Ligne D'influence Poutre Sur Base Elastique [PDF]

Zitiervorschau

Institut Supérieur de Technologie d’Antananarivo Mention : Génie Civil Parcours: Génie Civil

2

CDS POUTRE SUR BASE ELASTIQUE

Etabli par : RANDRIAMIRAHO Mamilalaina Tanjona Avosoa N° 19 ROBSON ANDRIANTSARAFARA Mamy Nirina N° 29

Formation de type Initiale Niveau V 6 ème promotion

I-

Recherche des équations de la déformée, du moment fléchissant et de l’effort tranchant :

1.1. Les données géométriques :

2

Béton dosé à 400kg/m3 Sol sableux sec moyen Classe de ciment 325 P= 10 10 000 q= 1 10 B= 60 b= 30 d= 20 e= 15 a= 180 h= 35

1

Tf Kgf Tf / ml Kgf / cml cm cm cm cm cm cm

1.2. Position du centre de gravité :

On le calcul en appliquant la formule suivante : 𝑦𝐺 =

Section S1 S2 S3 S4

Nature Rectangle Rectangle Triangle Triangle TOTAL

∑ 𝑆𝑖 ∗ 𝑦𝑖 ∑ 𝑆𝑖

yi (cm)

Si (cm²) 900 600 150 150 1800

7,5 25 21,67 21,67

yG=

15,69

Si * yi 6750 15000 3250 3250 28250

cm

1.3. Calcul du moment d’inertie Ig :

𝐼𝐺 = 𝐼𝑦𝑖 + 𝑆𝑖. 𝑑𝑖 2 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒: 𝐼𝐺 =

Section S1 S2 S3 S4

Iyi (cm4) 16 875 20 000 3 333,3333 3 333,3333

𝑏ℎ3 12

𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒: 𝐼𝐺 =

Si (cm²) 900 600 150 150 TOTAL

di (cm) 8,19 9,31 5,97 5,97

2

𝑏ℎ3 36

IG (cm4) 77 309,03 71 956,02 8 683,45 8 683,45 166 631,94

IG=

166 631,94

cm4

1.4. Calcul de la longueur élastique le : a- Détermination du coefficient de ballast K du sol ou module de réaction du sol : Semelle de largeur B sur sol cohésion ou très cohérent 𝐵+30

k= 𝑘30 + (

2𝐵

)²

avec: kgf/cm2

k30= 4 E= B=

Sol sableux sec moyen Ciment de classe 325 400kg/m3

133 000 60

dosé

à

cm k=

2,25

kgf/cm3

a- Détermination de la longueur élastique le proprement dite : Elle est donnée par la formule : le  4

4 EI G kB

le=

160,08

cm

a- Vérification si la poutre peut être calculée comme si elle était infiniment raide : 𝜋 Lorsque la longueur de la poutre est telle que < 2 𝑙𝑒 , il n’y a pas lieu de tenir compte de la déformation du sol, donc la poutre peut être calculée comme une poutre sur base élastique. l=

251,45

cm

La condition est vérifiée, la poutre peut être calculée comme si elle était infiniment raide donc on peut le calculé comme sur une base élastique.

3

1.5. Détermination de yo et αo à partir des conditions aux limites : à x=9a (18 ;00m), on a :  

Mo=0 Ro=0

D’où les équations suivantes : 1 1 𝑃𝑘1 (𝛽𝑥 + 𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝛽(𝑥 − 8𝑎)) − 2 𝑞𝑘2 (𝛽𝑥) = 0 𝛽 𝛽 1 −4𝐸𝐼𝑦0 𝛽3 𝑘1 (𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼0 4𝛽2 𝑘2 (𝛽𝑥) − 𝑃𝑘0 (𝛽𝑥 + 𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝛽(𝑥 − 8𝑎)) − 𝑞𝑘1 (𝛽𝑥) = 0 𝛽

−4𝑦0 𝐸𝐼𝛽2 𝑘2 (𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼0 4𝛽𝑘3 (𝛽𝑥) −

Avec :

𝛽=



1 𝑙𝑒



Pour βx > 4,5 :

