Chap 2 [PDF]

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Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés On appelle un système q-phasé (polyphasé) un circuit électrique constitué de "q" sous systèmes (appelés phases). Il est caractérisé par un ensemble de grandeurs alternatives de même nature et de même pulsation. Les systèmes polyphasés sont particulièrement utiles pour le transport de puissance électrique et aux machines électriques. Il y a plusieurs avantages des systèmes polyphasés à savoir : La création des champs tournants essentiels au fonctionnement des moteurs électriques. A coût égale les machines polyphasées permettent de convertir plus d’énergie que les machines monophasées. La puissance instantanée fournit par un système polyphasé est constante donc un couple constant. Il existe deux types de systèmes polyphasés système équilibré et déséquilibré. Un système q-phasé est équilibré si tous les "𝑞" grandeurs ont la même amplitude et sont déphasées de "2𝜋/𝑞" l'une de l'autre qui la succède. Si une condition pour une grandeur n'est pas vérifiée, le système est alors déséquilibré.

I.

Systèmes Polyphasés Equilibrés

a. Equations et propriétés des systèmes polyphasés équilibrés Dans un système q-phasé équilibré, les grandeurs caractérisant ce système (courants, tensions, flux, inductions, …) s'écrivent de la manière suivante : 𝑥1 𝑡 = 𝑋1𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼1 𝑥2 𝑡 = 𝑋2𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼2 ⋮ 𝑥𝑞 𝑡 = 𝑋𝑞𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼𝑞 avec 𝑋1𝑚𝑎𝑥 = 𝑋2𝑚𝑎𝑥 = ⋯ = 𝑋𝑞𝑚𝑎𝑥 et 𝛼2 − 𝛼1 = 𝛼3 − 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑞 − 𝛼𝑞−1 = ± Par convention, lorsque 𝛼2 − 𝛼1 = 𝛼3 − 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑞 − 𝛼𝑞−1 = −

2𝜋 𝑞

2𝜋 𝑞

, le système est dit

direct. On donne un exemple d'un système de tension pentaphasé équilibré direct : 𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼

2𝜋 5 4𝜋 𝑣3 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 − 5 6𝜋 𝑣4 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 − 5 8𝜋 𝑣5 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 − 5 𝑣2 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 −

On représente ce système par le diagramme vectoriel comme suit :

2𝜋 5

𝑉5

2𝜋 5

2𝜋 5

𝑉4

𝑉1

2𝜋 5

2𝜋 5

𝑉2

𝑉3

On constate bien le sens horaire de l'ordre de succession des tensions lorsque le système est direct.

8

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés Par convention, lorsque 𝛼2 − 𝛼1 = 𝛼3 − 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑞 − 𝛼𝑞−1 = +

2𝜋 𝑞

, le système est dit

indirect (ou inverse). On donne un exemple d'un système de tension pentaphasé équilibré inverse : 𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼

2𝜋 5 4𝜋 𝑣3 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 + 5 6𝜋 𝑣4 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 + 5 8𝜋 𝑣5 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 + 5 𝑣2 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 +

2𝜋 5

𝑉2

𝑉1 2𝜋 5

2𝜋 5 2𝜋 5

𝑉3

𝑉5

2𝜋 5

𝑉4

On représente ce système par le diagramme vectoriel comme suit :

On constate bien le sens antihoraire de l'ordre de succession des tensions lorsque le système est inverse. Remarques : - La somme instantanée de l'ensemble des grandeurs formant un système polyphasé équilibré direct ou inverse est nulle. - Un système polyphasé dont l'ensemble de ces grandeurs sont en phase est dit homopolaire. Application : Le système polyphasé le plus utilisé dans les applications industrielles et le transport de puissance électrique est le système triphasé. Pour raison de simplification, on prend la première grandeur du système comme origine de phase.

Exemple de système de tensions triphasé direct.

𝑉1

𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

2𝜋 3 4𝜋 𝑣3 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 3 𝑣2 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 −

𝑉𝑚𝑎𝑥

𝑣1 𝑡

2𝜋 3

2𝜋 3

𝑉3

𝑣2 𝑡

2𝜋 3

𝑉2

𝑣3 𝑡

0 −𝑉𝑚𝑎𝑥

9

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés Exemple de système de courants triphasé inverse.

