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Chapitre 3 CINEMATIQUE DES FLUIDES

Plan du chapitre 1 Introduction 2 Méthodes de description d’un écoulement de fluide 3 Lignes de courant, tube de courant et lignes d’émission 4 Ecoulement permanent 5 Ecoulement permanent en moyenne 6 Dérivée totale ou particulaire 6.1 Cas d’une fonction scalaire 6.2 Cas d’une fonction vectorielle 6.3 Cas d’une fonction tensorielle d’ordre 2 7 Analyse du mouvement d’un élément de volume de fluide ⃗ 8 Signification physique des composantes de la matrice [L] représentant le tenseur ̿̿̿̿̿̿̿̿ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 8.1 Termes diagonaux ou termes d'élongation ou de contraction 8.2 Termes hors-diagonale ou termes de déformation angulaire et rotation 9 Equation de continuité 9.1 Cas général 9.2 Cas particuliers : Différentes écritures de l’équation de continuité 10 Débits 10.1 Définition du débit massique 10.2 Equation de conservation du débit massique ⃗ 11 Circulation du vecteur vitesse ⃗𝑽 12 Applications

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1 Introduction La cinématique des fluides permet d’étudier le mouvement de particules de fluide sans faire intervenir les forces qui produisent ce mouvement. Les différents types de mouvement sont : la translation, les déformations linéaires et angulaires et la rotation des particules de fluides (figure 3.1).

Fig. 3.1 Déplacements et déformations qu'une particule fluide subit simultanément au sein d'un écoulement Le terme particule fluide est utilisé en mécanique des fluides pour désigner un volume élémentaire de fluide d'échelle mésoscopique. L’échelle mésoscopique est typiquement de l'ordre du micromètre. Une particule de fluide entourant un point M représente un paquet de molécules entourant M et qui ont toutes, à l’instant t, la même vitesse. 2 Méthodes de description d’un écoulement de fluide Pour la description mathématique d’un écoulement, on dispose de deux méthodes différentes introduites par Euler au 18ème siècle, à savoir : -

la description d’Euler :

Cette méthode de description de l’écoulement consiste à établir à un instant t donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point M de l’espace occupé par le milieu fluide (figure 3.2). Autrement dit, à chaque instant, l’écoulement ou le mouvement du fluide est décrit au moyen d’un champ de vecteurs vitesses. ⃗ , la pression p, la température T, Dans cette méthode, toutes les grandeurs de l’écoulement, la vitesse 𝑉 etc. sont exprimées en fonction des coordonnées ou variables d’espace x, y, z et du temps t.

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Fig. 3.2 Pour obtenir les trajectoires des particules figure 3.3, quand on connaît le champ de vitesse, on doit résoudre l’ équation différentielle de la trajectoire : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ = 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝑟 𝑉 𝑑𝑡

(3.1a)

𝑑𝑡

ou encore : 𝑑𝑥

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) { 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) } = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝑑𝑡 𝑑𝑦

(3.1b)

𝑑𝑡 𝑑𝑧

{ 𝑑𝑡 }

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec la condition initiale : 𝑂𝑀 𝑂𝑀0 ou 𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟0 au temps t=t0.

Fig. 3.3 La méthode d’Euler est la plus adéquate pour l’étude du mouvement du fluide. -

la description de Lagrange:

Dans cette méthode, on cherche à étudier chaque particule individuellement. Autrement dit, chaque particule est individualisée et suivie dans son mouvement. Cette description est plutôt utilisée en mécanique des solides en raison de la diffusion moléculaire qui fait que les particules de fluide ne conservent pas longtemps leur individualité.

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Jean-Louis Lagrange (1736-1813)

Leonhard Euler (1707-1783)

3 Lignes de courant, tube de courant et lignes d’émission Lignes de courant : On appelle ligne de courant (stream line) à un instant t donné toute ligne qui possède en chacun de ses ⃗ figure 3.4(a). Les lignes de courant sont fournies points une tangente parallèle au vecteur vitesse 𝑉 par la relation figure 3.4(b): ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑉 ⃗ = ⃗0 𝑑𝑂𝑀 où le symbole × désigne le produit vectoriel.

Fig. 3.4(a) Ligne de courant de l’écoulement à l’instant t0

(3.2)

Fig. 3.4(b)

Les lignes de courant sont donc données par les intégrales du système différentiel : 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

= 𝑣(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = 𝑤(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑢(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

(3.3)

Pour un écoulement plan ou bidimensionnel (2-D), l’équation différentielle de la ligne de courant s’écrit : 𝑑𝑥 𝑢(𝑥,𝑦,𝑡)

𝑑𝑦

= 𝑣(𝑥,𝑦,𝑡)

(3.4)

En coordonnées polaires (𝑟, 𝜃), cette équation prend la forme suivante : 𝑑𝑟 𝑣𝑟 (𝑟,𝜃,𝑡)

=𝑣

𝑟𝑑𝜃

𝜃 (𝑟,𝜃,𝑡)

(3.5)

Tube de courant (stream tube) :

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On appelle tube de courant (surface S’), les lignes de courant passant par tous les points d’une courbe fermée figure 3.5. Si le tube est de section infiniment petite, on a un filet de courant.

Fig. 3.5 Tube de courant Remarques : - Il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire ; ce sont deux notions bien différentes. 𝜕 - Si l’écoulement est stationnaire ou permanent (𝜕𝑡 = 0), le champ de vitesse est constant dans le temps : les lignes de courant et les trajectoires sont confondues. Sur la figure 3 .6, nous présentons les lignes de courant (=cte) et les lignes équipotentielles (=cte) de quelques écoulements simples :

a)Ecoulement rectiligne uniforme

c)Ecoulement d’un tourbillon (vortex)

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b)Ecoulement autour d’une source ou d’un puits(sink)

d)Ecoulement autour d’un point d’arrêt

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e)Ecoulements superposés d’un puits (P) et d’une source (S) infiniment proches (dipôle ou doublet) Fig. 3.6 Représentation des lignes de courant et des lignes équipotentielles de quelques écoulements simples Lignes d’émission : Toutes les particules étant passées par un même point E sont situées à l'instant sur une courbe appelée « ligne d'émission » relative au point E à l'instant t figure 39. Il s'agit d'une courbe qu'il est souvent très facile de mettre en évidence expérimentalement : l'exemple le plus explicite étant la source colorante au sein d'un écoulement de fluide translucide, où le filet coloré ainsi produit correspond à une ligne d'émission.

Trajectoires (pathlines) Fig. 39

Ligne d’émission (streakline) Exemple de « streakline » permettant de visualiser l'écoulement autour d'une voiture dans une soufflerie (utilisation de la fumée).