1 𝑘0 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) cos(𝛽𝑥) 2 1 𝑘1 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) (sin(𝛽𝑥) +cos(𝛽𝑥)) 4 1 𝑘2 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) 4 1 𝑘3 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) (sin(𝛽𝑥) −cos(𝛽𝑥)) 8

Pour βx < 4,5 :

𝑘0 (𝛽𝑥) = cosh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥) 1 𝑘1 (𝛽𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) +sinh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥)) 2

1 𝑘2 (𝛽𝑥) = sinh(𝛽𝑥)sin(𝛽𝑥) 2 1 𝑘3 (𝛽𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) −sinh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥)) 4

a- Calcul de K1, K2, K3, K4 : K0(βx)

K1 (βx)

K2 (βx)

K3 (βx) -

βx

11,24445663

9 416,22

-13 816,69

18 524,81 -

β(x-a)

9,9951

9 224,73

-1 616,46 -

-7570,67

2 958,30

827,03 22,96

β(x-5a)

4,9975

20,82

25,11

35,52

β(x-8a)

1,2494

0,60

1,15

0,76

0 0,32

a- Calcul de yo et de αo: On a le système de deux équations à deux inconnues : -4.y0.β².EI.K2 (βx) - EI.α0.4.β.K3 (βx)

= (1/β).P.[K1β(x-a) +2 K1β(x-5a) +K1[β(x-9a)] + (1/β²).q.K2(βx)

-4.y0.β3.EI.K1(βx) - EI.α0.4.β².K2(βx)

= P.[K0[β(x-a)] + 2 K0[β(x-5a)] + K0[β(x-9a)]] + (1/β).q.K1(βx)

4

-

64084866159 298587716,3

y0 + y0 +

6432941452677 64084866159

α 0= α 0=

-16944605778 -113942526,8

det = 2 186 072 773 142 790 000 000 det y0 = - 07 189 848 821 000 000 det α0== -2 242 540 433 667 310 000

𝑦𝑜 =

det 𝑦𝑜

𝛼𝑜 =

𝑑𝑒𝑡

y0= a0=

det 𝛼𝑜 𝑑𝑒𝑡

-0,161 -0,0010258

cm rd

1.6. Etablissement des équations proprement dite : Nous allons diviser notre poutre sur base élastique en quatre zones différentes :

2

Zone 1 : 0 ≤ x ≤ a Zone 2 : a ≤ x ≤ 5a Zone 3 : 5a ≤ x ≤ 8a Zone 4 : 8a ≤ x ≤ 9a

a- Equation des moments fléchissants : 𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 9𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2



Pour la zone 1 :

0≤𝑥≤𝑎

𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2



Pour la zone 2 :

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2



Pour la zone 3 :

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2



Pour la zone 4 :

9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎

𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2

5

b- Equation des efforts tranchants : 𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾0𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽



Pour la zone 1 :

0≤𝑥≤𝑎

𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽



Pour la zone 2 :

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽



Pour la zone 3 :

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽



Pour la zone 4 :

9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎

𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾0𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽

c- Equation de la déformée : 𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.



Pour la zone 1 :

0≤𝑥≤𝑎

𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.



Pour la zone 2 :

Pour la zone 3 :

𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.



𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾3(𝑥 − 8𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4

𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.



Pour la zone 4 :

𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4

9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎

𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.

𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾3(𝑥 − 8𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4

6

Tableau de calcul des Moments fléchissant, des efforts tranchants et de la déformée

1.1.

Nous allons dresser sur un grand tableau les calculs des moments fléchissant, des efforts tranchants ainsi que de la déformée. Nous allons considérer un pas de 25cm en partant de 0 à 10a. Le calcul s’effectuera par zone de 1 à 4. Le tableau suivant servira d’hypothèse de données au calcul dans le grand tableau de calcul des moments fléchissant, des efforts tranchants et de l’allure de la déformée : E=

133000

bars

I= 166631,944 cm4 x= 1800 cm a= 200 cm q= 10 kg/cml P= 10000 kgf β= 0,00624692 cm-1 1/β= 160,078878 cm y0= -0,161 cm a0= -0,001 rd

7

Moment fléchissant : Mf (x) Zone 0 Zone 1 0≤𝑥≤𝑎

Zone 2

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

50 100 150 200 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1000 1050

K2(βx)

