Vibrations 2020 [PDF]

Zitiervorschau

2020 – 2021 SUPMECA

COURS Jean-Luc Dion Stefania Lo Feudo, Franck Renaud

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Sommaire Introduction......................................................................................................................................................... 6 1.1. Syllabus 6 1.3. Les sites de fournisseur matériel 8 2. Outils de base pour le traitement des problèmes vibratoires :........................................................................... 9 l’isolation vibratoire et l’étouffeur dynamique ............................................................................................................. 9 2.1. Autour de l’isolation vibratoire 9 Fréquence, frequency .......................................................................................................................................... 9 Pulsation, angular frequency ............................................................................................................................... 9 Raideur, stifness .................................................................................................................................................. 9 Raideur de torsion, Torsional stifness ................................................................................................................. 9 Amortissement visqueux , Viscous Damping ...................................................................................................... 9 Système à 1 Degré De Liberté (1DDL), Single Degree Of Freedom (SDOF) ........................................................ 10 Régime libre, free vibration ............................................................................................................................... 10 Fréquence propre complexe, complexe eigen frequency .................................................................................. 10 Système conservatif, undamped system ........................................................................................................... 11 Fréquence propre du système conservatif associé, undamped natural frequency ........................................... 11 Amortissement critique, critical damping ......................................................................................................... 11 Taux d’amortissement, damping ratio .............................................................................................................. 11 Pulsation naturelle, pulsation propre réelle, eigen frequency .......................................................................... 11 Régime transitoire, transient response ............................................................................................................. 12 Pseudo période, pseudo period ......................................................................................................................... 12 Décrément logarithmique ................................................................................................................................. 12 Vibration forcée, forced vibration ..................................................................................................................... 13 Fréquence réduite, normalized frequency......................................................................................................... 14 Régime permanent, régime établi, steady state ............................................................................................... 14 Pulsation de résonnance, resonance frequency ................................................................................................ 14 Fréquence de résonnance de phase, phase resonance frequency .................................................................... 15 Quadrature de phase......................................................................................................................................... 15 Opposition de phase .......................................................................................................................................... 15 Facteur d’amplification ...................................................................................................................................... 16 Bande Passante, BP ........................................................................................................................................... 16 Isolation vibratoire, vibration isolation ............................................................................................................. 16 Rigidité dynamique, dynamic stifness ............................................................................................................... 17 Souplesse, compliance, compliance .................................................................................................................. 17 Impédance, impedance ..................................................................................................................................... 17 Mobilité, mobility .............................................................................................................................................. 17 Masse dynamique, dynamic mass ..................................................................................................................... 17 Inertance, inertance .......................................................................................................................................... 17 2.2. L’étouffeur dynamique 18 Système à 2DDL, 2DOF system .......................................................................................................................... 18 Pulsation d’anti-résonance ................................................................................................................................ 19 Etouffeur dynamique, mass damper ................................................................................................................. 19 Diagramme de Nyquist, Nyquist diagram ......................................................................................................... 20 Diagramme de Bode, Bode diagram ................................................................................................................. 20 Harmoniques, harmonics .................................................................................................................................. 21 Octave, octave ................................................................................................................................................... 21 2.3. Etude et dimensionnement d’un étouffeur dynamique (Système à 2DDL) 22 3. Générer, observer, mesurer des vibrations ...................................................................................................... 27 3.1. Propriété des capteurs 27 Capteur .............................................................................................................................................................. 27 Sensibilité .......................................................................................................................................................... 27 Grandeur d’influence......................................................................................................................................... 27 Hystérésis .......................................................................................................................................................... 27 Linéarité ............................................................................................................................................................. 27 Etendue de mesure (EM) – Domaine Nominal d’Emploi ................................................................................... 28 Domaine de Linéarité ........................................................................................................................................ 28 Domaine de non Détérioration ......................................................................................................................... 28 1.

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Domaine de non Destruction ............................................................................................................................ 28 Justesse.............................................................................................................................................................. 28 Fidélité ............................................................................................................................................................... 28 Finesse ............................................................................................................................................................... 28 Résolution .......................................................................................................................................................... 28 Bande passante ................................................................................................................................................. 29 Calcul d’erreur ................................................................................................................................................... 29 3.2. Exemples de capteurs 30 Accéléromètre Piézoélectrique ......................................................................................................................... 30 Capteur à courant de Foucault, Capteur de proximité ...................................................................................... 30 Capteur de Déplacement Transfo-différentiel (LVDT) ....................................................................................... 30 Vélocimètre Laser .............................................................................................................................................. 30 Jauge d’extensométrie ...................................................................................................................................... 31 Capabilité de mesure en déplacement de quelques technologies de capteurs ................................................ 31 Stroboscope ....................................................................................................................................................... 32 Capteur de force ................................................................................................................................................ 32 Capteur de pression .......................................................................................................................................... 32 Couple-mètre..................................................................................................................................................... 32 3.3. Fonctions usuelles en vibrations 33 Dirac................................................................................................................................................................... 33 Heavyside .......................................................................................................................................................... 34 Peigne de diracs ................................................................................................................................................. 34 Fonction Porte & Fonction Sinus Cardinal ......................................................................................................... 35 Signal sinusoïdal ................................................................................................................................................ 36 Signal périodique ............................................................................................................................................... 36 Signal pseudo périodique .................................................................................................................................. 36 Sinus glissé, Sweep sinus ................................................................................................................................... 36 Multi sinus ......................................................................................................................................................... 36 Signal transitoire ................................................................................................................................................ 37 Signal déterministe ............................................................................................................................................ 37 Signal aléatoire .................................................................................................................................................. 37 Signal aléatoire stationnaire .............................................................................................................................. 37 Signal aléatoire stationnaire ergodique ............................................................................................................ 37 Signal non stationnaire ...................................................................................................................................... 38 Signal pseudo aléatoire ..................................................................................................................................... 38 Bruit Blanc ......................................................................................................................................................... 38 Bruit Rose .......................................................................................................................................................... 38 Bruit Blanc Gaussien .......................................................................................................................................... 39 Choc ................................................................................................................................................................... 39 Capabilité des signaux à spectre quasi blanc pour la caractérisation dynamique des systèmes ...................... 39 3.4. Opérateurs usuels en vibrations 40 Transformée de Fourier, Fourier Transform ...................................................................................................... 40 Série de Fourier, Fourier series .......................................................................................................................... 40 Convolution, convolution................................................................................................................................... 41 Fonction de transfert, transfert function........................................................................................................... 41 Corrélation (pour les signaux réels) ................................................................................................................... 42 Transformée de Fourier Discrète, Transformée de Fourier Rapide, Discrete Fourier Transform, Fast Fourier Transform .......................................................................................................................................................... 43 3.5. La numérisation des signaux 44 Chaîne d’acquisition .......................................................................................................................................... 44 Numérisation des signaux ................................................................................................................................. 44 Fréquence d’échantillonnage, Echantilloneur Bloqueur, sampling frequency, sampler : ................................. 45 Quantification, Convertisseur Analogique Numérique( CAN) : ......................................................................... 46 Filtre Anti Repliement, FAR, Critère de Shannon, Anti aliasing filter : .............................................................. 48 3.6. Descripteurs scalaires en vibrations 49 Valeur moyenne ................................................................................................................................................ 49 Valeur efficace ................................................................................................................................................... 49 Facteur de crête ................................................................................................................................................ 50 -3 -

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Energie d’un signal : .......................................................................................................................................... 50 Puissance d’un signal : ....................................................................................................................................... 50 3.7. Actionneurs et excitateurs en vibrations 51 Marteau de choc................................................................................................................................................ 51 Pot vibrant ......................................................................................................................................................... 51 Patch Piézoélectrique ........................................................................................................................................ 51 Stack piézoélectrique ........................................................................................................................................ 51 Vérin hydraulique .............................................................................................................................................. 52 Capabilité des actionneurs ................................................................................................................................ 53 Amortissements ................................................................................................................................................ 54 L’amortissement intrinsèque volumique........................................................................................................... 54 L’amortissement de nature surfacique ............................................................................................................. 54 L’amortissement d’origine fluide....................................................................................................................... 54 L’amortissement d’origine électromagnétique ................................................................................................. 54 L’amortissement d’origine viscoélastique. ........................................................................................................ 54 A propos des systèmes conservatifs .................................................................................................................. 55 Le Grand Bazard de l’amortissement ................................................................................................................ 55 Amortissement visqueux ................................................................................................................................... 55 Amortissement structural.................................................................................................................................. 55 Amortissement de Rayleigh ............................................................................................................................... 56 Amortissement modal ....................................................................................................................................... 56 Amortisseur à frottement sec, Dry Friction Damper : ....................................................................................... 56 Quelques modèles en viscolélasticité ................................................................................................................ 57 Tabl€au des amorti$sements ............................................................................................................................ 58 Vibrations (et systèmes) non stationnaires ....................................................................................................... 59 5.1. Modulations 59 Modulation d’amplitude.................................................................................................................................... 59 Modulation de phase......................................................................................................................................... 64 Modulation de fréquence .................................................................................................................................. 65 5.2. La transformée de Hilbert 67 Définition et proprieties .................................................................................................................................... 67 Transformée de Hilbert inverse ......................................................................................................................... 68 Exemples de transformées de Hilbert ............................................................................................................... 68 Modèle à bande étroite ..................................................................................................................................... 69 Représentation analytique ................................................................................................................................ 69 Détection d’enveloppe : démodulation d’amplitude ........................................................................................ 70 Mesure de fréquence instantanée : démodulation de phase et de fréquence ................................................. 71 5.3. Transformée de fourrier à court terme 72 Modes Propres des structures .......................................................................................................................... 74 6.1. Modes propres des systèmes discrets 74 Démarche générale de calcul des modes propres............................................................................................. 75 Modes propres d’un système à 2DDL ................................................................................................................ 76 Modes propres d’un système à 3DDL ................................................................................................................ 77 6.2. Modes propres des milieux continus 78 Modes propres de poutres ................................................................................................................................ 78 Modes propres de cordes .................................................................................................................................. 81 Modes propres de membranes ......................................................................................................................... 83 Outils pour la mesure des vibrations et des systèmes dynamiques.................................................................. 84 7.1. Les outils statistiques 84 Densité de probabilité ....................................................................................................................................... 84 Fonction de répartition...................................................................................................................................... 85 Exemple de densité de probabilité .................................................................................................................... 86 Espérance mathématique ................................................................................................................................. 88 Moments statistiques ........................................................................................................................................ 88 Kurtosis .............................................................................................................................................................. 89 Skewness ........................................................................................................................................................... 89 7.2. Les fenêtres d’apodisation 90 Position du problème ........................................................................................................................................ 90 -4 -

