Variables Al Eatoires: Correction [PDF]

Zitiervorschau

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´ Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

TD3: Variables al´ eatoires Probabilit´ es - Statistique N.B.: Les exercices ci-dessus sont extraits du livre d’Anderson D.R., Sweeney D.J., Williams T.A., Statistiques pour l’´economie et la gestion, DeBoeck Universit´e, 2010.

Variables al´ eatoires Exercice 1 (Correction). Le tableau suivant pr´esente la distribution de probabilit´e des indemnit´es pay´ees par la soci´et´e d’assurance automobile Newton en cas de collision. Indemnit´e (en $) 0 500 1 000 3 000 5 000 8 000 10 000

Probabilit´e 0.85 0.04 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01

1. Utiliser l’indemnit´e moyenne en cas de collision pour d´eterminer la prime d’assurance collision qui permet ` a la soci´et´e d’´equilibrer ses comptes. Indication. 2. La compagnie d’assurance fait payer une collision annuelle pour le risque de collision ´egale `a 520 dollars. Quelle est l’esp´erance math´ematique de l’assurance collision pour un assur´e? (Conseil: il s’agit des paiements moyens vers´es par la compagnie moins le coˆ ut de l’assurance). Pourquoi un assur´e souscrit-il `a une police d’assurance collision avec cette esp´erance math´ematique?

Exercice 2 (Correction). La demande pour un produit des industries Carolina fluctue beaucoup d’un moins `a l’autre. La distribution de probabilit´e pr´esent´ee dans le tableau ci-dessus, bas´ee sur les deux derni`eres ann´ees, correspond `a la demande mensuelle qui s’adresse ` a l’entreprise. Demande (en nombre d’unit´es) 300 400 500 600

Probabilit´e 0.20 0.30 0.35 0.15

1. Si l’entreprise base ses commandes mensuelles sur l’esp´erance math´ematique de la demande mensuelle, quelle quantit´e doit ˆetre command´ee par mois? 2. Supposer que chaque unit´e demand´ee g´en`ere un revenu de 70 dollars et coˆ ute 50 dollars. Combien l’entreprise perdra ou gagnera en un mois si sa commande est bas´ee sur votre r´eponse en (1) et que la demande effective pour le produit est de 300 unit´es? Exercice 3 (Correction). La soci´et´e informatique J.R. Ryland envisage l’extension de l’usine afin de pouvoir commencer la production d’un nouvel ordinateur. Le pr´esident de la soci´et´e doit d´eterminer si l’extension doit ˆetre faite `a moyenne ou grande ´echelle. La demande pour le nouveau produit est incertaine; elle peut ˆetre faible, moyenne ou ´elev´ee. Les estimations probabilistes de la demande sont respectivement 0.20, 0.50 et 0.30. Soit X le profit annuel en milliers de dollars dans le cas du projet `a moyenne ´echelle et Y le profit annuel dans le cas du projet ` a grande ´echelle. Les r´evisionnistes de la firme ont d´evelopp´e les pr´evisions de profit suivantes pour les projets d’expansion ` a moyenne et grande ´echelle. 1

Demande

Faible Moyenne ´ ee Elev´

Expansion `a moyenne ´echelle x P (X = x) 50 0.20 150 0.50 200 0.30

Expansion `a grande ´echelle y P (Y = y) 0 0.20 100 0.50 300 0.30

1. Calculer l’esp´erance math´ematique du profit pour les deux alternatives d’expansion. Quelle d´ecision est pr´ef´erable en termes de maximisation du profit? 2. Calculer la variance du profit pour les deux alternatives d’expansion. Quelle d´ecision est pr´ef´erable en termes de minimisation de risques ou de l’incertitude?

