Analyse Plusieurs Variables Cours [PDF]

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Analyse à plusieurs variables ESILV Année 2

Didier Gossard et Marie-Noémie Thai

L'analyse à plusieurs variables est un module fusionnant le calcul diérentiel et l'analyse vectorielle. Le calcul diérentiel est un sujet techniquement délicat à cause de ses notations. Ce n'est pas vraiment une théorie, c'est plutôt un outil ; pour en apprécier l'ecacité il faut le mettre en situation. Les fondements du calcul diérentiel, l'introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l'une de l'autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C'est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx dénissant la dérivée d'une fonction y . Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l'Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse. Le calcul diérentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIème siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d'Alembert (1717-1783) étudie l'équation d'une chaîne pesante. En 1746, il écrit l'équation des cordes vibrantes  2 des oscillations  ∂ y ∂2y = qu'il résout quelques années plus tard. ∂t2 ∂x2 Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s'intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre. Tout au long du XIXème siècle, les mathématiciens contribueront à clarier le calcul diérentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l'étude des équations diérentielles et aux dérivées partielles reste toujours d'actualité. Sources : 1. Calcul Diérentiel et intégral, François LAUDENBACH, ed. Les éditions de l'école Polytechnique 2. Calcul Diérentiel, Danièle LINO et Bernard RANDE, Techniques de l'ingénieur

1

Table des matières 1 Généralités

1.1 Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Grandeur scalaire : fonction, champ scalaire . . . . 1.1.2 Grandeur vectorielle : champ vectoriel . . . . . . . 1.1.3 Composante d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Trièdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Module et direction d'un vecteur . . . . . . . . . . 1.1.6 Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte 1.2 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Systèmes de coordonnées cartésiennes . . . . . . . 1.2.2 Systèmes de coordonnées cylindriques . . . . . . . 1.2.3 Systèmes de coordonnées sphériques . . . . . . . .

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3.1 Dérivées partielles premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dérivées partielles premières : fonctions de 2 variables 3.1.2 Dérivées partielles premières : fonctions à n variables . 3.1.3 Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Notion de diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Continuité des fonctions à plusieurs variables 2.1 Éléments de topologie sur Rn . . . . . . . . . 2.1.1 Normes et distances sur Rn . . . . . . 2.1.2 Boules, Voisinages, Ouverts et fermés 2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Notion de diérentielle

4 Diérentiabilité et Opérateurs diérentiels 4.1 Diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Opérateurs diérentiels . . . . . . . . . . 4.2.1 Gradient et matrice jacobienne . . 4.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Potentiel scalaire, potentiel vecteur 4.3 Diérentielle d'une fonction composée . .

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5 Dérivées partielles d'ordre supérieur et extremums locaux 5.1 5.2 5.3 5.4

Dérivées d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions de classe C k , k ≥ 1 . . . . . . . . . . Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . Extrema locaux : Optimisation sans contraintes

6 Intégrales multiples

6.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Intégrales doubles sur un rectangle 6.1.2 Propriétés des intégrales doubles . 6.1.3 Théorème de Fubini . . . . . . . . 6.1.4 Changement de variables . . . . . 6.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . 2

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4 4 4 5 5 6 7 11 11 12 15

19

19 19 20 21

26

26 27 29 32 33

40

40 44 44 47 48 48 49 52

57

57 59 59 65

69

69 69 69 70 74 77

6.2.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Intégrales curvilignes

7.1 Circulation d'un champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Intégrales de surface

8.1 Surface paramétrée . . . . . . . . . . . . . 8.2 Flux d'un champ de vecteurs . . . . . . . 8.3 Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Théorème de Stokes . . . . . . . . 8.3.2 Théorème de Green-Ostrogradsky

3

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77 79

83 83 87

89

89 91 92 92 95

1 Généralités 1.1 Calcul vectoriel Le calcul vectoriel ou l'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs. Son importance provient de son utilisation en physique et dans les sciences de l'ingénieur. Dans cette partie, on suppose n > 1

1.1.1 Grandeur scalaire : fonction, champ scalaire Une grandeur physique scalaire est dénie en tout point de l'espace au moyen d'un nombre indépendamment de toute direction.

Dénition: Fonction scalaire Soit A ⊆ Rn , on appelle fonction scalaire ou champ scalaire sur A, toute application de A dans R :

Exemples

f:

A → R (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , x2 , . . . , xn ).

:

1.

f:

2.

R3 → R (x, y, z) 7→ f (x, y, z) = x3 + xey − sin(y − z) g : R∗+ × R∗ → R (x, y)

7→ g(x, y) = ln(x) +

1 y2

Remarque: Le temps, la masse, la pression, l'énergie cinétique, la température, le volume, la charge électrique sont des grandeurs scalaires. On peut les additionner, soustraire, multiplier, les diviser,...

1.1.2 Grandeur vectorielle : champ vectoriel Dénition: Champ vectoriel Soit A ⊆ Rn . On appelle champ vectoriel toute application de A dans Rm , (m > 1) : ~ : V

A → Rm (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (V1 (x1 , x2 , . . . , xn ), V2 (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , Vm (x1 , x2 , . . . , xn ))

avec pour tout i ∈ {1, . . . , m}, Vi des fonctions scalaires.

4

Exemples

:

1.

2.

~ : V

~ : U

R3 → R2 (x, y, z) 7→ (x + y, y − z)

R2 → R4 (x, y) 7→ (x, xy, sin(x + y), 1 − x)

Remarque: Le champ électrique, la vitesse d'un mobile, son accélération, la force agissant sur un mobile, la variation de température ou de pression sont des grandeurs vectorielles.

1.1.3 Composante d'un vecteur On considère un espace E à trois dimensions muni d'un repère orthonormé R = (O,~i, ~j, ~k) où O est un point de l'espace (origine du repère) et (~i, ~j, ~k) une base orthonormée de E , autrement dit, ~i, ~j, ~k sont des vecteurs unitaires, linéairement indépendants et perpendiculaires entre eux.

Dénition: Composante d'un vecteur Pour tout vecteur ~u de E , il existe un unique triplet (α, β, γ) ∈ R3 tel que :

~u = α~i + β~j + γ~k. Les réels α, β , et γ sont appelés

composantes ou coordonnées de ~u dans la base (~i, ~j, ~k).

Remarque: On déduit que : Pour tout point A de E , il existe un unique triplet (x, y, z) ∈ R3 tel que −→ OA = x~i + y~j + z~k . Les réels x, y , et z sont appelés coordonnées de A dans le repère (O,~i, ~j, ~k).

1.1.4 Trièdre

Figure 1  Trièdre direct 5

Par convention, un trièdre direct est construit sur la base de 3 vecteurs unitaires ~i, ~j, ~k en dirigeant ~i selon l'index, ~j selon le majeur et ~k selon le pouce de la main droite (Figure 1) .

Remarque: On peut passer d'un trièdre direct vers un autre trièdre direct moyennant des rotations autour d'un axe quelconque. Il est impossible de passer d'un trièdre direct vers un trièdre indirect à travers des rotations physiques. En eet, pour passer d'un trièdre direct vers un trièdre indirect on doit inverser la direction d'un des axes sans changer les autres. C'est une opération dite non-physique !

1.1.5 Module et direction d'un vecteur Une grandeur physique vectorielle est dénie par : 1. sa longueur (module, norme) 2. sa direction (droite portant le vecteur) 3. son sens de parcourir la direction

Dénition: Module, Norme Le module, la norme (dite euclidienne) ou la longueur d'un vecteur ~u = α~i + β~j + γ~k est donné par :

k~uk =

p α2 + β 2 + γ 2 .

Autrement dit, si (~i, ~j, ~k) est la base canonique de E , la norme est une application de E à valeurs dans R+ dénie par :

k·k: E → R p+ (α, β, γ) 7→ α2 + β 2 + γ 2 Un vecteur est dit

unitaire s'il est de norme 1.

Dénition: Direction Le vecteur unitaire ~v indiquant la donné par :

~v =

direction (et le sens) d'un vecteur ~u = α~i + β~j + γ~k est

~u α β γ ~k ~i + p ~j + p =p k~uk α2 + β 2 + γ 2 α2 + β 2 + γ 2 α2 + β 2 + γ 2

tel que ~u = k~uk ~v . 6

1.1.6 Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte Dénition: Produit scalaire 1. Avec les coordonnées des vecteurs Soit ~u et ~v deux vecteurs de E tels que ~u = α1~i + β1~j + γ1~k et ~v = α2~i + β2~j + γ2~k . Alors le produit scalaire de ~u par ~v est le scalaire donné par :

~u · ~v = α1 α2 + β1 β2 + γ1 γ2 . 2. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls de E . Alors le produit scalaire donné par : ~u · ~v = k~uk k~v k cos(θ),

scalaire de ~u par ~v est le

où θ ∈ [0, π] est le plus petit angle entre ~u et ~v .

Remarque: k~v k cos(θ) représente la valeur du projeté de ~v sur ~u.

Figure 2  M K = k~vk cos(θ)

Remarques: ˆ Le produit scalaire est bilinéaire symétrique. Autrement dit, pour tous réels λ1 et λ2 , pour tous vecteurs ~u, ~u1 , ~u2 , ~v , ~v1 , ~v2 :

~u · (λ1~v1 + λ2~v2 ) = λ1 ~u · ~v1 + λ2 ~u · ~v2 (λ1 ~u1 + λ2 ~u2 ) · ~v = λ1 ~u1 · ~v + λ2 ~u2 · ~v ~u · ~v = ~v · ~u ˆ Pour tout vecteur ~u,

k~uk2 = ~u · ~u.

7

Dénition: Orthogonalité Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. En physique, chaque vecteur représente une grandeur physique et sa valeur (la norme du Leur produit scalaire représente une autre grandeur physique, dont la valeur a une autre unité.

vecteur) a donc une unité. Exemple

: Le produit scalaire d'un vecteur-force et d'un vecteur déplacement est un travail :

−−→ WAB (F~ ) = F~ · AB avec ˆ F~ : Vecteur-force dont la valeur est en Newton (N) −−→ ˆ AB : Vecteur-déplacement dont la valeur est en mètre (m) ˆ WAB (F~ ) : Travail en N.m (joule)

8

Dénition: Produit vectoriel 1. Avec les coordonnées des vecteurs Soit ~u et ~v deux vecteurs de E tels que ~u = α1~i + β1~j + γ1~k et ~v = α2~i + β2~j + γ2~k . Alors le produit vectoriel de ~u par ~v est le vecteur dont les composantes dans la base orthonormée (~i, ~j, ~k) sont :



       α1 α2 β1 γ2 − γ1 β2 β1 γ2 − γ1 β2 ~u ∧ ~v =  β1  ∧  β2  = -(α1 γ2 − γ1 α2 ) =  α2 γ1 − γ2 α1  γ1 γ2 α1 β 2 − β 1 α2 α1 β2 − β1 α2

2. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls de E . Alors le produit vectoriel de ~u et ~v est le vecteur perpendiculaire au plan contenant ~u et ~v, déni par :

~u ∧ ~v = k~uk k~v k sin(θ) w, ~ où θ ∈ [0, π] est le plus petit angle entre ~u et ~v et w ~ est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant les deux vecteurs ~u et ~v (Figure 3).

Figure 3  Produit vectoriel ~u ∧ ~v

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Remarques: ˆ Le vecteur résultant d'un produit vectoriel peut-être obtenu par la technique du déterminant : ~i ~j ~k β1 γ1 α1 γ1 α1 β1 ~k ~ ~ ~u ∧ ~v = α1 β1 γ1 = + i − j + β 2 γ2 α2 γ2 α2 β2 α2 β2 γ2 ˆ Le produit vectoriel est bilinéaire antisymétrique. Autrement dit, pour tous réels λ1 et λ2 , pour tous vecteurs ~u, ~u1 , ~u2 , ~v , ~v1 , ~v2 :

~u ∧ (λ1~v1 + λ2~v2 ) = λ1 ~u ∧ ~v1 + λ2 ~u ∧ ~v2 (λ1 ~u1 + λ2 ~u2 ) ∧ ~v = λ1 ~u1 ∧ ~v + λ2 ~u2 ∧ ~v ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u ˆ Deux vecteurs sont

colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

Proposition: Si θ est le plus petit angle entre deux vecteurs ~u et ~v , alors :

k~u ∧ ~v k = k~uk k~v k | sin(θ)|, est une mesure de surface délimitée par ~u et ~v .

Exemples

:

1. L'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs non colinéaires ~u et ~v est égale à la norme de leur produit vectoriel. 2. L'aire d'un triangle (ABC) est égale à : Aire(ABC) =



1

−−→ −→ 1 −−→ −−→ 1 −→ −−→

AB ∧ AC = BC ∧ BA = CA ∧ CB 2 2 2

Dénition: Produit mixte Soit ~u, ~v et w ~ trois vecteurs de E . Le

produit mixte de ~u, ~v, w~ est donné par le scalaire V = (~u ∧ ~v ) · w ~

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:

Remarques: ˆ Le produit mixte est invariant par permutation circulaire, autrement dit :

(~u ∧ ~v ) · w ~ = (w ~ ∧ ~u) · ~v = (~v ∧ w) ~ · ~u ˆ Le produit mixte est antisymétrique, c'est-à-dire qu'il est multiplié par -1 lorsque l'on échange deux vecteurs.

Dénition: Double produit vectoriel Soit ~u, ~v et w ~ trois vecteurs de E . Le double produit déni par : ~ = ~u ∧ (~v ∧ w) D ~

Formule de Gibbs :

vectoriel de ~u, ~v, w~ est le vecteur

~ = (~u · w)~ D ~ v − (~u · ~v )w ~

1.2 Systèmes de coordonnées Dans cette partie, on considère un espace E muni d'un repère orthonormé R = (O, ~ex , ~ey , ~ez ) où O est un point de l'espace (origine du repère) et (~ex , ~ey , ~ez ) une base orthonormée directe de E , autrement dit : ˆ k~ex k = k~ey k = k~ez k = 1 (vecteurs

unitaires ) ˆ ∀i 6= j, ~ei · ~ej = 0 (vecteurs orthogonaux deux à deux ) ˆ ~ex ∧ ~ey = ~ez (trièdre direct ).

1.2.1 Systèmes de coordonnées cartésiennes Dénition: Coordonnées cartésiennes

Étant donné un point M de l'espace E , on appelle système de M par rapport au repère R, tout triplet (x, y, z) ∈ R3 tel que :

coordonnées cartésiennes de

−−→ OM = x ~ex + y ~ey + z ~ez −−→ Le vecteur OM est appelé siennes de M .

vecteur position 11

et les réels x, y, z les

(1)

coordonnées carté-

−→ Figure 4  Coordonnées cartésiennes (x, y, z) : − OM = x~ex + y~ey + z~ez . Le système de coordonnées cartésiennes est utile dans l'étude de mouvement rectiligne. Il existe des situations physiques (rotations en mécanique, calcul du champ électrique en électrostatique, magnétostatique, mécanique des uides,. . . ) où l'utilisation de ce système s'avère inutilement complexe. Il a fallu s'intéresser à d'autres systèmes de coordonnées an de faciliter l'étude de ces situations. Dans ce qui suit on abordera deux autres systèmes de coordonnées, à savoir : les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.

1.2.2 Systèmes de coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques sont dénies à partir d'un repère cartésien Oxyz dont l'axe Oz est privilégié. Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y, z). On dénit : ˆ H la projection de M sur le plan xOy −−→ ˆ r = kOHk la distance de M à l'axe Oz

−−→ ˆ θ l'angle entre l'axe Ox et l'axe correspondant à la projection de M sur xOy : θ = (~ex , OH) −−→ ˆ z la hauteur au dessus du plan xOy : z = OM · ~ez

avec

r ∈ [0, +∞[,

θ ∈ [0, 2π],

z∈R

Dénissons trois vecteurs unitaires ~er , ~eθ et ~ez , orthogonaux deux à deux, dirigés dans le sens de la variation des coordonnées (voir gure 5) tels que :

~er ∧ ~eθ = ~ez

;

~eθ ∧ ~ez = ~er

;

~ez ∧ ~er = ~eθ

Alors (~er , ~eθ , ~ez ) est une base orthonormée directe et (M, ~er , ~eθ , ~ez ) est un repère orthonormé directe.

12

−→ Figure 5  Coordonnées cylindriques (r, θ, z) : − OM = r ~er + z ~ez .

Dénition: Coordonnées cylindriques Étant donné un point M de l'espace E , on appelle système de par rapport au repère R, tout triplet (r, θ, z) ∈ R3 tel que :

−−→ OM = r ~er + z ~ez Les réels r, θ, z sont les

coordonnées cylindriques de M .

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coordonnées cylindriques de M (2)

Remarques: On peut exprimer : ˆ les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindriques :

−−→ x = OH · ~ex = r cos θ −−→ y = OH · ~ey = r sin θ z=z Pour exprimer les coordonnées x et y du point M , considérons sa projection H dans le plan xOy . Ainsi, la gure 6 montre que la coordonnée x selon Ox et la coordonnée y selon Oy du point M sont les projetés orthogonaux du point H sur les axes Ox et Oy respectivement. ˆ les vecteurs (~er , ~eθ , ~ez ) en fonction des vecteurs (~ex , ~ey , ~ez ) :

~er = cos θ ~ex + sin θ ~ey ~eθ = − sin θ ~ex + cos θ ~ey ~ez = ~ez Notons que le vecteur ~ez est identique en coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques et la matrice P donnée par :   cos θ − sin θ 0 P =  sin θ cos θ 0 0 0 1 est la matrice de passage de la base (~ex , ~ey , ~ez ) à la base (~er , ~eθ , ~ez ). On remarquera que P est inversible (puisque det (P ) = 1 6= 0) et P −1 , matrice de passage de la base (~er , ~eθ , ~ez ) à la base (~ex , ~ey , ~ez ), est donnée par :   cos θ sin θ 0 P −1 = − sin θ cos θ 0 0 0 1

Figure 6  Coordonnées cylindriques dans le plan xOy. Cherchons à présent à exprimer un vecteur en coordonnées cylindriques en un vecteur en ~ dans la base (~er , ~eθ , ~ez ). coordonnées cartésiennes. Soit (Vr , Vθ , Vz ) les coordonnées d'un vecteur V 14

Alors :

~ = Vr ~er + Vθ ~eθ + Vz ~ez V = Vr (cos θ ~ex + sin θ ~ey ) + Vθ (− sin θ ~ex + cos θ ~ey ) + Vz ~ez = (Vr cos θ − Vθ sin θ) ~ex + (Vr sin θ + Vθ cos θ) ~ey + Vz ~ez ~ dans la base (~ex , ~ey , ~ez ), on a par identicaEn notant (Vx , Vy , Vz ) les coordonnées du vecteur V tion (et en se souvenant qu'un vecteur se décompose de façon unique dans une base donnée) : Vx = Vr cos θ − Vθ sin θ Vy = Vr sin θ + Vθ cos θ Vz = Vz ce qui s'écrit encore sous forme matricielle :      Vx Vr cos θ − sin θ 0 Vy  =  sin θ cos θ 0 Vθ  Vz Vz 0 0 1 {z } | =P

1.2.3 Systèmes de coordonnées sphériques Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y, z). On dénit : ˆ H la projection de M sur le plan xOy −−→ ˆ r = kOM k la distance de M à l'origine −−→ −−→ ˆ θ l'angle entre l'axe Oz et le vecteur OM : θ = (~ez , OM ) ˆ ϕ l'angle entre l'axe Ox et l'axe correspondant à la projection de M sur xOy : −−→ ϕ = (~ex , OH) avec r ∈ [0, +∞[, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π[ Dénissons trois vecteurs unitaires ~er , ~eθ et ~eϕ , orthogonaux deux à deux, dirigés dans le sens de la variation des coordonnées (voir gure 7) tels que :

~er ∧ ~eθ = ~eϕ

;

~eθ ∧ ~eϕ = ~er

;

~eϕ ∧ ~er = ~eθ

Alors (~er , ~eθ , ~eϕ ) est une base orthonormée directe et (M, ~er , ~eθ , ~eϕ ) est un repère orthonormé directe.

