée puisque les grandeurs physiques "réduites" sont limitées) qui donnera la forme des relations mathématiques qui relie ces nombres sans dimensions. C'est 1'impossibilité de décrire complètement la nature de 1'écoulement qui empêche d'établir des formules à caractère général .Toutes les formules empiriques proposées résultent d'expériences dans des conditions bien particulaires et par conséquent, i1 est impossible d'affirmer qu'elles s'appliquent rigoureusement au cas précis à traiter. Néanmoins, elles permettent de déterminer des ordres de grandeurs, ce qui est généralement suffisant, pour les projets plus élaborés.

b) Expression du coefficient h. 𝜶) Régime turbulent

( Re > 𝟏𝟎𝟒 ).

La formule la plus connue est celle de Colburn qui a indiqué:

Nu = 0,023 𝐑𝟎.𝟖 𝐏𝐫𝟎.𝟒 𝐞 Si le coefficient 0,023 semble satisfaisant pour les hydrocarbures, cette valeur est beaucoup trop forte pour les gaz pour lesquels des expériences plus modernes ont amené à proposer 0,018 tandis qu'on prendra 0,020 dans le cas de 1'eau. Pour résumer. Nu = A 𝐑𝟎.𝟖 𝐏𝐫𝟎.𝟒 𝐞

hydrocarbures 0,023 avec A

eau gaz

0,020 0,018

ou

St = A 𝐑−𝟎.𝟐 𝐏𝐫−𝟎.𝟔 𝐞 Bien que 1'on s'efforce d'éviter les régimes 1aminaires, et surtout intermédiaires, en augmentant la turbulence de 1'écoulement grâce à des étranglements ou des picots (emboutis formant des pointes à 1'intérieur du tube) dont la présence peut aller jusqu'a doubler le transfert thermique par rapport à ce qu' il serait sans ces artifices, on a été néanmoins amené à formuler des relations permettant le calcul de h en régimes laminaire et intermédiaire.

𝜷) Régime Laminaire 𝐑 𝐞 < 2100 On a pu établir analytiquement, à flux constant, la relation: 𝐃

Nu = 1,64 ( 𝐑𝐞 . 𝐏𝐫 . )1/3 𝐋

où L est la longueur de la canalisation de diamètre D. Dans Le cas ou on ne peut négliger les variations de la viscosité avec la température, i1 est préférable de prendre 1a solution expérimentale :

Nu = 1,86 (

𝛈

𝛈𝐩

𝐃

)0.14 . ( 𝐑𝐞 . 𝐏𝐫 . )1/3 𝐋

où η est la viscosités du fluide à la température de 1a masse fluide 𝜼𝒑 : 1a valeur de la viscosité à la température de la paroi L : la longueur de 1a canalisation de diamètre D.

𝜸) Régime intermédiaire. Dans le cas du régime intermédiaire, il existe des abaques qui donnent la grandeur sans dimension :

𝐉𝐇

𝛈

= Nu 𝐏𝐫−𝟏/𝟑 ( ) -0.14 𝛈𝐩

𝐋

en fonction du nombre de 𝐑 𝐞 , ces courbes étant paramétrées en 𝐃 La connaissance de 𝐉𝐇 permet alors de sortir Nu.

c) Modifications à apporter aux formules de h pour d'autres conditions de fonctionnement. 𝜶) Le fluide refroidit : les formules citées ci-dessus ont été établies généralement dans le

cas où la paroi réchauffait le fluide. Pour un même écart de température en valeur abso1ue, dans 1e cas d'un refroidissement du f1uide au contact de la paroi, on peut considérer un affaiblissement de transmission de 1'énergie de 1'ordre de 5 à 10% pour les fluides dont le nombre de Prandtl est voisin de quelque unités. On prend la forme générale de Nusselt avec 0,3 comme exposant du nombre de Prandtl soit :

Nu = A 𝐑𝟎.𝟖 𝐏𝐫𝟎.𝟑 𝐞

𝜷 ) Le fluide circule à 1'extérieur des tubes et parallèlement à ceux-ci: Lorsque

1’écoulement du fluide est parallèle aux tubes, certains auteurs uti1isent les formules relatives à une convection forcée pour un fluide circulant à 1'intérieur des tubes, en remplaçant dans Nu et Re , le diamètre D par un diamètre équivalent Deq défini comme étant égal à 4 fois le rapport de la section de passage du fluide au périmètre affecté par le transfert (analogie avec 1a définition du diamètre équivalent en dynamique des (fluides).