La Loi Binomiale N.B.: On consid` ere l’exp´ erience al´ eatoire qui consiste ` a r´ ep´ eter n fois le sch´ ema de Bernoulli E de mani` ere identique (p reste constant) et ind´ ependante. Le nombre d’apparitions de l’´ ev´ enement S est une variable al´ eatoire X dont la loi est: {(0, q n ), (1, npq n−1 ), . . . , (`, Cn` p` q n−` ), . . . , (n, pn )}. Exercice 4 (Correction). Quand une machine fonction correctement, seulement 3% des pi`eces produites sont d´efectueuses. Deux pi`eces produites sur la machine sont s´electionn´ees de fa¸con al´eatoire. Nous nous int´eressons au nombre de pi`eces d´efectueuses. 1. D´ecrire les conditions sous lesquelles cette situation constituerait une exp´erience binomiale. 2. Repr´esenter cette exp´erience sous forme d’un digramme arborescent. 3. Combien de r´esultats y a-t-il avec exactement un d´efaut d´etect´e? 4. Calculer les probabilit´es associ´ees aux ´ev´enements “aucun d´efaut n’est d´etect´e”, “exactement un d´efaut est d´etect´e” et “deux d´efauts sont d´etect´es”.

Exercice 5 (Correction). Cinquante pourcents des am´ericains estiment que le pays ´etait en r´ecession, bien que techniquement l’´economie ait pas connu deux trimestres cons´ecutifs de croissance n´egative (Business Week, 30 juillet 2001). Pour un ´echantillon de 20 am´ericains, faire les calculs suivants. 1. Calculer la probabilit´e qu’exactement 12 personnes estiment que le pays ´etait en r´ecession. 2. Calculer la probabilit´e qu’au plus cinq personnes estimaient que le pays ´etait en r´ecession. 3. Quelle est l’esp´erance math´ematique du nombre de personnes estimant que le pays ´etait en r´ecession? 4. Calculer la variance et l’´ecart-type du nombre de personnes estimant que le pays ´etait en r´ecession.

Exercice 6 (Correction). Selon une enquˆete men´ee par TD Ameritrade, un investisseur sur quatre a des obligations ´echangeables (def.) dans son portefeuille (USA Today, 11 janvier 2007). Pour un ´echantillon de 20 investisseurs, r´epondre aux questions suivantes: 1. Calculer la probabilit´e qu’exactement quatre investisseurs aient des obligations ´echangeables dans leur portefeuille. 2. Calculer la probabilit´e qu’au moins deux des investisseurs aient des obligations ´echangeables dans leur portefeuille. 3. Si vous trouvez qu’exactement douze des investisseurs ont des obligations ´echangeables dans leur portefeuille, douteriezvous de la v´eracit´e des r´esultats de l’enquˆete? 4. Calculer le nombre esp´er´e d’investisseurs qui ont des obligations ´echangeables dans leur portefeuille. Exercice 7 (Correction). Vingt-trois pourcents des v´ehicules ne sont pas assur´es (CNN, 23 f´evrier 2006). Au cours d’un week-end particulier, 35 v´ehicules furent impliqu´es dans des accidents de la circulation. 2

1. Quelle est l’esp´erance math´ematique du nombre de v´ehicules impliqu´es non assur´es? 2. Quels sont la variance et l’´ecart-type?

La loi de Poisson N.B.: La loi de Poisson est souvent utilis´ ee pour d´ ecrire le nombre d’occurrences d’un ´ ev´ enement dans un intervalle de temps ou d’espace. Exercice 8 (Correction). Les appels t´el´ephoniques arrivent ` a un taux de 48 par heure au bureau des r´eservations de Regional Airways. 1. Calculer la probabilit´e de recevoir trois appels dans un intervalle de 5 minutes. 2. Calculer la probabilit´e de recevoir exactement 10 appels en 15 minutes. 3. Supposons qu’il n’y ait aucun appel en attente pour le moment. Si l’agent met cinq minutes pour r´epondre ` a l’appel en cours, combien de personne attendront pendant ce temps? Quelle est la probabilit´e que personne n’attende? 4. S’il n’y a aucun appel en cours, quelle est la probabilit´e que l’agent puisse prendre 3 minutes de repos sans ˆetre d´erang´e?