Dénition: Coordonnées sphériques Étant donné un point M de l'espace E , on appelle système de par rapport au repère R, tout triplet (r, θ, ϕ) ∈ R3 tel que :

−−→ OM = r ~er . Les réels r, θ, ϕ sont les

coordonnées sphériques de M . 15

coordonnées sphériques de M (3)

−→ Figure 7  Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) : − OM = r ~er .

Remarques:

16

On peut exprimer : ˆ les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques :

x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ ˆ les vecteurs (~er , ~eθ , ~eϕ ) en fonction des vecteurs (~ex , ~ey , ~ez ) :

~er = sin(θ) cos(ϕ) ~ex + sin(θ) sin(ϕ) ~ey + cos(θ)~ez ~eθ = cos(θ) cos(ϕ) ~ex + cos(θ) sin(ϕ) ~ey − sin(θ)~ez ~eϕ = − sin(ϕ)~ex + cos(ϕ)~ey Notons que le vecteur unitaire ~eϕ est identique vecteur unitaire ~eθ des coordonnées cylindriques et la matrice P donnée par :

  sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ P =  sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ  cos θ − sin θ 0 est la matrice de passage de la base (~ex , ~ey , ~ez ) à la base (~er , ~eθ , ~eϕ ). On remarquera que P est inversible et P −1 , matrice de passage est de la base (~er , ~eθ , ~eϕ ) à la base (~ex , ~ey , ~ez ), est donnée par :   sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ P −1 = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ − sin ϕ cos ϕ 0 ˆ un vecteur en coordonnées sphériques en un vecteur en coordonnées cartésiennes : ~ dans la base (~er , ~eθ , ~eϕ ) et En notant (Vr , Vθ , Vϕ ) les coordonnées d'un vecteur V ~ dans la base (~ex , ~ey , ~ez ) on a (en se sou(Vx , Vy , Vz ) les coordonnées du vecteur V venant qu'un vecteur se décompose de façon unique dans une base donnée) :     Vx Vr Vy  = P ×  Vθ  Vz Vϕ

Exemple

~ = 3 cos(θ)~er − 2r~eθ + 5~ez exprimé en coordonnées cylindriques. : Soit le vecteur V Exprimons ce vecteur en coordonnées cartésiennes. On sait que

  x = r cos θ y = r sin θ  z=z

17

On en déduit :

r=

p x2 + y 2 ;

x ; cos(θ) = p x2 + y 2

sin(θ) = p

y x2 + y 2

ˆ Première méthode : En utilisant le fait que   ~er = cos θ ~ex + sin θ ~ey ~e = − sin θ ~ex + cos θ ~ey  θ ~ez = ~ez on a :

~ = 3 cos(θ)(cos θ ~ex + sin θ ~ey ) − 2r(− sin θ ~ex + cos θ ~ey ) + 5~ez V = (3 cos2 (θ) + 2r sin(θ))~ex + (3 cos(θ) sin(θ) − 2r cos(θ))~ey + 5~ez ! ! p p x2 xy y x = 3 2 + 2 x2 + y 2 p ~ex + 3 2 − 2 x2 + y 2 p ~ey + 5~ez x + y2 x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2     3x2 3xy = + 2y ~ex + − 2x ~ey + 5~ez x2 + y 2 x2 + y 2 ˆ Deuxième méthode : Soit P la matrice de passage de la base (~ex , ~ey , ~ez ) à la base ~ dans la base (~ex , ~ey , ~ez ) et Vr , Vθ , Vz (~er , ~eθ , ~ez ). Notons Vx , Vy , Vz les coordonnées de V ~ dans la base (~er , ~eθ , ~ez ) Alors les coordonnées de V   cos θ − sin θ 0 P =  sin θ cos θ 0 0 0 1 et

     Vr Vx cos θ − sin θ 0 Vy  =  sin θ cos θ 0 Vθ  0 0 1 Vz Vz    cos θ − sin θ 0 3 cos(θ) =  sin θ cos θ 0  −2r  0 0 1 5   3 cos2 θ + 2r sin θ = 3 cos θ sin θ − 2r cos θ 5   2 3x + 2y  x2 + y 2   3xy  =  − 2x  2  2 x +y 5     3x2 3xy ~ On en déduit que V = + 2y ~ex + − 2x ~ey + 5~ez . x2 + y 2 x2 + y 2

18

2 Continuité des fonctions à plusieurs variables La notion de continuité pour une fonction de plusieurs variables généralise la notion correspondante dans le cas des fonctions d'une seule variable. Pour rappel, en dimension 1, une fonction est continue en x0 si f (x) s'approche de f (x0 ) lorsque x s'approche de x0 , c'est-à-dire lorsque |x − x0 | devient petit. La notion de continuité est associée à celle de limite, cependant en dimension supérieure, les limites unilatérales (i.e. de la gauche et de la droite) perdent leur sens et sont remplacées par les nombreuses limites directionnelles possibles. En eet, dès que le domaine se situe dans un espace à deux dimensions au moins, les chemins qui mènent à un point donné peuvent suivre divers axes. Ainsi, l'ensemble des points en lesquels une limite peut être considérée, doit être déni en tenant compte de toutes les possibilités d'accès. Pour cela, il faut dénir une notion de proximité, autrement dit dénir la distance entre deux points de Rn en introduisant la notion de norme dans Rn qui généralise la notion de distance dans R.

2.1 Éléments de topologie sur Rn 2.1.1 Normes et distances sur Rn Dénition: Norme Soit E un R-espace vectoriel (on utilisera en général E = Rn , n ≥ 1). On appelle E , toute application k · k : E → R+ vériant : 1. ∀x ∈ E , kxk = 0 ⇒ x = 0 (Séparabilité) 2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E, kλxk = |λ| kxk (Homogénéité) 3. ∀x, y ∈ E , kx + yk ≤ kxk + kyk (Inégalité triangulaire) L'espace (E, k · k) est appelé

espace vectoriel normé.

Proposition: Normes classiques sur Rn Soit x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , n ≥ 1, et p ∈ R tel que p ≥ 1. Alors n X 1. kxk1 = |xi | i=1

2. kxk2 =

n X

!1

2

|xi |2

i=1

3. kxkp =

n X

!1

p

|xi |p

i=1

4. kxk∞ = max |xi | 1≤i≤n

sont des normes sur Rn .

19

norme sur

Remarque: Nous avons déjà rencontré la notion de norme comme application associée à un produit scalaire (cf paragraphe 1.1.6). Plus précisément : Pour ~u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn ,

√ k~uk = ~u · ~u =

n X

!1 2

u2i

i=1

On retrouve ainsi la norme k.k2 appelée

norme euclidienne sur Rn .

Exercice : Dans R2 , dessinez pour i = 1, i = 2, i = ∞ les ensembles

Di = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , k(x1 , x2 )ki ≤ 1}.

Dénition: Distance Soit E un espace vectoriel normé. On appelle R+ vériant :

distance sur E , toute application d : E × E →

1. ∀x, y ∈ E , d(x, y) = 0 ⇒ x = y (Séparabilité) 2. ∀x, y ∈ E , d(x, y) = d(y, x) (Symétrie) 3. ∀x, y, z ∈ E , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). L'espace (E, d) est appelé

espace métrique.

Remarque: Un espace normé (E, k · k) dénit un espace métrique (E, d) en posant :

d(x, y) = kx − yk.

2.1.2 Boules, Voisinages, Ouverts et fermés Dans cette partie, on se place sur Rn muni d'une norme k · k.

Dénition: Boule ouverte, boule fermée Soit x0 ∈ Rn et r > 0. 1. On appelle

boule ouverte de centre x0 et de rayon r l'ensemble B(x0 , r) = {x ∈ Rn , kx − x0 k < r}.

2. On appelle

boule fermée de centre x0 et de rayon r l'ensemble B(x0 , r) = {x ∈ Rn , kx − x0 k ≤ r}.

20

Dénition: Voisinage Soit x0 ∈ Rn et soit V une partie de Rn . On dit que V est un existe une boule ouverte B(x0 , r) inclus dans V .

voisinage du point x0

Dénition: Ouvert, fermé Soit Ω une partie de Rn . On dit que : 1. Ω est un

ouvert de Rn si Ω est un voisinage de chacun de ses points, ie ∀x ∈ Ω, ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ Ω.

2. Ω est un

Exemple

fermé de Rn si son complémentaire est un ouvert.

:

1. L'intervalle Ω =] − 1, 1[ est un ouvert de R. 2. L'intervalle Ω =]0, 1] n'est pas ouvert de R. r r En eet, pour r > 0, le point y = 1 + ∈ B(1, r) car |y − 1| = < r mais y ∈]0, / 1] 2 2 3. L'intervalle [0, 1] est fermé. 4. Une boule ouverte est un ouvert. 5. Une boule fermée est un fermé.

2.2 Continuité Dans cette partie, on se place sur Rn muni d'une norme k · k.

21

s'il

Dénition: Continuité des fonctions à plusieurs variables Soit D une partie de Rn et soit une fonction f ∈ F(D, R) (l'ensemble des fonctions de D dans R). On dit que : 1. f est

continue en un point a ∈ D si :

∀ > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ D, kx − ak < r ⇒ |f (x) − f (a)| < . Ce qui est équivalent à :

∀ > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ D ∩ B(a, r), |f (x) − f (a)| < .

Dans ce cas, on note lim f (x) = f (a). x→a

2. f est continue sur D si elle est continue en tout point de D. En particulier, une fonction f dénie sur R2 à valeurs dans R est dite (a, b) ∈ R2 si

continue en un point

∀ > 0, ∃r > 0, ∀(x, y) ∈ R2 , k(x, y) − (a, b)k < r ⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < . Autrement dit,

POUR TOUT couple (x, y) qui tend vers (a, b), lim

f (x, y) = f (a, b)

(x,y)→(a,b)

⇔

lim

|f (x, y) − f (a, b)| = 0.

(x,y)→(a,b)

La notion de limite est indépendante de la norme choisie dans Rn . Autrement dit, la formulation de la continuité d'une fonction peut s'écrire indiéremment avec l'une quelconque des normes k · k1 , k · k2 ,k · k∞ . (cf paragraphe 2.1.1).

Interprétation : Pour x, a ∈ D ⊂ Rn , |f (x) − f (a)| représente la distance entre les points f (x) et f (a). Donc dire que

lim f (x) = f (a) ⇔ lim |f (x) − f (a)| = 0

x→a

x→a

signie que lorsque x est proche de a en restant dans D, f (x) est proche de f (a). Lorsque l'on dit que x s'approche de a au sens de la norme Rn , le chemin par lequel x s'approche de a n'est pas pris en compte. Par exemple, en dimension 2, un point (x, y) peut s'approcher de (0, 0) d'une innité de façon : ˆ le long de l'axe horizontal, c'est-à-dire y = 0 et x tend vers 0, 22

ˆ le long de l'axe vertical, c'est-à-dire x = 0 et y tend vers 0, ˆ le long de la diagonale, c'est-à-dire x = y et tend vers 0, ˆ le long d'une courbe quelconque, par exemple la parabole y = x2 .

Méthode (Continuité d'une fonction en un point) R2

: Pour montrer qu'une fonction f de à valeurs dans R est continue en un point (a, b), il sut de trouver une fonction g telle que : 1. Pour tout (x, y) 6= (a, b), |f (x, y) − f (a, b)| ≤ g(x, y) 2.

Exemple

lim (x,y)→(a,b)

g(x, y) = 0.

: Soit f : R2 → R la fonction dénie par :

 x2 + xy  p f (x, y) = x2 + y 2  0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

ˆ f est continue sur R2 \ {(0, 0)} comme quotient de fonctions continues. ˆ En (0, 0). Première méthode :

x2 + xy |f (x, y) − f (0, 0)| = p 2 2 x +y x2 xy ≤ p + p 2 2 2 2 x +y x +y Or puisque y 2 ≥ 0,

x2 + y 2 x2 Donc p ≤ p 2 2 x +y x2 + y 2

x2 ≤ x2 + y 2 p = x2 + y 2 .

Maintenant on a : 1

1

|x| = |x2 | 2 ≤ (x2 + y 2 ) 2

⇒

x p ≤ 1. 2 2 x +y

xy x D'où p = p |y| ≤ |y| 2 2 2 2 x +y x +y On en déduit pour tout (x, y) 6= (0, 0) :

|f (x, y) − f (0, 0)| ≤

p x2 + y 2 + |y|

−→ (x,y)→(0,0)

Donc f est continue en (0, 0).

Deuxième méthode :

p √ x2 + y 2 ≥ x2 = |x| 23

0.

Donc

|f (x, y) − f (0, 0)| ≤

x2 + |xy| = |x| + |y| −→ 0. |x| (x,y)→(0,0)

Au voisinage de 0, |x| ≥ x2 !!!

Méthode (Non continuité d'une fonction) : Dire qu'une fonction f dénie sur R2 est continue en un point (a, b) signie que pour tout couple (x, y) qui tend vers (a, b), lim f (x, y) = f (a, b). (x,y)→(a,b) Donc pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point (a, b), il sut de trouver UN couple (x, y) qui tend vers (a, b) mais tel que f (x, y) ne tend pas vers f (a, b). Exemple

: Soit f : R2 → R la fonction dénie par :

( f (x, y) =

x2

xy + y2 0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

ˆ f est continue sur R2 \ {(0, 0)} comme quotient de fonctions continues. ˆ Cependant, f n'est pas continue en (0, 0). En eet, considérons le couple (x, x). On a (x, x) → (0, 0) mais x2 1 1 f (x, x) = 2 = −→ 6= f (0, 0). 2x 2 x→0 2

Lorsque n = 2, il s'avère utile de passer aux coordonnées polaires pour ramener le calcul de la limite d'une fonction de deux variables à celui de la limite d'une fonction d'une seule variable.

Proposition: Continuité d'une fonction en un point de R2 : passage en coordonnées polaires Soit f une fonction de D ⊂ R2 dans R. Soit a = (a1 , a2 ) ∈ D. Alors f est continue en a si et seulement si il existe une fonction  : R+ → R+ telle que : 1. Pour tout r > 0 et θ ∈ [0, 2π[, |f (a1 + r cos(θ), a2 + r sin(θ)) − f (a1 , a2 )| ≤ (r) 2. lim (r) = 0. r→0

Exemple

: Soit f : R2 → R la fonction dénie par :   x2 y 2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0)

ˆ f est continue sur R2 \ {(0, 0)} comme quotient de fonctions continues. 24

ˆ En (0, 0). Pour r > 0 et θ ∈ [0, 2π[

|f (r cos(θ), r sin(θ))| =

r4 | cos2 (θ)|| sin2 (θ)| ≤ r2 −→ 0 r→0 r2

Ce qui prouve que f est continue en (0, 0).

Proposition: Continuité d'une fonction à valeurs dans Rn , n ≥ 2 Soit A est une partie de Rp et f ∈ F(A, Rn ) dénie par :

f : (x1 , . . . , xp ) 7→ (f1 (x1 , . . . , xp ), . . . , fn (x1 , . . . , xp )). Soit a ∈ Rp . Il y équivalence entre : 1. f est continue en a. 2. Les applications f1 , . . . , fn sont continues en a.

Exemple

: L'application

f:

R2

→  R2  x 2 (x, y) 7→ x + xy, 2 x + 2y 2 + 1

est continue sur R2 car : ˆ (x, y) 7→ x2 + xy est continue comme somme de fonctions continues. x ˆ (x, y) 7→ 2 est continue comme quotient de fonctions continues. x + 2y 2 + 1

Exercice d'application : Étudier la continuité sur R2 des fonctions suivantes :   1 1. Pour (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = (x + y) sin x2 +y ; f (0, 0) = 0. 2 2. Pour (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) =

x2 − y 2 ; f (0, 0) = 0. x2 + y 2

3. Pour (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) =

x2 − y 2 ; f (0, 0) = 1. x2 + y 2

25

3 Notion de diérentielle 3.1 Dérivées partielles premières ˆ Pour une fonction f : R → R à une variable, la dérivée lorsqu'elle existe, est liée aux variations de la fonction tandis que la variable parcourt l'axe des abscisses. Pour rappel, f (x) − f (a) on dit qu'une fonction est dérivable en a si la fonction , représentant le taux x−a d'accroissement de f en a, admet une limite nie lorsque x tend vers a. Dans ce cas, cette limite est appelée dérivée de f en a et est notée f 0 (a) :

f 0 (a) = lim

x→a

f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim . h→0 x−a h df (a), représente le dx à la courbe Cf au point d'abscisse a d'équation

Interprétation graphique : f 0 (a), que l'on note également

coecient directeur de la tangente y = f (a) + f 0 (a)(x − a).

