TOPOGRAPHIE 2 Chap I [PDF]

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Chapitre 1 : Polygonation & triangulation I. TRIANGULATION 1. RÉSEAUX GÉODÉSIQUES Un réseau de points connus en planimétrie est nécessaire pour effectuer la majorité des travaux de topographie. Ce n’est pas indispensable dans le cas où le travail sera effectué en repère local (petits chantiers ou chantiers isolés). L’Institut Géographique National (IGN) a donc implanté en France un réseau de points dits «géodésiques ». La détermination des points géodésiques s’est faite par la méthode de triangulation, qui consiste à mesurer les angles et quelques côtés des triangles accolés dont les sommets sont les points géodésiques. La résolution de ces triangles donne les positions relatives des sommets. Le problème étant d’implanter sur le territoire un ensemble plus ou moins dense de points, on procède par triangulations emboîtées ou ordres géodésiques hiérarchisés, respectant ainsi le principe «aller de l’ensemble au détail». Cela permet d’assurer une précision homogène entre les différents ordres de réseaux.

Figure 1.1. Exemple d’une opération de levé pour une triangulation.

Figure 1.2. Exemple d’une triangulation par logiciel après prélèvement sur terrain. 1

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Figure 1. 1.3. Exemple d’une triangulation en 3D.

Figure 1.4. Exemple d’une triangulation pour la représentation des coordonnées et positionnement des immeubles sur terrain terrain.

1.1. Historique de triangulation Le but initial de la triangulation consiste à connaître la forme et les dimensions de l’ellipsoïde terrestre, puis d’autres objectifs sont venues s’y ajouter ; ainsi elle a servi :

•



d’ossature à la carte de France à petite échelle en premier lieu ;



de base à l’établissement des plans cadastraux à moyenne échelle ;



de canevas pour les plans à grande échelle établis pour les grands travaux ;

aux besoins militaires.

L’évolution a imposé des plans à des échelles de plus en plus grande grandess et donc des canevas de plus en plus précis : • en 1792, Méchain (1744 –1804) et Delambre (1749–1822)) ont mesuré l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone en vue de la détermination de l’unité de longueur. Cette chaîne méridienne fut le point de départ épart de la triangulation qui a servi de base à la carte d’état d’état-major au 1/80 000 ; • en 1873 débutent les travaux de la Nouvelle Triangulation Française (NTF). Mais il n’a pas été possible d’utiliser les points de l’ancienne car la précision s’est avérée insuffisante, 2

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de nombreux points étant des douteuse. On a donc cherché à visées suffisamment nombreuses homogène. Les points ont été grande selon l’ordre ;

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pins, hêtres, rochers gravés, tours, d’une conservation constituer plusieurs ordres de triangulation avec des situées dans les différents quadrants et de longueur matérialisés par des bornes d’importance plus ou moins

en 1991, année de la dernière campagne de géodésie classique de l’IGN, la NTF a été déclarée achevée : elle s’était régulièrement enrichie au fil des années par densification à partir du réseau de 1er ordre jusqu’à atteindre une densité d’un point pour 9 km2 environ avec le 4e ordre. Ses 70 000 sites géodésiques (sans compter les points de 5e ordre) sont uniformément répartis sur le territoire national avec une précision relative moyenne de l’ordre de 10–5 (c’est-à-dire plusieurs centimètres au mieux par rapport au point le plus proche). Le nouveau système géodésique RGF 93 est en préparation. 1.2. La nouvelle triangulation française (NTF) Un siècle aura donc été nécessaire à l’élaboration de ce réseau (1873 à 1991). Il est constitué : • d’un point fixe, le point géodésique fondamental, qui est la croix du dôme du Panthéon à Paris dont on a déterminé avec le maximum de précision les coordonnées géographiques déduites de l’observatoire de Paris de coordonnées géographiques : λ = 0,0106 93 gon ; φ = 54,273 618 gon On y a aussi mesuré l’azimut astronomique du côté de départ de la triangulation. En ce point, la normale à l’ellipsoïde et la verticale qui est la normale au géoïde sont confondues ; l’ellipsoïde Clarke 80 y est tangent au géoïde. L’altitude et la hauteur ellipsoïdale sont égales. • de 15 bases géodésiques d’une dizaine de km mesurées au fil Invar (précision 1 cm) réparties tous les 250 à 300 km ; elles sont destinées à réajuster les dimensions des triangles ; • des stations de Laplace, servant à réorienter les côtés des triangles à chaque base ; par des visées astronomiques, on détermine en ces points l’azir.

Figure 1.5. Rattachement du Panthéon et de la base de Paris à la méridienne de France