Exemple : Lorsque le fluide circule entre des espaces annulaires concentriques (tubes de diamètres respectifs D1/D2 et D3/D4) on établit : 𝛑

𝟒. 𝟒 (𝑫𝟐𝟑−𝑫𝟐𝟐 ) 𝑫𝟐𝟑 −𝑫𝟐𝟐 Deq = = 𝛑 (𝐃𝟐 ) 𝐃𝟐

lorsque le nombre de Nu est calculé au niveau du transfert de chaleur fluide-paroi externe du tube interne. 𝛾) Le fluide circule autour des tubes et perpendiculairement à ceux-ci on utilise des courbes donnant :

Y=

𝒉𝑫𝒆 𝝀

𝛈

. 𝐏𝐫−1/3 . ( ) -0.14 𝛈𝐩

est le diamètre extérieur des tubes.

en fonction de

𝐑𝐞 =

𝛒𝐮𝐃𝐞 𝛈

où

𝑫𝒆

EXERCICE . De 1'eau à 60°C circule dans un tube de verre. 1° Tracer la courbe donnant les variations du coefficient de convection h en fonction du diamètre du tube - celui-ci variant de 10 à 50 mm, le débit étant maintenu constant à 1, 8 . 𝒎𝟑 . 𝒔−𝟏 2° L'eau, dans les mêmes conditions de température ou de débit circule maintenant dans l'espace annulaire compris entre deux tubes de diamètre respectifs 20/27 et 50/60 (mm). Déterminer le coefficient h' au niveau de la paroi interne du tube Externe. Comparer au coefficient h relatif à la circulation dans un tube de diamètre tel que la vitesse de l'eau soit la même que ci-dessus . Données :

𝛒𝟔𝟎 = 983 kg .𝐦−𝟑

𝛌𝟔𝟎 = 0.564 kcal .𝐡−𝟏 . 𝐦−𝟏 . °𝐜 −𝟏

𝛈 = 0.47 . 𝟏𝟎−𝟑 𝛒𝐋

𝐂𝐩 = 1 kcal .𝐤𝐠 −𝟏 . 𝐦−𝟏 . °𝐜 −𝟏

Solution : 1° Le régime est turbulent. On applique 1a relation : Nu = 0.020 𝐑𝟎.𝟖 𝐏𝐫𝟎.𝟑 𝐞 𝐑 𝐞 =𝝆

𝐮𝐃

𝐐𝐕 = u . s = u .

u étant 1ié au débit par

𝛈 On a

= 𝐑𝐞 =

𝟒 𝐐𝐕 𝛑𝛈𝐃

𝛒=

D’autre part: 𝐏𝐫 =

𝟒 . 𝟏,𝟖 .𝟏𝟎−𝟒 .𝟗𝟖𝟑 𝛑 .𝟎,𝟒𝟕.𝟏𝟎−𝟑

𝐜𝐩 𝛈 𝛌

=

. 𝐃

= 479,3 .

𝟏 . 𝟎,𝟒𝟕 .𝟏𝟎−𝟑 .𝟑𝟔𝟎𝟎 𝟎,𝟓𝟔𝟒

𝛑 𝐃𝟐 𝟒

𝟏 𝐃

=3

Remarque : i1 faut faire attention aux unités pour calculer Pr car λ est donné en kcal/h.m° C et η en kg/m.s par conséquent i1 faut prendre : η = 3600 x n(P1)

Nu =

𝐡𝐃 𝛌

= 0,020 . (𝟒𝟕𝟗, 𝟑) 𝟎,𝟖 d'où

h=

𝟏

𝟑,𝟖𝟕𝟖 . 𝟎,𝟓𝟔𝟒 𝐃

𝟏

𝐃𝟎,𝟖

.

. (𝟑) 𝟎,𝟑 = 3,878 . 𝐃𝟎,𝟖

𝟏 𝐃𝟎,𝟖

=

𝟐,𝟏𝟖𝟕 𝐃𝟏,𝟖

Soit :

NB: on pourra prendre le soin, avant tout calcul de h, de vérifier que le régime est bien turbulent.

