3 Math 1 Man Out [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопру­но­ва | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко И. А. Хованская

математика и информатика

3 класс

учебник | в шести частях | первая часть

Москва | 2015 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 Сопрунова Н. А. С 64 Математика и информатика. 3-й класс: учебник. В 6 ч. Ч. 1 / Н. А. Сопрунова, М. А. По­ си­цельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская. — М.: ЦПМ, МЦНМО, 2015. — 28 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0918-9 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-34-4 (ИНТ) Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. Предусмотрены различные варианты работы — как с использованием средств ИКТ, так и без них. В комплект для второго класса входят учебник в шести частях и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Т. Э. Казанцева  вторы благодарят: А за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину.



1

© Центр педагогического мастерства, 2015 © Московский центр непрерывного математического образования, 2015 © Институт новых технологий, 2015 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская, 2015 © Т. Э. Казанцева, иллюстрации, 2015 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2015 Все права защищены.

2

3

Уравнения с умножением Бабушка загадала Соне загадку: — Много у меня банок с вареньем. Но если бы их было ещё больше, в 7 раз, было бы 63 банки. Сколько у меня банок, как ты думаешь? Соня представила себе банки с вареньем, стоящие рядком на полке. Чтобы увеличить число банок в 7 раз, нужно представить себе 7 одинаковых полок. Если обозначить количество банок через х, получится уравнение: х · 7 = 63 Нарисуем схему.

x банок на полке

7 полок

Чтобы узнать, сколько банок стоит на каждой полке, разделим 63 банки на 7 полок: х = 63 : 7 Получается по 9 банок на каждой полке.

7

63 банки

x x x x x x x

      63     

х = 9

2

3

4

Сделаем проверку — подставим в уравнение х · 7 = 63 вместо х число 9. Получаем равенство 9 · 7 = 63 Это равенство истинно. 9 · 7 = 63 И Значит, число х найдено верно. Задание: нарисуй схему и реши уравнение х · 7 = 63. Сделай проверку. Результат: x ·

x :

x x ·

3

4

И

5

Двоичное дерево Вот двоичное дерево:

лист ветка развилка

развилка

ветка корневая ветка

У дерева есть ветки, развилки и листья. Дерево начинается с корневой ветки. Каждая ветка, кроме корневой, начинается в развилке. Каждая ветка заканчивается следующей развилкой или листом. Из каждой развилки двоичного дерева растут ровно две новые ветки. (Именно поэтому такое дерево и называется двоичным.) лист

развилка

ветка

ветка лист

ветка

развилка

лист развилка

корневая ветка

4

5

6

Вот ещё двоичные деревья:

Д1

Д2

Д3

Д4

У дерева Д1 есть только одна ветка — корневая — и один лист. Корневая ветка или заканчивается листом (как у дерева Д1), или приходит в развилку. У дерева Д2 три ветки, одна развилка и два листа — красный и зелёный.

Д5

5

6

7

Д6

Д7

В таблице показано, сколько веток, развилок и листьев у каждого из деревьев. Д1

Д2

Д3

Д4

Д5

Д6

Д7

веток

1

3

11

17

15

11

19

развилок

0

1

5

8

7

5

9

листьев

1

2

6

9

8

6

10

Обрати внимание: количество веток дерева равно сумме количества листьев и количества развилок. Как ты думаешь, почему так получается? Это не двоичные деревья.

   

   

У дерева с красными листьями из развилки вырастает не две ветки, а пять. У дерева с оранжевыми листьями две развилки, и из каждой вырастает по три ветки. У дерева с зелёными листьями есть развилка, из которой выходит три ветки.

6

7

8

Влево и вправо по двоичному дереву Жук полз по ветке. Он дополз до первой развилки и увидел два пути — влево и вправо.

влево вправо

Он пополз вправо (сокращённо п).

вправо влево

лл

На второй развилке он пополз влево   (сокращённо л).

Путь к этому листу мы будем записывать так: вправо влево или сокращённо пл.

7

8

9

лп пп

пл

На этом рисунке возле каждого листа написан путь от корня дерева к этому листу. плпл плпп

л п п

плл л л лп

пп

лплп лплл

п п

п

л

п

л лл

л Д6

ллл

плп

лпп л

ллп

п

л

п л

пллп

пллл

л

п п л

п л

л

п

ппл л

п

п ппп

Д7

Чтобы из корня дерева Д6 попасть в красный лист, нужно пройти влево  вправо Путь к красному листу сокращённо записывается так: лп. Чтобы из корня дерева Д7 попасть в красный лист, нужно пройти вправо влево влево вправо Этот путь сокращённо записывается так: пллп. А путь к фиолетовому листу записывается так: ллп. Когда мы говорим о пути в дереве, мы всегда имеем в виду путь от корня к листу.

8

9

10

Задачи «на разницу»

В 4-й «А» привезли пять одинаковых коробок с мелками, а в 4-й «Б» — три такие же коробки. Оказалось, что в 4-й «А» привезли на 16 мелков больше, чем в 4-й «Б». Сколько всего мелков привезли в два четвёртых класса?

