Chapitre 3 [PDF]

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Chapitre 3 Mesure de débit 1 Généralités 1.1 Le débit Le débit, c’est la quantité de fluide qui s’écoule ou qui est fournie par unité de temps. Exemple : Le débit d’un cours d’eau, d’une pompe... Il existe deux types de débits, le débit massique et le débit volumique. Le débit massique (Qm) et le débit volumique (Qv) sont liés par la relation

𝑄𝑚

𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑚3 =𝜌 × 𝑄 𝑉 𝑠 𝑚3 𝑠

Dans le cas d’un écoulement, on peut déterminer le débit d’un fluide à partir de sa vitesse moyenne :

𝑄𝑉

𝑚3 𝑚 =𝑉 × 𝑆 𝑚2 𝑠 𝑠

Seul le débit massique est conservé entre deux sections d’un tube de courant. Cette loi de conservation est nommée « EQUATION DE CONTINUITE » : Qm1= Qm2

ρ1 V1 S1 = ρ2 V2 S2 Si le fluide est INCOMPRESSIBLE, alors, la masse volumique est la même en (1) et en (2), et le débit volumique est conservé ! QV1= QV2

V1 S1 = V2 S2 le débit massique s’exprime kg .S-1 le débit volumique s’exprime m3 .S-1

2

P1 S1 V1 Z1 ρ1

1

Etat 1

P2 S2 V2 Z2 ρ2

Etat 2

Fig.1 Ligne de courant

1.2 Théorème de Bernouli Ce théorème relie, le long d’une ligne de courant, les trois grandeurs « vitesse moyenne », «pression » et « altitude » fig. 1. Le théorème de Bernoulli prend la forme suivante, dans le cas d’un fluide parfait :

𝑃+

𝜌 2

. 𝑣 2 + 𝜌. 𝑔. 𝑍 = 𝐶 𝑠𝑡𝑒 (en pression)

La vitesse « v » représente alors aussi bien la vitesse moyenne que la vitesse locale puisque la distinction ne s’impose pas pour un fluide parfait. 𝑃 1 + . 𝑣 2 + 𝑍 = 𝐶 𝑠𝑡𝑒 (en hauteur) 𝜌.𝑔 2𝑔

1.3 Les différents régimes d’écoulement Le cours de physique a montré l’importance d’un nombre sans dimension, force inertie caractérisant le rapport = force frottement . Ce nombre, dans les écoulements au sein de canalisations cylindriques s’exprime par : 𝑉𝐷 𝜈 Avec ν = μ/ρ, 𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐷/𝜇 (sans dimension) Où ρ est la masse volumique du fluide, μ sa viscosité dynamique ( Pa.s ), et D le diamètre de la canalisation cylindrique. 𝑅𝑒 =

 Si Re ≤ 2000 : le régime est laminaire, les forces de frottement dominent dans ce type d’écoulement, la conséquence est que les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans s’entremêler. Le profil des vitesses est parabolique.  Si 2000 < Re < 4000 : le régime est incertain, mais, s’il est turbulent à un certain instant, alors il le restera( Régime transitoire).  Si Re > 4000 le régime est turbulent, les forces d’inerties dominent et les lignes de courant se mêlent. La distribution des vitesses selon une section droite est « écrasée ». Autrement dit, la vitesse moyenne est très peu éloignée des vitesses réelles.

Fig. 2 Régimes d’ecoulement

2. DEBITMETRES A ORGANE DEPRIMOGENE Plus de 40 % des mesures faites sur les liquides, les gaz et les vapeurs dans l’industrie, le sont à partir de débitmètres à organe déprimogène : le diaphragme, le tube de Venturi et la tuyère. 2.1 Principe de fonctionnement Le principe de ces débitmètres repose sur l’effet Venturi Fig. 3: la pression change lorsque la section change. De plus, on montre facilement, à partir du théorème de Venturi que cette pression est plus faible, là où la section est plus faible. Ainsi, à partir

de l’un des éléments cités ci-dessus, on transforme une partie de l’énergie de pression en énergie cinétique, et on mesure la chute de pression résiduelle entre l’amont (upstream) et l’aval (downstream). Tout débitmètre à organe déprimogène est donc constitué de deux éléments : - un obstacle (responsable d’une Δp) - un capteur de pression différentielle (mesure de la Δp)

