Variables Aléatoires Discrètes [PDF]

Zitiervorschau

Probabilités Appliquées Variables aléatoires discrètes L. Horchani & N. Chaouachi E.N.S.I

2020/2021

E.N.S.I (II.1)

Probabilités Appliquées

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1

Rappel sur les manipulations de séries

2

Définition

3

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

4

Variables aléatoires indépendantes

5

Fonction de répartitions

6

Couple de variables aléatoires

7

Paramètres d’une variable aléatoire

8

Fonction génératrice

9

Lois discrètes usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Poisson E.N.S.I (II.1)

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I-Rappel sur les manipulations de séries Une série

X

an est convergente si la suite

n X

ai est convergente. La

i=0

n∈N

valeur de la série est la limite de la suite est absolument convergente si la série

n X i=0 X

ai . On dit qu’une série

X

an

n∈N

|an | est convergente.

n∈N

Théorème (Fubini) Si la serie

X

|a(n,p) | est convergente, alors on a :

(n,p)∈N2

 X (n,p)∈N2

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a(n,p) =

X

 X

 n∈N

a(n,p)  =

p∈N

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

 X

X 

p∈N

a(n,p) 

x ∈N

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Proposition (Convergence dominée) Soit (a(n,p) , n ≥ 0, p ≥ 0) une suite telle que pour tout n ≥ 0, p ≥ 0, |a(n,p) | ≤ bn . On suppose de plus que pour tout n ≥ 0, lim a(n,p) existe. p→+∞

Si la série à termes positifs

X

bn est (absolument) convergente, alors on

n∈N

a: lim

p→+∞

X

a(n,p) =

n≥0

X n≥0

lim a(n,p) .

p→+∞

On se place maintenant sur R ou C. Soit (an , n ∈ N) une suite de nombres X complexes. La série entière associée à la suite (an , n ∈ N) est la série an z n , z ∈ C. Le rayon de n∈N

convergence de la série entière est défini par : R = sup{r > 0;

X

|an |r n est convergente},

n∈N

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Proposition 1

X

Si |z| > R, alors la série

an z n diverge trivialement (la suite (an z n )

n∈N

n’est pas bornée). 2

Si |z| < R, alors la série

X

Soit 0 < r < R. La série

X

an z n est absolument convergente.

n∈N 3

an z n est normalement convergente sur

n∈N

{z ∈ C; |z| ≤ r }.

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Lemme (rappel de quelques formules) Soit q un réel tel que 0 < q < 1. n X

qi =

i=0 +∞ X

1 − q n+1 1−q

qi =

i=0 +∞ X i=0

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iq i−1 =

1 1−q 1 (1 − q)2

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II-Définition Dans toute la suite de ce module, nous travaillerons sans le spécifier nécessairement systématiquement sur un espace de probabilité (Ω, τ, P). Nous pourrons également considérer sans inquiétude que toutes les parties de Ω qui nous intéressent sont des événements (i.e. sont dans τ ).

Définition Soit une application X : Ω → X (Ω) où X (Ω) ⊆ R. X est une variable aléatoire réelle si et seulement si, pour tout réel x ∈ R , l’image réciproque X −1 (x ) est un élément de τ . Il y a là, d’une certaine façon, une contradiction dans les termes : une variable aléatoire n’est pas une variable, c’est une fonction ; et elle n’a rien en elle-même d’aléatoire, c’est l’espace sur lequel elle agit qui est probabiliste.

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Remarques : 1

Pour x ∈ X (Ω), on note de façon concise {X = x } l’événement {ω ∈ Ω : X (ω) = x }.

2

La famille des nombres (P(X = x ))x ∈X (Ω) s’appelle la loi de X .

3

(X = x )x ∈X (Ω) est une famille dénombrable d’événements deux à [ deux disjoints t.q. {X = x } = Ω, i.e c’est un s.c.e. Donc par la x ∈X (Ω)

propriété de σ-additivité, X x ∈X (Ω)

 [

P(X = x ) = P



{X = x } = P(Ω) = 1.

x ∈X (Ω)

4

Si X (Ω) est une partie dénombrable de R, nous dirons que X est une variable aléatoire discrète (V.A.D).