Ариша прочла задачу и задумалась: «Если в задаче написано, что чего-то на 16 больше, то вроде как надо складывать. А я не понимаю, какое число надо увеличить на 16…» — Папа, — сказала Ариша, — что-то необычная задача попалась. Требуется узнать, сколько мелков привезли в два класса. Наверное, сначала надо понять, сколько мелков в одной коробке. А как это узнать?

9

10

11

Папа заглянул в Аришин задачник. — Давай разберёмся. Как ты думаешь, а почему мелков в 4-м «А» оказалось больше, чем в 4-м «Б»? — Это понятно. Ведь коробок-то привезли больше, вот и получилось больше мелков. Папа допил кофе и поставил чашку на стол. — Точно! А на сколько больше коробок? — На две. — А на сколько больше мелков? — На 16. — А где, по-твоему, оказались эти «лишние» мелки? — Ну они в этих двух коробках, наверное, лежали. А-а-а, поняла: раз 16 мелков в двух коробках лежат, значит, в каждой по 8! Коробки-то одинаковые! 16 мелков                 

4 «А»

4 «Б» — Молодец! Практически сама решила! Дальше всё просто. — Ага. В 4-й «А» привезли 5 коробок по 8 мелков, то есть 40 мелков. А в 4-й «Б» — 3 коробки по 8 мелков, значит, 24 мелка. Папа улыбнулся: — Точно! Можно было бы узнать, сколько в 4-й «Б» привезли, а потом на 16 увеличить. — Ну да, 24 и 16 — в сумме как раз 40 и получается. А всего 64 мелка! Ответ: в два четвёртых класса привезли 64 мелка.

10

11

12

Угол. Имя угла

•

Два отрезка с общим концом образуют угол. Эти отрезки называются сторонами угла. Общий конец отрезков называется вершиной угла.

сторона

• сторона

• вершина • Вот отрезки АВ и ВС с общим концом В*. A Они образуют угол. Отрезки АВ и ВС — стороны угла, точка В — вершина этого угла. На чертеже угол обозначен • • зелёным отрезочком. B C Этот угол можно назвать В. А можно назвать тот же угол тремя буквами, как ломаную из двух звеньев — АВС или СВА. Над именами углов мы ставим значок   , чтобы отличать имя угла от имени точки или имени ломаной. Продлим отрезок ВА за точку А. Получится отрезок ВD, на котором лежит точка А. От такого продления угол не меняется. Угол DBC — это тот же самый угол В.

B

•

•

•

A

•

C

* Теперь точки на чертежах мы будем называть латинскими буквами, как принято в геометрии. Буква В читается как «бэ», буква С — как «цэ». Как читаются другие латинские буквы, ты можешь узнать на 26-й странице.

11

12

13

D

Отметим на стороне ВС точку N. Мы можем укоротить отрезок ВС — заменить его на ВN. Угол от этого не изменится.

• •

Угол В можно называть по-разному: NВА, СВА, NBD, CBD, ABN, ABC, DBN, DBC. B

•

•

Назвать только вершину угла бывает недостаточно. Например, на этом чертеже непонятно, что такое угол P — имеется ли в виду верхний угол с вершиной P (из треугольника RPS), нижний угол с вершиной P (из треугольника SPQ) или большой угол (из треугольника RPQ).

P

A

•

N •

C

R

•

•Q

•

R

•

P

S

•

На этом чертеже синим отрезочком обозначен угол SPQ, а красным отрезочком — угол RPQ.

D

S

•Q

•

12

13

14

Уравнения с делением Решим уравнение: 56 : х = 7 Представим себе, что 56 клеток выстроили рядами по х клеток в каждом ряду и получили 7 рядов. Получился прямоугольник из 56 клеток — 7 рядов по х клеток в каждом. Нарисуем схему прямоугольника 7 на х, состоящего из 56 клеток. Чтобы найти х, разделим этот прямоугольник на 7 рядов клеток:

x клеток в ряду

7

56 клеток

7

x x x x x x x

х = 56 : 7 Получается по 8 клеток в каждом ряду. х = 8

      56 клеток     

Сделаем проверку — подставим в уравнение 56 : х = 7 вместо х число 8. Получаем равенство 56 : 8 = 7 Это равенство истинно. 56 : 8 = 7 И Значит, число х найдено верно.

13

14

15

Задание: реши уравнение 56 : х = 7. Результат: : x

x :

x x :

И

Ариша решала уравнение: х : 6 = 7 Она подумала: «х клеток разбили на ряды по 6 клеток и получили 7 рядов. Значит, х — это 7 рядов по 6 клеток в каждом. Нарисую схему прямоугольника 6 на 7, состоящего из х клеток.