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Remarque: Pour un écoulement permanent, les lignes d’émission coincident avec les lignes de courant. 4 Ecoulement permanent (steady-state flow) Un écoulement est permanent lorsque le champ de vitesse ainsi que la pression et la masse volumique 𝜕 ne dépendent pas du temps (𝜕𝑡 = 0 ) ; c’est-à-dire les composantes du vecteur vitesse de l’écoulement u, v, w ne sont fonctions que des variables d’espace x, y, z et les lignes de courant de l’écoulement sont des courbes fixes confondues avec les trajectoires des particules de fluide. Lorsque la vitesse, la pression, la masse volumique, … dépendent du temps, l’écoulement est dit transitoire ou instationnaire (transient flow ou unsteady-state flow). 5 Ecoulement permanent en moyenne (Mean steady-state flow) En général, les composantes u, v, w de la vitesse en un point M ainsi que la pression p et la masse volumique  dépendent du temps, mais souvent ces quantités restent constantes en moyenne, cela signifie qu’il est possible de trouver un intervalle de temps T pendant lequel on peut écrire (figure 3.7): 1

𝑡+𝑇

𝑢̅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑇 ∫𝑡

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑑𝑡, etc.

(3.6)

Où 𝑢̅ est la valeur moyenne de u sur l’intervalle de temps (t, t+T).

Fig. 3.7 6 Dérivée totale ou particulaire (material derivative) 6.1 Cas d’une fonction scalaire 𝜕𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

Dans la description eulérienne de l’écoulement (paragraphe 1), la dérivée partielle d’une 𝜕𝑡 grandeur quelconque de l’écoulement F (pression, température, masse volumique, …) correspond au taux de variation local de F. Mais, on a aussi besoin du taux de variation total de F. En mathématiques, la forme différentielle de F supposée de classe C1 (une fois continument différentiable) est donnée par : 𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝑑𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧 + 𝜕𝑡 𝑑𝑡

(3.7)

Soit en divisant les deux membres par dt :

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𝑑𝐹 𝑑𝑡

𝜕𝐹 𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝑑𝑦

𝜕𝐹 𝑑𝑧

𝜕𝐹

= 𝜕𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑦 𝑑𝑡 + 𝜕𝑧 𝑑𝑡 + 𝜕𝑡

(3.8)

Compte tenu de l’équation de la trajectoire (3.1), l’équation (3.8) devient : 𝜕𝐹 𝑑𝐹 𝑑𝑡

=

𝜕𝐹 𝜕𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

+ 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 =

𝜕𝐹 𝜕𝑡

+ 〈𝑢

𝑣

𝜕𝑥 𝜕𝐹

𝑤〉

𝜕𝑦 𝜕𝐹

=

{ 𝜕𝑧 }

𝜕𝐹

⏟ 𝜕𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙

⃗ .∇ ⃗𝐹 ⏟ 𝑉

+

𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝜕

⃗ étant l’opérateur différentiel « nabla » défini par : ∇ ⃗ (°) = 𝜕 𝑒𝑥 + 𝜕 𝑒𝑦 + 𝜕 𝑒𝑧 = ∇ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ou encore en utilisant la notation indicielle :

𝑑𝐹 𝑑𝑡

=

𝜕𝐹 𝜕𝑡

(3.9)

+ 𝑢𝑖

𝜕𝐹 𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕

{ 𝜕𝑧 } ; 𝑖 = 1,2,3

⃗ (𝑉 ⃗ = 𝑢𝑖 𝑒𝑖 ) et 𝑥𝑖 les coordonnées cartésiennes ou les où 𝑢𝑖 sont les composantes du vecteur vitesse 𝑉 variables d’espace. Pour passer de la notation classique à la notation indicielle, on fait le changement de variables suivant : (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑢, 𝑣, 𝑤) ≡ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑒𝑡 (𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ) ≡ (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ). En écrivant la dérivée totale de F sous la forme ci-dessus (Eq. 3.9), on suit une particule de fluide dans son mouvement. Ce type de dérivée s’appelle en mécanique des fluides une dérivée particulaire. Elle 𝐷(°) est souvent désignée par le symbole : 𝐷𝑡 6.2 Cas d’une fonction vectorielle ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) tel que 𝑉 ⃗ = 𝑢𝑒𝑥 + 𝑣𝑒𝑦 + 𝑤𝑒𝑧 , on a : Soit le vecteur vitesse de l’écoulement 𝑉 ⃗ 𝐷𝑉 𝐷𝑡

=

𝐷𝑢

𝐷𝑣

𝑒 + 𝐷𝑡 𝑒𝑦 + 𝐷𝑡 𝑥

𝐷𝑤 𝐷𝑡

𝐷𝑢

𝑒𝑧 avec 𝐷𝑡 =

𝜕𝑢 𝜕𝑡

⃗ .∇ ⃗ 𝑢; +𝑉

𝐷𝑣 𝐷𝑡

=

𝜕𝑣

⃗ .∇ ⃗ 𝑣 𝑒𝑡 +𝑉 𝜕𝑡

𝐷𝑤 𝐷𝑡

=

𝜕𝑤 𝜕𝑡

⃗ .∇ ⃗𝑤 +𝑉

Soit par conséquent : ⃗ 𝐷𝑉 𝐷𝑡

=

⃗ 𝜕𝑉 𝜕𝑡

⃗ . ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ +𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

⃗ = [𝐿] = avec ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

(3.10) 𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑧 𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝜕𝑤

𝜕𝑦 𝜕𝑤

𝜕𝑧 𝜕𝑤

qui est le tenseur gradient de vitesse d’ordre deux représenté par

[ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ] 𝜕𝑢 la matrice [L] dont le terme générique est 𝐿𝑖𝑗 = 𝜕𝑥 𝑖 ; 𝑖, 𝑗 = 1,2,3. 𝑗

On remarque que la trace de la matrice [L] (la somme des termes diagonaux) correspond à la 𝑢 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 ⃗ ; c’est-à-dire : 𝑑𝑖𝑣(𝑉 ⃗)=∇ ⃗ .𝑉 ⃗ =〈 〉 {𝑣} = + + divergence du vecteur vitesse 𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑢 ⃗ .𝑉 ⃗ = 𝜕 ⃗⃗𝑒𝑖 . 𝑢𝑗 𝑒𝑗 = 𝑗 ⃗⃗𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝜕𝑢𝑖 ou ∇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

On définit aussi : Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ = [𝐿]𝑇 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑉

𝜕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑥 𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝜕𝑤

𝜕𝑦 𝜕𝑢

𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝜕𝑤

[ 𝜕𝑧

⃗. = Transposé de ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

𝜕𝑧 ]

𝜕𝑧

⃗ représente le vecteur accélération de la En dynamique des fluides, la dérivée particulaire de 𝑉 particule de fluide ; c’est-à-dire : 𝑎 =

⃗ 𝐷𝑉 𝐷𝑡

ou 𝑎𝑖 =

En notation indicielle, l’équation (3.10) s’écrit :

𝐷𝑢𝑖 𝐷𝑡

𝐷𝑢𝑖 𝐷𝑡

; 𝑖 = 1,2,3.