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Propriétés et performances des fenêtres .......................................................................................................... 90 Rectangulaire (transient, boxcar, …) ................................................................................................................. 92 Hanning ............................................................................................................................................................. 93 Flat-top .............................................................................................................................................................. 95 exponentielle ..................................................................................................................................................... 96 7.3. Fonction de Réponse en Fréquence des systèmes dynamiques 97 introduction ....................................................................................................................................................... 97 Les outils de base............................................................................................................................................... 97 Les outils de l’analyse spectrale ........................................................................................................................ 98 Les techniques de moyennage ........................................................................................................................ 101 8. Dynamique des machines tournantes ............................................................................................................. 103 8.1. Introduction 103 8.2. Rotor rigide en présence d’un effort centrifuge 104 8.3. Prise en compte des effets gyroscopiques 108 8.4. Conclusion 111

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1. Introduction 1.1. Syllabus

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1.2. Les sites à vocation pédagogique Introduction aux vibrations : http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_sur_une_corde_vibrante http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_stationnaire http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration Analyse modale : http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/absorber/DynamicAbsorber.html http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/multi-dof/multi-dof.html http://www.youtube.com/watch?v=wMIvAsZvBiw&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=nO0bSSXmr1A&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=MperC7ySjSU http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs (Tacoma) http://www.youtube.com/watch?v=CyS50SLwEOs (flotteur aéronautique) Représentation fréquentielle – série de fourrier :

http://www.falstad.com/fourier/ http://en.wikipedia.org/wiki/File:Square_wave_frequency_spectrum_animation.gif http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration Convolution : http://www.jhu.edu/signals/convolve/ La suspension : http://supervroum.free.fr/Conseils_Suspensions.html http://fr.wikipedia.org/wiki/Suspension_de_v%C3%A9hicule voir aussi « mac pherson »…

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1.3. Les sites de fournisseur matériel Isolation vibratoire : http://www.escudier.com/pdf/catalogue%20suspensions%20elastiques.pdf

Capteurs : http://www.bksv.com http://www.tme-france.com http://www.hbm.com/ http://www.pcbpiezotronics.fr/ http://www.kistler.com/ http://www.directindustry.com/ http://www.bksv.fr/ http://www.endevco.com http://www.kulite.com/ http://www.entransensors.co.uk/ Actionneurs : http://www.bksv.fr/ http://www.mts.fr/ http://www.directindustry.com/ http://www.pi-usa.us/ http://www.cedrat.com/

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2. Outils

de

base

pour

le

traitement

des

problèmes vibratoires : l’isolation vibratoire et l’étouffeur dynamique 2.1. Autour de l’isolation vibratoire A compléter : traduction du terme en Anglais et définition

Fréquence, frequency Nombre de périodes ou d’occurrences par seconde exprimée en Hertz (Unité S.I. : Hz=s-1)

Pulsation, angular frequency La pulsation est assimilable à une vitesse de rotation :

  2. . f

avec f la fréquence

Raideur, stifness Grandeur caractéristique d’un ressort : c’est une force par unité de déplacement (Unité S.I. : N.m-1)

Raideur de torsion, Torsional stifness Grandeur caractéristique d’un ressort de torsion : c’est un couple par unité de rotation (Unité S.I. : N.m.rad-1)

Amortissement visqueux , Viscous Damping Grandeur caractéristique d’un amortisseur : c’est une force par unité de vitesse (Unité S.I. : N.s.m-1)

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Système à 1 Degré De Liberté (1DDL), Single Degree Of Freedom (SDOF) Système vibratoire composé d’une masse, d’un ressort (et d’un amortisseur). Le mouvement de la masse n’est possible que selon une seule direction. Remarque : En mécanique vibratoire la notion de degré de liberté est à associer à la notion de mode propre dans une base modale, ce qui diffère sensiblement du degré de liberté au sens de la cinématique. 1DDL vibratoire peut correspondre à un vecteur propre (donc plusieurs directions cinématiques) dans le repère physique d’une structure souple. Plusieurs DDL vibratoires peuvent s’exercer selon une seule direction de l’espace physique (voir système à 2DDL). Le modèle linéaire classique retenu pour le système à 1 DDL est figuré par le schéma associé où les paramètres M (masse généralisée), K (raideur généralisée), C (coefficient d'amortissement visqueux) conduisent à une équation linéaire du 2ème ordre à coefficients constants.

F(t) x(t)

M K

M . ( x t )  C. x( t )  K . x ( t )  F ( t )

C

Régime libre, free vibration Un système vibratoire est dit en régime libre lorsqu’aucune force extérieure F(t) n'est imposée au système et qu’il vibre en état libre. (Pour qu’il y ait vibration libre, le système est excité par des conditions initiales au préalable telles qu’un choc ou une fonction échelon). Pour t  0 , l'équation qui régit le mouvement de la masse suspendue, x(t) , se réduit à :

M . ( x t )  C. x( t )  K . x ( t )  0

Fréquence propre complexe, complexe eigen frequency (Pulsation propre complexe : voir également pulsation) Le système différentiel du second ordre d’un système à 1DDL en vibration libre conduit à la solution du type x ( t )  X 1 . e r1 .t  X 2 . e r2 .t (Avec X1 et X2, 2 constantes réelles) Cette solution ne conduit à des oscillations que si les r1 et r2 sont des nombres complexes, donc si :

r1, 2

C K  C   j   2M M  2M 

2

r1 et r2 sont les pulsations propres complexes du système à 1DDL

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Système conservatif, undamped system Système vibratoire ne présentant pas de terme d’amortissement (C=0)

Fréquence propre du système conservati f associé, undamped natural frequency La pulsation propre du système conservatif associé est définie par :  0



K M

Amortissement critique, critical damping C’est la valeur CCr de l’amortissement à partir de laquelle il n’y a plus d’oscillation. C’est la valeur qui annule la partie imaginaire des pulsations propres complexes:

CCr  2 K .M

Taux d’amortissement, damping ratio Le taux d'amortissement est défini par :



C C  CCr 2 K . M

La pulsation propre 0 et le taux d’amortissement  constituent les variables réduites du système à 1DDL

Pulsation naturelle, pulsation propre réelle , eigen frequency Avec les variables réduites les pulsations propres complexes sont définies par :

r1, 2   .0  j0 1   2

La pulsation propre naturelle 1est définie par la partie imaginaire de r1 :  1   0 1   En régime libre le système oscille sur sa pulsation propre naturelle selon un mouvement x(t) tel que : 2

x ( t )  e  . 0 .t X 1 . e j.1 .t  X 2 . e  j.1 .t



x(t )  A0 .e  .0 .t cos  0 1   2 .t  

soit

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

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Régime transitoire, transient response Le régime transitoire correspond aux oscillations libres du système. Lorsque le système vibre librement il ne peut vibrer que sur ses fréquences propres. Pour un système amorti (non conservatif) l’amplitude des oscillations décroit au cours du temps.

Pseudo période, pseudo period Les oscillations amorties ne peuvent être considérées comme un signal périodique, toutefois il est possible d’identifier une pseudo période dans ces oscillations. La pseudo période d'oscillation Tps d’un système à 1DDL est

Tps 

2

 ps



2

 0 1  2

Décrément logarithmique Dans le cas d’oscillations amorties avec un amortissement de type visqueux, le rapport de 2 élongations successives distantes de Tps est : 2 .

2 xn 1 avec  le décrément logarithmique tel que   . 0 .Tps  e 1   e  xn 1 e x 2 .     ln n  2 .    2 x n 1 2 1

Si l’amortissement est de type visqueux l'enveloppe des oscillations est une exponentielle (négative). Expérimentalement, on fera alors la détermination de  sur un nombre d'oscillations n suffisant pour minimiser l'erreur, soit : 1 x

  ln 0 n xn

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Vibration forcée, forced vibration Les vibrations forcées peuvent être obtenues soit en imposant une force, soit en imposant un déplacement. Dans le cas d’un système à 1DDL excité par la base le système est défini par :

Mx(t )  Cy (t )  Ky (t )  0  My(t )  Cy (t )  Ky (t )   Mz(t )

M

 y(t )  20 y (t )  02 y (t )   z(t ) Mx(t )  Cy (t )  Ky (t )  0  Mx(t )  Cx (t )  Kx(t )  Kz (t )  Cz(t )

y K

x

C

z

 x(t )  20 x (t )   x(t )   z (t )  20 z(t ) 2 0

2 0

Remarque : L’excitation cinématique z du système par la base revient à une excitation en force sur la masse du type F  Mz La transformée de Fourier des équations différentielles du second ordre conduit à :

Y (02   2  2 j0 )   2 Z X (02   2  2 j0 )  Z (02  2 j0 ) avec X, Y et Z les transformée de Fourier de x y et z. Le rapport entre les amplitudes de déplacement imposées à la base et l’amplitude de vibration de la masse est défini par :

Y  Z

2



2 0

2



2

 4 202 2

ou en x et z …

X  Z

04  4 202 2



2 0

 2

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

2

 4 202 2

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Fréquence réduite, normalized frequency C’est une grandeur de fréquence sans dimension. C’est une fréquence en Hz divisée par une fréquence de référence telle que la fréquence propre ou une fréquence d’échantillonnage. En posant la fréquence réduite

fr 

f   f 0 0

Les amplitudes vibratoires relatives deviennent :

Y  Z

f r2

1  f   4 2 2 r

2

f r2

X ou en x et z …  Z

1  4 2 f r2

1  f 

2 2 r

 4 2 f r2

Régime permanent, régime établi, steady state Le régime vibratoire est considéré permanent ou établi lorsqu’il est périodique. Dans le cas d’un système différentiel du second ordre décrivant un système vibratoire le régime établi correspond à la solution particulière avec second membre lorsque l’excitation est de type sinusoïdal :

M .x(t )  C.x (t )  K .x(t )  F (t ) F (t )  F0 . sin 2ft 

La solution particulière est du type :

x(t )  x0 . sin 2ft    , c’est le régime établi.