6

6 · 7 = 42 Значит, в прямоугольнике 42 клетки».

x клеток

7

Задание: реши уравнение х : 6 = 7. Результат: x : ·

x x

x :

И

14

15

16

Задание: реши уравнение х : 4 = 12. Тимоша рассуждал так: «12 — самое большое число в этом уравнении, значит, прямоугольник состоит из двенадцати клеток. А стороны у него — х и 4. Нарисую схему и решу уравнение.

4

х = 12 : 4 х = 3 Проверка:

x

12 клеток

3 : 4 = 12 Нельзя поместить 12 четвёрок в тройку, поэтому равенство неверно. 3 : 4 = 12 Л » Тимоша ошибся! На самом деле, 12 — не самое большое из чисел, входящих в уравнение. Самое большое число в уравнении — это неизвестное число х. Ведь х делят на части и в каждой части получают 12. Схему нужно было нарисовать иначе. Результат: x : ·

x x

x :

И

Теперь уравнение решено верно.

15

16

17

Сравнение углов Вот углы АОС и ВОС c общей вершиной О и общей стороной ОС. Сторона ОВ угла ВОС проходит между сторонами угла АОС. Поэтому угол BОС меньше, чем угол AОС. А угол AОС больше, чем BОС. Это записывается так: ВОС < АОС АОС > ВОС

O

A •

B •

•

Вот углы PQT и RQS c общей вершиной Q.

•

C

P •

R •

Угол RQS целиком лежит внутри угла PQT. Поэтому угол RQS меньше угла PQT. RQS < PQT • PQT > RQS Q

• •

S

T

Если углы расположены не так удобно, для их сравнения приходится использовать специальный инструмент — транспорти́р.

16

17

18

Сравним углы P и Q.

Q • P          •

Приложим транспортир к углу P так, чтобы одна из сторон угла шла вдоль красной линии, вторая сторона была видна в окошке транспортира, а вершина угла совпадала с концом красной стрелки.

Q • P          •

Поставим засечку на транспортире в том месте, где проходит вторая сторона угла.

17

18

19

Теперь приложим транспортир к углу Q.

Q • P          •

Засечка, показывающая величину угла Р, оказалась между сторонами угла Q. Значит, угол Q больше угла Р.

Бывает так, что сторона угла не дотягивается до края окошка транспортира. A•

Тогда надо продлить эту сторону, ведь угол от этого не изменится. A•

B•

B•

18

C •

C •

19

20

В треугольнике АВС есть три угла — А, В и С. Попробуем выяснить, какой из углов больше. •B

A•

•C

Отметим на транспортире величину угла А. •B

A

A

•

• C

Теперь отметим на транспортире величину угла С.

A

19

20

21

•

C

A

•B

• C

Наконец, отметим на транспортире величину угла В.

•B A

B C

A

• C

•

Получается, что в треугольнике АВС угол А — самый маленький, а угол В — самый большой. B

C A

20

21

22

Деление с остатком Разложим 60 ягод в мешки по 7. Получается 8 мешков и ещё «лишние» 4 ягоды, из которых нельзя собрать полный мешок.

Такое действие называется деление с остатком. Количество мешков — это неполное частное, количество «лишних» ягод — остаток. Деление с остатком записывается так:

делитель

остаток

60 : 7 = 8 (ост. 4) делимое

неполное частное

Если 60 разделить на 7, получится 8 и в остатке 4. Значит, 60 = 7 · 8 + 4. +7

+7

+7

0

+7

+7

+7

+7

+7

60 4

Мы начали от 0 и рисовали на числовой дорожке стрелки +7 , пока до 60 не осталось 4. Ещё одна стрелка +7 до числа 60 уже не поместится. Получилось 8 стрелок.

21

22

23

Ариша сказала папе: — Я научилась делить с остатком! Смотри:

47 : 9 = 4 (ост. 11) Папа сказал: — Гм… Ты хорошо проверила? — Ну да, конечно, ведь 47 = 9 · 4 + 11. — А больше ни одного мешка с девятью пуговицами нельзя собрать? — Ой, да... Можно!

47 : 9 = 5 (ост. 2) — Понимаешь, 11 больше, чем 9. Значит, мы разложили по мешкам не все пуговицы, которые можно разложить. А при делении с остатком нужно образовать как можно больше мешков. Остаток всегда меньше делителя. Если то, что осталось, оказалось больше делителя или равно ему, то можно собрать ещё один мешок. То есть мы разделили не до конца.

22

23

24

Бывает, что ни одного мешка собрать нельзя — получается 0 мешков, а все предметы попадают в остаток. 3 : 7 = 0 (ост. 3) Остаток тоже может оказаться нулевым, если все предметы удалось разложить по мешкам. 42 : 7 = 6 (ост. 0) 42 : 7 = 6 Если при делении одного числа на другое получается 0 в остатке, говорят, что первое число делится на второе. Например, 12 делится на 2 и 12 делится на 4. Но 12 не делится на 8. 72 делится на 36 и на 24, но не делится на 16. 100 делится на 10 и на 25, но не делится на 40. Задание: раздели с остатком. Сделай проверку. 98 : 20 28 : 36 Результат: 98 : 20 = 4 (ост. 18) 18