𝐼1

𝑖1 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

2𝜋 3 4𝜋 𝑖3 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 3 𝑖2 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 +

𝑖1 𝑡

𝑖3 𝑡

𝐼3

2𝜋 3

𝐼2

𝐼𝑚𝑎𝑥

2𝜋 3

2𝜋 3

𝑖2 𝑡

−𝐼𝑚𝑎𝑥

b. Couplage des systèmes polyphasés équilibrés Un système polyphasé peut être une source d'alimentation polyphasée comme il peut être une charge (récepteur) polyphasée. Un système q-phasé est composé de "𝑞" sources ou charges monophasés. Les liaisons entre sources et/ou charges ne sont pas assurées indépendamment (une des intérêts des systèmes polyphasés). L'ensemble des éléments constituants le système polyphasé sont d'abord montés entre eux selon un des deux types de montages possibles (montage étoile et le montage polygone). - Montage étoile On réuni les "𝑞" bornes des "𝑞" éléments (sources ou charges) monophasés en un point commun pour former un point neutre. Les autres "𝑞" bornes des "𝑞" sources ou charges forment les bornes de sortie ou d'entée respectivement.

⋮ 𝑒𝑞 𝑡

Bornes d'entrée

𝑒2 𝑡

Bornes de sortie

𝑒1 𝑡

𝑖1 𝑡

𝑍1

𝑖2 𝑡

𝑍2 ⋮

𝑖𝑞 𝑡

𝑍𝑞

Borne du point neutre Source q-phasée montée en étoile

Impédance q-phasée montée en étoile

10

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés La ligne neutre sert au retour du courant résultant des "𝑞" phases. En cas de système polyphasé équilibré où la somme instantanée des "𝑞" courants est nulle, la ligne neutre sera inutile. On distingue deux types de tensions : Les tensions simples qui représentent les d.d.p entre les bornes de sortie ou d'entée du système polyphasé et le neutre. On les note 𝑉𝑘 tel que : Pour les sources : 𝑉𝑘 = 𝐸𝑘 avec 𝑘 = 1 … 𝑞 Pour les charges : 𝑉𝑘 = 𝑍𝑘 𝐼𝑘 avec 𝑘 = 1 … 𝑞 Les tensions composées qui représentent les d.d.p entre deux bornes de sortie ou d'entée du système polyphasé. On les note 𝑈𝑘,𝑘+1 tel que : Pour les sources : 𝑈𝑘,𝑘+1 = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘+1 avec 𝑘 = 1 … 𝑞 Pour les charges : 𝑈𝑘,𝑘+1 = 𝑍𝑘 𝐼𝑘 − 𝑍𝑘+1 𝐼𝑘+1 avec 𝑘 = 1 … 𝑞 En régime sinusoïdal équilibré direct, la relation entre les tensions composées et les tensions simples est : 𝜋 𝑗 𝜋 −𝜋 𝑈𝑘,𝑘+1 = 2𝑆𝑖𝑛 𝑒 2 𝑞 𝑉𝑘−1 𝑞 En régime sinusoïdal équilibré inverse, la relation entre les tensions composées et les 𝜋

𝜋

tensions simples reste la même mais le déphasage 2 − 𝑞 est en retard −

𝜋 2

𝜋

−𝑞

.

Remarque Il existe qu'un type de courants car le courant qui circule dans les sources ou charges est le même que le courant capté dans aux bornes de sorties ou d'entrées respectivement. - Montage polygone On monte les "𝑞" éléments (sources ou charges) monophasés en série pour former un circuit fermé. Il n'y circule aucun courant dans le cas d'un système équilibré (la somme instantanée des f.é.m ou d.d.p est nulle). Les "𝑞" bornes communs forment les bornes de sortie ou d'entée respectivement. 𝑗12 𝑡