Pulsation de résonnance, resonance frequency La pulsation de résonance de déplacement

d

est la pulsation pour laquelle le déplacement

y 0 passe par un

maximum lorsque le système est sollicité avec une excitation sinusoïdale :

d

est solution de

0 d y0 =0 :  d  d z 0 1  2 2

De la même façon, la pulsation de résonance de vitesse est défini par : La pulsation de résonance d’accélération est défini par :

v  0

  0 1  2 2

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Fréquence de résonnance de phase, phase resonance frequency C’est la fréquence pour laquelle la phase vaut /2, c’est la quadrature de phase. La pulsation de résonance de phase d’un système à 1DDL est défini par :

  0 lorsque

la force et le

déplacement sont en quadrature de phase. F(t)

M .x(t )  C.x (t )  K .x(t )  F (t ) F (t ) x(t )  20 .x (t )  02 .x(t )  M

M x K

C

En musique les modes propres, ou fréquences de résonnance sont appelées des partielles (non multiples de la fréquence fondamentale) par opposition aux harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale). Ces partielles jouent un rôle déterminant dans le timbre des instruments (cloches, cuivres …)

Quadrature de phase 2 signaux sinusoïdaux sont en quadrature de phase lorsque la phase entre les deux signaux vaut /2.

Opposition de phase 2 signaux sinusoïdaux sont en opposition de phase lorsque la phase entre les deux signaux vaut .

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Facteur d’amplification Pour un système à 1DDL excité par la base le facteur d’amplification Q est le rapport entre l’amplitude de vibration à la résonnance et l’amplitude de vibration imposée à la base (ou l’amplitude de déflexion statique pour les systèmes excités par une force)

Q

1 2

Bande Passante, BP

Pour un système défini par une fonction F() c’est un intervalle f entre 2 fréquences f1 et f2 définies par une amplitude ABP telle que

ABP 

MAX F ( ) . 2

Par défaut la bande passante est définie à -3dB (pondération par Pour un système à 1DDL,



2 ).

f avec fMAX la fréquence du maximum. 2 f MAX

Isolation vibratoire, vibration isolation Pour un système excité par sa base avec une amplitude A 0, le domaine d’’isolation vibratoire correspond à un domaine fréquentiel pour lequel les amplitudes de vibration sont inférieure à A0 . Ce domaine se situe au-delà de

2 f 0 pour un système à 1DDL. Travail à réaliser : Quelles sont les principales règles de dimensionnement des supports antivibratoires de la société PAULSTRA. http://www.escudier.com/pdf/catalogue%20suspensions%20elastiques.pdf

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Rigidité dynamique, dynamic stifness La rigidité dynamique Kd est le rapport (dans le domaine fréquentiel) entre la force et le déplacement. Pour un système à 1DDL F(t)

M .x(t )  C.x (t )  K .x(t )  F (t ) F Kd    M 2  jC  K X

M x K

C

Souplesse, compliance, compliance La Souplesse S est l’inverse de la rigidité dynamique. Pour un Système à 1DDL

S

X 1  2 F  M  jC  K

Impédance, impedance L’impédance dynamique Z est le rapport (dans le domaine fréquentiel) entre la force et la vitesse. Pour un système à 1DDL : Z



F  M 2  jC  K  V j

avec V  jX (V et X sont les transformées de Fourier de la vitesse et du déplacement)

Mobilité, mobility C’est l’inverse de l’impédance. Pour un système à 1DDL : M



V j  2 F  M  jC  K

Masse dynamique, dynamic mass L’impédance dynamique Z est le rapport (dans le domaine fréquentiel) entre la force et l’accélération : Pour un système à 1DDL : Z



F M 2  jC  K  A 2

avec A   X (A et X sont les transformées de Fourier de l’accélération et du déplacement) 2

Inertance, inertance C’est l’inverse de la masse dynamique. Pour un système à 1DDL : M



A 2  F M 2  jC  K

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2.2. L’étouffeur dynamique Système à 2DDL, 2DOF system La rhéologie discrète d’un système à 2DDL est composée de 2 masses reliées entre elles et avec un référentiel galiléen par des ressorts et des amortisseurs. Exemple de système à 2DDL : K2 K1

F1

M1

X1

C1

M2

C2

X2

M 1 x1  F1  K 2 ( x1  x2 )  K1 x1  C2 ( x1  x2 )  C1 x1 Equation d'équilibre de la masse M2 : M 2 x2   K 2 ( x2  x1 )  C2 ( x 2  x1 )   C X  K X   F  Soit, sous forme matricielle : M X Equation d'équilibre de la masse M1 :

Avec :



M   M 1  0

0   M2 



K    K1  K 2

,

  K2

 K2  , K2 



C   C1

 C2   C2 

 C2

  C2

Par transformée de Fourier le système devient :

  M   jC   K Xˆ  Fˆ  2

Kd ( )   2 M   jC   K 

Avec Kd la matrice de raideur dynamique. Le système conservatif associé en régime libre conduit à l’équation suivante :

  M   K Xˆ  0 2

Kd ( )de la matrice de raideur dynamique est défini par : Kd ( )  ( 2 M 1  K1  K 2 )( 2 M 2  K 2 )  K 22

Le déterminant

En posant les variables réduites suivantes :



2 a



2 b

K2 : pulsation propre de la masse M2 suspendue par le ressort de raideur K2 M2 K +K 2  1 : pulsation propre de la masse M 1 suspendue par les ressorts de raideur K1 et K2 si elle était M1 

seule



4 ab



K 22 M 1M

: pulsation de "couplage" due à la liaison de M1 et M2 par le ressort de raideur K2



2

On peut alors réécrire le déterminant :



 

4  Z  M 1 M 2   2  b2   2  a2  ab

Les pulsations propres sont obtenues par annulation du déterminant :

4 2

2 a

Les solutions positives de cette équation sont les deux pulsations propres du système

I2, II 

1 2 1 a  b2   a2    2 2



2 2 b



4  b2   a2b2  ab 0

I

et

 II

:

1/ 2

4   4ab 

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Comportement en régime forcé L'équation d'équilibre du système s'écrit dans le domaine fréquentiel (Fourier) :

   2 M 1  K1  K 2   K2    Xˆ 1   Après résolution, on obtient :   Xˆ   2 C'est-à-dire :

 

Z ( ) Xˆ  Fˆ

  Xˆ 1  Fˆ1  K2        M 2  K 2   Xˆ 2   0  Fˆ ( K  M  2 ) 2

1

2

Fˆ1 K 2 Z

2

Z

Pulsation d’anti-résonance On remarque que

Xˆ 1 s'annule pour  

K2  a : la masse M1 reste immobile pour la fréquence propre de M2

"l'étage 2" seul. a est la pulsation d'antirésonance de l'étage 1.

Etouffeur dynamique, mass damper Dans le système à 2DDL précédant, l'étage 2 se comporte alors en étouffeur dynamique de l'étage 1 : la pulsation propre de l’étage 2 seul correspond à la pulsation d’anti-résonance de l’étage 1. D’un point de vue dimensionnement la situation peu se résumer de la façon suivante : Si l'on monte en un point d'un système mécanique vibrant, un système auxiliaire constitué d'un ressort de raideur k2 auquel est suspendue une masse M2, le point considéré reste immobile lorsque la pulsation d'excitation du système principal est égale à la pulsation propre du système auxiliaire. Citons en particulier les "mass damper" montés en bout de vilebrequin de moteurs à combustion interne, les "batteurs" de stabilisation montés sur automobiles « cabriolés », les étouffeurs placés sur les cuves des transformateurs électriques...(voir également : mass damper, étouffeur dynamique, Amortisseur Renault F1). Il est assez fréquent que la solution d’un étouffeur dynamique soit envisagée de façon curative (et non au moment de la conception) pour résoudre des problèmes de vibrations à une fréquence donnée. D’un point de vue technologique une solution classiquement retenue consiste à ajouter sur la structure une masse métallique reliée par un élément en caoutchouc.

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Diagramme de Nyquist, Nyquist diagram La représentation de Nyquist d’une grandeur complexe porte sur l’axe des abscisses la partie réelle et sur l’axe des ordonnées, la partie imaginaire. Le Diagramme de Nyquist du système à 2DDL précédant met en évidence les 2 modes propres du système.

