Fonctions de Plusieurs Variables [PDF]

Zitiervorschau

Fonctions de plusieurs variables (L2/MP/…) On distingue deux types de fonctions à plusieurs variables, les fonctions de ℝ! ⟶ ℝ et les fonctions de ℝ! ⟶ ℝ! (fonctions vectorielles). Dans les deux cas, la variable n’est plus un simple réel mais au minimum un point d’un espace à deux dimensions. Or, la topologie de ℝ! n’est pas la même que la topologie simple de ℝ. La topologie générale n’est pas abordée en détail ici. Il s’agit de la branche des mathématiques qui permet de définir des notions comme la limite, la continuité, le voisinage sur des espaces très généraux. Sa notion centrale est celle d’espace topologique. La topologie abordée ici est moins générale mais a l’avantage d’être plus simple. Nous avons besoin d’une « topologie » pour définir des notions comme le voisinage d’un point.

Topologie dans ℝ𝒏 Norme On appelle norme d’un vecteur de ℝ! (ou plus généralement d’un espace vectoriel 𝐸), toute application : 𝑁 ∶ 𝐸 ⟶ [0, +∞[ 𝑥⟼

𝑥

Vérifiant les trois axiomes : 𝑥 =0⟺𝑥=0 𝜆𝑥 = 𝜆 𝑥 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 Un ev muni d’une norme est appelé ev normé (evn). Il est possible de définir plusieurs normes qui dans certaines conditions seront dites équivalentes. Proposition : dans ℝ! , toutes les normes sont équivalentes. généralement, dans un evn fini, toutes les normes sont équivalentes.

Distance On appelle distance entre deux points 𝑥 et 𝑦 de ℝ𝒏 toute application 𝑑 ∶ ℝ! ×ℝ! ⟶ [0, +∞[

Plus

𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑑 𝑥, y Vérifiant les trois axiomes : 𝑑 𝑀𝑥, 𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥) 𝑑 𝑥, 𝑧 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑦 + 𝑑(𝑦, 𝑧) C’est une généralisation la distance euclidienne de géométrie classique : 𝑑 𝐴, 𝐵 =

(𝑥! − 𝑥! )! − (𝑦! − 𝑦! )!

Un espace muni d’une distance est appelé espace métrique. Remarque : la notion de distance ne nécessite pas que 𝐸 soit un ev. C’est donc une notion plus générale que la notion de norme qui elle est définie dans un ev.

Distance induite par une norme À partir d’une norme, on peut construire une distance dite distance induite : 𝑑 ∶ ℝ! ×ℝ! ⟶ [0, +∞[ 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 Proposition : tout evn est un espace métrique.

Boules et pavé On appelle boule ouverte de centre 𝑎 et de rayon 𝑟, l’ensemble : ℬ 𝑎, 𝑟 = {𝑚 ∈ ℝ𝒏 , 𝑑 𝑎, 𝑚 < 𝑟} Attention, une « boule » dans ℝ! n’est pas forcément un cercle, cela dépend de la distance choisie (de la norme choisie), cela peut être un carré par exemple ! On appelle pavé ouvert de centre 𝑎 et de côtés 𝛼! , l’ensemble des points 𝑚(…𝑥! …) vérifiant 𝑎! − 𝛼! < 𝑥! < 𝑎! + 𝛼! . On dit que 𝐴 ⊂ ℝ𝒏 est une partie bornée si il existe une boule ℬ 𝑎, 𝑟 telle que 𝐴 ⊂ ℬ 𝑎, 𝑟 . On dit que 𝑈 ⊂ ℝ𝒏 est un ouvert si ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∃𝑟 > 0, ℬ 𝑎, 𝑟 ⊂ 𝑈. On dit que 𝑈 ⊂ ℝ𝒏 est un fermé si 𝑈 est un ouvert. Remarque : une boule ouverte est un ouvert.

On dit que 𝑉 est un voisinage de 𝑥 , si 𝑉 contient un ouvert (une boule ouverte) contenant 𝑥.

Fonctions de 2 variables On appelle fonction de deux variables toute application de ℝ! ⟶ ℝ , exemples : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ; fonction linéaire 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐; fonction affine 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 ! + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 ! ; fonction quadratique

Continuité de (𝒙, 𝒚) ⟼ 𝒇(𝒙, 𝒚) Soit 𝑓 une fonction de deux variables définie sur 𝑈 ⊂ ℝ𝟐 . On dit que 𝑓 est continue en un point 𝑴𝟎 = (𝑥! , 𝑦! ) si : 1) 𝑓 est définie au voisinage de 𝑀! 2) ∀𝑀 ∈ 𝑈, ∀𝜀 > 0, ∃ 𝜂 > 0, 𝑑 𝑀, 𝑀! < 𝜂 ⟹ 𝑓 𝑀 − 𝑓 𝑀!