4 Math 2 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко Т. В. Михайлова

математика и информатика

4 класс

учебник | в шести частях | вторая часть

Москва | 2018 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. С 64 Математика и информатика. 4-й класс. Учебник. Учебно-методическое издание. В 6 ч. Ч. 2 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2018. — 24 с.: ил. ISBN 978-5-4439-2695-7 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-51-1 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для четвёртого класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Е. В. Гаврилова  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2018 © Московский центр непрерывного математического образования, 2018 © Институт новых технологий, 2018 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова, 2018 © Е. В. Гаврилова, иллюстрации, 2018 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2018 Все права защищены.

2

3

Деление круглых чисел Решим пример 1 800 : 6. 1800 — это 18 сотен. Можно считать, что мы хотим разделить 18 сотен на 6 равных частей. В каждой части получится 3 сотни, то есть 300. 1 800 : 6 = 300 Теперь решим пример 1 800 : 5. Попробуем 18 сотен разделить на 5. Это неудобно, 18 на 5 не делится. Удобнее представить 18 сотен как 180 десятков. В таком виде это число удобнее делить на 5. Получится 36 десятков, то  есть  360. 1 800 : 5 = 360 Получается, что при делении круглого числа на некруглое можно на время «отложить» нули, без которых можно разделить без остатка. После нахождения частного надо приписать к нему «отложенные» нули. Решим пример 320 000 : 800 Можно считать, что мы хотим разделить 3 200 сотен на части по  8  сотен. То есть нужно узнать, сколько раз по 8 сотен помещается в 3 200 сотнях. Это то же самое, что поделить 3 200 на 8. Значит, можно было изначально зачеркнуть по два нуля в  каждом числе. 320 000 : 800 = 3 200 : 8 Остаётся разделить круглое число 3 200 на 8. 3 200 : 8 = 400

2

3

4

Решим пример 40 000 : 50. Поскольку можно считать, что мы делим 4 000 десятков на 5 десятков, зачеркнём по одному нулю в каждом числе. 40 000 : 50 = 4 000 : 5 Делить 4 тысячи на 5 неудобно, потому что 4 не делится на 5. Поскольку 4 тысячи — это то же самое, что 40 сотен, разделим 40 сотен на 5. Получится 8 сотен, то есть 800. 40 000 : 50 = 4 000 : 5 = 800 Итак, для того чтобы разделить круглое число 90 000 : 1 500 на круглое число, нужно: 1) вычеркнуть в каждом числе столько нулей, 90 000 : 1 500 сколько их в делителе; 2) затем «отложить» на время в делимом 90 000 : 1 500 не участвующие в делении нули так, чтобы осталось число, которое будет удобно делить; 3) выполнить деление и вернуть 90 000 : 1 500 = 60 «отложенные» нули.

3

4

5

Доли В часе 60 минут. Четверть часа — это в 4 раза меньше. 60 : 4 = 15 (мин) Четверть часа — это 15 минут. Это можно записать так: 1  (60 мин) = 15 мин 4

11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

5

6

В этой записи четвёрка под чертой означает, что час разделили на  четыре  равные части. А единица над чертой означает, что взяли только одну часть. Одну четверть можно брать не только от часа. 1 Четверть пути длиной 100 км — это 25 км:  (100 км) = 25 км 4 1 Четверть от 72 яблок — это 18 яблок:  (72) = 18 4 Можно делить не только на 4 части. Если мы разделим какую-то величину на 6 частей, получится одна шестая часть этой величины. 1 Шестая часть от 96 рублей — это 16 рублей:  (96 руб.) = 16 руб. 6 Если разделить на 23 части, получится двадцать третья часть. 1  (115 кг) = 5 кг Одна двадцать третья часть от 115 кг — это 5 кг: 23

4

5

6

Из 80 учеников 4-го класса шестнадцать решили сложную задачу по математике. Какая часть четвероклассников решила сложную задачу? Чтобы найти долю, разделим общее количество четвероклассников на  количество решивших задачу. 80 : 16 = 5 Ответ: Сложную задачу решила одна пятая всех четвероклассников. Вот обозначения и названия долей: обозначение

название

1 2

вторая часть (половина)

1 3

третья часть (треть)

1 4

четвёртая часть (четверть)

1 5

пятая часть

1 8

восьмая часть

На этом чертеже круг разделён на 12 равных частей, из них 4 синих. Синих частей в три раза меньше, чем всех частей. Значит, раскрашена одна треть круга.