SA VA

SB VB

PA

PB

Fig.3 Effet venturi -

théorème de Bernoulli :

il se réduit ici à -

𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 =

𝜌𝐵

. 𝑣𝐵2 −

2

𝜌𝐴 2

. 𝑣𝐴2

la conservation du débit massique (puisque ρ peut être variable ….) 𝑸𝒎 = 𝝆𝑨 . 𝒗𝑨 . 𝑺𝑨 = 𝝆𝑩 . 𝒗𝑩 . 𝑺𝑩

Soit 𝑣𝐴 = -

𝑄𝑚 𝜌 𝐴 .𝑆𝐴

et 𝑣𝐵 =

𝑄𝑚 𝜌 𝐵 .𝑆𝐵

la combinaison de ces équations : 2 2 𝑄𝑚 𝑄𝑚 − 2𝜌𝐵 𝑆𝐵2 2𝜌𝐴 𝑆𝐴2

𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = SI 𝜌𝐴 = 𝜌𝐵 (fluide incompressible)

𝜌(𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 ) 𝑆𝐵2 1 2 (1 − 2 ) 𝑆𝐵 𝑆𝐴

2 𝑄𝑚 =

𝑆𝐵2 𝐷𝐵4 4 𝐷𝐵4 = = 𝑆𝐴2 𝐷𝐴4 4 𝐷𝐴4 On pose 𝛽 =

𝐷𝐵 𝐷𝐴

et PA – PB = ΔP , 𝑄𝑚 =

𝑆𝐵2 . 𝜌. ∆𝑃 1 − 𝛽4

Pour obtenir le débit volumique, il suffit de diviser par ρ le résultat ci-dessus, et après simplification, il vient : 𝑄𝑣 =

𝑆𝐵 1 − 𝛽4

.

2∆𝑃 𝜌

La relation ainsi obtenue, n’est que théorique, puisque la viscosité du fluide n’a pas été prise en compte, ni la perte de charge introduite par l’obstacle, ni la contraction de veine qui se produit systématiquement lorsqu'un fluide s'écoule au travers d'un orifice, et de plus, le fluide a été supposé incompressible. 2. 2 Avantages :  Ne nécessitent aucune calibration  Ne possèdent pas d’organes mobiles  Fiable tout le temps 2. 3 Inconvénients :  Provoquent une importante perte de charge sur l’installation,  Leur rangeabilité est limitée  Sensibles au comportement de l’installation (afin de minimiser cette sensibilité, on placera une certaine longueur en amont, et en aval du débitmètre)

3 Les éléments déprimogènes normalisés : Les éléments déprimogènes normalisés (il en existe d’autres…) Fig. 4, sont les diaphragmes à bord droit, les tuyères et les tubes de Venturi.

Fig. 4 Eléments déprimogènes 3. 1 Le tube de Venturi (Venturi tube) Le tube de Venturi classique est le plus vieux des débitmètres à pression différentielle, employé pour la première fois en 1887, Fig. 5. Parce qu’il canalise bien mieux la veine de fluide qu’un diaphragme, sa précision est bien meilleure. De plus, son coefficient de décharge est proche de l’unité (typiquement 0,95), et la perte de charge qu’il engendre est bien plus faible.

Fig.5 tube de Venturi

NB. La norme ISO 5157-1 donne toutes les dimensions et instructions utiles à la construction d’un Venturi. Les principaux inconvénients des tubes de Venturi sont :  sa taille, puisqu’elle peut aller à plus de 6.D, sans compter la longueur nécessaire en amont  son prix, plus élevé que celui d’un diaphragme 3. 2 Le diaphragme (orifice plate) à bord droit Le diaphragme est le moins cher, et le plus simple des organes déprimogènes. Il s’agit, ni plus ni moins d’un trou percé dans une plaque Fig. 6. Evidemment, ce trou sera déterminé en fonction de la norme ISO 5167-1.