K3(βx)

0,000 0,049 0,195 0,435 0,759 0,759 1,139 1,518 1,794 1,811 1,344 0,103 -2,249 -6,045 -11,524 -18,683 -27,073 -35,517 -41,818 -42,435 -32,270 -4,681 -4,681 48,095

0,000 0,005 0,041 0,137 0,321 0,321 0,617 1,033 1,555 2,127 2,636 2,886 2,584 1,331 -1,368 -6,045 -13,168 -22,964 -35,137 -48,502 -60,529 -66,851 -66,851 -60,831

-8-

K1[β(x-a)]

0,000 0,312 0,622 0,913 1,148 1,254 1,116 0,571 -0,582 -2,564 -5,566 -9,677 -14,765 -20,326 -25,288 -27,809 -25,106 -25,106 -13,362

K1[β(x-5a)]

0,000 0,312

K1[β(x-8a)]

Mf(x) [daNm] 0 17626 81933 209156 412009 412009 194923 50574 -36083 -82389 -104563 -115844 -125556 -138624 -155171 -170020 -172120 -144097 -61919 103344 378862 798159 798159 368747

Zone 3

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎

Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800

133,838 258,287 421,842 614,819 811,287 961,883 986,649 769,799 159,518 -1022,824 -2958,300 -2958,300 -5784,260 -9519,771 -13957,902 -18524,805

-33,367 26,824 132,089 293,465 516,606 795,600 1104,512 1386,925 1544,536 1427,031 827,034 827,034 -514,104 -2881,816 -6535,446 -11616,458

-9-

12,134 56,517 124,339 217,852 334,409 462,926 579,507 642,709 589,362 332,566 -235,727 -235,727 -1234,252 -2770,038 -4899,711 -7570,666

0,622 0,913 1,148 1,254 1,116 0,571 -0,582 -2,564 -5,566 -9,677 -14,765 -14,765 -20,326 -25,288 -27,809 -25,106

0,000 0,312 0,622 0,913 1,148

78746 -98326 -192670 -231265 -234109 -212622 -169466 -99342 9325 171653 402062 402062 208163 86221 17092 0

Effort tranchant :T (x) Zone

Zone 1 0≤𝑥≤𝑎

0 50 100 150 200 200

Zone 2

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

K1(βx) 0,00 0,31 0,62 0,91 1,15 1,15 1,25 1,12 0,57 -0,58 -2,56 -5,57 -9,68 -14,76 -20,33 -25,29 -27,81 -25,11 -13,36 12,13 56,52 124,34

K2(βx) 0,00 0,05 0,19 0,44 0,76 0,76 1,14 1,52 1,79 1,81 1,34 0,10 -2,25 -6,05 -11,52 -18,68 -27,07 -35,52 -41,82 -42,43 -32,27 -4,68

- 10 -

K0[β(x-a)]

1,00 1,00 0,97 0,87 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82

K0[β(x-5a)]

K0[β(x-8a)]

T(x) [daN] 0 763 1865 3268 4863 -5137 -3573 -2253 -1272 -635 -297 -186 -219 -304 -341 -217 188 1013 2372 4343 6910 9901

Zone 3

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎

Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800

124,34 217,85 334,41 462,93 579,51 642,71 589,36 332,57 -235,73 -1234,25 -2770,04 -4899,71 -7570,67 -7570,67 -10540,31 -13275,91 -14844,91 -13816,69

-4,68 48,09 133,84 258,29 421,84 614,82 811,29 961,88 986,65 769,80 159,52 -1022,82 -2958,30 -2958,30 -5784,26 -9519,77 -13957,90 -18524,81

- 11 -

20,82 56,91 109,14 177,57 258,04 339,51 401,14 409,28 315,33 55,78 -443,85 -1258,63 -2444,75 -2444,75 -4008,10 -5859,11 -7753,77 -9224,73

1,00 1,00 0,97 0,87 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82

1,00 1,00 0,97 0,87 0,60

-10099 -7122 -4570 -2615 -1249 -362 210 641 1103 1741 2657 3886 5358 -4642 -3129 -1791 -743 0