5

Une variable aléatoire discrète sera dite finie ou infinie suivant que l’ensemble de ses valeurs est fini ou infini. E.N.S.I (II.1)

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III-Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition : ∀x ∈ R , on a {X = x } ∈ τ. On appelle loi de la v.a X , la fonction fX : R → [0, 1] t.q : ∀x ∈ R, fX (x ) = P[X = x ] Dans la pratique, il n’est pas rare que l’on ne décrive une variable aléatoire que par sa loi, sans se préoccuper d’écrire explicitement l’espace de probabilités sur lequel elle est définie. Quand dans une expérience aléatoire on ne s’intéresse qu’à la v.a X , cela revient à se placer dans le nouvel espace fondamental (X (Ω); τ ; fX ). Dans bien des cas, on ne précisera pas l’espace Ω choisi.

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Propriété : X

fX (x ) = 1

x ∈X (Ω)

Définition On dira que deux v.a X et Y ont même loi, ou sont identiquement distribués, si leurs lois fX et fY sont identiques. Cette relation sera notée X ∼Y La v.a X est entièrement déterminée par sa loi fX .

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Exemples : 1

Dans le cas du jet de deux dés, la somme S des deux dés est une variable aléatoire discrète à valeurs dans S(Ω) = 2, 3, . . . , 12 dont la loi est : s P(S = s)

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Soit A ⊂ Ω un événement. Sa fonction indicatrice 11A : Ω → {0, 1} définie par (

∀ω ∈ Ω, 11A (ω)

1, si ω ∈ A 0,

sinon

est une variable aléatoire discrète de loi : P(11A = 1) = P(A) E.N.S.I (II.1)

P(11A = 0) = 1 − P(A).

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IV-Variables aléatoires indépendantes Définitions 1

Deux variables aléatoires discrètes X et Y à valeurs respective- ment dans X (Ω) et Y (Ω) sont dites indépendantes si : ∀x ∈ X (Ω), ∀y ∈ Y (Ω), P(X = x , Y = y ) = P(X = x ) × P(Y = y ).

2

n variables aléatoires discrètes X1 , X2 , . . . , Xn à valeurs respectivement dans X1 (Ω), . . . , Xn (Ω) sont dites indépendantes si : ∀x1 ∈ X1 (Ω), . . . , ∀xn ∈ Xn (Ω) P(X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) =

n Y

P(Xi = xi ).

i=1 3

Une famille quelconque de variables aléatoires discrètes est dite indépendante si toute sous-famille finie l’est. E.N.S.I (II.1)

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Exemple

Jet de 2 dés : Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6} muni de la probabilité uniforme. Si on note X1 la valeur du premier dé et X2 celle du second, on aX1 (i, j) = i et X2 (i, j) = j. On vérifie facilement que : 1 ∀ 1 ≤ i ≤ 6, P(X1 = i) = P(X2 = i) = , 6 Comme : ∀ 1 ≤ i, j ≤ 6, P(X1 = i, X2 = j) =

1 = P(X1 = i) × P(X2 = j), 36

les variables X1 et X2 sont indépendantes .

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V-Fonction de répartition Soit X : Ω → R une variable aléatoire réelle de l’espace de probabilité (Ω; τ ; P) et PX sa loi de probabilité

Définition On appelle fonction de répartition de X la fonction FX définie sur R, et à valeurs dans [0; 1], par : FX (x ) = PX (] − ∞; x ]) = P(X ≤ x ) ∀x ∈ R On peut remarquer que la valeur de PX sur tout intervalle ]a; b] s’obtient simplement à partir de la fonction de répartition : PX (]a; b]) = P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a)

Lemme La fonction de répartition caractérise la loi : si deux variables aléatoires X et Y ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi. E.N.S.I (II.1)

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Corollaire Les v.a. réelles Xi , 1 ≤ i ≤ n, sont indépendantes si et seulement si pour tout xi ∈ R, P

n \




{Xi ≤ xi } =

i=1

n Y

FXi (xi );

i=1

FXi étant la fonction de répartition de Xi . La fonction de répartition d’une v.a possède les propriétés suivantes :

Propriétés Soit X la fonction de répartition d’une v.a X . Alors : 1 2

FX est croissante. lim FX (x ) = 0 et lim FX (x ) = 1.

x →−∞

x →+∞

3

FX est continue à droite.

