4 Math 1 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко Т. В. Михайлова

математика и информатика

4 класс

учебник | в шести частях | первая часть

Москва | 2018 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. С 64 Математика и информатика. 4-й класс. Учебник. Учебно-методическое издание. В 6 ч. Ч. 1 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2018. — 24 с.: ил. ISBN 978-5-4439-2679-7 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-52-8 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для четвёртого класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Е. В. Гаврилова  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2018 © Московский центр непрерывного математического образования, 2018 © Институт новых технологий, 2018 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова, 2018 © Е. В. Гаврилова, иллюстрации, 2018 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2018 Все права защищены.

2

3

Сложение и вычитание многозначных чисел в столбик В столбик многозначные числа складывают и вычитают точно так же, как трёхзначные. Задание: реши примеры с помощью сложения в столбик. 275 426 + 309 145 = 



986 979 + 13 021 = 



986 979 + 13 021 = 

Результат: 275 426 + 309 145 = 

Задание: реши примеры с помощью вычитания в столбик. 12 360 − 7 558 = 



307 001 − 8 012 = 



307 001 − 8 012 = 

Результат: 12 360 − 7 558 = 



2

3

4

Зеркальная симметрия Ариша захотела вы́резать из цветной бумаги кленовый листочек. Она взяла лист красной цветной бумаги и согнула его пополам. Потом она нарисовала половину кленового листочка.

После этого Ариша вырезала из бумаги половину кленового листочка.

Наконец, она развернула бумагу и получила такой листочек:

Это симметричная фигура. Линия сгиба бумаги — ось симметрии листочка.

3

4

5

Тимоша хотел узнать, будет ли красная линия осью симметрии для синей стрелки. Он вырезал стрелку из бумаги и согнул её по красной линии. При этом две части рисунка совместились друг с другом.

     

     

Получилось, что стрелка симметрична. Ариша решила проверить, является ли красная линия осью симметрии синей фигуры. Она вырезала синюю фигуру и согнула её по красной линии.

    

    

Части фигуры не полностью совместились. Получилось, что красная линия не является осью симметрии синей  фигуры.

4

5

6

Бывает, что у фигуры две оси симметрии.

5

6

7

       

       

   

   

Ось симметрии многоугольника может проходить через две вершины, или через вершину и середину стороны, или через середины двух  сторон. Вот семиугольник, у него такие оси симметрии: 7 6 5 4 3 1 Вот фигура, у которой 6 осей симметрии:

2

6 5 4

3

2 1

6

7

8

У снежинки обычно бывает 6 осей симметрии.

Эти фотографии сделаны Уилсоном Бентли в 1885 году. Найди снежинку, у которой не 6 осей симметрии. Есть ли у неё оси симметрии? Сколько их?

7

8

9

Вот ещё симметричные фигуры (красными линиями обозначены оси симметрии):

А у этих фигур нет осей симметрии:

Фигуру, у которой нет осей симметрии, называют несимметричной.

8

9

10

Цена, количество, стоимость В магазине цены товаров чаще всего указываются за штуку, за  упаковку, за литр или за килограмм. Иногда цены указывают за  100  грамм или даже за грамм.

Если нужно купить несколько упаковок товара или не целый килограмм, вычисляют стоимость покупки. Задание: заполни таблицу и найди стоимость всей покупки. товар

цена

количество

белый хлеб

60 руб. за батон

2 батона

помидоры

70 руб. за кг

3 кг

сыр

600 руб. за кг

400 г

стоимость

вся покупка Ариша рассуждала так: «Два батона белого хлеба стоят 60 · 2 = 120 рублей. Стоимость трёх килограммов помидоров тоже легко посчитать — это  70 · 3 = 210 рублей.

9

10

11

С сыром сложнее. Нужно найти стоимость четырёхсот граммов сыра по  600 рублей килограмм. Узнаю, сколько стоит 100 г сыра. Это в 10 раз меньше, чем килограмм, а значит, 100 г сыра стоят 600 : 10 = 60 рублей. Нужно умножить 60 рублей на четыре. Получится 240 рублей». Стоимость всей покупки 570 рублей: 60 · 2 + 70 · 3 + 600 : 10 · 4 = 570 Результат: товар

цена

количество

белый хлеб

60 руб. за батон

2 батона

помидоры

70 руб. за кг

3 кг

сыр

600 руб. за кг

400 г

стоимость

руб. руб. руб. руб.