ˆ Pour une fonction f : R2 → R, dont le graphe est une surface de R3 , la situation est très diérente. En eet, l'axe réel n'ore que deux types de mouvements possibles : de gauche à droite et de droite à gauche tandis que le plan R2 possède une innité de directions. Il peut donc s'avérer intéressant d'étudier comment une fonction f : R2 → R évolue lorsque la variable suit l'une ou l'autre direction du plan. En thermodynamique, les fonctions dépendent de plusieurs variables. Par exemple, pour une mole de gaz à l'équilibre, la pression dépend du volume et de la température : (V, T ) 7→ P (V, T ). Une façon simple d'étudier ces objets est de faire varier séparément les deux variables. Pour étudier P en fonction de V et T , on peut par exemple faire varier T en bloquant V (évolution isochore) ou faire varier V en bloquant T (évolution isotherme). On introduit alors la notion mathématique de dérivée partielle.

26

3.1.1 Dérivées partielles premières : fonctions de 2 variables Dénition: Dérivées partielles premières en un point particulier : fonctions de deux variables Soient U un ouvert de R2 , f ∈ F(U, R) qui à (x, y) 7→ f (x, y) et (a, b) un point de U . ˆ Si l'application

t 7→

f (a + t, b) − f (a, b) t

cette limite est appelée

point

admet une

dérivée partielle de

f

∂f (a, b), et est notée (a, b) : ∂x

limite nie en 0,

par rapport à la variable x, au

∂f f (a + t, b) − f (a, b) (a, b) = lim t→0 ∂x t ˆ Si l'application

t 7→

f (a, b + t) − f (a, b) t

cette limite est appelée

point

admet une

dérivée partielle de

∂f (a, b), et est notée (a, b) : ∂y

f

limite nie en 0,

par rapport à la variable y, au

∂f f (a, b + t) − f (a, b) (a, b) = lim t→0 ∂y t On utilise la notation ∂ et non d pour bien rappeler que f n'est pas fonction que d'une seule variable.

Remarque: Les symboles ∂x et ∂y sont purement formels. Ils proviennent du fait qu'une fonction de deux variables est souvent notée (x, y) 7→ f (x, y), x désignant la première variable et y la seconde.

Interprétation : f (x0 + t, y0 ) − f (x0 , y0 ) revient à la dérivabilité en x0 de t→0 t ∂f l'application x 7→ f (x, y0 ). La dérivée partielle représente donc la pente de la courbe ∂x x 7→ f (x, y0 ) en tout point x. La tangente à la courbe au point (x0 , y0 ) est alors donnée par : ∂f f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(x − x0 ). ∂x

ˆ Pour y0 xé, l'existence de lim

Géométriquement, la courbe x 7→ f (x, y0 ) représente l'intersection de la surface dénit par f avec le plan y = y0 . 27

f (x0 , y0 + t) − f (x0 , y0 ) revient à la dérivabilité en y0 de t→0 t ∂f l'application y 7→ f (x0 , y). La dérivée partielle représente donc la pente de la courbe ∂y y 7→ f (x0 , y) en tout point y . La tangente à la courbe au point (x0 , y0 ) est alors donnée par : ∂f f (x0 , y) = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ). ∂y

ˆ Pour x0 xé, l'existence de lim

Géométriquement, la courbe y 7→ f (x0 , y) représente l'intersection de la surface dénit par f avec le plan x = x0 . ˆ Le plan tangent au point (x0 , y0 ) déterminé par ses deux tangentes est donnée par :

f (x, y) = f (x0 , y0 ) +

∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ). ∂x ∂y 2

2

Par exemple, la surface représentée par la fonction f (x, y) = e−(x +y ) est représentée ci-dessous avec le plan tangent au point (x0 , y0 ) = (0.3, 0.1) donné par :

f (x, y) ∼ 0.905 − 0.543(x − 0.3) − 0.181(y − 0.1) = −0.543x − 0.181y + 1.086.

∂

La dénition de la dérivée partielle repose sur l'accroissement d'une seule ∂∗ variable. On dérive par rapport à une variable, les autres restent xes.

28

Remarque: En physique, on adopte les notations suivantes :   . ∂f ∂f ˆ pour dérivée de f par rapport à x, à y constant ou encore f x ; fx0 ; ∂x y ∂x y   . ∂f ∂f ˆ pour dérivée de f par rapport à y , à x constant ou encore f y ; fy0 ; ∂y x ∂y x

Exemple

: On cherche les pentes des sections de la surface z = f (x, y) = 3x2 + 4y 2 − 6 obtenues par les plans passant par le point (1,1,1) et parallèles aux plans xOz et yOz . ˆ Le plan passant par le point (1,1,1) et parallèle au plan yOz est le plan x = 1. La courbe représentant l'intersection de ce plan avec la surface est alors la courbe y 7→ f (1, y). La ∂f pente est alors donnée par (1, 1). Or ∂y

∂f ∂f (x, y) = 8y ⇒ (1, 1) = 8. ∂y ∂y ˆ Le plan passant par le point (1,1,1) et parallèle au plan xOz est le plan y = 1. La courbe représentant l'intersection de ce plan avec la surface est alors la courbe x → 7 f (x, 1). La ∂f pente est alors donnée par (1, 1). Or ∂x

∂f ∂f (x, y) = 6x ⇒ (1, 1) = 6. ∂x ∂x

3.1.2 Dérivées partielles premières : fonctions à n variables Dénition: Dérivées partielles en un point particulier de Rn : fonctions à n variables Soient U un ouvert de Rn , f ∈ F(U, R) et a = (a1 , . . . , an ) ∈ U . Si t f (a1 , . . . , aj−1 , t, aj+1 , . . . , an ) est dérivable en aj , on appelle dérivée partielle de f rapport à la j ieme composante en a le nombre :

7→

par

f (a + tej ) − f (a) f (a1 , . . . , aj−1 , aj + t, aj+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ) ∂f (a) = lim = lim , t→0 t→0 ∂xj t t où (e1 , . . . , en ) est la base canonique de Rn .

29

Méthode (Calcul des dérivées partielles) : Soit (a, b) ∈ R2

ˆ Pour (x, y) ∈ R2 \{(a, b)}. Pour calculer : ∂f ˆ (x, y) : On xe y et on fait varier x. Autrement dit, on dérive par rapport à la variable ∂x x et on suppose y constant. ˆ

∂f (x, y) : On xe x et on fait varier y . Autrement dit, on dérive par rapport à la variable ∂y y et on suppose x constant.

ˆ Pour (x, y) = (a, b). Pour calculer les dérivées partielles de f en un point particulier, on démontre au préalable l'existence des limites des taux d'accroissement.

Exemples

:

1. Pour tout (x, y) ∈ R2 , on pose f (x, y) = x2 + 2xy . Alors

∂f (x, y) = 2x + 2y, ∂x  2  x y + xy 2 2. f (x, y) = x2 + y 2  0

∂f (x, y) = 2x. ∂y

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

ˆ Pour tout (x, y) 6= (0, 0),

∂f (2xy + y 2 )(x2 + y 2 ) − (x2 y + xy 2 )2x y 2 (y 2 − x2 + 2xy) (x, y) = = 2 2 2 ∂x (x + y ) (x2 + y 2 )2 ∂f (2xy + x2 )(x2 + y 2 ) − (x2 y + xy 2 )2y x2 (x2 − y 2 + 2xy) (x, y) = = ∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

ˆ En (0, 0) :

f (t, 0) − f (0, 0) ∂f ∂f = 0. Donc (0, 0) existe et (0, 0) = 0. t→0 t ∂x ∂x lim lim

t→0

f (0, t) − f (0, 0) ∂f ∂f = 0. Donc (0, 0) existe et (0, 0) = 0. t ∂y ∂y  

  x ln si y = 6 0 ∗ 3. pour (x, y) ∈ R+ × R+ , f (x, y) = y  0 si y = 0

30

ˆ Pour y 6= 0, x ∈ R∗+ ,

1 ∂f 1 y (x, y) = x = , ∂x x y

∂f (x, y) = ∂y

x 1 y2 x = −y . y

−

∂f (x, 0) existe. ∂y x   ln f (x, t) − f (x, 0) t = 1 ln x . = t t t t 1 Donc, en posant le changement de variables U = t f (x, t) − f (x, 0) lim = lim U ln (xU ) = +∞ t→0 U →+∞ t

ˆ Pour x ∈ R∗+ et y = 0, regardons si

On en déduit que

∂f (x, 0) n'existe pas. ∂y

Pour une fonction à une variable, la dérivabilité entraîne la continuité de la fonction. Cependant, pour une fonction à deux variables, l'existence des dérivées partielles en un point n'implique pas la continuité de la fonction en ce point.

Contre-exemple

: Considérons la fonction

( f (x, y) =

x2

xy + y2 0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) : En eet, lim

f (t, 0) − f (0, 0) = 0 donc t

∂f (0, 0) existe et vaut 0 ∂x

lim

f (0, t) − f (0, 0) = 0 donc t

∂f (0, 0) existe et vaut 0 ∂y

t→0

t→0

Cependant, f n'est pas continue en (0, 0). En eet, considérons le couple (x, x). On a (x, x) → (0, 0) mais

f (x, x) =

x2 1 1 = −→ 6= f (0, 0). 2 2x 2 x→0 2

31

Exercice d'application : Déterminer les dérivées partielles premières des fonctions suivantes en tout point de R2 : 1. f (x, y) = x2 + 3xy + y 2 2. g(x, y) = sin(2x + 3y) 3.  2  x − y2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) 4.

 2  x − y2 f (x, y) = x2 + y 2  1

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

3.1.3 Fonctions de classe C 1 Dénition: Fonctions de classe C 1 Une fonction f ∈ F(U, R), avec U un ouvert de Rn , est de classe C 1 si 1. f admet des dérivées partielles en tout point de U 2. Les dérivées partielles de f sont continues sur U . On note C 1 , ou C 1 (U, R), l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur U .

Méthode : Soit f f

de classe C 1

une fonction dénie sur un domaine D.

⇒

f est continue et toutes les dérivées partielles de f sont continues sur D.

Donc pour montrer qu'une fonction n'est pas de classe C 1 , il sut que l'une ne soit pas continue ou que f ne soit pas continue sur D.

Exemple

: On considère la fonction f dénie sur R2 par :

x2 y 2 f (x, y) = x2 + y 2  0  

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

 Étude de la continuité de la fonction f . ˆ f est continue sur R2 \{(0, 0)} comme quotient de fonctions continues ˆ f est continue en (0, 0) : En eet,

x2 y 2 |f (x, y) − f (0, 0)| = 2 ≤ y 2 −→ 0 2 y→0 x +y  Existence et calcul des dérivées partielles en tout point de R2 32

des dérivées partielles

ˆ Pour (x, y) 6= (0, 0)

∂f 2xy 4 (x, y) = 2 ∂x (x + y 2 )2

et

∂f 2yx4 (x, y) = 2 ∂y (x + y 2 )2

ˆ Pour (x, y) = (0, 0)

lim

f (t, 0) − f (0, 0) = 0 donc t→0 t

∂f (0, 0) existe et vaut 0 ∂x

f (0, t) − f (0, 0) = 0 donc t→0 t

∂f (0, 0) existe et vaut 0 ∂y

lim

 Continuité des dérivées partielles ∂f 2xy 4 ∂f ˆ (x, y) − (0, 0) = 2 2 2 ∂x ∂x (x + y ) Or

|x| = Donc

√

x2 ≤

p

x2 + y 2

et y 4 = (y 2 )2 ≤ (x2 + y 2 )2

∂f p ∂f (0, 0) ≤ 2 x2 + y 2 (x, y) − ∂x ∂x

−→

0

(x,y)→(0,0)

∂f est continue en (0, 0). Puisque x et y jouent des rôles ∂x ∂f symétriques, on montre de même que est continue est (0, 0). ∂y  Conclusion : f est de classe C 1 On en déduit que

Exercice d'application : Soit f la fonction dénie sur R2 par   sin(xy) si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = |x| + |y|  0 si (x, y) = (0, 0) 1. Montrer que f est continue sur R2 . 2. f est-elle de classe C 1 sur R2 ?

3.2 Notion de diérentielle ˆ Pour une variable x, la diérentielle de x, notée dx, représente sa variation innitésimale : En notant ∆x la variation de x, dx est dénie par

dx = lim ∆x. ∆x→0

33

Expression de la dérivée partielle : La variation d'une variable z est dénie par : ∆z := (z + t) − z = t. Donc en utilisant cette dénition, les dérivées partielles premières d'une fonction à deux variables f : (x, y) 7→ f (x, y) peuvent se réécrire de la manière suivante :

∂f f (x + ∆x, y) − f (x, y) f (x + dx, y) − f (x, y) = lim = ∂x ∆x→0 ∆x dx ∂f f (x, y + ∆y) − f (x, y) f (x, y + dy) − f (x, y) = lim = ∆y→0 ∂y ∆y dy

ˆ Pour une fonction f : R → R à une variable, la diérentielle de f , notée df , donne une approximation de l'accroissement de la fonction. Elle est donnée par la valeur de la dérivée de f au point x :

df f (x + h) − f (x) (x) = f 0 (x) = lim h→0 dx h Autrement dit

df = f 0 dx.

Le "d" signie "diérentiel" et exprime une diérence quantité.

inniment petite

d'une même

Géométriquement , la notion de dérivée est lié au problème suivant :

On considère la fonction x 7→ f (x) dont le graphe est C . En un point M de C de coordonnées (x; f (x)), on aimerait connaître la pente de la tangente T à C .

Une façon de considérer cette tangente est de la voir comme la position limite d'une droite D passant par M = (x; f (x)) ∈ C et un point voisin M 0 (x + ∆x; f (x + ∆x)) ∈ C lorsque M 0 tend vers M .

34

La pente de la droite D est géométriquement donnée par : diérence des ordonnées f (x + ∆x) − f (x) = . diérence des abscisses ∆x

La pente de la tangente T à C en M est alors obtenue comme limite de la pente de D lorsque M 0 tend vers M , c'est-à-dire lorsque ∆x tend vers 0 :

f (x + ∆x) − f (x) . ∆x→0 ∆x

pente de T = lim

Si l'on note ∆f la variation de f de M à M 0 , on a alors :

∆f df := . ∆x→0 ∆x dx

pente de T = lim

ˆ Pour une fonction f : R2 → R à deux variables, l'accroissement de f est donnée par

∆f = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y). Or

∆f = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) + f (x, y + ∆y) − f (x, y)     f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) f (x, y + ∆y) − f (x, y) ∆x + ∆y = ∆x ∆y

La diérentielle df d'une fonction f représentant une approximation innitésimale de l'accroissement de f , on a pour des accroissements inniment petits de x et y ,     f (x + dx, y + dy) − f (x, y + dy) f (x, y + dy) − f (x, y) df = dx + dy. dx dy

f (x + dx, y + dy) − f (x, y + dy) ne donne que la variation en x de la fonction dx ∂f . f en ayant y constant sur sa variation il s'agit de la dérivée partielle ∂x

ˆ Le terme

35

f (x, y + dy) − f (x, y) ne donne que la variation en y de la fonction f en dy ∂f ayant x constant il s'agit de la dérivée partielle . ∂y

ˆ Le terme

On peut alors dénir la diérentielle d'une fonction à plusieurs variables de la manière suivante :

Dénition: Diérentielle d'une fonction de deux variables ˆ Soient U un ouvert de R2 et f ∈ F(U, R) qui à (x, y) 7→ f (x, y). On appelle tielle de f l'application dénie par :

df =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

ˆ Pour (a, b) ∈ U , df(a,b) est une application linéaire vecteur (h, k) ∈ R2 , df(a,b) est dénie par :

df(a,b) (h, k) =

diéren-

continue de R2 dans R et pour tout

∂f ∂f (a, b) h + (a, b) k. ∂x ∂y

Dénition: Forme diérentielle exacte ˆ Soient U un ouvert de R2 . On appelle forme diérentielle sur U , une expression de la forme : ω(x, y) = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. En physique, le symbole δ est utilisé pour les formes diérentielles. ˆ On dit qu'une forme diérentielle est classe C 1 telle que

exacte, s'il existe une fonction f

: U → R de

ω = df. En physique, on parle de

diérentielle totale exacte (ou DTE).

Remarque: Si la forme diérentielle n'est pas exacte, on parle de diérentielle DTI). C'est le cas, par exemple, du travail thermodynamique W :

totale inexacte

(ou

δW = −P dV + 0dP. An de distinguer les formes diérentielles, on utilise le symbole d pour diérentielle totale exacte et δ pour les autres formes diérentielles. On verra dans la suite du cours, comment passer d'une DTI à une DTE. 36

Exemples

:

1. f (x, y) = x3 y + x2 y 2 + xy 3 On a : ∂f (x, y) = 3x2 y + 2xy 2 + y 3 ∂x

et

∂f (x, y) = x3 + 2x2 y + 3xy 2 . ∂y

On en déduit que pour tout (x, y) ∈ R2 :



df(x,y) = 3x2 y + 2xy 2 + y 3 dx + x3 + 2x2 y + 3xy 2 dy

2. f (x, y) = x sin(y) − y sin(x) On a : ∂f (x, y) = sin(y) − y cos(x) et ∂x

∂f (x, y) = x cos(y) − sin(x). ∂y

On en déduit que pour tout (x, y) ∈ R2 :

df(x,y) = (sin(y) − y cos(x)) dx + (x cos(y) − sin(x)) dy

3. On considère la fonction dénie sur R2 par :  3  p y f (x, y) = x2 + y 4  0 On a :

lim

t→0

Donc

f (t, 0) − f (0, 0) = 0 et t

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

lim

t→0

f (0, t) − f (0, 0) =1 t

∂f ∂f (0, 0) et (0, 0) existent et ∂x ∂y ∂f (0, 0) = 0 et ∂x

∂f (0, 0) = 1 ∂y

On en déduit qu'en (0, 0) et pour tout vecteur (h, k) ∈ R2 :

df(0,0) (h, k) =

∂f ∂f (0, 0) h + (0, 0) k = k. ∂x ∂y

37

4. En thermodynamique, la pression dépend du volume et de la température, ainsi :

dP =

∂P ∂P dV + dT. ∂V ∂T

Cela signie que le petit accroissement de pression dP a deux contributions séparées : celle de dV et celle de dT . Les valeurs des dérivées partielles au point (V, T ) sont caractéristiques du gaz considéré. Elles sont liées aux coecients thermoélastiques du gaz.