5

6

7

В тетради в клетку треть записывается так:

Треть от двадцати семи метров записывается так:

1 3 1 3 (27 м)

1  (7 ч). 3 7 не делится на 3, переведём часы в минуты. 1 1  (7 ч) =   (420 мин) = 140 мин = 2 ч 20 мин. 3 4 1 Результат:  (7 ч) = 2 ч 20 мин. 3 Задание: вычисли

От Москвы до Архангельска 1 240 км. Машина проехала четвёртую  часть пути от Москвы до  Архангельска и остановилась. Сколько  проехала машина? Сколько осталось проехать? 1) С  колько километров проехала машина? 1  (1 240 км) = 1 240 км : 4 = 310 км 4 2) Сколько километров осталось проехать? 1 240 км − 310 км = 930 км Ответ: машина проехала 310 км, ей осталось проехать 930 км.

6

7

8

Умножение в столбик на  однозначное число Умножим число 1 684 на 7. Для этого можно умножить разрядные слагаемые на 7 поочерёдно — сначала тысячи, потом сотни, затем десятки и единицы — и сложить все полученные произведения. 1 000 · 7 = 7 000 600 · 7 = 4 200 80 · 7 = 560 4 · 7 = 28 7 000 + 4 200 + 560 + 28 = 11 788 Чтобы умножать, не записывая столько действий, придумали более короткую запись — умножение в столбик. Запишем множители друг под другом, как  при сложении или вычитании в  столбик, только поставим знак умножения в  виде крестика.

Умножим сначала 4 единицы на 7. Получится 28. Значит, в произведении в разряде единиц будет 8, а 2 десятка перейдут в разряд десятков. Чтобы потом не забыть добавить их в десятки, запишем цифру 2 за чертой справа.

7

8

9

16 84 7

16 84 2 7 8

Теперь умножим 8 десятков на 7. Получится 56 десятков. Мы должны не забыть прибавить 2  десятка, которые перешли из разряда единиц. Всего получается 58  десятков. Зачёркиваем использованную двойку за чертой. Записываем в произведении цифру 8 в разряде десятков и переносим 5 сотен в следующий разряд. Чтобы не забыть, записываем 5 за  чертой. Теперь умножим 6 сотен на 7. Получится 42  сотни. Но мы должны не забыть прибавить 5 сотен, которые перешли из разряда десятков. Всего получается 47  сотен. Зачёркиваем использованную пятёрку за чертой. Записываем в произведении цифру 7 в разряде сотен и переносим 4 тысячи в следующий разряд. Чтобы не забыть, записываем 4 за  чертой. Теперь умножаем 1 тысячу на 7. Получаем 7 тысяч. Но мы должны не забыть прибавить 4 тысячи, которые перешли из разряда сотен. Всего получается 11  тысяч. Зачёркиваем использованную четвёрку и пишем в  произведении 11.

16 84 2 7 5 88

16 84 2 7 5 788 4

16 84 2 7 5 11788 4

Получилось, что 1 684 · 7 = 11 788.

8

9

10

Задание: умножь в столбик. 2 784 · 6 =      

4 085 · 4 =      

12 309 · 8 =      

2 784 · 6 = 16.704  

4 085 · 4 = 16.340  

12 309 · 8 = 98.472 

2784 2 6 5 16704 4

4085 2 4 3 16340

12309 7 8 2 9 8472 1

Результат:



Задачи о носках В ящике комода лежат восемь Тимошиных носков: четыре  синих и четыре  зелёных. Все носки одного размера, и правые ничем не отличаются от левых. Комод стоит в комнате, в которой спит бабушка. Тимоша собирается взять себе носки, но не хочет будить бабушку. Он может только один раз пробраться в комнату и, не включая свет, взять несколько носков.

