Vibrations de Torsion [PDF]

Zitiervorschau

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

CHAPITRE 3 3.Vibrations de torsion des arbres et des barres Des vibrations de torsion peuvent apparaitre dans les arbres de turbine et rotors, dans les arbres d’autres machines tournantes et dans les différents composants d’une structure. 3.1 Equation de mouvement

kb

ra

hi

m

i@ us

th

b.

dz

Considérons un élément d’arbre ou de barre de section variable, de longueur dx (Fig 3.1 ) soumis à l’action d’un moment extérieur de densité m(x,t))

Figure 3.1 Efforts sur un élément dx de l’arbre

Moment de torsion : M t ( x, t )  GJ p ( x)

40

 ( x, t ) x

(3.1)

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

G-module d’élasticité Jp(x)-moment quadratique polaire de la section droite  ( x, t ) -rotation des sections transversales Si on désigne par I 0 le moment d’inertie linéique par rapport à l’axe de rotation, le moment des forces d’inertie sur l’élément dx est :

I 0 dx

 2  2   J ( x ) dx p t 2 t 2

b.

dz

Le couple extérieur par unité de longueur agissant sur l’élément dx étant m(x,t) ,le PFD permet d’écrire :  2 (3.2) M  dM  m dx  M  I dx  t t t 0 t 2 M t avec dM t  dx , x

i@ us

th

En introduisant l’expression (3.1) dans (3.2) on obtient l’équation des vibrations de torsion d’une barre de section variable :

    2  GJ p ( x) ( x, t )   m ( x, t )  I 0 2 ( x, t ) x  x t 

(3.3)

Pour une barre uniforme elle devient

m

 2  2 GJ p 2 ( x, t )  m ( x, t )  I 0 2 ( x, t ) x t

(3.4)

ra

hi

En mouvement libre, elle prend la forme simplifiée de l’équation d’onde (2.5)

c

kb où

comme I 0   J p , alors

c2

 2  2 ( x , t )  ( x, t ) x 2 t 2

GJ p

(3.5) (3.6)

I0 c

G



-célérité des ondes de cisaillement

(3.7)

La solution globale de l’équation d’onde (3.5) par analogie avec celle des vibrations de la barre en traction-compression s’exprime sous la forme

 ( x, t )  (C1 cos x  C2 sin  x)( A cos t  B sin t ) 41

(3.8)

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

3.2 Conditions aux limites

Liaisons aux extrémités

C.A.L

 x 0  0; GJ p

2.Libre-Libre

 x

GJ p

0 x l

 GJ p x 0

 x

0

x l

b.

3.Encastrée-Encastrée

 x

dz

1.Encastrée-Libre

 x 0  0;

th

 x l  0

GJ p

k

GJ p

  k   0 x x l

m

k

  k  0 x x 0

i@ us

4.Liaison élastique (ressort de torsion)

GJ p

J1

 x

GJ p

kb

ra

J1

hi

5.Charge de moment d’inertie J1

6.Couple extérieur Mt

x 0

 x

GJ p

42

 J1

 2 t 2

  J1 x l

  Mt x

 2 t 2

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

3.3 Conditions initiales Si à t=0 ,l’arbre a une rotation initiale 0 ( x) et une vitesse initiale 0 ( x) ,les conditions initiales s’écrivent   ( x, t  0)  0 ( x)    ( x, t  0)  0 ( x)   t

(3.9)

Exemple 1

Solution

C.A.L

  (0, t )  0    (l , t )  x  0

i@ us

th

b.

dz

Un moment statique Mt est appliqué sur un arbre encastré-libre, de longueur l=1 et avec les paramètres ρ,G,Jp.On supprime brusquement l’action du moment. 1. Déterminer les pulsations et les modes propres de l’arbre 2. Vérifier l’orthogonalité des modes propres

Mt x x ; J pG

hi

 ( x, t  0) 

m

De l’expression du moment statique Mt on va déterminer les conditions initiales

ra

 ( x, 0) 0 t

kb

La solution de l’équation (3.5) par la méthode de Fourier va donner deux équations différentielles ordinaires  d 2q 2  dt 2   q  0;  2  d    2  0  dx 2

2 , avec  

2 c2

Solution de l’équation temporelle : q(t )  A cos t  B sin t  ( x)  C1 cos  x  C2 sin  x Solution de l’équation spatiale :

43

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

En reportant les conditions aux limites dans la solution spatiale, on trouve l’équation aux fréquences :

cos   0 2k 1 ) 2

k 1,2,3,

permettent de trouver les pulsations propres

 2k 1   c   2  l

 k   Les modes propres sont donnés par :

k 1,2

l

 i j dx   C2iC2 j sin( 0

(E3.3)

th

k 1,2

i@ us

Vérification du principe d’orthogonalité

l

b.