Problème : Trouver une approximation de l'aire du rectangle de dimensions 35 sur 25 unités lorsque la longueur est allongé de 0.02 unités et la largeur raccourcie de 0.03 unités. Solution : Si x et y désignent les dimensions du rectangle, son aire est A = xy. On cherche une

approximation de A donc on cherche à déterminer dA. A dépend de x et y donc

dA =

∂A ∂A dx + dy = ydx + xdy. ∂x ∂y

D'après l'énoncé, x = 35 et subit une variation de 0.02 donc dx = 0.02 (car c'est un allongement). y = 25 et subit une variation de 0.03 donc dy = −0.03 (car c'est un raccourcissement). On a ainsi

dA = 25 × 0.02 − 35 × 0.03 = −0.55. Ainsi l'aire vaut approximativement A + dA = 874.45 unités d'aire.

Exercice d'application : Trouver une approximation de la variation de longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle de 60mm et 80mm de côtés lorsque le plus petit côté est allongé de 2.5mm et le plus grand côté raccourci de 1.25mm. Tout ce que nous venons de voir se généralise aux fonctions réelles de plus de deux variables.

Dénition: Diérentielle d'une fonction de plusieurs variables

38

ˆ Fonction de 3 variables : Considérons une fonction réelle de trois variables (x, y, z) 7→ f (x, y, z). Sa diérentielle s'écrit :

df =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

ou en physique,

 df =

∂f ∂x



 dx + y,z

∂f ∂y



 dy + z,x

∂f ∂z

 dz. x,y

ˆ Fonction de n variables : Soient U un ouvert de Rn et f ∈ F(U, Rp ), n, p ∈ N∗ , qui à (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn ). On appelle diérentielle de f l'application dénie par :

df : U a

Lc (Rn , Rp ) n X ∂f 7 → dfa := (a)dxi ∂xi

→

i=1

où Lc (Rn , Rp ) désigne l'ensemble des applications linéaires continues de Rn dans Rp et pour h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn , dfa (h) est dénie par :

dfa (h) =

n X ∂f (a)hi . ∂xi i=1

Remarque: dfa (h) est un vecteur de Rp . En notant f (x) = (f1 (x), . . . , fp (x)), on a : dfa (h) = ((df1 )a (h), . . . , (dfp )a (h)) .

39

4 Diérentiabilité et Opérateurs diérentiels Dans cette partie, on aimerait généraliser la notion de dérivabilité pour une fonction de plusieurs variables, l'objectif étant de donner une dénition qui permet de retrouver autant que possible toutes les bonnes propriétés de la dérivation d'une fonction d'une variable. En particulier on attend d'une fonction dérivable qu'elle soit continue ! ! ! Une idée pour généraliser la notion de dérivabilité est celle de dérivée partielle. Or on a vu que l'existence des dérivées partielles en un point n'entraîne pas la continuité de la fonction en ce point. Les notions précédemment vues sont donc insusantes pour assurer la continuité. C'est pourquoi on introduit le concept de diérentiabilité. Rappel : On dit qu'une fonction f : R → R est dérivable en un point a ∈ R, si

lim

x→a

f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim h→0 x−a h

existe.

f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) =l∈R ⇔ = l + ε(h) avec lim ε(h) = 0 h→0 h→0 h h ⇔ f (a + h) = f (a) + l × h + h ε(h) avec lim ε(h) = 0 lim

h→0

Dans le cas d'une fonction dérivable en a ∈ R on a :

l = f 0 (a) =

df (a) dx

4.1 Diérentiabilité Dénition: Diérentiabilité

Soient U un ouvert de Rn et f ∈ F(U, Rp ), n, p ∈ N∗ . On dit que f est diérentiable en a = (a1 , . . . , an ) ∈ U , s'il existe une application linéaire continue La ∈ Lc (Rn , Rp ) telle que pour tout vecteur h = (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Rn :

f (a + h) = f (a) + La (h) + khkRn ε(h) avec ε : Rn → Rp Si l'application La existe alors elle est

unique et

tq

lim ε(h) = 0.

h→0

La = dfa .

Remarque: De manière équivalente, on a que f est diérentiable en a s'il existe une application linéaire continue La telle que pour tout h ∈ Rn

f (a + h) − f (a) − La (h) = 0. h→0 khkRn lim

40

Interprétation : La valeur d'arrivée de f (a) en f (a + h) doit être égale à la somme : de la

valeur de départ f (a) plus la variation La (h) de h dans toutes les directions à plus ou moins une erreur dénie comme khkRn ε(h). La diérentiabilité d'une fonction f en un point a correspond à l'existence d'une approximation linéaire de la fonction au voisinage du point (a, f (a)) du graphe de fonction. Pour les fonctions d'une seule variable, cette approximation linéaire est fournie par la droite tangente d'équation y = f (a) + f 0 (a)(x − a), impliquant directement l'équivalence entre la dérivabilité et la diérentiabilité.

la

Signication de khkRn ε(h) : Ce terme représente l'écart entre la valeur approximée de la fonction f en a et la valeur exacte de f en a. La diérentielle de f en a, dfa , représente la somme de l'évolution successive de f en a dans chacune de ces directions. C'est une approximation du comportement réel de f , qui évolue simultanément dans toutes les directions. An de s'assurer que la valeur approximée ne soit pas trop éloignée de la valeur exacte, on introduit un terme d'erreur khkRn ε(h) qui correspond à la tolérance admise sur la précision de la valeur de f en a.

Méthode : En pratique, pour étudier la diérentiabilité d'une fonction f

considère l'application linéaire L(a,b) = df(a,b) .

en un point (a, b) ∈ R2 , on

ˆ Diérentiabilité : Pour montrer qu'une fonction f est diérentiable en un point (a, b), il faut montrer que pour tout couple (h, k) tendant vers (0, 0), lim ε(h, k) = 0. (h,k)→(0,0)

ˆ Non-diérentiabilité : Pour montrer qu'une fonction n'est pas diérentiable en (a, b), il sut de trouver un chemin vers (0, 0) (autrement dit de trouver un vecteur (h, k) → (0, 0)) le long duquel la limite de ε(h, k) est diérente de 0.

Exemple

: Étude de la diérentiabilité en (0, 0) de la fonction f : R2 → R dénie par :

x2 y 2 f (x, y) = x2 + y 2  0  

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

1. Existence des dérivées partielles en (0, 0).

lim

t→0

f (t, 0) − f (0, 0) f (0, t) − f (0, 0) = 0 = lim . t→0 t t

Donc les dérivées partielles de f en (0, 0) existent et valent 0. On en déduit que pour tout (h, k) ∈ R2 : ∂f ∂f df(0,0) (h, k) = (0, 0) h + (0, 0) k = 0 ∂x ∂y 41

2. Étude de la limite de . Posons, pour (h, k) ∈ R2

ε(h, k) =

f (h, k) − f (0, 0) − df(0,0) (h, k) k(h, k)k2

On a :

h2 k 2 2 2 ε(h, k) = √h + k 2 h + k2 h2 k 2 = 3 . (h2 + k 2 ) 2 Or h2 ≤ h2 + k 2 et k 2 ≤ h2 + k 2 , donc :

|ε(h, k)| ≤

(h2 + k 2 )2 (h2 + k 2 )

3 2

=

p h2 + k 2

−→

0.

(h,k)→(0,0)

Conclusion : On a trouvé une application linéaire continue (df(0,0) ) telle que lim ε(h, k) = 0 donc f est diérentiable en (0, 0). (h,k)→(0,0)

Proposition: Soient U un ouvert de Rn , f ∈ F(U, Rp ), n, p ∈ N∗ et a ∈ U .

f diérentiable en a ⇒

f admet des dérivées partielles en a ⇓ n X ∂f on peut écrire la forme diérentielle de f : dfa = (a)dxi . ∂xi i=1

L'existence seule des dérivées partielles de f par rapport à chaque variable en a n'implique pas la diérentiabilité de f en a.

Contre-exemple

: Soit f ∈ F(R2 , R) dénie par :   p xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0)

ˆ Existence des dérivées partielles en (0, 0) :

lim

t→0

f (t, 0) − f (0, 0) f (0, t) − f (0, 0) = 0 = lim . t→0 t t 42

Donc les dérivées partielles de f en (0, 0) existent et valent 0. Donc f admet des dérivées partielles en (0, 0). On en déduit que pour tout (h, k) ∈ R2 :

df(0,0) (h, k) =

∂f ∂f (0, 0) h + (0, 0) k = 0 ∂x ∂y

ˆ Étude de la limite de . Posons, pour (h, k) ∈ R2

ε(h, k) =

f (h, k) − f (0, 0) − df(0,0) (h, k) k(h, k)k2

on a :

hk √ 2 h + k2 ε(h, k) = √ h2 + k 2 hk = 2 h + k2 1 1 −→ 6= 0 donc f n'est pas diérentiable en (0, 0). 2 h→0 2 ˆ Conclusion : f admet des dérivées partielles en (0, 0) mais n'est pas diérentiable en ce point. Or ε(h, h) =

Exercice d'application : Étudier la diérentiabilité de la fonction   xy 2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0)

Proposition: Soient U un ouvert de Rn et f, g ∈ F(U, Rp ). ˆ

Linéarité de la diérentielle : Soient α, β ∈ R. Si f et g sont diérentiables en a ∈ U , alors αf + βg est diérentiable en a et d(αf + βg)a = αdfa + βdga .

ˆ

Lien avec la continuité : Si f

est diérentiable en a alors f est continue en a. x2 y La réciproque est fausse. Contre-exemple : f (x, y) = 2 . x + y2 ˆ Fonctions de classe C 1 : Si f est de classe C 1 sur U alors f est diérentiable sur ! U. 1 la réciproque est fausse. Contre-exemple : f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin p . 2 x + y2

43

Bilan : Lien entre les diérentes notions : En un point a ∈ Rn . Continue

⇑6⇓ C 1 ⇒ Diérentiable ⇒ :

Existence des dérivées partielles

:

⇓ Ecriture sous forme diérentielle dfa =

n X ∂f dxi . ∂xi i=1

4.2 Opérateurs diérentiels 4.2.1 Gradient et matrice jacobienne Dénition: Gradient Soient U un ouvert de Rn , f ∈ F(U, R) une application diérentiable et a ∈ U . On appelle −−→ gradient de f en a, et on note gradf (a), le vecteur de Rn (ou champ vectoriel) déni par :   ∂f (a)  ∂x1        ∂f   −−→ (a)  grad f (a) =   ∂x2    .   ..    ∂f  (a) ∂xn

Exemple

:

1. Pour f (x, y, z) = xyz

  yz −−→ grad f (x, y, z) =  xz  xy 2. Réciproquement, à partir du gradient, il est possible de déterminer l'expression des fonctions f correspondantes. Déterminons f : R3 → R telle que   2yz −−→  2z(x + 3y) grad f (x, y, z) =  y(2x + 3y) + 2z

44

~ (x, y, z) = (2yz, 2z(x + 3y), y(2x + 3y) + 2z). Posons V  ∂f  (x, y, z) = 2yz    ∂x  ∂f −−→ ~ ⇔ (x, y, z) = 2xz + 6yz grad f = V  ∂y     ∂f (x, y, z) = 2xy + 3y 2 + 2z ∂z

(1) (2) (3)

→ En intégrant (1) par rapport à x on a : f (x, y, z) = 2xyz + α(y, z). → En dérivant la fonction obtenue par rapport à y on a : ∂f ∂α (x, y, z) = 2xz + (y, z). ∂y ∂y Donc d'après (2) on a :

2xz +

∂α (y, z) = 2xz + 6yz ∂y

∂α (y, z) = 6yz ∂y

⇒

⇒

α(y, z) = 3y 2 z + β(z).

Donc f (x, y, z) = 2xyz + 3y 2 z + β(z).

→ En dérivant la fonction obtenue par rapport à z on a : ∂f (x, y, z) = 2xy + 3y 2 + β 0 (z). ∂z Donc d'après (3) on a :

2xy+3y 2 +2z = 2xy+3y 2 +β 0 (z)

⇒

β 0 (z) = 2z

⇒

β(z) = z 2 +c, avec c une constante.

Donc f (x, y, z) = 2xyz + 3y 2 z + z 2 + c.

Exercice d'application : 1. Déterminer le gradient des fonctions suivantes : (a) f (x, y, z) = x2 + 4y 3 (b) g(x, y, z) = z cos(xz) sin(y) 2. Déterminer l'expression de f :

R2

−−→ → R telle que grad f (x, y, z) =

  1 x 2x + , 2y − 2 . y y

Propriétés: Soient U un ouvert de Rn , f et g deux fonctions diérentiables sur U à valeurs dans R. −−→ 1. L'application f 7→ grad f est une application linéaire. −−→ −−→ −−→ 2. grad(f g) = f grad g + g grad f −−→ 3. Pour n = 3, gradf (x, y, z) est orthogonal à la surface f (x, y, z) = cst. 45

Proposition: Lien avec la diérentielle Soient U un ouvert de Rn , f ∈ C 1 (U ) et a un point de U . Pour tout v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn n

X ∂f −−→ − (a) = dfa (v). grad f (a) · → v = vi ∂xi i=1

Dénition: Matrice jacobienne Soit U est une partie de Rn et f ∈ F(U, Rp ) une application diérentiable dénie par :

f : (x1 , . . . , xn ) 7→ (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fp (x1 , . . . , xn )). ˆ On appelle matrice jacobienne de f en a ∈ U , la matrice de l'application linéaire dfa dans les bases canoniques de Rn et Rp . On la note Jf (a)

   Jf (a) =   

∂f1 (a) . . . ∂x1 .. . ∂fp (a) . . . ∂x1

ˆ Lorsque n = p, on appelle déterminant minant de la matrice jacobienne.

∂f1 (a) ∂xn .. . ∂fp (a) ∂xn

     

jacobien (ou jacobien) de f

Exemple : Coordonnées polaires . Pour (r, θ) ∈ ]0, +∞[ × ]0, 2π[, soit f par

f : (r, θ) 7→ (r cos(θ), r sin(θ)) Posons f1 (r, θ) = r cos(θ) et f2 (r, θ) = r sin(θ). Alors

D'où

∂f1 ∂f2 (r, θ) = cos(θ), (r, θ) = sin(θ) ∂r ∂r ∂f1 ∂f2 (r, θ) = −r sin(θ), (r, θ) = r cos(θ) ∂θ ∂θ   cos(θ) −r sin(θ) Jf (r, θ) = sin(θ) r cos(θ)

et det(Jf (r, θ)) = r cos2 (θ) + r sin2 (θ) = r. Exercice d'application : Coordonnées sphériques Pour (r, θ) ∈ [0, +∞[ × [0, π] × [0, 2π[, soit f la fonction dénie par

f : (r, θ, ϕ) 7→ (r sin(θ) cos(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(θ)) Déterminer la matrice jacobienne de f ainsi que le déterminant jacobien. 46

en a le déter-

la fonction dénie

Proposition: Lien avec la diérentielle Soient U un ouvert de Rn , f ∈ C 1 (U ) et a un point de U . Pour tout h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn

Jf (a)H = dfa (h) ,    où H ∈ Mn,1 (R) est dénie par H =  

h1 h2 .. .

    

hn

4.2.2 Divergence Dénition: Champ de vecteurs diérentiable ~ un champ vectoriel (en coordonnées cartésiennes) sur U . On Soient U un ouvert de Rn et V ~ est diérentiable si chacune de ses composantes est une fonction diérentiable. dit que V

Dénition: Divergence ~ un champ vectoriel (en coordonnées cartésiennes) diérentiable Soient U un ouvert de Rn et V ~ en u le scalaire déni par : sur U . Pour u ∈ U , on appelle divergence de V ~ (u) = div V

n X ∂Vi i=1

Exemple

∂xi

(u).

~ (x, y) = (2xy + sin(x), x2 y) := (V1 (x, y), V2 (x, y)), on a : : Pour V ~ (x, y) = ∂V1 (x, y) + ∂V2 (x, y) = 2y + cos(x) + x2 . div V ∂x ∂y

Propriétés: ~ un champ vectoriel diérentiable sur U . Soient U un ouvert de Rn , V ~ 7→ div V ~ est une application linéaire. 1. L'application V −→ ~ ) = (− ~ + f div V ~. 2. Pour f : U → R diérentiable : div(f V grad f ) · V

Exercice d'application : Faire la démonstration du point 2.

47

4.2.3 Rotationnel On suppose ici n = 3.

Dénition: Rotationnel d'un champ vectoriel ~ un champ vectoriel (en coordonnées cartésiennes) diérentiable Soient U un ouvert de R3 et V →~ ~ en u, noté − sur U . Pour u ∈ U , on appelle rotationnel de V rot V (u), le champ vectoriel déni par : ~i ~k ~j   ∂ ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V −→ ~ ∂ ∂ 2 1 3 2 1 3 = rot V (u) = − , − , − ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 V1 V2 V3

Exemple

~ (x, y, z) = (xyz, 2x + 3yz, exyz ) := (V1 (x, y, z), V2 (x, y, z), V3 (x, y, z)), on a : : Pour V −→ ~ rot V (x, y, z) = (xzexyz − 3y, xy − yzexyz , 2 − xz).

Propriétés: ~ un champ vectoriel diérentiable sur U . Soient U un ouvert de R3 , V →~ ~ 7→ − 1. L'application V rot V est une application linéaire. 2. Pour f : U → R diérentiable : −−→ −→ ~ →~ ~ +f − ˆ rot(f V ) = (grad f ) ∧ V rot V . ˆ Si de plus, f est de classe C 2 −→ −−→ ˆ rot (grad f ) = ~0. −→ ~ ˆ div (rot V ) = 0.

4.2.4 Nabla On se place en coordonnées cartésiennes et on suppose que n = 3.

Dénition: Opérateur nabla On dénit l'opérateur aux dérivées partielles

nabla, noté

→ − ∂~ ∂ ∂ ∇= i + ~j + ~k ∂x ∂y ∂z

48

→ − ∇ , par :

Remarques et Propriétés: L'opérateur nabla est une notation très commode pour retenir les dénitions du gradient, de la divergence et du rotationnel. Soit U un ouvert de R3 . ˆ Pour f ∈ F(U, R) diérentiable :

→ − ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ −−→ ∇f = i+ j+ k = grad f ∂x ∂y ∂z ~ = (V1 , V2 , V3 ) un champ vectoriel sur U : ˆ Pour V → − ~ ∂V1 ∂V2 ∂V3 ~ + + = div V ∇ ·V = ∂x ∂y ∂z ~ = (V1 , V2 , V3 ) un champ vectoriel sur U : ˆ Pour V → − ~ −→ ~ ∇ ∧ V = rot V

Bilan : domaine des opérateurs : gradient rotationnel divergence Fonctions −→ Champs de vecteurs −→ Champs de vecteurs −→ Fonctions Chaque fois que l'on compose deux opérateurs consécutifs, on trouve 0. Autrement dit :

rot ◦ grad = 0 et div ◦ rot = 0.