=

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑡

𝜕𝑢

+ 𝑢𝑗 𝜕𝑥 𝑖 ; 𝑖, 𝑗 = 1,2,3. 𝑗

̿̿̿̿̿̿̿ 𝑉 ⃗ peut être démontrée en le décomposant en une partie La signification physique de 𝑔𝑟𝑎𝑑 ̿ et une partie symétrique 𝐷 ̿ . On définit les tenseurs 𝐷 ̿ et  ̿ par : asymétrique (anti-symétrique)  ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑉 ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑉 ̿ = 1(𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ + ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ ) et  ̿ = 1(𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ − ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗) 𝐷 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑉 2 2 𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

(3.11)

𝜕𝑢

ou 𝐷𝑖𝑗 = 𝐷𝑗𝑖 = 12 (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑥𝑗) et 𝑖𝑗 = 12 (𝜕𝑥 𝑖 − 𝜕𝑥𝑗 ) ; 𝑗𝑖 ≠ 𝑖𝑗 ; 𝑖, 𝑗 = 1,2,3 𝑗

𝑖

𝑗

𝑖

Soit : ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ =𝐷 ̿ + ̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 ou

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗

(3.12)

= 𝐷𝑖𝑗 + 𝑖𝑗

̿ est appelé tenseur des taux de déformation (rate of deformation tensor) et  ̿ le tenseur tourbillon 𝐷 ou tenseur de vorticité ou encore tenseur rotation (vortex tensor) dont les termes diagonaux sont nuls. ̿ Expressions des matrices [D] et [] représentant respectivement les tenseurs des taux de déformation 𝐷 ̿: (élongation + déformation angulaire) et le tenseur des taux de rotations pures (tourbillon)  𝜕𝑢 𝜕𝑥

1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ( + ) 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝜕𝑣

[𝐷] =

𝜕𝑦

[𝑆𝑦𝑚.

1 𝜕𝑢

(

+

(

+

2 𝜕𝑧 1 𝜕𝑣

𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤

2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑤

)

)

𝜕𝑧

; ]

1 𝜕𝑢 𝜕𝑤 ( − ) 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 0 1 𝜕𝑣 𝜕𝑤 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 − ( − ) 0 ( − ) = [ 𝑧 [] = 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕𝑤 1 𝜕𝑣 𝜕𝑤 1 𝜕𝑢 − ( − ) − ( − ) 0 [ 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ] 0

1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ( − ) 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥

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− 𝑧 0

𝑥

𝑦 − 𝑥 ] 0

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̿: Particularité de  Pour un champ vectoriel quelconque 𝑣, on peut écrire la relation suivante : ̿ .𝑣 =  ⃗⃗ × 𝑣 

(3 .13)

où : 1

𝑒𝑥

𝑒𝑦

𝑒𝑧

𝜕𝑥

𝜕 𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑧

⃗⃗⃗⃗ = 1 𝑟𝑜𝑡 ⃗ ×𝑉 ⃗ ) = 1∇ ⃗ = |𝜕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉  2 2 2

𝑢

𝑣

|

(3.14)

𝑤

𝜕𝑢

ou 𝑖 = 12 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑥𝑘 ; 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 𝑗

𝜀𝑖𝑗𝑘 est le tenseur permutation anti-symétrique d’ordre trois tel que : 𝜀𝑖𝑗𝑘

+1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑢 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 (𝜀123 = 𝜀231 = 𝜀312 = 1) = { −1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑢 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 (𝜀132 = 𝜀213 = 𝜀321 = −1) 0 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 2 𝑜𝑢 3 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 é𝑔𝑎𝑢𝑥 (𝜀112 = 𝜀122 = 𝜀222 = 0, 𝑒𝑡𝑐. )

Le tenseur 𝜀𝑖𝑗𝑘 est défini par la relation suivante : 𝑒𝑖 × 𝑒𝑗 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑘 commutatif.

sachant que le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul et qu’il est non

Exemple : ⃗ - pour 𝑖 = 𝑗 = 1 ∶ 𝑒1 × 𝑒1 = 𝜀111 𝑒1 + 𝜀112 𝑒2 + 𝜀113 𝑒3=0 - pour 𝑖 = 1 , 𝑗 = 2 ∶ 𝑒1 × 𝑒2 = 𝜀121 𝑒1 + 𝜀122 𝑒2 + 𝜀123 𝑒3 = 0𝑒1 + 0𝑒2 + 1𝑒3 =𝑒3 - pour 𝑖 = 2 , 𝑗 = 1 ∶ 𝑒2 × 𝑒1 = 𝜀211 𝑒1 + 𝜀212 𝑒2 + 𝜀213 𝑒3 = 0𝑒1 + 0𝑒2 − 1𝑒3=−𝑒3 4.3 Cas d’une fonction tensorielle d’ordre deux La dérivée particulaire d’un tenseur d’ordre deux 𝑇̿ est : 𝐷𝑇̿ 𝐷𝑡

=

𝜕𝑇̿ 𝜕𝑡

̿̿̿̿̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⏟ 𝑇̿

⃗ . +𝑉 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑒𝑢𝑟

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑′ 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒

(3.15) 3

ou 𝐷𝑇𝑖𝑗 𝜕𝑇𝑖𝑗 𝜕𝑇𝑖𝑗 = + 𝑢 ; 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3. 𝐷𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑘 𝑘

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7 Analyse du mouvement d’un élément de volume de fluide Au cours du mouvement chaque élément de volume de fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme que nous allons déterminer (figure 3.1). Afin d’analyser ces changements, considérons deux points voisins appartenant à la même particule fluide : M et M’ figure 3.8 tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 + 𝑑𝑟 = ⏟ (𝑥 + 𝑑𝑥) 𝑒𝑥 + (𝑦 (𝑧 + 𝑑𝑧) 𝑒𝑧 𝑂𝑀 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 ⏟ + 𝑑𝑦) 𝑒𝑦 + ⏟ 𝑥′

𝑦′

𝑧′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥𝑒𝑥 + 𝑑𝑦𝑒𝑦 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 est le vecteur infinitésimal. où 𝑑𝑟 = 𝑀𝑀′

Fig. 3.8 ⃗ 𝑀 = 𝑢𝑒𝑥 + 𝑣𝑒𝑦 + 𝑤𝑒𝑧 la vitesse au point M(x,y,z) et 𝑉 ⃗ 𝑀′ = 𝑢′𝑒𝑥 + 𝑣′𝑒𝑦 + 𝑤′𝑒𝑧 la vitesse au Soient 𝑉 point M’(x+dx, y+dy, z+dz). ⃗ 𝑀′ : Effectuons un développement limité au premier ordre des trois composantes de 𝑉 𝑢′ = 𝑢 +

𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⏟ 𝑑𝑢

′

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 = 𝑣 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧 ⏟

𝑜𝑢

𝑑𝑣

𝑢 𝑢′ { 𝑣′ } = { 𝑣 } + 𝑤 𝑤′

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝑤′ = 𝑤 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⏟

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑧 𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝜕𝑤

𝜕𝑦 𝜕𝑤

𝜕𝑧 𝜕𝑤

[ 𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧 ]

𝑑𝑥 {𝑑𝑦} 𝑑𝑧

(3.16)

𝑑𝑤

ou encore ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑀𝑀′ ⏟

⃗ (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧)=𝑉 ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧)+ 𝑉

⃗ 𝑎𝑐𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑉

Soit par conséquent : ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑉 ⃗ (𝑟 + 𝑑𝑟)=𝑉 ⃗ (𝑟)+𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ . 𝑑𝑟 𝑉 Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

(3.17a) Page 11 de 25

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ 𝑉𝑀′ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀 + [𝐿] . 𝑀𝑀

ou encore

(3.17b)

Compte tenu des relations (3.12) et (3.13), l’équation (3.17) prend la forme suivante : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀′ =

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 ⏟ 𝑀

⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̿ . 𝑀𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ +⏟  𝑀𝑀′ + ⏟ 𝐷 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

(3.18)

𝑑é𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Le terme ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀 +  𝑀𝑀′ représente la vitesse dans le cas d’un solide ; c’est-à-dire sans déformation, d’un point M’ du solide connaissant celle d’un point M du même solide. Cela, se traduit dans le cas ̿ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ général par une translation et une rotation d’ensemble. Le terme 𝐷 𝑀𝑀 ′ est donc caractéristique de la vitesse de déformation subie par l’élément considéré. Ce terme n’existe pas en cinématique du solide. Remarque : ⃗⃗ = ⃗0 . Dans ce cas, les particules fluides ne subissent Un écoulement sera qualifié d'irrotationnel lorsque  aucune rotation pure au sein de l'écoulement. ⃗ 8 Signification physique des composantes de la matrice [L] représentant le tenseur ̿̿̿̿̿̿̿̿ 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗𝑽 8.1 Termes diagonaux ou termes d'élongation ou de contraction Supposons que seuls les éléments diagonaux soient non nuls et raisonnons, pour simplifier, à deux dimensions (écoulement 2-D s’effectuant dans le plan (x,y)). Une particule bidimensionnelle, rectangulaire, de surface 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥𝑑𝑦, est définie à l'instant t par les coordonnées des 4 sommets : 𝑢 𝐴(0,0) ; 𝐵(𝑑𝑥, 0) ; 𝐶(0, 𝑑𝑦) ; 𝐷(𝑑𝑥, 𝑑𝑦). Connaissant la vitesse du point A : 𝑉⃗𝐴 = {𝑣 } , on peut en déduire les vitesses des 3 autres sommets pour finalement connaître la position de chacun des 4 points à l'instant 𝑡 + 𝑑𝑡 : En posant nuls tous les termes hors-diagonale, il reste : 𝜕𝑢

[𝐿] = [

𝜕𝑥

0

0

𝜕𝑣 ] 𝜕𝑦

𝜕𝑢

→

{

𝑢′ = 𝑢 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥

conformément à l’équation (3.16)

𝜕𝑣

𝑣 ′ = 𝑣 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦

Soit compte tenu de l’équation (3.17b) : 𝜕𝑢

𝑢 𝜕𝑥 ⃗⃗⃗⃗𝐵 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉𝐴 + [𝐿] . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = { } + [ 𝑣 0 𝜕𝑢

𝑢 𝜕𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐶 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴 + [𝐿] . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = { } + [ 𝑣 0

𝜕𝑢

𝑢 𝜕𝑥 ⃗⃗⃗⃗𝐷 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉𝐴 + [𝐿] . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 = { } + [ 𝑣 0

𝑑𝑢

0

𝑑𝑥 ⏞ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ] { 0 } = {𝑢 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥 } 𝜕𝑦 𝑣 𝑢 𝜕𝑣

0

0 𝜕𝑣] {𝑑𝑦} =

{𝑣 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦} ⏟

𝜕𝑦

𝑑𝑣

0

𝑑𝑥 𝜕𝑣] {𝑑𝑦} = 𝜕𝑦

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𝑢+

{ 𝑣+

𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦

𝑑𝑥

} 𝑑𝑦

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Ainsi, les positions à l'instant 𝑡 + 𝑑𝑡 (figure 3.8) : 𝐴′(𝑢𝑑𝑡, 𝑣𝑑𝑡) ; 𝐵′ (𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑡 +

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡, 𝑣𝑑𝑡) ; 𝐶′ (𝑢𝑑𝑡, 𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑡 +

𝜕𝑣 𝜕𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑡) ; 𝐷′ (𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑡 +

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡, 𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑡 +

𝜕𝑣 𝜕𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑡)

D’après les coordonnées des points A’, B’, C’ et D’ à l’instant t+dt, on a donc une translation globale ou un mouvement d’ensemble de udt suivant x et de vdt suivant y. De plus, la particule est déformée puisqu’il y a élongation (ou contraction) de

𝝏𝒖 𝝏𝒙

𝒅𝒙𝒅𝒕 suivant x et de

𝝏𝒗 𝝏𝒚

𝝏𝒖

𝝏𝒗

𝒅𝒚𝒅𝒕 suivant y où 𝝏𝒙 et 𝝏𝒚 peuvent

être définis comme des taux d'élongation qui peuvent être positifs ou négatifs (contraction). Les accroissements relatifs de longueur et de largeur suivant x et y se calculent respectivement par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑(𝐴𝐵) ‖𝐴′𝐵′‖ − ‖𝐴𝐵 𝜕𝑥 = = = ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝐴𝐵 𝑑𝑥 ‖𝐴𝐵

𝜕𝑢 𝑑𝑡 ⏟ 𝜕𝑥 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑′ é𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑥

𝜕𝑣

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑦𝑑𝑡 − 𝑑𝑦 𝑑(𝐴𝐶) ‖𝐴′𝐶′‖ − ‖𝐴𝐶 𝜕𝑦 = = = ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝐴𝐶 𝑑𝑦 ‖𝐴𝐶

𝜕𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑦 ⏟ 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑′ é𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑥

Par conséquent, les termes diagonaux de [L] représentent les taux d’élongation suivant x, y et z. D’autre part, la variation relative de surface se calcule par : 𝑑𝑆 𝑆

=

𝑆 ′ −𝑆 𝑆

𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec 𝑆 ′ = ‖𝐴′𝐵′ 𝐴′𝐶′‖ = (𝑑𝑥 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑡) (𝑑𝑦 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡) = 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡2

⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 ′ = ‖𝐴𝐵 Soit :

𝑑𝑆 𝑆

=

𝑑𝑥𝑑𝑦+

𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡+ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡−𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑣

= (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦) 𝑑𝑡 +

𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⏟

𝑑𝑡 2

𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑′ 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟

En négligeant le terme d’ordre supérieur, il vient : 𝑑𝑆 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ≈ ( + ) 𝑑𝑡 𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑦 La généralisation de ce résultat à trois dimensions, permet donc d’exprimer la variation relative de volume (ou taux d’expansion du volume ou encore taux de dilatation cubique) de la particule fluide comme : 𝑑𝑉 𝑉

=

𝑉 ′ −𝑉 𝑉

≈

𝜕𝑢

𝜕𝑣

(𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + ⏟

𝜕𝑤 𝜕𝑧

)

𝑑𝑡

(3.19)

̿̿̿̿̿̿̿̿ 𝑉 ⃗ )=𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 [𝐿] 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ =𝑑𝑖𝑣(𝑉

̿ ou du tenseur gradient En conclusion, les éléments diagonaux du tenseur des taux de déformation 𝐷 ⃗ correspondent aux taux d’élongation ou de contraction dans les trois directions de de vitesse ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 l’espace et permettent, à partir du calcul de la trace du tenseur, d’évaluer le taux d’expansion local du volume appelé aussi taux de dilatation cubique. Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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Remarque : 𝑑𝑉 ⃗ ) = 0 ; dans ce cas il Si le fluide est incompressible et que l’écoulement est conservatif, alors 𝑉 = 𝑑𝑖𝑣(𝑉 n’y a pas de variation de volume et le fluide est dit iso-volume.

Fig. 3.8 8.2 Termes hors-diagonale ou termes de déformation angulaire et rotation Supposons maintenant que seuls les éléments en dehors de la diagonale soient non nuls dans le ⃗ , et raisonnons encore une fois à deux dimensions (plan (x,y)) en considérant toujours tenseur ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 une particule de forme rectangulaire ABCD figure 3.9: En posant nuls tous les termes diagonaux, il vient : 0

[𝐿] = [𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑦

0

𝜕𝑢

]

→

𝑢′ = 𝑢 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 { 𝜕𝑣 𝑣 ′ = 𝑣 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥

conformément à l’équation (3.16)

On remarque que dans ce cas, la composante u suivant x de la vitesse varie avec y, et que la composante v suivant y de la vitesse varie avec x. Soit compte tenu de l’équation (3.17b) : 0 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝐵 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉𝐴 + [𝐿] . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = { } + [𝜕𝑣 𝑣 𝜕𝑥

0

⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑢} + [ ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐶 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴 + [𝐿] . 𝐴𝐶 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 0

𝜕𝑢 𝜕𝑦

0

𝑢

𝑑𝑥 0

] { } = {𝑣 + 𝜕𝑣 𝑑𝑥} 𝜕𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑦 0

𝜕𝑢

0

] {𝑑𝑦} = {𝑢 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦}

𝜕𝑢

𝑣

𝑢+

𝜕𝑦 𝑑𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑢} + [ ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐷 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴 + [𝐿] . 𝐴𝐷 ] {𝑑𝑦} = { 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥

0

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𝑣+

𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝑑𝑦

} 𝑑𝑥

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Ainsi, les positions à l'instant 𝑡 + 𝑑𝑡 (figure 3.9) : 𝐴′(𝑢𝑑𝑡, 𝑣𝑑𝑡) ; 𝐵′ (𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑡, 𝑣𝑑𝑡 +

𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡) ; 𝐶′ (𝑢𝑑𝑡 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑡, 𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑡) ; 𝐷′ (𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑡 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑡, 𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑡 +

𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑡)

D’après les coordonnées des points A’, B’, C’ et D’ à l’instant t+dt, on a donc toujours une translation globale (mouvement d’ensemble) de udt suivant x et de vdt suivant y. Mais, on a en plus une déformation angulaire (modification des angles) de la particule tel qu’il est clairement illustré sur la figure 3.9. A l’instant (t+dt), les deux angles 𝑑𝛼 𝑒𝑡 𝑑𝛽 s’expriment comme suit : 𝑡𝑎𝑛(𝑑𝛼) ≈ 𝑑𝛼 = Soit :

𝑑𝛼 𝑑𝑡

=

𝜕𝑣 𝜕𝑥

et

𝜕𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝜕𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝛽 𝑑𝑡

=

𝜕𝑣

= 𝜕𝑥 𝑑𝑡 et 𝑡𝑎𝑛(𝑑𝛽) ≈ 𝑑𝛽 =

𝜕𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝜕𝑢

= 𝜕𝑦 𝑑𝑡

𝜕𝑢 𝜕𝑦

Il convient maintenant d’envisager deux cas particuliers : 

Les deux angles sont égaux : 𝑑𝛼 = 𝑑𝛽 

𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝜕𝑢

= 𝜕𝑦

⃗ symétrique. Il s’agit dans ce cas d’une Cette égalité rend la matrice [L] représentant le tenseur ̿̿̿̿̿̿̿ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 ̂ déformation angulaire pure au cours de laquelle l’angle 𝛾 = 𝐵𝐴𝐶 subit une variation : 𝜋 𝜋 𝑑𝛾 𝛾 ′ − 𝛾 (2 − 𝑑𝛼 − 𝑑𝛽) − 2 𝑑𝛼 𝑑𝛽 𝜕𝑣 𝜕𝑢 = = =− − = −2 = −2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Fig. 3.9 

Les deux angles s’opposent : 𝑑𝛼 = −𝑑𝛽 

𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝜕𝑢

= − 𝜕𝑦

𝑑𝛾

Dans ce cas (figure 3.10), la matrice [L] est anti-symétrique. La particule ne se déforme pas 𝑑𝑡 = 0 mais subit une rotation pure autour de l’axe z d’angle : 𝑑𝛼 𝜕𝑣 𝜕𝑢 1 𝜕𝑣 𝜕𝑢 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 = 𝑧 = =− = ( − )= 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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⃗⃗⃗⃗ = où 

𝜕𝑤 𝜕𝑣 − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 1 1 𝜕𝑢 𝜕𝑤 ⃗ ×𝑉 ⃗= ∇ 2 𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 2 𝜕𝑣 𝜕𝑢 − { 𝜕𝑥 𝜕𝑦 }

est le vecteur tourbillon qui rend compte des rotations possibles de la particule

fluide autour des trois axes que forme le repère cartésien.