Fig.6 diaphragme à bord droit Principales caractéristiques :  l’épaisseur e est comprise entre 0,005.D et 0,02.D  l’épaisseur E est, elle, comprise entre e et 0,05.D  l’arête amont ne doit présenter aucune bavure De plus, le diamètre d doit être supérieur à 12,5 mm, tandis que le rapport d’ouverture D/d doit rester compris entre 0,20 et 0,75. Cet orifice doit être cylindrique et perpendiculaire à la face amont. Si le diaphragme est le moins onéreux des organes déprimogènes, c’est aussi lui qui introduit la plus grande perte de charge des organes déprimogènes, puisque l’accroissement d’énergie cinétique est entièrement perdu en frottements dans le fluide situé en aval.

Fig. 7. des diaphragmes à bord amont, en quart de cercle

Pour les faibles nombres de Reynolds, on préfère utiliser des diaphragmes à bord amont, en quart de cercle. Ceux-ci sont alors beaucoup moins sensibles aux variations du nombre de Reynolds Fig. 7. 3. 3 La tuyère (nozzle) (Fig. 8) La tuyère est un « diaphragme amélioré », qui épouse la forme de la veine jusque dans sa section contractée. La partie arrondie a généralement un profil en « quart d’ellipse », excepté pour les faibles débits où on utilise un profil en « quart de cercle »

Fig. 8 La tuyère NB : En Europe, c’est la norme ISA 1932 qui est la plus utilisée pour le dimensionnement des tuyères, alors qu’aux Etats-Unis, c’est l’ASME. 3.4 Comparaison des organes déprimogènes Le tableau et le graphique résument les domaines d’emploi et les pertes de charge engendrées.

25-250

FORTE

OUI

NON

OUI

OUI

OUI

NON

OUI

Vapeur

3 :1

NON

PEUTETRE

±2%

OUI

boue

FORTE

TUYERE

OUI

Liquide Propre

10-1000

Gaz chargé

3 :1

PEUTETRE

±2%

OUI

PEUTETRE

FAIBLE

DIAPHRAGME

Gaz propre

25-500

Coût

Perte de Charge

3 :1

FORT

Diametre Canalisation (mm)

±2%

FAIBLE

rangeabilité

VENTURI

APPLICATIONS

MOYEN

Précision

PERFORMANCES

Perte de charge résiduelle engendrée, en fonction de β, par divers organes déprimogènes:

4 Débitmètre à tube de Pitot Elle est constituée par un jeu de deux tubes : • un tube qui donne accès à la pression statique en un point de la section • un tube qui donne accès à la pression dynamique en ce même point La différence de ces deux pressions, mesurée par un manomètre différentielle, permet d’avoir une image de la vitesse du fluide sur la ligne de mesure.

Fig. 9 Principe du tube de Pitot

Fig. 10 Perte de pression dans le tube Pitot En notant « S » la section de la canalisation, et « ρ » la masse volumique du fluide : PTotale = PStatique +PDynamique soit :

PDyn = PTot - PStat = ΔP

ce qui donne

1 2

. 𝜌. 𝑣 2 = ΔP

D’où la mesure de la vitesse du fluide, au point d’impact du tube de Pitot : 𝑣 𝑚 𝑠 =

2

∆𝑃 𝜌

Et, si la vitesse du fluide peut être considérée comme uniforme sur toute la section S de la canalisation: 𝑄𝑣 = 𝑆. 2

∆𝑃 𝜌

Le tube de Pitot est l’un des capteurs les plus simples, utilisé dans une large gamme de mesure de débits : entrée d’air dans les voitures de course et les avions de combat, mais aussi pour les mesures de débits d’air, de liquides dans les conduites industrielles ouvertes ou fermées. Alors que sa précision, et sa rangeabilité sont modestes, sa mise en place est simple (il peut être placé dans des canalisations déjà existantes sans interruption du processus …), et il peut être adapté à des conditions extérieures extrêmes. Les tubes de Pitot doivent être utilisés pour des régimes hautement turbulents (Re>20000).