Allure de la déformée : y(x) Zone 0 50 Zone 1 0≤𝑥≤𝑎

Zone 2

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎

100 150 200 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1000 1050

K0(βx) 1,00 1,00

K1(βx) 0,00 0,31

K3[β(x-a)] 0,00 0,00

0,97 0,87 0,60 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82 56,91 109,14 177,57 258,04 258,04 339,51

0,62 0,91 1,15 1,15 1,25 1,12 0,57 -0,58 -2,56 -5,57 -9,68 -14,76 -20,33 -25,29 -27,81 -25,11 -13,36 12,13 56,52 124,34 124,34 217,85

0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,04 0,14 0,32 0,62 1,03 1,55 2,13 2,64 2,89 2,58 1,33 -1,37 -6,04 -13,17 -22,96 -22,96 -35,14

- 12 -

K3[β(x-5a)]

0,00 0,01

K3[β(x-8a)]

y(x) [m] -0,161 -0,213 -0,261 -0,300 -0,315 -0,315 -0,291 -0,246 -0,193 -0,145 -0,105 -0,078 -0,063 -0,062 -0,078 -0,110 -0,162 -0,233 -0,320 -0,412 -0,495 -0,529 -0,529 -0,491

Zone 3

5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎

Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎

1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800

401,14 409,28 315,33 55,78 -443,85 -1258,63 -2444,75 -4008,10 -5859,11 -7753,77 -9224,73 -9224,73 -9512,10 -7512,28 -1774,02 9416,22

334,41 462,93 579,51 642,71 589,36 332,57 -235,73 -1234,25 -2770,04 -4899,71 -7570,67 -7570,67 -10540,31 -13275,91 -14844,91 -13816,69

- 13 -

-48,50 -60,53 -66,85 -60,83 -33,37 26,82 132,09 293,46 516,61 795,60 1104,51 1104,51 1386,92 1544,54 1427,03 827,03

0,04 0,14 0,32 0,62 1,03 1,55 2,13 2,64 2,89 2,58 1,33 1,33 -1,37 -6,04 -13,17 -22,96

0,00 0,01 0,04 0,14 0,32

-0,409 -0,318 -0,237 -0,178 -0,144 -0,136 -0,152 -0,187 -0,233 -0,277 -0,302 -0,302 -0,289 -0,253 -0,210 -0,158

II-

Construction des diagrammes :

2.1. Diagramme des moments fléchissant :

Mf (x) -400000

-200000

0

200

400

600

800

1000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

- 14 -

1200

1400

1600

1800

2000

2.2.

Diagramme des efforts tranchants :

T (x) 15000

10000

5000

0 0

200

400

600

800

1000

-5000

-10000

-15000

- 15 -

1200

1400

1600

1800

2000

2.3. Allure de la déformée :

y (x) 0,000 0

200

400

600

800

1000

-0,100

-0,200

-0,300

-0,400

-0,500

-0,600

- 16 -

1200

1400

1600

1800

2000

2.4. Schéma de mise en place des armatures :

Mise en place des armatures -400000

-200000

0

200

400

600

800

1000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

- 17 -

1200

1400

1600

1800

2000

TABLE DES MATIERSES I-

II-

Recherche des équations de la déformée, du moment fléchissant et de l’effort tranchant : 1 1.1.

Les données géométriques : ..................................................................................... 1

1.2.

Position du centre de gravité : .................................................................................. 2

1.3.

Calcul du moment d’inertie Ig : ............................................................................... 2

1.4.

Calcul de la longueur élastique le : .......................................................................... 3

1.5.

Détermination de yo et αo à partir des conditions aux limites : ................................ 4

1.6.

Etablissement des équations proprement dite : ........................................................ 5

1.1.

Tableau de calcul des Moments fléchissant, des efforts tranchants et de la déformée 7

Construction des diagrammes : ................................................................................... - 14 2.1.

Diagramme des moments fléchissant :.............................................................. - 14 -

2.2.

Diagramme des efforts tranchants : .................................................................. - 15 -

2.3.

Allure de la déformée :...................................................................................... - 16 -

2.4.

Schéma de mise en place des armatures : ......................................................... - 17 -

TABLE DES MATIERSES ............................................................................................ - 18 -

- 18 -