4.2.5 Potentiel scalaire, potentiel vecteur Dénition: Potentiel scalaire

~ un champ de vecteurs déni sur R3 . On dit que V ~ dérive d'un potentiel scalaire Soit V ~ ou que V est un champ de gradients s'il existe une fonction f de classe C 1 sur R3 telle que −→ ~ =− V grad f. Une telle fonction f est alors appelée un

potentiel scalaire de V~ .

Proposition: ~ un champ de vecteurs de classe C 1 sur R3 . Soit V →~ ~ ~ dérive d'un potentiel scalaire ⇔ − V rot V = 0.

49

Exemple

~ (x, y, z) = 2xy~i + (x2 + z)~j + y~k . : Considérons le champ de vecteur V −→ ~ . ˆ Déterminons rot V → − ~ −→ ~ rot V = ∇ ∧ V       ∂ 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 (y) − (x + z) ~i + (2xy) − (y) ~j + (x + z) − (2xy) ~k = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = ~0 ~ dérive d'un potentiel scalaire. Autrement dit, il existe une fonction f telle que Donc V −−→ ~ V = grad f .

ˆ Déterminons l'expression de f .

 ∂f     ∂x  ∂f −−→ ~ V = grad f ⇔  ∂y     ∂f ∂z

= 2xy

(1)

= x2 + z

(2)

= y

(3)

→ En intégrant (1) par rapport à x on a : f (x, y, z) = x2 y + α(y, z). → En dérivant la fonction obtenue par rapport à y on a : ∂f ∂α = x2 + . ∂y ∂y Donc d'après (2) on a :

x2 +

∂α = x2 + z ∂y

⇒

∂α =z ∂y

⇒

α(y, z) = zy + β(z).

Donc f (x, y, z) = x2 y + zy + β(z).

→ En dérivant la fonction obtenue par rapport à z on a : ∂f = y + β 0 (z). ∂z Donc d'après (3) on a :

y + β 0 (z) = y

⇒

β 0 (z) = 0

⇒

β(z) = c, avec c une constante.

Donc f (x, y, z) = x2 y + zy + c.

~ (x, y, z) = (y, x + z, y + 2z) dérive Exercice d'application : Montrer que le champ de vecteur V d'un potentiel et calculer ce potentiel. Réponse : f (x, y, z) = xy + zy + z 2 + c avec c une constante. 50

Dénition: Potentiel vecteur

~ un champ de vecteurs déni sur R3 . On dit que V ~ dérive d'un potentiel Soit V ~ ~ tel que ou que V est un champ de rotationnels s'il existe un vecteur A

vecteur

→ ~ ~ =− V rot A.

potentiel vecteur de V~ .

~ est alors appelé un Un tel vecteur A

Proposition: ~ un champ de vecteurs sur R3 . Soit V →~ ~ dérive d'un potentiel vecteur ⇔ − V div V = 0.

Remarque: −→ ~ est un potentiel vecteur de V ~ , alors A ~+− Si A grad f l'est aussi. Autrement dit, un potentiel vecteur n'est déni qu'à un gradient près.

Exemple

~ (x, y, z) = (xy 2 − x3 y)~k . : Soit V −→ ~ . ˆ Déterminons div V −→ ~ ∂(xy 2 − x3 y) div V (x, y, z) = = 0. ∂z ~ dérive d'un potentiel vecteur. Autrement dit, il existe un vecteur A ~ tel que Donc V −→ ~ ~ V = rot A. ~. ˆ Déterminons A ~ ~ y, z) = f (x, y, z)~i + g(x, y, z)~j + h(x, y, z)~k avec h = 0. Cherchons A sous la forme A(x,  ∂g  = 0 (1)    ∂z  ∂f → ~ ~ =− = 0 (2) V rot A ⇔  ∂z     ∂g − ∂f = xy 2 − x3 y (3) ∂x ∂y Des équations (1) et (2), on déduit que f et g ne dépendent pas de z . De l'équation (3), choisissons par exemple :

∂g = xy 2 ∂x

et

∂f = x3 y. ∂y

On a :

∂g 1 = xy 2 ⇒ g(x, y, z) = x2 y 2 + α(y), ∂x 2 51

avec α une fonction dépendant de y

∂f 1 = x3 y ⇒ f (x, y, z) = x3 y 2 + β(x), avec β une fonction dépendant de x ∂y 2     1 3 2 1 2 2 ~ ~ Donc A(x, y, z) = x y + β(x) i + x y + α(y) ~j . 2 2

4.3 Diérentielle d'une fonction composée Proposition: Diérentielle d'une fonction composée Soient U un ouvert de Rn et V un ouvert de Rp , g ∈ F(U, Rp ), f ∈ F(V, Rq ) avec g(U ) ⊂ V . Si g est diérentiable en a ∈ U et f est diérentiable en g(a) alors f ◦ g est diérentiable en a et on a : d(f ◦ g)a = dfg(a) ◦ dga .

Proposition: Matrice jacobienne d'une composée Soient U un ouvert de Rn et V un ouvert de Rp , g ∈ F(U, Rp ), f ∈ F(V, Rq ) avec g(U ) ⊂ V . Si g est diérentiable en a ∈ U et f est diérentiable en g(a) alors f ◦ g est diérentiable en a et on a : Jf ◦g (a) = Jf (g(a)) × Jg (a).

Conséquence : Dérivées partielles d'une fonction composée : Si g = (g1 , . . . , gp ), f = (f1 , . . . , fq ) et h = f ◦ g , alors chaque application hk , k ∈ {1, . . . , q}, possède des dérivées partielles dénies, pour x ∈ Rn , par : p

X ∂fk ∂hk ∂gi (x) = (y) (x) , ∂xj ∂yi ∂xj i=1

avec y = g(x).

Cas à retenir : Soit f ∈ F(R2 , R) ; f : (x, y) 7→ f (x, y). ˆ On suppose que x et y dépendent d'une certaine variable t, autrement dit :  Posons et

x = ϕ1 (t) y = ϕ2 (t)

ϕ : R → R2 t 7→ (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) h: R → R t 7→ (f ◦ ϕ)(t)

Alors : 52

ˆ ∀t ∈ R, h(t) = f (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) = f (x, y) ˆ Si ϕ est de classe C 1 , alors

h0 (t) =

∂h ∂f ∂f (t) = ϕ01 (t) (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) + ϕ02 (t) (ϕ1 (t), ϕ2 (t)). ∂t ∂x ∂y

Exemple

: Posons f (x, y) = x2 + 3xy + 5y 2 avec x = sin(t) et y = cos(t). Alors x et y sont deux fonctions dépendantes de la variable t. On a alors en posant

ϕ : R → R2 t 7→ (sin(t), cos(t))

et h = f ◦ ϕ

on a :

∂f ∂f (x, y) + y 0 (t) (x, y) ∂x ∂y = cos(t)(2 sin(t) + 3 cos(t)) − sin(t)(3 sin(t) + 10 cos(t))

h0 (t) = x0 (t)

ˆ On suppose que x

et y dépendent de deux variables u et v, autrement dit : 

Posons

et

x = ϕ1 (u, v) y = ϕ2 (u, v)

ϕ : R2 → R2 (u, v) 7→ (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) h : R2 → R2 (u, v) 7→ (f ◦ ϕ)(u, v)

Alors ˆ ∀(u, v) ∈ R2 , h(u, v) = f (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) = f (x, y) ˆ Si ϕ est de classe C 1 alors

∂h ∂ϕ1 ∂f ∂f ∂ϕ2 (u, v) = (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) + (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂h ∂ϕ1 ∂f ∂ϕ2 ∂f (u, v) = (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) + (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y

f dépend des variables x et y alors que h dépend des variables u et v ! ! !

53

Écriture matricielle: Les deux relations précédentes peuvent s'écrire sous la forme matricielle :





∂h (u, v) ∂u

∂h (u, v) ∂v



 =

∂f (ϕ(u, v)) ∂x

∂f (ϕ(u, v)) ∂y



∂ϕ1  ∂u (u, v) ×  ∂ϕ 2 (u, v) ∂u

 ∂ϕ1 (u, v)  ∂v  ∂ϕ2 (u, v) ∂v

Ceci revient à écrire :

J(f ◦ϕ )(u, v) = Jf (ϕ(u, v)) × Jϕ (u, v). Autrement dit, en posant h = f ◦ ϕ, on peut utiliser l'expression de la matrice jacobienne d'une composée pour retrouver les expressions des dérivées partielles de h.

Remarque fondamentale: Dans ce qui précède, les variables x et y dépendent des paramètres u et v . Or si la fonction ϕ est bijective, on peut exprimer les variables u et v en fonction de x et y  u = k1 (x, y) v = k2 (x, y) et donc exprimer les dérivées partielles de f en fonction des dérivées partielles de h. Donc si ϕ est bijective, posons

ϕ−1 : R2 → R2 (x, y) 7→ (k1 (x, y), k2 (x, y)) on a alors ˆ f = h ◦ ϕ−1 . Autrement dit, ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = h(k1 (x, y), k2 (x, y)) = h(u, v). ˆ Si ϕ−1 est de classe C 1 alors

∂f ∂k1 ∂h ∂k2 ∂h (x, y) = (x, y) (k1 (x, y), k2 (x, y)) + (x, y) (k1 (x, y), k2 (x, y)) ∂x ∂x ∂u ∂x ∂v ∂f ∂k1 ∂h ∂k2 ∂h (x, y) = (x, y) (k1 (x, y), k2 (x, y)) + (x, y) (k1 (x, y), k2 (x, y)) ∂y ∂y ∂u ∂y ∂v

Exercices d'applications : ∂h 1. Déterminer pour h = f ◦ ϕ avec f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) et ϕ(t) = (e−t , et ). ∂t 2. Soit f (x, y) = x2 + xy + y 2 ; x = 2r + s, y = r − 2s. En posant h = f ◦ ϕ avec ϕ(r, s) = (2r + s, r − 2s). 1. Déterminer les dérivées partielles de h en fonction de celles de f . 54

2. Déterminer les dérivées partielles de f en fonction de celles de h.

Application : Résolution d'équations aux dérivées partielles d'ordre 1. Problème : En eectuant le changement de variables x = u + v et y = u − 3v, trouver les solutions de classe C 1 sur R2 de l'équation

∂f ∂f −3 =0 ∂x ∂y

(E)

Méthode (Résolution d'une EDP) : 1. Dénir une fonction ϕ caractérisant le changement de variables et montrer que ϕ est un C 1 diéomorphisme. Autrement dit, ϕ est ˆ de classe C 1 ˆ bijective ˆ de réciproque de classe C 1 . 2. Considérer une fonction h de classe C 1 telle que f = h ◦ ϕ ou f = h ◦ ϕ−1 .(Cela dépend de la fonction introduite en 1.) 3. Calculer les dérivées partielles de f . 4. Résoudre l'équation aux dérivées partielles.

Solution : 1. Posons

ϕ : R2 → R2 (u, v) 7→ (u + v, u − 3v)

ˆ ϕ est de classe C 1 car chacune de ses composantes est de classe C 1 . ˆ ϕ est bijective. En eet : pour tout (x, y) ∈ R2 on a    u = 3x + y x = u+v 4 ϕ(u, v) = (x, y) ⇔ ⇔ y = u − 3v  v = x−y 4 Donc ∀(x, y) ∈ R2 , ∃!(u, v) ∈ R2 tel que ϕ(u, v) = (x, y). Donc ϕ est bijective et   3x + y x − y −1 ϕ (x, y) = , 4 4 ˆ ϕ−1 est de classe C 1 car chacune de ses composantes est de classe C 1 . 2. Considérons une fonction h de classe C 1 telle que f = h ◦ ϕ−1 . Posons   ϕ1 (x, y) = 3x + y 4  ϕ (x, y) = x − y 2 4

55

3. On a : f (x, y) = h(ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) = h(u, v) avec h de classe C 1 et  ∂ϕ1 ∂h ∂ϕ2 ∂h ∂f   (x, y) = (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v)   ∂x ∂x ∂u ∂x ∂v

  ∂f   (x, y) = ∂y ⇔

∂ϕ1 ∂h (x, y) (u, v) + ∂y ∂u

∂ϕ2 ∂h (x, y) (u, v) ∂y ∂v

 ∂f   (x, y) =   ∂x

3 ∂h (u, v) + 4 ∂u

1 ∂h (u, v) 4 ∂v

  ∂f   (x, y) = ∂y

1 ∂h (u, v) − 4 ∂u

1 ∂h (u, v) 4 ∂v

4. Donc

∂f ∂f −3 =0 ∂x ∂y   3 ∂h 1 ∂h 1 ∂h 1 ∂h ⇔ (u, v) + (u, v) − 3 (u, v) − (u, v) = 0 4 ∂u 4 ∂v 4 ∂u 4 ∂v ∂h (u, v) = 0 ⇔ ∂v ⇔ h(u, v) = c(u) avec c de classe C 1   3x + y ⇔ f (x, y) = c avec c de classe C 1 . 4

f est solution de (E) ⇔

Exercice d'application : Problème : En eectuant le changement de variables x = r cos(θ), y = r sin(θ), déterminer la forme de la solution de l'équation

y

∂f ∂f −x = 0, ∂x ∂y

avec f une fonction depclasse C 1 sur R2 \ {(0, 0)}. Réponse : f (x, y) = c( x2 + y 2 ) avec c de classe C 1 .

56

(E)

5 Dérivées partielles d'ordre supérieur et extremums locaux 5.1 Dérivées d'ordre 2 Dénition: Dérivées partielles d'ordre 2 Soient f ∈ F(U, R), avec U un ouvert de Rn et x ∈ U . Si les fonctions dérivées partielles premières de f admettent elles-mêmes des dérivées partielles en x, ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées partielles d'ordre 2, de f en x. On les note, pour i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j :

∂2f ∂ = 2 ∂xi ∂xi

Exemples



∂f ∂xi



∂2f ∂ = ∂xi ∂xj ∂xi

et



∂f ∂xj



:

  x 1. Pour (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = ln . On a vu : y ∂f 1 (x, y) = ∂x x Donc :

∂2f (x, y) ∂x2

∂ ∂x



=

∂2f (x, y) ∂y 2

∂ ∂y



=

∂2f (x, y) = ∂x∂y

∂ ∂x



∂2f (x, y) = ∂y∂x

∂ ∂y



et

∂f ∂x



∂f ∂y



∂f ∂y



∂f ∂x



∂f 1 (x, y) = − . ∂y y

(x, y) =

∂ ∂x

  1 x

= −

1 x2

(x, y) =

∂ ∂y

  1 − = y

1 y2

(x, y) =

∂ ∂x

  1 − = y

0

(x, y) =

∂ ∂y

  1 x

=

0.

2. f (x, y) = sin(xy 2 ) On a

∂f (x, y) = y 2 cos(xy 2 ) et ∂x

∂f (x, y) = 2xy cos(xy 2 ) ∂y

Donc :

∂2f (x, y) = −y 4 sin(xy 2 ), ∂x2

∂2f (x, y) = 2x cos(xy 2 ) − (2xy)2 sin(xy 2 ), ∂y 2

∂2f ∂2f (x, y) = 2y cos(xy 2 ) − 2xy 3 sin(xy 2 ) = (x, y). ∂x∂y ∂y∂x 57

Exercice d'application : Déterminer les dérivées partielles secondes des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = x2 + 3xy + y 2 2. g(x, y) = sin(2x + 3y) x2 y 2 1 3. h(x, y, z) = + + y x z 4. k(r, θ) = e2r cos(θ)

Dérivées partielles secondes en un point particulier : Soit f ∈ F(U, R) avec U un ouvert de R2 et (a, b) ∈ U un

∂2f (a, b) existe si ∂x2 ∂2f (a, b) existe si ∂y∂x

point particulier.

∂f ∂f (a + t, b) − (a, b) ∂x lim ∂x t→0 t ∂f ∂f (a, b + t) − (a, b) ∂x lim ∂x t→0 t

est nie

est nie

Exercice d'application : Soit f ∈ F(U, R) avec U un ouvert de R2 et (a, b) ∈ U un point ∂2f ∂2f particulier. A quelles conditions, les dérivées partielles secondes 2 (a, b) et (a, b) ∂y ∂x∂y sont-elles bien dénies ?

Dénition: Matrice Hessienne

Soit f ∈ F(U, R), avec U un ouvert de Rn . On appelle matrice hessienne de f la matrice des dérivées partielles secondes (lorsqu'elles existent). On la note Hf et on pour a ∈ U :

      Hf (a) =     

∂2f (a) ∂x21 ∂2f (a) ∂x2 ∂x1 .. .

∂2f (a) ∂xn ∂x1

∂2f (a) . . . ∂x1 ∂x2 ∂2f (a) ... ∂x22 .. .. . . ∂2f (a) . . . ∂xn ∂x2

58

∂2f (a) ∂x1 ∂xn ∂2f (a) ∂x2 ∂xn .. . ∂2f (a) ∂x2n

          

5.2 Fonctions de classe C k , k ≥ 1 Par récurrence, on peut dénir les dérivées partielles d'une fonction f à tout ordre k > 2.

Dénition: Fonctions de classe C k

On dit qu'une fonction f , dénie sur un ouvert U , est de classe C k , (k ≥ 1), si toutes les dérivées partielles d'ordre k sont continues sur U . Si les dérivées partielles de tout ordre existent et sont continues sur U , f est de classe C ∞ sur U .

Exemples

:

ˆ Toute fonction constante est de classe C ∞ . ˆ Toute fonction polynomiale d'une ou de plusieurs variables est de classe C ∞ .

5.3 Théorème de Schwarz Théorème: Théorème de Schwarz Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert U de Rn , alors pour tout a ∈ U ,

∂2f ∂2f (a) = (a) ∀i 6= j ∈ {1, . . . , n} . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

Méthode (Fonctions non de classe C 2 ) : Pour montrer qu'une fonction f n'est pas de classe C 2 sur R2 , il sut de trouver UN point tel que les dérivées partielles secondes croisées ne soient

pas égales.

Exercice d'application : Soit f la fonction dénie sur R2 par :   x3 y si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) 1. Montrer que f est continue sur R2 . 2. L'application f est-elle de classe C 2 ?

