3 Math 2 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко И. А. Хованская

математика и информатика

3 класс

учебник | в шести частях | вторая часть

Москва | 2016 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. Математика и информатика. 3-й класс: учебник. В 6 ч. Ч. 2 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­ си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2016. — 28 с.: ил.

С 64

ISBN 978-5-4439-0935-6 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-35-1 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для третьего класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Т. Э. Казанцева  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2016 © Московский центр непрерывного математического образования, 2016 © Институт новых технологий, 2016 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская, 2016 © Т. Э. Казанцева, иллюстрации, 2016 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2016 Все права защищены.

2

3

Умножение двузначного числа на однозначное Ариша умножала 6 на 13. Она решила, что можно сложить 6 раз по 13. Ариша выделила в каждом слагаемом десяток. 6 · 13 = 13  10 3

 

+ 13  10 3

 

 

+ 13  10 3

 

 

+ 13  10 3

 

 

+ 13 + 13  10 3  10 3

 

 

 

 

Она сложила сначала все десятки, затем все тройки: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 6 · 10 = 60

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 6 · 3 = 18

И, наконец, всё вместе: 60 + 18 = 78

2

3

4

Тимоша решал тот же пример по-другому. Он подумал, что можно сложить 13 раз по 6. 6 · 13 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 Десять шестёрок сложить легко: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 10 = 60 Остаётся сложить оставшиеся три шестёрки: 6 + 6 + 6 = 6 · 3 = 18 И, наконец, всё вместе: 60 + 18 = 78 Интересно получилось: Ариша и Тимоша по-разному заменяли умножение сложением, но в итоге оба умножали 6 на 10, затем 6 на 3, а потом всё складывали. 6 · 13 = 6 · 10 + 6 · 3 = 78  10 3

Задание: реши пример 14 · 7 Результат:  

3

 ·     

4

5

 ·       ·     

Тупоугольные, прямоугольные и остроугольные треугольники Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой. Вот тупоугольные треугольники:

Здесь все тупые углы обозначены красными отрезочками. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Вот прямоугольные треугольники:

Здесь обозначены все прямые углы.

4

5

6

Треугольник называется остроугольным, если у него все углы острые. Вот остроугольные треугольники:

Если в треугольнике нет ни тупого, ни прямого угла, то у него все углы острые. На этом чертеже все тупоугольные треугольники раскрашены оранжевым цветом, все прямоугольные треугольники — зелёным, а все остроугольные треугольники — голубым.

5

6

7

10

Ариша спросила у папы: «Может ли в треугольнике быть два тупых угла?» Папа задумался: «Давай посмотрим. Попробуем нарисовать треугольник, в котором два тупых угла — А и В. Начерти-ка сторону АВ». •B A• Ариша начертила отрезок AB.

9 8 7 6 5 4 3 2

•B

0

A•

CM

1

«Если в треугольнике АВС угол А тупой, значит, угол А больше прямого. То есть сторона AC лежит слева от угольника.

С•

01

•С

9 8 7 6 5 4 3 2

Если в треугольнике АВС угол В тупой, значит, угол В больше прямого. То есть сторона BC должна лежать справа от угольника.

С•

1 0

Получается, что точка С должна С• быть и слева, и справа от оранжевой полосы». «А, — сказала Ариша, — жаль, что не получилось. Значит, не бывает в треугольнике двух тупых углов...»

MC

A•

•B

•С

A•

•B

6

7

8

Контрпример Лиза сказала: — Прикинь, каждое число, которое делится на 6, оно же ещё и на 4 делится! Матвей ответил: — Ну не знаю... Какие числа делятся на 6? Например, 36, 24, 12, 18. Проверяем: 36 делится на 4 и 24 тоже делится на 4... — И 12 делится на 4. — И 18… Ой, восемнадцать-то не делится на 4… А на 6 делится… — Значит, я неправа: есть такое число, которое делится на 6, а на 4 не делится. Жалко… Вот утверждение: Каждое число, которое делится на 6, делится и на 4. Это утверждение ложно. Число 18 — контрпример к этому утверждению. Каждое число, которое делится на 6, делится и на 4. Л Назавтра Матвей напомнил Лизе о вчерашнем разговоре: — Знаешь, я тут подумал насчёт делимости на 6. Мне кажется, что каждое число, которое делится на 6, делится и на 2. — Ну мы сейчас быстренько придумаем контрпример. Вот число 18 делится на 6... Ой, оно и на 2 тоже делится... — Ну да, я проверял: и 12, и 24, и даже 72 — все делятся на 2. Лиза задумалась: — Конечно! Ведь каждая шестёрка состоит из трёх двоек.

7

8

9

Матвей обрадовался: значит, разделив число на шестёрки, легко разделить его и на двойки. Только двоек будет в три раза больше, чем шестёрок.