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1.2.1. Réseau de premier ordre Il comprend les éléments suivants : • le 1er ordre de chaîne : trois chaînes méridiennes ont été établies (celle de Bordeaux, celle de Lyon et celle de France qui passe par Paris) et trois chaînes parallèles, de Paris, Lyon et Toulouse (voir carte figure 2.39.). Ce sont des chaînes de triangles de 30 à 60 km de côtés et, dans chaque quadrilatère formé par deux triangles accolés, on détermine l’orientation de la deuxième diagonale ; ainsi, les mesures sont en surnombre (huit angles par quadrilatère). Les angles sont mesurés avec seize réitérations. Le 1er ordre de chaîne a été calculé sur l’ellipsoïde en coordonnées géographiques par fractions insérées entre deux bases (fig. 2.41.). • le 1erordre complémentaire, constitué par les points de 1er ordre compris dans les mailles formées par les chaînes méridiennes et parallèles. Il est calculé dans le plan de projection en coordonnées rectangulaires par blocs insérés entre les points précédemment déterminés. Les angles ont été mesurés au théodolite T3 (Leica) avec seize réitérations ; pour les réduire au plan de projection, on applique la correction de dv. Les triangulations de 1er ordre sont orientées par des azimuts astronomiques (stations de Laplace) et mises à l’échelle par des mesures de longueur. Les compensations ont été faites par la méthode des moindres carrés (calculs en bloc). Il y a environ 860 points, formant 1 700 triangles de 30 à 40 km de côtés ; 5 000 directions ont été observées. La précision moyenne d’une observation est de 2 dmgon, soit environ 13 cm à 40 km. En règle générale, on considère que les points de 1erordre sont déterminés à 10 cm près, soit une précision relative d’environ 1/400 000 sur les côtés. Vers la triangulation du monde La réalité de l'aplatissement aux pôles de notre globe, étant acceptée dès la fin du siècle précédent ( La géodésie aux XVIIe et XVIIIe siècles), l'objectif de la géodésie au XIXe siècle va consister pour une large part à déterminer les irrégularités de la surface terrestre, par rapport à une surface ellipsoïdale moyenne ou surface osculatrice. Mais, pour atteindre à ce but, les opérations géodésiques devront pouvoir embrasser des arcs situés en nombre égal dans toutes les portions du globe. Or à cette époque tous les arcs méridiens mesurés sont localisés en Europe sur un espace de 20° en longitude, compris entre l'arc Anglo-Franco-Espagnol et l'arc Russe, si l'on excepte les arcs équatoriaux de l'Inde et du Pérou et l'arc du cap de Bonne-Espérance et quelques mesures en Inde ou aux ÉtatsUnis(mesure d'un arc d'un degré et demi en Pennsylvanie par Mason et Dixon). Jusqu'à 1850 - La triangulation des îles Britanniques, que Roy, Mudge et Kater commencèrent en 1784, fut terminée en 1802 par la mesure d'un arc de méridien ; elle s'appuie sur beaucoup d'observations astronomiques, qui lui donnent une grande valeur au point de vue de la détermination générale de la forme de la Terre. La triangulation de l'Inde anglaise fut initiée par Kater, puis dirigée de 1802 à 1823 par Lambton et de 1823 à1843 par G. Everest. Au Danemark, Schumacher a donné en 1817 le programme des travaux géodésiques et Hansen a triangulé en 1821 le duché de Holstein. 4

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La première triangulation des Pays-Bas a été faite de 1802 à 1814 par Krayenhoff, qui a publié à La Haye en 1827 un précis historique de ses opérations géodésiques. Les triangulations ont été commencées en 1810 en Bavière et dans le Palatinat, et en 1818 dans le reste de l'Allemagne. De 1821 à 1824, Gauss a mesuré un arc de méridien entre Göttingen et Altona et un arc de parallèle en Hanovre, en employant des méthodes originales et un instrument qu'il a inventé, l'héliotrope, pour viser les sommets éloignés des triangles. En Russie, les travaux géodésiques ont été dirigés par W. Struve et T.-F. de Schubert respectivement à partir de 1816 et de 1820. En Italie, une triangulation pour déterminer un arc de méridien entre Rivoli et la mer Adriatique fut commencé en 1785 par Oriani, continuée en 1803 par Puissant et achevée en 1811 par les ingénieurs-géographes français. Une autre triangulation fut faite de 1821 à 1821 pour mesurer l'arc de parallèle à 45° qui traverse la Savoie et le Piémont; mais les résultats des opérations géodésiques, qui furent difficiles dans les Alpes, a cause des neiges, ne s'accordèrent pas avec ceux des observations astronomiques faites par Carlini et Plana; et ce dernier attribue les différences à une irrégularité de densité des couches terrestres dans la chaîne des Alpes. On voit d'après cela qu'il était encore indispensable, pour asseoir des conclusions solides, de mesurer un arc aux États-Unis aussi long que possible à l'Est des montagnes Rocheuses, un autre arc au Chili le long de la côte, un autre arc en Égypte dans la vallée du Nil, d'étendre celui du Cap et enfin de mesurer un arc en Australie et un autre en Indochine dans la vallée du Mékong. Un arc dans la vallée du Para et un autre au Brésil seraient également très bien placés estimait-on, mais l'entreprise n'est semblait plus difficile à réaliser. Quant à la triangulation de l'Afrique intérieure, elle semblait encore irréalisable avant de longues années. Les efforts effectués par la France, pour prolonger le méridien français au Sahara jusqu'à Ghardaïa, paraissaient réaliser tout ce qu'il est possible de tenter dans le Nord de l'Afrique, si ce n'était dans la vallée du Nil évidemment plus accessible. Malheureusement pour la paix européenne, les grandes puissances paraissaient avoir dans la vallée du Nil des préoccupations fort étrangères à la vérification du degré de Sennâar, et les savants plaçaient plutôt leurs espoirs dans la mesure de l'arc de méridien en Indochine. Après 1850 - En France, pour la Carte de l'État-Major, initiée en 1818, la mesure de triangles de premier et de second ordre fut achevée en 1854, et celle des triangles de troisième ordre en 1863. Dans les Îles Britanniques, les principaux travaux géodésiques ont été faits par l'Ordnance Survey Office, qui date de 1791. La triangulation de l'Inde anglaise a été dirigée de 1843 à1861 par A. Waugh, et de 1861 à 1878 par J.-T. Walker; elle comprend la mesure d'un arc de méridien de 21°. En Belgique, les triangulations ont été faites de 1853 à 1873. Au Danemark, les triangulations ont été terminées en 1870. Andrae a fait achever en1867 la mesure d'un arc de méridien et d'un arc de parallèle se rattachant à ceux que Gauss avait mesurés. II en a publié les résultats de 1867 à 1885 dans son ouvrage intitulé Den danske Gradmaaling (1867-1885), dont une partie rédigée en français a pour titre Problèmes de haute Géodésie (1881). 5

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Aux Pays-Bas, les travaux ont été repris en 1861. En Bavière et le Palatinat, les opérations géodésiques ont été achevées en 1854. Dans le reste de l'Allemagne, elles ont été continuées en 1847 par Baeyer. Elles embrassent la mesure, terminée en 1877, de l'arc du parallèle à 52° compris entre les frontières belge et russe. En Autriche et en Hongrie, l'Institut militaire géographique de Vienne a fait mesurer, de1862 à 1890, des chaînes de triangles dans la direction de trois parallèles et de six méridiens. En Russie, W. Struve et T.-F. de respectivement en 1855 et en 1862.