вся покупка

В некоторых случаях, чтобы узнать, сколько стоит 100 г продукта, можно вычислить стоимость 10 г, 20 г, 25 г или 50 г, а потом увеличить полученное число в нужное количество раз. Задание: заполни таблицу — найди цены на сливочное масло разных  фирм. название масла

цена за 100 г

количество

стоимость

«Президент»

250 г

195 руб.

«Вологодское»

180 г

153 руб.

«Рузское»

175 г

140 руб.

10

11

12

Масло «Президент» 1) И  стоимость, и вес пачки масла «Президент» делится на 5. Поэтому можно узнать, сколько стоит 250 : 5 = 50 г масла: 195 руб. : 5 = 39 руб. 2) С  колько стоит 100 г масла «Президент»? 100 г : 50 г = 2 — во столько раз 100 г больше, чем 50 г. 39 руб. · 2 = 78 руб. Масло «Вологодское» 1) И  стоимость, и вес пачки масла «Вологодское» делится на 9. Поэтому можно узнать, сколько стоит 180 : 9 = 20 г масла: 153 руб. : 9 = 17 руб. 2) С  колько стоит 100 г масла «Вологодское»? 100 г : 20 г = 5 — во столько раз 100 г больше, чем 20 г. 17 руб. · 5 = 85 руб. Масло «Рузское» 1) И  стоимость, и вес пачки масла «Рузское» делится на 7. Поэтому можно узнать, сколько стоит 175 : 7 = 25 г масла: 140 руб. : 7 = 20 руб. 2) С  колько стоит 100 г масла? 100 г : 25 г = 4 — во столько раз 100 г больше, чем 25 г. 20 руб. · 4 = 80 руб. Результат: название масла «Президент» «Вологодское» «Рузское»

11

12

13

цена за 100 г

руб. руб. руб.

количество

стоимость

250 г

195 руб.

180 г

153 руб.

175 г

140 руб.

Произведение мешка Вот сумма мешка чисел: 5 3 3

+ 3  = 5 + 3 + 3 + 2 + 3 = 16 2

А вот произведение мешка тех же самых чисел: 5 3 3

· 3 2

 = 5 · 3 · 3 · 2 · 3 = 270

Мы изображаем мешки множителей зелёным цветом, для того чтобы не  путать их с мешками слагаемых, и в углу ставим не плюс, а  точку  — знак умножения. Порядок чисел в произведении может быть любым. Можно  перемножать числа в порядке возрастания. 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 6 · 9 · 5 = 270 А можно сначала умножить 2 на 5 и сразу получить ноль в  конце  числа. 2 · 5 · 3 · 3 · 3 = 10 · 27 = 270

12

13

14

Если зачеркнуть в мешке множитель 2, то произведение этого мешка уменьшится в 2 раза. 5 3 3

·  = 5 · 3 · 3 · 2 · 3 = 270 : 2 = 135

3 2

Теперь зачеркнём в мешке множитель 3, и произведение мешка уменьшится в три раза. 5 3 3

·  = 5 · 3 · 3 · 2 · 3 = 135 : 3 = 45

3 2

Если мы зачеркнём в том же мешке множители 3 и 3, то  произведение мешка уменьшится в 9 раз. 5 3 3

·  = 5 · 3 · 3 · 2 · 3 = 45 : 9 = 5

3 2

Если в мешке всего один множитель, произведение такого мешка считается равным этому множителю. 5

·

 = 5

Если из этого мешка вычеркнуть число 5, произведение уменьшится в  5 раз. 5

·

 = 5 : 5 = 1

Обрати внимание: произведение пустого мешка равно единице, а  сумма пустого мешка равна нулю.