𝑒1 𝑡

𝑍1

𝑖1 𝑡

𝑖1 𝑡

𝑒2 𝑡

𝑖2 𝑡

𝑗34 𝑡

𝑒3 𝑡

𝑖3 𝑡

⋮

𝑒𝑞 𝑡

𝑖𝑞 𝑡

𝑗𝑞1 𝑡 Source q-phasée montée en polygone

Bornes d'entrée

𝑗23 𝑡

Bornes de sortie

𝑗12 𝑡

𝑖2 𝑡

𝑗23 𝑡

𝑍2

𝑖3 𝑡

𝑗34 𝑡

𝑍2 ⋮ 𝑍𝑞

𝑖𝑞 𝑡 𝑗𝑞1 𝑡

Impédance q-phasée montée en polygone

11

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés On distingue deux types de courants : Les courants de phase qui circulent dans les "𝑞" éléments (sources ou charges) monophasés. On les note 𝑗𝑘𝑘 −1 . Les courants de lignes qui sortent ou entrent à via les bornes de sortie ou d'entée du système polyphasé. On les note 𝐼k tel que : Pour les sources : 𝐼𝑘 = 𝐽𝑘,𝑘+1 − 𝐽𝑘+1,𝑘 avec k = 1 … q − 1 En régime sinusoïdal équilibré direct, la relation entre les courants de lignes et les courants de phase est : π −j π2 −πq 𝐼k = 2Sin e 𝐽𝑘,𝑘−1 q En régime sinusoïdal équilibré inverse, la relation entre les courants de lignes et les courants de phase reste la même mais le déphasage est en avance

π 2

π

−q .

Remarque Il existe qu'un seul type de tensions car la d.d.p entre deux bornes de sorties ou d'entrées est la même que la f.é.m ou d.d.p dans les sources ou charges polyphasées respectivement. c. Puissances des systèmes polyphasés équilibrés Soit un système polyphasé équilibré direct monté en étoile à tensions simples 𝑣1 𝑡 , 𝑣2 𝑡 , … , 𝑣𝑞 𝑡 𝑖1 𝑡 , 𝑖2 𝑡 , … , 𝑖 𝑞 𝑡

sinusoïdales

et

de

courants

de

lignes

comme suit :

𝑣1 𝑡 = 2𝑉𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑣2 𝑡 = 2𝑉𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 −

𝑖1 𝑡 = 2𝐼𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜑

2𝜋

2𝜋

𝑞

⋮ 2(𝑞−1)𝜋 𝑣𝑞 𝑡 = 2𝑉𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑞

et

𝑖2 𝑡 = 2𝐼𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 3 − 𝜑 ⋮ 2(𝑞−1)𝜋 𝑖𝑞 𝑡 = 2𝐼𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑞 − 𝜑

- Puissance Instantanée et puissance active C'est la somme des puissances instantanées des "𝑞" éléments monophasés constituants le système q-phasé : 𝑝 𝑡 = 𝑞𝑚 =1 𝑝𝑚 𝑡 En régime sinusoïdale équilibré, 𝑞

𝑝 𝑡 = 𝑞𝑉𝐼𝐶𝑜𝑠 +

𝑉𝐼 𝐶𝑜𝑠 2𝜔𝑡 − 𝑚 =1

4(𝑚 − 1)𝜋 − 𝑚

= 𝑞𝑉𝐼𝐶𝑜𝑠

On constate bien que la puissance fluctuante est nulle. Donc la puissance instantanée est constante et égale à la puissance active. 𝑃 = 𝑞𝑉𝐼𝐶𝑜𝑠 Cette propriété est très importante et donne un fort avantage aux machines électriques polyphasées où le couple développé par ce type de machines est constant. Ce qui n'est pas

12

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés le cas pour les machines monophasées où la puissance fluctuante non nulle provoque plus de vibration et plus d'échauffement. - Puissance Réactive et Apparente La puissance réactive d'un système polyphasé est la somme algébrique des puissances réactives des "𝑞" éléments monophasés constituants le système q-phasé : 𝑄 = 𝑞𝑚 =1 𝑄𝑚 En régime équilibré, 𝑄 = 𝑞𝑉𝐼𝑆𝑖𝑛 La puissance apparente d'un système polyphasé est la somme en complexe des puissances apparentes des "𝑞" éléments monophasés constituants le système q-phasé : 𝑆 = 𝑞𝑚 =1 𝑆𝑚 En régime équilibré, 𝑆=