Exercice 9 (Correction). Plus de 50 millions de personnes ont s´ejourn´e en chambre d’hˆotel l’ann´ee derni`ere. Le site web nord-am´ericain de bed and breakfast Inns (www.bestinns.net), qui re¸coit en moyenne environ 7 visiteurs par minute, permet `a de nombreux B&B d’attirer des clients (Time, septembre 2001). 1. Calculer la probabilit´e qu’aucun visiteur ne se connecte au site web durant une p´eriode d’une minute. 2. Calculer la probabilit´e qu’au moins deux visiteurs se connectent au site web durant une p´eriode d’une minute. 3. Calculer la probabilit´e qu’au moins un visiteur se connecte au site web durant une p´eriode de 30 secondes. 4. Calculer la probabilit´e qu’au moins cinq visiteurs se connectent au site web durant une p´eriode d’une minute. Exercice 10 (Correction). Le conseil national de s´ecurit´e estime que les accidents interrompant le travail coˆ utent environ 200 milliards de dollars chaque ann´ee en perte de productivit´e aux entreprises am´ericaines (Conseil National de S´ecurit´e, mars 2006). En se fondant sur les estimations du Conseil, on s’attend ` a ce que trois accidents surviennent dans les soci´et´es de 50 employ´es. R´epondre aux questions suivantes pour les soci´et´es de 50 employ´es. 1. Quelle est la probabilit´e qu’aucun accident ne survienne durant une p´eriode d’un an? 2. Quelle est la probabilit´e qu’au moins deux accidents surviennent durant une p´eriode d’un an? 3. Quelle est l’esp´erance math´ematique du nombre d’accidents en six mois? 4. Quelle est la probabilit´e qu’aucun accident ne survienne au cours des six prochains mois?

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Correction Corrig´ e de l’exercice 1 (Retour ` a l’´ enonce). 1. Soit X l’indemnit´e que paye la soci´et´e en cas de collision. L’indemnit´e moyenne est donc: E(X) = 0.85 × 0 + 0.04 × 500 + 0.04 × 1000 + 0.03 × 3000 + 0.02 × 5000 + 0.01 × 8000 + 0.01 × 10000 = 430. 2.

Indemnit´e (en $) 0 500 1 000 3 000 5 000 8 000 10 000

Probabilit´e 0.85 0.04 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01

Gain du client (en $) -520 -20 480 2 480 4 480 7 480 9 480

Probabilit´e 0.85 0.04 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01

Soit Y le gain de l’assur´e, autrement, Y = X − 520. L’esp´erance de l’assurance collision pour un assur´e est: E(Y ) = 0.85 × (−520) + 0.04 × (−20) + 0.04 × 480 + 0.03 × 2480 + 0.02 × 4480 + 0.01 × 7480 + 0.01 × 9480 = −90. On pourra remarquer que E(Y ) = E(X) − 520 = 430 − 520 = −90 car Y = X − 520. L’assur´e s’attend ` a ce qu’il paye une moyenne de 430$ comme indemnit´e annuelle. Il a donc int´erˆet ` a payer une majoration de 90$ pour se prot´eger contre le coˆ ut d’un grave accident. a l’´ enonce). Corrig´ e de l’exercice 2 (Retour ` 1. Soit X la variable demande. L’esp´erance math´ematiques de cette variable est: E(X) =

4 X

xi P (X = xi ) = 0.20 × 300 + 0.30 × 400 + 0.35 × 500 + 0.15 × 600 = 445$.

i=1

2. Le coˆ ut de 445 unit´es achet´es est 445 × 50$ = 22250$. Les 300 vendus g´en`erent un revenu de 300 × 70$ = 21000$, c’est-` a-dire une perte de 22250 − 21000 = 1250 dollars. a l’´ enonce). Corrig´ e de l’exercice 3 (Retour ` 1. Moyenne ´echelle: E(X) = 145; Grande ´echelle: E(Y ) = 140. La d´ecision pr´ef´erable en terme de maximisation du profit est la moyenne ´echelle. 2. Moyenne ´echelle: Var(X) = 2 725; Grande ´echelle: Var(Y ) = 12 400. La d´ecision pr´ef´erable est celle qui minimise le risque, autrement, celle qui minimise la variance (la dispersion), c’est-`a-dire, l’extension `a moyenne ´echelle. Corrig´ e de l’exercice 4 (Retour ` a l’´ enonce). 1. Chaque tirage doit ˆetre une exp´erience donnant lieu `a deux ´ev´enements (qu’on appelle succ`es et ´echec), la probabilit´e de trouver une pi`ece d´efectueuse doit ˆetre la mˆeme `a chaque tirage (0.03), les deux tirages doivent ˆetre ind´ependants. Autrement, la taille de la population doit ˆetre grande de telle sorte que la probabilit´e de l’´ev´enement succ`es reste (presque) constante tout au long de l’exp´erience. 2. Soit D l’´ev´enement avoir une pi`ece d´efectueuse et D l’´ev´enement contraire de D. Le digramme arborescent est donn´e par: 0.03