Schubert terminèrent

leurs

travaux

géodésiques

Les triangulations de premier ordre dans les diverses parties de l'Italie furent faites surtout de 1836 à 1863; les autres travaux se sont continués depuis cette époque. Les grandes triangulations de l'Espagne, commencées en 1859 à Madrid par une Commission militaire, avec des instruments précis, ont été terminées en 1877 à Ares par l'institut géographique, sous la direction d'Ibañez. En 1895, Defforges a présidé, sur la demande du gouvernement de la Roumanie, à la mesure des trois bases fondamentales de la Carte militaire de cette contrée. Ensuite, sur la demande du gouvernement de la Porte, la France l'a envoyé en mission officielle pour organiser le service de la Carte militaire de l'Empire ottoman). En février 1897, la base centrale était mesurée, les coordonnées de départ déterminées astronomiquement et les triangulations commencées. Les opérations, interrompues par la guerre turco-grecque, se continueront ensuite. Jusqu'en 1862, on avait mesuré dans l'Europe deux grands arcs de méridiens : l'arc hispanofranco-anglais de 22° 40', s' étendant de Formentera, dans les îles Baléares, à Saxavord, dans les îles Shetland, et l'arc Russo-Scandinave de 25°20', compris entre Hammerfest, sur les bords de la mer Glaciale, et Ismaïl, sur les bords du Danube ; trois petits arcs de méridiens en Hanovre, en Danemark et dans la Prusse orientale; deux arcs de parallèles, l'arc franco-sardeautrichien de Marennes à Orsova et l'arc franco-bavarois-autrichien de Brest à Vienne. En Russie, les observations furent faites par la méthode de W. Struve. Le Bureau hydrographique des États-Unis a terminé en 1878, entre les États du Maine et de Géorgie, une triangulation ayant 18° de longitude et 12° de latitude. De 1837 à 1849, Antoine d'Abbadie a fait des levés en Abyssinie par les méthodes de la Géodésie expéditive; il expose ces méthodes et donne les résultats de ses observations dans sa Géodésie d'une partie de la Haute-Éthiopie (1860-1874), publiée avec la collaboration de R.Radau pour les calculs et la construction des cartes. Les Cartes marines étaient, jusque vers 1845, établies par des levés sous voiles, qui ne donnaient que des croquis, ou par des procédés géodésiques souvent impraticables dons les pays sauvages. Mouchez les établit par une méthode mixte consistant à employer des points fixes déterminés par des observations astronomiques faites à terre; et pour cela il avait fait modifier par J. Brunner, en 1849 et en 1856, la lunette méridienne pour la rendre portative. Il levait rapidement et avec assez d'exactitude les contours d'une côte ou d'une baie, en faisant 6

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avec le théodolite un petit nombre de stations sur des points culminants. Vers 1850, il introduisit dans la manière de faire le point une modification qui fut ensuite pratiquée sous le nom de méthode américaine. Il établit de 1867 à 1873, sur une étendue de 800 km, la Carte des côtes de l'Algérie, qui n'étaient connues que par le levé sous voiles fait de 1831 à 1835par Bérard et de Tessan. Il est bon de remarquer que, dans les levés de reconnaissance des côtes, on commence à obtenir à cette époque les angles avec rapidité et une précision suffisante en employant la chambre claire de Wollaston modifiée par A.Laussedat en 1854. La mesure d'un arc de parallèle en Algérie Les mesures d'arcs de méridien ne sont pas les seules opérations que l'on puisse entreprendre pour déterminer les dimensions de l'ellipsoïde terrestre. Les arcs de parallèle pourraient être d'un grand secours, s'il était possible d'en déterminer l'amplitude avec sûreté. Ainsi, alors que pour l'étude de la forme de la Terre, on n'avait employé jusqu'en 1864 que des arcs de méridiens, parce qu'on n'avait ni méthode, ni instruments permettant d'obtenir avec une précision suffisante les amplitudes célestes des arcs de parallèle, l'État-Major français chargea Perrier de diriger en Algérie les opérations de mesure d'un arc de parallèle terrestre; c'est dans ce pays qu'à partir de 1867, Perrier se servit, pour remplacer le cercle répétiteur, d'un cercle réitérateur qu'il avait fait construire par E. Brunner. Il fit mesurer deux bases ayant une longueur d'environ 10 km, l'une à Oran, l'autre à Bône (Annaba), En 1869, la triangulation de l'Algérie était terminée dans la région du Tell et il ne restait plus, pour fixer la place de cette région sur le sphéroïde terrestre, qu'à mesurer la longitude, la latitude et un azimut en une station centrale, qui fut la ville d'Alger. La mesure de la différence de longitude entre Paris et Alger fut faite en 1874par Perrier, qui resta dans la première ville, et par Loewy, qui se rendit dans la seconde. Pour cette mesure, sur la proposition de Le Verrier, l'enregistrement électrique fut appliqué à l'observation des passages et à l'échange des signaux. Le nombre ainsi trouvé concordait avec celui que Loewy et Stéphan avaient obtenu à la même époque au moyen de deux opérations, l'une entre Paris et Marseille, l'autre entre Marseille et Alger. Ensuite, Perrier, installé dans un Observatoire qu'il avait établi sur le plateau de Voirol, dominant les collines de Mustapha, trouva la latitude d'Alger par l'observation des distances zénithales méridiennes de 46 étoiles voisines du zénith. II détermina, en 1874 et en 1878, l'azimut d'un point de repère situé sur un mamelon élevé de l'Atlas et très voisin du méridien d'Alger, la latitude et l'azimut de Bône et de Nemours, villes voisines des extrémités de l'arc de parallèle mesuré, et les différences de longitude entre ces trois villes; il a apporté un soin tout particulier au calcul des positions géographiques, en faisant, pour obtenir la concordance des bases, des corrections sur les angles d'après une méthode que Laplace donne dans sa Théorie analytique des probabilités (1812). Des résultats que Perrier trouva en mesurant un arc de parallèle algérien de 9°36', il résultait que la courbure de la Terre devait être irrégulière dans la région où se trouve cet arc. Les jonctions géodésiques La jonction géodésique de la France avec l'Angleterre. Avant 1861, le travail de jonction des triangulations de la France avec l'Angleterre, par-dessus le détroit du Pas-de-Calais, avait été plusieurs fois entrepris par des géodésiens de ces deux pays, mais sans succès, parce que les signaux ordinaires ne pouvaient être nettement aperçus d'une rive du détroit à l'autre rive. Dans les années 1861 et 1862, cette jonction fut opérée 7