4

FX a une limite à gauche en tout point.

5

Si FX admet une discontinuité en x0 , FX (x0 ) − lim FX (.) = P(X = x0 ). x0−

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Exemple Soit X la variable aléatoire indiquant le résultat du lancé d’un dé équilibré. Sa fonction de répartition FX saute de 16 aux points 1; . . . ; 6

Figure – Fonction de répartition de X

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VI-Couple de variables aléatoires

Définition Un couple de variables aléatoires (X , Y ) est la donnée de deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé Ω . Autrement un couple est une application (X , Y ) : Ω → R2 .

Définition La loi ou densité d’un couple de v.a (X , Y ) est la fonction f(X ,Y ) : X (Ω) × Y (Ω) → [0, 1] t.q : f(X ,Y ) (i, j) = P((X = i) ∩ (Y = j)),

∀i ∈ X (Ω),

∀j ∈ Y (Ω).

Cette loi est aussi appelée loi conjointe du couple (X , Y ) .

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Example 1 : On lance simultanément deux dés , et on note X le plus grand des deux chiffres obtenus et Y le plus petit (au sens large). Donner la loi du couple (X , Y ).

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Example 1 : On lance simultanément deux dés , et on note X le plus grand des deux chiffres obtenus et Y le plus petit (au sens large). Donner la loi du couple (X , Y ). On a X (Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; Y (Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, P((X = i) (Y = j)) = 0 si i < j (le plus grand nombre ne peut pas être inférieur au plus petit), 1 P((X = i) (Y = j)) = 36 si i = j (le seul tirage favorable sur les 36 possibles est le tirage (i, i),

et P((X = i) (Y = j)) = sont possibles),

1 18

si i > j(les deux tirages (i, j) et (j, i)

ce qu’on peut résumer par le tableau à double entrées (X en ligne, Y en colonne) :

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HH H

Y

1 2 3 4 5 6

E.N.S.I (II.1)

X

HH 1 H

1 36

0 0 0 0 0

2

3

4

5

6

1 18 1 36

1 18 1 18 1 36

1 18 1 18 1 18 1 36

1 18 1 18 1 18 1 18 1 36

1 18 1 18 1 18 1 18 1 18 1 36

0 0 0 0

0 0 0

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0 0

0

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Proposition Soient deux v.a.d X et Y définies sur un même espace, X et Y sont indépendantes si et seulement si f(X ,Y ) (x , y ) = fX (x )fY (y ), ∀(x , y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω).

Proposition Les événements (X = i) ∩ (Y = j) pour i ∈ X (Ω) et j ∈ Y (Ω) forment un système complet d’événements. On a donc : X

P((X = i) ∩ (Y = j)) = 1.

i∈X (Ω),j∈Y (Ω)

Définition Si (X , Y ) est un couple de variables aléatoires, les lois de X et de Y sont appelées lois marginales du couple.

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Proposition Si (X , Y ) est un couple de variables aléatoires discrètes, on peut obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe : ∀i ∈ X (Ω),

P(X = i) =

X

P((X = i) ∩ (Y = j))

j∈Y (Ω)

∀j ∈ Y (Ω),

P(Y = j) =

X

P((X = i) ∩ (Y = j))

i∈X (Ω)

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Exemple2 : RQ :On peut déduire les lois marginales de la loi conjointe. Le contraire n’est pas possible en général. Exemple : Une urne contient 3 boules blanches, 4 boules vertes et 5 boules bleues. On tire 3 boules dans l’urne et on note X le nombre de boules blanches obtenues et Y le nombre de boules vertes. X et Y sont-elles indépendantes ?