2° Déterminons 1a section de passage de 1'eau : 𝛑 S = .[ (𝟓𝟎 . 𝟏𝟎−𝟑 )2 – ( 27 . 𝟏𝟎−𝟑 )2] = 1,39 . 𝟏𝟎−𝟑 m2 𝟒

Le débit étant de 1,8 . 𝟏𝟎−𝟒 m3.s-1, l'eau circule avec une vitesse :

u=

𝟏,𝟖 .𝟏𝟎−𝟒 𝟏,𝟑𝟗 .𝟏𝟎−𝟑

= 0,129 m.s -1

pour déterminer h' , on applique la relation :

Nu = 0,020 Re0,8 . Pr 0,3 avec Re

=

𝛒𝐮𝐃𝐞𝐪.

où

𝛈

Deq. est le diamètre équivalent calculé par rapport au périmètre interne du tube externe soit: 𝐃𝐞𝐪. = 𝐑𝐞 =

(𝟓𝟎)𝟐 –(𝟐𝟕)𝟐 (𝟓𝟎)

= 𝟑𝟓, 𝟒 𝐦𝐦.

𝟗𝟖𝟑 .𝟎,𝟏𝟐𝟗 .𝟑𝟓,𝟒 .𝟏𝟎−𝟑 𝟎,𝟒𝟕 .𝟏𝟎−𝟑

= 9551

Nu = 0,020 . (9551) 0,8 . (3)0,3 = 42,48 = 𝐡′ =

𝟎,𝟓𝟔𝟒 . 𝟒𝟐,𝟒𝟖 𝟑𝟓,𝟒 . 𝟏𝟎−𝟑

𝐡′ 𝐃𝐞𝐪 𝛌

= 𝟔𝟕𝟕 𝐤𝐜𝐚𝐥/𝐡. 𝐦𝟐 .°C

pour une vitesse de 0,129 m/s c’est –à–dire pour un tube de diamètre :

D=(

𝟒 𝐐𝐯 1/2 ) 𝐮 .𝛑

= (

𝟒 . 𝟏,𝟖 .𝟏𝟎−𝟒 𝟎,𝟏𝟐𝟗 . 𝛑

)1/2 = 42 mm

2. CONVECTION LIBRE. Dans le cas d'un f1uide au contact d'une paroi plane verticale, 1'application du principe de 1'analyse dimensionnelle fait apparaitre un nombre sans dimension caractéristique de la convection libre dont la signification permet une analogie convection libre-convection forcée, que 1'on retrouve dans 1'expression de h a). Application de l'analyse dimensionnelle.- Le fluide de coefficient de dilation cubique 𝛃 défini thermodynamiquement par : 𝟏

∆𝛒

𝛒

∆𝛉

𝛃=+ . (

Δθ étant 1a variation de température /qui provoque la variation Δ 𝛒 de masse

volumique) est au repos au contact d'une paroi plane. Au départ, le volume unité a pour masse 𝛒𝟎 lorsque 1a plaque et le fluide sont en équilibre thermique à 1a température θ0 . Si 1'on porte la paroi à une certaine température, le fluide, qui subit un échauffement Δθ, va se dilater, le volume unité ayant sa masse qui varie de Δ𝛒 = (𝛒𝟎 − 𝛒 ).

⃗ . I1 sera donc soumis a une force ascensionnelle: Δ𝛒 𝐠 Le principe fondamental de la dynamique permet d'évaluer 1'accélération du fluide : Δ𝛒.g =

m𝛄 Pour le volume unité

m=𝛒

d’où :

Δ𝛒 g = 𝛒𝛄

𝛄=

∆𝛒 𝛒

. 𝐠 = 𝛃𝐠∆𝛉

𝛃𝐠∆𝛉 est le module de 1'accé1ération produite par 1'expansion thermique due à la variation de température ∆𝛉 .

