3 Math 4 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко И. А. Хованская

математика и информатика

3 класс

учебник | в шести частях | четвёртая часть

Москва | 2017 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. С 64 Математика и информатика. 3-й класс: учебник. В 6 ч. Ч. 4 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­ си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2017. — 48 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0958-5 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-39-9 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для третьего класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Т. Э. Казанцева  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2017 © Московский центр непрерывного математического образования, 2017 © Институт новых технологий, 2017 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская, 2017 © Т. Э. Казанцева, иллюстрации, 2017 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2017 Все права защищены.

2

3

Определение дня недели по  дате Вот календарь на 2010 год: пн вт ср чт пт сб вс

4 5 6 7 1 8 2 9 3 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

1 2 3 4 5 6 7

25 26 27 28 29 30 31

1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 31 25 26 27 28 29 30

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

27 28 29 30

4 5 6 7 1 8 2 9 3 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

15 16 17 18 19 20 21

22 29 23 30 24 31 25 26 27 28

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

июль 21 28 22 29 23 30 24 25 26 27

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 1

ноябрь

октябрь

сентябрь пн вт ср чт пт сб вс

22 23 24 25 26 27 28

июнь

май пн вт ср чт пт сб вс

15 16 17 18 19 20 21

8 9 10 11 12 13 14

апрель

март

февраль

январь

25 26 27 28 29 30 31

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 29 23 30 24 25 26 27 28

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6 7 8

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

август 9 16 10 17 11 18 12 19 13 20 14 21 15 22

26 27 28 29 30

23 30 24 31 25 26 27 28 29

декабрь 6 13 20 27 7 14 21 28 8 15 22 29 9 16 23 30 10 17 24 31 11 18 25 12 19 26

Первая среда мая 2010 года пришлась на 5 мая. Вторая среда была через 7 суток, 12 мая. Ещё через 7 суток была третья среда, и ещё через неделю — четвёртая.

2

3

4

Все среды этого месяца — это 5 мая, 12 мая, 19 мая и 26 мая. Все  эти числа дают остаток 5 при делении на 7. среда среда среда среда среда среда «33 «40 5 мая 12 мая 19 мая 26 мая мая» мая» 2 июня 9 июня Если бы май не закончился 31 числа, то следующая среда была бы «33 мая». Но на самом деле следующая среда была 2 июня. Задание. Каким числом от начала сентября будет 13 октября? 1 октября — это «31 сентября» (30 + 1 = 31), 2 октября — это «32 сентября» (30 + 2 = 32), ... 12 октября — это «42 сентября» (30 + 12 = 42), а 13 октября — это «43 сентября» (30 + 13 = 43) Поскольку в сентябре 30 дней, то надо прибавить 13 к тридцати. 30 + 13 = 43. Результат: 13 октября — это «43 сентября». Задание. В некотором году 29 марта пришлось на вторник. На какой день недели пришлось 5 марта в этом году? 1 марта

8 марта

5 марта

3

4

5

15 марта −7

22 марта −7

29 марта −7

Поскольку 2  9 марта — это вторник, то 22 марта — тоже вторник (29 − 7 = 22), 15 марта — тоже вторник (22 − 7 = 15) и 8 марта — тоже вторник (15 − 7 = 8). Значит, 7 марта — понедельник, 6 марта — воскресенье, а 5 марта — суббота. Результат: 5 марта пришлось на субботу. У Тимоши день рождения 13 апреля. Он решил рассчитать, в какой день недели это будет. «Сегодня вторник, 29 марта. 29 марта

«36 марта»

1 апреля

«44 марта» 13 апреля

В марте 31 день. Если бы март не заканчивался, то первое апреля называлось бы «32 марта», второе апреля — «33 марта», а день моего рождения назывался бы «44 марта» (31 + 13 = 44). Раз 29 марта — вторник, то «36 марта» и «43 марта» — тоже вторники. Значит, «44 марта» — среда. Мой день рождения будет в среду!»

