Transfert Thermique DR HADDAD PDF [PDF]

Zitiervorschau

Dr Abdelkrim HADDAD Dipl. Ing., PhD, M.C., MAIAA

TRANSFERTS THERMIQUES UN COURS DE BASE POUR LES ETUDIANTS EN CYCLE DE GRADUATION AVEC PLUS DE 100 PROBLEMES ET EXERCICES RESOLUS

Alger 2001

Dar -EI- Djazairia

AVANT-PROPOS

Bien que le developpement et Ia disponibilite de calculateurs aujourd'hui rendent indispensable qu'un ingenieur soit familier avec les methodes numeriques de resolution de problemes de transfert de chaleur, Ia comprehension des mecanismes entrainant ce transfert restent Ia voie obligatoire emprunter afin d'arriver ce but.

a

a

Le present ouvrage voudrait contribuer a repondre a Ia necessite de faire apprecier a l'etudiant les mecanismes qui commandant ce phenomena asse~ commun d'echange d'energie qu'est le transfert thermique. II est le fruit d'un support de cours enseigne a I'Ecole Nationale d'lngenieurs, a l'universite d'Annaba et au Centre Universitaire de Guelma. II comporte principalement cinq chapitres dent les trois premiers traitent chacun d'un mode particulier de transfert de chaleur (conduction, convection et rayonnement) tandis que le quatrieme traite de l'echange de chaleur avec changement de phase. Les echangeurs de chaleur constituant le dernier chapitre de l'ouvrage, sent une application directe des differents phenomenes etudies qu'on rencontre dans de nombreux secteurs de l'industrie.

a

L'auteur essaye aussi de repondre une exigence generalement consideree comme des etudiants en cycle une caracteristique essentielle dans un ouvrage destine universitaire: Ia disponibilite d'exercices resolus. Aussi, taus les chapitres ant ete illustres d'exemples traites dans le detail. En plus, des questions de comprehension ainsi que des problemas representatifs de situations concretes ant ete inclus a Ia fin de chaque chapitre. Neanmoins, le lecteur pourrait noter !'absence de programmes de calcul specifiques. En effet, sachant qu'il existe plusieurs manieres d'approcher Ia solution d'un problema de transfert thermique et assumant que ce dernier possede les principes de base lui permettant de rediger un programme de calcul quand l'algorithme est connu, !'auteur s'abstint d'en presenter et s'est tenu au traitement d'exemples representatifs des techniques de resolution les plus utilisees. Le lecteur interesse pourra trouver un grand nombre de logiciels traitant divers problemas de transfert de chaleur en consultant Ia litterature specialisee.

a

L'ouvrage est enfin complete par une serie d'annexes rassemblant les principales donnees thermophysiques necessaires Ia resolution d'un problema thermique. II est cloture par des tables de conversion entre le systeme d'unites intemation;31es (SI) et les unites anglo-americaines encore tres utilisees.

a

A. HADDAD

NOTATIONS

Sauf indication contraire, les notations utilisees sont :

1 - Caracteres latins

a

Diffusivite thermique Chaleur massique ou vitesse de propagation des ondes electromagnetiques c Vitesse de propagation des ondes electromagnetiques dans le vide Co Constantes de Ia loi de Planck C\, c2 : Chaleur specifique du liquide Ia temperature de saturation cl Chaleur massique pression constante cp

a

csf d,D

e E

F;; G gc h H I

J k L Lc L"

m M

MA. n P p q, Q

qv r R

s S

a

: Constanta Diametres Epaisseur Eclairement Facteur de forme Vitesse de masse

: Constante Coefficient d'echange de chaleur par convec~ion ou constante de Planck Enthalpie lntensite d'un rayonnement Radiosite Coefficient d'echange de chaleur par conduction Longueur ou luminance d'un rayonnement Chaleur latente de condensation : Chaleur latente de vaporisation Debit massique Emittance Emittance monochromatique lndice de refraction ou normale a Ia surface Pression Pression ou perimetre Quantite de chaleur Debit volumique Coordonnee ou rayon Constante des gaz parfaits Constante Surface Temps

Notations

T

I'ce I'cs Tfe T_rs "Fg

Temperature Temperature d'entree du fluide chaud Temperature de sortie du fluide chaud Temperature d'entree du fluide froid Temperature de sortie du fluide froid Temperature de Ia phase gazeuse

a Ia paroi

TP

Temperature

~at

Temperature de saturation Temperature loin de Ia paroi Vitesse Composante de vitesse/x Composante de vitesse/y Volume Travail Composante de vitesse/z Coordonnees

T"' U u

v V

W w

x,y ,z

2- Caracteres grecs

a a;.

p

o e A. f.i

v p

PJ.. a r =

dr :

[¢>] = Watts

11

(2.1)

• La densite de flux thermique comme Ia puissance echangee par une surface unite de Ia otaque. Elle s'exprime: dO

(2.32)

Les conditions aux limites:

r = r, :- T; = C1 Ln('i) + C: {r = r 2

:

~ = C1 Ln(r~)+C 2

permettent d'exprimer les constantes d'integration: (2.33)

(2.34)

La temperature sera decrite par I'expression:

T

= C, Ln(r) + C

2

2 Transfert de chaleur par conduction

18

En rempla9ant dans !'expression de Ia temperature decrite par !'equation (2.32), il vient:

nr) = T, ( ) Ln (r ) + T, - T, Ln -

Ln

r2

f)

Ln (r,)

..2.

r2

qui peut s'exprimer sous Ia forme:

(2.35)

On peut deduire I' expression de Ia densite du flux thermique:

(2.36)

ainsi que celle du flux thermique:

(2.37)

et aussi celle de Ia resistance thermique .pour un cylindre creux:

v.(;,)

R=--2;rkL

(2 .38)

Exemple 2.4:

d1

Une cheminee en beton arme (k1 = 1,1 W I m'C) possede un diametre interieur 600mm et un diametre exterieur de 1OOOmm doit IJtre revetue de l'interieur par un

=

=

materiau refractaire ( k2 = 0,5 W I m' C). Determinez: (a) /'epaisseur du garnissage, (b) Ia temperature de Ia surface exterieure de Ia cheminee pour que les pertes thermiques ne depassent pas 2000 W I m et que Ia temperature de Ia surface interieure de Ia paroi en beton arme ne depasse pas 200" C. La temperature de Ia surface interne du gamissage est prise egale a 425"

c.

2 Transfert de chaleur par conduction

19

I ution: a) Le flux de chaleur a travers le gamissage s'exprime:

R=

Q=

TP- Tp; R

Ln(~) 2 ;rk:. L

0/m=:m2

Le flux par unite de longueur s'exprime done:

entraine que:

- ·

7r k2

I;,

d Tp; Ln .......!... d

d 600 d = [(r,-rJM')21r1:"! ] = -l 14~,-~,'lJ · 4-u ~ 'l·'.. ) = 421,36 mm --Q e 2ooo 4../1

e outissant

a:

e= 600- 421,36 =S9 mm 2

(b) Le flux etant conserve, Ia quantite de chaleur traversant Ia paroi en beton arme s'exprimera:

ce qui entraine qu: ( ~e

= ~~ -

~) Q

2n k 1

Ln (

= 200-

1:~~OOO 2x;r xl,l

= s 2·c

2 Transfert de chaleur par conduction

2.7.4 Sphere creuse

20

a surfaces isothermes

Figure 2.11: Sphere creuse a surfaces isothermes

En coordonnees spheriques, !'equation generale de Ia conduction s'ecrit (cf. equation 2.16):

Dans le cas stationnaire

(c I ot = 0) , unidimensionnel ( IJ I IJif/ = c I crp = 0)

et sans

sources ( Q' = o). I'equation se reduit a: (2.39)

qui peut s'ecrire:

1d [d ] 1d [ dT] -;. dr dr (r 1') = -;. dr T + r dr

1 ( dT dT d" T) dr + dr + r dr 2

= -;.

=0

On aboutit finalement a:

d 2 T 2 dT - -2+ - - =0

dr

(2.40)

r dr

avec les conditions aux limites:

r(r = 'i) = 1,' { r(r=rJ =J; La solution peut etre recherchee en posant:

dT U =dr

(2.41)

L'equation se transformera alors:

rU' +2U= 0

(2.42)

2 Transfert de chaleur par conduction

21

La solution recherchee aura Ia forme:

u = (_~

(2.43)

r"

d'ou:

,. . 1-.(r ) = -cl - +\..., r -

(2.44)

Les conditions aux limites: et

permettront de trouver les expressions des constantes:

cl =-

7;-I; 1

(2045)

1

(2.46)

et rexpression finale de Ia temperature sera: 1

T(r)

= I; + ( 1~ - I; )

r 1

r1 1

(2.47)

Trouvons !'expression du flux thermique. II s'exprime :

dT

(2.48)

¢= -kS dr avec:

~

alement:

¢ = -kS

T-T.( lJ 1

~

.!.- _!_

--

r"

(2.49)

2 Transfert de chaleur par conduction

22

Exemple 2.5: Un ballon utilise en laboratoire et contenant une huile moteur est soumis a une source de chaleur (voir figure ci-dessous). Le bal/on en verre (k = 0,80 W I m"C) est assimile a une sphere dont les diametres interieur et exterieur sont respectivement egaux a 20cm et 21cm. L'huile et /'air environnant possedent des coefficients de convection respectivement egaux a 15 W I m"'C et 10 W I m>C. ......