 2k 1   x  2l 

k  C2k sin 

(E3.2)

dz

k  (

dont les racines

(E3.1)

0

2i  1 2 j 1 ) x  sin( ) xdx 2l 2l

 l  l sin(i  j )  sin(i  j  1)   0  C2i C2 j  i  j 1 i  j  Pour i  j 1  sin(   ) x sin(   ) x        

m

 sin  x  sin  x  2 

hi

car

kb

ra

3.4 Normalisation des modes Les formes propres sont définies à une constante près, on peut les normaliser par rapport à la masse modale tel que

d’où

l

l

0

0

2 2  kk dx  1   C2k sin (

k ( x)  2 sin(

44

C2 2k  1 ) xdx  2 k 2l 2

2k  1 ) x , 2l

k 1,2..

(3.10)

(3.11)

b.

dz

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

Figure 3.2 .Modes 1,2 et 3

 ( x, t )   2 sin( k 1

Exemple 2

  2k 1 2k 1 2k 1 ) x  Ak cos( ) ct  Bk sin( ) ct  2 2l 2l  

i@ us



th

La solution générale s’écrit donc:

hi

m

Déterminer les fréquences propres des vibrations de torsion d’un arbre ,de longueur l et de rigidité en torsion JpG L’arbre est encastré à l’origine (x=0) et supporte sur l’autre extrémité une roue de moment d’inertie J1 C1=0 et GJ p

kb

ra

Les C.A.L donnent

avec

  l 

l

 x

  J1

x l

 tan  

 2 t 2

 GJ pC2 cos   C2 J1 2 sin  x l

J p l

(E3.4)

J1

, c le moment d’inertie de l’arbre étant J ar  J p l ,l’équation aux fréquences peut s’écrire comme dans

le cas des vibrations axiales

 tan    où  

( E3.5)

J ar -rapport des moments d’inertie de l’arbre et de la roue J1 45

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

Si le rapport des moments d’inertie   1 ,la relation (E3.5) appliquée à chaque mode devient tan k 

1

k

,

Et, G



 k

GJ p GJ p G  k k 2 2 l  J pl J ar  l

(E3.6)

i@ us

th

b.

dz

k   k

1  0.86, 2  3.43, 3  6.43

hi

Les racines sont

m

Figure.3.3 Résolution de l’équation aux fréquences

Comme lim tan k  lim

k 

1

k

 0 .on admet que pour k  5 on aura k  k

ra

k 

kb

En introduisant la grandeur adimensionnelle  

x ,les formes propres sont données par l

l’expression

k ( )  C2k sin k

46

(E3.7)

kb

ra

hi

m

3.5.1 Arbres hétérogènes

i@ us

3.5 Cas particuliers de vibrations de torsion d’arbres

th

Figure 3.4 Trois premiers modes pour   1

b.

dz

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

DYNAMIQUE DES STRUCTURES Algorithme de résolution de l’équation d’onde

 2u 1  2u ( x , t )   ( x, t )  0 x 2 c 2 t 2

 x 0

u( x, t )   ( x)q(t )

  x 0 ou

th

b.

dz

 ( x) 1 q(t )  2   2  ( x) c q(t )

d 2  2 ( )  0 dx 2 c

i@ us

d 2q   2q  0 2 dt

Fonction de forme

 ( x)  C cos  x  C sin  x 1

2

hi

m

  c

ra

 k (k )

k  Ckk ( x)

kb

qk (t )  Ak sin k t  Bk cos k t u ( x, t )   k (t )qk (t ) k

   Ak sin k t  Bk cos k t k ( x) k

l

  ( x) ( x)dx  0 i

j

0

u ( x, 0)  u0

Ak , Bk

u ( x, 0)  u0 ( x) 54