𝛃𝐠: Accé1ération par unité d'écart de température de 1° Cet écoulement de f1uide le long de la paroi, dans la couche 1imite thermique va donner naissance aux courants de convection. Dans le cas d'une transmission par convection libre le long d'une paroi verticale, 1e coefficient de convection dépend des caractéristiques du fluide 𝛌 , 𝛒 , 𝛈 , Cp , 𝛃𝐠, de la paroi

caractérisée par la longueur L et de 1'écart de température ∆𝛉 aux bornes du film, ce que 1'on traduit par 1a relation :

ф = f ( 𝛌 , 𝛒 , 𝛈 , Cp , L , ∆𝛉, 𝛃𝐠) Dans le système M , L , T , θ , Q , cette relation entre 8 grandeurs se réduit à une relation entre 3 nombres adimensionnels. En choisissant comme grandeur de base : ∆𝛉 , 𝛌 , 𝛒 , 𝛈 , L , on établit les 3 rapports  suivants :



ф𝐋

𝐡𝐋

𝐂𝐩 𝛈

𝛌

𝛌

 u

𝛌𝚫𝛉

𝛃𝐠 

𝚫𝛉𝛒𝟐 𝐋𝟑 𝛈𝟐

𝐏𝐫 

=Gr ( Grashof )

Pour la convection 1ibre, 1'analyse dimensionnelle indique une corrélation de la forme :

Nu = f (𝐆𝐫 , 𝐏𝐫 ) Remarque : Dans le cas, plus général, ou le fluide possède une vitesse moyenne u , on montre que :

Nu = f ( 𝐑𝐞 , 𝐆𝐫 , 𝐏𝐫 ) Quelle est 1a signification du nombre de Grashof ? Lorsque la masse unité de fluide, soumise à 1'accé1ération : 𝛃 gΔθ, subit une variation d'altitude L, 1a conservation de 1'énergie permet d'écrire: 𝐮𝟐 𝟐

=( 𝛃gΔθ ).L

où le nombre de gauche représente la variation d'énergie cinétique (1e fluide étant initialement au repos) et le membre de droite. 1a variation d'énergies potentielle. On voit donc que le nombre de (Crashof) peut se mettre sous 1a forme :

𝐆𝐫 = 𝛃gΔθ . L

𝐋𝟐 𝛒𝟐 𝛈𝟐

𝟏

 ( 𝟐

𝐮𝐋𝛒  ) 𝛈

Le nombre 𝐆𝐫 est proportionnel au carré d'un nombre de 𝐑 𝐞 caractérisant le régime d'écoulement du courant. En pratique, dans la convection naturelle, le courant qui prend naissance reste laminaire jusqu'a ce que le nombre de Grashof atteigne une valeur de 𝟏𝟎𝟗 environ.

Le nombre de 𝐆𝐫 caractérise les mouvements du fluide provoqués par les variations de température. Dans 1a convection forcée, 1e régime impose au fluide est la plupart du temps prépondérant et masque totalement 1es courants de convection naturelle. Dans ce cas, la contribution du nombre de Grashof devient négligeable et on a: Nu = f (𝐑 𝐞 , 𝐏𝐫 ). Au contraire, en convection libre, puisque le fluide est nature1lenent au repos à 1'origine, 1a contribution de 𝐑𝐞 disparaît et c'est 𝐆𝐫 qui caractérise le régime d'écoulement.

Nu = f (𝐆𝐫 , 𝐏𝐫 ) b) Expression du coefficient h. Une recherche de solution analytique a amené à proposer une relation de la forme :

Nu = C ( 𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 )n

où C et n sont des sont des constantes qui dépendent de 1a

nature du régime et des fluides.

Remarques: Les caractéristique du fluide doivent être déterminées à la température du film ( moyenne arithmétique entre la température de la paroi et celle du fluide) . La limite inférieure de 104 dans le cas du régime laminaire, traduit les hypothèses de départ, c'est-à-dire les variations de vitesse et de température localisées dans la couche limite dynamique et 1a couche 1imite thermique.

𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 est également appelé nombre de Rayleigh, noté Ra ; Ces formules ne sont pas valables dans le cas de fluides métalliques (caractérisés par un nombre de Prandtl faible) pour lesquels on a établi une relation de 1a forme: 𝟐

Nu = 0.75 (𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 )1/4

pour un régime laminaire.