/

//

·:·.~.

i/

it

·,\

-=- -- :+ - Bailon

\ \. --=====- ./

I

\.~, ~··· ........_.... . -'..~ ,/ \~.::;!)

. Vr-- Source de chaleu•· 'l·-

-··_..) ...

L./-......r'

II est demande de calculer le flux thermique que doit foumir Ia source de chaleur afin de garder Ia temperature de l'huile constante a 80" C. On prendra Ia temperature ambiante egale 20 ' et on negligera les pertes par le haut du ballon.

a

c

Solution:

80'

c

L'apport de chaleur necessaire pour maintenir Ia temperature de l'huile constante doit etre au moins egal aux pertes subies par le ballon.

Le flux s'exprime (c.f. figure ci-dessus):

I;, -

=

r..

f.\...I + ~ + J{,.z avec: • R .1 '"'

1 = hh .4 .11Uj~~ = 15.4.ll'.(0,1) 2 = 0,530 .

• R. . . 2 =

l = 0,722 o C I W " = h,,.4.tr.r1 10.4.tr.(0,105)-

2( 1 1)

'

CI W

~

1

r2 rl- r'l • R>d =

0

,

k.4.tr.1j-

1

=

o

, = 0,520 C I W 0,8.4.tr.(O,J)· .

Finalement :

=

80-20 0,530 + 0,052 + 0,722

= 46 Watts

a

2 Transfert de chaleur par conduction

...

2.8 Probleme de conduction unidimensionnelle avec deperdition travers les surfaces laterales

23

a

2.8.1 Equation glmerale Ce cas represente le problema type de conduction dans un solide (refroidissement par ailettes, fils chauds d'anemometrie etc.). II existe dans les corps longs (x >->- y etz) et - transfert se realise par Ia surface laterale. /

~ / l ¢ -----+--·-·- ·-· -·-·-·-·-·-· -·-~; ·-·---· .~ /

."'-------'-+--"-----'

Figure 2.12: Bilan thermique

a travers un element infinitesimal de tige mince

Soit Ia tige representee en figure 2.12 dont Ia longueur est assumee tres grande devarit ses dimensions laterales. Elle possede une extremite chauffee en permanence. La chaleur se propage dans Ia tige et se deverse dans le milieu ambiant. Soient:

• p: le perimetre de Ia section droite de Ia tige, • k: sa conductivite thermique, • h: son coefficient d'echange convectif, • I:: Ia temperature ambiante, • S: Ia surface de Ia section droite de Ia tige. Dans les differents cas etudies precedemment, Ia formulation generale n'introduisait

pas les conditions de surface et les effets des echanges peripheriques. Afin d'etre en mesure de les prendre en consideration, considerons un element de volume (Sdx) et faisons son bilan energetique. Le premier principe de Ia thermodynamique nous dicta: ¢.~ - c:I> x+ L + Q' Sdx

=0

(2.50)

Appliquons Ia relation de Fourier pour chaque flux:

En developpant, simplifiant et arrangeant !'expression precedente, on arrive decrivant le transfert a travers Ia tige representee en figure 2.12:

a !'equation (2.51)

24

2 Transfert de chaleur par conduction

avec:

m-" = -hp

(2.52)

kS

Remarques: 1- C'est une equation importante, souvent appliquee pour les tubes et les fils possedant une section constante avec h et k constants. 2- C'est une equation differentielle de deuxieme ordre solution generale est recherchee sous Ia forme

a coefficients

constants dent Ia

T(x)- '(,

= A ch(mx) + B sh(mx)

(2 .53)

7-(x ) - / ,,'

= _.e

(2. 54)

ou: (~

mx

+ [ :./) e m
total = k m S 1'a -

T.,

) th(mL) + G _l _+.:_G_th-'-(-n-1L-)

(2.64)

2.8.3 Efficacite d'une ailette

a

La qualite d'une ailette est caracterisee par le rapport de sa performance effective celle d'une ailette ideale de temperature uniforme egale a sa temperature de sa base. Une

2 Transfert de chaleur par conduction

26

telle ailette degagerait un flux de chaleur de: ¢ maximum

=h P [ ( J;, - ~)

(2.65)

et son efficacite sera definie comme: 6

ka = ntr et k = -

a

doit imperativement etre prise differente de 0.

, n = 0,1, ...

(2.76)

Ceci introduit une infinite de solutions non nulles de Ia forme:

X .. ( x)

= A2 sin(';Jx = A2 sin(p::;;)

(2.77)

Remarques: 1-

An forme !'ensemble des valeurs propres du systeme et X n ses vecteurs propres,

2- {X.,} forme un ensemble orthogonal. c'est a dire que:

J xm (x ). X , (x).dx = O si m :t;n (I

Pour les valeurs de

A,,

!'equation possede comme solution:

\1 (-mra-v·,'j + B e(n" -"'' a· :

Yu (y) = An e

(2.78)

JJ

(2.79)

Recherchons les valeurs des constantes en appliquant les conditions aux limites:

Y(O) =

Cn = 0 => Y,,(y) = Dnsh(n: ;.J

(2.80)

II existe done une infinite de solutions telles que:

T(x,y)

= X (x).Y(y) = E, sin(

n: x)sh(n: n=0,1, ... y) ,

(2.81 )

2 Transfert de chaleur par conduction

31

II existe done suivant Ia valeur de n une infinite de solutions qui satisfont les trois conditions aux limites x = 0, x = a et y = 0. La solution generale est done une combinaison lineaire de ces solutions particulieres. Elle s'exprime:

. (nn -x) sh (nn - y) a a

T(x,y) = L~ En sm n= l

La con stante En est choisie de telle fa~on que Ia derniere condition aux limites s'exprimant:

f E., sin( nn x) sh(nn b) = f(x) n =l

a

soit verifiee.

a

Exemple 2. 7: Soit Ia plaque rectangulaire illustree ci-dessous. II est demande de determiner Ia distribution de Ia temperature dans cette plaque en fonction de x et y. y

T=O

L

X

Solution: En procedant a Ia separation des variables et en rernpla~nt dans !'equation gEmerale de Ia conduction, on aboutit au systeme de Stum-Liouville:

dont Ia solution generale s'exprime:

X = A cos(..U)+ Bsin(A.x) { Y = Ce;.>" + De- J.y entrainant !'expression de Ia temperature:

T(x,y) = X .Y =[A cos(A.r)+ B sin(A.x)](Ce-l:v + De--1:v )

2 Transfert de chaleur par conduction

Les conditions aux limites permettront d'evaluer les constantes:

r~-=c• = 0 => (A cos(.i x) + B sin( A x)j[ C + D] = 0 ~ C = -D i Tx=o = 0 => A(Ce," + De-J." ) = AC(e;,y -e-.1.y ) = 0 =>A = 0 TT- L = 0 => [ B sin(A.L )]C{ e"Y - e-~v) =2BC sin(J. L)sh(). y) = 0

l

La solution de cette derniere equation impose que sin( A. L) soit nul c'est-a-dire que mr

A= L avec n = 1,2, ... d'ou I' existence d'une infinite de solutions dont Ia somme est aussi solution de cette equation. Cette derniere s'exprime:

T(x,y)

"' ('n sin(n =~ Llfx) sh (nlf L y)

La derniere condition aux limites permet !'evaluation de Ia constante

C:

(n;rx) h(ll7r ')_- I . (lfX) --

~ C. sm-. L.. s n --1

L

"

L

et impose que seule Ia constante

cl = sh

"'

sm-

L

C\ est necessaire.

Elle s'exprime:

(lf-- 1) L

et Ia distribution de Ia temperature s'exprime finalement comme:

,(lf}')

5 '\

T(x,y) =

T..

s{Ll~) si'\(Ltrx)

2.10 Conduction unidimensionnelle en regime variable sans source Application de Ia transformee de Laplace 2.1 0.1 Generalites sur Ia transformee de Laplace

La transformee de Laplace notee T(x,p) d'une fonction T(x,t) est definie par:

.,

T(x,p)

=

f

e - ps

T(x,t)dt

o)

avec: • p : nombre reel ou complexe,

• T(x,p) : Image ou transformee de Ia fonction T(x,t).