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séparément et simultanément, en se servant de l'héliotrope de Gauss, par deux Commissions composées, l'une d'ingénieurs anglais, notamment H. James et M. Clarke, l'autre d'officiers français, dont le chef, Levret, eut Perrier pour collaborateur le plus actif. Des travaux de ces deux Commissions, il est résulté la mesure d'un nouvel arc de la méridienne de France, ayant 13° et s'étendant de Dunkerque aux îles Shetland.

Figure 1.6. Carte de la jonction des côtes françaises et anglaises, publiée par Arago dans son Astronomie populaire (1859). La jonction géodésique de l'Algérie avec l'Espagne. Levret avait prouvé en 1863 que la jonction géodésique de l'Algérie avec l'Espagne, pardessus la Méditerranée, était théoriquement possible, parce que la courbure de la Terre n'intercepte pas la trajectoire des rayons visuels allant de l'Atlas aux sierras de Grenade et de Murcie. Perrier reconnut en 1868 sur le terrain même que cette jonction était matériellement possible. En 1873, Ibañez et Perrier, qui dirigèrent les opérations de cette jonction, choisirent les stations très élevées de Mulhacen et Tetica en Espagne, de Filhaoussen et M'Sabiha en Algérie, formant un quadrilatère dont chaque sommet est visible de chacun des trois autres. Comme les signaux devaient être perceptibles à des distances d'environ 300 km, ils durent avoir recours à la lumière solaire pendant le jour et à la lumière électrique pendant la nuit. Pour les signaux de nuit, ils se servirent d'appareils que venait d'imaginer A. Laussedat. Ce fut un travail très difficile que de faire transporter à de si grandes hauteurs une machine magnétoélectrique de Gramme, une machine à vapeur pour l'actionner et les instruments géodésiques. Malgré ces difficultés, malgré les attaques des tribus hostiles à la présence française, malgré la gêne apportée par le ciel brûlant de l'Algérie et par les neiges couvrant à la fin de l'été la montagne de Mulhacen, les observateurs réussirent pleinement à opérer la jonction projetée, grâce aux signaux électriques de nuit qui seuls furent aperçus. Les observations, commencées le 9 septembre, se terminèrent le 1er octobre. L'opération géodésique fut complétée du 5 octobre au 16 novembre, par le rattachement des réseaux astronomiques de l'Espagne et de l'Algérie. Ainsi se trouvait réalisé, au moyen des plus grands triangles qui aient été mesurés, un vœu émis par Biot et Arago à leur retour d'Espagne.

