4 Math 4 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко Т. В. Михайлова

математика и информатика

4 класс

учебник | в шести частях | четвёртая часть

Москва | 2018 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. С 64 Математика и информатика. 4-й класс. Учебно-методическое издание. В 6 ч. Ч. 4 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2018. — 24 с.: ил. ISBN 978-5-4439-2795-4 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-60-3 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для четвёртого класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Е. В. Гаврилова  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2018 © Московский центр непрерывного математического образования, 2018 © Институт новых технологий, 2018 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, Т. В. Михайлова, 2018 © Е. В. Гаврилова, иллюстрации, 2018 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2018 Все права защищены.

2

3

Перебор всех делителей числа Ариша разложила число 990 на простые множители так: 990 99



10

11

2

9 3

990 = 

  11    2    5    3  3

·

5

3

Ариша выписала произведение простых множителей в порядке возрастания. Получилось, что 990 = 2 · 3 · 3 · 5 · 11 А Тимоша заметил, что 990 делится на 9, и поэтому начал разложение с 9 и 110: 990 110 5

9 3

22 2



990 =  5    3     3    2  11

·

3

11

Тимоша тоже выписал произведение полученных простых множителей в  порядке возрастания и получил точно такое же разложение числа 990, как и у Ариши: 990 = 2 · 3 · 3 · 5 · 11

2

3

4

Делится ли число 990 на 90? Разложим оба числа на  простые множители. 5 2 990 =  3 11

·

3

2 90 =  5 3

· 3

Мешок разложения числа 90 является частью мешка разложения числа 990. Значит, число 990 делится на 90. Делится ли число 990 на 63? Разложим оба числа на  простые множители. 5 2 990 =  3 11

·

3

3 63 =  3

· 7

В мешке разложения числа 63 есть простой делитель 7, но его нет в  мешке разложения числа 990. Значит, 990 не делится на  63. Делится ли число 990 на 135? Разложим число 135 на простые множители. 5 2 990 =  3 11

· 3



5 135 =  3 3

· 3

В мешке разложения числа 990 только две тройки, а для того, чтобы число делилось на 135, в мешке его разложения обязательно должно быть три тройки. Значит, число 990 не делится на 135.

3

4

5

Попробуем теперь перебрать все делители числа 990. Будем получать делители, перебирая все части мешка разложения числа 990.

5 2 990 =  3 11

· 3

Переберём сначала простые делители, потом все делители, состоящие из двух простых множителей, затем из трёх и т. д. из одного из двух простого простых множителя множителей

из трёх простых множителей

из четырёх простых множителей

2

3 · 3 = 9

3 · 3 · 2 = 18

3 · 3 · 5 · 11 = 495

3

2 · 3 = 6

3 · 3 · 5 = 45

2 · 3 · 5 · 11 = 330

5

2 · 5 = 10

3 · 3 · 11 = 99

2 · 3 · 3 · 11 = 198

11

2 · 11 = 22

2 · 3 · 5 = 30

2 · 3 · 3 · 5 = 90

3 · 5 = 15

2 · 3 · 11 = 66

3 · 11 = 33

2 · 5 · 11 = 110

5 · 11 = 55

3 · 5 · 11 = 165

В таблице перечислены 22 делителя числа 990. Но у каждого числа есть ещё два делителя: единица (произведение пустого мешка) и само число (произведение всего мешка). Обрати внимание: в первом столбце этой таблицы столько же чисел, сколько в последнем столбце (и там, и там 4 числа). Это не случайно. В мешке разложения числа 990 лежат 5 простых чисел. Выбрать те 4 числа из этого мешка, которые мы берём, — это то же самое, что выбрать то 1 число, которое мы не берём. Точно такая же ситуация со  вторым и предпоследним столбцами. Во  втором столбце 7 чисел и  в  предпоследнем тоже 7  чисел. Так  получается потому, что выбрать те 3 числа из мешка разложения, которые мы берём, — это то же самое, что выбрать те 2 числа, которые мы не берём.

4

5

6

Выпишем все делители числа 990 в порядке возрастания и сделаем проверку: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990.