4

5

6

Сложение в столбик без перехода через разряд Вычислим сумму чисел 436 и 241 с помощью таблицы. Такой способ вычисления мы будем называть сложением в столбик. сотни

десятки

единицы

слагаемое

4

3

6

слагаемое

2

4

1

436 + 241 = 

сумма При сложении в столбик сначала складывают единицы (6 + 1 = 7), затем десятки (30 + 40 = 70), а потом сотни (400 + 200 = 600). сотни

десятки

единицы

слагаемое

4

3

6

слагаемое

2

4

1

сумма

6

7

7

436 + 241 = 

Решим пример 503 + 76 в столбик. При сложении трёхзначного числа с двузначным таблица будет выглядеть так: слагаемое

сотни

десятки

единицы

5

0

3

7

6

7

9

слагаемое сумма

5

6

5

7

503 + 76 = 

При записи в тетради можно не рисовать таблицу, а записывать пример сразу в столбик. Слагаемые записываются в клеточках одно под другим: первое слагаемое как обычно, а второе справа налево — единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Если во втором слагаемом нет сотен, оставляют пустую клетку. Слева ставят знак +, чтобы не забыть, что мы ищем сумму. Обрати внимание: каждая цифра занимает ровно одну клетку! 354 + 240 = 

Складывают справа налево: сначала единицы, потом десятки, потом сотни. 354 + 240 = 

Затем записывают ответ в исходный пример. 354 + 240 = 

6

7

8

Площадь прямоугольника Собрались как-то ребята из деревни Ручьи и ребята из деревни Озёра и давай хвалиться: — У нас в Ручьях школьный двор — огромный! Длиннющий, от крыльца школы до самого забора! — А у нас в Озёрах двор ещё больше: квадратный, просторный. Там и в волейбол, и в футбол можно играть одновременно! — Наш двор больше вашего! — Нет, наш больше вашего! Тут к ребятам подошёл учитель математики Лев Давыдович и говорит: — Ребята, о чём спорите? — У нас школьный двор больше! — закричали ручьёвские. — Нет, у нас больше! — закричали озёрские. — Ребята, ребята, не спорьте! — говорит Лев Давыдович. — В Ручьях двор длиннее, на нём лучше наперегонки бегать, а во дворе школы в  Озёрах места больше, там играть хорошо. — Как это — места больше? — не соглашаются ребята из Ручьёв.

7

8

9

— А какой у вас, ребята, двор? — спрашивает Лев Давыдович. — У нас квадратный, 30 метров на 30 метров, — говорят озёрские. — А у нас прямоугольный, 40 метров на 20. У нас ведь больше? — спрашивают ручьёвские.

школьный двор в Озёрах

школьный двор в Ручьях

20 м 30 м 40 м 30 м — Есть такой способ: посмотреть, ско́лькими квадратами метр на метр можно выложить двор. Вот у вас в Озёрах сколько получается? — 30 метров на 30 метров — это будет 900 квадратов метр на метр.

30 м

900 м2

30 · 30 = 900

1 м 30 м

8

9

10

— Говорят, что площадь квадрата 30 на 30 метров равна девятистам квадратным метрам, — уточнил учитель. — А у вас в Ручьях? — У нас 40 метров на 20 метров. Получается, что площадь нашего двора — 800  квадратных метров.

школьный двор в Озёрах

школьный двор в Ручьях

800 м2

20 м

900 м2

30 м

40 м 30 м — Точно! Выходит, что по площади больше школьный двор в Озёрах. А  по длине — в Ручьях, — помирил всех Лев Давыдович. — А если по краю двор обходить — у кого путь длиннее получается? — У нас 4 раза по 30 метров — это 120 метров. — А у нас 40, 20, 40 и 20 — тоже 120 метров. — Ну вот видите, по длине больше двор в Ручьях, по площади — в Озёрах, а по периметру у вас дворы одинаковые. Так что спорить нечего — идите лучше в лапту играть. Если известны стороны прямоугольного участка в метрах, легко найти его площадь — нужно умножить длину участка на его ширину. Площадь участка измеряется в квадратных метрах (обозначение: м2). Бывает, что стороны прямоугольника измерены в сантиметрах, а  не  в  метрах. Тогда площадь измеряют в квадратных сантиметрах (обозначение: см2) — считают количество квадратиков 1 см на 1 см, на  которые можно разбить этот прямоугольник.

9

10

11

Площадь принято обозначать латинской буквой S, например, площадь прямоугольника ABCD обозначают S(ABCD). Задание. Найди площадь фигуры, изображённой на схеме чертежа.

