Poutre Vibrations [PDF]

Zitiervorschau

Vibrations des poutres

Vibrations des poutres Cette présentation aborde : Régime libre (base modale) Réponse forcée harmonique Réponse dynamique (analyse modale) Point de départ : Système EDP du problème Equation locale

∀x ∈ ]0, ℓ[

ρ Svɺɺ + EIv, x4 = f

Les conditions aux limites Les conditions initiales On cherche une solution analytique des ces équations 1

Vibrations des poutres

Régime libre Solution du problème homogène

∀x ∈ ]0, ℓ[

ρ Svɺɺ + EIv, x4 = 0

CL homogènes On cherche une solution harmonique

On pose

λ4 = ω2

vɺɺ = −ω 2 V ( x ) f (t ) ⇒ V, x 4 −

ρS

ω≠0 ω =0

EI

ρ Sω 2 EI

V =0

V ( x ) = A cos λ x + B sin λ x + C cosh λ x + D sinh λ x 3

V ( x ) = ∑ Ai x i i =0

CL homogènes

⇒ [ S ]{Cte} = {0}

solution non banale si le déterminant de ce système est nul 2

1

Vibrations des poutres

Base modale

det [ S ] = 0

Equation caractéristique

⇒ ∞ Pulsations propres ωi

Modes propres sont solutions de

Z o = Ax + B

ω =0

Mode rigide

[ S (ωi )]{Ctei } = {0}

Translation, rotation

Mode de vibration

ωi ≠ 0

Z i = Ai cos λi x + Bi sin λi x + Ci cosh λi x + Di sinh λi x

base modale est L et M orthogonale

ωi ≠ ω j

ℓ

ωi2 =

∫

Zi

L ( Z i ) dx =

0 ℓ

∫

Zi

M ( Z i ) dx

kii mii

ℓ  ∫ Z j L( Z i ) dx = 0 0 ℓ  Z M ( Z ) dx = 0 i ∫ j 0 ℓ

M norme :

∫ ρS Z

2 i

dx = m = ρ S ℓ

o

0

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Vibrations des poutres

Régime libre : théorème d’expansion ∞

Projection sur la base modale

v( x, t ) = ∑ Z i ( x) qi (t ) i =1

Equation locale Orthogonalité des modes

∀x ∈ ]0, ℓ[ ∀i ∈ [1, ∞[

∞

∞

i =1

i =1

ρ S ∑ Zi qɺɺi (t ) + EI ∑ Zi, x4 qi (t ) = 0

qɺɺi + ωi2 qi = 0 ⇒ qi (t ) = qi 0 cos ωi t +

Les conditions initiales ∞  v0 ( x) = ∑ Z i ( x) qi 0  i =1  ∞ vɺ ( x) = Z ( x) qɺ ∑ 0 i i0  i =1

qɺi 0

ωi

sin ωi t

ℓ  1 v0 ( x ) Z i dx qi 0 = ℓ ∫ 2 0  Z dx i ∫0  Orthogonalité des modes  ℓ qɺ = 1 ∫0 vɺ0 ( x ) Zi dx  i0 ℓ 2  Z dx ∫0 i 

4

2

Vibrations des poutres

Régime forcé vɺɺ( x, t ) = V ( x ) eiωt

Solution particulière à une excitation harmonique Système sans amortissement

v ( x, t ) = ( A cos λ x + B sin λ x + C cosh λ x + D sinh λ x ) cos ω t ρS avec λ4 = ω2 EI Conditions aux Limites

[ S ]{Cte} = {F }

⇒

{Cte} = ...

Par l’analyse Modale Il faut écrire le système EDP avec des CL homogènes ∞

Et utiliser la projection sur la base modale v( x, t ) = ∑ Z i ( x) cos ωt i =1

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Vibrations des poutres

Réponse dynamique ∞

v( x, t ) = ∑ Z i ( x) qi (t )

Projection sur la base modale

i =1

∀i ∈ [1, ∞[

Equation locale

qɺɺi + ωi2 qi =

∀i qi = qio cos ωi t +

1 mii

qɺio

ωi

ℓ

∫ f ( x, t ) Z

i

dx = ϕi (t )

o

ϕi (τ ) sin ωi (t − τ ) dτ ωi 0 t

sin ωi t + ∫

En pratique on tronque la base modale

Exemple : réponse dynamique du système ci-dessous yo

Ft (ρ , E, I, S)

xo 6

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