Fig. 3.10 9 Equation de continuité 9.1 Cas général L'équation de continuité doit traduire le principe de conservation de la masse au sein d'un écoulement. Ce principe impose que l’augmentation de masse pendant un temps dt d’un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses de fluide qui y entrent diminuée de celles qui en sortent figure 3.11. L'établissement de cette équation locale repose donc sur un bilan de masse de fluide au sein d'un élément de volume pendant un temps élémentaire dt. On considère alors un élément de volume parallélépipédique 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 dont la masse est 𝑚 = 𝜌𝑑𝑉. 𝜕𝑚 𝜕𝜌 La variation de cette masse pendant le temps dt est : 𝑑𝑚 = 𝜕𝑡 𝑑𝑡 = 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 Cette variation doit être égale à : i)la somme des masses de fluide qui entre et sort par les six faces de l’élément de volume dV : Suivant l’axe y, le fluide entre avec la vitesse 𝑣(𝑦) et sort avec la vitesse 𝑣(𝑦 + 𝑑𝑦). Par conséquent, la masse entrant pendant le temps dt s’exprime : 𝜌(𝑦)𝑣(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 On a, par ailleurs, pour la masse sortant : 𝜌(𝑦 + 𝑑𝑦)𝑣(𝑦 + 𝑑𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 Le bilan sur l’axe y donne alors : 𝑑𝑚𝑦 = ([𝜌𝑣]𝑦 − [𝜌𝑣]𝑦+𝑑𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 = [𝜌𝑣] ⏟ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 − [𝜌𝑣] ⏟ 𝑦+𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝜕

Un développement limité au premier ordre permet d’écrire : [𝜌𝑣]𝑦+𝑑𝑦 = [𝜌𝑣]𝑦 + 𝜕𝑦 (𝜌𝑣)𝑑𝑦 𝜕

Il reste alors : 𝑑𝑚𝑦 = − 𝜕𝑦 (𝜌𝑣)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 suivant l’axe y.

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Sur les deux autres axes, on trouve : 𝜕

𝑑𝑚𝑥 = − 𝜕𝑥 (𝜌𝑢)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 suivant l’axe x, et 𝜕

𝑑𝑚𝑧 = − 𝜕𝑧 (𝜌𝑤)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 suivant l’axe z. Au total, à travers les 6 faces, on a : 𝑑𝑚𝑥 + 𝑑𝑚𝑦 + 𝑑𝑚𝑧 = − ( Donc : 𝑑𝑚 =

𝜕𝜌 𝜕𝑡

𝜕 𝜕 𝜕 (𝜌𝑢) + (𝜌𝑣) + (𝜌𝑤)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕

𝜕

𝜕

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 = − (𝜕𝑥 (𝜌𝑢) + 𝜕𝑦 (𝜌𝑣) + 𝜕𝑧 (𝜌𝑤)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡

ii)la somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou créées (sources) à l’intérieur de dV. En général, on doit ajouter des masses de fluides créées par les sources ou détruites par les puits pendant dt. Si on appelle 𝑞𝑣 le débit volumique de fluide créé (𝑞𝑣 > 0 : 𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒) ou détruit (𝑞𝑣 < 0: 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠) par unité de volume, la masse de fluide créée ou détruite pendant le temps dt dans le volume dV est : 𝜌𝑞𝑣 𝑑𝑉𝑑𝑡 Comme il peut y avoir plusieurs sources ou puits dans un même volume dV, on écrit alors : ∑ 𝜌𝑞𝑣𝑖 𝑑𝑉𝑑𝑡 𝑖

Bilan global : 𝑑𝑚 =

𝜕𝜌 𝜕 𝜕 𝜕 (𝜌𝑣) + (𝜌𝑤)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 + ∑ 𝜌𝑞𝑣𝑖 𝑑𝑉𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 = − ( (𝜌𝑢) + 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⏟𝜕𝑥 𝑖

⃗ .(𝜌𝑉 ⃗) =∇

Soit par conséquent : 𝜕𝜌 𝜕𝑡

𝜕

𝜕

𝜕

= − (𝜕𝑥 (𝜌𝑢) + 𝜕𝑦 (𝜌𝑣) + 𝜕𝑧 (𝜌𝑤)) + ∑𝑖 𝜌𝑞𝑣𝑖 ⏟

(3.20)

⃗ .(𝜌𝑉 ⃗) =∇

C’est l’équation de continuité qui est une équation locale qui traduit le principe de conservation de la masse. 9.2 Cas particuliers : Différentes écritures de l’équation de continuité -

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

Ecoulement permanent ou stationnaire (𝜕𝑡 = 0) : (𝜕𝑥 (𝜌𝑢) + 𝜕𝑦 (𝜌𝑣) + 𝜕𝑧 (𝜌𝑤)) = ∑𝑖 𝜌𝑞𝑣𝑖 ⏟ 𝜕𝑢

𝜕𝑣

Ecoulement d’un fluide incompressible (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒) : (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + ⏟

⃗ .(𝜌𝑉 ⃗) =∇ 𝜕𝑤 𝜕𝑧

) = ∑𝑖 𝑞𝑣𝑖

⃗ .𝑉 ⃗ =∇

Ecoulement conservatif d’un fluide incompressible: il n’ y a ni puits ni source ∑𝑖 𝑞𝑣𝑖 = 0 : ⃗ .𝑉 ⃗ =0 ∇ (3.21)

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-

Ecoulement conservatif d’un fluide compressible (gaz):

𝜕𝜌 𝜕𝑡

𝜕

𝜕

𝜕

+ ( (𝜌𝑢) + (𝜌𝑣) + (𝜌𝑤)) = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⏟𝜕𝑥

(3.22)

⃗ .(𝜌𝑉 ⃗) =∇

L’équation (3.22) peut s’écrire aussi sous la forme : 𝐷𝜌 𝐷𝑡

⃗⃗⃗ 𝑉 ⃗ =0 + 𝜌∇.

(3.23)

𝐷

Où 𝐷𝑡 est l’opérateur de la dérivée particulaire. -

Ecoulement plan d’un fluide incompressible :

𝜕𝑢

𝜕𝑣

𝜕

(𝑟𝑣𝑟 ) +

+ 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑣𝜃 𝜕𝜃

=0

en coordonnées cartésiennes

(3.24)

en coordonnées polaires

(3.25)

𝑣𝑟 𝑒𝑡 𝑣𝜃 sont respectivement les composantes radiale et tangentielle de la vitesse d’écoulement.