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Exemple2 : RQ :On peut déduire les lois marginales de la loi conjointe. Le contraire n’est pas possible en général. Exemple : Une urne contient 3 boules blanches, 4 boules vertes et 5 boules bleues. On tire 3 boules dans l’urne et on note X le nombre de boules blanches obtenues et Y le nombre de boules vertes. X et Y sont-elles indépendantes ? X (Ω) = {0; 1; 2; 3} et Y (Ω) = {0; 1; 2; 3}. On ne peut bien sûr avoir X + Y > 3 puisqu’on ne tire que trois boules. Lorsque cela a un sens, on a: C i C j C 3−i−j P((X = i) ∩ (Y = j)) = 3 4 35 C12 ce qui donne la loi conjointe représentée par le tableau suivant : E.N.S.I (II.1)

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HH H

Y

0 1 2 3

X

HH 0 H

1 22 4 22 3 22 1 55

On en déduit les lois marginales : i 0 1 2 3 27 27 1 P(X = i) 21 55 55 220 220

1

2

3

3 22 6 22 9 110

3 44 3 55

1 220

0

0 0

j P(Y = j)

0 0 0

0

1

2

3

14 55

28 55

12 55

1 55

On a par exemple, P(X = 0) × P(Y = 0) 6= P(X = 0, Y = 0) donc X et Y ne sont pas indépendantes.

E.N.S.I (II.1)

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HH H

Y

0 1 2 3

X

HH 0 H

1 22 4 22 3 22 1 55

On en déduit les lois marginales : i 0 1 2 3 27 27 1 P(X = i) 21 55 55 220 220

1

2

3

3 22 6 22 9 110

3 44 3 55

1 220

0

0 0

j P(Y = j)

0 0 0

0

1

2

3

14 55

28 55

12 55

1 55

On a par exemple, P(X = 0) × P(Y = 0) 6= P(X = 0, Y = 0) donc X et Y ne sont pas indépendantes.

Définition La loi conditionnelle de X sachant Y = j est la loi de la variable Z définie par : ∀i ∈ X (Ω), P(Z = i) = P(X = i/Y = j). E.N.S.I (II.1)

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Proposition Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, la loi de leur somme X + Y est donné par : P(X + Y = k) =

X

P(X = i)P(Y = k − i)

i

(la somme portant sur les valeurs de i pour les quelles P(X = i) et P(Y = k − i) sont toutes deux non nulles). Exemple : Deux variables aléatoires X et Y , indépendantes sont t.q : X (Ω) = {1; 2; . . . ; 6} et ∀i ∈ X (Ω), P(X = i) = 61 Y (Ω) = {1; 2; 3; 4} et ∀j ∈ Y (Ω), P(Y = j) = 14 La loi de X + Y se calcule aisément :

E.N.S.I (II.1)

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Proposition Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, la loi de leur somme X + Y est donné par : P(X + Y = k) =

X

P(X = i)P(Y = k − i)

i

(la somme portant sur les valeurs de i pour les quelles P(X = i) et P(Y = k − i) sont toutes deux non nulles). Exemple : Deux variables aléatoires X et Y , indépendantes sont t.q : X (Ω) = {1; 2; . . . ; 6} et ∀i ∈ X (Ω), P(X = i) = 61 Y (Ω) = {1; 2; 3; 4} et ∀j ∈ Y (Ω), P(Y = j) = 14 La loi de X + Y se calcule aisément : i P(X + Y = i) E.N.S.I (II.1)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 24

1 12

1 8

1 6

1 6

1 6

1 8

1 24

1 24

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VII-Paramètres d’une variable aléatoire 1-Espérance

L’espérance mathématique dune v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a.

Définition Soit X une v.a.d, qui prend ses valeurs dans un ensemble X (Ω) = {xn , n ∈ N} ⊂ R. L’espérance (ou espérance mathématique) de X , notée E(X ), est définie par la formule : E(X ) =

X

xn P(X = xn ),

xn ∈X (Ω)

sous réserve que cette série soit absolument convergente : X

|xn |P(X = xn ) < +∞

xn ∈X (Ω)

Lorsqu’une v.a admet une espérance, on parle de v.a intégrable. E.N.S.I (II.1)

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Formule de transfert Soit f une fonction quelconque, définie sur l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X , et à valeurs réelles. Alors f ◦ X est une nouvelle variable aléatoire, typiquement notée f (X ), et on a, sous réserve de convergence absolue des séries : E(f (X )) =

X

f (xn )P(X = xn ).

xn ∈X (Ω)

Remarque : La définition que nous avons donnée de l’espérance, n’est autre que le résultat de l’application de la formule de transfert à f (X ) = X , si l’on prend comme définition alternative. La formule de transfert s’applique également aux fonctions à plusieurs variables

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Exp : Soient X , Y ,2 v.a.d et Z = (X , Y ). Soient les fonctions f1 (x , y ) = x + y et f2 (x , y ) = x .y . Alors : E(f1 (Z )) =

X

(x + y )f(X ,Y ) (x , y )

(x ,y )∈(X (Ω),Y (Ω))

E(f2 (Z )) =

X

(xy )f(X ,Y ) (x , y )

(x ,y )∈(X (Ω),Y (Ω))

Remarque : Pour toute constante réelle λ, la fonction constante sur Ω, partout égale à λ, est bien évidemment une variable aléatoire dont l’espérance est λ.

