Chapitre 3 (Variables Aleatoires V2 Mai 2015) [PDF]

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Chapitre 3 : Variables Aléatoires Discrètes et Continues Ayoub Insa Correa, Ph.D. Unité de Recherche et Formation en Sciences de l’Ingénieur Université de Thiès

Semestre 1, Année académique 2014-2015

Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples

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Plan du Chapitre 3 : Cas discret (v.a.d)

I

Définition d’une fonction de probabilité (fonction de masse de probabilité ou distribution de probabilité)

I

Fonction de répartition (fonction de distribution cumulative)

I

Histogramme de probabilité

I

Espérance mathématique (moyenne), variance et écart-type

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Plan du Chapitre 3 : Cas continu (v.a.c)

I

Définition d’une fonction de densité de probabilité

I

Fonction de répartition (fonction de distribution cumulative)

I

Espérance mathématique (moyenne), variance et écart-type

I

Théorème de Tchebytchev

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Motivation : Jusqu’ici, nous avons étudié des phénomènes aléatoires dont les espaces échantillonnaux sont décrits par des lettres (P, F, D, N etc...). Toutefois, il est important d’affecter une valeur numérique au résultat d’une expérience aléatoire pour travailler plus efficacement sur des espaces échantillonnaux plus grands. Nous travaillerons avec des nombres grâce à la notion de variable aléatoire.

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Objectifs du chapitre 3 1. Définir, aussi bien pour les variables aléatoires discrètes que continues, les notions de fonction de probabilité (ou fonction de masse de probabilité ou distribution de probabilité) et densité de probabilité ; 2. Illustrer par des exemples pratiques ces notions et tester leur maîtrise par des exercices à faire en classe ou chez soi ; 3. Définir et utiliser les notions de fonction de répartition et histogramme de probabilité ; 4. Définir et interpréter les notions d’espérance mathématique (moyenne) et variance puis étudier leurs applications.

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Définition d’une variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction qui, à tout élément de l’espace échantillonnal, associe un nombre réel. Nous utiliserons : I

une lettre majuscule pour désigner toute variable aléatoire (par exemple X ou Y) et une lettre minuscule (x ou y par exemple) pour spécifier la valeur que peut prendre cette variable aléatoire ;

I

les abréviations v.a., v.a.d. et v.a.c. pour désigner, respectivement, les notions de variables aléatoires, variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues

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Exemple de variable aléatoire 2 boules sont tirées successivement sans remise d’une urne qui contient 4 boules rouges et 3 boules noires. Les résultats possibles et les valeurs x de la variable aléatoire X, qui représente le nombre de boules rouges, sont : ————————————————– Espace échantillonnal x ————————————————– RR 2 RN 1 NR 1 NN 0

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Autre exemple de variable aléatoire

Soit X, la v.a définie par le temps d’attente, en heures, qui s’écoule entre le passage de deux chauffards successifs qui seront arrêtés par des gendarmes sur la route nationale 1 (RN 1). Cette v.a. prend toutes les valeurs pour lesquelles x ≥ 0.

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Définitions préliminaires

I

Si un espace échantillonnal contient un nombre fini de possibilités ou une suite infinie contenant autant d’éléments que les nombres entiers (on dit qu’il est dénombrable), il est appelé espace échantillonnal discret ;

I

Si un espace échantillonnal contient un nombre infini de possibilités égal au nombre de points d’un segment de droite, il est appelé espace échantillonnal continu.

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Définition d’une v.a.d.

Une v.a. est dite discrète si l’ensemble de ses résultats possibles est fini ou dénombrable. L’image de X est notée RX . Remarques : Dans la plupart des problèmes pratiques, les v.a.d. représentent des données comptées (nombre de pièces défectueuses, produits, nombre de victimes annuelles d’accidents sur une autoroute etc..) tandis que les v.a. continues représentent des données mesurées (hauteurs possibles, poids, températures, distances, périodes de vie etc..).

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Distribution de probabilité d’une v.a.d.