Diagramme de Bode, Bode diagram Le diagramme de bode d’une grandeur complexe est en fait 2 diagrammes : Représentation du module en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique en abscisse et une échelle logarithmique en ordonnées (les échelles sont parfois linéaires) Représentation de la phase en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique en abscisse et une échelle linéaire en ordonnées (les échelles sont parfois linéaires sur les 2 axes) Le Diagramme de Bode du système à 2DDL précédant est représenté sur la figure suivante :

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Harmoniques, harmonics Multiples d’une fréquence fondamentale F0 : la fréquence de l’harmonique 5 est définie par H5=5.F0 La décomposition en série de Fourier d’un signal continu périodique revient à décrire le signal comme une somme de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale du signal (inverse de sa période).

Octave, octave Il y a 1 octave d’écart entre 2 fréquences lorsque l’une est le double de l’autre. Exemple : le « La » du diapason est à 440 Hz (tonalité du téléphone), à l’octave inférieur le « La » est à 220 Hz, à l’octave supérieur le « La » est à 880 Hz.

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2.3. Etude et dimensionnement d’un étouffeur dynamique (Système à 2DDL)

Travail préparatoire au TP1 A réaliser avant la séance de TP Dimensionnement à remettre à l’enseignant en début de séance de TP1 A partir des caractéristiques géométriques et mécaniques du système étudié (machine tournante), concevoir l’isolation vibratoire du moteur puis dimensionner un étouffeur dynamique pour une vitesse de rotation de 1500 tours/min. Masse du châssis moteur : 2,1 kg Masse du batteur : 0, 4 kg Suspension par lames-ressorts en acier de 1mm et de largeur 110 mm pour le 1er étage (largeur effective), 50 mm pour le 2ème étage.

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Commenter les comportements dynamiques décrits par les figures si dessous :

Vibrations de la machine (déplacements)

Force (N) transmise au sol (environnement machine)

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A partir des observations du cours et des images proposées, commenter le comportement du système suivant : Description du système :

Comportement avant la résonance :

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Comportement à la première résonance :

Comportement à l’anti résonance :

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Comportement à la 2ème résonance :

Comportement au-delà de la 2ème résonance :

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3. Générer, observer, mesurer des vibrations 3.1. Propriété des capteurs

Capteur Système qui converti une grandeur physique en une grandeur électrique (G. ASCH – Capteur en instrumentation industrielle, Dunod). Les capteurs actifs réalisent une conversion d’énergie (ex : piézoélectricité) alors que les capteurs passifs traduisent la variation du mesurande (grandeur physique à mesurer) par une variation d’impédance (ex : jauge d’extensométrie)

Sensibilité

S ( m) 

u u soit pour un capteur linéaire S  m m

Pour un capteur linéaire, la sensibilité dynamique est définie par :

Uˆ ( f ) Sˆ ( f )   S ( f ).e j ( f ) ˆ M(f )

Avec S(f) la sensibilité dynamique du capteur et (f) son déphasage.

Grandeur d’influence Ce sont les grandeurs physiques qui influent sur la mesure (Exemples : température, qualité de l’alimentation électrique). Les stratégies face à ces grandeurs d’influence sont : prise en compte au moyen de modèle de comportement (loi d’évolution de la sensibilité en fonction de l’hygrométrie), isolation du capteur (ex : blindage électromagnétique), stabilisation de la grandeur d’influence (salle climatisée), compensation (ex : pont de Wheatstone)

Hystérésis C’est un comportement non linéaire qui dépend de l’historique de mesure. En cas d’hystérésis, pour une valeur du mesurande (m) donnée ne correspond pas nécessairement une valeur unique de la grandeur électrique de sortie (u). u

m

Linéarité Le capteur est dit linéaire sur un domaine donné lorsque la relation entre la grandeur physique (mesurande) et la grandeur électrique est une fonction affine.

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Etendue de mesure (EM) – Domaine Nominal d’Emploi C’est le domaine de mesure conseillé par le constructeur dans la fiche technique du capteur.

Domaine de Linéarité C’est le domaine dans lequel le capteur est considéré comme linéaire. La linéarité est souvent donnée comme un pourcentage de l’EM : c’est la déviation possible du capteur par rapport à un comportement parfaitement linéaire. La plupart des erreurs (linéarité, justesse, fidélité …) sont données en pourcentage de l’EM. Cette notation est souvent trompeuse : si un capteur ayant une erreur de linéarité de 2% de l’EM est employé sur son début d’EM (10% par exemple) l’erreur possible sur la mesure est alors de 20%.

Domaine de non Détérioration C’est un domaine plus grand que l’EM. Souvent pour des raisons de sécurité, l’EM donnée par le constructeur est prise comme un pourcentage du domaine de non détérioration. Par exemple : un capteur de pression (Kulite, Antran...) ayant une étendue de mesure de 0-7 bars peut en fait réaliser des mesures jusqu’à 14 bars sans perte de performance ni détérioration.

Domaine de non Destruction C’est un domaine dans lequel le capteur peut avoir subi des détériorations définitives tout en étant toujours capable d’établir une relation entre le mesurande et la grandeur électrique de sortie. La sensibilité et la linéarité sont souvent affectées par les détériorations subies. Un nouvel étalonnage du capteur est alors nécessaire.

Justesse Capacité d’un capteur à donner en moyenne la bonne valeur de la mesure (même si les valeurs données sont dispersée!). La justesse peut être quantifiée en mesurant l’écart entre la valeur exacte et la moyenne des mesures (erreur systématique).

Fidélité Capacité d’un capteur à reproduire toujours la même mesure (même si cette mesure n’est pas juste!). La fidélité peut être quantifiée par l’écart type d’une série de mesure supposée d’une même grandeur.

Finesse C’est la capacité d’un capteur à ne pas perturber l’environnement qu’il mesure. Exemples de problème de finesse :  La masse d’un accéléromètre posé sur une structure peut perturber le comportement vibratoire de la structure (en modifiant une fréquence propre par exemple) et donc fausser la mesure.  L’introduction d’un capteur de pression dans un moteur à combustion interne peut modifier le volume mort de la chambre et donc les cycles thermodynamiques. Technologiquement, finesse et sensibilité sont souvent antagonistes.

Résolution C’est la plus petite variation de mesurande que peut détecter le capteur.

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Bande passante

Pour un capteur défini par une sensibilité S() c’est un intervalle f entre 2 fréquences f1 et f2 définies par une amplitude ABP telle que ABP 

MAX S ( ) . 2

Par défaut la bande passante est définie à -3dB (pondération par 2 ). Plus généralement c’est l’intervalle de fréquence à l’intérieur duquel le capteur conserve ses propriétés (sensibilité, linéarité, résolution…).

Calcul d’erreur Dans un processus de mesurage il est fréquent que plusieurs modèles soient utilisés pour définir le mesurande M à partir d’une grandeur électrique (exemple : pèse personne à jauge d’extensométrie). Les caractéristiques mi du corps d’épreuve et leurs incertitudes mi impactent directement l’erreur M sur la quantification du mesurande M. M=f(m1,m2,…mi) L’erreur (absolue) sur le mesurande est alors défini par :

M   i

f mi mi

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3.2. Exemples de capteurs

Accéléromètre Piézoélectrique http://www.bksv.com http://www.bksv.fr/ http://www.directindustry.com/ http://www.pcbpiezotronics.fr/

Capteur à courant de Foucault, Capteur de proximité http://www.directindustry.com/ http://www.pm-instrumentation.com (Capteur Kaman)

Capteur de Déplacement Transfo -différentiel (LVDT) http://www.directindustry.com/ http://www.pm-instrumentation.com

Vélocimètre Laser http://www.bksv.com http://www.polytec-pi.fr

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Jauge d’extensométrie http://www.tme-france.com http://www.hbm.com/

Capabilité de mesure en déplacement de quelques technologies de capteurs

Les performances indiquées sur ce graphique sont fournies à titre indicatif. Pour certaines technologies de capteur il existe des réalisations technologiques permettant de compenser les principaux défauts. Exemples :  Les accéléromètres piézorésistifs possèdent de bonnes performances en BF contrairement aux accéléromètres piézoélectriques présentés dans le diagramme étoile.  De même l’étendue de mesure des capteurs de proximités (à courant de Foucault) peut être agrandie par des montages mécaniques spécifiques.

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Stroboscope

http://www.directindustry.com/

Capteur de force http://www.tme-france.com http://www.hbm.com/ http://www.kistler.com/

Capteur de pression http://www.kulite.com/ http://www.entransensors.co.uk/ http://www.endevco.com

Couple-mètre http://www.hbm.com/ http://www.winsensor.fr

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3.3. Fonctions usuelles en vibrations Dirac L'impulsion Dirac est un signal non réalisable. Cette fonction est à la base de la théorie des distributions. Physiquement, il est coutume de modéliser l'impulsion Dirac par un signal porte dont la largeur tend vers 0 et dont l'amplitude tend vers l'infini. (t) T0 1/T temps temps

0

T

Notons également :

 (at ) 

 1  (t ) et  ( f )  1 a

Le Dirac est la modélisation élémentaire classiquement retenue pour représenter un choc. L'impulsion Dirac sert également en théorie des systèmes puisque la réponse impulsionnelle est définie comme la sortie d'un système dont l’entrée une impulsion Dirac. Principales propriétés du Dirac :

Pour rappel :

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Heavyside La fonction d'Heavyside est le signal échelon unité, nul pour les temps négatifs et de valeur 1 pour les temps positifs. Elle est utilisée pour simplifier l'écriture de l'expression d'une fonction, et s'adapte tout particulièrement au cas des signaux causaux. Elle correspond à une fonction d'intégrateur pur (sa transformée de Laplace est 1/p).