2 Transfert de chaleur par conduction

33

2.10.2 Application de Ia transformee de Laplace a !'equation unidimensionnelle de Ia chaleur en regime variable L'equation generale de Ia conduction s'exprime (cf. equation 2.13):

k ( T ~ T 8 T) Q' --~ +-- + --, + p c or o y 2 pc

cT

o

o

2

-= -

ot

2

oz-

En unidimensionnel (8 I c y = c I o z -== 0) et sans sources (Q' = 0), I' equation se simplifie pour s'ecrire:

oT k o2 T t3 2 T = - -, =a--, Jt pc J x J x-

ou:

(2.85)

a

Nous semmes done confrontes une equation differentielle aux derivees partielles. Appliquons Ia transformee de Laplace a !'equation precedents (2.85):

"f'e

-pt

c"Tdt - -1 s"' e - pt -t3Tdt -- 0 , ~

ox-

(l

~

(/ t

a c'

Une integration par parties permet d'aboutir a:

d"

fe-pt T(x,t)dt - _.!_{[e-P' T(x,t)J:' + pf e-prT(x,t)dt} a

dx 2 0

0

=0

.

En remarquant que les deux integrales representent en fait Ia transformee de Laplace et en simplifiant, on obtient:

d"~ - P f Jx- a avec:

= I'c,

(2.86)

a

1,; = T(x,O)

La transformee de Laplace a done permis Ia simplification de !'equation de Ia chaleur qui est une equation differentielle aux derivees partielles en une equation differentielle aux derivees totales. Un changement de variables adequat permettra d'eliminer le second membre de !'equation:

1

= 7' - Ic, ~

_

_

I(

r =T - ~ p

r·

d2 £·r et - 2 - dx - dx 2

equation (2.86) deviendra: d"T~

-

-, _ P T"= O dx· a

(2.87)

2 Transfert de chaleur par conduction

34

dent Ia solution est recherchee sous Ia forme:

(2.88) avec: k~

=.!!... a

A partir de Ia solution transformee t·(x,p), Ia solution originale r(x,t) = T(x,t)- Ir.. peut etre obtenue grace Ia transformee inverse (des tables donnant cette transformee sent disponibles).

a

Exemple 2.8:

a

Une sphere en acier de 10cm de diametre et initialement Ia temperature uniforme de Joo·c est soudain plongee dans un milieu ou regnent une temperature de 10o·c avec un coefficient de convection de I OW I m2 • C. II est demande de determiner le temps necessaire a Ia sphere d'atteindre une temperature de 1so•c. Caracteristigues de Ia sphere:

p = 7850kg I m 3 , c = 0,46kJ I kg0 C, k = 46W I mK

Solution: En assumant que Ia temperature de Ia sphere reste uniforme durant le processus de refroidissement et en negligeant les pertes de chaleur par conduction, celles echangees par convection seront manifestement representees par une diminution de l'energie interne de Ia sphere consideree. On peut done ecrire que:

dT = hS(T- r) = - pc v~, dt En assumant qu'au temps t=O, Ia temperature T = T.>• il vient:

_T-T _ ";.':. . : e-~~ pcV

fc, -

T;L)

avec: T = lSOOC, 7;,, = lOOO C, Done:..!!§__==

p c'O d'ou:

fc, = 3000C

l0.4.;r.(O,OOS/ = 166110- =0

·'

Corrigeons Ia temperature qui correspond important:

1'7'(~)

pre~edent

R 04 )

--

0

a eu le residu le plus

42

2 Transfert de chaleur par conduction

Les ~1 calcules

a

partir de cette iteration seront nuls. La prec1s1on de 0,2°

demandee est atteinte (dans ce cas particulier, les valeurs des temperatures atteintes sent des valeurs exactes) et le resultat final est:

7;2 = 25

; ~2 = 30 ;

7;3= 20 ; 7;3 = 25

2.11.4.4- Methode iterative de Gauss-Seidel- Utilisation du principe de resistance thermique L.orsque le nombre de naauds est important, !'utilisation d'une methode numerique iterative devient necessaire. L'une de ces methodes est celle de Gauss-Seidel qui peut etre appliquee par !'utilisation du principe de resistances thermiques etudie Ia section 2.7. En notant notre noeud 'i ' et ceux l'entourant ' j' (c.f. figure 2.20) et en effectuant un bilan thermique, il vient:

a

ou: • q; :

Chaleur delivree au noeud 'i 'par une source, unrayonnement etc.,

• R;i :

Resistance thermique dependant du mode de transfert entre les naauds 'i 'et

'j' (conduction, convection aux frontieres etc.).

Figure 2.20: Reseau de nc.euds 'j' entourant un noeud interne 'i'

Remarque: En remplayant le second membre de cette equation par un residu, celle-ci peut etre resolue par !'utilisation de Ia methode de relaxation. La temperature au noeud interne 'i ' s'exprime:

T

q; + L. f; =

J

; .L

1

L.-R;i j

'ij

(2.97)

2 Transfert de chaleur par conduction

43

Cette equation est utilisee dans l'algorithme de Gauss-Seidel qui est applique selon le principe suivant: Se fixer des valeurs initiales pour les temperatures f;,

1ere Etape:

2eme etape: Les nouvelles valeurs des temperatures T; sent calculees par application de !'equation (2.95) en utilisant toujours les dernieres valeurs des ~· 3eme etape: Le calcul se poursuit jusqu'a ce que Ia difference entre les valeurs des temperatures aux etapes (n) et (n - 1) so it negligeable c'esH3-dire que Jr;- r;(n+t)l ~ e, e etant un nombre assez petit.

Exemple 2. 10:

Reprenons le m~me exemple traite precedemment grace aux methodes matricielle et de relaxation. En natant les nreuds internes 1,2,3 et 4, celui-ci se presentera selon Ia figure 2.21. (10)

(10)

( 15)

(25)

1

2

(20)

(20)

(40)

3

4

(25)

(40)

(35) (30)

(30)

Figure 2.21: Illustration du reseau de nc:euds pour application de Gauss-Seidel

Solution: Dans ce cas, le transfert thermique entre les nceuds se fait par conduction et aucune source de chaleur n'existe. En plus, le materiau est assume isotrope (k = Cste). Ceci entraine:

Lk1.TJ d'ou:

T-

j

·- Lkj

1

"r

=4~ j 1

2 Transfert de chaleur par conduction

44

Appliquons l'algorithme de Gauss-Seidel en choisissant: • II =

~

0

= 15 ,

J;

= 25 , J; = 25 , 1;, = 3 5

~ = ~(20+ 10+ 7; + ~) = ± (20+ 10+25 +25) = 20 1 I; = 41 (10+ 40+17 + J: ) ::::4(10+ 40 + 20+35) = 26,25 •n = 1

r; = ±(20 + 30 + r; +I:)= ± (20 + 30 + 20 + 35) = 26,25 1'.t = ±(40 + 30 + 7; +I:;) = ±(40 + 30 + 26,25 + 26,25) = 30,625 1

I; = 4 (20 + I 0 + 26,25 + 26,25) = 20,625 1

I;,= 4(10 +40 + 20,625 +3 0,625) = 25,312 • n =2

1

T.• = -(20 + 30 + 20,625 + 30,625) = 25,312 4 . 1

I;, = - (40 + 30 + 25,312 + 25,312) = 30,156 4

Les calculs se poursuivent jusqu'a !'obtention du resultat a Ia precision souhaitee. Le tableau ci-dessous donne les resultats des quatre premieres iterations avec une precision inferieure a 0,12°. Iteration

I;

I,

I;

~

0 1 2 3 4

15 20 20,625 20,156 20,039

25 26,25 25,312 25,078 25,01 9

25 26,25 25,312 25,078 25,0 19

35 30,625 30,156 30,039 30,009

E ma:..

5 0,938 0,469 0,11 7

2.12- Regime variable 2.12.1- Glmeralites En regime variable (o I

o t = 0) ,

unidimensionnel (8 I 8 y

sources internes, I'equation de Ia chaleur s'ecrit:

-

- - --2

8 1 - pc

ou:

ox

= t3 I t3 z = 0)

et sans

2 Transfert de chaleur par conduction

45

avec:

k

= -pc : Coefficient de diffusivite thermique.

a

Le calcul de Ia temperature peut etre conduit de deux fa9ons: 1- En exprimant Ia temperature T au temps (t + M) en fonction des temperatures connues c'est-a-dire celles au temps t : Cette methode est dite explicite. 2- En exprimant Ia temperature T au temps (t + M) en fonction des temperatures inconnues au meme temps (t + M): c'est Ia methode implicite.

2.12.2- Methode explicite Exprimons !'equation de Ia chaleur en regime variable en termes de differences finies. Pour cela, utilisons le developpement en serie de Taylor :

T) (.llx) = I; + (8T) ox Llx + (o" CX - 2 2

1

T;+l

. ,

2

+

d'ou: 1 ~ 2 T - Ti+1 l + Ti-1 _u_

ox

2

-

-

2T';

(2.98)

(ilx}"

En rempla9Bnt Ia differentielle de T par son expression dans !'equation de Ia chaleur, celle-ci devient: (2.99)

En posant:

(.llx)" M=--

aM

et en arrangeant, on obtient:

T'+ ur = _1 (T' - T' ) + ' M >+& •-1

(t- ~) Tt M I

(2.100)

2 transfert de chaleur par conduction

46

Remarque: L'avantage de cette technique est que chaque equation consideree ne peut contenir qu'une seule inconnue. Par contre, n'importe quelle valeur de M ne saurait convenir. On montre que Ia condition de stabilite pour un noeud interne impose: M > 2 fois le nombre de variables geometriques. Le meme probleme de stabilite se pose pour les nceuds situes sur Ia frontiere. On montre aussi que Ia condition de stabilite dans ces cas impose: M

~ 2 ( h ~ + 1) .