— Ого! Мы с тобой доказали утверждение: Каждое число, которое делится на 6, делится и на 2. И Поскольку это утверждение истинно, к нему нельзя найти контрпример. Вот утверждение: Если в четырёхугольнике есть прямой угол, то этот четырёхугольник является прямоугольником. Это утверждение означает, что каждый четырёхугольник, в котором есть прямой угол, является прямоугольником. Это утверждение ложно, потому что к нему можно привести контрпример. Четырёхугольник ABCD — контрпример к этому утверждению. В нём угол А — прямой, а остальные углы — не прямые.

B

C •

•

A•

•D

Если в четырёхугольнике есть прямой угол, то этот четырёхугольник является прямоугольником. Л

8

9

10

Деление двузначного числа на однозначное Тимоше задали решить пример: 91 : 7 В таблице умножения 91 не встречается. Что же делать? Нужно узнать, сколько раз в числе 91 укладывается 7. 91 — большое число, набирать его семёрками долго. Попробуем разбить число 91 на слагаемые, в которые хорошо помещаются семёрки. Что это могут быть за слагаемые? 91 91 91   49 42 35       35 21   70 21 Удобнее всего делить на 7 круглое число 70 — получится 10, к десятке легко будет добавлять остальное. 91 : 7 = 10 + 3 = 13   70

21

Иногда делитель помещается в делимом больше двух десятков раз. Например: 84 : 3 = 20 + 8 = 28   60 24 Задание: вычисли 42 : 3 Результат: 42 : 3 = 10 + 4 = 14   30 12

9

10

11

Задание: вычисли 96 : 4 Результат: 96 : 4 = 20 + 4 = 24   80 16

Мешок путей дерева п п

пп

Возле каждого листа п дерева Д мы написали путь к этому листу*. М — мешок путей дерева Д. У дерева Д шесть листьев. В мешке М шесть цепочек из букв и п.

ппп

п М

п п п пп ппп п

Д

Длиной пути к листу мы будем называть длину соответствующей цепочки из букв и п. В дереве Д один путь длины 1, один путь длины 2 и четыре пути длины 4. Обычно при выписывании пути мы не рисуем значки начала и конца цепочки. Но есть случай, когда без этих значков не обойтись. В дереве Д0 один-единственный лист. В дереве Д0 нет развилок, поэтому путь к листу — это пустая цепочка букв. М0 — мешок путей дерева Д0. В мешке М0 только один путь — пустая цепочка. Длина этого пути равна нулю.

Д0

п Д1

М1 — мешок путей дерева Д1. В мешке М1 два пути длины 1.

М1

п п пп

М2 — мешок путей дерева Д2. В мешке М2 четыре пути длины 2. Других цепочек длины 2 из букв и п не бывает.

М0

Д2

М2

* Иногда вместо слов «лист, к которому ведёт путь п» мы будем говорить «лист п».

10

11

12

Круглые сотни Из десяти кубиков можно составить ряд.

Вот 100 кубиков, сотенный квадрат — 10 рядов по 10 кубиков.

100 Вот число 100 на схеме числовой дорожки: 0

100

Вот две сотни кубиков, двести кубиков,

200 100 + 100 = 200 Вот число 200 на схеме числовой дорожки: 0

100

11

12

200

13

Вот три сотни кубиков, триста кубиков,

300 200 + 100 = 300 Вот число 300 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

Вот четыре сотни кубиков, четыреста кубиков,

400 300 + 100 = 400 Вот число 400 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

Вот пять сотен кубиков, пятьсот кубиков,

500 400 + 100 = 500 Вот число 500 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

500

12

13

14

Вот шесть сотен кубиков, шестьсот кубиков,

600 500 + 100 = 600

Вот число 600 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

500

600

Вот семь сотен кубиков, семьсот кубиков,

700 600 + 100 = 700

Вот число 700 на схеме числовой дорожки: 0

100

13

14

200

15

300

400

500

600

700

Вот восемь сотен кубиков, восемьсот кубиков,

800 700 + 100 = 800

Вот число 800 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

500

600

700

800

Вот девять сотен кубиков, девятьсот кубиков,

900 800 + 100 = 900

Вот число 900 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

14

15

16

Вот десять сотен кубиков, тысяча кубиков,

1000 900 + 100 = 1000

Вот число 1000 на схеме числовой дорожки: 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000



Обрати внимание, как пишутся слова: пять

пятнадцать

пятьдесят

пятьсот

шесть

шестнадцать

шестьдесят

шестьсот

семь

семнадцать

семьдесят

семьсот

восемь

восемнадцать

восемьдесят

восемьсот

девять

девятнадцать

девяносто

девятьсот

15

16

17

Действия с круглыми сотнями Задание: реши пример 200 + 300

200

Две сотни и ещё три сотни будет пять сотен.

+ 300

Результат: 200 + 300 = 500 Задание: реши пример 200 · 4 Две сотни нужно взять четыре раза. Получится восемь сотен.

0 +200

+200

+200

+200

Результат: 200 · 4 = 800 Задание: реши пример 1000 − 600 Десять сотен минус шесть сотен получится четыре сотни.