EXERCICE : Convection naturelle de l'air au contact d'une plaque verticale. De l'air à 16°C est au contact d'une plaque verticale maintenue à 60°c. Pour la température du film définie par

𝟏 𝟏 (𝟔𝟎 + 𝟏𝟔 ) = 𝟑𝟖 °𝐂 ( 𝛉𝐩 + 𝛉𝐟 ) = 𝟐 𝟐 Les caractéristiques de l'air sont les suivantes :

𝐂𝐩 = 0,24 kcal. 𝐊𝐠 −𝟏 . °𝐂−𝟏

𝛈 = 𝟏, 𝟗 . 𝟏𝟎−𝟓 pl 𝛒𝟐 𝛃𝐠 𝐂𝐏 𝛌𝛈

λ = 0,0234 kcal. 𝐡−𝟏 . 𝐦−𝟏 . °𝐂 −𝟏

= 7,7 .107

1° Tracer la courbe donnant les variations du coefficient de convection naturelle h avec la hauteur L de la plaque dans le domaine 0 - 1 m

2° Comparer les valeurs de h ainsi déterminées avec celles que donnent les formules approchée suivantes applicables pour de l'air à température ordinaire et à la pression atmosphérique normale : ∆𝛉 𝟎,𝟐𝟓 ) 𝐋

𝟏𝟎𝟒 < 𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 < 𝟏𝟎𝟗

𝐡𝐜 = 𝟏, 𝟐𝟐 (

𝟏𝟎𝟗 < 𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 < 𝟏𝟎𝟏𝟐

𝐡𝐜 = 𝟏, 𝟏 (∆𝛉 )𝟑

𝟏

Solution :

1° Evaluons le produit 𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 :

𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 =

𝛃𝐠 𝛒𝟐 ∆𝛉 𝐋𝟑 𝐂𝐩 𝛈 𝛈𝟐 𝛌

𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 = 7,7. 𝟏𝟎𝟕 .

=

𝛒𝟐 𝛃𝐠 𝐂𝐩 𝛌𝛈

. Δθ. 𝐋𝟑

( 60 – 16 ) . 𝐋𝟑 = 3,39 . 𝟏𝟎𝟗 . 𝐋𝟑

On considère qu'il y a changement de régime pour

𝐆𝐫 . 𝐏𝐫 = 𝟏𝟎𝟗 , par conséquent pour une plaque de hauteur L = (

𝟏𝟎𝟗 𝟑,𝟑𝟗 .𝟏𝟎𝟗

) = 66,6 cm

Soit le tableau :

2° A l'aide des formules approchées on dresse le tableau suivant :

On peut également tracer sur le même graphe 𝒉𝒆𝒎𝒑𝒊𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 = f (L). Les valeurs sont légèrement inferieures aux valeurs théoriques.

III- TRANSFERTS AVEC CHANGEMENT D'ETAT.

1. CONDENSATION. a) Phénomènes.- Les échanges de chaleur entre une vapeur se condensant sur une paroi et la paroi proprement dite sont liés aux types de condensation qui dépendent essentiellement des interactions liquide – paroi. * si le liquide mouille parfaitement la surface, il se forme sur celle-ci un film liquide continu. Ce type de condensation en film est le plus fréquent. * Lorsque le liquide ne mouille pas la surface, il se forme alors des gouttelettes de liquide en certains points qui ruissellent le long de la paroi. Ce type de condensation en gouttes s'observe pour la vapeur d'eau ou dans le cas de mélanges immiscibles si la paroi a une surface parfaitement lisse et propre.

Dans une condensation en gouttes, le liquide, ne mouillant pas la paroi, oppose une résistance thermique presque négligeable au transfert de chaleur. Par contre, dans le cas d'une condensation en film, le film joue le rôle d'isolant et par suite, impose la valeur du coefficient de transfert h pour la condensation qui est très nettement plus faible que pour une condensation en gouttes.

b) Condensation en film : travaux de Nusselt.-La théorie de Nusselt, établie en 1916, relie analytiquement le coefficient de transfert h aux divers paramètres physiques intervenant dans la condensation en film d'un fluide sur une paroi verticale 𝛂) paroi verticale : la solution analytique proposée par Nusselt correspond à des hypothèses bien précises : - l'écoulement du film de condensat, sous l'influence des forces de gravité, retardé par les forces de viscosité à l'interface solide - liquide, correspond à un régime laminaire . - il s'agit d'un écoulement le long d'une paroi plane verticale (ou de rayon de courbure négligeable) dont la température 𝛉𝐩 𝐞𝐬𝐭 constante : - le transfert de chaleur qui ne met en cause que la chaleur latente de condensation, se fait par conduction à travers le film suffisamment mince pour que le gradient de température dans son épaisseur soit constant.