2.12.3- Methode implicite Pour cette methode, !'equation est developpee en termes en termes d'inconnues de T au temps (t + !:lt) . Reprenant I'expression precedente, !'equation de Ia chaleur s'ecrit:

1 (Llx)~

a

~t+t:.r

+ T/ (2.101)

Llt

En developpant I' equation et en arrangeant, on obtient:

r - T,t+t:.r - Tt+/:J.r = M T' ( M + 2) T,'+t:. ' r+ l r- 1 '

(2.1 02)

2.12.4 - Methode generale D'une fa9on generate, I'equation de Ia chaleur en regime variable peut etre exprimee comme une combinaison de deux termes: l'un calcule partir des expressions au temps t , et l'autre partir des expressions au temps (t + il_t). Pour un noeud interne, elle s'ecrit:

a

a

(~)2 a(:z;~, + 7;~ 1 2_7;) + (1- a)(J;:~61 + J;_~6' - 2 7;'+ [

-

61 )]

= -~-(rt+!:.t - rr) a Llt

'

(2.103)

'

Si: • a=O

On aura Ia forme de !'approche implicite,

• a= 1

On aura Ia forme de !'approche explicite,

• a= 0,5

On aura Ia forme dite de 'Crank-Nicholson'.

Exercices

2.1 : Decrire brievement le mecanisme responsable de Ia conduction de Ia chaleur dans un milieu so/ide.

2 Transfert de chaleur par conduction

47

Comment detinissez-vous Ia conductibilite thermique (ou coefficient de conduction) d'une substance ?

Comment definissez-vous Ia resistance thermique ? Quel/e est Ia relation qui Ia lie Ia resistance electrique ?

a

Quelle est /'importance de /'utilisation de /'analogie existant entre les grandeurs thermiques et electriques ?

Expliquez britwement /es hypotheses entreprises afin d'arriver donnant /'expression du flux convectif des surfaces.

a Ia

loi de Newton

Decrire brievement le mecanisme responsable du _ transfert de chaleur par convection et deduire ses principales differences avec celui realise par conduction ?

Enumerez les etapes essentielles de Ia mise en place d'une methode numerique de resolution de /'equation de Ia chaleur.

En quoi rayonnement thermique differe-t-il des autres types de rayonnement faisant partie du spectre du rayonnement electromagnetique ?

Qu'est ce que l'emissivite d'une substance ?

Quel/e est Ia difference entre un corps noir, un corps gris et un corps reel ?

Les deux faces d'une plaque de cuivre de 3 em d'epaisseur sont maintenues aux temperatures de 400°C et 100°C. Calculez Ia quantite de chaleur transmise par unite de surface a travers Ia plaque (kcutvre = 370W I moC). Rep. : Q l

s = 3,7MW 1m

2

2 Transfert de chaleur par conduction

48

Wattmetre

Afin de mesurer Ia conductibilite thermique, deux echantillons de materiau identiques de dimensions (15x15 cm 1 ) et d'epaisseur 2,5 em sont places dans le bane d'experimentation represente ci-dessus. Du courant electrique est foumi au systeme de chauffage. Un wattmetre, place dans le circuit, indique que Ia puissance dissipee est de 10 Watts. Les thermocouples attaches aux surfaces chaudes et froides des echantillons indiquent des va/eurs pour les temperatures de 300K et 260K respectivement. Calculez Ia conductibi/ite thermique k du materiau.

Rep.: k

=O,l4W I mK

De /'air a 20°C souffle sur une plaque de dimensions (50x75 cm 1 ) maintenue temperature de 250°C. Le coefficient d'echange par convection h est ega/ Calculez Ia chaleur transmise par Ia plaque.

a une

a 25W I m2

0

C.

Rep.: Q = 2,l56kW

Un courant electrique passe dans un fit de 1mm de diametre et de 10cm de longueur. Le fil est immerge dans de /'eau a Ia pression atmospherique et l'intensite du courant est augmentee jusqu'a ce · que l'eau arrive a ebullition. Dans ces conditions, le Quelle est Ia puissance coefficient de transfert convectif est trouve ega/ 5000Wi m 2 electrique qui doit ~tre foumie au fit afin de maintenir sa surface a Ia temperature de 114oC?

a

oc.

Rep.: Q =Puissance = 21,98Watts

Deux plaques infiniment tongues et paral/e/es dont Jes conditions de surface approchent cel/es du corps noir sont maintenues aux temperatures de 1070K et 520K. oeterminez /e transfert de chaleur par rayonnement par unite de surface entre /es deux plaques.

Rep.: Q I S= 70,2kW

2 Transfert de chaleur par conduction

49

-·~

~--

I

T.

l

I

I

I

Flux ---=-=------" ...

I I

I

I

~

-r---_j l --

I

I I

·~

I

I

I

.

I

I

I

;

;

!

I

l Z -_1-----

I

------j

-·

- ·~ _.J I

Bnques isolantes

Briques refractaires

Le mur d'un four est compose de deux couches. La premiere, en briques refractaires, possede les caracteristiques L1 = 0,20m et k1 = 1,38W I La seconde

m·c.

couche, en briques isolantes, est caracterisee par L" = 0,1 Om et k" = O,I7W I m'C. A l'interieur du four, Ia temperature I; est de 1650°C. Le coefficient d'echange convectif sur Ia paroi interne est hi = 70W I m""C. L'exterieur est constitue d'air dont Ia temperature et le coefficient d'echange convectif sont respectivement T. = 25" C et he = 1OW I m2"C. Calcu/ez: 1- les pertes de chaleur par m2 de surface, 2- les temperatures de Ia face interieure, de /'interface et de Ia face exterieure du mur, 3- les pentes des droites T(x) pour chaque partie du mur.

Rep.: 1- = 1917Wim2 2- T.tace interne = 1622°C ; 3-

(dT) dx

T:nt erj.1ce

=-1390°C 1m Ri fraclaitcs

= 1344°C ; T,accc.~lcme = 216°C

(dT) dx

=- 112800C Im isoltllcs

Utilisant l'analogie existant entre les grandeurs thermiques et e/ectriques et assumant une conduction unidimensionnelle, ca/culez le flux de chaleur par unite de surface travers le mur compose illustre Ia page suivante.

a

a

A.N.: kA = 17SW l mK , k 8 = 35W lmK , kc =SOW l mK kv =SSW l mK

O,Olm

0,03m

0,02m

2 Transfert de chaleur par conduction

50

Soit un til de 1mm de diametre couvert d'une couche isolante de 2mm d'epaisseur et de coefficient de conduction k = 0,5W I mK. La temperature ambiante de /'air entourant le til est de 25°C et son coefficient de convection h = W I m~ K . La temperature de Ia surface du til est de 100°C. On demande de calculer le flux ·de chaleur degage par le til par unite de longueur: 1- sans couche isolante, 2- en presence de Ia couche isolante.

Rep. : 1- Transfert par convection uniquement: = 2,36 WI m 2- Transfert par conduction et convection: = 10,9 W I m

Une conduite cylindrique isolee est representee .ci-dessus. A l'interieur de Ia conduite s'ecoule un fluide chaud (T;, h1 .) . L'isolation est representee par un cylindre creux de rayons ~ et ~. On . assumera un regime permanent et une conduite longue

(L >->- R1 .~ et R3 ) .

On demande de determiner: 1- Le coefficient d'echange global par unite de longueur de Ia conduite, 2- le flux de chaleur transmis de l'interieur vers /'exterieur par unite de longueur de Ia conduite. Application numerique:

R1 :::: 60mm,R:_ ==

65mm,~

=80mm,k1 =46W I mK,k~ = 0,16W I mK

h; = 100W i m2 K,he =20W i m2 K,I;= 333K, I; =293K Rep.: Kglcb.,, = 5,98W I m~K ; 2- = 120W I m

Determinez les deperditions thermiques se tenant a travers une surface vitree de surface 1m2 ainsi que Ia repartition des temperatures dans les deux cas suivants :

,,

2 Transfert de chaleur par conduction

51 ·,

'

=

1- Vitrage simple d'epaisseur e 4 mm, 2- Double vitrage compose de deux lames de verre d'epaisseur 4 mm chacune et -d'une lame d'air intermediaire stationnaire d'epaisseur 6 mm. Application Numerique:

k'""" = 1,2W I mK ; kair == 0,024W I mK 2

·' T=20°C ,· T=0°C 1 e

h=l2Wim K

Rep.: 1- = 117,6W 2- = 47,2W

Temps: 10,2 19,8°C Temps: 16,1/15,914,113,9°C

a

Un distil/ateur solaire (voir figure ci-dessus) dans lequel s'ecoule de l'eau Ia temperature de 360K est expose au rayonnement solaire dont le flux thermique a travers Ia plaque de verre est de 490 WI m2 • La temperature de /'air ambiant est de 300K. En negligeant l'effet de Ia plaque de verre sur le transfert thermique et en considerant que le bas et les cotes du distillateur sont adiabatiques, determinez le temps necessaire pour transferer 106 Joules 1m2 de surface de l'eau.

a

Rayonnement incident

l"'- AIR __

.\.