− 600

1000

Результат: 1000 − 600 = 400 Задание: реши пример 600 : 3 Шесть сотен нужно разделить на три равные части. В каждой будет по две сотни.



600

Результат: 600 : 3 = 200

16

17

18

Числа до 1000: названия и цифровая запись Вот сто спичек и ещё шестьдесят спичек, или сто шестьдесят спичек.

160



Добавим ещё три спички. Получится сто шестьдесят три спички.

163



Вот пятьсот спичек и ещё семь спичек, или пятьсот семь спичек.

507



   

   

Здесь нет десятков, только пять сотен и семь отдельных спичек. Поэтому на втором месте, в разряде десятков, пишется 0, и десятки не произносятся.

17

18

19

Задание: з апиши цифрами числа: триста семьдесят  триста семьдесят восемь  триста семь  триста семнадцать  Ариша рассуждала так. «Триста семьдесят. Раз название числа начинается со слова триста, первая цифра будет 3, это разряд сотен.

триста семьдесят 

Вторая цифра обозначает, сколько в числе десятков. Семьдесят — это семь десятков. Пишу на втором месте, в разряде десятков, цифру 7.

триста семьдесят 

Единиц, похоже, нет вообще — в конце, в разряде единиц, пишу цифру 0.

триста семьдесят 

Число триста семьдесят восемь тоже начинается с цифр 3 и 7, но ещё добавилось 8 единиц. Последняя цифра в этом числе 8.

триста семьдесят восемь 

Число триста семь начинается с цифры 3, а заканчивается цифрой 7. Десятков нет, пишу 0.

триста семь 

Триста семнадцать — это 3 сотни и ещё 17. Пишу 317».

триста семнадцать 

Результат: т риста триста триста триста

семьдесят  семьдесят восемь  семь  семнадцать 

18

19

20

Разложение трёхзначного числа на разрядные слагаемые Можно представить себе, как трёхзначное число получается из трёх карточек: на одной написаны круглые сотни, на другой — круглые десятки, а на третьей — единицы.

5 4 0 900

   

94 05 0

945 = 900 + 40 + 5 Если десятков нет, число складывается из двух карточек.

5 900

   

905 0

905 = 900 + 5 Если нет единиц, карточек тоже будет две.

4 0 900 940 = 900 + 40

19

20

21

   

94 00

Порядок трёхзначных чисел, их расположение на числовой прямой Числовую дорожку из тысячи кирпичиков трудно изобразить на листе бумаги. Мы будем рисовать числовую дорожку сжато: на сине-голубой дорожке один квадратик обозначает 10 единичных кирпичиков, то есть один десяток. Получается такая картинка: 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

900

1000

На этой числовой дорожке можно точно указать место для каждого круглого числа: 0

100 90

200

300

180

400

500

600

440

700

800

750

870

Для некруглого числа можно указать квадратик (десяток), к которому относится это число: 0

100 99

200 187

300

400 447

500

600

700

800 752

900

1000

876

20

21

22

Часть числовой дорожки можно увеличить. Тогда на ней станут видны единичные кирпичики.

0

100

296 300 304 294 298300 302 400 306 200

500

600

700

800

900

1000

295 299 303 307 297 301 305

Если увеличить целую сотню, числовая дорожка будет выглядеть так: 600

610

620

630

640

650

660

670

680

690

700

Примеры часто решают на схеме числовой дорожки. 15

284

999

На этой схеме изображены в правильном порядке числа 15, 284 и 999. Но расстояния между этими числами не такие, как на настоящей числовой дорожке.

21

22

23

Сотни чисел. Век Иногда говорят, что «новый завод выпустил первую сотню автомобилей». Это значит, что с конвейера сошло 100 автомобилей — первый, второй, третий, …, сотый. Обрати внимание: сотый автомобиль относится к первой сотне. Первая сотня чисел — это числа от 1 до 100 включительно: 1 11 … 91

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10 20

92

93

94

95

96

97

98

99

100

В первой сотне ровно сто чисел. Во второй сотне тоже сто чисел — это все числа от 101 до 200 включительно. В седьмой сотне тоже сто чисел — это все числа от 601 до 700. Обрати внимание: все числа из седьмой сотни, кроме числа 700, начинаются с цифры 6. Век — это 100 лет. В первом столетии, или в первом веке, сто лет: первый год, второй, третий, …, сотый. В седьмом веке сто лет: 601-й, 602-й, 603-й, …, 699-й и 700-й годы. Века часто обозначают римскими цифрами: II — второй век, IX — девятый век, XIX — девятнадцатый век.

22

23

24

Так одевались в IV веке.

Так одевались в XVIII веке.

23

24

25

Так одевались в XV веке.

Так одевались в XX веке.

Сравнение трёхзначных чисел Задание: сравни числа 89 и 201. Ариша рассуждала так: 89 — двузначное число, оно меньше ста. А 201 даже больше, чем 200, значит, уж точно больше ста. 89

201





100

200

Результат: 89