0 pour t0 H(t) 1 pour t 0 

DH  Dt

(t) 1

t

0

Peigne de diracs La Transformée de Fourier d'un peigne de diracs espacés tous les instants T est également un peigne de diracs dans le domaine fréquentiel mais espacés tous les 1/T. Peigne de diracs

Peigne de diracs



 dt t   t n.dt 



Fe Fe () Fe   n.Fe 

n  

n  

dt  1 Fe -3dt -2dt -1dt 0 1dt 2dt 3dt

-Fe 0 Fe 2Fe 3Fe

Le peigne de diracs présente un intérêt majeur dans le traitement des signaux, il permet, par multiplication avec une fonction ou un signal analogique, une représentation sous forme de distribution particulièrement adaptée à l'opération de numérisation des signaux. L'échantillonnage d'un signal revient donc à le multiplier par un peigne de diracs. La transformée de Fourier d'un peigne de diracs est également un peigne de diracs : la périodicité ainsi provoquée dans le domaine fréquentiel s'appelle le repliement spectral. Le peigne de diracs peux aussi être utilisé pour décrire par convolution la périodicité d’une fonction :

Par exemple, pour un signal rectangulaire périodique :

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Fonction Porte & Fonction Sinus Cardinal La transformée de Fourier de la fonction porte est un sinus cardinal.



1







2

 

2

0

1

1



0

2



Transformée de FOURIER 

f ( ) 

f (t )    t 



sin( )



  .sin c  

ou encore …

     x(t )  1 t    ,   2 2   x(t )  0 sinon  Propriétés de sinc(x) :

sin c( x) 

sin( x) x

La fonction sinc(x) est paire et maximale en 0 : sinc(0)=1

x  k k  Z *

Elle s'annule pour : Ses maxima sont sur la courbe 1/x, le lobe primaire est deux fois plus large que les lobes secondaires : 

 sin c( x)dx  1



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Signal sinusoïdal La fonction sinus x(t) = A0+A.sin(2ft+) est une fonction à énergie infinie de durée infinie. Sa puissance est finie et sa représentation fréquentielle (Transformée de Fourier au sens des distributions) est discrète ; dans le domaine spectral, elle se représente par 2 diracs respectivement à –f et +f d'amplitude A/2. La représentation de ce signal est infinie dans le domaine temporel et discrète dans le domaine fréquentiel : toute l'énergie du signal est concentrée sur une seule fréquence. La composante continue A0 peut être vue comme le premier terme d'une décomposition en série de Fourier, c'est aussi la composante à fréquence nulle dans une représentation fréquentielle, c'est aussi l'offset en électronique, c'est aussi la valeur moyenne du signal d'un point de vue statistique. Par la singularité qu'elle présente dans le domaine fréquentiel, cette fonction est également employée pour l'étude de systèmes non linéaires.

Signal périodique C’est un signal qui peut être décrit par une décomposition en série de Fourier ou comme la convolution entre une fonction donnée (motif) et un peigne de diracs (espacés de la période du signal).

Signal pseudo périodique C’est un signal issu soit d’un signal périodique amorti (ou modulé en amplitude), soit de la somme de plusieurs signaux périodiques mais dont le résultat n’est pas périodique.

Sinus glissé, Sweep sinus C’est un signal sinusoïdal dont la fréquence évolue linéairement ou exponentiellement avec le temps :

t   x(t )  x0 sin  2 f1.t  2  a. .d  pour une évolution linéaire ou a est exprimé en Hz/s. 0  

Ou t   x(t )  x0 sin  2 f1.t  2  2a .d  pour une évolution exponentielle ou a est exprimé en octave/s. 0  

Multi sinus C’est un signal sinusoïdal dont la fréquence évolue discrètement en fonction du temps :

   n.k  x(t )  x0  sin 2  f1  .(t  nkT ) . T (t  nkT ) avec n le nombre de période d’observation par T  k    fréquence. k est l’indice de la fréquence, T la période correspondante à l’incrément en fréquence T=1/f.

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Signal transitoire C’est un signal à énergie finie et à support temporel borné.

Signal déterministe C’est un signal qui peut être décrit comme une fonction du temps. Pour un instant t0, différentes réalisations conduisent à une même valeur du signal. Exemples : choc, sinus, sweep sinus, signaux pseudo périodique …

Signal aléatoire C’est un signal qui ne peut être décrit comme une fonction du temps. Pour un instant t0, différentes réalisations conduisent à différentes valeurs du signal.

Signal aléatoire stationnaire C’est un signal aléatoire dont les propriétés statistiques n’évoluent pas (au cours du temps). La densité de probabilité du signal est identique quelque soit la réalisation du signal. La moyenne, l’écart type (et plus généralement tous les moments statistiques) sont invariants. Densité de probabilité

Réalisations du signal

Signal aléatoire stationnaire ergodique Un signal aléatoire stationnaire est ergodique si la moyenne d’ensemble est égale à la moyenne temporelle.

Xi(t)

Moyenne temporelle à l'instant t N Réalisations

Temps

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Signal non stationnaire C’est un signal dont les propriétés statistiques évoluent au cours des réalisations du signal (ou au cours du temps). La solution souvent retenue pour l’étude de ces signaux consiste à identifier un modèle d’évolution des propriétés du signal. Densités de probabilité Réalisations du signal

Signal pseudo aléatoire C’est un signal aléatoire synthétique qui est rejoué en boucle : c’est donc un signal périodique!

Bruit Blanc C’est un signal aléatoire dont la représentation spectrale tend vers une constante sur la bande de fréquence étudiée. La blancheur d’un spectre est définie par analogie au spectre visuel pour lequel la lumière blanche représente toutes les fréquences (longueur d’onde) du spectre visuel avec le même niveau d’énergie.

Temps

Fréquence

Bruit Rose Dans le cas d’un bruit blanc défini en accélération, le même signal observé en déplacement conduit à un spectre dont les basses fréquences possèdent une Densité Spectrale de Puissance plus grande que dans les hautes fréquences. Par analogie au spectre visuel la dominance des fréquences basses teinte le spectre en rouge.

Fréquence

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Bruit Blanc Gaussien Signal aléatoire de densité de probabilité gaussienne (entièrement défini par sa moyenne et son écart type) et dont le spectre est constant sur la plage de fréquence observée.

Choc C’est un signal transitoire court qui peut être modélisé en première approche comme un dirac ou un demi-sinus. Le spectre du choc possède une « relative blancheur » en basse fréquence. Temps

Zone de « relative blancheur »

Fréquence

Capabilité des signaux à spectre quasi blanc pour la caractérisation dynamique des systèmes

Les performances indiquées sur ce graphique sont fournies à titre indicatif et peuvent être remise en cause en fonction des technologies mise en œuvre pour la réalisation (mécanique) de ces signaux. Exemple : Pour réaliser un sweep sinus il est possible d’utiliser un moteur électrique avec un excentrique ou un excitateur électrodynamique ou un stack piézoélectrique ou un patch piézoélectrique ou encore un vérin hydraulique. Suivant la technologie retenue la bande passante et la facilité de mise en œuvre seront directement affectées.

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3.4. Opérateurs usuels en vibrations Transformée de Fourier, Fourier Transform 



F f (t )  f ( )   f (t )e

 2 it

dt



Choix de l’opérateur dans le passage du temporal au fréquentiel Domaine Temporel

Opérateur

Domaine Fréquentiel

Continu / Apériodique

TF

Continu / Apériodique

Continu / Périodique

Série de Fourier

Discret / Apériodique

Discret / Apériodique

TF

Continu / Périodique

Discret / Périodique

TFD

Discret / Périodique

Série de Fourier, Fourier series Les signaux périodiques continus admettent une décomposition en série de Fourier, ce qui permet de conserver une représentation fréquentielle (au moyen des coefficients a n, bn, cn) comme les transformées de Fourier intégrale et discrète le proposent. nt  2 j   nt   nt    x(t )  a0    an. cos  2   bn. sin  2     cn e T T  T      n 1  Pour la décomposition sur la base trigonométrique : a0  an  bn 

2 T 2 T

t0 T

t0 T

t0

t0 T



x (t )dt

t0

 2 nt  x (t ).cos   dt  T 



t0



1 T

 2 nt  x (t ).sin   dt  T 

Pour la décomposition sur la base complexe :

cn 

1 T

t0  T



x(t ).e

 2 j nt     T 

dt

t0

Correspondances entre les deux décompositions :

an  jbn   cn  2  an  jbn c n  2  L'ensemble des valeurs Cn (en générale complexes) constitue le spectre d'amplitude du signal ; qui est alors discret. Elles désignent l'amplitude et la phase des harmoniques (multiples du fondamental f0, le fondamental étant défini par la périodicité du signal T=1/f0). Exemple trivial : La fonction sinus qui n'a pas de transformée de Fourier au sens des fonctions (mais au sens des distributions) se décompose aisément en série trigonométrique de Fourier pour obtenir deux coefficients b 1 et b-1 qui correspondent à deux diracs fréquentiels. -40 -

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Convolution, convolution Signaux continus : 

y(t )  h(t )  x(t ) 





h( t   ) x( ) d 



 h()x(t  )d



Signaux discrets : 

x * y( n )  y * x ( n ) 

 x k yn  k

k 

Propriété principale : Le produit de convolution devient un (simple) produit scalaire par TF, TL, TZ et TFD. Distributivité : [x1(t) + x2(t)]  y(t) = x1(t)  y(t) + x2(t)  y(t) Associativité : [x1(t)  y1(t)]  y2(t) = x1(t)  [y1(t)]  y2(t)] Elément neutre :

Pour plus d’infos : http://www.jhu.edu/signals/convolve/

Fonction de transfert, transfert function La fonction de transfert H(f) représente le comportement d’un Système Linéaire Invariant : e(t) E(f)

h(t) H(f)

s(t) S(f)

s(t )  e(t )  h(t ) S ( f )  E ( f ).H ( f )  H ( f ) 

S( f ) E( f )

E(t) représente excitation temporelle d’entrée du système, h(t) le noyau (réponse impulsionnelle) de la fonction de transfert et s(t) la réponse temporelle du système. Avec E(f), H(f) et S(f) les Transformées Intégrales (de Fourier ou de Laplace) respectives des fonctions e(t), h(t) et s(t). Pour les Systèmes Linéaires Invariants Discrets (SLID) : e[n] E[k]

h[n] H[k]

s[n] S[k]

s[n]  e[n]  h[n] S[k ]  E[k ].H [k ]  H [k ] 

S [k ] E[k ]

e[n] représente l’excitation temporelle d’entrée du système, h[n] le noyau (réponse impulsionnelle) de la fonction de transfert et s[n] la réponse temporelle du système. Avec E[k], H[k] et S[k] les Transformées (de Fourier Discrètes ou en Z) respectives des fonctions e[n], h[n] et s[n].

