Méthode - Chapitre 3 - Integration [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 3 Int´ egration Num´ erique 3.1

Introduction

Dans ce chapitre on va ´etudier des m´ethodes pour approcher les int´egrales de fonctions.On sait bien qu’il n’est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver la forme explicite d’une primitive. Dans les m´ethodes d’int´egration, l’int´egrale d’une fonction f continue sur un intervalle born´e [a, b] est remplac´ee par une somme finie. Le choix de la subdivision de l’intervalle d’int´egration et celui des coefficients qui interviennent dans la somme approchant l’int´egrale sont des crit`eres essentiels pour minimiser l’erreur. Ces m´ethodes se r´epartissent en deux grandes cat´egories : les m´ethodes compos´ees dans lesquelles la fonction est remplac´ee par un polynˆome  d’interpolation sur chaque intervalle ´el´ementaire [xi , xi+1 ] de la subdivision de [a, b] ([a, b] = i [xi , xi+1 ]) et les m´ethodes de Gauss pour lesquelles les points de la subdivision sont impos´es. b La m´ethode de base impliqu´ee dans l’approximation de f (x)dx est appel´ee quadrature num´erique. Elle utilise la somme

a

n

i=1 wi f (xi ) pour l’approximation de

b

f (x)dx.

a

La m´ethode de quadrature dans cette section est bas´ee sur l’interpolation polynomiales ´etudi´ee dans la Chapitre 2. L’id´ee de base est de s´electionner un ensemble de points {x0 , x1 , . . . , xn }, de l’intervalle [a, b]. Puis int´egrer le polynˆome de Lagrange. On a : f (n+1) (ξ(x))  (x − xi ) f (x) = Pn (x) + (n + 1)! i=0 n

Avec Pn (x) =

n 

f (xi )Li (x)

(3.1)

(3.2)

i=0

Ainsi :

b f (x)dx = a

b  n a

=

i=0

n  i=0

f (xi )Li (x)dx +

ai f (xi )dx +

b  n a

b  n a

21

i=0

(x − xi )

i=0

(x − xi )

f (n+1) (ξ(x)) dx (n + 1)!

f (n+1) (ξ(x)) dx (n + 1)!

(3.3)

3.2. La r` egle du trap` eze

22

Avec ξ(x) ∈[a,b] pour chaque x et b ai =

Li (x)dx i = 0, 1, , n.

(3.4)

a

et la formule de quadrature est ainsi b f (x)dx ≈

n 

ai f (xi )dx

(3.5)

i=0

a

Avec l’erreur donn´ee par 1 E(f ) = (n + 1)!

3.2

b  n

(x − xi )f (n+1) (ξ(x))dx

(3.6)

i=0

a

La r` egle du trap` eze

Nous commen¸cons par l’application la plus simple de l’int´egration num´erique bas´ee sur l’interpolation. Soit f (x) une fonction continue ainsi que sa premi`ere d´eriv´ee et cela sur l’intervalle [a, b].Soit x0 = a ; x1 = b ;h = b − a . Consid´erons le polynˆome interpolant de degr´e 1 P1 (x) passant par (x0 , f (x0 )) et (x1 , f (x1 )) ansi que le terme d’erreur f (x) = P1 (x) + E(f ) =

x − x1 x − x0 (x − x0 )(x − x1 )  f (x0 ) + f (x1 ) + f (ξx ) x0 − x1 x1 − x0 2!

(3.7)

Int´egrant les deux membre de l’´equation (3.7) x1

x1 f (x)dx =

x0

x1 P1 (x)dx +

x0

E(f )dx

(3.8)

x0

La premi`ere int´egrale de droite donne x1

x1 P1 (x)dx = f (x0 )

x0

x0

x − x1 dx + f (x1 ) x0 − x1

x1 x0

h x − x0 dx = (f (x0 ) + f (x1 )) x1 − x0 2

(3.9)

La formule (3.9) calcule l’aire du trap`eze(figure 3.1) d’o` u le nom de r`egle du trap`eze Le terme de l’erreur est x1 x0

1 E(f )dx = f  (ξ) 2!

x1 (x − x0 )(x − x1 )f  (ξ(x))dx

(3.10)

x0

En utilisant le th´eor`eme des valeurs moyenne des int´egrales on aura x1 x0

1 E(f )dx = f  (ξ) 2!

x1 h3 (x − x0 )(x − x1 )dx = − f  (ξ) 12

x0

22

(3.11)

3.2. La r` egle du trap` eze

23

10

8

I =

b a

f (x)dx ≈

h (f (a) 2

+ f (b))

y = f(x)

6

4

Surface du trapeze

f (a)

=

2

h (f (a) 2

+ f (b))

f (b) y = f (x)

x0 = a

0

x1 = b

h

−2

−4

0

0.5

1

1.5

2

x

2.5

3

3.5

Figure 3.1 – l’approximation de l’int´egrale par l’aire du trap`eze

La r`egle du Trap`eze simple est : b f (x)dx ≈ a

h (f (b) + f (b)) 2

Avec une erreur b E(f )dx = −

E(I) = a

(b − a)3  f (ξ); 12

a