Application : Résolution d'équations aux dérivées partielles d'ordre 2. Problème : En eectuant le changement de variables u = x + y et v = x − y, déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 2 solutions de l'équation

∂2f ∂2f (x, y) − (x, y) = 0. ∂x2 ∂y 2 59

(E)

Solution : 

  x =

u = x+y ⇔ v = x−y  y =

On a :

 f (x, y) = f

u+v u−v , 2 2

u+v 2 u−v 2

 := h(u, v)

Puisque f est de classe C 2 , h est également de classe C 2 . ˆ

Calcul des dérivées partielles premières de f . - 1iere méthode : x et y dépendent des deux variables u et v . Posons

ϕ : R2

2 → R   u+v u−v := (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) (u, v) 7→ , 2 2

On montre que ϕ est un C 2 diéomorphisme. Considérons la fonction h, de classe C 2 , telle que h = f ◦ ϕ. Alors h(u, v) = f (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) = f (x, y) et

 ∂h  (u, v) =    ∂u

∂ϕ1 ∂f ∂ϕ2 ∂f (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) + (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) ∂u ∂x ∂u ∂y

    ∂h (u, v) = ∂v

∂ϕ1 ∂f ∂ϕ2 ∂f (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) + (u, v) (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) ∂v ∂x ∂v ∂y

Donc

On en déduit :

 ∂h  (u, v) =    ∂u

1 ∂f 1 ∂f (x, y) + (x, y) 2 ∂x 2 ∂y

    ∂h (u, v) = ∂v

1 ∂f 1 ∂f (x, y) − (x, y). 2 ∂x 2 ∂y

 ∂f   (x, y) =   ∂x

∂h ∂h (u, v) + (u, v) ∂u ∂v

  ∂f   (x, y) = ∂y

∂h ∂h (u, v) − (u, v) ∂u ∂v

- 2ieme méthode (Directe) : u et v dépendent des deux variables x et y . Considérons la fonction réciproque

ϕ−1 : R2 → R2 (x, y) 7→ (x + y, x − y) := (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) et h une fonction de classe C 2 telle que

f = h ◦ ϕ−1 . 60

Alors f (x, y) = h (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) = h(u, v) et  ∂f ∂ψ1 ∂h ∂ψ2 ∂h   (x, y) = (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) + (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y))   ∂x ∂x ∂u ∂x ∂v

  ∂f   (x, y) = ∂y Donc

ˆ

∂ψ1 ∂h ∂ψ2 ∂h (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) + (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y) ∂y ∂u ∂y ∂v  ∂f   (x, y) =   ∂x

∂h ∂h (u, v) + (u, v) ∂u ∂v

  ∂f   (x, y) = ∂y

∂h ∂h (u, v) − (u, v) ∂u ∂v

Calcul des dérivées partielles secondes de f .   ∂ ∂f ∂2f (x, y) = (x, y) ∂x2 ∂x ∂x   ∂h ∂ ∂h (u, v) + (u, v) = ∂x ∂u ∂v     ∂ ∂h ∂ ∂h = (u, v) + (u, v) ∂x ∂u ∂x ∂v Or, puisque u = ψ1 (x, y) et v = ψ2 (x, y) on a :

 ∂h −1 ◦ϕ (x, y) ∂u   ∂h ∂h ∂h −1 (u, v) = (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) = ◦ϕ (x, y) ∂v ∂v ∂v ∂h ∂h (u, v) = (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) = ∂u ∂u



Donc, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée :     ∂ ∂h ∂ ∂h (u, v) = (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) ∂x ∂u ∂x ∂u     ∂ψ1 ∂ ∂h ∂ψ2 ∂ ∂h = (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) + (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) ∂x ∂u ∂u ∂x ∂v ∂u ∂2h ∂2h (u, v) = (u, v) + ∂u2 ∂v∂u De même,

∂ ∂x



   ∂h ∂ ∂h (u, v) = (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) ∂v ∂x ∂v     ∂ ∂h ∂ψ2 ∂ ∂h ∂ψ1 = (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) + (x, y) (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)) ∂x ∂u ∂v ∂x ∂v ∂v ∂2h ∂2h = (u, v) + 2 (u, v) ∂u∂v ∂v 61

Or h est de classe C 2 , donc d'après le Théorème de Schwarz, pour tout (u, v) ∈ R2 , ∂2h ∂2h (u, v) = (u, v) et donc ∂u∂v ∂v∂u

∂2h ∂2h ∂2f ∂2h (x, y) = (u, v) + 2 (u, v). (u, v) + ∂x2 ∂u2 ∂u∂v ∂v 2

En raisonnant de manière similaire, on montre que :

∂2f ∂2h ∂2h ∂2h (x, y) = (u, v) − 2 (u, v). (u, v) + ∂y 2 ∂u2 ∂u∂v ∂v 2

On en déduit que :

∂2f ∂2f (x, y) − (x, y) = 0 ∂x2 ∂y 2 ∂2h (u, v) = 0 ⇔ ∂u∂v ∂h ⇔ (u, v) = C(v) avec C de classe C 1 ∂v 

f solution de (E) ⇔

C(v) dv + K(u) avec K de classe C 2

⇔ h(u, v) =

62

Remarque: Ce théorème est très important car : ˆ D'une part, pour montrer qu'une fonction n'est pas de classe C 2 , il sut de montrer l'existence d'un point a ∈ U tel que les dérivées croisées ne soient pas égales. ˆ D'autre part, en physique, ce théorème permet de déterminer si une diérentielle est exacte ou inexacte : Si les dérivées croisées ne sont pas égales alors f ne s'exprime pas sous forme diérentielle totale exacte. Exemple : Reprenons l'exemple du travail thermodynamique W vériant l'équation :

δW = −P dV + 0dP. Si W = W (V, P ) vérie une DTE alors :

δW = dW =

∂W ∂W dV + dP ∂V ∂P

et donc nécessairement

∂W = −P et ∂V Or, en eectuant une seconde dérivation :

∂W = 0. ∂P

∂2W ∂P =− = −1 et ∂P ∂V ∂P

∂2W =0 ∂V ∂P

on voit clairement que les dérivées croisées ne sont pas les mêmes, donc W ne s'exprime pas sous forme diérentielle totale exacte.

Proposition: Condition de Schwarz En Thermodynamique, la propriété d'être une forme diérentielle exacte ou inexacte est très importante car elle permet d'identier les fonctions d'états. La condition que doit satisfaire une forme diérentielle pour être une diérentielle totale exacte est appelée condition de Schwarz : Si δz = M (x, y) dx + N (x, y) dy alors la condition de Schwarz est donnée par :

∂M ∂N = . ∂y ∂x

Exercice d'application : Les formes diérentielles suivantes sont-elles exactes : 1. δf = y dx − x dy 2. δf = (x3 + y) dx + (x + 2y) dy

Généralisation : Soit f : Rn → R une fonction de classe C 2 dont la forme diérentielle est

donnée par :

δf =

n X i=1

63

Pi dxi .

Pour que δf soit une diérentielle totale exacte, il faut et il sut que :

∂Pj ∂Pi = . ∂xj ∂xi

∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 ,

Par exemple, Pour une fonction de trois variables dont la forme diérentielle est donnée par :

δf = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz. δf est une diérentielle totale exacte si : ∂Q ∂P = ; ∂y ∂x

∂P ∂R = ; ∂z ∂x

∂Q ∂R = . ∂z ∂y

− Exercice d'application : Considérons une masse m ponctuelle dans le champ de pesanteur → g. Montrer que le travail élémentaire du poids de m donné par δW = −mg dz (avec W = W (x, y, z)), est une diérentielle totale exacte.

Q : Comment passer d'une diérentielle totale inexacte à une diérentielle totale exacte ? Réponse : Facteur intégrant ! ! ! Soit la forme diérentielle

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

(4)

Existe-t-il une fonction scalaire µ(x, y) non nul telle que la forme µP dx + µQdy soit une DTE ? Si tel que est le cas, on dira que µ est un facteur intégrant pour la forme initiale (4). On peut généraliser cette propriété à une fonction à n variables.

Exemple ˆ

: Considérons la forme diérentielle δC = yz dx + dy + dz .

1ère étape : On regarde si δC est une DTE.

Pour cela, vérions si la condition de Schwarz est satisfaite.

∂(yz) =z ∂y On remarque que

et

∂(1) = 0. ∂x

∂(yz) ∂(1) 6= donc δC n'est pas une DTE. ∂y ∂x

64

ˆ

2ième étape : Peut-on la transformer en une DTE ?

Soit µ(x, y, z) un facteur intégrant alors µyz dx + µdy + µdz est une DTE notée dC . ∂C ∂C ∂C Or dC = dx + dy + dz , d'où ∂x ∂y ∂z

∂C ∂C ∂C = µ(x, y, z)yz; = µ(x, y, z); = µ(x, y, z). ∂x ∂y ∂z Comme dC est une DTE, on a nécessairement

∂2C ∂2C ∂µ ∂µ = ⇔ yz + µz = . ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x

(5)

∂2C ∂2C ∂µ ∂µ = ⇔ = . ∂y∂z ∂z∂y ∂y ∂z

(6)

∂2C ∂µ ∂µ ∂2C = ⇔ yz + µy = . ∂z∂x ∂x∂z ∂z ∂x

(7)

Des équations (5) et (7), on déduit que

∂µ ∂µ yz + µz = yz + µy. ∂y ∂z D'où d'après l'équation (6)

µy = µz ⇔ µ(y − z) = 0 ⇔ µ = 0 On en déduit qu'il n'existe pas de facteur intégrant.

5.4 Extrema locaux : Optimisation sans contraintes Optimiser une fonction c'est chercher les minima ou les maxima (appelés extrema) de la fonction. Ces extrema peuvent être globaux ou locaux.

Dénition: Minimum et maximum locaux Soient U un ouvert de Rn , a ∈ U et f ∈ F(U, R). On dit que a est un ˆ

minimum local de f

si :

f (a) ≤ f (x) pour tout x dans un voisinage de a. ˆ

maximum local de f

si :

f (a) ≥ f (x) pour tout x dans un voisinage de a. ˆ

extremum local de f

si a est un minimum local ou un maximum local de f

65

En se plaçant sur R2 :

Comme dans le cas de fonctions d'une seule variable, nous pouvons dénir les points critiques d'une fonction de plusieurs variables.

Dénition: Point critique Soient U un ouvert de Rn , a ∈ U et f ∈ F(U, R). On dit que a est un point si : ∂f (a) = 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}. df (a) = 0 autrement dit ∂xi

critique de f

Théorème: Condition nécessaire d'extremum local Soient U un ouvert de Rn , a ∈ U et f ∈ F(U, R). Si f admet en a un extremum local et si les dérivées partielles de f en a existent alors a est un point critique de f .

Théorème: Condition susante d'extremum local Soient U un ouvert de R2 , f ∈ F(U, R) de classe C 2 et a ∈ U un point critique de f . On note :

r=

∂2f (a), ∂x2

s=

∂2f (a), ∂x∂y

t=

∂2f (a). ∂y 2

Soit δ = det(Hf (a)) = rt − s2 le déterminant de la matrice hessienne de f . Si δ > 0 alors f présente un extremum local en a. ˆ Il s'agit d'un minimum local si r > 0 ˆ Il s'agit d'un maximum local si r < 0

Dénition: Point selle ou point col Soit a un point critique de f . Si en a la fonction f admet un minimum dans une direction et un maximum dans une autre, le point a est appelé point selle ou point col. En se plaçant sur R2 : 66

Théorème: Soient U un ouvert de R2 , f ∈ F(U, R) de classe C 2 et a ∈ U un point critique de f . On note :

r=

∂2f (a), ∂x2

s=

∂2f (a), ∂x∂y

t=

∂2f (a). ∂y 2

Soit δ = det(Hf (a)) = rt − s2 le déterminant de la matrice hessienne de f . 1. Si δ < 0 alors f présente un point col (ou point selle) : ce n'est pas un extremum. 2. Si δ = 0 alors on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes. Le point a est appelé point plat.

Exemple

: Soit f ∈ F(R2 , R2 ) dénie par

f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy. ˆ Points critiques :

(a, b) point critique ⇔

 ∂f   (a, b) = 0   ∂x   ∂f   (a, b) = 0 ∂y

 ⇔

4a3 − 4b = 0 ⇔ 4b3 − 4a = 0



b = a3 − 1) = 0

a(a8

Or a(a8 − 1) = 0 ⇔ a = 0, a = 1, ou a = −1. Donc les points critiques sont : (0, 0), (1, 1) et (−1, −1). ˆ Nature des points critiques

 Hf (x, y) =

12x2 −4 −4 12y 2



On en déduit que det(Hf )(x, y) = 144x2 y 2 − 16. ˆ Pour (x, y) = (0, 0), δ = −16 < 0 donc (0, 0) est un point col. ˆ Pour (x, y) = (1, 1), δ = 144 − 16 = 128 > 0 et r = 12 > 0 donc (1, 1) est un minimum local. 67

ˆ Pour (x, y) = (−1, −1), δ = 144 − 16 = 128 > 0 et r = 12 > 0 donc (−1, −1) est un minimum local.

Exercice d'application : Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy 2. g(x, y) = x2 + y 2 − 4x + 6y + 25 3. h(x, y) = x2 + y 2 + sin(x2 + y 2 )

68

6 Intégrales multiples Les intégrales multiples constituent la généralisation des
b intégrales dites simples c'est-à-dire les intégrales d'une fonction d'une seule variable réelle, a f (x) dx, pouvant être interprétées → − comme l'aire de la partie délimitée par la courbe de f , l'axe (0, i ) et les droites d'équations x = a et x = b. Dans le cas d'une fonction de deux variables, l'idée des intégrales doubles est de mesurer le volume délimité par le graphe de cette fonction, au dessus d'un domaine D du plan.

6.1 Intégrales doubles 6.1.1 Intégrales doubles sur un rectangle Soient a, b, c, d ∈ R tels que a < b et c < d. Soient D ⊂ R2 un rectangle de R2 déni par D  = [a, b] × [c, d] et f : D → R une fonction continue sur D. L'intégrale double de f sur D, notée

f (x, y) dxdy , est dénie par : D





b d

f (x, y) dxdy =

f (x, y) dxdy.

D

a

c

6.1.2 Propriétés des intégrales doubles Proposition: Soient f et g deux fonctions continues sur un domaine D ⊂ R2 1.

Linéarité : Pour tout α, β ∈ R 





(αf + βg)(x, y) dxdy = α

f (x, y) dxdy + β

D

2.

Positivité : Soit f

D

g(x, y) dxdy. D

non identiquement nulle sur D. 

Si f (x, y) ≥ 0 pour tout (x, y) ∈ D alors

f (x, y) dxdy ≥ 0. D

3.

Croissance : Pour tout (x, y) ∈ D





Si f (x, y) ≤ g(x, y) alors

f (x, y) dxdy ≤ D

69

g(x, y) dxdy. D

6.1.3 Théorème de Fubini Théorème: Théorème de Fubini Soit f une fonction continue sur un rectangle D = [a, b] × [c, d]. Alors 



b  d

f (x, y) dxdy = D

a

  f (x, y) dy dx =

c

d  b

c

 f (x, y) dx dy.

a

Le calcul d'une intégrale double sur un domaine D de la forme D = [a, b] × [c, d] peut se ramener à deux calculs d'intégrales simples, l'ordre des intégrations étant quelconques : 

b

ˆ on intègre d'abord par rapport à x entre a et b,

f (x, y) dx, en laissant y constant : on

a

obtient alors une fonction de y . Puis on intègre le résultat obtenu par rapport à y entre  d  b f (x, y) dx dy . c et d : c

a



ˆ on intègre d'abord par rapport à y entre c et d,

d

f (x, y) dy , en laissant x constant :

c

on obtient alors une fonction dex. On intègre ensuite le résultat obtenu par rapport à x  b  d entre a et b : f (x, y) dy dx. a

Exemple

c



1 dxdy . 1+x+y

: Calculons I = [0,1]×[0,1]

1 La fonction (x, y) 7→ est continue sur [0, 1] × [0, 1] donc d'après le Théorème de 1+x+y Fubini :   1  1 1 I= dy dx 0 0 1+x+y 

1

= 0



[ln(1 + x + y)]10 dx

1

(ln(2 + x) − ln(1 + x)) dx

= 0



1

ˆ Calcul de

ln(2 + x) dx.

0

En eectuant le changement de variables z = 2 + x puis en faisant une intégration par parties on a : 



1

ln(2 + x) dx = 0



ˆ Calcul de

2 1

3

ln(z) dz = [z ln(z) − z]32 = 3 ln(3) − 2 ln(2) − 1.

ln(1 + x) dx.

0

70

En eectuant le changement de variables z = 1 + x puis en faisant une intégration par parties on a : 



1

ln(1 + x) dx = 1

0

2

ln(z) dz = [z ln(z) − z]21 = 2 ln(2) − 1.

On en déduit

I = 3 ln(3) − 4 ln(2).



Exercice d'application : Calculer I =   1 11 Réponse : ln . 2 10

[0,1]×[2,5]

1 dxdy . (1 + x + 2y)2

Corollaire: Soient g une fonction continue sur [a, b] et f une fonction continue sur [c, d], on a : 

 g(x)f (y) dxdy =

g(x) dx

[a,b]×[c,d]

Exemple

 

b

d

 f (y) dy .

a

c



: Calculons

ex+2y dxdy . [0,1]×[0,2]

La fonction (x, y) 7→ ex+2y est continue sur [0, 1] × [0, 2] donc d'après le Théorème de Fubini  1   2   ex+2y dxdy = ex dx e2y dy [0,1]×[0,2]

0

= [ex ]10

0



1 2y e 2

2 0

1 = (e − 1)(e4 − 1). 2 

Exercice d'application : Calculer l'intégrale I = Réponse : I = 1

71

sin(x) cos(y) dxdy. [0, π2 ]×[0, π2 ]

Le théorème de Fubini se généralise à des parties bornées autres que les rectangles.

Théorème: Généralisation du Théorème de Fubini Soit f une fonction continue sur un domaine borné D de R2 . ˆ Si le domaine D est de la forme :  D = (x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b]

et g(x) ≤ y ≤ h(x) ,

où g et h sont deux fonctions continues sur [a, b] telles que g ≤ h, alors 



b



!

h(x)

f (x, y) dy

f (x, y) dxdy = a

D

dx.

g(x)

ˆ Si le domaine D est de la forme :  D = (x, y) ∈ R2 | y ∈ [c, d]

et g(y) ≤ x ≤ h(y) ,

où g et h sont deux fonctions continues sur [c, d] telles que g ≤ h, alors 



d



f (x, y) dx

f (x, y) dxdy = D

Exemples

!

h(y)

c

dy.

g(y)

:

1. Soit D le domaine délimité  par les côtés du triangle ABC avec A(1, 0), B(0, 1) et

C(0, −1). Calculons I =

f (x, y) dxdy où f (x, y) = x + 2y . D

Déterminons dans un premier temps les équations des droites (AB) et (AC) : ˆ Équation de la droite (AB) : y = −x + 1. ˆ Équation de la droite (AC) : y = x − 1.