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L'Association géodésique internationale Tous ces desiderata supposaient des actions concourantes bien diverses. Dans ce but, les géodésiens ont fondé l'Association géodésique internationale, dont la tâche était d'examiner en commun les moyens les plus propres à faire progresser la science géodésique, en assurant une direction aux travaux entrepris par chaque nation. Fondée à Berlin en 1864 sous l'initiative du général Baeyer, l'Association pour la mesure du degré dans l'Europe centrale prit en 1867 le titre d'Association géodésique internationale, après l'adhésion de la Russie et de l'Espagne. Pour comprendre dans son domaine toutes les mesures effectuées hors de l'Europe, l'Association géodésique internationale fut réorganisée; après la mort de son fondateur Baeyer : le Gouvernement prussien prit l'initiative de la réforme. Dans une Conférence tenue à Berlin en octobre 1886, les délégués des principales contrées de l'Europe, la Turquie et l'Angleterre exceptées, et de quelques contrées des autres parties du Monde, décidèrent que l'Association géodésique internationale avait pour but la mesure des degrés de toute la Terre; qu'elle aurait à Berlin un Bureau central de calculs; qu'une Commission permanente, composée de 11 membres, se réunirait tous les ans, dans une ville des États associés; que l'Association aurait tous les trois ans une réunion plénière où la Commission permanente serait renouvelée par moitié. Ibañez fut alors nommé président de cette Commission et R. Helmert directeur du Bureau central des calculs. La conférence générale se réunira désormais dans l'une des capitales des États associés; une commission permanente composée de membres choisis parmi les délégués se réunit chaque année dans une ville différente; les délégués qui n'en font pas partie sont invités à assister aux séances, mais sans droit de vote. La commission permanente s'occupe de la publication des rapports communiqués par les délégués sur les travaux géodésiques exécutés dans leurs pays et sur leurs propres recherches. Un organe spécial de l'Association, appelé bureau central, classe et conserve les archives; il rédige en outre un rapport général et s'occupe des questions relatives à l'uniformité des mesures géodésiques et, astronomiques. L'Association possède un budget alimenté au moyen de cotisations annuelles versées par les États adhérents. Le résumé des comptes rendus des diverses réunions de l'Association géodésique internationale en témoignent, en aspirant à la représentation exacte de la surface terrestre par rapport à celle d'un ellipsoïde idéal, les géodésiens avaient été conduits dans les dernières décennies du XIXesiècle à une nouvelle série de déterminations se rapportant aux altitudes des sommets géodésiques au-dessus de cet ellipsoïde. Les recherches si précises entreprises dans cette direction ont permis d'établir que la surface du niveau moyen des mers ne pouvait être utilisée dans ce but, car en a pu constater, au moyen des chaînes de nivellement, des différences d'altitude entre le niveau moyen des mers sur différents points des côtes d'Europe. De là est né le problème du zéro universel qui a longtemps été une des questions les plus controversées dans le sein de l'Association géodésique internationale. Les nivellements On appelle nivellement la suite d'opérations servant à déterminer le relief du sol relativement à la surface moyenne de la Terre. En d'autres termes, le but visé est d'obtenir les hauteurs respectives, ou altitudes, des divers points par rapport à l'ellipsoïde de révolution qui est le prolongement au-dessous des continents de la surface des mers. Les altitudes peuvent être fournies grosso modo par le baromètre. L'intervention de deux observateurs est nécessaire, l'un se tient dans une localité dont l'altitude est supposée connue et note à intervalles équidistants pression et température ; l'autre se déplace et relève les mêmes données dans les endroits qu'il traverse. Les baromètres altimétriques, encore plus imparfaits, donnent l'altitude 9

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par une simple lecture ; l'hypsomètre sert au même usage. Ces procédés, employés depuis le XVIIe siècle, sont encore parfois utilisés au XIXe siècle, mais seulement faute de mieux, par exemple dans les ascensions en ballon ou sur des montagnes ou dans les explorations en pays inconnus. Désormais, la détermination des altitudes absolues dans le lever de la carte d'un grand pays reposent pour l'essentiel à des méthodes plus rigoureuses et fiables, basées ici encore sur des triangulations. En savoir plus sur : http://www.cosmovisions.com/geodesieChrono03.htm#zCMJhMQ42owD5Q2f.99 Matérialisation des points géodésiques a. Borne géodésique Une borne géodésique (ou parfois monument géodésique) est un repère permanent marquant très exactement l'emplacement d'un point géodésique dont on connaît précisément la longitude, la latitude et l’altitude. Elles sont souvent constituées d'un ensemble de blocs de pierre ou de béton. Une borne est un bloc solide en granit dont la partie émergeant du sol est un cube de 15 cm d’arête. La face supérieure horizontale porte une croix gravée matérialisant le repère supérieur. La borne repose sur une dalle. La borne et la dalle sont prises dans un bloc de béton. Sous celui-ci, séparé de lui par une couche de terre meuble, est coulé un bloc de béton dans lequel est ménagé un orifice circulaire au fond duquel se trouve un repère métallique inférieur recouvert de charbon de bois. La borne est placée de sorte que le repère supérieur et le repère inférieur soient à l’aplomb l’un de l’autre. La profondeur de l’ensemble est environ 0,80 m, et le poids du bloc de granit est de l’ordre d’une tonne. Le fait de déplacer ou de détruire une borne géodésique peut être puni par la loi1. En France, la dégradation d'une borne est réprimée par l'article 322-3 8° du code pénal. Avec un Réseau géodésique français (NTF), par exemple, d’environ 80 000 bornes, celles-ci sont un élément essentiel de la cartographie faite de triangles

Figure 1.7 .Exemples de Bornes géodésiques 10

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Mire géodésique C’est un ensemble de panneaux de forme géométrique, en bois ou en métal, ayant un axe vertical centré au-dessus d’une borne ou d’un rivet (en montagne). Les mires géodésiques permettent l’observation éloignée de ces points. Les mires métalliques sont démontables.

Figure 1.8 .Exemples de Mire géodésique et Signal Le signal est une construction ayant un axe de symétrie vertical situé au- dessus d’un repère et permettant l’observation éloignée de celui-ci. Le signal est en général géodésique : cheminée, pylône etc. ; il est souvent pérenne alors que les mires géodésiques sont provisoires. Par extension est englobé sous ce terme toute construction pouvant être observée : cheminées, pylônes, mires géodésiques, balises.

Figure 1.9 . Extrait de répertoire de point géodésique. Repères géodésiques Un point géodésique est un point matérialisé dont les coordonnées (bidimensionnelles ou tridimensionnelles suivant le type de point) sont connues avec précision. L’existence de différents types de points géodésiques est essentiellement liée aux deux procédés de triangulation qui permettaient, avant l’avènement des techniques modernes de positionnement par satellite, de déterminer les coordonnées d’un point : l’intersection et le relèvement. Dans le cas de l’intersection, on stationne des points connus et, après s’être orienté sur d’autres points, on vise les points à déterminer. Dans le cas du relèvement, on stationne le point à déterminer et on vise des points connus. On voit bien que, dans les deux cas, il est nécessaire d’avoir des points qui peuvent être station11

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nés, et le plus pratique dans ce cas-là est qu’ils soient implantés au sol, et de points que l’on peut viser, ou d’où l’on peut effectuer des visées, et donc qui sont suffisamment hauts audessus des obstacles potentiels (relief, végétation, etc.). -

