Moment de Torsion Rectangle Plein [PDF]

Zitiervorschau

MOMENT DE TORSION D’UNE SECTION RECTANGULAIRE PLEINE Soit une section rectangulaire pleine. Normalement, on note la base, b et la hauteur h.

.

Rappel : Moments quadratiques

= × = ×

×ℎ( ×ℎ (

La constante de torsion de Saint Venant ou moment d’inertie de torsion IT ainsi que le moment de résistance de torsion WT h peuvent être calculés à l’aide des formules suivantes à partir des coefficients de torsion α et β donnés ci-dessous dans le tableau.

é: é:

) ⟹ )

.

b

éà

= .

=

ν = coefficient de poisson ; G : module de rigidité ou de cisaillement ou de coulomb ATTENTION : La valeur b représente toujours la plus petite dimension du rectangle.

Rapport h/b 1,00 1,10 1,20 1,25 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,75 1,80 1,90 2,00 2,20 2,40 2,50 2,60 2,80 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 20,00 Ꝏ

α 0,1406 0,154 0,1651 0,171 0,1771 0,1869 0,1958 0,2037 0,2109 0,214 0,2174 2,2233 0,2287 0,238 0,2459 0,249 0,2526 0,2583 0,2633 0,2733 0,2808 0,2866 0,2913 0,2983 0,3033 0,3071 0,310 0,3123 0,3228 1/3

Β 0,2082 0,2139 0,2189 0,221 0,2234 0,2273 0,231 0,2343 0,2375 0,239 02404 0,2432 0,2459 0,2509 0,2554 0,258 0,2597 0,2636 0,2672 0,2751 0,2817 0,2870 0,2915 0,2983 0,3033 0,3071 0,310 0,3123 0,3228 1/3

2(1 + )

(valeurs issues du formulaire RDM de courbon) La formule de Sâada donne une précision excellente tout comme celle du code Aster =

−

×

×

Il existe une formule empirique à peu près correcte 1 0.168 . = − 0.051 + . = 3

Au-delà du rapport h/b=6, les valeurs α et β deviennent équivalentes et peuvent être également calculées approximativement par la formule approchée suivante :

=

=

0.6 ℎ =1− 3 3 ℎ =

1 − 0.6

Dans la pratique, on considère l’approximation suivante pour les sections rectangulaires élancées dont la hauteur est largement supérieure à 10 fois sa base (>> 10.base) ~

.

Ceci est le cas pour les profilés métalliques. Cf. pages suivantes, courbes de précision des formules

L’inertie de torsion IT peut aussi être très bien approchée selon la formule simplifiée suivante

=

×

3

×ℎ≈

ℎ. 16 1 [ − 3.36 1 − 16 3 ℎ 12 ℎ

]

Références : formule 13 Code ASTER fascicule r3.08 page 19 ou formule 4 Roark’s formulas page 401 7e édition

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE ACIER EN T

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE ACIER EN T AVEC TALON

MOMENT DE TORSION D’UNE SECTION TRAPEZOIDALE =

(

+ )(

+

)−

= 0.10504 − 0.10 + 0.0848 − 0.06746 = 0.10504 + 0.10 + 0.0848 + 0.06746 − =

− + 0.0515 + 0.0515

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE BETON MASSIVE Une approximation consiste à décomposer la structure en sections rectangulaires et à faire la somme des inerties de torsion des sections rectangulaires ou trapézoïdales. Cela devrait conduire à des valeurs assez proches de la réalité mais parfois cela conduit à des erreurs très importantes !!! Le mieux consiste à modéliser la poutre via un logiciel de structure de type Robot Structural Analysis, RFEM Dlubal ou à défaut de logiciels payants, d’employer le module éléments finis du logiciel libre RDM IUT le Mans v7.04. Nous examinerons les 2 logiciels professionnels cités, le logiciel libre d’enseignement et pour finir la méthode manuelle d’approximation. On comparera ensuite les résultats. Considérons la poutre suivante située à droite : La poutre présente une hauteur de 150cm pour une largeur de 50cm. è h/b = 150/50 = 3 < 10 è pièce massive. Rappel sur les conversions d’unité : 1 m4 = 108 cm4 et 1 cm4 = 10-8 m4