72

Pour x variant de 0 à 1, y varie de x − 1 à 1 − x, autrement dit :  D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 et x − 1 ≤ y ≤ 1 − x . De plus, f est continue sur R2 donc sur D. On a alors d'après le théorème de Fubini :   1  1−x I= f (x, y) dy dx 0 x−1   1  1−x (x + 2y) dy dx = 0



x−1 1

xy + y 2

= 0



1−x x−1

dx

1


x − x2 dx

=2 0

1 = . 3 

2. Calculons I = D

x2

y dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}. +1

On a

p D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }. y est continue sur D donc d'après le théorème de Fubini : La fonction (x, y) 7→ 2 x +1 !  1  √1−x2 y I= dy dx x2 + 1 0 0 !  1  √1−x2 1 = y dy dx 2 0 1+x 0 

1 1 1 − x2 dx 2 0 1 + x2  1 1 2 − 1 dx = 2 0 1 + x2 1 = [2 arctan(x) − x]10 2 π 1 = − 4 2

=

Exercices d'applications : 1. Soit D le domaine délimité par les côtés du triangle OAB avec O(0, 0), A(1, 0) et 

B(0, 2). Calculer I = Réponse : I = 2.

f (x, y)dxdy où f (x, y) = (2x + y)2 . D

73



2. Calculer I =

x(y − ey ) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. D

Réponse : I =

61 − e. 24

6.1.4 Changement de variables Pour une fonction f continue sur un intervalle I ⊂ R, lorsque l'on ne peut pas facilement déterminer la primitive de f , on a recours à un changement de variables astucieux pour contourner la diculté. En eectuant le changement de variable x = ϕ(t), où ϕ : [α, β] → I est une fonction de classe C 1 , on doit remplacer dx par ϕ0 (t)dt. Dans ce cas, on obtient la formule du changement de variables suivante :   β

ϕ(β)

f (x) dx =

f [ϕ(t)]ϕ0 (t) dt.

α

ϕ(α)

Si de plus I = [a, b] et ϕ est bijective, on peut écrire : 



b

ϕ−1 (b)

f (x) dx =

f [ϕ(t)]ϕ0 (t) dt.

ϕ−1 (a)

a

Pour une intégrale multiple, c'est le jacobien qui va jouer le rôle de la dérivée : Proposition: Formule du changement de variables Soient Ω et D deux domaines de R2 et ϕ une bijection de classe C 1 du domaine Ω au domaine D: ϕ: Ω → D (u, v) 7→ (x, y) = ϕ(u, v) Alors :





(f ◦ ϕ)(u, v)|det(Jϕ (u, v))| dudv,

f (x, y) dxdy = Ω

D

où Jϕ est la matrice jacobienne de ϕ i.e la matrice des dérivées partielles de ϕ.

Changement de variables en coordonnées polaires. Les coordonnées polaires sont dénies par l'application ϕ : ϕ : R+ × [0, 2π[ → R2 (r, θ) 7→ (r cos(θ), r sin(θ)) On a vu que det(Jϕ (r, θ)) = r. On a donc pour Ω un domaine de R+ × R, 



f (x, y) dxdy = D

f (r cos(θ), r sin(θ)) r drdθ. Ω

74

Remarque: Si D est le domaine délimité par le disque de centre (a, b) et de rayon R alors le changement de variables est déni par :  x = a + r cos(θ) avec 0 ≤ r ≤ R. y = b + r sin(θ) Autrement dit, la fonction ϕ est dénie par

ϕ(r, θ) = (a + r cos(θ), b + r sin(θ)).

Exemples

:



 x−y dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. x + y D Pour (x, y) ∈ D, considérons le changement de variables :  u = x−y v = x+y

1. I =



exp

Comme (x, y) ∈ D, on sait que 0 ≤ v ≤ 1. De plus, on a   u + v = 2x u+v ≥ 0 ⇒ ⇔ −v ≤ u ≤ v. u − v = −2y u−v ≤ 0

Posons Ω = {(u, v) ∈ R2 | 0 ≤ v ≤ 1, −v ≤ u ≤ v} et ϕ la fonction dénie par

→ D   u+v v−u (u, v) 7→ , 2 2

ϕ: Ω

D'après la formule du changement de variables, on a : 

f (ϕ(u, v)) |det(Jϕ (u, v))| dudv

I= Ω

75

Or,

1 2

 Jϕ (u, v) =

− 12

Donc

1 2

I= La fonction (u, v) 7→ exp

u v

1 2 1 2



1 ⇒ det(Jϕ (u, v)) = . 2



exp

u v

Ω

est continue sur Ω donc d'après le théorème de Fubini,

1 I= 2



1  v

exp −v

0



1h

2 +y 2

2. Calculons

e(x−1)

 du dv

u

v  u iv

1 v exp 2 0 v  1 1 1 = v(e − ) dv 2 0 e 1 1 = (e − ). 4 e

=



dudv.

−v

dv

dxdy , où D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, (x − 1)2 + y 2 ≤ 4}.

D

L'équation (x − 1)2 + y 2 ≤ 4 représente l'intérieur du disque de centre (1, 0) et de rayon 2, on considère donc le changement en coordonnées polaires :  x = 1 + r cos(θ) avec 0 ≤ r ≤ 2. y = r sin(θ)

h πi Puisque x ≥ 0 et y ≥ 0, on ne considère que le quart du disque autrement dit θ ∈ 0, . 2 Posons h πi ϕ : [0, 2] × 0, → D 2 (r, θ) 7→ (1 + r cos(θ), r sin(θ)) On a det(Jϕ (r, θ)) = r. D'après la formule du hchangement de variables et puisque la πi 2 r fonction (r, θ) 7→ re est continue sur [0, 2] × 0, , on en déduit d'après le théorème 2 de Fubini :    2   π  2 2 2 e(x−1) +y dxdy = er r dr  2 dθ D

0



0

2

π 1 r2 e 2 2 0 π 4 = (e − 1). 4 =

76

Exercices d'applications : 

x2 y dxdy , où D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x − y ≤ 2 et − 1 ≤ x + 3y ≤ 3}.

1. Calculer D

Réponse : −

17 . 256



2. Calculer D

Réponse : 0.

x2

xy dxdy , où D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 9}. + y2

6.2 Intégrales triples Le principe est le même que pour les intégrales doubles. Nous généralisons rapidement les résultats précédents au cas des fonctions de trois variables. 3 Pour D = [a, b] × [c, d] × [e, f ] une partie  de R et f une fonction continue sur D, on appelle intégrale triple de f sur D, et on note f (x, y, z) dxdydz , l'intégrale dénie par : D





b d f

f (x, y, z) dxdydz =

f (x, y, z) dxdydz. a

D

c

e

6.2.1 Théorème de Fubini Pour une fonction continue, le calcul d'une intégrale triple sur un domaine D de la forme D = [a, b] × [c, d] × [e, f ], peut se ramener à trois calculs d'intégrales simples, l'ordre des intégrations étant quelconques.

Théorème: Théorème de Fubini Soit f une fonction continue sur le domaine D = [a, b] × [c, d] × [e, f ]. Alors 



b  d  f

f (x, y, z) dxdydz = D

Exemple

 f (x, y, z) dz

a

c

dy



(x + 3yz) dxdydz . [0,1]×[1,2]×[1,3]

77

f



d  b

 f (x, y, z) dx

dx = e

e

: Calcul de I =





c

a

 dy

dz = ...

La fonction (x, y, z) 7→ x + 3yz étant continue, on a d'après le théorème de Fubini,    1  2  3 I= x + 3yz dz dy dx 0 1 1 !   1  2 3 2 3 = xz + yz dy dx 2 0 1 1   1  2 (2x + 12y) dy dx = 0



1 1

2xy + 6y 2

= 0



2 1

dx

1

(2x + 18) dx

= 0

 1 = x2 + 18x 0 = 19 Le théorème de Fubini se généralise à des parties bornées quelconques.

Théorème: Généralisation du Théorème de Fubini Soit f une fonction continue sur un domaine borné D de R3 . Si le domaine D est de la forme :  D = (x, y, z) ∈ R3 | x ∈ [a, b] , y ∈ [g(x), h(x)] et z ∈ [k(x, y), l(x, y)] , où g, h, k, l sont des fonctions continues telles que g ≤ h et k ≤ l, alors 



b



h(x)



f (x, y, z) dz

f (x, y, z) dxdydz = D

!

l(x,y)

a

g(x)

! dy

k(x,y)

Remarque: En intervertissant les rôles de x, y et z , on obtient les autres cas.

Exemple



: Calcul de I =

(x2 + yz) dxdydz où D

D = (x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 et x + y + 2z ≤ 1 . 

Soit (x, y, z) ∈ D. ˆ

On xe x : Comme y, z ≥ 0, on a x ≤ x + y + 2z ≤ 1 On en déduit que 0 ≤ x ≤ 1 .

78

dx

ˆ

ˆ

On fait dépendre y de x : Comme z ≥ 0, on a x + y ≤ x + y + 2z ≤ 1 ⇒ y ≤ 1 − x.

Donc 0 ≤ y ≤ 1 − x .

On fait dépendre z de x et y : x + y + 2z ≤ 1 ⇒ z ≤ D'où 0 ≤ z ≤

1−x−y . 2

1−x−y 2

On a ainsi après calculs : 



1



1−x

1−x−y 2

I= 0

0

! 2

(x + yz) dz

! dy

dx =

0

1 . 96

1 ), faire dépendre x de z 2 (0 ≤ x ≤ 1 − 2z ) et enn faire dépendre y de x et z (0 ≤ y ≤ 1 − x − 2z ). On aurait eu ainsi

Remarque : On aurait très bien pu xer d'abord z (0 ≤ z ≤ 

I=

1 2



0

1−2z



1−x−2z 2

(x + yz) dy 0



 dx

dz =

0



Exercice d'application : Calculer I = D

1 . 96

1 dxdy où (1 + x + y + z)3

 D = (x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 et x + y + z ≤ 1 . Réponse : I = −

5 1 + ln(2). 16 2

6.2.2 Changement de variables Proposition: Formule du changement de variables Soient Ω et D deux domaines de R3 et ϕ une bijection de classe C 1 du domaine Ω au domaine D dénie par : ϕ: Ω → D (u, v, w) 7→ (x, y, z) = ϕ(u, v, w) Alors : 



(f ◦ ϕ)(u, v, w)|det(Jϕ (u, v, w))| dudvdw,

f (x, y, z) dxdydz = D

Ω

où Jϕ est la matrice jacobienne de ϕ i.e la matrice des dérivées partielles de ϕ.

79

ˆ

Changement de variables en coordonnées cylindriques.

Les coordonnées cylindriques sont dénies par l'application ϕ :

ϕ : R+ × [0, 2π[×R → R3 (r, θ, z) 7→ (r cos(θ), r sin(θ), z) On a det(Jϕ (r, θ, z)) = r. On a donc pour Ω un domaine de R+ × R × R, 



f (r cos(θ), r sin(θ), z) r drdθdz.

f (x, y, z) dxdydz = Ω

D

ˆ

Changement de variables en coordonnées sphériques. Les coordonnées sphériques sont dénies par l'application ϕ : ϕ : R+ × R × R → R3 (r, θ, ϕ) 7→ (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ)) On a det(Jϕ (r, θ, ϕ)) = r2 cos(ϕ). On a donc pour Ω un domaine de R+ × R × R, 



f (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ)) r2 cos(ϕ) drdθdϕ.

f (x, y, z) dxdydz = D

Ω

Remarque: Selon le repère considéré, les coordonnées sphériques peuvent aussi s'écrire :   x = r sin(θ) cos(ϕ) y = r sin(θ) sin(ϕ)  z = r cos(θ) Dans le cas, le déterminant du jacobien vaut r2 sin(θ)

80

Exemples

:



1. Calcul de

(x2 + y 2 + 1) dxdydz où D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}. D

On passe en coordonnées cylindriques :   x = r cos(θ) y = r sin(θ) avec r ∈ [0, 1] et θ ∈ [0, 2π].  z = z Posons

ϕ : [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2] → D (r, θ, z) 7→ (r cos(θ), r sin(θ), z)

On montre que ϕ est une bijection de classe C 1 entre [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2] et D(à vérier), on peut donc appliquer la formule du changement de variables : 



2

2

r(r2 + 1) drdθdz.

(x + y + 1) dxdydz = D

[0,1]×[0,2π]×[0,2]

De plus la fonction (r, θ, z) 7→ r(r2 + 1) est continue donc d'après le théorème de Fubini :     2π  2  1 2 2 2 (x + y + 1) dxdydz = (r + 1)r dr dz dθ D 0 0 0  2π   2   1  = dθ dz r(r2 + 1) dr 0

 = 4π = 3π.

81

0

1 2 (r + 1)2 4

0

1 0



2. Calcul de

xz dxdydz où D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }. D

On passe en   x y  z

coordonnées sphériques :

= r cos(θ) cos(ϕ) = r sin(θ) cos(ϕ) = r sin(ϕ)

h π πi avec r ∈ [0, R], θ ∈ [0, 2π] et ϕ ∈ − , . 2 2

D'après la formule du changement de variables et le théorème de Fubini (hypothèses à vérier) : ! !     π R

2π

xy dxdydz = D

0

0



R

r4 dr

= 0

r5 = 5 

2

r2 cos(θ) cos(ϕ) sin(ϕ) × r2 cos(ϕ) dϕ

 

2π





cos(θ) dθ  0

R 0

dθ

dr

− π2

 π 3 (ϕ) cos 2 [sin(θ)]2π − 0 π 3 − 2

 π



2 cos2 (ϕ) sin(ϕ) dϕ π − 2

= 0.

Exercices d'applications : 

1. Calculer

z 2 dxdydz où D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ h}. D

π 2 3 R h . 3 

Réponse :

1 dxdydz où D = {(x, y, z) ∈ R3 | r2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }, 2 + z2 + y D avec r > 0 et R > 0. Réponse : 4π(R − r)

2. Calculer

x2

82

7 Intégrales curvilignes En mécanique, lorsqu'on déplace une particule (assimilée à un point matériel) dans un champ de force, le travail fournit par ce champ de force est donné par une intégrale le long de la trajectoire décrite par cette particule. Autrement dit, si la particule se déplace de A à B en suivant le chemin → − γ , l'énergie totale apportée par la force F est donnée par :  → (A → B) = W− F

− → → − F (x).dx.

γ

Interprétation : On approche le chemin par une somme de petits déplacements, on calcule le travail correspondant à chacun de ces petits déplacements, et on somme le tout pour obtenir le travail total. 

An de calculer l'intégrale intégrale sur un segment de R.

− → → − F (x).dx, on va paramétrer le chemin γ an de se ramener une

γ

7.1 Circulation d'un champs de vecteurs Dénition: Courbe paramétrée ˆ On appelle

courbe paramétrée de classe C k , k ≥ 0, un couple (I , γ ) avec :

(a) I un intervalle de R, (b) γ une application de classe C k de I à valeurs dans Rn . Cas particulier : si I = [a, b] et n = 2 alors

γ : [a, b] → R2 t 7→ γ(t) = (x(t), y(t))

ˆ Si I = [a, b], on dit que la courbe est

fermée si γ(a) = γ(b).

Exemple : La paramétrisation du cercle de centre (0, 0) et de rayon R > 0 est donnée par l'application γ : [0, 2π] → R2 t 7→ γ(t) = (R cos(t), R sin(t))

Dénition: Intégrale curviligne ou circulation

83

Soit Γ = ([a, b], γ) une courbe paramétrée de classe C 1 , telle que γ([a, b]) soit inclus dans U un ~ un champ de vecteurs continu sur U . On appelle intégrale curviligne ouvert de Rn . Soit V ~ sur Γ, l'intégrale dénie par : ou circulation de V 



~ = V Γ

b

~ (γ(t)) · γ 0 (t) dt V

a

L'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs sur une courbe ne dépend que de l'orientation, et non du choix de la paramétrisation.

Remarque : Notation:



~ sur Γ est notée : En physique, la circulation de V

− → − ~ ·→ V dl , avec dl le vecteur

Γ

élémentaire le long de Γ.

déplacement

Remarque importante: ~ (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) et γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], alors Si V 



~ = V Γ

b

P (x(t), y(t)) x0 (t) + Q (x(t), y(t)) y 0 (t) dt.

a

Il s'agit  alors de l'intégrale curviligne de la forme diérentielle ω = P dx + Q dy , que l'on note aussi

P dx + Q dy . Γ

Le vecteur γ 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) est le vecteur tangent à la courbe Γ au point γ(t). Lorsque γ(t) décrit la trajectoire d'un point matériel, le vecteur γ 0 (t) est la vecteur vitesse.

84

→ − En physique, lorsque le champ de vecteurs est une force F , l'intégrale curviligne → − appelée le travail de F le long de la trajectoire paramétrée par γ .



→ − F est

Γ

En pratique : Si Γ = ([a, b], γ) avec γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], pour calculer on remplace : 

ˆ



par Γ



P dx + Q dy Γ

b

a

ˆ x par x(t) et y par y(t) ˆ dx par x0 (t)dt et dy par y 0 (t)dt.