.II--

/Plaque de verre

~ lA=------~---~

I -

~

/ / A X

/

X X- / /'

Eau en contact avec Ia plaque de verre

~~--~-----~~~~ 2

On prendra : hemr-wrre = 28, 3 WI m K t

2

h,·erre-mr = 6, 8 WI m K

= 1h43mn

Considerons une barre cylindrique de longueur L dont une extremite est chauffee a une temperature uniforme ·To. L'autre extremite est consideree adiabatique. Soient p le perimetre de Ia section droite, S l'aire de cette section, k Ia conductibilite thermique du materiau, h le coefficient ailette-air et 'I:~ Ia temperature ambiante. II est demande de trouver Ia distribution de temperature ainsi que le flux total de dissipation.

. Rep.: T(x)- I;, = ( T0

-

T., )[ch(mx) -

sh(mL)sh(mx)l ~( ch(mL) , pert"'= ...;khpS ~-

T., ) th(mL)

52

2 Transfert de chaleur par conduction

Trouvez Ia distribution de temperature T(x,y) dans Ia longue barre rectangulaire dont Ia section est representee ci-dessous.

a

Rep.: T(x,y) = _ 400f _1_ sin[(2n + l)1rx] sh[(2n + l)1r(b1r ll=o 2n + 1 a a

-L

y)]

+L

Une t61e metallique d'epaisseur 2L, de longueur infinie et de temperature initiale 1'o uniforme se trouve plongee brusquement dans un bain isotherme a temperature constante I;,. En admettant que les deux faces (x = -L et x = +L) prennent instantanement Ia temperature du bain (i.e. au temps t: T(L ,t) = T(-L,t) = T), trouvez Ia distribution de temperature T(x,t).

Rep. : T(x,t)

4 I.;

"'

(2n+l)',

= (2 n + 1) 7r L: e n=(l

41

n'

[

cos

(2n + 1) ~rx ] 21'

Un profile en I de hauteur 300mm dont le dessus est maintenu a une temperature de 250°C et le dessous gooc possede une epaisseur e= 12mm. . De /'air a 250°C souffle

a

2 Transfer! de chaleur par conduction

53

le long de ce profile entrainant une valeur pour le coefficient de transfert h=40W!m 2 K . . La conductivite thermique de l'acier est k=45WimK. 1- Trouvez Ia distribution de Ia temperature le long de Ia tranche centrale du profile, 2- Dessinez Ia courbe qui represente cette distribution.

-.1

j.-12mm

}oomm

Rep.: 1- T(x) 2-

= 250 -7,7.sh(l2,4x) 0,6 -6305

X

T(x) T(x)

Forme de la courbe representant la distribution de la temperature decrite par I'equation: T(x) = 250-7,7 sh(l 2,4x)

~·~·J M; I I (i+l)

(/JL

Figure 1

Figure 2

Une aube de turbine de longueur 4cm et de diametre tcm est constituee d'acier (k=25WimK). Ia temperature de sa base T1 = 750K. L'aube est exposee a de /'air chaud

(J'.,

= r; = 1140K,h=450W i m 2K).

1/estdemande: 1- d'etablir /'equation generate aux nreuds internes (notes 2, 3 et 4), 2- d'ecrire /es trois equations aux nreuds internes 2, 3 et 4, 3- de d terminer le flux de chaleur (dissipe ou gagne) par l'aube.

54

2 Transfert de chaleur par conduction

Rep.: 1- AI;+ BI;

1 -

B'f;~ 1

+ C = 0 avec: A= -hpD!lx, B =

kpD" Dx , C = hpD!!.x 4

2- Noeud2: A7~ + BT;- B~ + C = 0 , Noeud3: AI;+ B~ - B~ + C

=0

~e~~A~+B~-B~+C = O

3- = 65,45W

31XlK

! - .. -· - -

. - -· ·-· --- 4

lOrnm

I -

-...1

20mm

!Omm 20mm

--~- --

- -- -

•

• ----

•

•

-

--· ··- 2

._....._....._ _...._..___.. • I

60mm

I

-L--

1 I

-~ --

o

~·-

- 3

~ -·

l

r--

I'

3

2

4

Une cheminee (k=O, 7WimK) possede une section droite telle que definie par Ia figure . Si /a temperature de Ia face interne est de 520K et celle de Ia face exteme 300K, calculez en utilisant une methode numerique Ia distribution de temperature (Precision de 1K).

Rep.: I;'!.

= 362,5K ; 7;,2 = 331,25K ; ?;3 = 362,5K ..,

2

4

.}

5

6

I I I I I255K

0,1

O,Sm

255K

•

•

• •

m

•

•

•

•

6

•

-

•

-4

•

-

•

-2

5

255K 3

-1

~

255K O,Sm

~

Calculez grace a une methode numerique: 1- /es temperatures aux 12 points equidistants illustres sur Ia figure, 2- le flux de chaleur par metre d'epaisseur. Donnees:

Rep.: 1- 7;_5

k

= 1,7 W I mK

; Faire usage de Ia symetrie.

= 266K et 1;,5 = I:~ = 277K

;

2- Q

= l,OSkW I m

2 Transfer! de chaleur par conduction

55

5

6

7

9

10

11

13

14

adiabatique

15

16

adiabatique

Le so/ide bi-dimensionnel illustre ci-dessus (k

= 20W I m°C)

possede une source

3

interne g{merant une quantile de chaleur de 90MW I m . II est demande d'exprimer /es equations aux m::euds internes et extemes ainsi que celui situe au coin (On assumera ~

= 20°C). T;l) + T; +I; -47;, = -470 ; J,. + r;, -41:, = -570 7;4 +I;,+ Tg + I;] - 47;,, = -450 ; r;5 +I;+ T;,) - 4T;l = -550 21;- r;,- o.5~ = -440 ; 2~- 1;,,- o,5fs- o,5T;3 =-450 21;4 - T;0 - 0,57;3 - 0,57;5 = -450 ; 21; 5 - 7; 1 - 0,57;4 = -400 27;3- 27;4- ~ = -450

20cm

T"" 20cm

_

h

40°C

= ooc

= 30W I m 2·c

3 40°C

2

3

(i)

Soit Je reseau de nc~uds illustre ci-dessus appartenant a un so/ide de conductibi/ite thermique k =lOW I m°C. Sa paroi de droite est soumise a un flux de convection. II est demande de ca/culer /es temperatures aux nceuds (2,2), (3,2) et (3,3).

Rep. : Noeud interne (2,2): 7; 1 + ~~ + 7;3 + 1.'2

41;1 = 0 Noeud externe (3,2): 2,37;2 - 0,3I:, - 0,2 - 0,51;3 - 0,5.7; 1 = 0 Noeud coin ((3,3): 2,6J;3 0,6T"" - 20,3 - 1;1 = 0 -

56

2 Transfert de chaleur par conduction

d'ou:

- ~ 1;.,_: y;" ~ -cr;2 ~ r..,+ 7;3) = -9o 2,.) 7;,2 7;2 0,5 7;,3 - 5 {2,6 7;,3 - ~. . = 80 La resolution de ces trois equations entralne:

T.,2 = 23,1°C, ~ . . ::: 28,3°C et ~ 3

:::

39,6°C

Chapitre 3: TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION

• • • • • • •

Introduction Equations generales de l'hydrodynamique Concept de Ia couche limite, ses hypotheses et ses equations Donnees empiriques de Ia convection Methodes d'Ewaluation de h Analyse dimensionnelle Formules empiriques couramment utilisees

3.1 Introduction La convection est un mode de transfert de chaleur qui se produit le plus souvent entre un fluide en mouvement et une paroi solide. Alors que Ia conduction etudiee au chapitre precedent peut etre consideree comme un transfert d'energie du a des mouvements microscopiques, le phenomene de convection est un transfert du a des mouvements macroscopiques. On distingue deux types de convection: • La convection libre ou naturelle ou le mouvement du fluide est cause par un champs de forces interieur (gravite, gradient de densite, gradient de temperature etc.), • La convection forcee ou le fluide est mis en mouvement par !'action d'un champs de forces externe (pompe, ventilateur etc.). D'une faryon simplifiee, l'objectif principal de l'etude du phenomena de Ia convection consiste essentiellement a: • developper des methodes permettant !'evaluation du parametre h , coefficient de convection; • etudier les differentes formulas empiriques utilisees.