9

10

11



Мама говорит Тимоше: — Там же темно, как ты собираешься доставать носки? Тимоша отвечает: — Ну возьму пару. — Тебе любые два носка годятся? Я их в пары не складывала. — Мне любые, лишь бы одного цвета были. — Тогда двух носков недостаточно, — с улыбкой сказала мама. — Да, нужно три носка взять. — Думаешь, трёх достаточно? — Наверняка! Даже если первые два носка окажутся разными — один синий, а другой зелёный, — третий носок будет либо синий, либо зелёный, а значит, с одним из первых двух будет одного цвета. — Ну иди тогда. Только тихо. Тимоша посмотрел на свой зелёный костюм. — Нет, мама, я решил, что мне обязательно нужны два зелёных носка, — сказал он. — Интересно! Сколько же тогда тебе нужно взять носков? — Если я возьму три носка, все они могут оказаться синими. И если четыре носка, они тоже все могут быть синими. А вот среди пяти носков обязательно окажется один зелёный, ведь синих носков у меня только четыре. — То есть тебе нужно взять… — Шесть носков! Тимоша вернулся из комнаты с носками и задал вопрос: — Мама, я вот подумал: а что, если бы мне нужны были два разных носка? Сколько тогда носков нужно было бы взять из комода? — Ты уже говорил, что среди пяти носков обязательно есть один зелёный носок… — Ну да, и синий там тоже обязательно будет! Пяти носков достаточно!

10

11

12

Симметрия разноцветных картинок Ариша решила нарисовать бабочку. Она взяла лист бумаги и разделила его пополам красной линией. На  левой части листа Ариша нарисовала краской левую половину бабочки.

Потом Ариша сложила лист пополам, и крылья* отпечатались на другой половине листа.

Получилась симметри́чная бабочка. Линия, по которой Ариша складывала лист, называется осью симме́трии бабочки. Картинка называется симметричной, если у неё есть хотя бы одна ось симметрии.

*  У бабочки 4 крыла — 2 левых и 2 правых.

11

12

13

Вот несимметричная бабочка. Как бы мы ни складывали лист, какая-нибудь точка встретится с точкой другого цвета.

На этой фотографии ось симметрии — это линия поверхности воды.

12

13

14

У этой картинки нет вертикальной оси симметрии, но есть горизонтальная ось симметрии.

У этой картинки нет ни вертикальной оси, ни  горизонтальной оси симметрии. Зато обе диагонали большого квадрата являются осями симметрии этой картинки.

У этой картинки ровно одна ось симметрии — диагональ большого квадрата.

А вот несимметричные картинки. У них нет осей симметрии.

13

14

15

Остаток от деления многозначного числа на 2 и на 5 Из каждого многозначного числа можно выделить целые десятки. Останутся единицы. Например, 1 234 567 = 1 234 560 + 7

десятки

единицы

Число 10 делится и на 2, и на 5. Любое количество десятков тоже делится и на 2, и на 5. А вот единицы могут не делиться. Значит, остаток от деления многозначного числа на 2 или на 5 равен остатку от деления на 2 или на 5 последней цифры этого числа. 7 : 2 = ... (ост. 1), поэтому 1 234 567 : 2 = ... (ост. 1) 7 : 5 = ... (ост. 2), поэтому 1 234 567 : 5 = ... (ост. 2) Если последняя цифра числа чётна, чётно само это число. Если число заканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то число делится  на 5.

14

15

16

Признак делимости на 4 Из каждого многозначного числа можно выделить целые сотни. Останутся десятки и единицы — двузначное число. Например, 1 234 578 = 1 234 500 + 78. Число 100 делится на 4. Любое количество сотен тоже делится  на  4. А вот двузначное число может делиться на 4, а может и  не  делиться.

Остаток от деления многозначного числа на 4 равен остатку от  деления на 4 числа, образованного двумя последними цифрами. Например, 1 234 578 не делится на 4, так как 78 не делится на 4. 33 997 756 делится на 4, так как 56 делится на 4. Если у числа две последние цифры образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. Это утверждение называют признаком делимости на 4. С помощью признака делимости мы можем определить, делится число на 4 или нет, не выполняя самого́ деления.

15

16

17

Знак делимости Для краткости записи вместо слов иногда используют знаки: «  » — делится и « /» — не делится. Например: 100    5 И — это истинное утверждение, 100 делится на 5. 3 649    2 Л — это ложное утверждение, число 3 649 нечётное. 78  / 4 И — истинное утверждение, 78 не делится на 4. 23 478  / 4 И — истинное утверждение, 78 не делится на 4.

16

17

18

Умножение в столбик на  многозначное число Решим пример 1 147 · 64. Для того чтобы умножить число на 64, можно умножить его на 4 и  на  60, а результаты сложить. Запишем это умножение в столбик. Умножим сначала 1 147 на 4, это мы уже умеем.