𝑞 𝑚 =1

𝑃𝑚 + 𝑗𝑄𝑚 = 𝑃 + 𝑗𝑄 d'où 𝑆 = 𝑞𝑉𝐼

Le facteur de puissance est définit comme le quotient de la puissance active totale par la puissance apparente totale. 𝑃 𝑓𝑝 = 𝑆 En régime sinusoïdale, le facteur de puissance est : 𝑓𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝜑

II.

Application aux systèmes usuels

a. Systèmes triphasés C'est le système polyphasé retenu pour la quasi-totalité des emplois. Il est particulièrement utilisé pour le transport de puissance électrique et aux machines électriques industriel. - Montage étoile (symbole : Y, ) Soit le système de tensions triphasé direct de tensions simples 𝑣1 𝑡 , 𝑣2 𝑡 , 𝑣3 𝑡 , de tensions composées 𝑢12 𝑡 , 𝑢23 𝑡 , 𝑢31 𝑡 (égale aux courant de phase) tel que : 𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑣2 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑣3 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 −

2𝜋 3 4𝜋 3

et de courants de lignes 𝑖1 𝑡 , 𝑖2 𝑡 , 𝑖3 𝑡

𝑢12 𝑡 = 𝑣1 𝑡 − 𝑣2 𝑡 avec 𝑢23 𝑡 = 𝑣2 𝑡 − 𝑣3 𝑡 𝑢31 𝑡 = 𝑣3 𝑡 − 𝑣1 𝑡

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡 𝑣3 𝑡

𝑣1 𝑡 𝑢12 𝑡 𝑢23 𝑡

Source triphasée montée en étoile

𝑢31 𝑡

𝑢12 𝑡

𝑣2 𝑡

𝑢23 𝑡

𝑣3 𝑡

𝑢31 𝑡

Impédance triphasée montée en étoile

En régime sinusoïdal équilibré, la relation entre les tensions simples et les tensions composées peut être déduite simplement du diagramme vectoriel suivant : 13

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés 𝜋 6 𝜋 𝑢23 𝑡 = 3𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 2 7𝜋 𝑢31 𝑡 = 3𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 6 𝑢12 𝑡 = 3𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 +

−𝑉2

𝑈12

𝑉1 𝜋 6

d'où :

𝑈23

U = 3V Alors que les puissances :

2𝜋 3

𝑉3

P = 3VICos = 3UICos −𝑉1

Q = 3VISin = 3UISin

𝑉2

−𝑉3

𝑈31

S = 3VI = 3UI - Montage Triangle (symbole : Δ, D)

Soit le système de tensions triphasé direct de tensions composées 𝑢12 𝑡 , 𝑢23 𝑡 , 𝑢31 𝑡 (égale aux tensions simples), de courants de phases 𝑗12 𝑡 , 𝑗23 𝑡 , 𝑗31 𝑡 de lignes 𝑖1 𝑡 , 𝑖2 𝑡 , 𝑖3 𝑡

tel que :

𝑗12 = 𝐽𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜑

𝑢12 𝑡 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑢23 𝑡 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑢31 𝑡 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑗12 𝑡

2𝜋

𝑖1 (𝑡) = 𝑗12 𝑡 − 𝑗31 𝑡 − 𝜑 et 𝑖2 (𝑡) = 𝑗23 𝑡 − 𝑗12 𝑡 3 4𝜋 𝑖3 (𝑡) = 𝑗31 𝑡 − 𝑗23 𝑡 = 𝐽𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 3 − 𝜑