B

C

12 м 10 м

25 м

F

8 м

G

10 м

20 м

D

25 м

E

A

H

40 м

Ариша решала задание так. Она разбила фигуру на три прямоугольника. Площадь всей фигуры будет равна сумме площадей этих прямоугольников. Сначала она нашла площадь красного прямоугольника. S(ABCP) = 25 м · 12 м = 300 м2

Потом нашла площадь жёлтого прямоугольника. CP = AB, DP = 25 м − 10 м = 15 м Поэтому S(PDEQ) = 20 м · 15 м = 300 м2

B

C

12 м 10 м

A

12 м P

B

12 м

C

10 м 25 м

A

20 м

D

12 м P

20 м

20 м

8 м

G

10 м

20 м

D

25 м

F

E

25 м

Q 8 м

H

F

G

8 м 10 м E

25 м

Q 8 м

10

H

11

12

Затем Ариша нашла площадь зелёного прямоугольника. S(FGHQ) = 25 м · 8 м = 200 м2

B

C

12 м 10 м

A

12 м P

20 м

8 м

G

10 м

20 м

D

25 м

F

E

25 м

Q 8 м

H

И, наконец, она сложила площади этих трёх прямоугольников. S(ABCP) + S(PDEQ) + S(FGHQ) = 300 м2 + 300 м2 + 200 м2 = 800 м2»

Тимоша выполнял задание по-другому. Он представил себе, что из  синего прямоугольника ABGH вырезали оранжевый прямоугольник DCFE. Если из площади синего прямоугольника вычесть площадь оранжевого, то останется площадь восьмиугольника ABCDEFGH. S(ABGH) = 25 м · 40 м = 1000 м2 S(DCFE) = 20 м · 10 м = 200 м2 S(ABCDEFGH) = 1000 м2 − − 200 м2 = 800 м2

B

C

12 м 10 м

25 м

F 20 м

D

8 м

G

10 м E

25 м

Результат: S(ABCDEFGH) = 800 м2 A

11

12

13

40 м

H

Задание. Площадь прямоугольника равна 980 см2, а одна из сторон — 14 см. Найди длину соседней стороны. Площадь прямоугольника — это произведение его соседних сторон. Значит, чтобы найти неизвестную сторону, надо разделить площадь на  известную сторону. Результат: 980 см2 : 14 см = 70 см Задание. В прямоугольнике одна сторона равна 3 дм, а другая 24 см. Найди его площадь. Для удобства переведём 3 дм в 30 см и будем искать площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах. Результат: 30 см · 24 см = 720 см2 Задание. Периметр прямоугольника АВСD равен 118 см, длина стороны АВ равна 40 см. Найди S(АВСD). 1) Ч  ему равна сумма длин сторон АВ и CD? 40 см + 40 см = 80 см 2) Чему равна сумма длин сторон BC и AD? 118 см − 80 см = 38 см 3) Чему равна длина стороны ВС? 38 см : 2 = 19 см 4) Чему равна площадь прямоугольника АВСD? 40 см · 19 см = 760 см2 Результат: S(АВСD) = 760 см2

12

13

14

Вычитание в столбик без перехода через разряд Вычислим разность 578 − 241 с помощью вычитания в столбик. сотни

десятки

единицы

уменьшаемое 5

7

8

вычитаемое

4

1

2

578 − 241 = 

разность При вычитании в столбик сначала вычитают единицы (8 − 1 = 7), затем десятки (70 − 40 = 30), а потом сотни (500 − 200 = 300). сотни

десятки

единицы

уменьшаемое 5

7

8

вычитаемое

2

4

1

разность

3

3

7

578 − 241 = 

Решим пример 593 − 31 в столбик. При вычитании двузначного числа из трёхзначного таблица будет выглядеть так: сотни

десятки

единицы

уменьшаемое 5

9

3

вычитаемое

3

1

6

2

разность

13

14

5

15

593 − 31 = 

При записи в тетради можно для вычитания в столбик не рисовать таблицу, а записывать так: 354 − 240 = 





876 − 253 = 

709  − 205 = 



Уменьшаемое и вычитаемое записывают одно под другим: сотни под  сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами. Если в  вычитаемом нет сотен, оставляют пустую клетку. Слева ставят знак −, чтобы  не забыть, что мы ищем разность. Обрати внимание: каждая цифра занимает ровно одну клетку!

14

15

16

Решение задач с помощью уравнивания На двух полках стоит 140 книг, при этом на  нижней полке на 20 книг больше, чем на  верхней. Сколько книг на верхней полке? Сколько на нижней? Запишем краткое условие задачи:

В Н: на 20 книг больше, чем

   140 книг  

Попробуем представить условие задачи в виде схемы. Изобразим отрезочком самую маленькую величину — количество книг на верхней полке.

В

Чтобы изобразить количество книг на нижней полке, повторим тот же отрезок и добавим к нему 20.