E.N.S.I (II.1)

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Propriétés de l’espérance Proposition :Linéarité de l’espérance Soit X et Y deux variables aléatoires admettant une espérance, a et b deux réels, alors la variable aléatoire aX + bY admet aussi une espérance et celle-ci vaut : E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ].

Proposition :Positivité de l’espérance Soit X et Y deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que X ≤ Y , alors :E[X ] ≤ E[Y ]. En particulier, si X ≥ 0, i.e. si X ne prend que des valeurs positives, on a E[X ] ≥ 0. X ≤ Y signifie que pour tout ω ∈ Ω , on a X (ω) ≤ Y (ω) .

Proposition :Produit de v.a indépendantes Si X et Y sont deux v.a.d, indépendantes, alors la variable aléatoire Z = XY est intégrable si X et Y le sont, et E(XY ) = E(X )E(Y ). E.N.S.I (II.1)

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2-Moments d’une v.a

Définition On appelle moment d’ordre k ∈ N d’une v.a.d X : X

mk (X ) = E[X k ] =

x k fX (x )

x ∈X (Ω)

Définition On appelle moment centré d’ordre k ∈ N d’une v.a.d X : mc,k (X ) = E (X − E(X ))k = 



X

(x − E(X ))k fX (x )

x ∈X (Ω)

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Variance Définition :Variance Le moment centré d’ordre 2 d’une v.a.d X , s’appelle la variance et est noté :V (X ). V (X ) = E (X − E(X ))2 = 



X

(x − E(X ))2 fX (x )

x ∈X (Ω)

On appelle écart-type :σ(X ) =

p

V (X )

La variance est une mesure de dispersion autour de la valeur centrale qu’est l’espérence.

Définition :Covariance de X et Y : Soient X et Y deux v.a définies sur le même espace probabilisé, toutes deux de carré intégrable.La covariance de X et Y est :


Cov (X , Y ) = E (X − E(X ))(Y − E(Y ) ). E.N.S.I (II.1)

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Propriétés de la variance Soit X une v.a.d, alors sous réserve d’existence de sa variance on a : 1

V (X ) = E[X 2 ] − E[X ]2 .

2

Si a et b sont deux réels, V (aX + b) = a2 V (X ).

3

V (X ) = 0 si et seulement si X est constante.

Propriétés de la covariance 1

Cov (X , Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y )

2

Cov (X , X ) = V (X ).

3

∀a, b, c, d ∈ R : Cov (aX + b, cY + d) = acCov (X , Y ).

4

V(X + Y ) = V(X) + 2Cov(X, Y ) + V(Y ).

Proposition Si X et Y sont deux v.a indépendantes et de carré intégrable, alors Cov (X , Y ) = 0. F la réciproque est complètement fausse ! E.N.S.I (II.1)

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IIX-Fonction génératrice Lorsque X est une v.a à valeurs dans N, la loi de X est entièrement décrite par la suite (P(X = n))n≥0 . Un moyen bien commode pour manipuler de telles suites est celui des séries entières.

Définition : Fonction génératrice Soit X une variable aléatoire à valeurs entières positives ou nulles. On appelle fonction génératrice de probabilités de X , la série entière : GX (z) =

X

P(X = n)z n .

n≥0

Si z est une valeur pour laquelle la série entière converge absolument (i.e., à l’intérieur du rayon de convergence de la série, ou sur le cercle de convergence), alors GX (z) = E(z X ).