Les points au sol

-

Les points géodésiques en hauteur

-

Les points au sol

Repère en laiton Les points au sol sont caractérisés par un repère géodésique métallique, scellé dans un élément solide et stable du paysage (rocher, réservoir, etc.), ou par une borne géodésique, implantée spécialement. Certaines bornes géodésiques peuvent aussi supporter des repères géodésiques. Les principaux repères géodésiques

Les repères géodésiques sont généralement en laiton. Leur diamètre peut être de 12, 18 ou 25 millimètres. Le centre de leur tête est marqué d’un point gravé auquel correspondent les coordonnées. On distingue les repères à tête hémisphérique et ceux dont la surface supérieure est plate et munie, suivant le diamètre du repère, d’un ou plusieurs cercles concentriques gravés. D’autres repères en fonte ont la forme d’un triangle isocèle de 11 centimètres de côté. Le centre de leur face supérieure est muni d’une pastille hémisphérique à laquelle correspondent 12

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les coordonnées. Ils portent l’indication en relief : « INSTITUT GEOGRAPHIQUE NATIONAL – POINT GEODESIQUE – NE PAS DETRUIRE » Les repères géodésiques peuvent aussi être des repères de nivellement. Les bornes géodésiques

Les bornes géodésiques peuvent revêtir plusieurs aspects et les descriptions ci-dessous ne concernent que les types les plus courants. Les bornes les plus nombreuses sont des bornes en granit, dont la face supérieure est munie d’une croix gravée. Les coordonnées du point correspondent au centre de cette croix. Le sigle IGN est gravé sur une des faces latérales de la borne et l’année de constitution de l’objet sur la face opposée.

Borne géodésique en béton La tête des bornes, qui correspond en général à la partie visible de l’objet, est un cube d’environ 16 à 35 centimètres de coté. Les bornes implantées en montagne sont généralement plus petites que celles implantées en plaine.

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Les bornes en polyester-béton, de couleur jaune, ont une section carrée de 14 centimètres de coté et sont équipées d’un repère hémisphérique en laiton de 3 centimètres de diamètre et d’une plaque identificatrice portant l’inscription « IGN ». Seule la face supérieure de la borne est apparente au niveau du sol. La face supérieure des bornes en béton est un carré dont les dimensions varient entre 60 centimètres et 1 mètre. Le centre de la borne est muni d’un repère hémisphérique, généralement d’un diamètre de 25 millimètres. Sur la face supérieure des bornes en béton du Réseau de Base Français (RBF) figure une plaque identificatrice portant les renseignements suivants : « INSTITUT GEOGRAPHIQUE NATIONAL – RESEAU GEODESIQUE FRANÇAIS – NE PAS DETRUIRE – Article 257 du Code Pénal »

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Les points géodésiques en hauteur

Les points géodésiques que l’on peut viser sont généralement des clochers, des pylônes ou des antennes pérennes. Il existe aussi des repères géodésiques (repères en laiton) qui peuvent être implantés sur des points géodésiques hauts ; ceux-ci sont souvent des châteaux d’eau. Ils sont à l’heure actuelle rarement exploités, leur accès étant souvent difficile Le nivellement direct appliqué à l’archéologie. Le nivellement (ou altimétrie) représente l’ensemble des opérations topographiques nécessaires pour déterminer des altitudes par la mesure de dénivelées. Ces mesures se réalisent à partir de l’altitude connue d’une référence (elle-même calculée à partir du niveau 0 des mers). Le point origine des altitudes en France a été redéfini pour la dernière fois en 1969. Il se situe au Marégraphe de Marseille et permet de déterminer le niveau moyen des mers. À partir du “O de Marseille”, plus de 400 000 point repères ont été définis.

Figure 1.10. Repère de nivellement de la place Raspail (Lyon, 7e). Altitude: 168,141 m. 15

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II. POLYGONATION Généralités L’obtention d’un levé détaillé du terrain d’un projet de construction, que ce soit en planimétrie ou en altimétrie, nécessite la connaissance d’un ensemble de points d’appui dans un système de coordonnées. Rappel : Altimétrie : mesure des altitudes. Planimétrie : détermination de la projection, sur un plan horizontal, de chaque point d’un terrain dont on veut lever le plan. RESEAU DE POINTS D’APPUI

Figure 1. 11. Réseau de points d’appui. L’ensemble des points d’appui est souvent appelé canevas, ce dernier joue deux rôles : 

Un rôle scientifique : connaissance de la forme et des dimensions de la terre (géodésie).



Un rôle technique : ossature pour tous les levés (levé d’une propriété, d’une route, d’une voie ferrée, d’un îlot bâti, d’une ville ou levé de tout un territoire).

Il existe deux types de systèmes dans un réseau de points d’appui : 16

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

Un système général Lambert : constitué de points d’appui espacés de 20 à 30 Km, utilisé à grande échelle.



Un système local : basé sur le système général, il sert aux levés à échelle réduite.

Les points d’appui sont matérialisés sur le terrain par des bornes de granit ou de béton ou bien sur un élément bâti (pylône, cheminée, minaret d’une mosquée…). Le réseau de points d’appui doit être homogène et dense, sa matérialisation précise et durable, afin de servir pour des travaux ultérieurs, et les points doivent être disposés de telle manière à ce qu’il n’y est pas de difficulté d’observation quelle que soit l’orientation de la visée. II.1) Les différents types de cheminement polygonal On dit aussi ligne polygonale ou bien polygonation et c’est un ensemble de points (sommets) formant une ligne brisée dont on a pris le soin de mesurer les angles ainsi que la longueur des cotés afin de déterminer les coordonnées planimétriques de chacun de ses sommets inconnus. Donc, ce réseau peut être composé de : 



points d’appui existant (connus en coordonnées) : qui appartienne au canevas d’ensemble et qui sont connus dans le système général Lambert. Ces points serviront de référence pour la réalisation de certains travaux tels que les levés, les implantations, le calcul des surfaces, etc. points inexistants (inconnus en coordonnées) : il s’agit de l’ensemble des points qu’il faut créer pour les besoins du projet à réaliser. Après le calcul de leurs coordonnées planimétriques et éventuellement altimétriques, ces points serviront d’ossature à l’exécution de différents travaux topographiques.