Проверка: соединим в пары делители, произведение которых равно  990.

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990.

Ещё в древности учёные заметили, что  любое составное число раскладывается в  произведение простых множителей единственным образом, каким  бы способом мы  это ни делали. В XIX веке Карл Гаусс дал современную формулировку  этого факта. Но  первые упоминания об  этом можно прочесть в книге «Начала» древнегреческого учёного Евклида, жившего в  III  веке  до нашей эры.

5

6

7

Кратные числа́. Круги Эйлера Про число, которое делится на шесть, говорят, что оно кратно шести. кратные 6 36

кратные 10

24

10

90

20 18

60

40

60

96 30

30

70 84

90

В синем круге разрешается писать только числа, кратные 6. Сейчас в  круге написано несколько таких чисел.

В красном круге разрешается писать только числа, кратные 10. Сейчас в  круге написано несколько таких чисел.

Нарисуем синий и красный круг на одной картинке. В фиолетовой области будут лежать числа, которые делятся и на 10, и на 6.

кратные 6

Некоторые двузначные числа не  делятся ни на 6, ни на 10. Такие  числа нельзя написать ни  в  синем, ни в красном круге.

36 24 18

96

кратные 10

30 60 90

10 20 70

40

84

Мы привели примеры чисел, которые лежат в синем круге, в красном круге, в фиолетовой области. И в синий круг, и в красный круг, и в фиолетовую область можно добавить ещё числа.

6

7

8

Задание. Вот круги Эйлера. Если в какой-то области нельзя написать ни одного числа, заштрихуй область. В  остальных областях напиши по  2  числа.

кратные 5

последняя цифра 0

Ариша рассуждала так.

кратные 5

Если у числа последняя цифра ноль, оно  точно делится на 5. Значит, часть синего круга нужно заштриховать  — невозможно придумать число, которое оканчивается на 0 и не делится на 5.

В пересечении кругов запишем числа, оканчивающиеся на 0,  — например, 10  и  50.

последняя цифра 0 кратные 5

10 50

В красном круге ещё могут быть числа, которые делятся на 5 и  не  оканчиваются на 0. Эти числа оканчиваются на 5 — например, 5 и 25. Результат:

последняя цифра 0 кратные 5

5 25 7

8

9

10 50 последняя цифра 0

Задание. Вот круги Эйлера. Если в какой-то области нельзя написать ни одного числа, заштрихуй область. В остальных областях напиши по  два  числа.

кратные 9

сумма цифр равна 8

последняя цифра 7 Ариша рассуждала так.

кратные 9

сумма цифр равна 8

Если у числа сумма цифр равна 8, оно точно не делится на 9. Значит, пересечение оранжевого и зелёного кругов нужно заштриховать — таких чисел нет.

последняя цифра 7

8

9

10

Последняя цифра 7 не противоречит тому, чтобы число делилось на 9. Бывают и числа, которые заканчиваются на 7 и сумма цифр которых равна 8.

кратные 9

сумма цифр равна 8

27 117

17 107

последняя цифра 7

кратные 9

Результат:

сумма цифр равна 8

8 35

918 36 27 117

17 107 7 137

последняя цифра 7

9

10

11

Деление в столбик на двузначное число Деление в столбик на двузначное число выполняется по тому же принципу, что и деление в столбик на однозначное. Сложнее только подбирать очередную цифру в  частном. Решим пример: 40 132 : 79 

40 132 79

Запишем этот пример в столбик и выделим первое число, в которое помещается 79. Это 401. Итак, в частном будет 3 цифры. Число 79 — это почти 80. В 401 число 80 помещается 5 раз. Значит, и 79 тоже поместится. А 6 раз не поместится, поскольку 70 на 6 уже 420. Напишем в частном 5, умножим на него 79 и вычтем из 401. В остатке получаем 6. Сносим цифру 3. Получаем 63. Делим 63 на 79 с остатком. В частном пишем 0. Умножаем 0 на 79 и вычитаем из 63. В остатке получаем 63.