, 𝑗23 = 𝐽𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 −

3 4𝜋

𝑗31

3

𝑖2 𝑡 𝑢23 𝑡

𝑗31 𝑡

𝑢12 𝑡

𝑖2 𝑡

𝑢31 𝑡

𝑢31 𝑡

𝑗31 𝑡 𝑗12 𝑡

𝑢23 𝑡

𝑖3 𝑡

𝑖3 𝑡

Source triphasée montée en triangle

2𝜋

𝑖1 𝑡

𝑖1 𝑡 𝑢12 𝑡

𝑗23 𝑡

et de courants

𝑗23 𝑡

Impédance triphasée montée en triangle

En régime sinusoïdal équilibré, la relation entre les courants de phase et les courants de ligne peut être déduite simplement du diagramme vectoriel suivant : π −𝜑 6 5π i2 t = 3Jmax Cos ωt − −𝜑 6 3π i3 t = 3Jmax Cos ωt − −𝜑 2 i1 t = 3Jmax Cos ωt −

14

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés d'où : I = 3J

𝑈12

𝐼3

𝜑

Alors que les puissances :

𝐽12

𝐽31

P = 3UJCos = 3UICos Q = 3VJSin = 3UISin

𝜋 6

𝐼1

2𝜋 3

S = 3VJ = 3UI

𝑈23

𝐽23

𝑈31 𝐼2

b. Systèmes diphasés Ils sont d'ordinaire obtenus à partir du monophasé et utilisés pour donner un comportement polyphasé à ces systèmes. Le seule couplage possible est le montage étoile. Les tensions et courants des deux phases sont en quadrature. Soit un système diphasé caractérisé par : −𝑉2

𝑣1 𝑡 = 2𝑉𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝑉1

𝜋

𝑣2 𝑡 = 2𝑉𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 2 𝑖1 𝑡 = 2𝐼𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝜑 𝜋 𝑖2 𝑡 = 2𝐼𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − − 𝜑 2 U = 2V 𝜋 (U en avance de 4 par rapport à V))

𝜋 4

𝑈12

𝜑

𝐼1

𝐼2

𝜑

𝑉2

P = 2VICos = 𝑝(𝑡) et Q = 2VISin S = 2VI Remarque Il est inutile d'étudier tous les phases d'un système polyphasé équilibré puisque leurs fonctionnements sont identiques mais décalés l'un de l'autre de

III.

2𝜋 𝑞

près.

Régime triphasé non sinusoïdal

Soient trois grandeurs périodiques alternatives ayant pour f.é.m 𝑒1 𝑡 , 𝑒2 𝑡 et 𝑒3 𝑡 et formant un système triphasé équilibré (identique à 𝑇 3 et 2𝑇 3 ). Leurs développements en série de Fourier sont donnés comme suit : 𝑒1 𝑡 = E1m Cos ωt + 𝜑1 + E2m Cos 2ωt + 𝜑2 + ⋯ + +Enm Cos 𝑛ωt + 𝜑𝑛 + ⋯ 15

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés 𝑒2 𝑡 = E1m Cos ω t − 𝑇 3 + 𝜑1 + E2m Cos 2ω t − 𝑇 3 + 𝜑2 + ⋯ + +Enm Cos 𝑛ω t − 𝑇 3 + 𝜑𝑛 + ⋯ 𝑒3 𝑡 = E1m Cos ω t − 2𝑇 3 + 𝜑1 + E2m Cos 2ω t − 2𝑇 3 + 𝜑2 + ⋯ + +Enm Cos 𝑛ω t − 2𝑇 3 + 𝜑𝑛 + ⋯ Si on prend en considération que : 𝑛𝑇 = 𝑘𝑇 + 𝑝 𝑇 avec 𝑝 = 0,1,2 3 3 Et du fait que les trois grandeurs sont généralement alternatives symétriques dont les harmoniques paires sont nulles, on aura : 𝑒1 𝑡 = E1m Cos ωt + 𝜑1 + E3m Cos 3ωt + 𝜑3 + E5m Cos 5ωt + 𝜑2 + ⋯ 𝑒2 𝑡 = E1m Cos ω t − 𝑇 3 + 𝜑1 + E3m Cos 3ωt + 𝜑3 + E5m Cos 5ω t − 2𝑇 3 + 𝜑2 + ⋯ 𝑒2 𝑡 = E1m Cos ω t − 2𝑇 3 + 𝜑1 + E3m Cos 3ωt + 𝜑3 + E5m Cos 5ω t − 𝑇 3 + 𝜑2 + ⋯