D

0.97

D

0.03

D

0.97

D

D

0.03

0.97 D

3. Deux; {(D, D), (D, D)}. 4. Soit X le nombre de pi`eces d´efectueuses. X est donc une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etre n = 2 et n! p = 0.03. D’apr`es le cours P (X = r) = Cnr pr q n−r = pr q n−r . D’o` u: r!(n − r)! Nbr pi`eces d´ef Proba

0 P (X = 0) = 0.9409

1 P (X = 1) = 0.0582 4

2 P (X = 2) = 0.0009

Corrig´ e de l’exercice 5 (Retour ` a l’´ enonce). Soit S l’´ev´enement “la personne estime que le pays ´etait en r´ecession”. Sur un ´echantillon de 20 am´ericains, soit X le nombre de personnes estimant que le pays ´etait en r´ecession (autrement, X est le nombre d’apparition de l’´ev´enement S). X est donc une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etres n = 20 et p = 0.5 (en effet, 50% d’am´ericains estimant que le pays ´etait en r´ecession, c’est-` a-dire, la probabilit´e de r´ealiser l’´ev´enement S est 0.5). D’apr`es le cours: n! pr q n−r . D’o` P (X = r) = Cnr pr q n−r = u: r!(n − r)! 20! × (0.5)12 × (0.5)20−12 = 0.1201344. Bien ´evidement si on a la table de loi binomiale on 12! × (20 − 12)! peut lire directement cette probabilit´e.

1. P (X = 12) =

5 X

5 X

20! × (0.5)k × (0.5)20−k = 0.02069473. Cette probabilit´e peut ˆetre lue sur k! × (20 − k)! k=0 k=0 la table de la fonction de r´epartition de la loi binomiale.

2. P (X ≤ 5) =

P (X = k) =

3. E(X) = np = 20 × 0.5 = 10. 4. Var(X) = npq = 20 × 0.5 × (1 − 0.5) = 5 et l’´ecart-type

p √ Var(X) = 5.

a l’´ enonce). Corrig´ e de l’exercice 6 (Retour ` 1. 0.1897 2. 0.8355 3. Non, cet ´ev´enement malgr´e qu’il est peu probable, il est probable et donc peut se r´ealiser. 4. 5 a l’´ enonce). Corrig´ e de l’exercice 7 (Retour ` 1. 2. 3. Corrig´ e de l’exercice 8 (Retour ` a l’´ enonce). 1. Soit X le nombre d’appels re¸cus sur un intervalle 5 minutes. Il est clair que X est une variable al´eatoire de loi de 48 Poisson de param`etre λ = × 5 = 4 appels (le taux d’appels par cinq minutes). On rappelle que pour une variable 60 λk e−λ 43 × e−4 . D’o` u: P (X = 3) = = 0.1952. de loi de Poisson de param`etre λ, la probabilit´e P (X = k) = k! 3! 2. Le nombre Y d’appels re¸cus par 15 minutes est une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre D’o` u: P (Y = 10) =

1210 × e−12 = 0.1048. 10!

48 × 15 = 12. 60

3. Le nombre de personnes attendront pendant cinq minutes est la moyenne d’appels par cinq minutes, c’est-` a-dire, l’esp´erance de X (la variable d´efinie ci-dessus), E(X) = λ = 4. Donc 4 personnes attendront pendant les cinq minutes. 40 × e−4 La probabilit´e que personne n’attende est P (X = 0) = = 0.0183. 0! 4. Le nombre Z d’appels re¸cus par 3 minutes est une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre

48 × 3 = 2.4. D’o` u: 60

(2.4)0 × e−2.4 P (Z = 0) = = 0.0907. Par cons´equent, la probabilit´e que l’agent puisse prendre 3 minutes de repos sans 0! ˆetre d´erang´e est 0.0907. Corrig´ e de l’exercice 9 (Retour ` a l’´ enonce). 1. 0.0009 5

2. 0.9927 3. 0.9698 4. 0.8271 a l’´ enonce). Corrig´ e de l’exercice 10 (Retour ` 1. 2. 3. 4.

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