Détermination du moment de torsion via le logiciel libre RDM – module éléments finis

Point

x

1

0.000

5 9

y

Point

0.000

x

y

2

50.000

0.000

3

50.000 20.000

4

37.500 30.000

37.500 120.000

6

50.000 130.000

7

50.000 150.000

8

0.000 150.000

0.000 130.000

10

12.500 120.000 11

12.500 30.000

12

0.000 20.000

Caractéristiques de la section droite

Périmètre = 424.03 cm Aire = 5000.00 cm2 Centre de gravité : x = 25.0000 , y = 75.0000 cm Moments quadratiques : IGxx = 11958333.33 cm4 IGyy = 631510.42 cm4

2

IGxy = 0.00 cm4 IG1 = 11958333.33 cm4

G

1

C

Z

IG2 = 631510.42 cm4 Rayons de giration :

Y

rG1 = 48.90 cm rG2 = 11.24 cm Angle Gx -> 1 = 0.0 degrés Wel.1 = 159444.44 cm3 Wel.2 = 25260.42 cm3

y

z

x

y

Une fois la structure modélisée en saisissant les points en cm, on effectue un maillage triangulaire de delaunay. Après sauvegarde de la géométrie de la poutre, on utilise le module section pour lancer le calcul. On obtient les résultats suivants :

Caractéristiques de la section droite : Aire = 5.00000E+003 cm2

IYY = 6.27043E+005 cm4

IZZ = 1.19545E+007 cm4

Io = 1.25816E+007 cm4 vZ = 25.001 cm

WelY (IYY/vZ) = 2.50805E+004 cm3

vY = 75.000 cm

WelZ (IZZ/vY) = 1.59393E+005 cm3

Constante de torsion de Saint Venant J = 1.18473E+006 cm4 è 0,0118473 m4 IW

= 1.72104E+009 cm6

BETAY = -1.00617E+003 cm5 ( YB = 0.0067 cm ) BETAZ = -8.30427E+003 cm5 ( ZB = 0.0007 cm ) BETAW = -1.26501E+004 cm5 Centre élastique = 25.000 , 75.000 cm Angle de la direction principale Y avec l'axe y = -89.999 ° Centre de cisaillement/torsion Repère utilisateur : yC = 24.999 , zC = 75.007 cm Repère central principal : YC = -0.007 , ZC = -0.001 cm Coefficients de cisaillement : kYY = 1.47343

kZZ = 1.44681

Coefficients d'aire cisaillée : sur Y = 0.67869

kYZ = 2.39412E-004

kZY = 2.39412E-004

sur Z = 0.69118

Détermination du moment de torsion via le logiciel ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS v2019 L’inertie de torsion correspond selon les axes définis, à Ix = 1 180 213,57 cm4 è 0,01180213 m4. Aire A = 5000.00 cm2 Périmètre S=424.0 cm Moments d'inertie Ix=1180213.57 cm4 Iy=11958333.33 cm4 Iz=631510.42 cm4 Rayons d'inertie iy=48.9 cm iz=11.2 cm Coefficients de rigidité en cisaillement Ay=4682.78 cm2 Az=3460.77 cm2 Facteurs de résistance en flexion Wely=159444.44 cm3 Welz=25260.42 cm3 Facteurs de résistance au cisaillement Wy=3491.46 cm2 Wz=2735.94 cm2 Facteurs de résistance plastique Wply=218541.71 cm3 Wplz=46424.39 cm3 Distances extrêmes Vy=25.0 cm Vpy=25.0 cm Vz=75.0 cm Vpz=75.0 cm

Détermination du moment de torsion via le module RFEM de DLUBAL

Détermination du moment de torsion par approximation manuelle

La forme est complexe par la présence des goussets. On la simplifie en l’assimilant à une poutre équivalente en forme de I disposant de membrures plus épaisses. Itorsion âme de la poutre : h/b = 150/25 = 6 è α = 0,2983 I = 0,2983 x 253 x 150 = 699 140,63 cm4 Itorsion membrures (talon ou aile supérieure) : h/b = 50/25 = 2 è α = 0,2287 I = 0,2287 x 253 x 50 = 176 671,88 cm4 Itorsion poutre équivalente : 699 140,63 + 2 x 176 671,88 = 1 056 484,38 cm4 è 0,0105648 m4