Le système triphasé équilibré non sinusoïdal est la superposition d'une série de systèmes triphasés équilibrés sinusoïdaux : - Système triphasé sinusoïdal équilibré directe du au fondamental et aux harmoniques d'ordre impair égale à 3𝑘 + 1, soit : 7, 13, 19, … - Système triphasé sinusoïdal équilibré indirecte du aux harmoniques d'ordre impair égale à 3𝑘 + 2, soit : 5, 11, 17, … - Système triphasé sinusoïdal homopolaire du aux harmoniques d'ordre impair égale à 3𝑘, soit : 3, 9, 15, … Remarques Que soit le couplage des systèmes triphasés équilibrés non sinusoïdaux, les harmoniques des tensions composées d'ordre multiple de 3 disparaissent. 

Couplage étoile

La valeur efficace de la tension d'une phase est :

2 2 2 2 2 2 E1m + E3m + E5m + E7m + E9m + E11m +⋯

2

2 2 2 2 La valeur efficace de la tension composée est : 3 E1m + E5m + E7m + E11m + ⋯ 2



Couplage triangle

Les systèmes équilibrés direct ou inverse n'entrainent pas un courant de circulation (la somme instantanée des tensions est nulle). Alors que les systèmes homopolaires entrainent des courants de circulation dans le triangle de phase de fréquences multiple de 3. Au niveau de la source triphasée monté en triangle à impédances internes 𝑍𝑛 , La tension d'une phase égale la f.é.m diminuée de la chute de tension due à l'impédance interne comme suit: 𝑣𝑚 𝑡 = 𝑒𝑚 𝑡 − 𝑍𝑚 𝑖𝑜 𝑡 avec 𝑚

= 1 … 3 et 𝑖𝑜 𝑡 est le courant de circulation qui ne dépend que de la composante homopolaire. Pour l'harmonique d'ordre 3 : 𝐼3 = 3𝐸3 /3𝑍3 = 𝐸3 /𝑍3 On constate bien que l'harmonique d'ordre 3 (même chose pour les harmoniques d'ordre multiple de 3) de la tension d'une phase sera nul ainsi : 𝑉3 = 𝐸3 − 𝑍3 𝐼3 = 0 16

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés

IV.

Régime triphasé sinusoïdal déséquilibré

a. Définitions  Opérateur complexe "a" On appelle opérateur "𝑎" la quantité complexe "𝑒 𝑗 2𝜋/3 " . En multipliant une grandeur complexe par cet opérateur ne change pas son module mais augmente son argument de 2𝜋/3. On donne quelques propriétés utiles : Un système de tensions direct s'écrit : 𝑉1 , 𝑎−1 𝑉1 , 𝑎−2 𝑉1 Un système de courants inverse s'écrit : 𝐼1 , 𝑎𝐼1 , 𝑎2 𝐼1 1 + 𝑎−1 + 𝑎−2 = 1 + 𝑎 + 𝑎2 = 0 𝑎 −3 = 𝑎3 = 1 𝑎 = 𝑎 −2 et 𝑎 −1 = 𝑎2 𝑎−1 = 𝑎∗ (𝑎∗ est le conjugué de 𝑎) 1 − 𝑎 = 3𝑒 −𝑗𝜋 /6 1 − 𝑎2 = 3𝑒 𝑗𝜋 /6 

Un système triphasé sinusoïdal déséquilibré est la superposition de trois soussystèmes équilibrés. L'un est direct, l'autre est inverse et le troisième est homopolaire comme suit : 𝑉1 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑉2 = 𝑎2 𝑉𝑑 + 𝑎𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑉2 = 𝑎𝑉𝑑 + 𝑎2 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 Les trois grandeurs 𝑉𝑑 , 𝑉𝑖 , 𝑉𝑜 sont dites les composantes symétriques du système réel 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 . Elles peuvent être déduites facilement comme suit : 1 𝑉𝑑 = 𝑉1 + 𝑎𝑉2 + 𝑎2 𝑉3 3 1 𝑉𝑖 = 𝑉1 + 𝑎2 𝑉2 + 𝑎𝑉3 3 1 𝑉𝑜 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 3 𝑎2 𝑉3 3𝑉𝑑