3.2 Equations generales de t'hydrodynamique 3.2.1 Generalites - Definitions 3.2.1.1 Milieu continu Un milieu materiel est dit continu lorsque toutes ses proprietes varient continument dans l'espace et dans le temps. En d'autres termes, les distances considerees sont largement superieures aux distances intermoleculaires.

3 Transfert de chaleur par convection

58

3.2.1.2 Milieu homogE1me Un milieu materiel est dit homogene lorsque toutes ses proprietes sont constantes dans tout le domaine considere (par exemple, Ia masse volumique dans les milieux incompressibles). 3.2.1.3 Milieu isotrope Un milieu materiel est dit isotrope lorsque toutes ses proprietes sont identiques quel que soit !'orientation. 3.2.1.4 Fluide Un fluide se detinit comme un corps presentant une vitesse de deformation non nulle si on lui applique des contraintes tangentielles aussi faibles scient elles. 3.2.1.5 Fluide newtonien Un fluide newtonien constitue un milieu materiel continu, homogene et isotrope.

3.2.2 Equation de conservation(•! 3.2.2.1 Equation de conservation de Ia masse ou equation de continuite Le principe de conservation de Ia masse d'un volume V nous dicte l'egalite entre Ia variation de masse dans ce volume et le 'flux de masse' a travers sa surface:

Iff\' .8opt eN = -If p ~:; ii dS =-Iff div ( p ~7)dV s

v

8p ( p V-) = 0 -+div

(3.1)

ot

Pour un ecoulement stationnaire (8 I I'equation de continuite se reduit a:

ot =0)

et incompressible (p = Cste),

divf? = 0

0 11 CJV OW - + - + - =0 [ix

oy

8z

(3.2)

(•J Pour plus de details concernant les equations fondamentales ou equations de conservation, consulter un ouvrage specialise. L'auteur conseille celui classique de H.W. Liepmann etA. Roshko intitule 'Elements of Gasdynamics' et publie par John Wiley et sons.

59

3 Transfert de chaleur par convection

3.2.2.2 Equations de conservation de Ia quantite de mouvement ou equations de Navier-Stokes En appliquant le principe de conservation des moments rapporte au systeme de coordonnees cartesiennes. les equations de Navier-Stokes s'ecrivent:

oP

Du Dt

(o u 2

2

{} u

{}:. u)

p - = F - - + p --, +--, +--, T

GX

ax~ 2

o

o

oy oz· 2

o

2

o

"' - - P + J.1 ( --:::;-::;v + --:::;-::;v +-p -Dv = 1\ ," ) Dt · 0' excy· {)z-

(3.3)

)

Dw oP a-w c·w cJ·w ' ' ' p-=F--+J..l - - . +--. +--, Dt z cz ox" oy" c1 z"

(

avec:

D Dt

8

o ox

o cy

o oz ·

• - = - + u - + v - + w- · Oerivee particulaire

ot

·

• p: Densite, • F,., F;., F.: Forces exterieures, • P: Pression, • J.1: Viscosite dynamique,

• u, v, »': Composantes du vecteur vitesse.

3.2.2.3 Equation de conservation de l'energie En appliquant le principe de conservation de l'energie thermique deduit du premier principe de Ia thermodynamique, !'equation de conservation de l'energie exprimee relativement un systeme de coordonnees cartesiennes s'exprime:

a

(o:. T o:. T2 +~ o T) pCP-D =k;;, 2

-, DT t

uX

2+;;,

v·y

CZ

En termes de Ia fonction enthalpie, elle s'exprime:

I·~ 2

V~"

H l +- 2 +Q =H.2 +-"-+W 2 ou:

• H: Enthalpie, • Q: Chaleur re~ue, • W: Travail net produit.

3 Transfert de chaleur par convection

60

Exemple 3. 1:

Reservoir

X

""-s a

De /'air s'ecoule d'un reservoir travers une conduite de section rectangulaire tel que represente ci-dessus. Si Ia hauteur du tube de sortie Y est consideree petite relativement sa longueur L , le profil de Ia vitesse Ia section de sortie s'exprimera par:

a

11 (y)

a

:::: 4U y2 (y y -

y' )

En assumant le debit assez faible afin que Ia densite de /'air dans le reservoir et Ia conduite de sortie soit consideree uniforme [P :t: p(x,y,z)] , determinez (a) le debit instantane temps.

a Ia sortie et (b) le faux de variation de Ia densite dans le reservoir en fonction du

Donnees: V = 0,283m3

;

Y = 0,00254 m; L = 0,3048m ; P;nst. = 1,379.10 N I m~ 5

~,..,1 = 277,8K; U11111 = 30,48m IS;

RG.J: parj.JiU

::::

287,04} I kgK

Solution

a/ Le debit instantane. du flu ide est fonction de Ia vitesse et de l'aire de Ia section de sortie. II s'exprime done:

rizsorti~

4U

::::

.Jf pudS = .ff p Y~ (yY- y :>....,;,

,

4U r )dydz =pyz

S,...;,

ff(yY- Y )dydz L

,

( C

2pULY

Apres integration et arrangement:

3

rhsortlc ::::

b/ En considerant Ia surface de controle comme etant celle enveloppant le volume V compose du reservoir et de Ia conduite et en utilisant I' equation de continuite, il vient:

c:

Iff ~: dV + fJs pudS = 0 = Jff ut dV + m, v ot Y

0 ,.,1e

La den site ne dependant pas de x , y et z , done: L'application numerique donne:

rh.~onic

or !Jt

= 0,027 kg I s

v = -rh.ortie !Jp

/Jp

=>

ot

2pU LY

3 a = -0,096kg I m s

et -

3v

3 Transfert de chaleur par convection

61

Exemple3.2 De /'air a Ia temperature de 300°C est detendu isentropiquement jusqu'a atteindre Ia vitesse de 250mls. Calculez Ia temperature de /'air a cette vitesse.

Solution L'utilisation de !'equation de conservation de l'energie (3.5) permet d'ecrire:

d'ou:

u; ~=I;--= 3002Cp

(250) 2 2 X 1006

= 269 c 0

3.2.3 Le concept de Ia couche limite .e t ses hypothesesi•l 3.2.3.1 Concept de Ia couche limite Une solution complete des equations de Navier-Stokes representant un ecoulement visqueux pose des difficultes mathematiques considerables. Une simplification de ces equations generales est done necessaire. En 1905, Ludwig Prandtl remarqua que pour Ia plupart des ecoulements, !'influence de Ia viscosite n'etait significative que dans une region tres mince situee au voisinage de Ia paroi solide. Le reste du fluide peut done etre considers comme non visqueux et done ideal. Cette region est appelee: Ia couche limite. Considerons un fluide s'ecoulant aupres d'une paroi solide (cf. figure ci-dessous):

y

L ----~-l__,---~z~;_>-- I~ x

~ Paroi solide

Figure 3.1: Couche lim ite au voisinage d'une paroi solide

Si le fluide est newtonien, Ia contrainte tangentielle s'exprimera grace par Newton qui peut s'ecrire dans ce cas:

a Ia loi derivee (3.6)

ou:

U"' represente Ia vitesse a Ia frontiere de Ia couche limite.

Pour plus de details concernant l'etude de Ia couche limite, consulter les ouvrages specialises. L'auteur conseille vivement celui classique de H. Schlichting intitule: 'Boundary layer theory' publie par Mc-Graw Hill. i•i

3 Transfert de chaleur par convection

62

A l'interieur de Ia couche limite, U", est liee

a Ia vitesse u par Ia relation:

ou- u~ oy 8 La contrainte tangentielle aura done pour expression:

cu

(3.7)

T=j.l.-

CJ

On definit aussi Ia viscosite cinematique comme: f.l

v=p

(3.8)

Exemple3.3 Deux plaques horizontaies sont placees a 1,25cm l'une de /'autre. L 'espace compris entre elles est rempli d'une huile de viscosite dynamique f.1. = 1,4N.'> I m". II est demande de calculer Ia contrainte tangentielle exercee par l'huile si Ia plaque superieure se deplace a Ia vitesse de 2,5m Is.

Solution L'application de !'equation (3.7) aboutit a: r

=p

du dy

-

= 1' 4

2,5

,

= 280 N I m~ 0,0125

3.2.3.2 Hypotheses de Ia couche limite En tenant compte des particularites propres a l'ecoulement d'un fluide au voisinage d'une paroi solide, des hypotheses applicables uniquement a l'interieur de Ia couche limite et permettant Ia simplification des equations du mouvement sent enoncees. Elles sent connues sous le nom d'hypotheses de Ia couche limite. 1- Le fluide immediatement en contact avec Ia paroi est immobile: c'est Ia condition de non glissement qui pour un ecoulement bi-dimensionnel se traduit par:

=0 { v(x,O) = 0 u(x,O)

2- L'epaisseur de Ia couche limite notee 8 et definie comme Ia distance a laquelle u = 0,99U"' est consideree petite relativement aux autres dimensions caracteristiques de l'ecoulement Neanmoins, cette epaisseur augmente quand on se deplace dans le sens de l'ecoulement (cas de Ia plaque de l'exemple 3.4).