В Н

+20

Пунктирные линии на схеме показывают равенство количеств. На двух полках вместе 140 книг.

В Н

15

16

17

   140 +20  

Воспользуемся приёмом уравнивания. В Если мы на время заберём с  нижней полки 20 книг, Н на полках останется поровну книг, а всего станет 120 книг. Тогда на верхней и на нижней полке станет по 60 книг.

В

Теперь «вернём» обратно книги, отложенные с нижней полки. На нижней полке будет 80 книг.

В

Н

Н

   140 − 20 = 120 +20   60 60 60 60

   140 − 20 = 120 +20      140 +20  

Ответ: на верхней полке 60 книг, на нижней полке 80 книг. Вот как эта задача решается по вопросам. 1) С  колько книг станет на двух полках, если с нижней полки забрать 20 «лишних» книг, чтобы на нижней полке стало столько же, сколько на верхней? 140 − 20 = 120 (книг) 2) С  колько книг станет на верхней полке? 120 : 2 = 60 (книг) 3) С  колько книг опять станет на нижней полке, если вернуть «лишние»? 60 + 20 = 80 (книг) Ответ: на верхней полке 60 книг, на нижней полке 80 книг. Для того чтобы уравнять количество книг на полках, иногда удобнее не  забирать «лишние» книги, а добавлять на ту полку, где исходно книг было меньше.

16

17

18

На трёх полках стоит 140 книг. На первой полке стоит на 20 книг больше, чем на второй, а на второй — на 15 книг больше, чем на третьей. Найди количество книг на каждой полке. Запишем краткое условие задачи.

I: на 20 книг больше, чем II: на 15 книг больше, чем III

    140   

Представим условие задачи в виде схемы. Изобразим отрезочком самую III маленькую величину — количество книг на третьей полке. На второй полке на 15 книг больше, чем на третьей.

II

На первой полке на 20 книг больше, чем на второй. Всего на трёх полках 140  книг.

I

+15

III

II III

+15 +20    +15  140   

Для решения задачи снова заберём «лишние» книги, чтобы на всех полках стало поровну. Со второй полки нужно забрать 15 книг, а  с  третьей придётся забрать 15 + 20 = 35 книг. Тогда всего станет 140 − 15 − 35 = 90 книг. I +15 +20    II +15  140 − 35 − 15 = 90   III 

17

18

19

Эти книги стоят на трёх полках поровну. Значит, на  каждой полке сейчас по  30 книг.

I II III

Теперь «вернём» отложенные книги: на первую полку нужно вернуть 35 книг (получится 65 книг), на  вторую — 15 книг (получится 45 книг), а  на  третью ничего возвращать не нужно.

I II III

30 30 30 30 30 30

+15 +20    +15  140 − 35 − 15 = 90    +15 +20    +15  140   

Ответ: на первой полке 65 книг, на второй полке 45 книг, на третьей полке 30 книг. Вот как эта задача решается по вопросам. 1) С  колько «лишних» книг нужно забрать, чтобы на каждой из полок книг стало столько же, сколько на третьей? 15 + 15 + 20 = 50 (книг) 2) С  колько книг останется на трёх полках, если забрать «лишние»  книги? 140 − 50 = 90 (книг) 3) С  колько книг на третьей полке? 90 : 3 = 30 (книг) 4) С  колько книг станет на второй полке, если вернуть «лишние»  книги? 30 + 15 = 45 (книг) 5) С  колько книг станет на первой полке, если вернуть «лишние» книги? 30 + 15 + 20 = 65 (книг)

18

19

20

Круг, окружность Вот циркуль. У циркуля две ножки. На одной ножке — иголка. Другая ножка заканчивается грифелем, она  может рисовать линии. Сейчас расстояние между ножками этого циркуля равно 2 см.

Если воткнуть ножку с  иголкой в  лист бумаги и  повернуть циркуль вокруг этой ножки, вторая ножка начертит линию.

19

20

21

Пока ножка с грифелем делает оборот вокруг ножки с иголкой, расстояние между концами ножек не меняется. Замкнутая линия, которую прочертил грифель, называется окружностью. Точку, куда была воткнута иголка циркуля, называют центром окружности. Все точки окружности находятся на одном и  том же расстоянии от центра. Это  расстояние называется радиусом  окружности.

O

2 см

O

2 см

A

O — центр окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с  точкой, лежащей на этой окружности, тоже называют радиусом окружности. OA — радиус окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. DE — хорда.

A E

D Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром этой окружности. AB — диаметр.