· 13

 = 1

14

15

+  = 0

Задание: вставь числа в окошки так, чтобы получились верные равенства. 689 689

а)

+ 689  = 

·

3



·

6

7  = 

в)

б)

24

·

 = 

2

·

·

14

В пункте а) сумма одинаковых слагаемых (689 + 689 + 689) заменяется на произведение двух чисел (3 ·  ). В левом мешке три раза повторяется число 689, значит, в окошко нужно вписать 689. 689 689

+ 689  = 

·

3

В пункте б) произведение левого мешка равно 24. Поскольку 24 : 2 = 12, то в правый мешок нужно вписать число 12. 24

·

 = 

2

·

В пункте в) в левом мешке есть число 7, а в правом — число 14, которое больше его в 2  раза. Значит, для того, чтобы произведение сохранилось, нужно второй множитель из левого мешка уменьшить в  2  раза и  положить в правый мешок. 6 · 7 = 14 · 3 6

·

7  = 

14

·

14

15

16

Результат: 689 689

а)

+ 689  = 

·

3



·

6

7  = 

в)

б)

24

·

 = 

2

·

·

14

Задание: вставь число в окошко так, чтобы получилось верное равенство. 6

· 9

12 10

18  = 

·

15

Это задание посложнее предыдущих. Можно, конечно, перемножить все числа в левом мешке, потом разделить на 18, а потом на 15, но это слишком громоздкие вычисления. Попробуем заменить правый мешок на равный ему, выделив в нём множители левого мешка. Поскольку 18 = 3 · 6, а 15 = 3 · 5, можно записать такое равенство мешков: 18 15

15

·

3 6  = 

16

3 5

17

·  =  9

6 5

·

Теперь заменим в условии задачи правый мешок на равный ему. 6

· 9

12 10

 =  9

·

6 5

Задача стала проще. Вычеркнем из обоих мешков одни и те же множители. Равенство сохранится. 6

· 9

12 10

 =  9

·

6 5

Значит, в окошке должно быть число, которое при умножении на 5 даёт 12 · 10 = 120. Это число 24. Результат: 6

· 9

12 10

18  = 

·

15

16

17

18

Умножение круглых чисел Решим пример: 70 000 · 800 Будем рассуждать так: 70 000 = 7 · 10 000 800 = 8 · 100 Поэтому 70 000 · 800 = 7 · 10 000 · 8 · 100 Теперь переставим множители. 7 · 10 000 · 8 · 100 = 7 · 8 · 10 000 · 100 Мы знаем, что 7 · 8 = 56, остаётся умножить на 10 000 и на 100, то  есть приписать шесть нулей. 70 000 · 800 = 7 · 8 · 10 000 · 100 = 56 · 1 000 000 = 56 000 000 Можно записать эти вычисления с помощью мешков. 70 000 800

·

7 10 000  =  8 100

·

· · 56  =   =  56 000 000 1 000 000

Чтобы избежать ошибок, полезно в произведении отделять нули, происходящие из разных множителей. Например: 1 800 · 500 = 18 · 5 · 100 · 100 = 90 · 10 000 = 900 000 Задание. Реши пример: 140 · 3 500 Результат: 140 · 3 500 = 14 · 35 · 1000 = 490 · 1 000 = 490 000

17

18

19

Скорость, время, расстояние Представим себе поезд, который ехал несколько часов, при этом не разгонялся и не тормозил. В такой ситуации говорят, что поезд ехал равномерно, с постоянной скоростью. Если поезд за каждый час проезжал 80 км, то говорят, что его скорость была равна 80 километров в час (сокращённо пишут 80 км/ч). За 1 час поезд проезжает 80 км; за 2 часа поезд проезжает 80 км + 80 км = 80 км · 2 = 160 км; за 3 часа поезд проезжает 80 км + 80 км + 80 км = 80 км · 3 = 240 км; за 4 часа поезд проезжает 80 км + 80 км + 80 км + 80 км =  = 80 км · 4 = 320 км; за 5 часов поезд проезжает 80 км + 80 км + 80 км + 80 км + 80 км =  = 80 км · 5 = 400 км и т. д. Можно посчитать, сколько проезжает такой поезд за время, не равное целому количеству часов. За полчаса поезд проезжает 80 км : 2 = 40 км. За полтора часа поезд проезжает 80 км + 40 км = 120 км. Поскольку 15 минут в 4 раза меньше часа, то за 15 минут поезд проезжает 80 км : 4 = 20 км.