Une v.a.d. prend ses valeurs avec une certaine probabilité. L’ensemble des couples ordonnés (x, p(x)) est une fonction de probabilité, une fonction de masse de probabilité ou une distribution de probabilité d’une v.a.d. X si : 1. p (x) ≥ 0 ∀ x P 2. x p (x) = 1 3. p (x) = P (X = x)

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∀x

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Exemple 1

Soit une expérience aléatoire où une pièce de monnaie équilibrée est jetée en l’air trois fois. Si X représente le nombre de fois où la pièce de monnaie tombe sur le côté pile, alors : X(PPP) = 3, X(PPF) = 2, X(PFF) = 1, X(FPP) = 2, X(FPF) = 1, X(FFP) = 1 et X(FFF) = 0. Ainsi l’image de X est RX = {x : x = 0, 1, 2, 3}.

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Exercice 1

Une cargaison de 8 micro ordinateurs similaires destinée à un détaillant contient 3 unités défectueuses. Si une école fait un achat aléatoire de 2 de ces ordinateurs, trouver la distribution de probabilité du nombre d’ordinateurs défectueux.

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Exercice 2

Si 50% des voitures vendues par un concessionnaire sont équipées d’airbags (coussins de sécurité), trouver une formule de la distribution de probabilité du nombre de voitures avec airbags parmi les 4 prochaines voitures vendues par ce concessionnaire.

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Représentation de la distribution de probabilité d’une v.a.d.

Si la fonction p(x) constitue la fonction de probabilité (aussi appelée une fonction de masse ou loi de probabilité) de la v.a. X, X est représentée sous forme tabulaire, graphique ou mathématique. Soit le cas où la v.a. X représente le nombre de fois où la pièce de monnaie tombe sur le côté pile. Représentons par exemple la distribution de probabilité de X sous forme d’un tableau et d’un diagramme. On rappelle que l’image de X est RX = {0, 1, 2, 3}.

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Représentation sous forme de tableau

———————— x p(x) ———————— 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

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Représentation sous forme de diagramme (en barres)

3/8 

3/8

1/8 

1/8

0 

1 

2

3  

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Histogramme de probabilité d’une v.a.d.

Au lieu du dessin des points (x, p(x)), des rectangles sont plus fréquemment construits. Les rectangles sont construits de telle sorte que leurs bases, d’égale largeur (une unité par exemple), sont centrés sur chaque valeur x et leurs hauteurs sont égales aux valeurs correspondantes de probabilités données par p(x). Les dessins sont faits de telle sorte qu’il n’y ait pas d’espace entre les rectangles.

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Représentation sous forme d’histogramme de probabilité

f(x) 

6/16  5/16  4/16  3/16  2/16  1/16 

x 0 

1 

2

3

4  

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Exercice d’application

Un lot de 7 téléviseurs contient 2 unités défectueuses. Un hôtel fait un achat aléatoire de 3 téléviseurs. Si x est le nombre d’unités défectueuses achetées par l’hôtel, trouver la distribution de probabilité de la v.a.d. X. Exprimer graphiquement les résultats sous forme d’histogramme de probabilité.

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Fonction de répartition d’une v.a.d.

Dans beaucoup de problèmes, on souhaite calculer la probabilité que la valeur observée d’une v.a. X soit inférieure ou égale à un certain nombre réel x. Définition : La fonction de distribution cumulative F (x) d’une v.a.d. X de distribution de probabilité p(x) est définie par : F (x) = P (X ≤ x) =

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P

u≤x

p (u)

pour

−∞ < u < ∞

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Exercice 3

On reprend l’énoncé de l’exercice 2. 1. Trouver la fonction de distribution cumulative de la v.a. X ; 2. Utiliser F (x) pour vérifier que p(2) = 3/8 ; 3. Dessiner la courbe de la fonction F (x).

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Espérance mathématique ou moyenne d’une v.a.d.