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Corrélation (pour les signaux réels)

 xy (t ) 



 x( ).y (  t ).d



La corrélation permet d’identifier la «ressemblance » entre deux signaux. Principales propriétés : 

Symétrie hermitienne :

*  xy ( t )   xy (t )



Inégalité de Schwarz :

 xy  t    x  0  . y  0 



Décorrélation :

 xy  t   0



Addition :

 x y  x  y  xy  yx

2

Pour les signaux à puissance moyenne totale finie :

 xy (t )  lim

T 

1 T

T 2





x( ).y (  t ).d

T 2

(Mêmes propriétés que la corrélation pour les signaux à énergie finie) L’autocorrélation d’une fonction x est :  xx (t )   x (t ) 



 x( )x(  t )d



Principales propriétés : 

Symétrie hermitienne :

 x  t    x  t  *



Inégalité de Schwarz :

 x t    x 0



Décorrélation :

 xx  t   0

(cas des signaux aléatoires)

Pour les signaux discrets :

 N  m 1 xn  m yn*   Rˆ xy (m)   n 0  Rˆ * (m)  xy

m0 m0

Intercorrélation biaisée (pour les signaux à énergie finie – support temporel borné)

Rxy ,biaisé (m) 

1 ˆ Rxy (m) N

Intercorrélation non biaisée (pour les signaux à puissance finie – support temporel infini)

Rxy ,non biaisé (m) 

1 Rˆ xy (m) Nm

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Transformée de Fourier Discrète, Transformée de Fourier Rapide, Discrete Fourier Transform, Fast Fourier Transform La Transformée de Fourier Discrète (comme la Transformée de Fourier Rapide) est dédiée aux signaux discrets et périodiques. Pour une séquence temporelle de longueur n, ces transformées retournent une séquence fréquentielle également de longueur n. Dans le cas de signaux réels la séquence retournée est composée de n points complexes avec une symétrie des valeurs numériques autour de n/2 : la partie réelle est paire, la partie imaginaire est impaire, le module est paire, la phase est impaire. TFD directe d’ordre N : o

N 1

x N [k ]   x[n]e

j

2 kn N

, 0  k  N 1

n 0

TFD inverse d’ordre N :

1 x[n]  N

N 1

x

N

[k ]e

j

2 kn N

, 0  n  N 1

k 0

TFD et TFR : Dualité temps - Fréquence

 t=1/Fe Temps

Fréquence

f=1/ t=1/Fe=/N

f=1/Fe/N

Fe

La résolution (t) dans le domaine temporel est l’inverse de l’étendue de la TFD dans le domaine fréquentiel (de 0 à Fe). De même, la résolution (f) dans le domaine fréquentiel est l’inverse de l’étendue dans le domaine temporel (de 0 à ). La TFD d’un signal numérisé sur N points conduit à un résultat dans le domaine fréquentiel dont les amplitudes dépendent linéairement du nombre de points de numérisation dans le domaine temporel. Pour une meilleure lecture des spectres il est classiquement retenu de pondérer les résultats de la TFD par N afin de s’affranchir du nombre de points de numérisation. La FFT (Fast Fourier Transform) est une solution algorithmique permettant de réduire très sensiblement le temps de calcul de la Transformée de Fourier Discrète. Si cet algorithme est très efficace, il nécessite toutefois que le signal soit numérisé au préalable sur un nombre de points N qui est une puissance de 2 (…512, 1024, 2048,…). L’algorithme FFT appelé également Radix 2 a été inventé en 1965 par Cooley et Tuckey. L’optimisation qu’il propose est entièrement basée sur la décomposition binaire de la TFD.

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3.5. La numérisation des signaux Chaîne d’acquisition C’est l’ensemble des composants du capteur au système d’enregistrement et de traitement des données.

Capteurs

Conditionneurs

Filtre Passe Bas analogique (Anti repliement)

Echantillonneur -

Bloqueur

Chaîne d’acquisition classique

Convertisseur Analogique – Numérique

Mémoire informatique

Logiciel de traitement

Numérisation des signaux La technologie des ordinateurs a démontré depuis longtemps et dans bien des domaines sa supériorité dans le traitement et l'analyse des signaux par rapport à des solutions équivalentes en électronique analogique. Les solutions informatiques apportent convivialité, rapidité à des coûts souvent négligeables devant l'instrumentation de mesure en amont de l'ordinateur (capteurs, conditionneurs …). Cependant, le traitement de signaux d'origine analogique (continus) par un système informatique basé sur des données digitalisées (discrètes) nécessite un traitement préliminaire qui permettra à un signal analogique continu d'être représenté par un fichier (vecteur) de points représentant l'amplitude du signal en différents instants successifs de la mesure. Les amplitudes étant stockées en mémoire informatique sont codées en langage binaire. La numérisation des signaux conduit donc à discrétiser l'espace temps (échantillonnage) et discrétiser le domaine des amplitudes (quantification). La numérisation des signaux (échantillonnage et quantification) est une étape déterminante dans la qualité de l'analyse et de l'interprétation des signaux : d'importantes erreurs d'interprétation peuvent être (…et sont trop souvent) commises si quelques règles élémentaires sur la numérisation ne sont pas respectées. Ce chapitre a pour vocation principale de sensibiliser le lecteur à ces règles élémentaires.

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Fréquence d’échantillonnage, Echantilloneur Bloqueur, sampling frequency, sampler : L'échantillonneur est une horloge dont la fonction est d'échantillonner, de délivrer les "tops" pour lesquels le signal doit être numérisé et enregistré. L'opération d'échantillonnage revient à multiplier le signal continu par un peigne de Diracs. Contrairement aux premières technologies, les solutions technologiques contemporaines réalisent l'échantillonnage à la fréquence maximum du système, quelque soit la fréquence d'échantillonnage requise par l'utilisateur. Les données sont ensuite décimées (1 valeur retenue toutes les N valeurs) ou reéchantilonnées pour être formatées suivant la fréquence d'échantillonnage requise. Le bloqueur a pour fonction de maintenir, pendant un temps très court dt, le seuil électrique de l'entrée analogique au niveau que le signal possède à l'instant t synchronisé par l'échantillonneur. Le laps de temps pendant lequel le signal est maintenu constant par le bloqueur est nécessaire pour que le CAN convertisse le niveau analogique en un code binaire. Ce délai de blocage est classiquement pris comme égal au temps entre deux échantillons.

temps

Représentation d’un signal échantillonné et bloqué (à l’ordre 1 : blocage de même durée que le pas d’échantillonnage.

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Quantification, Convertisseur Analogique Numérique( CAN) : Le Convertisseur Analogique Numérique (CAN) permet de coder numériquement des seuils électriques analogiques issus du bloqueur afin de réaliser le stockage des données en mémoire informatique. Le CAN peut être identifié par sa fonction de transfert (non linéaire) qui dépend du nombre de bits de codage et de l'intervalle de tension appelé quantum entre 2 codages consécutifs. Pour une entrée analogique de dynamique A (comprise entre 0 et A volt ou entre -A/2 et A/2) et un codage sur n bits le quantum est :

q  An 2 pour n=3 bits et A=10 volts le quantum est de 1,25 volt.

Codage sur 3 bits

q

111 110 101 100 011

Fonction de Transfert d'un CAN

010 001 000

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

7.5

8.75

10

Tension en Volt

Quelques ordres de grandeurs pour une dynamique d'entrée de 10 volts : n

q

3

1,25 V

8

40 mV

12

2,5 mV

16

0,15 mV

24

0,6 mV

32

2,3 nV !!!

La quantification est la dernière étape de la numérisation des signaux. Les tensions codées ne correspondent pas exactement au signal analogique initial, il y a un arrondi de commis pour atteindre le seuil électrique de numérisation le plus proche défini par le CAN. A partir de la suite de nombres obtenus représentant le signal numérique il n'est pas possible de reconstruire le signal originel sans erreur ; tout se passe comme si on avait introduit un bruit perturbant la reconstruction du signal : c'est le bruit de quantification.

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Pour tout instant kT l'erreur de quantification e(kT) est définie par la différence entre la valeur exacte du signal v(kT) et le résultat de la numérisation vq(kT) Cette erreur est de moyenne nulle et la puissance du bruit de quantification est alors la variance du signal e(t)=v(kT)-vq(kT). Si le quantum est suffisamment faible pour considérer la densité de probabilité (ddp) constante entre deux pas :





q2  E e2(kT) 

q2 12

Le rapport signal sur bruit est alors de la forme :

dB  6n  4,77 Le rapport signal sur bruit augmente donc de 6dB à chaque fois que l'on allonge d'un bit la résolution du quantificateur !