E.N.S.I (II.1)

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Il est évident que la fonction génératrice est entièrement déterminée par la loi de X . La réciproque est également vraie : la loi de X est entièrement caractérisée par sa fonction génératice de probabilités. En effet, on a immédiatement, par développement, P(X = n) =

1 (n) G (0). n! X

Calculs de moments par la fonction génératrice : En dérivant formellement la fonction génératrice, puis en prenant z = 1, il vient : X GX0 (z) = nP(X = n)z n−1 n≥1

GX0 (1) =

X

nP(X = n) = E(X )

n≥1

E(X ) = GX0 (1)

E.N.S.I (II.1)

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GX00 (z) =

X

n(n − 1)P(X = n)z n−2

n≥1

GX00 (1) =

X

n(n − 1)P(X = n) = E(X (X − 1))

n≥1


2

V (X ) = GX00 (1) + GX0 (1) − GX0 (1)

Proposition Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs entières. Alors, pour Z = X + Y , on a GZ (z) = GX (z)GY (z).

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IX-Lois discrètes usuelles 1-Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire X qui ne peut prendre que deux valeurs par exemple 0 et 1 , est appelée variable de Bernoulli. Si l’on note p = P(X = 1), on a donc naturellement P(X = 0) = 1 − p. Le paramètre p peut prendre n’importe quelle valeur dans [0; 1]. On note : X ∼ Be(p).

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IX-Lois discrètes usuelles 1-Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire X qui ne peut prendre que deux valeurs par exemple 0 et 1 , est appelée variable de Bernoulli. Si l’on note p = P(X = 1), on a donc naturellement P(X = 0) = 1 − p. Le paramètre p peut prendre n’importe quelle valeur dans [0; 1]. On note : X ∼ Be(p). E(X ) = p V (X ) = p(1 − p) GX (z) = (1 − p) + pz.

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2-Loi Binomiale La loi binomiale admet deux paramètres : un entier n ≥ 0, et un réel p ∈ [0; 1]. C’est la loi de la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, toutes de même paramètre p. Autrement dit, on obtient une variable binomiale en effectuant n lancers indépendants d’une pièce de monnaie , le résultat étant le nombre de fois que l’on obtient Pile. On note X ∼ B(n, p). ∀k ∈ N,

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P(X = k) = Cnk p k (1 − p)n−k .

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2-Loi Binomiale La loi binomiale admet deux paramètres : un entier n ≥ 0, et un réel p ∈ [0; 1]. C’est la loi de la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, toutes de même paramètre p. Autrement dit, on obtient une variable binomiale en effectuant n lancers indépendants d’une pièce de monnaie , le résultat étant le nombre de fois que l’on obtient Pile. On note X ∼ B(n, p). ∀k ∈ N,

P(X = k) = Cnk p k (1 − p)n−k .

E(X ) = np V (X ) = np(1 − p)
n

GX (z) = (1 − p) + pz .

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3-Loi géométrique La loi géométrique est paramétrée par un réel 0 ≤ p ≤ 1. On obtient une variable aléatoire géométrique dans la situation suivante : on effectue une même expérience, qui a une probabilité p de "réussir", autant de fois, de manière indépendante, qu’il est nécessaire pour obtenir le premier succès. On note : X ∼ G(p). ∀k ∈ N∗ ,

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P(X = k) = (1 − p)k−1 p.

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3-Loi géométrique La loi géométrique est paramétrée par un réel 0 ≤ p ≤ 1. On obtient une variable aléatoire géométrique dans la situation suivante : on effectue une même expérience, qui a une probabilité p de "réussir", autant de fois, de manière indépendante, qu’il est nécessaire pour obtenir le premier succès. On note : X ∼ G(p). ∀k ∈ N∗ , E(X ) = V (X ) = GX (z) =

P(X = k) = (1 − p)k−1 p.

1 p 1−p p2 pz 1−(1−p)z .

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4-Loi de Poisson

La loi de Poisson de paramètre λ ≥ 0 est définie par ses probabilités : une variable aléatoire X est de Poisson si l’on a, ∀k ∈ N,

P(X = k) = e −λ

λk . k!

On note : X ∼ P(p).

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4-Loi de Poisson

La loi de Poisson de paramètre λ ≥ 0 est définie par ses probabilités : une variable aléatoire X est de Poisson si l’on a, ∀k ∈ N,

P(X = k) = e −λ

λk . k!

On note : X ∼ P(p). E(X ) = λ V (X ) = λ


GX (z) = exp λ(z − 1) .

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