O

B

2 см

E

Диаметр в два раза больше радиуса. AB = 2 см · 2 = 4 см

A

D

20

21

22

Вот две окружности с центрами в точках R и S.

A R

S

B Точки A и B лежат на обеих окружностях. Эти окружности пересекаются в точках А и B. Проведём отрезок AB. Отрезок AB — хорда окружности с центром S. Отрезок AB — хорда окружности с центром R. Отрезок AB — общая хорда этих двух окружностей.

LM — хорда окружности с центром U. LM пересекает окружность с центром P в точках K и N. KN — хорда окружности с центром P.

A S

R

B

L

K P

U N M

21

22

23

Область, ограниченная окружностью, называется кругом. На этом чертеже круг закрашен голубым цветом.

O

A

O — центр круга. OA — радиус круга.

На этом чертеже 3 пересекающиеся окружности. Они образуют 5  областей. Здесь каждая область раскрашена в  свой цвет.

22

23

24

Сложение в столбик с переходом через разряд Вычислим сумму чисел 427 и 145 с помощью сложения в столбик. Заполним первые две строки таблицы. сотни

десятки

единицы

слагаемое

4

2

7

слагаемое

1

4

5

сумма Складываем единицы: 7 + 5 = 12. Это 2 и ещё один десяток. Этот  десяток надо перенести в столбец десятков. Для переносов добавим в  таблицу ещё одну строку. сотни

десятки

единицы

слагаемое

4

2

7

слагаемое

1

4

5

переносы

сумма Складывая единицы, записываем полученные единицы в строку «сумма», а новый десяток — в строку переносов. сотни переносы

десятки

единицы

1

слагаемое

4

2

7

слагаемое

1

4

5

сумма

23

24

2

25

Теперь складываем все десятки (1, 2 и 4), а затем — сотни. сотни переносы

десятки

единицы

1

слагаемое

4

2

7

слагаемое

1

4

5

сумма

5

7

2

При записи в тетради можно не рисовать таблицу, а записывать пример сразу в столбик. 236 + 156 = 392

358 + 412 = 770



168 + 25 = 193



Обрати внимание: сотни записываются под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами! Решим пример 162 + 275 с помощью сложения в столбик. Сложим единицы: 2 + 5 = 7

Сложим десятки: 6 + 7 = 13 Это 3 десятка и одна сотня. Полученную сотню запишем в строку переносов. Затем сложим все сотни: 1 + 1 + 2 = 4

24

25

26

Сложим в столбик 478 + 354. Запишем пример и изобразим слагаемые кубиками.









Сложим сначала единицы: 8 + 4 = 12

Запишем полученный десяток в строку переносов над десятками.

Теперь сложим все десятки: 1 + 7 + 5 = 13 Это одна сотня и 3 десятка.

25

26

27

Запишем полученную сотню в строку переносов над сотнями.

Осталось сложить все сотни: 1 + 4 + 3 = 8







Получилось, что 478 + 354 = 832. Задание. Сложи в столбик. 647 + 329 = 



394 + 158 = 



653 + 347 = 



394 + 158 = 



653 + 347 = 

Результат: 647 + 329 = 

Обрати внимание: в последнем примере сотни накопились, и  получилось 10 сотен, то есть тысяча.

26

27

28

Римская запись чисел от  1  до  1000 Напомним, как записываются римскими цифрами числа от 1 до 10: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

Х

И круглые числа первой сотни: 20

30

40

50

60

70

80

90

100

XX

XXX

XL

L

LX

LXX

LXXX

XC

C

Когда записывают римскими цифрами двузначное число, сначала записывают десятки, потом единицы. Например, число 34 = 30 + 4 записывается как XXXIV, а число 79 = 70 + 9 записывается как LXXIX. Тот же принцип сохраняется при записи трёхзначного числа — нужно только знать, как записываются римскими цифрами круглые сотни. 200

300

400

500

600

700

800

900

CC

CCC

CD

D

DC

DCC

DCCC СM

1000 M

Например, число 555 = 500 + 50 + 5 записывается как DLV, число 680 = 600 + 80 записывается как DCLXXX, число 703 = 700 + 3 записывается как DССIII, число 899 = 800 + 90 + 9 записывается как DССCXCIX.