Fig. 3.11 10 Débits (flow rate) 10.1 Définition du débit massique Le débit massique qm représente la quantité de fluide traversant une section par unité de temps. Soit : qm =∆m/∆t dont l’équation dimensionnelle est : [qm]=MT-1 Pour un fluide de masse volumique ρ traversant une section d’aire S à la vitesse moyenne V. Le débit massique qm s’écrit : qm = ρ . S . V (3.26) Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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A travers la surface (S) orientée par la normale 𝑛⃗ de la figure 3.12, le débit massique de fluide est donné par: ⃗ 𝑛⃗𝑑𝑆 𝑞𝑚 = ∫𝑆 𝜌𝑉

(3.27)

A travers la surface (S), le débit volumique est calculé par: ⃗ 𝑛⃗𝑑𝑆 𝑞𝑣 = ∫𝑆 𝑉

(3.28)

On remarque que 𝑞𝑚 = 𝜌𝑞𝑣

(3.29)

Fig. 3.12 10.2 Equation de conservation du débit massique Considérons l’écoulement d’un fluide dans une canalisation entre la section d’entrée 1 et la section de sortie 2 figure 3.13. Pendant un intervalle de temps ∆t donné : • il entre une masse ∆m1 de fluide donc un débit massique qm1 = ∆m1/∆t • il sort une masse ∆m2 de fluide donc un débit massique qm2 = ∆m2/∆t L’équation de conservation de la masse impose que ∆m1 = ∆m2. Comme l’intervalle de temps ∆t est le même entre la section d’entrée 1 et la section de sortie 2 alors : qm1 = qm2. En utilisant la définition du débit massique (Eq. 3.26), soient : • qm1 = ρ1 . S1 . V1 • qm2 = ρ2 . S2 . V2 Il vient : ρ1 . S1 . V1 = ρ2 . S2 . V2

(3.30)

Cette équation traduit la conservation du débit massique dans un écoulement ; c’est-à-dire pendant un intervalle de temps ∆t donné, la matière ne disparaît pas dans la conduite (la masse de fluide sortante est donc égale à la masse de fluide entrante) figure 3.14.

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Fig. 3.13 Conservation du débit massique dans une conduite

Fig. 3.14 Conservation de la masse dans une conduite Si le fluide est incompressible (ρ1= ρ2= ρ), l’équation (3.30) devient figure 3.15 : S1 . V1 = S2 . V2

ou encore

V2/V1=S1/S2

(3.31)

Fig. 3.15 Conservation du débit volumique dans une conduite ⃗⃗ 11 Circulation du vecteur vitesse 𝑽 ⃗ le long d’une courbe fermée (C) (figure 3.16) est définie La circulation  du vecteur vitesse 𝑉 mathématiquement par la relation : ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ =∮ 𝑉 𝑑ℓ = ∮ 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 + 𝑤𝑑𝑧 𝐶

𝐶

(3.32)

⃗⃗⃗⃗ est le vecteur infinitésimal dont les composantes (C)=𝜕𝐷 étant le contour du domaine (𝐷) 𝑅 et 𝑑ℓ sont (dx, dy, dz) correspondant à l’élément d’arc de (C). L’application du théorème de Green-Riemann permet d’écrire aussi : 𝜕𝑣 𝜕𝑢 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑑ℓ = ∬ ( − ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 (3.33) ∮ 𝐶=𝜕𝐷

𝐷

2

𝜕𝑥

𝜕𝑦

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Fig. 3.16 Circulation du vecteur vitesse ⃗𝑽 le long d’un contour fermé (C) Remarque : La circulation le long d’un contour fermé (C) jouit de la propriété suivante définie par le théorème du rotationnel de Stokes : La circulation du vecteur vitesse le long d’une courbe fermée (C) est égale au flux du rotationnel de ce vecteur ; c’est-à-dire au double du vecteur tourbillon à travers une surface (S) ouverte limitée par la courbe (C) figure 3.17 :

=

⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝑑ℓ ∮𝐶 𝑉 ⏟

⃗ ) 𝑛⃗𝑑𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∬𝑆 𝑟𝑜𝑡 ⏟ (𝑉 ⃗∇×𝑉 ⃗ ⏟ 𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑖𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒

(3.34)

𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒

Fig. 3.17 George Gabriel Stokes (1819-1903) Exemple :

⃗ = {𝐾𝑦}, Calculer la circulation  autour d’un cercle de rayon a dans un champ de vitesse donné par 𝑉 0 K étant une constante. 2𝜋

2𝜋

 = ∮𝐶 𝑢𝑑𝑥 = ∮𝐶 𝐾𝑦𝑑𝑥 = 𝐾 ∫0 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃. (−𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑑𝜃 = −𝐾𝑎2 ∫0 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = − 𝜋𝐾𝑎2

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12 Applications Exemple 1 : Soit un écoulement permanent plan caractérisé par les composantes de la vitesse d’écoulement 𝑦2

𝑥

suivantes : 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦 (1 − 𝐿 ) , 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝐿 Tracer les lignes de courant dans la région du plan limité par : 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝑒𝑡 𝑦 ≥ 0. Solution : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Pour un écoulement plan, l’équation différentielle de la ligne de courant s’écrit : 𝑢 = 𝑣 . 𝑑𝑥

Soit : 𝐿−𝑥 =

2𝑑𝑦 𝑦

𝑑𝑥

Intégrons les deux membres de cette équation : ∫ 𝐿−𝑥 = ∫ 1

2𝑑𝑦

1

+ 𝐶 → 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝐿−𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑦 2 ) + 𝐶

𝑦

𝐵

𝐶

En Posant : 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝐴), il vient : 𝐿−𝑥 = 𝐴𝑦 2 ou 𝑦 = √𝐿−𝑥 =

où 𝐶 ∈ 𝑅.

√𝐿−𝑥

Calcul de la trajectoire : 𝑑𝑥

𝑥

𝑢 = 𝑑𝑡 = 𝑦 (1 − 𝐿 ) Equations de la trajectoire : { → 𝑑𝑦 𝑦2 𝑣 = 𝑑𝑡 = 2𝐿

𝑑𝑦 𝑦2

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Soit :

𝑑𝑥 𝐿−𝑥

=

2𝑑𝑡 𝐶2 −𝑡

→ 𝑙𝑜𝑔𝑒 (

𝐴

𝐿−𝑥

) = 𝑙𝑜𝑔𝑒 (

1 𝐶2 −𝑡

Compte tenu de l’éq. (1), on a : 𝐶2 − 𝑡 = 𝐴

Soit par conséquent : 𝑦 = 2𝐿√𝐿−𝑥 =

) →

𝐴 𝐿−𝑥

𝑥

1

=(

2𝐿 2 −𝑡

2𝐿 (𝐿−𝑥)

Considérons maintenant la première équation : 𝑑𝑡 = 𝑦 (1 − 𝐿 ) = 𝐶 2

𝑡

= 2𝐿 → ∫ 𝑦 2 + 𝐶1 = 2𝐿 → 𝑦 = 𝐶

𝐶2 −𝑡

2

2 −𝑡

𝐿

=

(1)

2(𝐿−𝑥) 𝐶2 −𝑡

)

2𝐿 𝑦

𝐶 √𝐿−𝑥

On remarque que l’équation de la trajectoire est identique à celle de la ligne de courant car le régime d’écoulement est permanent. Vérification de l’équation de continuité : ⃗ ) = ⃗∇. 𝑉 ⃗ = 𝜕𝑢 + 𝜕𝑣 = 0 Pour un écoulement (2-D) en coordonnées cartésiennes, elle s’écrit : 𝑑𝑖𝑣(𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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𝜕𝑢