𝑉1

𝑎2 𝑉2

𝑉1

𝑎𝑉3

𝑎𝑉2 𝑉3

𝑉2

𝑉1

𝑉3

3𝑉𝑜

𝑉2 𝑉1

3𝑉𝑖

17

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés

b. Méthodes simplifiées pour la détermination des composantes symétriques  Composantes directe et inverse Le principe utilisé suppose que les systèmes triphasés ayant les mêmes extrémités mais de départs différent ont les même composantes directe et inverse. C'est les composantes homopolaires qui diffèrent. En choisissant l'extrémité "C" du vecteur "𝑉3 " comme départ, on aura : 1 1 𝑉𝑑 = 𝐶𝐴 + 𝑎𝐶𝐵 = 𝐸𝐴 3 3 1 1 𝑉𝑖 = 𝐶𝐴 + 𝑎2 𝐶𝐵 = 𝐺𝐴 3 3 En pratique, on construit deux triangles 𝐵𝐶𝐸 et 𝐵𝐶𝐺 équilatéraux et symétriques par rapport à 𝐵𝐶. 𝐴

𝑉1′ 𝑂′

𝑉1

𝑉2′

3𝑉𝑖 𝐺

𝑎𝐶𝐵

𝑂

𝑉2

𝑉3 𝐶

𝑉3′ 𝑉3

𝑉1

𝑉2

𝑉3

𝐵 𝐶

𝐶𝐵

𝑉1

𝑉2

𝐵

𝐶𝐵

3𝑉𝑑

3𝑉𝑑

2

𝑎 𝐶𝐵

𝐶 

𝐴

3𝑉𝑖 𝐺

𝐸

𝐸

Composantes homopolaire

Le principe utilisé suppose que si les vecteurs 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 et 𝑂𝐶 représentant les trois tensions 𝑉1 , 𝑉2 et 𝑉3 sont disposés tel que le point "O" soit au centre de gravité, la composante homopolaire est nulle. En effet : 𝑉𝑜 =

1 1 1 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 2𝐴′ 𝐴 + 2𝐵 ′ 𝐵 + 2𝐶 ′ 𝐶 = 0 3 3 9 𝐴

car 2𝐴′ 𝐴 = 𝐴′ 𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐴′ 𝐶 + 𝐶𝐴 2𝐵 ′ 𝐵 = 𝐵′ 𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵′ 𝐶 + 𝐶𝐵

𝐵′ 𝐶′

2𝐶 ′ 𝐶 = 𝐶 ′ 𝐴 + 𝐴𝐶 + 𝐶 ′ 𝐵 + 𝐵𝐶 𝑂

et 𝐴′ 𝐵 = −𝐴′ 𝐶 , 𝐵 ′ 𝐴 = −𝐵 ′ 𝐶 et 𝐶 ′ 𝐴 = −𝐶 ′ 𝐵

𝐶 𝐴′ 𝐵

18

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés La composante homopolaire est définit par le vecteur joignant le centre de l'étoile représentant le système au centre de gravité du triangle ayant les mêmes sommets que le système. En effet, si les vecteurs 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 et 𝑂𝐶 représentant les trois tensions 𝑉1 , 𝑉2 et 𝑉3 et si 𝑂′ est le centre de gravité du triangle du triangle A𝐶𝐵, on a : 1 𝑉𝑜 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 𝑂𝑂′ 3