3 Transfert de chaleur par convection

63

3- A l'interieur de Ia couche limite, Ia vitesse axiale (dans le sens de l'ecoulement) notee u est tres grande devant Ia vitesse radiale notee v c'est-a-dire que lorsque y .-.: o alors ll >->-

v.

4- A l'interieur de Ia couche limite, les variations de Ia vitesse dans le sens de l'ecoulement relativement a y sont importantes. Ce qui peut se traduire par:

8u Cu Cv Cv y ""'< 8 =:> -;;- >->- -:;- , _::) ' _::) oy uX uX uy

(3.1 0)

Ces differentes hypotheses valables uniquement a l'interieur de Ia couche limite simplifient sensiblement les equations du mouvement. II en resulte en particulier que pour un couche limite bi-dimensionnelle:

oP

oP

oy

ex

- = 0 =:> -

dP dx

- -

(3.11)

Pour un ecoulement bi-dimensionnel stationnaire et laminaire (cf. Paragraphe 3.2.4), ces equations s'ecrivent:

0 11

-

8v

+ - =0

ax oy 0 11 cu 1 dP o u u - + v - = - - - + v- -., 2

cy

OX

p dx

(3.12)

oy

avec:

L'epaisseur de Ia couche limite dans ce cas s'exprime en fonction du nombre adimensionnel de Reynolds (c.f. paragraphe 3.2.4):

5x

O lamin alre

=

~Re.-c

(3.13)

ou:

•

o~.,min .,;,~: Epaisseur de Ia couche limite laminaire,

• x : Distance de l'origine (debut du corps) au point considers, • Rex: Nombre de Reynolds calcule sur Ia base de Ia distance X . 3.2.4 Regime laminaire et regime turbulent

En 1883, Osborne Reynolds conduisit une serie d'experiences classiques impliquant des ecoulements l'interieur des conduites. Ces experimentations demontrerent !'existence de deux sortes de regime distincts: un regime dit laminaire et un autre dit

a

3 Transfert de chaleur par convection

turbulent. Reynolds reussit entre ces deux regimes.

64

a determiner le critere d'instabilite qui gouverne Ia transition

Tube d'essai

1

I

D~____..;;T=ube'---1------

Robinet

Figure 3.2: Representation de !'experience de Reynolds

Ceci a ete realise grace a.!'injection d'un mince filet de colorant a l'interieur d'un tube d'essai situe dans un reservoir rempli d'un liquide possedant Ia meme masse volumique que le colorant (cf. figure 3.2). Quand le debit est faible, le filet colore reste etroit et parallele aux lignes de courant dans le tube: c'est le regime laminaire (cf. Tube 1 de Ia figure 3.2). Lorsque le debit est augmente au-dessus d'une certaine valeur critique, le filet colore commence a onduler puis tres rapidement, on observe comme un eclatement de ce filet qui semble alors occuper tout le tube: c'est le regime turbulent (cf. Tube 2 de Ia figure 3.2). Reynolds appliqua une analyse dimensionnelle aux ecoulements en conduite et conclut que Ia transition prend place pour une valeur fixee d'un certain parametre pouvant etre interprete comme le rapport des forces d'inertie a celles de viscosite. En son honneur, ce parametre est depuis appele: le nombre de Reynolds. La signification physique de celuici peut etre demontree comme suit: l1

Figure 3.3: Representation d'un element de volume flu ide

Force typique d' inertie = Masse x Acceleration

3 Transfert de chaleur par convection

Force typique de viscosite

65

= Contra inte de viscosite x Swface

u

p -

X

L

L2 = f..l

uL

Done:

Forces d' inertie p U! L" = Forces de viscosite · p U L

Re =

p UL

- --

(3.14)

j.l

Utilisant Ia viscosite cinematique notee et definie par:

v

= -f..l

p '

le nombre de

Reynolds s'exprime:

UL Re=v

(3.15)

II est generalement admis que Ia valeur du Reynolds transitoire definissant le passage de Ia nature laminaire de l'ecoulement a celle turbulente est egale a1*) :

- Re"'

= 2300 pour les ecoulements en conduite,

- Re ..

= 500000 pour les ecoulements sur plaques planes.

Exemple 3.4

Une plaque plane /isse de forme carree de 2cm de cote est tenue immergee dans 6 2 de l'eau de viscosite cinematique v = I o- m Is s'ecoulant a Ia vitesse de U = 30cm Is. II est demande de determiner Ia nature de l'ecoulement a une distance de 50cm du bord de Ia plaque ainsi que l'epaisseur de Ia couche limite en ce point. Solution

Determinons d'abord Ia nature du regime d'ecoulement. Pour cela, calculons Ia valeur du nombre de Reynolds au point considere c'est-a-dire ax= 50cm:

U X 0,30 X 0,50 Re = - = · = 150000-< 500000 V 10- 6 X

L'ecoulement est done laminaire et l'epaisseur en ce point s'exprime par !'equation 3.13:

b

5x

5 x 0,50

~Re.
U == Re JJ f.' pD d'ou:

U ==

2300 X 10· 3 1000 X 0,1

== 0,023m I s

3.2.5 Nombres sans dimensions

Les nombres adimensionnels souvent utilises en presence du phenomene de convection qu'elle soit naturelle ou forcee sont resumes dans le tableau ci-dessous. Nom

Ex~ression

Symbole

Re= Reynolds

Re

Forces d' inertie UL Forces de vis cos ite v

Caracterise Ia nature du regime de l'ecoulement (laminaire ou turbulent) en convection forcee.

Signification des parametres

u: Vitesse caracteristique. L: Longueur caracteristique.

Q echangee par convection Nu= O ' h angee . par conductwn . _ ec Nusselt

Nu Nu =

hS !!,.T h L S k L !!,.T k

viscosite cinematique Pr == diffusivite thermi(pte Prandtl

Pr

v J.l cp Pr ==- = - a k Caracterise Ia distribution des vitesses relativement a celle des temperatures c'est-a-dire le milieu ou se realise le transfert.

a: Coefficient de diffusivite thermique.

3 Transfert de chaleur par convection

Nom

Symbole

Gr

67

Expression

j3gp2 L3 D.T Gr= Jl 2

=

Signification des parametres

f3 g L3 D.T

j3: Coefficient de dilatation

r

v '-

volumiquel

Grashoff

1

l

f3 = T(K ) J

g : Acceleration de Ia pesanteur

D.T: Difference de temperature caracteristique.

Ra Rayleigh

Ra = Pr . Gr Rem place le Reynolds convection naturelle.

en

3.3 Donnees empiriques de Ia convection 3.3.1 Utilisation du nombre de Nusselt En etudiant Ia couche limite et ses hypotheses, nous avons assume !'existence d'une couche mince pres de Ia paroi dont Ia vitesse est presque nulle. En s'eloignant de Ia paroi, Ia vitesse augmente jusqu'a atteindre une valeur constante generalement notee U"". En appliquant ces observations qualitatives au transfert de chaleur se produisant entre une paroi solide et un fluide en mouvement, on pourra se faire une idee du profil de Ia temperature. Pres de Ia paroi, Ia chaleur ne peut etre transmise que par conduction; Ia couche au voisinage de celle-ci etant stationnaire et on s'attend a un gradient de temperature assez large. En s'eloignant de Ia paroi, le mouvement du fluide aidera au transport de l'energie et le gradient de temperature sera mains important. Pour une couche limite turbulente qui s'est formee pres d'une paroi chauffee, Ia distribution de Ia temperature aura Ia forme representee en figure 3.4.