Expression : dans le cas d'une paroi verticale, Nusselt a établi la relation:

𝟐√𝟐

h=

𝟑

(

𝛌𝟑 𝛒𝟐𝐋 𝐠 ∆𝐇 𝛈𝐋 𝐋 ∆𝛉

) 1/4

∆𝐇 : chaleur latente de condensation ∆𝛉 = 𝛉𝐯 − 𝛉𝐩 où 𝛉𝐯 est la température de rosée de la vapeur. 𝐋 : hauteur de la surface refroidissante. Conditions de validité: cette formule est valable uniquement en régime laminaire Re < 2 100 , où le nombre de Reynolds est défini de la façon suivante : Soient

M : débit massique de condensat S : section de passage du film liquide.

Dans le cas d'un tube vertical de grand diamètre extérieur 𝐃𝐞 .on définit pour le film un diamètre hydraulique 𝐃𝐡 par :

Dh =

𝑹𝒆 =

𝝆 𝑳 𝒖 𝑫𝒉 𝜼𝑳

=

4 fois la section 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒

𝝆𝑳 𝒖 𝟒 𝑺 𝜼𝑳 𝛑 𝑫𝒆

𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑜𝑢𝑖𝑙𝑙é

=

𝟒 𝛒𝐋 𝐮 𝐒 𝛈𝐋 𝛑 𝐃𝐞

=

𝟒𝛕 𝛈𝐋

=

𝟒 𝐒 𝛑 𝐃𝐞

avec 𝛕 =



𝛒𝐋 𝐮 𝐒 𝛑 𝐃𝐞

=

𝐌 𝛑 𝐃𝐞

𝛕 : débit massique de condensat par unité de longueur du périmètre du tube. La formule de Nusselt s'applique donc avec

𝟒𝛕 𝛈𝐋

< 2100

Comparaison avec les résultats expérimentaux. Il y a bonne concordance entre les résultats expérimentaux et les valeurs que l'on peut calculer avec la formule de Nusselt. Il est toutefois nécessaire dévaluer les grandeurs physiques relatives au liquide à la température du film définie par :

θfilm =

3 θp+ θV 4

( formule de Drew )

β) Condensation sur un tube unique horizontal en régime Laminaire : une valeur moyenne de h peut être calculée à partir de : 𝛌𝟑 𝛒𝟐𝐋 𝐠 ∆𝐇 1/4 ] avec 𝛈𝐋 𝐃𝐞 ∆𝛉

h = 0 ,725 [

𝐑𝐞 =

𝟒 𝛕′ 𝛈𝐋

< 2 100

ou 𝛕′ est le débit massique par unité de longueur du tube.

Comparaison entre un tube vertical et un tube horizontal: 𝐋(𝐕) étant la longueur du tube vertical et 𝐃𝐞(𝐇) le diamètre extérieur du tube horizontal, le rapport des deux expressions de h donne : 𝒉𝑯 𝒉𝒗

=

𝟎,𝟕𝟐𝟓 𝟏/𝟒

𝑫𝒆 (𝑯)

𝟏/𝟒

.

𝑳(𝑽)

𝟐 √𝟐 𝟑

=

𝑳(𝑽) 1/4 ) 𝟎,𝟗𝟒𝟑 𝑫𝒆 (𝑯) 𝟎,𝟕𝟐𝟓

(

Dans le cas d'un tube horizontal 𝐡𝐇 > 𝐡𝐕 dès que 𝟎,𝟗𝟒𝟑 4 ) 𝟎,𝟕𝟐𝟓

𝐡(𝐕) > (

. 𝐃𝐞(𝐇) 𝐬𝐨𝐢𝐭 𝐋(𝐕) > 2,86 𝐃𝐞(𝐇)

ce qui est pratiquement toujours le cas. Dans les mêmes conditions de température, le coefficient de transfert est donc plus élevé pour un tube horizontal que pour un tube vertical. 𝛄) Expression de h pour des faisceaux de tubes : dans le cas des condenseurs à faisceaux tubulaires, les tubes n'étant pas tous dans le même plan horizontal, le liquide tombant d'un tube va " épaissir " le film qui existe sur le tube en-dessous de lui, de sorte que les tubes inférieurs ont un coefficient de transfert h moins bon. En tenant compte du recyclage du condensat sur les tubes inférieurs, Nusselt a proposé pour calculer la valeur moyenne de h pour un ensemble de N tubes dans un même plan vertical, la relation :