Exemple

:



1. Calcul de

x2 dx − xy dy où Γ est l'arc de parabole x = y 2 , 0 ≤ x ≤ 1, orienté dans le Γ

sens des x croissants. Dénissons une paramétrisation de l'arc de parabole : Posons y = t (on dénit y comme étant le paramètre), on a    0 ≤ x ≤ 1  0 ≤ t ≤ 1 x = y2 x = t2 ⇒   y = t y = t On pose alors :

γ : [0, 1] → R2 t 7→ (t2 , t) := (x(t), y(t))

Donc 



1

x2 dx − xy dy = Γ

x2 (t)x0 (t) − x(t)y(t)y 0 (t) dt

0



1


t4 .2t − t2 t dt

= 0



1


2t5 − t3 dt

= 0

1 = . 12

85

~ 2. Soit Γ le cercle  de centre (0, 0) et de rayon 1 et V le champ de vecteur déni par ~ (x, y) = −y . Calculons la circulation de V ~ sur Γ. V x Dénissons une paramétrisation de Γ : Γ étant le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1, on considère le changement de variables en coordonnées polaires :  x = cos(θ) avec θ ∈ [0, 2π]. y = sin(θ) On pose alors

On a ainsi

γ : [0, 2π] → R2 θ 7→ (cos(θ), sin(θ)) 



2π

~ (γ(θ)) · γ 0 (θ) dθ V 0     2π  − sin(θ) − sin(θ) = · dθ cos(θ) cos(θ) 0  2π
= sin2 (θ) + cos2 (θ) dθ

~ = V Γ

0



2π

=

1 dθ 0

= 2π. Exercices d'applications :



1. Calculer l'intégrale curviligne

y sin(x) dx + x cos(y) dy où Γ est le segment de droite Γ

qui joint le point O(0, 0) au point A(1, 1) et orienté de O vers A. Réponse : 2 sin(1) − 1. 

y x dx + 2 dy où Γ est le cercle de rayon a 2 +y x + y2 Γ centré en O et parcouru dans le sens trigonométrique. Réponse : 2π .

2. Calculer l'intégrale curviligne

−

x2

Théorème:

−→ ~ =− ~ dérive d'un potentiel scalaire) et si Γ est une courbe orientée Si V grad f (autrement dit V d'origine A, d'extrémité B incluse dans U , alors : 

~ = f (B) − f (A). V Γ



~ = 0. V

En particulier, si Γ est fermée, c'est-à-dire si ses deux extrémités sont égales, alors Γ

la circulation sur une courbe fermée de tout champ de vecteurs dérivant d'un potentiel est nulle. Autrement dit,

86

7.2 Formule de Green-Riemann Pour ω une forme diérentielle et Γ une courbe fermée, la formule de Green-Riemann établit   une relation entre une intégrale curviligne

ω et une intégrale double Γ

est le domaine intérieur à Γ.

f (x, y) dxdy où D D

Théorème: Formule de Green-Riemann Soit Γ une courbe fermée, qui entoure un domaine D, autrement dit Γ = ∂D = frontière de D et P et Q deux fonctions de classe C 1 . On a :  



P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D

Γ

Exemples

:

∂Q ∂P (x, y) − (x, y) ∂x ∂y

 dxdy.



1. Calcul de

−x2 y dx + xy dy où Γ est le cercle de centre (0, 0) et de rayon R > 0. Γ

ˆ Γ est un cercle donc une courbe fermée. ˆ Posons P (x, y) = −x2 y et Q(x, y) = xy . P et Q sont de classe C 1 et on a

∂Q (x, y) = y ∂x

et

∂P (x, y) = −x2 . ∂y

On a ainsi d'après la formule de Green-Riemann : 

 2

(y + x2 ) dxdy

−x y dx + xy dy = Γ

où D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 }.

D

Pour résoudre cette intégrale double on passe en coordonnées polaires, on obtient alors : 



R  2π

(y + x2 ) dxdy = D

(r sin(θ) + r2 cos2 (θ))r drdθ 0 0   R  2π 2 2 = r (r sin(θ) + r cos (θ)) dθ dr d'après le théorème de Fubini 0 0     R  2π 2 1 + cos(2θ) = r r sin(θ) + r dθ dr 2 0 0 2π  R  r2 1 = r −r cos(θ) + (θ + sin(2θ)) 2 2 0 0 

R

r3 dr

=π 0

π = R4 . 4 87

x2 y 2 + 2 ≤ 1. a2  b   x2 y 2 2 dxdy où D = (x, y) ∈ R | 2 + 2 ≤ 1 . → On cherche à calculer a b D      1 ∂Q ∂P dxdy = (1 + 1) dxdy = dxdy, − 2 D ∂x ∂y D D

2. Calcul de l'aire de l'ellipse d'équation

avec

∂Q (x, y) = 1 et ∂x

∂P = −1 ∂y

Or une primitive de x 7→ 1 est x 7→ x (et donc Q(x, y) = x) et une primitive de y 7→ −1 est y 7→ −y (et donc P (x, y) = −y ). Ainsi d'après la formule de Green-Riemann :     2 y2 1 2 x −y dx + x dy où Γ = ∂D = (x, y) ∈ R | 2 + 2 = 1 . dxdy = 2 Γ a b D

Pour résoudre cette dernière intégrale, passons en coordonnées polaires :  x = ar cos(θ) avec r = 1 (car on est sur le cercle de rayon 1) et θ ∈ [0, 2π]. y = br sin(θ). On a donc le changement de variables :  x = x(θ) = a cos(θ) y = y(θ) = b sin(θ). Ainsi :





2π


−y(θ)x0 (θ) + x(θ)y 0 (θ) dθ

−y dx + x dy = Γ

avec θ ∈ [0, 2π].

0



=

2π

(ab sin(θ) sin(θ) + ab cos(θ) cos(θ)) dθ 0

= 2πab. On en déduire que l'aire de l'ellipse est πab.

Exercices d'applications : En utilisant la formule de Green-Riemann calculer 

1.

(y + xy) dx avec Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, délimitée par la droite Γ

y = x et la parabole y = x2 .

1 Réponse : − . 4



2.

(x − y) dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, D

88

x2 y 2 + ≤ 1}. 4 4

Réponse : 0

8 Intégrales de surface 8.1 Surface paramétrée Dénition: Surface paramétrée Soit ∆ un domaine de R2 . Une fonction (vectorielle) :

surface paramétrée de R3 , de paramètres dans ∆, est une

f: ∆ → R3 (u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) L'image S = f (∆) = {f (u, v), (u, v) ∈ ∆} est appelé le support de f . On dit aussi que S est la surface paramétrée par f (ou que f est une paramétrisation de S ). De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est donnée avec son paramétrage.

Exemple

: Paramétrisation de la sphère de Rayon R > 0

f : [0, π] × [0, 2π[ → R3 (θ, ϕ) 7→ (R sin(θ) cos(ϕ), R sin(θ) sin(ϕ), R cos(θ))

Dénition: Vecteur normal à la surface Soit S une surface paramétrée par f : ∆ ⊂ R2 → R3 de classe C 1 . ˆ Le

vecteur normal à la surface est le vecteur : ~n = ~n(u, v) =

où

∂f = ∂u



∂x ∂y ∂z , , ∂u ∂u ∂u

ˆ On dit que la surface paramétrée est ˆ Le



et

∂f ∂f ∧ , ∂u ∂v ∂f = ∂v



∂x ∂y ∂z , , ∂v ∂v ∂v

 .

régulière si ~n(u, v) 6= ~0 pour tout (u, v) ∈ ∆.

vecteur normal unitaire à la surface régulière est le vecteur : ~ = ~n . N k~nk

Exemple

: Reprenons l'exemple de la paramétrisation de la sphère de Rayon R > 0

f : [0, π] × [0, 2π[ → R3 (θ, ϕ) 7→ (R sin(θ) cos(ϕ), R sin(θ) sin(ϕ), R cos(θ))

89

Alors :

∂f (θ, ϕ) = (R cos(θ) cos(ϕ), R cos(θ) sin(ϕ), −R sin(θ)) , ∂θ et

∂f (θ, ϕ) = (−R sin(θ) sin(ϕ), R sin(θ) cos(ϕ), 0) ∂ϕ

 R2 sin2 (θ) cos(ϕ) ∂f ∂f ∧ =  R2 sin2 (θ) sin(ϕ)  ~n(θ, ϕ) = ∂θ ∂ϕ R2 cos(θ) sin(θ) 

La surface paramétrée de la sphère est régulière pour θ 6= 0, π .

Remarque: Il existe deux vecteurs normaux à une surface : ~n(u, v) ou −~n(u, v).

Dénition: Orientation d'une surface paramétrée Soit f : ∆ ⊂ R2 → R3 une surface paramétrée régulière. On appelle orientation de f , la donnée d'un champ de vecteurs normaux à la surface. On note S + la surface orientée par un vecteur sortant et S − par la surface orientée dans le sens opposé.

90

8.2 Flux d'un champ de vecteurs Dénition: Flux d'un champ à travers une surface ~ un champ de vecteurs sur R3 déni sur un ouvert U de R3 . Soit S + une surface orientée Soit V contenue dans U , paramétrée par f : ∆ ⊂ R2 → R3 de classe C 1 et orientée par le vecteur ~ à travers S + l'intégrale : normal ~n(u, v). On appelle Flux du champ V 

→ ~ ·− V dS = S+



~ (f (u, v)) · ~n(u, v) dudv V ∆

~ à travers S + s'écrit : Si S + est une surface fermée, le ux de V 

→ ~ ·− V dS S+

Proposition: ~ un champ de vecteurs sur R3 déni sur un ouvert U de R3 et S + une surface orientée Soient V contenue dans U . Si S − est la même surface orientée dans le sens opposé à celui de S + , alors on a :   − → → ~ ~ ·− V · dS = − V dS S−

S+

Exemple

~ (x, y, z) = (z, x, y) et la surface : On considère le champ de vecteurs V = {x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1], z ∈ R | z = xy}, paramétrée par f (u, v) = (u, v, uv) avec u ∈ [0, 1] et v ∈ [0, 1] et orientée par ∂f ∂f ~n(u, v) = ∧ . ∂u ∂v ~ à travers S + . Calculons le ux de V S+

On a :

Donc :



     1 0 −v ~n(u, v) =  0  ∧  1  =  −u  v u 1 

→ ~ ·− V dS =



~ (f (u, v)) · ~n(u, v) dudv V

S+

[0,1]×[0,1]



= 



   uv −v  u  ·  −u  dudv [0,1]×[0,1] v 1 (−uv 2 − u2 + v) dudv

= [0,1]×[0,1]

91

La fonction (u, v) 7→ −uv 2 − u2 + v est continue sur [0, 1] × [0, 1], donc d'après le théorème de Fubini :   1   1   1   1 − → 2 2 ~ V · dS = − u du v dv − u du + v du S+

0

0

0

0

1 1 1 1 =− × − + 2 3 3 2 =0

~ (x, y, z) = (xz, −yz, 0) et le Exercice d'application : On considère le champ de vecteurs V cylindre paramétré par f (θ, z) = (R cos(θ), R sin(θ), z) avec θ ∈ [0, 2π[ et z ∈ [0, H] et orientée ∂f ∂f ~ à travers le cylindre. par ~n(θ, z) = ∧ . Calculer le ux de V ∂θ ∂z

Remarque: Si une surface S est décrite par la relation f (u, v, w) = 0 dans un système de coordonnées (u, v, w) avec f une fonction de classe C 1 dans R, alors en tout point M , un vecteur normal unitaire à la surface est donné par :

−−→ gradf ~ N (M ) = −−→ (M ). kgradf k −−→ Cela provient du fait qu'en tout point M , le vecteur gradient gradf (M ) est perpendiculaire à S en ce point.

8.3 Théorèmes intégraux 8.3.1 Théorème de Stokes Théorème: Théorème de Stokes Soient S une surface de R3 orientée par le choix d'un champ de normales ~n et Γ = ∂S le bord ~ un champ de vecteurs de classe C 1 dans R3 . Le ux du rotationnel de fermé de S . Soit V ~ à travers la surface S est égal à la circulation de V ~ le long du bord ∂S : V 

→ −→ ~ − rot V · dS = S



~. V Γ

Exemple

: Soit la surface S dénie par : S = {(x, y, z) ∈ R3 | y 2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1, 0 ≤ x ≤ 1} et orientée par les normales ~n telles que ~n · ~ez ≥ 0. On appelle Γ le bord fermé de S orienté de façon cohérente avec S .

92

Q. Calculer la circulation I ˆ


~ = 1 z 2 , x2 , y 2 le long de Γ. de V 2

Méthode 1 : calcul direct





~ = V

I=

~ + V

Γ

ΓAB



~ + V ΓBC



~ + V ΓCD

~ V ΓDA

où Γ = ΓAB ∪ ΓBC ∪ ΓCD ∪ ΓDA ˆ Paramétrisation du segment [AB] : ~γAB (t) = (t, 1, 1) où t ∈ [1, 0] ˆ Paramétrisation du demi-cercle BC : ~γBC (t) = (0, cos t, 1 + sin t) où t ∈ [0, π] ˆ Paramétrisation du segment [CD] : ~γCD (t) = (t, −1, 1) où t ∈ [0, 1] ˆ Paramétrisation du demi-cercle DA : ~γDA (t) = (1, cos t, 1 + sin t) où t ∈ [π, 0] 

− ~ ·→ V d` =

?



ΓAB



1

− ~ ·→ V d` =

? ΓBC

= = = 

? ΓCD

0

− ~ ·→ V d` =



π



1

 2    1 1 1 0 1  2   1 t · 0 dt = dt = − 2 2 2 1 12 0

   0 (1 + sin t)2 1  · − sin t dt 0 2 0 2 cos t cos t  π  π
1 1 cos3 t dt = cos t 1 − sin2 t dt 2 0 2 0   π  π 1 2 cos t dt − cos t sin t dt 2 0 0   3 π  1 sin t π [sin t]0 + =0 2 3 0

0



    12 1 1 2    1 1 1 t · 0 dt = dt = 2 2 0 2 0 (−1)2 

93



?



    0 (1 + sin t)2 1  · − sin t dt 1 π 2 2 cos t cos t  0
1 = − sin t + cos3 t dt 2 π   1 0 1 0 =− sin t dt + cos3 t dt 2 π 2 π | {z }

− ~ ·→ V d` =

ΓDA

0

=0

1 = [cos t]0π = 1 2 D'où :



I=

ˆ

− 1 1 ~ ·→ V d` = − + 0 + + 1 = 1. 2 2 Γ

Méthode 2 : Théorème de Stokes −→

~ est : rot V ~ = (y, z, x). ? Le rotationnel de V ? Paramétrisation de S : f : [0, 1] × [π, 0] −→ R3 (u, v) 7−→ (u, cos v, 1 + sin v)

de normale :

      0 0 1 ~ ~ ∂f ∂f ~n = ∧ = 0 ∧ − sin v  = − cos v  ∂u ∂v − sin v cos v 0

? D'où : 



   0 cos v 1 + sin v  · − cos v  du dv I= S [0,1]×[π,0] − sin v u  1 = (− cos v − sin v cos v − u sin v) du dv = [cos v]0π 2 [0,1]×[π,0] → −→ ~ − rot V · dS =



=1

94

Remarque: Formule de Green-Riemann : cas particulier du théorème de Stokes −→ ~ Si S est une surface plane dans le plan xOy et rotV est orthogonal à S , le dépend pas de z et on a :

~ (x, y) = P (x, y) ~i + Q(x, y) ~j V

−→ ~ et rotV =



∂Q ∂P − ∂x ∂y



~ ne champ V

~k.

En appliquant le théorème de Stokes, on a :     ∂Q ∂P dxdy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. − ∂x ∂y S Γ On retrouve ainsi la formule de Green-Riemann.

8.3.2 Théorème de Green-Ostrogradsky Théorème: Théorème de Green-Ostrogradsky ou Théorème de divergence Soit Ω un domaine de R3 délimité par une surface fermée S orientée par un vecteur normal sortant. Soit F~ un champ de vecteurs de classe C 1 dans R3 . Alors : 

− → F~ · dS =



S

div F~ dV, Ω

où dV est le volume élémentaire de Ω. Autrement dit, le ux du champ de

vecteurs l'intégrale de sa divergence sur le volume V .

95

F~

à travers la surface

S

est égal à

Remarques:

ˆ En coordonnées cartésiennes : dV = dx dy dz

ˆ En coordonnées cylindriques : dV = r dr dθ dz

ˆ En coordonnées sphériques : dV = r2 sin(θ) dr dθ dϕ

Exemples : 1. Calcul du ux Φ de F~ (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) à travers les surfaces d'un cube centré à l'origine de côté 1.   3

Soit Ω le domaine délimité par le cube centré à l'origine de côté 1 : Ω = − 12 , 12 . La divergence de F~ est div F~ = 2 + 2 + 2 = 6. D'après le théorème de Green-Ostrogradski : 

− → F~ · dS =

Φ= S



div F~ dxdydz Ω

=

3

6 dxdydz

[− 21 , 12 ] 

=6

1 2

dx

− 21

|

! 

1 2

− 12

{z

!  dy

1 2

96

(Théorème de Fubini)

dz

− 12

= volume du cube de côté 1

= 6 × 1 × 1 × 1 = 6.

!

}

2.

Calcul du ux Φ de A~ (x, y, z) = (y, x, z) à travers la demi-sphère S qui s'appuie sur le cercle de centre O et de rayon R = 1.  Méthode 1 : Paramétrisation de la demi-sphère S de rayon 1  π 0, 2 × [0, 2π] −→ R3 (θ, ϕ) 7−→ (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)
et ~n (θ, ϕ) = sin2 θ cos ϕ, sin2 θ sin ϕ, cos θ sin θ . f:



→ ~·− A dS =

Φ=



S

θ=0





2π



2π

  2  sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ ·  sin2 θ sin ϕ  dθ dϕ ϕ=0 cos θ cos θ sin θ

π 2

π 2




2 sin3 θ cos ϕ sin ϕ + cos2 θ sin θ dθ dϕ θ=0 ϕ=0 !    π  π 2π 2 2 3 =2 sin θ dθ cos ϕ sin ϕ dϕ + 2π cos2 θ sin θ dθ

=

θ=0

θ=0

ϕ=0

d'après le théorème de Fubini. Or ˆ



π 2



π 2

3

sin θ dθ =

θ=0


sin θ 1 − cos2 θ dθ

θ=0



π 2

=



sin θ dθ −

θ=0 π 2

= [− cos θ]0 +



π 2

cos2 θ sin θ dθ

θ=0 π cos3 θ 2

3

0

2 1 =1− = 3 3 ˆ



 2π cos2 ϕ 1 1 cos ϕ sin ϕ dϕ = − =− + =0 2 2 2 ϕ=0 0

D'où : Φ = 2 × 

2π

2 × 0 + 2π × 3

1 3

=

2π . 3

Méthode 2 : Théorème de Green-Ostrogradski Soit Ω le volume de la demi-sphère S qui s'appuie sur le cercle de centre O et de ~ est div A ~ = 0 + 0 + 1 = 1. Puisque S est fermée, rayon R = 1. La divergence de A on peut appliquer le théorème de Green-Ostrogradski : 



~ dxdydz = div A

Φ= Ω

dx dy dz Ω

1 × volume d'une sphère de rayon 1 2 1 4π × 13 2π = × = 2 3 3 =

97