27

28

29

Задание. Запиши числа DCCXIX, CMXCIII, CDVIII, DCCCLXXVI арабскими цифрами. В каждом числе сначала отделим сотни. Запись сотен не может содержать знаки L, Х, V и I. Чтобы отделить сотни, нужно двигаться по  записи слева направо, пока не встретится один из этих четырёх  знаков. Если такой знак встретится, то всё, что левее этого знака, — запись сотен. А этот знак и то, что после него, обозначает десятки и единицы. Если в римской записи вообще нет знаков L, X, V и I, то перед нами запись числа, в котором нет десятков и единиц — есть только круглые  сотни. В числе DCCXIX сотни записаны как DCC, десятки как X, единицы как IX. Получается 719. В числе CMXCIII сотни записаны как CM, десятки как XC, единицы как III. Получается 993. В числе CDVIII сотни записаны как CD, десятков нет, единицы как VIII. Получается 408. В числе DCCCLXXIV сотни записаны как DCCC, десятки как LXX, единицы как IV. Получается 874. Результат: 719, 993, 408, 874

28

29

30

Вычитание в столбик с переходом через разряд Вычтем в столбик из числа 456 число 139. Запишем пример в столбик и  изобразим уменьшаемое кубиками.







Вычесть из шести единиц девять нельзя. Придётся «забрать» один десяток из столбца десятков, «рассыпать» его и «передать» единицам. Про такую операцию говорят: занять один десяток. Чтобы не забыть о  том, что десятков стало на один меньше, поставим точку над  десятками.

Вычтем из 16 единиц 9 единиц. Получилось 7.



29

30

31

Теперь перейдём к вычитанию десятков. В уменьшаемом изначально было 5 десятков, но один десяток мы «отдали» единицам. Поэтому  теперь надо из четырёх десятков вычитать три десятка. Останется 1  десяток.

Осталось вычесть сотни.







Задание. Вычисли в столбик. 472 − 145 = 



627 − 54 = 



308 − 124 = 



627 − 54 = 



308 − 124 = 

Результат: 472 − 145 = 

30

31

32

Вычтем в столбик из числа 923 число 358. Запишем пример и  изобразим уменьшаемое кубиками.



Вычесть из трёх единиц восемь нельзя. Придётся «забрать» один десяток из столбца десятков, «рассыпать» его и «передать» единицам. Поставим точку над десятками.

Вычтем из 13 единиц 8 единиц. Получилось 5.



31

32

33

Перейдём к вычитанию десятков. В уменьшаемом изначально было 2  десятка, но один десяток мы «отдали» единицам. Поэтому теперь надо из одного десятка вычесть 5 десятков. Но это невозможно. Придётся занять одну сотню и передать её десяткам. Теперь  и  над  сотнями поставим точку.

Из одиннадцати десятков вычтем 5 десятков. Останется 6 десятков.

Из оставшихся восьми сотен вычтем три сотни. Получится 5 сотен.



32

33

34

Задание. Вычисли в столбик. 442 − 145 = 



227 − 58 = 



541 − 378 = 



227 − 58 = 



541 − 308 = 

Результат: 442 − 145 = 

Вычитание в столбик: занимаем сотню, чтобы вычесть единицы Вычтем из числа 403 число 265. Запишем пример в столбик.







Из трёх единиц вычесть пять нельзя. Нужно занять десяток, но десятков нет — в разряде десятков в уменьшаемом стоит 0. Займём сотню и разобьём на 10 десятков — запишем над нулём 10.

10

33

34

35

Дальше можно вычитать как обычно. Займём один десяток — поставим над числом 10 точку.

10 Вычтем из 13 единиц 5, затем из 9 десятков 6 и, наконец, из трёх сотен две.

10





Задание. Вычисли в столбик. 604 − 145 = 



502 − 307 = 



1000 − 487 = 

Результат: 604 − 145 = 459

502 − 307 = 195

1000 − 487 = 513

34

35

36

Можно занимать из нуля по-другому. Решим пример 702 − 528 с помощью столбика.

Из двух единиц восемь вычесть нельзя. Не обращая внимания на то, что в разряде десятков стоит 0, «занимаем» десяток, ставим точку и вычитаем из  12  единиц 8 единиц. Переходим к десяткам. Мало того, что из нуля нельзя вычесть два, так ещё и один десяток мы «одолжили» единицам (заняли). Займём сотню. С учётом точки получаем 9 десятков. Вычитаем из них 2 десятка. Теперь вычитаем из оставшихся шести сотен пять сотен.

35

36

37

Касание окружностей Эти две окружности пересекаются только в одной точке — в точке С. В таком случае говорят, что окружности касаются. Точка С — это точка касания окружностей. Окружности касаются внешним  образом.