время

расстояние

1 час

80 км

2 часа

160 км

3 часа

240 км

4 часа

320 км

5 часов

400 км

полчаса

40 км

полтора часа 120 км 15 минут

20 км

18

19

20

Скорость не всегда измеряют в километрах в час. Например, скорость ветра измеряют в  метрах в секунду. Когда  в  прогнозе погоды пишут, что скорость ветра равна 4  м/с, это  означает, что воздушная масса перемещается на 4 м за каждую секунду. Насекомые и другие мелкие животные редко преодолевают расстояние, измеряемое километрами. Например, скорость улитки может быть 6 см/мин — за одну минуту она проползёт только 6  см, а за час — 6 см · 60 = 360 см = 3 м 60 см. примерная скорость ленивец

150 м/ч

течение реки в пороге

6-7 м/с

воробей

40 км/ч

лошадь (на короткой дистанции)

60 км/ч

штормовой ветер

30-35 м/с

скоростной поезд «Сапсан»

200 км/ч

звук (в воздухе)

330 м/с

звук (в воде)

1500 м/с

свет

300 000 км/с

пловец (в спокойной воде на  короткой дистанции) 50 м/мин

19

20

21

Пешеход проходит 2 километра за 20 минут. Сколько километров он  пройдёт за час, если будет идти с той же скоростью? Решение: 1) Сколько раз по 20 минут в одном часе? 60 : 20 = 3 (раза) 2) Сколько километров в час проходит пешеход? 2 км · 3 = 6 км Ответ: пешеход за час пройдёт 6 км.

Сильный ветер дует со скоростью 17 метров в секунду. Лист оторвался от дерева, и ветер унёс его на 85 метров. Сколько секунд летел лист? Решение: 85 : 17 = 5 (с) Ответ: лист летел 5 секунд.

20

21

22

Алфавитный указатель километры в час...........................19 несимметричная фигура.............9 ось симметрии................................4 постоянная скорость....................19

произведение мешка...................13 симметричная фигура.................4 скорость..............................................19 стоимость...........................................10

Список сокращений мм — миллиметр см — сантиметр дм — дециметр м — метр км — километр

см2 — квадратный сантиметр дм2 — квадратный дециметр м2 — квадратный метр

г — грамм кг — килограмм т — тонна

л — литр мл — миллилитр

21

22

23

с — секунда мин — минута ч — час сут. — сутки нед. — неделя мес. — месяц руб. — рубль

Содержание вторая неделя Сложение и вычитание многозначных чисел в столбик.................................... 3 Зеркальная симметрия......................................................................................................... 4 третья неделя Цена, количество, стоимость............................................................................................10 четвертая неделя Произведение мешка..........................................................................................................13 Умножение круглых чисел................................................................................................18 пятая неделя Скорость, время, расстояние............................................................................................19 Алфавитный указатель.......................................................................................................22 Список сокращений..............................................................................................................22

22

23

24

учебно-методическое издание Сопрунова Наталия Александровна Посицельская Мария Алексеевна Посицельский Семён Ефимович Рудченко Татьяна Александровна Михайлова Татьяна Владимировна Математика и информатика учебник 4-й класс В шести частях. Часть 1 В соответствии c Федеральным законом № 436 от 29 декабря 2010 издание маркируется знаком Дизайн книги — И. Э. Бернштейн Вёрстка — Д. А. Кобринский Художник — Е. В. Гаврилова Корректор — С. Б. Кобринская Подписано в печать 29.12.2017 Формат 84×108/16. Бумага офсетная Гарнитура PT Sans. Усл. печ. л. 2,52 Издательство МЦНМО 119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11 Тел. (499) 241-08-04 Отпечатано в ООО «ТДДС-Столица-8» Тел.: (495) 363-48-86

23

24

6+