40 132 79 39 5 5 6

40 132 79 39 5 50 63 0 63 10

11

12

Сносим цифру 2. Нужно разделить 632 на 79. 79 — почти 80, а 632 — почти 640. 640 : 80 = 8 Проверим, помещается ли 79 в числе 632 восемь раз. 79 · 8 = 632 Разделилось без остатка.

11

12

13

40 132 79 39 5 508 63 0 632 632 0

Часть от числа Вот дробь.

2 — 9

Над чертой написано число 2 — числитель дроби. Горизонтальная чёрточка — это черта дроби. Под чертой написано число 9 — знаменатель дроби.

Дробь 29 читается «две девятых». Дроби используют для того, чтобы  показать, что мы целое разделили на равные части, а потом взяли несколько таких частей. Например, можно взять 29 пиццы. Для этого нужно разрезать пиццу на  9 частей и взять 2 такие части.

Можно взять квадрат, разделить его на 25 частей и взять 13 из них. Получится 13 25 (тринадцать двадцать пятых) квадрата.

12

13

14

Под каждой фигурой указано, какая доля фигуры закрашена.

Закрашено 38

67   Закрашено 100

Закрашена 12

6 Закрашено 16

Закрашено 25

3 Закрашено 12

Нарисуем пять восьмых отрезка AB.

A

B

Для этого разделим отрезок на 8 равных частей

A

B

и возьмём 5 таких частей.

A

АС =  58  (AB). Между точками С и В три такие части. Поэтому СВ =  38  (AB).

13

14

15

C

B

Найдём четыре седьмых от числа 28. Для этого разделим 28 на 7 равных частей и  возьмём 4 части. 28 : 7 · 4 = 16 4  (28) = 16 7

Задание: вычисли. 7 10  (1 кг) 5 12  (3 ч)

Результат: 7 7 10  (1 кг) = 10  (1 000 г)  = 1 000 г : 10 · 7 = 700 г 5 5 12  (3 ч) = 12  (180 мин) = 180 мин : 12 · 5 = 75 мин

14

15

16

Находим число по его части В классе учится 12 девочек. Они составляют 37 класса. Сколько в классе учеников? Ариша начертила схему к этой задаче. Раз речь идёт про седьмые части, нужно нарисовать 7 одинаковых отрезков. Это целый класс. Сверху она отметила дугой 37 класса. Та же самая часть класса — это 12 девочек. Ариша обозначила это дугой снизу.

3 7

12

12 девочек — это 3 части, найдём одну часть. 12 : 3 = 4 (ребёнка) Всего в классе семь таких частей. Найдём, сколько детей в классе. 4 · 7 = 28 (детей) По вопросам эту задачу можно записать так: 1) С  колько детей в одной части класса? 12 : 3 = 4 (ребёнка) 2) С  колько детей в классе? 4 · 7 = 28 (детей) Ответ: в классе 28 детей.

15

16

17

На ярмарке выходного дня за субботу продали 88 кг яблок, что 4 всех яблок, привезённых на ярмарку. Сколько яблок составило 11 привезли на ярмарку? 4 11

88 кг 1) С  колько яблок в одной части? 88 : 4 = 22 (кг) 2) С  колько яблок привезли на ярмарку? 22 · 11 = 242 (кг) Ответ: на ярмарку привезли 242 кг яблок.

16

17

18

Уравнения в два действия Ариша загадала число, прибавила к нему 2, результат умножила на 13 и получила 78. Что за число загадала Ариша? Тимоша рассуждал так. «Запишу в виде примера, что происходило с загаданным числом.

(

 + 2) · 13 = 78

Нарисую дерево вычисления.

(

 + 2) · 13 = 78

Ясно, что в нижнем окошке должно стоять число 78.

(

 + 2) · 13 = 78

78

Как получилось 78? Что-то умножили на 13. Значит, что-то — это число 6.

(

 + 2) · 13 = 78 6 78

Как получилось 6? К чему-то прибавили 2. Значит, в окошко в примере нужно вставить число 4».