5 Débitmètres électromagnétiques (Fig. 11) 5.1 Principe de fonctionnement Le principe est basé sur la loi d’induction électromagnétique de Faraday. Le fluide qui traverse le débitmètre constitue un élément conducteur qui génère une tension induite par le champ magnétique produit par deux bobines d’induction alimentées en courant alternatif. Cette tension est linéairement proportionnelle à la vitesse du passage du fluide. 𝑈 =𝐾∙𝑣∙𝐷∙𝐵 Avec : U : tension induite (Volt) B : champs magnétique (T) D : diamètre de la conduite (m) v : vitesse du fluide (m/s) K : constante du capteur.

𝑣 𝑚 𝑠 =

𝑈 𝑘∙𝐷∙𝐵

Le débit volumique est donné par : 𝑄𝑣 𝑚3 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑆 =

𝜋 𝑈∙𝐷 ∙ 4 𝐾∙𝐵

1 Presse étoupe 2 Boitier 3 Electrode de mesure 4 Joint de bride 5 Boitier de raccordement 6 Joint 7 bobines magnétiques 8 Tôle magnétique 9 Tube de mesure en corindon fritté

Fig. 11 Débitmètres électromagnétiques L’induction magnétique B est produite par deux bobines placées de part et d’autre de la conduite de mesure. Celle-ci est réalisée en matériau amagnétique et elle est revêtue sur sa surface intérieure d’une couche isolante. Le signal de tension induite est capté par deux électrodes en contact conductif avec le fluide, soit par système capacitif, sans contact. Un convertisseur de mesure amplifie le signal et le transforme en un signal conventionnel (4-20 mA). 5. 2 Avantages La mesure ne dépend pas des caractéristiques physiques du fluides (pression, température, densité, viscosité, conductivité électrique, encrassement des électrodes…) ce qui permet de mesurer les débits des liquides chargés en particules solides de pulpes, de pâtes ou de boues dans presque tous les secteurs industriels. La seule condition pour leur mise œuvre est que le produit à mesurer présente une certaine conductivité électrique minimale de l'ordre de quelques μS/cm; La mesure indépendante de la répartition des vitesses dans la canalisation (donc on peut le placer en cas de coude, vanne …) ; Pas de perte de charge ; Absence de pièces mobiles ; Grande précision et répétabilité; Résistance à la corrosion.

6 Débitmètre à turbine (Fig.12) L’écoulement du fluide entraîne la mise en rotation d’une turbine placée dans l’axe de la conduite de mesure (Fig. 13). Sa vitesse de rotation qui est mesurée par un tachymètre, est proportionnelle à la vitesse d’écoulement du fluide. La vitesse de rotation de la turbine peut être mesurée par l’intermédiaire d’un capteur inductif. Le

passage de chaque pale devant le capteur influe sur le champ magnétique, la variation de flux dans la bobine réceptrice engendre une impulsion à chaque passage. Le nombre d’impulsion par unités de temps (fréquence) est proportionnel au débit instantané : 𝑄𝑣 = 3600

𝑓 𝑘

Avec : Qv : débit (m3/h) f : impulsion par seconde (fréquence) k : coefficient d’étalonnage.

Fig .13 Principe du Débitmètre à turbine

7 Rotamètre (rotameter)

Fig .12 Débitmètre à turbine

7. 1 description: Le rotamètre est un débitmètre simple et robuste pour les gaz et les liquides qui tiennent une large part dans le marché des canalisations inférieures à 100 mm. Il est constitué d’un petit ludion (flotteur) placé dans un tube en verre transparent conique à l’intérieur. La section la plus étroite étant dirigée vers le bas (Fig. 14). La forme de ce ludion, et sa masse volumique ρL sont choisies en fonction du fluide et du débit maximal à manipuler. Quelques formes possibles du ludion (Fig.15) :