Il existe trois types de cheminement polygonal, c’est ce que nous verrons par la suite. II.1.1) Cheminement tendu ou encadré C’est une ligne polygonale qui relie deux points origine et extrémité (A et B) aux coordonnées connues. II.1.2) Cheminement fermé C’est une ligne polygonale qui part d’un point A de coordonnées connues et se referme sur le même point, en raison de sa faible précision et de l’absence d’un point d’arrivée différent du point de départ, il est souvent employé pour les levés dans un système local. II.1.3) Cheminement antenne C’est une ligne polygonale qui part d’un point A connu en coordonnées pour aboutir sur un point c aux coordonnées inconnues. Ce cheminement est très rarement utilisé, car il faut l’observer en aller et en retour.

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Figure 1. 12 12. Cheminement tendu ou encadré (A,1,2,3,B).

Figure 1. 13. Cheminement fermé (A,1,2,3,A). 18

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Figure 1. 14. Antenne (A,a,b,c).

II.2) Polygonal rattachée Si les coordonnées des sommets connus sont calculées dans le système général Lambert, le cheminement est qualifié de rattaché. II.3) Calcul polygonal II.3.1) .3.1) Rappel sur le gisement Afin de déterminer les coordonnées d’un point du terrain en se basant sur le réseau de points d’appui, il faut d’abord savoir déterminer un gisement. Un gisement est l’angle horizontal compris entre l’axe des Y positifs et la direction d’une ligne de visée AB. Il est mesuré dans le sens de rotation horaire, sa valeur varie de 0 à 400 gr et on le not GAB. Pour calculer le gisement d’une droite AB, GAB, la marche à suivre est la suivante : 1. calculer les différences de coordonnées ΔXAB = XB - XA et ΔYAB = YB - YA. 2. à l’aide des données de la figure 1. 1.16, 6, situer la direction AB en positionnant l’origine de la droite (A) à l’intersection des axes X et Y, ensuite calculer le gisement GAB avec l’expression qui convient.

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GAB B

YB

GBA

GAB YA

A

X XA XB Figure 1. 15. Représentation du gisement d’une droite AB. On pose 𝑔 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔

∆ ∆

Alors quatre cas sont à définir :

4ème cas :

1er cas :

x () , y (  ) G AB  arctg

x  400 gr y

x ( ) , y ( ) G AB  arctg

x y

B

B

GAB GAB

y

x

y

x A

3ème cas :

A

x ( ) , y () G AB  arctg

2ème cas :

x  200 gr y

G AB  arctg

GAB A

y

B

x

A

x ( ) , y ( ) x  200 gr y

GAB A

y

x

B

Figure 1. 16. Différents quadrants (cas) pour calculer les gisements.

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Connaissant le gisement d'une droite AB par exemple, le gisement inverse GBA s'obtient en rajoutant justement au gisement GAB la valeur 200 gr (Figure 1.15). Il n’y aura aucun changement en rajoutant ou en retranchant à l’expression 400gr, de ce fait : GBA = GAB + 200gr - 400gr = GAB + 200gr + 400gr Et on aura :

G BA  GAB  200gr Application 1.1 : Soient les coordonnées des points A et B : A (XA = 3345 m ; YA = 3390 m) B (XB = 3450 m ; YB = 3500 m) Calculer le gisement de la direction AB. Solution : 1. Calculer ΔXAB et ΔYAB : ΔXAB = XB-XA=3450 – 3345 = 105 m. ΔYAB = YB- YA=3500 – 3390 = 110 m. 2. Repérer, sur la figure 1.16, la direction AB en positionnant l’origine à l’intersection des axes X et Y. Les valeurs de ΔXAB et ΔYAB sont toute les deux positives (quadrant I), le gisement aura donc une valeur comprise entre 0 et 100 gr. 3. Calculer la valeur de l’angle g : 𝑔 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔

∆ ∆

= 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔

= 48.52 𝑔𝑟.

D’après la figure 1.16, GAB = g = 48.52 gr. II.3.2) Angle de gauche ou angle topographique Par définition, il s’agit de l'angle obtenu par deux tronçons successifs du côté gauche de l'opérateur quand il progresse dans un cheminement conformément au sens topographique depuis l'origine jusqu'à l'extrémité. (Figure1.17). Dans ce cas, l’angle de droite constitue le complément à 400gr de l’angle de gauche. Angle de gauche

Sens du cheminement

Angle de droite

Figure 1. 17. Désignation des angles topographiques. 21

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II.3.3) Transmission des gisements II s'agit de déterminer le gisement d'un côté du cheminement en fonction du gisement du tronçon ou du côté précédent ainsi que de l'angle de gauche ou l'angle topographique. GCD G BC

G AB

GAB

GCD

C

G BC

D C

A

G DE

D

B  B' B

Figure 1. 18. Transmission de gisements

E

Dans l’exemple de la figure ci – dessus, la valeur du gisement BC (GBC) peut être obtenue en fonction du gisement précèdent c'est-à-dire (GAB) ainsi que de l’angle  B' , en effet : G BC  G AB   B' , or  B' est déduit en fonction de  B de telle sorte que

 B'  200 gr   B On pourra ainsi écrire : G BC  G AB   B' = G AB  200 gr   B D’une façon générale, on ne changera rien à l’expression si on lui rajoute ou on lui retranche 400gr ; De ce fait en retranchant 400gr on obtient : G BC  G AB  200 gr   B = G AB  200 gr   B

Et en retiendra en définitif :

GBC  GAB B  200gr G CD  GBC   C  200gr G DE  GCD   D  200 gr

D’une façon générale :

G i (i 1)  G( i 1)i   i  200 gr

De même, on peut déterminer directement le gisement C.D en fonction du gisement A.B ainsi que de la somme des angles de gauche.