Теперь нам нужно умножить 1 147 на 60. Это  означает, что мы должны умножить на 6 и  приписать 0 в конце полученного числа. При умножении в столбик цифры произведения пишутся с конца. Поэтому напишем справа 0 и  будем умножать на 6, как обычно в  столбик. Остаётся сложить эти два числа. Поставим знак  «+» и сложим в  столбик. Единички, которые при  сложении переносятся в  следующий разряд, можно писать за чертой справа или держать в  уме. Получилось, что 1 147 · 64 = 73 408.

17

18

19

1147 64

1147 2 64 1 4588

1147 64 +6 48 58 28 08

2 1 4 2

1147 64 4 5 +6 8 8 28 08 7340 8

2 1 4 2

Умножение на трёхзначное число происходит по тому же принципу. Сначала на единицы и десятки.

Затем переходим к умножению на сотни — пишем два нуля в конце и  умножаем на  количество сотен.

Все три полученных числа складываем в  столбик так же, как  складывали два числа, по  разрядам.

Получилось, что 2 057 · 345 = 709 665.

2057 345 + 18 20 22 88 05

3 2 2 2

2057 345 + 18 20 22 88 05 617100

3 2 2 2 2 1

2057 345 + 18 20 22 88 05 617100 70966 5

3 2 2 2 2 1

18

19

20

Для того чтобы не загромождать запись, принято не писать нули на  конце каждого промежуточного произведения, поскольку они не  влияют на результат сложения. Вместо этого каждое новое произведение сдвигают на одну клетку влево. Задание: умножь в столбик. 2 784 · 26 =     

4 085 · 124 =     

Результат: 2 784 · 26 = 72384 

2784 26 +15 65 67 08 4 723 84

4 085 · 124 = 506540

2 5 4 1 1

19

20

21

4085 124 + 18 61 37 04 0 4085 506540

2 3 1 1

Бывает, что в середине числа, на которое мы умножаем, встречается цифра ноль. Например, ноль стоит в разряде десятков. В таком случае можно пропустить умножение на десятки, сразу перейти к умножению на сотни, отступив влево на две клетки.

13127 409 +5 21 51 08 18 4 3 536 8943

62 21 11 2

Задание: умножь в столбик. 12 309 · 108 =      

803 · 704 =     

Результат:  12 309 · 108 = 1329372

12309 7 108 2 9 8 4 +1 2 3 0 9 7 2 1 13293 72

803 · 704 = 565312



803 1 704 2 3 2 +5 6 2 1 1 2 565312

20

21

22

Алфавитный указатель доля................................................................................................................................................. 6 половина....................................................................................................................................... 6 признак делимости................................................................................................................16 треть................................................................................................................................................ 6 четверть......................................................................................................................................... 6

Список сокращений мм — миллиметр см — сантиметр дм — дециметр м — метр км — километр

см2 — квадратный сантиметр дм2 — квадратный дециметр м2 — квадратный метр

г — грамм кг — килограмм т — тонна

л — литр мл — миллилитр

21

22

23

с — секунда мин — минута ч — час сут. — сутки нед. — неделя мес. — месяц руб. — рубль коп. — копейка

Содержание шестая неделя Деление круглых чисел........................................................................................................ 3 Доли............................................................................................................................................... 5 седьмая неделя Умножение в столбик на  однозначное число......................................................... 8 Задачи о носках....................................................................................................................10 восьмая неделя Симметрия разноцветных картинок............................................................................12 десятая неделя Остаток от деления многозначного числа на 2 и на 5..................................15 Признак делимости на 4..................................................................................................16 Знак делимости......................................................................................................................17 Умножение в столбик на  многозначное число.....................................................18

22

23

24

учебно-методическое издание Сопрунова Наталия Александровна Посицельская Мария Алексеевна Посицельский Семён Ефимович Рудченко Татьяна Александровна Михайлова Татьяна Владимировна Математика и информатика учебник 4-й класс В шести частях. Часть 2 В соответствии c Федеральным законом № 436 от 29 декабря 2010 издание маркируется знаком Дизайн книги — И. Э. Бернштейн Вёрстка — Д. А. Кобринский Художник — Е. В. Гаврилова Корректор — С. Б. Кобринская Подписано в печать 9.2.2018 Формат 84×108/16. Бумага офсетная Гарнитура PT Sans. Усл. печ. л. 2,52 Издательство МЦНМО 119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11 Тел. (499) 241-08-04 Отпечатано в ООО «ТДДС-Столица-8» Тел.: (495) 363-48-86

23

24

6+