I

La moyenne (ou espérance mathématique) d’une v.a. X est d’une importance spéciale en Statistique parce qu’elle décrit l’endroit où la distribution de probabilité est centrée (i.e la tendance centrale) ;

I

La valeur moyenne n’est pas nécessairement le résultat d’une expérience aléatoire.

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Exemple 2

Soit une expérience aléatoire où 2 pièces de monnaie équilibrées sont jetées en l’air 16 fois et X le nombre de fois où le côté Pile apparait par jet. Supposons que cette expérience ait abouti à : I

Aucune face Pile 4 fois

I

Une face Pile 7 fois

I

Deux faces Pile 5 fois

La valeur moyenne des côtés Pile obtenus par jet de 2 pièces de monnaie est alors : (0)(4)+(1)(7)+(2)(5) = 1.06 16

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Autre façon de voir l’exemple précédent En reécrivant le quotient précédent, nous avons :


7 5 4 (0) 16 + (1) 16 + (2) 16 Remarques : 4 7 16 , 16

I

5 et 16 sont les fractions des jets qui donnent 0, 1 et 2 Pile, respectivement. Ce sont aussi les fréquences relatives de valeurs différentes de X de notre expérience aléatoire ;

I

On peut calculer la moyenne d’un ensemble de données sans connaitre le nombre total d’observations (jets). Il suffit de connaitre leurs valeurs distinctes et leurs fréquences relatives ;

I

Ainsi le nombres moyen de côtés Pile obtenus par jet est 1.06 quelque soit le nombre total de jets (16 jets, 1000 jets ou même 10000 jets).

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Autre façon de voir l’exemple précédent (Suite)

On peut utiliser cette technique des fréquences relatives pour calculer le nombre moyen de côtés Pile obtenus sur le long terme. Ainsi, nous définirons ce nombre par la moyenne de la variable aléatoire X et on la note µ. Les statisticiens l’appellent souvent espérance mathématique ou valeur attendue de la v.a. X. On la note aussi E(X).

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Exemple 3 On reprend l’exemple des 2 pièces de monnaie équilibrées jetées en l’air. L’espace échantillonnal de cette expérience aléatoire S = {PP, PF , FP, FF }. Puisque les 4 événements de S sont équiprobables, il s’ensuit que P (X = 0) = P (FF ) = 41 , P (X = 1) = P (PF ) + P (FP) = 12 et P (X = 2) = P (PP) = 14 Ces probabilités ne sont que des fréquences relatives pour ces événements si l’expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois. Alors


µ = E(X ) = (0) 14 + (1) 12 + (2) 41 = 1 Interprétation : Une personne qui jette en l’air 2 pièces de monnaie équilibrées un grand nombre de fois, obtiendra en moyenne une fois pile et face

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Définition de la moyenne (espérance mathématique) d’une v.a.d.

Soit une v.a.d. X dont la distribution de probabilité est p(x). La moyenne ou espérance mathématique de X est : µ = E(X ) =

P

x

xp (x)

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Exercice 4

Un inspecteur de la qualité choisit au hasard un lot de 7 produits dont 4 sont de bonne qualité tandis que 3 sont défectueux. Un échantillon de 3 produits est choisi par l’inspecteur. Question : Trouver la moyenne (valeur attendue) du nombre de bons produits dans cet échantillon.

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Exercice 5

Un monsieur propose au public de jouer au jeu suivant : celui qui accepte de participer au jeu gagne 5000 FCFA s’il réussit à obtenir le même côté (PPP ou FFF) lors de 3 jets en l’air successifs d’une pièce de monnaie équilibrée. Mais le joueur devra payer 3000 FCFA s’il n’obtient qu’un (ou deux) côté(s) Pile. Question : Quel est le gain attendu (c-à-d trouver la moyenne) ?

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Variance d’une v.a.d. : Motivation

I

La moyenne (ou espérance mathématique) d’une v.a. X ne donne pas une description adéquate d’une distribution de probabilité.

I

Deux histogrammes de deux distributions de probabilité discrètes peuvent avoir la même moyenne mais elles peuvent différer en termes de variabilité ou dispersion de leurs observations autour de la moyenne.