Fig. 15 Formes du ludion Fig.14 Rotamètre NB: La forme sphérique est souvent retenue pour les tubes de petits diamètres. De plus, ce ludion possède des petites rainures tout autour de sa partie supérieure. Le rôle de ces

petites rainures est d’induire une légère rotation (fréquence de l’ordre d’1 Hz), afin d’augmenter la stabilité du ludion (effet gyroscopique). Pour les rotamètres à tubes très larges, on ajoute parfois une tige dans l’axe du ludion afin d’éviter un retournement de celui-ci. 7. 2 Bilan des forces (fig. 16) Le fluide circule du bas (faible section) vers le haut (forte section) du rotamètre. Le ludion est en équilibre sous l’action des forces suivantes : -

poussée d’Archimède : 𝜋𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝑔

-

poids du flotteur : 𝑃 = 𝜌𝐿 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝑔

-

force de traînée : 𝐹 = 𝐶𝑥 ∙ 𝜌 ∙

𝑣2 2

∙ 𝑆𝐿

avec : g : accélération de la pesanteur 9.81 m/s2 ρ : masse volumique du fluide ρL : masse volumique du flotteur V : volume du flotteur v : vitesse du fluide Cx : coefficient de traînée qui est quasiment constant pour 100≤ Re ≤ 200000 SL : section de ludion équivalente (section du ludion projetée sur un plan ⏊ à v) Fig. 16 Equilibre des forces Le bilan, en régime permanent (c-à-d flotteur à l’équilibre) s’exprime par : 𝑃 + 𝜋𝐴 + 𝐹 = 0 Tenons compte du sens

𝑃 = 𝜋𝐴 + 𝐹 ce qui donne : 𝜌𝐿 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝑔 = 𝜌 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝑔 + 𝐶𝑥 ∙ 𝜌 ∙

Ainsi : 𝑣=

2∙

𝑣2 ∙𝑆 2 𝐿

𝑉𝐿 ∙ 𝑔 ∙ (𝜌𝐿 − 𝜌) 𝐶𝑥 ∙ 𝜌 ∙ 𝑆𝐿

Dans cette expression, tous les termes sont constants, 𝑣 = 𝐶 𝑠𝑡𝑒 au tour du flotteur

CONSEQUENCE IMPORTANTE : « le profil des vitesses au voisinage du ludion étant constant, le ludion va se positionner en conséquence, à condition que la section du tube soit variable » Précisons : appelons DL le plus grand diamètre du ludion, et D(h) le diamètre du tube à la hauteur h. Alors, la section par laquelle circule le fluide, appelée section de passage «Sp» (Fig. 17) s’obtient par : 𝜋 𝑆𝑃 = ∙ 𝐷2 𝑕 − 𝐷𝐿2 4

[ (a)

(b)

Fig .17 (a,b) Section de passage du fluide Cette section de passage dépend bien évidemment de la hauteur « h » du ludion. Pour finir : 𝑄𝑣 = 𝑆𝑃 ∙ 𝑣 =

𝜋 ∙ 𝐷2 𝑕 − 𝐷𝐿2 ∙ 4

2∙

𝑉𝐿 ∙ 𝑔 ∙ 𝜌𝐿 − 𝜌 𝐶𝑥 ∙ 𝜌 ∙ 𝑆𝐿

L’étalonnage du rotamètre nécessite les données du constructeur.

7. 3 Avantages : - Construction simple et robuste - grande fiabilité - faible perte de charge - utilisable pour une large variété de liquides et gaz - portée typique pour de l’eau : 0,04 L/h à 150 m3/h - portée typique pour de l’air : 0,5 L/h à 3000 m3/h - rangeabilité de l’ordre de 10 :1 - imprécision de l’ordre de 0,4% à 4% du débit maximal - insensible aux turbulence en amont ( donc, pas de contrainte sur la forme de la conduite en amont ) - température maximale d’utilisation de l’ordre de 400 °C - pression maximale d’utilisation de l’ordre de 40 bar - faible coût - faible prix d’installation

7.4 Inconvénients : - nécessité de les installer verticalement - non utilisable pour les faibles débits (le coefficient Cx varie énormément) - non utilisable pour les vapeurs saturées - non utilisables pour les liquides corrosifs, et/ou contenant des résidus solides - non utilisables pour les gaz contenant des résidus solides

8 Débitmètres ultrasoniques Les débitmètres à ultrasons ne sont apparus sur le marché sous forme réellement industrielle que vers 1970. Bien que le principe en soit connu depuis fort longtemps, la mise en application de ce procédé s'est heurtée à l'insuffisance des performances des moyens électroniques de l'époque. 8. 1 Principe de mesure de vitesse par différence de temps de transit La mesure de la différence des temps de transit permet de réaliser une véritable intégration du profil des vitesses et conduit par conséquent à une meilleure précision.