𝜕

𝑥

Soit : 𝜕𝑥 =𝜕𝑥 (𝑦 (1 − 𝐿 )) = −𝑦⁄𝐿 et

𝜕

𝑦2

( ) = 𝑦⁄𝐿 𝜕𝑦 2𝐿

Cet écoulement satisfait donc l’équation de continuité. Exemple 2 : Calculer les lignes de courant et les trajectoires de l’écoulement décrit par les composantes du champ 𝐴 de vitesse suivantes : 𝑢 = 1+𝑡 , 𝑣 = 𝐵𝑡 2 où A et B sont des constantes. D’après les expressions de u et v, il s’agit d’un écoulement (2-D) transitoire ou instationnaire. Lignes de courant de l’écoulement : 𝑑𝑦 𝑣 𝐵𝑡 2 𝐵 = = = 𝑡 2 (1 + 𝑡) 𝑑𝑥 𝑢 𝐴⁄(1 + 𝑡) 𝐴 𝐵

𝐵

Soit après intégration par rapport à la variable x : ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝐴 𝑡 2 (1 + 𝑡)𝑑𝑥 + 𝐶 → 𝑦 = 𝐴 𝑡 2 (1 + 𝑡)𝑥 + 𝐶 𝐵

Qui est l’équation d’une droite de pente = 𝐴 𝑡 2 (1 + 𝑡). Trajectoires de la particule de fluide : 𝑑𝑥 𝑑𝑡 {𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝐴

= 𝑢 = 1+𝑡 = 𝑣 = 𝐵𝑡 2 𝐴

L’intégration de la première équation par rapport à t donne : 𝑥(𝑡) = ∫ 1+𝑡 𝑑𝑡 + 𝐷 = 𝐴𝑙𝑜𝑔𝑒 (1 + 𝑡) + 𝐷 L’intégration de la deuxième équation par rapport à t donne : 𝑦(𝑡) = ∫ 𝐵𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝐸 =

𝐵𝑡 3 3

+𝐸

Exemple 3 : Dans un écoulement bidimensionnel (2-D), les composantes du vecteur vitesse suivant x et y sont : 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 − 𝑥 2 et 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦. Calculer au point (x,y)=(2,2) : ⃗‖ 1. la valeur de 𝑉 = ‖𝑉 ⃗ avec l’axe des x 2. l’angle  que fait 𝑉 3. l’accélération de la particule 𝑎 quand elle passe par ce point. Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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Solution : ⃗ ‖ = √𝑢2 + 𝑣 2 = √(𝑦 2 − 𝑥 2 )2 + (2𝑥𝑦)2 = √0 + 82 = 8 𝑚/𝑠 1. 𝑉 = ‖𝑉 𝑣 𝑣 8 2. 𝑡𝑎𝑛𝜃 = → 𝜃 = atan ( ) = atan ( ) = +∞ → 𝜃 = + 𝜋⁄2 𝑢 𝑢 0 𝜕𝑢

3. 𝑎 =

⃗ 𝐷𝑉 𝐷𝑡

𝜕𝑢

𝑢 𝜕𝑥 ̿̿̿̿̿̿̿ ⃗ ⃗ = 𝜕𝑡 ⏟ + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 . 𝑉 =[𝐿] {𝑣 } = [𝜕𝑣 ⃗ 𝜕𝑉

𝜕𝑥

=0 𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑦 𝑢 ]{ } 𝜕𝑣 𝑣

=

𝜕𝑦

𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 (𝑦 2 − 𝑥 2 )(−2𝑥) + 2𝑥𝑦(2𝑦) 32 { 𝜕𝑣 }={ 2 }={ } 2 𝜕𝑣 32 (𝑦 − 𝑥 )(2𝑦) + 2𝑥𝑦(2𝑥) 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 Soit : 𝑎 = ‖𝑎‖ = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 = 32√2 𝑚/𝑠 2 Exemple 4 : ⃗ défini par ses composantes cartésiennes : 𝑢 = 2 𝑦 2 𝑒𝑡 𝑣 = 2−𝑥 2 . Considérons le champ de vitesse 𝑉 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦 Déterminer l’équation de la ligne de courant passant par le point (x, y)=(0., 5.).

Solution : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Ecrivons l’équation différentielle de la ligne de courant : 𝑢 = 𝑣 ou encore 𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥 𝑦2

𝑥2

En intégrant les deux membres de l’équation, on trouve : + = 𝐶 ou encore 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶′ 2 2 Pour (x, y)=(0., 5.), on trouve : C’=52 Soit par conséquent : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 52 qui est l’équation d’un cercle centré à l’origine de rayon r=5. Exemple 5 : Loi de Hagen-Poiseuille (1844) Un fluide s’écoule en régime laminaire dans une conduite cylindrique à section circulaire avec une (𝑝 −𝑝 ) 𝐶 ∆𝑝 distribution des vitesses axiales de la forme : 𝑢(𝑟) = 4𝜇 (𝑟 2 − 𝑅 2 ) où 𝐶 = − 𝐿 =− 1 𝐿 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝1 >

𝑝2 tels que p1=p(x=0) et p2=p(x=L), μ la viscosité dynamique du fluide, et R et L sont respectivement le rayon et la longueur de la conduite. Calculer le débit volumique Qv . En déduire les vitesses moyennes et maximale du fluide.

Jean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869) Cours MdF-L2 ST-Univ. de Guelma, Pr M. Lahmar

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Solution : Par définition, le débit volumique se calcule par : 𝑅 𝑅 2𝜋 𝑅 𝐶 2 𝜋𝐶 𝑟 4 𝑟2 𝜋𝑅 4 ∆𝑝 2 2 (𝑟 − 𝑅 )𝑟𝑑𝑟 = 𝑄𝑣𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑆 = ∫ ∫ 𝑢(𝑟) 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 ⏟ = 2𝜋 ∫ [ −𝑅 ] = 2𝜇 4 2 0 8𝜇 𝐿 𝑆𝑥 0 0 0 4𝜇 𝑑𝑆 𝜋𝐷 4

𝑝1 −𝑝2

ou encore : 𝑄𝑣𝑥 = 128𝜇 (

𝐿

) avec D=2R qui est la loi de Hagen-Poiseuille.

La vitesse moyenne se calcule par : 𝑉𝑚𝑜𝑦 =

∫𝑆 𝑢𝑑𝑆 𝑆

=

𝑄𝑣𝑥 𝑆

𝑅 2 𝑝1 −𝑝2

La vitesse maximale est : 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑢(𝑟 = 0) = 4𝜇 (

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𝐿

=

𝜋𝐷4 𝑝1 −𝑝2 ( ) 128𝜇 𝐿 2 𝜋𝐷 4

𝐷2

= 32𝜇 (

𝑝1 −𝑝2 𝐿

𝑅 2 𝑝1 −𝑝2

) = 8𝜇 (

𝐿

)

) = 2𝑉𝑚𝑜𝑦

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