( 4  + 2) · 13 = 78 6 78

17

18

19

Если загаданному числу дать имя х, получится уравнение:

(х + 2) · 13 = 78

Запишем решение этого уравнения. Слева написано произведение. В  первом множителе этого произведения есть х. Уберём первый множитель в чемоданчик.

(х + 2) · 13 = 78

Забудем, что в чемоданчике лежит х+2.

 · 13 = 78

Просто найдём первый множитель.

 = 78 : 13

Первый множитель равен 6.

 = 6

Вспомним, что было в чемоданчике.

(х + 2) = 6

Получаем обычное уравнение.

х + 2 = 6

Находим х.

х = 6 − 2 х = 4

Для проверки подставим в уравнение число 4 вместо х, остальное перепишем как было:

(4 + 2) · 13 = 78

Поскольку 4 + 2 = 6, а 6 · 13 = 78, это равенство истинно. Пишем букву И.

(4 + 2) · 13 = 78 И 6

18

19

20

Ариша решала уравнение 46 + 4 · х = 150. Она сразу заметила, что  46 + 4 = 50. Если умножить на 3, будет как раз 150. 46 + 4 · х = 150  50 · х = 150  х = 150 : 50 х = 3 Проверка: 46 + 4 · 3 = 150 Тимоша посмотрел на это решение и засомневался: — Слушай, но ведь у тебя получилось неверное равенство! 46 + 12 будет 58, а не 150! — Как это? 46 + 4 = 50... — Да нет же, ведь умножение нужно делать раньше сложения! — А, точно… Как же быть? — Давай нарисуем дерево вычисления. Но Ариша уже поняла: — Ну да, ведь слева у нас сумма числа 46 и неизвестного слагаемого. Нужно положить в чемоданчик это неизвестное слагаемое, 4 · х. 46 + 4 · х = 150 4 · х = 150 − 46 4 · х = 104 x = 104 : 4 x = 26 Проверка: 46 + 4 ·26 = 150 И 104

19

20

21

Задание: решите уравнение 24 : (13 − х) = 4. Результат: 24 : (13 − х) = 4  = 24 : 4 (13 − х) = 6 х = 13 − 6 х = 7 Проверка: 24 : (13 − 7) = 4 И 6

20

21

22

Алфавитный указатель дробная часть числа....................13 знаменатель......................................13 кратные числа.................................7

круги Эйлера...................................8 черта дроби.....................................13 числитель...........................................13

Список сокращений млн — миллион мм — миллиметр см — сантиметр дм — дециметр м — метр км — километр г — грамм кг — килограмм т — тонна

21

2221 22

см2 — квадратный сантиметр 2 дм — квадратный дециметр 2 м — квадратный метр л — литр мл — миллилитр

с — секунда мин — минута ч — час сут. — сутки нед. — неделя мес. — месяц руб. — рубль коп. — копейка

Содержание семнадцатая неделя Перебор всех делителей числа........................................................................................3 восемнадцатая неделя Кратные числа. Круги Эйлера........................................................................................... 7 девятнадцатая неделя Деление в столбик на двузначное число................................................................ 11 двадцатая неделя Часть от числа........................................................................................................................ 13 двадцать первая неделя Находим число по его части.......................................................................................... 16 двадцать вторая неделя Уравнения в два действия............................................................................................... 18

24

учебно-методическое издание Сопрунова Наталия Александровна Посицельская Мария Алексеевна Посицельский Семён Ефимович Рудченко Татьяна Александровна Михайлова Татьяна Владимировна Математика и информатика учебник 4-й класс В шести частях. Часть 4 В соответствии c Федеральным законом № 436 от 29 декабря 2010 издание маркируется знаком Дизайн книги — И. Э. Бернштейн Вёрстка — Д. А. Кобринский Художник — Е. В. Гаврилова Корректор — С. Б. Кобринская Подписано в печать 12.07.2018 Формат 84×108/16. Бумага офсетная Гарнитура PT Sans. Усл. печ. л. 2,52 Издательство МЦНМО 119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11 Тел. (499) 241-08-04 Отпечатано в ООО «ТДДС-Столица-8» Тел.: (495) 363-48-86

23

24

6+