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Motivation (suite)

                1             2            3……………x 

      0          1          2            3            4         x 

 

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Définition de la variance d’une v.a.d.

Soit une v.a.d. X dont la distribution de probabilité est p(x) et la moyenne (espérance mathématique) est µ. La variance de X (ou variance de la distribution de probabilité de X) et on la note Var (X ) ou σ 2 , est définie par : h i P σ 2 = E (X − µ)2 = (x − µ)2 p (x) La racine carrée de la variance, σ, est appelée déviation standard de X.

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Remarques

I

La quantité x − µ de la définition précédente est appelée déviation d’une observation de sa moyenne. Puisque les déviations sont élevées au carré avant le calcul de leur moyenne, σ 2 sera beaucoup plus petite pour un ensemble de valeurs proches de µ que pour ensemble de valeurs qui varient considérablement autour de µ.

I

En pratique, pour calculer la variance, on utilise souvent la  formule alternative préferrée suivante : σ 2 = E X 2 − µ2

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Exercice 6

Soit X une v.a.d. représentant le nombre de pièces défectueuses d’une machine quand 3 pièces sont choisies et testées à partir d’une ligne de production. La distribution de probabilité de X est définie par : x 0 1 2 3 p(x) 0.51 0.38 0.10 0.01 En utilisant la remarque précédente, calculer σ 2 .

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Variables Aléatoires Continues : Remarques préliminaires La probabilité d’une v.a.c. en un point précis est toujours nulle. Exemple de v.a.c. : Soit la taille d’une population d’individus âgés de plus de 21 ans. Entre les tailles 163.99 cm et 164.01 cm, il y a une infinité de valeurs possibles. Ainsi, la probabilité de sélectionner au hasard un individu de taille exactement égal à 164 cm (parmi une infinité de valeurs très proches de 164 cm qu’un être humain ne peut mesurer) est pratiquement nulle. Conséquences : I

la probabilité d’une v.a.c. ne peut pas être définie sous forme de tableau

I

P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) + P (X = b) = P (a < X < b). Ainsi, pour une v.a.c., le fait d’inclure ou non la borne d’un intervalle n’a aucune importance.

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Remarques préliminaires (suite)

Bien que la distribution de probabilité d’une v.a.c. ne puisse pas être représentée sous forme de tableau, elle peut être déclinée sous forme de formule (fonction de valeurs numériques de la v.a.c.). Cette fonction, souvent notée f (x), est appelée fonction de densité de probabilité ou fonction de densité de la v.a.c. X.

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Définition d’une fonction de densité

La fonction f (x) est une fonction de densité de probabilité de la v.a.c. X définie sur l’ensemble des nombres réels R si : 1. f (x) ≥ 0 ∀ x∈ R R∞ 2. −∞ f (x) dx = 1 Rb 3. P (a < X < b) = a f (x) dx

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Exercice 4

Soit la fonction f (x) définie par : ( 2 x , −1 ≤ x ≤ 2 f (x) = 3 0 ailleurs 1. Vérifier la condition 2 de la définition d’une fonction de densité 2. Trouver P (0 < X ≤ 1)

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Fonction de répartition (ou fonction de distribution cumulative) d’une v.a.c.

La fonction de distribution cumulative F (x) d’une v.a.c. X de fonction de densité f (x) est définie par : F (x) = P (X ≤ x) =

Rx

−∞ f

(t) dt ∀ − ∞ < x < +∞

Conséquences : I

P (a < X < b) = F (b) − F (a)

I

f (x) =

dF (x) dx

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si la dérivée existe

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Exercice 5

Utiliser la fonction de densité définie dans l’exercice 4 pour : 1. Trouver F (x), la fonction de distribution cumulative de la v.a. X 2. Évaluer P (0 < X < 1) 3. Dessiner la courbe représentative de F (x)

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Définition de l’espérance mathématique (moyenne) d’une v.a.c.