T•.

v

1.--:L.....:~-~----

Te

+--paroi

~I

Figure 3.4: Profil de Ia temperature a l'interieur de Ia couche limite se developpant pres d'une paroi solide

3 Transfert de chaleur par convection

68

Cette discussion suggere une methode d'evaluation de Ia quantite de chaleur echangee entre Ia paroi et le fluide. A !'interface (y = 0), le flux de chaleur se transmet par conduction et s'exprime done grace a Ia loi de Fourier (2.5):

(3.16)

Afin de se rapprocher du sens physique du transfert se realisant entre le f luide et Ia paroi, celui-ci est decrit par Ia loi de Newton (2.24) exprimant un echange par convection . II vient:

(3.17)

En considerant Ia temperature

a Ia paroi

~ comme temperature de reference, nous

pouvons ecrire:

En introduisant une longueur L intervenant comme une caracteristique geometrique du corps considere emettant Ia chaleur, on aura:

- k . Ls(arJ =hLs(r - r t3

.tlrude

Y

hL

Le rapport -

P

y=C•

""

)~~= i*-L =~-~-~~J k

T - T

flurok

P

L "'

(

C ~

)

est appele le nombre de NOssell Pratiquement, ce nombre permet Ia

kf determination du coefficient de transfert par convection. En effet, si le nombre de NOsselt est connu; h peut etre calcule grace a Ia simple relation:

k( h=Nu-·

(3.1 8)

L

3.3.2 Determination du Nussett

a

Sur Ia figure (3.4), on remarque que le gradient de Ia temperature est restreint une region mince situee pres de Ia paroi dont l'epaisseur est 8 7 Afin de simplifier le processus, Ia courbe representant le gradient de Ia temperature est remplacee par une droite (representee en pointille sur Ia figure). Cette droite qui est tangente a Ia courbe represente Ia distribution de Ia temperature dans une couche fictive cfepaisseur qui si elle etait stagnante presenterait Ia meme resistance thermique au ftux de chaleur. Dans cette

o;

3 Transfert de chaleur par convection

69

couche, le flux n'est transmis que par conduction. Par unite de surface, celui-ci est exprime par Ia relation: $

-~~ -k '.JluiJe

T -T !i' = "

- 3.105

Nu,

= 0,036 (Re J-+·~ (Pd

13

(3.31)

Exemple 3.6 Une plaque mince d'une longueur de 2m et d'une largeur de 1m est sous /'effet d'un ecou/ement d'air a Ia vitesse de 1,5mls et de temperature 20°C dans Ia direction longitudinale. La temperature des surfaces de Ia plaque est de 90°C. II est demande de ca/cu/er (a) le coefficient de transmission de Ia chaleur par convection suivant Ia longueur ainsi que (b) le flux de chaleur transmis par Ia plaque a /'air.

Solution aJ A 20' c, les caracteristiques de I'air sont:

p = 1,175kg I m 3 , J.1. = !,8.10-'kg I ms, k

= 0,026W I mK, CP = 1006J I kgK

3 Transfert de chaleur par convection

73

Determinons Ia nature de l'ecoulement:

p

uL

Re = - - = f-l

1,17 5 X 1,5 X 2 'i 5 · 5 = 1,96.10-. -< 3.10-

1,so.1 o-

II est done laminaire et !'equation (3.30) peut etre appliquee: u:z · 1n NuL= 0,66 (ReJ (Pr) ·

d'ou:

hL

=k

0 0260 . h = 0,66 ' ( 1,96.1 0'

2

=> h = 0,66

~~

r- '

k

L (ReJ

5

( 1 80.10- x 1006) 0,0260

f.J- Cp

1:2

1/3

( -k-)

13 /

= 3,36W I m2 K

.....;;·~---

b/ La chaleur transmise par Ia plaque (possedant deux parois, l'une superieure et l'autre inferieure) l'air est:

a

.s (Pr)' 3

(3.35)

pour: - L I D >- 60

- 0,7 ~ Pr

~noo

- 1o-~ -·

7

(3.37)

]

f..i p

pour: le regime d'entree dans les tubes.

Exemple3.7 Calculez /e coefficient de transmission de Ia chaleur par convection ainsi que le flux degage lors de /'ecoulement force d'une huile a Ia vitesse de 0,5 m/s dans un tube de 10mm de diametre et de 1m de longueur si les temperatures moyennes de l'huile et de Ia paroi sont respectivement egales a 80°C et 20°C. Les caracteristiques de l'huile utilisee a 3 Ia temperature a laquelle if s'ecoule c'est-a-dire BOOC sont: p = 844 kg I m p. = 30,8.10-4 kg I ms ; k = 0,108 W I m°C et CP = l,846k..l I k~ C. A Ia temperature de Ia paroi c'est-a-dire 20°C, Ia viscosite de l'huile est: J.l. P

= 198,2.1 o-4 kg I ms.

Solution

Determinons d'abord le regime d'ecoulement:

Re0

=

p UD f.l

=

844 x0,5x 0,01 30,8.10-

.~

=1370-- 60 => Veriifite'

D

• Pr

0,018

J.i.Cp

=-k- =

2,34.10- 4 .4250

0 685

= 145-< 100 et >- o7 => Verrifie '

)

4

• Re = 7,3.104 -< 1,2.105 et >- 10

'

=> Ver(fie

Done:

k 0,685 ( 4)= h.~T = 4,93.(200- 30) = 838 W I mJ

Exemple 3.11

Une plaque horizontale de (2x3)m2 de surface est orientee vers le haut par sa paroi emettrice de chaleur. Calculez le coefficient de transmission de Ia chaleur a /'air ambiant calme sachant que Ia temperature de Ia plaque est 120°C et cel/e de /'air 34°C.

3 Transfert de chaleur par convection

81

a

La temperature en tout point d'une mince plaque plane placee para/lelement un courant d'air est egale a 365K. La vitesse du courant d'air principal est de 60mls et sa temperature 270K. La plaque possede une largeur de 0,6m et une longueur de 0,45m dans Ia direction de /'ecoulement. En neg/igeant les effets de bord de Ia plaque et en assumant que l'ecoulement dans Ia couche limite change brusquement du laminaire au turbulent a un Reynolds de 4.10 5 , trouvez: 1- Ia distance a laquelle se fait Ia transition du laminaire au turbulent, 2- les coefficients de transfert convectif moyens (en tenant compte du nombre de Reynolds moyen) dans /es regions laminaire et turbulente, 3- le flux de chaleur de Ia plaque entiere considerant /es deux faces. Donnees:

On prendra les caracteristiques de /'air comme:

p

= 1,2kg 1m3 ,

Cp

= 1010.1 I kgK _,

Pr

= 0,71

{ k = 0,024W I mK , Jl = 1,74.10 )kg l ms Rep.: 12-

L ,,,msilion hu>min .>ire

= 0,097m

= 65,15W / m"K,

hTurbulent

= 151,9W l m2 K

3- = 6,8kW

Un radiateur est assimile a une plaque verticale de (1mx1m). Que devrait etre sa temperature pour dissiper 0,5kW dans un ambiant d'air de temperature 20°C s'ecoulant par convection forcee a Ia vitesse de 1mls ?

Rep.: T == 149' C

Les deux equations suivantes ont ete proposees par Hansen en 1943. La premiere est applicable des cas d'echange de chaleur par convection forcee dans un ecoulement laminaire l'interieur de conduites cylindriques, tandis que Ia seconde s'applique pour des nombres de Reynolds se situant dans Ia region de transition c'est-a-dire 2000 -< Re -< 8000 ainsi que pour des Reynolds plus importants.

a

a

Comparez /es vateurs du nombre de Nusselt predits par les deux equations pour: - Re=1000 Pr=1 pour(DIL)=O,OB et (D/L)=2 - Re=3000 Pr= 1 pour (D/L)=O, 1 - Re=20000 Pr= 1 pour (D/L)=0,01 avec celles obtenues par les relations empiriques appropriees. 1).1 4

(1)

.., Nu = -',65 +

0,668(D I L)RePr

p,,

' 13

1+ 0,04((DI L)RePr]-

( J -

f..i-p

0,14

(2)

Nu

= 0,1 06[(Re) -125](PrY' (1 + (D I L) ""] (f.J," 2 3

3

J

Jlp

82

3 Transfer! de chaleur par convection

On assumera que le fluide est de l'eau s'ecoulant a Ia temperature de 288K a l'interieur d'une conduite de temperature 336K. On assumera aussi que sa viscosite dynamique varie avec Ia temperature suivant le tableau suivant: TtCJ

1

(kglms)

1,78 . 10-3 1,00.10-3 1,oo . to-' 0,651 . 10-3 0,469. 10- 3 o,354. to- 3 0,281 . 10- 3

0 10 20 40 60 80 100

Rep.:

Re = 1000 • { Dl L = O,OS :::::> Re.Pr.(DI L) = 80-< 100 :::::>

Re = 1000 • { D I L = 2 :::::> Re.Pr.(D I L)

= 2000 >- 10 :::::>

NuK.-ryes = 9,1 {

NuSiedu&Taw Nu Re-< lOOOO => Nu(2j = 12,8 Re = 20000 { Nucolbun• = 63,4 • { D I L _ . ::::> Re >- 10000 et L I D >- 60 ::::> N _ -0,01 11(~) - 81' 7

Calculez par deux formules differentes Ia quantile de chaleur transmise par l'eau s'ecoulant d'une maniere forcee dans un serpentin constitue d'un tube de 18mm de diametre. Le debit de l'eau est de 0,24kgls et sa temperature 120°C. La temperature de Ia paroi interne de Ia conduite dont Ia longueur est de 3m est consideree constante et egale a 110°C. Comparez les resultats obtenus et expliquez Ia difference qui les separe.

Les caracteristiques de l'eau sont:

= 42161 kgK; k = 0,680W I mK = 960,6kg I m3 ; Jt = 0,281.1 o-3 kg I ms

Cp A toooc

{p

= 4250 I kgK; k = 0,685W I mK = 945,3kg I m 3 ; Jl = 0,234.10-3 kg I ms

Cp {p Rep.:

Colbum

= 12,9kW ;