𝒉𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 = 0,725

𝝀𝟑 𝝆𝟐 𝒈 𝜟𝑯 1/4 ( ) 𝑵 𝜼 𝑫𝜟𝜽

Au point de vue expérimental, il y a un certain nombre de facteurs qui font que l'on s'éloigne des conditions idéales définies par Nusselt (par exemple, la température de la paroi n'est pas constante, des irrégularités de surface provoquent la formation de rides ce qui modifie la surface du film, de même des gouttelettes peuvent se former...

Une correction importante a été introduite pour tenir compte de la vitesse de la vapeur qui a une influence importante sur le coefficient de transfert.

Influence de la vitesse de la vapeur : Lorsque la vitesse de la vapeur non condensée devient importante par rapport à celle du condensat, les frottements à l'interface liquide-vapeur modifient l'épaisseur du film. et, par suite, le coefficient de transfert. Gibert propose comme expression de h

h = 1,04 (

𝛒 𝐠 𝛌𝟐 𝚫𝐇 𝛕 1/3 ) 𝛈 𝚫𝛉 𝐋

𝐨ù 𝝉 =

𝑫𝒂 𝟖

. 𝛒𝐮𝟐

force de frottement du courant de vapeur sur la surface extérieure du film, Da étant le critère de Darcy (dynamique des fluides). 𝛅) Conditions optimales de fonctionnement des condenseurs : Nous avons vu que, pour un tube horizontal, le coefficient d'échange est toujours plus élevé que pour un tube vertical. En fait, on utilise toujours des condenseurs multitubulaires. Dans le cas des tubes horizontaux, on a signalé l'épaissement du film pour les tubes inférieurs qui avait pour conséquence une diminution du coefficient de transfert moyen.

On préfère donc, naturellement, une disposition verticale et, pour une telle disposition, c'est l'influence de la vitesse de la vapeur qui implique le sens de circulation de celle-ci. Pour un déplacement de vapeur de bas en haut pour un tube vertical, les frottements tendent à augmenter l'épaisseur du film : la diminution du coefficient de transfert peut avoir pour conséquence l'engorgement de l'appareil. D'autre part, pour de grandes vitesses de la vapeur, le condensat peut être refoulé en haut des tubes: il est alors nécessaire d'opérer avec des tubes de plus faibles hauteurs et fonctionnant en parallèle. Pour un déplacement de vapeur de haut en bas, à grande vitesse, le coefficient de transfert peut être jusqu'à 10 fois supérieur à celui obtenu pour une vitesse de vapeur nulle.

il y a donc toujours avantage à opérer avec des condenseurs verticaux, la vapeur arrivant par le haut.

EXERICE : Déterminer le coefficient d'échangeur vapeur-paroi lors de la condensation de 60 kg/h de vapeur d'un fluide synthétique pour transfert de calories, sur un tube de 60 mm de diamètre extérieur et 1,5m de long. Le fluide a les caractéristiques suivantes à la température de paroi (264 °C). λ = 0,15 kcal .h -1.m -1.°c -1 η = 0,30.10 -3. Pl ρ = 850 kg . m -3 ΔH (vaporisation) = 60 kcal.kg -1 température de rosée θv = 320°c. On déterminera h successivement pour un tube vertical et pour un tube horizontal.

solution : a) condensation sur un tube vertical. Débit massique de condensat par unité de longueur de périmètre du tube :

𝝉=

𝑴 𝛑 𝑫𝒆

=

𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎 .𝛑 .𝟔𝟎.𝟏𝟎−𝟑

= 0,0884 kg/m.s

Nature du régime :

𝐑𝐞 =

𝟒𝝉 𝜼

=

𝟒 . 𝟎,𝟎𝟖𝟖𝟒 𝟎,𝟑 .𝟏𝟎−𝟑

= 1179

𝐑 𝐞