O

C

Эти две окружности касаются в  точке Е. При  этом одна из  окружностей находится внутри другой. Окружности касаются внутренним образом.

Эти три окружности попарно  касаются друг друга, то есть каждая из них касается каждой.

Q

S

E

R

U T

G

Эти три окружности касаются в одной точке.

Z

V

Y

36

X

37

38

Умножение на однозначное число в пределах 1000 Умножим число 28 на 7. Для этого изобразим на схеме чертежа прямоугольник 28 см на 7 см и найдём его площадь. 28 = 20 + 8. Разобьём прямоугольник на два прямоугольника: оранжевый размером 20 см на 7 см и жёлтый размером 8 см на 7 см.

28 7

7

20

8

140

56

Площадь оранжевого прямоугольника равна 140 см2, площадь жёлтого — 56 см2. Площадь всего прямоугольника равна 140 см2 + 56 см2 = 196 см2, а произведение чисел 28 и 7 равно 196. 28 · 7 = 20 · 7 + 8 · 7 = 140 + 56 = 196 20

8

В тетради при умножении на однозначное число мы будем рисовать такую схему:

Внутри маленьких прямоугольников записываем их площади, а справа — площадь всего прямоугольника.

37

38

39

Умножим число 134 на 6. Для этого изобразим на схеме чертежа прямоугольник 134 см на 6 см и найдём его площадь. 134 = 100 + 30 + 4. Разобьём прямоугольник на три прямоугольника: оранжевый размером 100 см на 6 см, жёлтый размером 30 см на 6 см и голубой размером 4 см на 6 см.

134 6

6

100

30

4

600

180 24

Площадь оранжевого прямоугольника равна 600 см2, площадь жёлтого  — 180 см2, а площадь голубого прямоугольника — 24  см2. Площадь всего прямоугольника равна 600 см2 + 180 см2 + 24 см2 = 804 см2, а произведение чисел 134 и 6 равно 804. 134 · 6 = 130 · 6 + 4 · 6 = 780 + 24 = 804 130 4 Задание. Реши примеры с помощью схем. 72 · 6 = 



218 · 4 = 

Результат: 72 · 6 = 432

218 · 4 = 872

38

39

40

Умножение на двузначное число в пределах 1000 Перемножим числа 24 и 38. Вот 24 ряда по 38 квадратиков в каждом.

20

30

8

600

160

120

4

В синий цвет покрашены 20  рядов по 30 квадратиков — всего  600  квадратиков. В фиолетовый цвет покрашены 20 рядов по 8 квадратиков — всего  160 квадратиков — и 4 ряда по 30 квадратиков — всего  120  квадратиков. В красный цвет покрашены 4 ряда по 8 квадратиков — всего  32  квадратика. 24 · 38 = 20 · 30 + 20 · 8 + 4 · 30 + 4 · 8 = 760 + 152 = 912 600

39

40

41

160

120

32

32

Можно составить маленькую таблицу умножения.

·

30

8

всего

20

600 160

4

120 32 всего

Сложим числа в каждой строке.

·

30

8

всего

20

600 160 760

4

120 32

152

всего Теперь сложим числа в столбце всего.

·

30

8

всего

20

600 160 760

4

120 32

152

всего 912 30 8 В тетради эту таблицу мы будем рисовать так: Можно считать этот рисунок схемой 20 600 160 760 чертежа  — над сторонами прямоугольников 4 120 32 152 написаны их длины (в см), а внутри 912 прямоугольников  — их площади (в см2). 912 — это площадь прямоугольника 24 на 38, составленного из четырёх меньших прямоугольников. Задание. Реши пример с помощью схемы: 17 · 42 =  Результат: 17 · 42 = 

40

41

42

Деление трёхзначного числа на  однозначное Решим пример 672 : 3. Разделим 600 на 3 и 72 на 3. 672 : 3 = 200 + 24 = 224 600 72 Теперь решим пример 252:7. Две сотни на 7 не делятся. Поэтому выделим максимальное количество десятков, делящееся на 7. 252 : 7 = 30 + 6 = 36 210 42 Решим пример 801 : 9. Из числа 801 выделим максимальное количество десятков, делящееся  на 9. Это 72 десятка, то есть 720. 801 : 9 = 80 + 9 = 89 720 81 Решим пример 876 : 6. Выделим сотни, делящиеся на 6, затем максимальное количество десятков, делящееся на 6, и то, что остаётся. 876 : 6 = 100 + 40 + 6 = 146 600 240 36

41

42

43

Деление трёхзначного числа на 2, 4, 8 Чтобы разделить трёхзначное число пополам, разобьём его на сотни и  двузначное число и поделим и то и другое пополам. Например, 578 : 2 = 250 + 39 = 289 500 78 Решим пример 936 : 4. Чтобы разделить 936 на 4, нужно разделить его пополам и то, что получится, ещё раз пополам. 936 : 4 = 936 : 2 : 2 936 : 2 = 450 + 18 = 468 900 36 468 : 2 = 200 + 34 = 234

936 468

468

234 234 234 234

400 68 Итак, 936 : 4 = 234.