𝐴

𝐵′

𝑂′ 𝐶

𝐶′ 𝑂

𝐴′ 𝐵

c. Relations entre les grandeurs électriques et leurs composantes  Tensions Prenant la relation entre les tensions simples et ces composantes, 𝑉1 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑉2 = 𝑎2 𝑉𝑑 + 𝑎𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑉2 = 𝑎𝑉𝑑 + 𝑎2 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 Les tensions composées sont : 𝑈12 = 𝑉1 − 𝑉2 = 1 − 𝑎2 𝑉𝑑 + 1 − 𝑎 𝑉𝑖 𝑈23 = 𝑉2 − 𝑉3 = 𝑎2 1 − 𝑎2 𝑉𝑑 + 𝑎 1 − 𝑎 𝑉𝑖 𝑈31 = 𝑉3 − 𝑉1 = 𝑎 1 − 𝑎2 𝑉𝑑 + 𝑎2 1 − 𝑎 𝑉𝑖 Les tensions composées n'ont pas de composante homopolaire car leur somme est nulle. Alors que les composantes direct et inverse sont simplement déduites comme suit : 𝑈𝑑 = 1 − 𝑎2 𝑉𝑑 = 3𝑒 𝑗𝜋 /6 𝑉𝑑 et 𝑈𝑖 = 1 − 𝑎 𝑉𝑖 = 3𝑒 −𝑗𝜋 /6 𝑉𝑖  Courants Prenant la relation entre les courants de phase et ces composantes, 𝐽12 = 𝐽𝑑 + 𝐽𝑖 + 𝐽𝑜 𝐽23 = 𝑎2 𝐽𝑑 + 𝑎𝐽𝑖 + 𝐽𝑜 𝐽31 = 𝑎𝐽𝑑 + 𝑎2 𝐽𝑖 + 𝐽𝑜 Les courants de lignes sont : 𝐼2 = 𝐽12 − 𝐽31 = 1 − 𝑎 𝐽𝑑 + 1 − 𝑎2 𝐽𝑖 = 𝐼𝑑 + 𝐼𝑖 𝐼2 = 𝐽23 − 𝑉12 = 𝑎2 1 − 𝑎 𝐽𝑑 + 𝑎 1 − 𝑎2 𝐽𝑖 = 𝑎2 𝐼𝑑 + 𝑎𝐼𝑖 𝐼3 = 𝐽31 − 𝐽23 = 𝑎 1 − 𝑎 𝐽𝑑 + 𝑎2 1 − 𝑎2 𝐽𝑖 = 𝑎𝐼𝑑 + 𝑎2 𝐼𝑖 Les courants de ligne n'ont pas de composante homopolaire car leur somme est nulle. Alors que les composantes direct et inverse sont simplement déduites comme suit : 𝐼𝑑 = 1 − 𝑎 𝐽𝑑 = 3𝑒 −𝑗𝜋 /6 𝐽𝑑 et 𝐼𝑖 = 1 − 𝑎2 𝐼𝑖 = 3𝑒 𝑗𝜋 /6 𝐽𝑖  Puissances Si dans l'expression de la puissance apparente complexe 𝑆 = 𝑉1 𝐼1∗ + 𝑉2 𝐼2∗ + 𝑉3 𝐼3∗ , on remplace les tensions et les courants par ses relations en fonction de ces composantes : 𝑆 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝐼𝑑∗ + 𝐼𝑖∗ + 𝐼𝑜∗ + 𝑎2 𝑉𝑑 + 𝑎𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑎𝐼𝑑∗ + 𝑎2 𝐼𝑖∗ + 𝐼𝑜∗ + 𝑎𝑉𝑑 + 𝑎2 𝑉𝑖 + 𝑉𝑜 𝑎2 𝐼𝑑∗ + 𝑎𝐼𝑖∗ + 𝐼𝑜∗ 19

Chapitre II : Systèmes Electriques Polyphasés On trouvera : 𝑆 = 3𝑉𝑑 𝐼𝑑∗ + 3𝑉𝑖 𝐼𝑖∗ + 3𝑉𝑜 𝐼𝑜∗ d'où 𝑃 = 𝑃𝑑 + 𝑃𝑖 + 𝑃𝑜 et 𝑄 = 𝑄𝑑 + 𝑄𝑖 + 𝑄𝑜 On constate que le principe de conservation de puissance s'applique aussi sur les puissances des sous systèmes symétriques. Remarques Les composantes symétriques sont très utiles surtout dans l'étude du fonctionnement des réseaux électriques, car ils sont généralement déséquilibrés.

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