A

t

Les CNA : Convertisseur Numérique, Analogique joue également un rôle important pour la génération d'excitations physiques réelles (émission d'un son, pilotage d'un pot vibrant, d'un vérin …). Les CNA sont aussi à la base de la technologie de certains CAN qui fonctionne par comparaisons successives entre le signal du bloqueur et la sortie d'un CNA. Lorsque l'échantillonneur ne possède pas de bloqueur, la dynamique de comparaison doit être rapide de façon à posséder une bande passante supérieure à la bande passante du signal.

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Filtre Anti Repliement, FAR, Critère de Shannon, Anti aliasing filter : Le filtre anti repliement est un filtre passe bas analogique qui a pour fonction d’assurer le respect de critère de Shannon selon lequel un signal doit être numérisé avec une fréquence d’échantillonnage au moins 2 fois plus élevée que la fréquence la plus haute contenue dans le signal. Les filtres réalisables ayant toujours une bande de transition entre la bande passante et la bande coupée, le filtre anti repliement des systèmes d’acquisition a classiquement une fréquence de coupure à Fe/2,56 avec Fe la fréquence d’échantillonnage. Le domaine d’interprétation ou domaine de lecture se limite à la bande de fréquence 0-Fe/2,56. Fc=Fe/2,56

Fe/2

Fe

Gabarit du filtre analogique anti-repliement 1a

2b

2a

1b

Le spectre fréquentiel d’un signal réel échantillonné est toujours symétrique autour de Fe/2. - Sur l’exemple de la figure précédente, le signal d’origine possède une représentation fréquentielle décrite par les formes 1a et 2a. - La numérisation du signal sans FAR conduit à une représentation décrite par les formes 1a, 2b, 2a, 1b. - La numérisation du signal avec FAR conduit à une représentation décrite par les formes 1a, 1b uniquement. Le Domaine d’interprétation n’est alors plus pollué par le repliement spectral de 2a en 2b (2b est le spectre fantôme de 2a). D’un point de vue analytique l’échantillonnage revient à multiplier le signal par un peigne de diracs. De plus la numérisation sur un nombre fini de point revient à multiplier le signal échantillonné par une fonction porte. Ces deux multiplications deviennent des produits de convolution dans le domaine fréquentiel (par Transformée de Fourier) avec les Transformées de Fourier du peigne de diracs et de la fonction porte qui sont respectivement un autre peigne de diracs et un sinus cardinal. Par exemple : Un signal harmonique

x(t )  cos(2 0t ) dont la TF est Xˆ ( f )  1  (   0 )   (   0 ) 

Devient après échantillonnage et fenêtrage :

2

xef (t )   t . cos( 2 0 t ). 

1 Te Fe

(t )

   sin c  f  0  nFe   Fe.  n Soit dans le domaine fréquentiel : X EF ( f )      2   sin c  f  0  nFe   n   

Domaine temporel

Domaine fréquentiel (partie réelle)

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3.6. Descripteurs scalaires en vibrations

Valeur moyenne Pour les signaux continus infinis :

Pour les signaux continus finis :

  1  U 0  lim    u (t )  dt  T  T  T   2 

1 U 0   u (t )dt T 0

T 2

Pour les signaux discrets :

T

U0 

1 N

N

 u[n] n 1

La valeur moyenne c’est aussi l’offset, composante continue, la valeur du spectre à 0Hz.

Valeur efficace La valeur RMS (Root Mean Square) est aussi appelée valeur efficace. Pour les signaux continus infinis : Pour les signaux continus finis :

   1  2  lim  u (t )  dt    T   T T  2   T 2

U RMS

Pour les signaux discrets :

T

U RMS

1 2   u (t )  dt  T 0

U RMS 

1 N

N

  u[n]

2

n 1

Attention : pour certaines technologie de capteurs (piézoélectrique) ou certains conditionnement électrique des signaux (filtrage passe haut ou couplage AC), la composante continue du signal n’est pas prise en compte : la valeur moyenne est alors nulle et la valeur efficace est modifiée. Dans la plupart des cas la valeur efficace est utilisée comme descripteur des comportements dynamiques, aussi il est fréquent que cette valeur soit établie en couplage AC (et non pas DC) de façon à ne pas prendre en compte la composante statique. Couplage DC Couplage AC

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Facteur de crête Rapport entre la valeur de crête absolue et la valeur efficace :

FC 

U MAX U RMS

Energie d’un signal : Ex   x 0 Egalité de PARSEVAL-PLANCHEREL (Energie du signal) 

 

2

E f   f(t) dt  f () d 2





Puissance d’un signal : T

1 f(t) 2dt Pf Tlim  2T  T

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3.7. Actionneurs et excitateurs en vibrations

Marteau de choc http://www.bksv.fr/

Pot vibrant

http://www.bksv.fr/

Patch Piézoélectrique http://www.pi-usa.us/ http://www.cedrat.com/

Stack piézoélectrique http://www.pi-usa.us/ http://www.cedrat.com/

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Vérin hydraulique

http://www.mts.com

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Capabilité des actionneurs

Les performances indiquées sur ce graphique sont fournies à titre indicatif. Chaque type d’actionneur possède toute une gamme de produit permettant de couvrir de plus grande plage de capabilité. Exemple : Les pots vibrant (excitateurs électrodynamiques) jugés ici avec des performances moyennes en amplitude de force peuvent en fait être réalisés, dans certaines applications pour exercer plusieurs centaines de kN. Dans ce cas ces pots vibrant possèdent alors des encombrements et une masse relativement importants (instalation de plusieurs m3 et de plusieurs tonnes) contrairement à une solution hydraulique de même performance mais beaucoup plus compacte et légère. Capacité des actionneurs à réaliser les signaux

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4. Amortissements Les systèmes mécaniques réels sont naturellement amortis.

L’amortissement intrinsèque volumique Les matériaux qui constituent les pièces réelles possèdent un amortissement intrinsèque. Cet amortissement est très faible pour les matériaux métalliques classiques ( de l’ordre ou inférieur à 0,1 %) alors qu’il peut atteindre plusieurs % ou dizaines de % pour des matériaux tels que les caoutchoucs.

L’amortissement de nature surfacique Dans le cas de 2 solides, les surfaces en contacts dissipent de l’énergie en glissant l’une sur l’autre. Le modèle de Coulomb est souvent retenu pour décrire ce type de comportement, toutefois d’autres modèles tels que Dahl, Lugre ou Frozen proposent des rhéologies qui prennent en compte les aspects dynamiques de la dissipation contrairement au modèle de Coulomb. La dissipation d’énergie apparait également par micro glissement lorsque les structures vibrent mais qu’aucun mouvement n’est identifié entre les 2 surfaces. Le mécanisme de dissipation se situe alors à l’échelle des défauts géométriques des surfaces en contact tels que la rugosité.

L’amortissement d’origine fluide La dissipation provient alors de l’écoulement d’un fluide incompressible ou compressible. Suivant le type d’écoulement, l’amortissement induit sera de nature linéaire (amortisseur visqueux classique C tel que F=C.V avec V la vitesse de déplacement) ou de nature non linéaire (aérodynamisme, turbulences …avec des forces qui son parfois exprimées comme proportionnelles à une puissance de la vitesse). Il est à noter qu’en modélisation l’amortissement est souvent représenté par un amortisseur visqueux linéaire C alors que technologiquement, pratiquement aucun système mécanique réel ne suit ce type de comportement dissipatif (à l’exception des forces électromagnétiques).

L’amortissement d’origine électromagnétique Les forces F exercées par les champs magnétiques et les courants de Foucault sont classiquement modélisées (à juste titre) comme proportionnelles à la vitesse : F=C.V avec V la vitesse de déplacement.

L’amortissement d’origine viscoélastique. Ce type d’amortissement possède des caractéristiques qui évoluent en fonction de la fréquence dans une représentation de Bode. Cette modélisation est souvent envisagée pour des systèmes mécaniques ayant des composants en matériaux polymères (suspension en caoutchouc, pièces en plastique …). Un premier type de modèle viscoélastique consiste à donner des paramètres rhéologiques qui dépendent de la fréquence. Cette approche pragmatique ne peut être appliquée lorsque les systèmes étudiés sont non linéaires ou que l’étude doit être conduite dans le domaine temporel ou qu’il s’agit de calculer des modes propres. 2 autres solutions de modélisation plus génériques et polyvalentes sont conseillées : les modèles de Maxwell généralisés et les modèles à base de dérivées fractionnaires. Toutefois, si ces modèles sont plus réalistes, ils n’en restent pas moins délicats dans leur mise en œuvre et plus couteux numériquement que la plupart des modèles évoqués ici.

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A propos des systèmes conservatifs L’étude des systèmes conservatifs associés (sans amortissement) n’ont pas de réalité physique mais présentent un intérêt pour l’étude des comportements dynamiques dés lors que les modèles sont décrits dans un domaine spectral (Transformée intégrales ou Discrètes : Laplace, Fourier, Z …). L’étude des systèmes conservatifs reste très délicate dans le domaine temporel, tout particulièrement lorsque la résolution est conduite par des méthodes pas à pas comme c’est le cas dans des outils de simulations tels que ADAMS. Ce type de simulation conduit classiquement à des résultats faux. C’est la raison pour laquelle il est toujours souhaitable d’introduire un peu d’amortissement ou une dissipation d’énergie quelconque dans un système : la résolution numérique pas à pas conduit plus certainement à des résultats corrects et le système est souvent modélisé de façon plus réaliste. Dans le cas ou la simulation numérique pas à pas est conduite sur des systèmes non amortis ou très faiblement amortis, des méthodes d’intégration spécifique doivent être employées (implicites). (Exemple : Dans l’environnement Matlab la fonction « ode23t » est recommandée pour ce type de système).