42

43

44

Решим пример 664 : 8. Чтобы разделить число 664 на 8, нужно разделить его пополам, результат разделить ещё раз пополам и то, что получится, опять пополам. 664 : 8 = 664 : 2 : 2 : 2 664 : 2 = 300 + 32 = 332

664 332

600 64 166

332 : 2 = 150 + 16 = 166

332 166

166

166

83 83 83 83 83 83 83 83

300 32 166 : 2 = 50 + 33 = 83 100 66 Получилось, что 664 : 8 = 83.

Точно так же можно разделить число на 16 (четыре раза проделать деление пополам). Например, 672 : 16 = 672 : 2 : 2 : 2 : 2. 672 336

336

168 84

168 84

84

168 84

84

168 84

84

84

42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 Значит, 672 : 16 = 42.

43

44

45

Пересечение отрезков C Отрезки AB и CD пересекаются. У них есть одна общая точка — точка  О. O — точка пересечения отрезков AB и CD.

B

O

A

D Отрезки KM и LR не пересекаются. R

K

L

M

Отрезки EF и FG имеют одну общую точку — точку F. Они  пересекаются в точке F. F

E

G Отрезки HN и QS имеют много общих точек: пересечение отрезков HN и QS — это отрезок QN.

S

N Q H Пересечение отрезков PT и VT — это отрезок VT. P

V

T

44

45

46

алфавитный указатель вычитание в столбик..........................14 диаметр.....................................................21 занимание десятка..............................30 касание окружностей..........................37 внешнее касание............................37 внутреннее касание.......................37 квадратный метр..................................10 квадратный сантиметр.......................10 круг..............................................................23

пересечение отрезков........................45 площадь.....................................................10 попарное  касание................................37 радиус круга...........................................23 радиус окружности..............................21 сложение в столбик.............................. 6 точка касания.........................................37 точка пересечения...............................45 уравнивание............................................17

общая хорда...........................................22 окружность...............................................21

хорда..........................................................21

перенос......................................................24 пересечение окружностей................22

центр круга.............................................23 центр окружности................................21

45

46

47

Содержание семнадцатая неделя Определение дня недели по  дате................................................................................. 3 Сложение в столбик без перехода через разряд................................................. 6 Площадь прямоугольника.................................................................................................... 8 восемнадцатая неделя Вычитание в столбик без перехода через разряд.............................................14 Решение задач с помощью уравнивания.................................................................16 Круг, окружность....................................................................................................................20 девятнадцатая неделя Сложение в столбик с переходом через разряд.................................................24 Римская запись чисел от  1  до  1000..........................................................................28 двадцатая неделя Вычитание в столбик с переходом через разряд...............................................30 Вычитание в столбик: занимаем сотню, чтобы вычесть единицы...............35 двадцать первая неделя Касание окружностей..........................................................................................................37 Умножение на однозначное число в пределах 1000........................................38 Умножение на двузначное число в пределах 1000...........................................40 двадцать вторая неделя Деление трёхзначного числа на  однозначное......................................................42 Деление трёхзначного числа на 2, 4, 8...................................................................43 Пересечение отрезков........................................................................................................45 алфавитный указатель..........................................................................................46

46

47

48

учебное издание Сопрунова Наталия Александровна Посицельская Мария Алексеевна Посицельский Семён Ефимович Рудченко Татьяна Александровна Хованская Ирина Аскольдовна Математика и информатика учебник 3-й класс В шести частях. Часть 4

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн Вёрстка — Д. А. Кобринский Художник — Т. Э. Казанцева Корректор — С. Б. Кобринская Подписано в печать 22.01.2017 Формат 84×108/16. Бумага офсетная Гарнитура PT Sans. Усл. печ. л. 5,04 Издательство МЦНМО 119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11 Тел. (499) 241-74-83 Отпечатано в ООО «ТДДС-Столица-8» Тел.: (495) 363-48-86

47

48