COMPARAISON DES RESULTATS OBTENUS LOGICIELS Inertie de torsion It (cm4)

RDM IUT 1 184 730

RSA AUTODESK 1 180 213,57

RFEM DLUBAL 1 171 000

Approximation manuelle 1 056 484,38

La valeur moyenne hors approximation manuelle, s’établit à 1 178 647,857 cm4 La marge d’erreur de l’approximation manuelle s’élève à 10,36% par rapport à la valeur moyenne calculée. A titre d’information, la modélisation de la poutre équivalente ayant servi à l’approximation manuelle, réalisée sous le module éléments finis du logiciel libre RDM conduit à une constante de Saint Venant de 1 074 370 cm4, sensiblement équivalente à la valeur manuelle obtenue de 1 056 484,38 cm4. L’approximation sera suffisante pour des formes rectangulaires. En présence de sections chanfreinées, une modélisation de la poutre sera préférable pour mieux cerner le moment d’inertie de torsion. On retiendra finalement pour la poutre considérée, une valeur arrondie à 1 180 000 cm4 soit 0,0118 m4. Ainsi, en considérant : -

un module E de 34 180 MPa un coefficient de poisson v=0,15 s’il s’agissait d’une poutre précontrainte ou v=0 si le béton est armé.

G = 34180/2(1+0.15) ≈ 14 861 Mpa è RIGIDITE A LA TORSION DE LA POUTRE : J = 14 861 MPa x 0,0118 m4 = 175,3598 MN.m² ≈ 175 MN.m²

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE BETON MASSIVE EN T Hauteur de Poutre : 1m – Epaisseur âme : 0m30 – Largeur aile : 2m50 – Epaisseur aile : 0m16

∶

=

−

×

×

Rapport Rectangle âme : 100/30=1/3=3,3333 à α = 0,27059582 ≈ 0,2706 Inertie à la torsion âme : It = 0,2706 x 1 x 0,33 = 0,0073062 m4 Rapport rectangle aile : 250/16 = 15,625 à α = 0,31994857 ≈ 0,32 Inertie à la torsion aile : It = 0,32 x 2,50 x 0,163 = 0,0032768 m4 Constante de Saint Venant J = It = 0,0073062 + 0,0032768 = 0,010583 m4 Le logiciel libre RDM donne une valeur de 0,0106543 m4.

Z

C

Y

z y

C = centre de torsion

YZ = axes centraux principaux

MOMENT DE TORSION POUTRE BETON EN T AVEC NERVURE

Rectangle membrure supérieure aile : H/B = 150/25 = 6 à α = 0,2985 (sâab) sinon 0,2983 selon tableau It = 0,2985 x 1,50 x 0,253 = 0,00699609 m4 Rectangle âme : H/B = 100/30 = 10/3 = 3,333 à α ≈ 0,2706 It = 0,2706 x 1 x 0,303 = 0,0073062 m4 Rectangle talon nervure : H/B = 50/25 = 2 à α = 0,22915472 ≈ 0,2292 (tableau courbon : 0,2287) It = 0,2292 x 0.5 x 0.253 = 0,00179063 m4 Il convient de ne pas dissocier le trapèze de la nervure du talon car on élève au cube la hauteur de l’ensemble. Caractéristiques de la section droite

Périmètre = 528.28 cm Aire = 6500.00 cm2 Centre de gravité : x = 75.0000 , y = 64.4359 cm Moments quadratiques : IGxx = 6245431.62 cm4 IGyy = 7397500.00 cm4

G 1

2

IGxy = 0.00 cm4 IG1 = 7397500.00 cm4 IG2 = 6245431.62 cm4 Rayons de giration : rG1 = 33.74 cm rG2 = 31.00 cm Angle Gx -> 1 = -90.0 degrés Wel.1 = 98633.33 cm3 Wel.2 = 96924.72 cm3

y x

Calcul manuel de l’Inertie à la torsion It = 0,00699609 + 0,0073062 + 0,00179063 It = 0,01609292 m4 Calcul via le logiciel RDM IUT Le mans 7.04 Constante de torsion Saint Venant J 0,0168756 m4 Ecart entre les deux valeurs de 4,64%