Fig. 18. Mesure de vitesse par différence de temps de transit. A et B sont deux sondes émettrices réceptrices (Fig. 18), V la vitesse moyenne d'écoulement, L la longueur du trajet acoustique et C la vitesse de propagation du son dans le fluide au repos, les temps de propagation des impulsions ultrasonores de A vers B et de B vers A s'écrivent : 𝐿 𝑇𝐴𝐵 = 𝐶 + 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇𝐵𝐴 =

𝐿 𝐶 + 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃

d'où l'on tire l'expression de la vitesse moyenne le long de la ligne AB. La vitesse ainsi mesurée représente l'intégrale du profil des vitesses dans le plan diamétral. 1 1 2 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝑉𝑚 𝐷 − = = 2 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐴 𝐿 𝐿 𝐿2 1 1 𝑉𝑚 = − 2𝐷 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐴

8. 2 Calcul du débit à partir de la vitesse mesurée Dans les conduites circulaires et en régime stabilisé, deux régimes d'écoulements différents peuvent prendre naissance, le régime laminaire (+ régime transitoire) pour des nombres de Reynolds inférieurs à 2 800, le régime turbulent pour les nombres de Reynolds supérieurs à 2 800. Le coefficient hydraulique KH est le rapport de la vitesse mesurée Vm à la vitesse moyenne vraie obtenue en intégrant le profil de vitesse dans toute la section de mesure. La connaissance de l'expression mathématique du profil de vitesse permet le calcul de ce coefficient. En régime laminaire (fig. 19): V y = V0 1 −

y2 R2

KH =1.33

Fig.19. Calcul du coefficient KH en régime laminaire. En régime turbulent (fig. 20), ce coefficient est une fonction du nombre de Reynolds. V y = V0

y 1− R

1 n

1 = 0.250 − 0.0231 g Re n KH = f(Re) , 𝑅𝑒 = 𝑉Ø/𝜈 𝜙 : diamètre du tube

Fig.20. Calcul du coefficient KH en régime turbulent. Les résultats du calcul complétés par de nombreux résultats expérimentaux conduisent à l'établissement du réseau de courbes représenté sur la figure 4 ci-après. On s'aperçoit que, pour une conduite déterminée et pour une large dynamique de vitesse; ce coefficient évolue peu. Il est donc possible de calculer la vitesse moyenne vraie à partir de la mesure-de la vitesse moyenne dans le plan diamétral.

𝑉 = 𝑉𝑚 d'où le calcul du débit: Q = V S ; S = π

𝑄= 𝜋

∅2

1 𝐾𝐻

4

∅2 1 𝐿2 1 1 − 4 𝐾𝐻 2𝐷 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐴

Ce calcul n'est évidemment valable que si l'hypothèse faite sur l'expression mathématique du profil des vitesses est vérifiée, ce qui nécessite le respect de longueurs droites en amont (10 à 15 D) et en aval (3 à 5 D) du point de mesure. Les courbes de la fig. 21 sont établies pour une rugosité typique de quelques dixièmes de mm. On comprend aisément que l'écoulement dans la couche limite est fortement influencé par la rugosité. L'influence de cette perturbation est d'autant plus importante que le diamètre de la conduite est faible. Certains hydrauliciens, et en particulier COLEBROOK, ont établi des lois qui prennent en compte la rugosité et dont l'application est simple, à condition toutefois de définir et de mesurer la rugosité...

Fig. 21. Courbes de K" en fonction du nombre de Reynolds.