Dans le cas d’une v.a.c., la définition d’une moyenne (espérance mathématique) est presque la même que pour les v.a.d. sauf que les sommes sont remplacées par des intégrales. Définition : Soit X une v.a.c. de densité de probabilité f (x). La moyenne ou espérance mathématique de X est µ = E (X ) =

R +∞ −∞

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xf (x) dx

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Exercice 6

Soit X la v.a.c. qui définit la durée de vie en heures d’un certain appareil électronique. La fonction de distribution de probabilité de X est définie par : ( f (x) =

20000 , x3

0

x ≥ 100 ailleurs

Question : Trouver la durée de vie attendue de cet appareil.

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Définition de la variance d’une v.a.c.

Soit une v.a.c. X dont la densité de probabilité est f (x) et la moyenne (espérance mathématique) est µ. La variance de X (ou variance de la distribution de probabilité de X) et on la note Var (X ) ou σ 2 , est définie par : h i R ∞ σ 2 = E (X − µ)2 = −∞ (x − µ)2 f (x) dx   σ 2 = E X 2 − µ2

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Propriétés de l’espérance mathématique (Partie 1)

Soit la v.a Y = H (X ). Cas discret : Si X est une v.a.d., alors la moyenne ou espérance mathématique de Y est E [H (X )] =

P

i

H (xi ) pX (xi )

Cas continu : Si X est une v.a.c. de densité de probabilité f (x) alors E [H (X )] =

R +∞ −∞

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H (x) fX (x) dx

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Propriétés de l’espérance mathématique (Partie 2)

I I

Si H (X ) = X alors E [H (X )] = E [X ] = µ h i Si H (X ) = (X − µ)2 alors E [H (X )] = E (X − µ)2 = σ 2

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Propriétés de l’espérance mathématique (Partie 3)

I

E (b) = 0 et V (b) = 0 si b est une constante

I

E (aX + b) = aE (X ) + b

I


V (aX + b) = a2 V (X ) si V (X ) = E X 2 − [E (X )]2
µ0 = E X k h i µk = E (X − E (X ))k

I I

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Moments centrés d’une v.a.d.

Si X est une v.a.d, alors le terme µ0k = k ieme moment par rapport à l’origine. I

I

P

i

xik pX est appelé

Si k = 1, ce terme est noté µ et est appelé premier moment par rapport à l’origine ou moyenne. La moyenne fournit une indication de la tendance centrale de la v.a. P Si k = 2, le terme σ 2 = i (xi − µ)2 pX (xi ) est appelé deuxième moment par rapport à la moyenne ou variance. Il décrit la variabilité, l’étalement ou la dispersion de la probabilité associée aux éléments de RX .

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Moments centrés d’une v.a.c.

Si X est une v.a.c, alors R +∞ I Le terme µ = −∞ xfX (x) dx est appelé premier moment par rapport à l’origine. R +∞ 2 I Si k = 2, le terme −∞ (x − µ) fX (x) dx est appelé deuxième moment par rapport à la moyenne ou variance. Il décrit la variabilité, l’étalement ou la dispersion de la probabilité associée aux éléments de RX . I

Le k ieme moment par rapport à la moyenne est noté R +∞ centré k µk et vaut −∞ (x − µ) fX (x) dx

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Théorème de Tchebytchev

La probabilité qu’une v.a. X prenne une valeur autour de k déviations standards de la moyenne est au moins égale à 1 − 1/k 2 , c’est-à-dire que : P (µ − k σ < X < µ + k σ) ≥ 1 −

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1 k2

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Remarques

I

Le théorème de Tchebytchev est valide pour toute distribution d’observations. C’est pourquoi ce résultat est faible ;

I

La valeur obtenue est seulement une borne inférieure. Quand la distribution de probabilité est connue, les valeurs exactes des probabilités peuvent être déterminées.

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Exercice 7

Soit X une v.a. de moyenne µ = 8 et de variance σ 2 = 9 dont la distribution de probabilité est inconnue. Trouver : 1. P (−4 < X < 20) 2. P (]X − 8] ≥ 6)

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