G DE  G AB   B   C   D  n.200 gr G DE  G AB    i  n.200 gr

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n représente le nombre d'angles de gauche entre les deux gisements (gisement origine et gisement extrémité dans ce cas il s'agit de trois angles, B, C et D). Remarque : - On retranche 200 gr à la quantité (G(i-1)i + αi) quand celle-ci est supérieure à 200 gr. Et on ajoute 200 gr dans le cas contraire. - On ajoute αi à la quantité G(i-1)i si l’angle topographique mesuré sur le terrain est de gauche et on le retranche s’il est mesuré à droite. II.3.4) Ecart de fermeture angulaire Lors des différentes étapes de calcul par transmission de gisements, on constate presque toujours que les gisements extrémités calculés ou observés sont légèrement différents des gisements extrémités réels ou connus. Cet écart est due essentiellement à des erreurs humaines ou encore à la fiabilité du matériel utilisé pour la réalisation des déférentes mesures, on l'appelle «écart de fermeture angulaire » ou (f). obs ex f  G ext  G ext obs Dans un cheminement encadré on peut exprimer G ext en fonction du gisement origine : obs G ext  G orex    i  n.200 gr

n = nombre d'angles de gauche correspondant à i. Dans un cheminement fermé le gisement extrémité calculé correspond au gisement origine calculé ou observé alors que le gisement extrémité exacte représente le gisement origine exacte. Si la valeur absolue de cet écart reste dans les limites du tolérable, on peut procéder à la compensation angulaire ce qui consiste justement à annuler cet écart de sorte à rendre les gisements extrémités calculés et les gisements extrémités exactes égaux. La compensation angulaire ou Ci est obtenue ainsi : C i 

 i f n

, i = 1, 2,…,n.

L'ajustement des angles de gauche ou des gisements devient :

G iAj  G iobs  C i II.3.5) Différences de coordonnées D’après la figure ci–après, nous constatons que l’angle  est égal au gisement AB. Ainsi les différences de coordonnées entre les deux points A et B peuvent s’obtenir comme suit :

B

G AB

 A

Y AB

X AB

Figure 1. 19. Représentation des différences de coordonnées. 23

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X AB  DAB sin 

 DAB sin G AB

Y AB  D AB cos 

 D AB cos G AB

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Et bien sûr, il faut utiliser les gisements ajustés. II.3.6) Ecart de fermeture en planimétrie Après avoir ajusté (compensé) les angles de gauche et les gisements, il est nécessaire de faire les vérifications suivantes : obs ex - Vérification de l'écart de fermeture longitudinal (fx) : fx  X ext  X ext obs ex - Vérification de l'écart de fermeture transversal (fy) : fy  Yext  Yext

Le plus souvent il n’est pas nécessaire de déduire directement fx et fy comme suit :

obs X ext et Yextobs , aussi on détermine

fx   x obs   x ex fy   y obs   y ex

 x

On sait également que :

 y

et que :

ex

ex

ex  X ext  X orex

 Yextex  Yorex .

L’écart de fermeture en planimétrie est donc un vecteur proportionnel à fx et fy au même temps, il est représenté par la figure ci-dessous : de telle sorte que : F

fy

fx 2  fy 2

F

fx

Figure 1. 20. Représentation de l’écart de fermeture planimétrique.

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Comme en altimétrie la longueur du vecteur F doit être inférieure aux tolérances, lorsque cette condition est satisfaite, on peut procéder alors à l'ajustement du cheminement. Contrairement à la compensation angulaire, les compensations partielles en abscisse et en ordonnées (Cx et Cy) sont proportionnelles aux longueurs des différents tronçons du cheminement Sachant que :

Cxi 

 fx Di ,  Di

Cy i 

 fy Di  Di

pour le calcul des coordonnées définitives, il suffit de compenser les abscisses et les ordonnées en fonction desCxi et des Cyi.

xiAj  xiobs  Cxi

y iAj  y iobs  Cy i Remarque : Lors d'un cheminement fermé, on peut également déterminer les écarts de fermeture en (x) et en (y) comme suit :

fx   xi , fy   yi II.3.7) Calcul des coordonnées rectangulaires des sommets Le calcul des coordonnées rectangulaires des différents sommets d'un cheminement se fera en utilisant les coordonnées de référence, la différence entre les coordonnées de deux sommets successifs, la distance entre ces deux sommets, ainsi que de leur gisement. Ainsi pour un cheminement quelconque, les coordonnées en (X) et en (Y) seront déterminées de proche en proche depuis une référence origine qui doit être connue jusqu'à la référence extrémité qui doit être connue également, sauf s'il s'agit d'un cheminement fermé, dans ce cas les deux sommets constituant l'origine représentent également les points extrémités. En définitif, et compte tenu du cheminement A, B, C, D, E représenté dans la figure 1.18 on a:

x AB  D AB sin G AB  X B  X A  x AB y AB  D AB cos G AB  YB  Y A  y AB x BC  D BC sin G BC  X C  X B  x BC y BC  D BC cos G BC  YC  Y B  y BC

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