Le Grand Bazard de l’amortissement Selon le domaine d’activité concerné (caoutchouctiers, spatial..), selon la nature de l’amortissement (élécromagnétique, sec …), selon le type de représentation graphique retenu (Bode, temporelle, …), selon le type de problème étudié (Analyse Modale, caractérisation de rigidité dynamique, …), … la notion d’amortissement peu prendre des sens très différents (… sans aller jusqu’au domaine financier). Sous un même terme ; « l’amortissement », plus d’une vingtaine de définitions sont proposées dans la littérature. Ce chapitre a pour but de rappeler les définitions les plus usitées et les correspondances entre ces définitions. Les techniques de mesure de l’amortissement seront également évoquées dans le chapitre sur la transformée de Hilbert.

Amortissement visqueux La rhéologie de l’amortisseur visqueux C se représente par le schéma suivant : La Force qu’il oppose au mouvement est du type : F (t )  C.x (t ) soit dans le domaine fréquentiel : Fˆ (f )  2 j  f .C.xˆ (f ) . Bien que le plus utilisé ce modèle reste peu réaliste au regard des comportements dissipatifs réels. Pour une amplitude de déplacement donné, la force résultante augmente linéairement avec la fréquence ce qui ne correspond à aucun système mécanique réel.

Amortissement structural L’amortissement structural As se décrit dans le domaine fréquentiel sous forme d’une partie imaginaire constante souvent considérée comme un pourcentage d’une partie élastique. La force qu’il oppose au mouvement est du type : Fˆ (f )  j .As.xˆ (f ) . Il n’existe pas de représentation temporel réelle causal de ce type d’amortissement ce qui constitue sont principal défaut.

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Amortissement de Rayleigh L’amortissement de Rayleigh appliqué à un système à N DDL conservatif représenté par une matrice de masse M et une matrice de raideur K est défini par : C=K+M Ce formalisme bien que présentant un intérêt particulier dans la résolution des problèmes de dynamique (analyse modale) reste une répartition arbitraire de l’amortissement. Un poids important () sur la matrice de raideur atténue les comportements dynamiques à basse fréquence (de façon hyperbolique). Un poids important sur la matrice de masse atténue les modes propres dans les hautes fréquences (de façon linéaire en fonction de la fréquence).

Amortissement modal L’amortissement modal i du mode i est défini tel que les pulsations propres complexes du mode i sont définie par

ri1, 2  i.i0  ji0 1  i 2 avec i0 la ième pulsation propre du système conservatif associé. i, i0 et le vecteur propre associé Vi sont les paramètres modaux du mode i.

Amortisseur à frottement sec, Dry Friction Damper : Le modèle de frotteur sec le plus répandu est le celui de Coulomb dont la force tangentielle est reliée à la force normale par le coefficient de frottement (en cas de glissement) : T=N.sign(v) Sa rhéologie est représentée par : La force dépendant du signe de la vitesse (v) le modèle est de type non linéaire. Associé à un système masse ressort sa réponse dynamique en oscillations libres est caractérisée par une décroissance linéaire de l’amplitude des oscillations par oppositions aux amortissements dits linéaires (visqueux …) dont la décroissance suit une exponentielle négative.

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Quelques modèles en viscolélasticité

Le modèle de zener est un modèle de maxwell au premier ordre avec un ressort en parrallèle. L’opérateur de dérivation fractionnaire est définit par : t   1 d f( u ) D f ( t )   f ( t )  du ( 1   ) dt ( t  u )  t 0



Soit dans le domaine fréquentiel :

d  Fourier    j   dt

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Tabl€au des amorti$sements Quelques correspondances sont rappelées dans le tableau suivant :

Avec :     Q  f

: Taux d’amortissement : facteur de perte : Angle de perte : Décrément logarithmique : Facteur de qualité (facteur d’amplification) : Temps de relaxation : Bande passante (-3dB)

Damping ratio loss factor loss angle

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5. Vibrations (et systèmes) non stationnaires La notion de stationnarité d’un signal est souvent très relative et étroitement conditionnée par la durée d’observation des réalisations du signal. Les 3 représentations suivantes sont issues d’un même signal (sweep sinus, bruité, modulé en amplitude) observé sur des durées différentes.

-

La représentation de gauche est considérée non stationnaire car le signal peut être modélisé comme un sinus bruité dont la fréquence et l’amplitude croissent au court du temps. La représentation centrale peut être considérée stationnaire (identifiable à un sinus bruité) La représentation de droite est considérée non stationnaire car le signal semble être un bruit (stationnaire) mais dont la moyenne évolue lentement au cours du temps.

5.1. Modulations Les phénomènes de modulations se rencontrent souvent dans l’étude des vibrations. Ils sont particulièrement courants en machines tournantes. Ils se traduisent par des phénomènes de ronronnement (modulation d’amplitude) de sirènement (modulation de fréquence) très identifiables à l’écoute. Les modulations sont également employées dans la génération de signaux d’excitations spécifiques.

Modulation d’amplitude En mécanique vibratoire la modulation d’amplitude apparait fréquemment, même sur des structures non tournantes. Par exemple, dans le cas d’une structure possédant 2 fréquences propres voisines f1 et f2 écartées de 2f=f2-f1 et centré en f0=(f1+f2)/2 le signal résultant apparait dans une représentation temporelle comme un signal sinusoïdal à f0 modulé en amplitude par une fréquence f. Ce phénomène est également appelé phénomène de battement. En transmission de donnée La modulation d'amplitude consiste à faire varier l'amplitude d'un signal de fréquence élevée en fonction d'un signal de basse fréquence. Ce dernier est celui qui contient l'information à transmettre (voix, par exemple, recueillie par un microphone), le premier étant le signal porteur (qu'on appelle porteuse). Le principe est simple : il repose sur la multiplication du signal porteur par le signal de basse fréquence (signal modulant) assujetti à un décalage (offset) judicieusement choisi. Modulation du signal Supposons que le signal modulant soit périodique, de pulsation ω=2πF : La porteuse est un signal de fréquence bien plus élevée. Notons-la : Techniquement, la modulation s'effectue grâce à des circuits électroniques spécifiques : un multiplieur (de constante multiplicative k) et un additionneur :

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Le signal de sortie est :

Posons : m est appelé indice de modulation. On a alors comme signal de sortie : On voit sur cette expression le terme constant de décalage (ici ramené à 1, mais en fait égal à Vp). L'indice de modulation devant rester inférieur (ou égal) à 1, sous peine de "sur-modulation" (voir ci-dessous).

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Le signal module Allure du signal Cette expression du signal de sortie peut paraître bien abstraite. Regardons donc à quoi ressemble le graphe de ce signal. Le signal de modulation vm(t) est de fréquence relativement faible :

Le signal de la porteuse vp(t) est quant à elle de fréquence élevée. Ainsi, elle sera facilement diffusable (voir le paragraphe 1.2). Son allure est la suivante :

Le signal modulé (ou signal de sortie) vs(t), a donc cette allure (dans le cas où m=1/2) :

Surmodulation Si l'amplitude du signal modulant est supérieure au décalage (ceci peut arriver si l'on ajoute un offset avant la multiplication) la valeur correspondante de m est supérieure à 1. On parle de surmodulation. Le signal résultant étant alors de la forme :

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Spectre de fréquences d’un signal modulé en amplitude Le spectre de fréquences du signal modulé est un graphe nous présentant l'amplitude de chaque composante sinusoïdale du signal. En effet, tout signal périodique pouvant être décomposé en somme de fonctions sinusoïdales, le signal modulé est une somme de signaux sinusoïdaux, bien que l'expression que nous avions trouvée soit un produit. Reprenons la et linéarisons la :

Le spectre de fréquences est le suivant:

En pratique, il arrive que la fréquence de la porteuse ne soit plus présente dans le spectre. De plus, si le signal modulé balaye une certaine plage de fréquences [fm1, fm2]. L'allure du spectre de fréquences sera la suivante :

On voit donc ici que pour que deux signaux ne se brouillent pas mutuellement, il faut que les spectres ne se superposent pas. Il faut donc espacer suffisamment les fréquences des deux porteuses.

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Démodulation Une fois le signal reçu, il va falloir le démoduler pour pouvoir l'utiliser. On suppose que le signal reçu est de la forme : Considérons le circuit suivant :

Les signaux vs(t) et v0(t) sont appliqués aux deux entrées d'un multiplieur de constante k. v0(t) est un signal dont la fréquence est synchronisée avec celle de la porteuse. Calculons U(t) :

U(t) est donc la somme de cinq signaux. U(t) va maintenant passer dans un filtre passe bande de gain nul, dont les fréquences de coupures seront choisies autour des fréquences du son audible (m). Ainsi à la sortie du filtre, toutes les composantes de fréquence trop faible ou trop élevées seront supprimées et il ne restera que le signal : On a donc le signal d'origine, l'amplitude étant différente. La démodulation est terminée ! Contraintes liées à ce type de modulation En pratique, il sera impossible d'avoir un signal v0(t) parfaitement synchrone de la porteuse. En effet, les fluctuations de la fréquence, aussi minimes soient elles vont entrainer une détérioration du signal audible, appelée fading. La correction de ce problème passe par la mise en place d'une boucle à verrouillage de phase, qui permet d'ajuster au mieux la fréquence de v0(t).

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Modulation de phase D’un point de vue mathématique la modulation de phase et la modulation d’amplitude sont des phénomènes équivalents, seul le point de vue de l’observation change. En mécanique vibratoire les phénomènes de modulation de phases et modulation de fréquences sont observés pour des machines tournantes présentant des variations de la vitesse de rotation. Par exemple, un moteur électrique soumis à un couple variable présente des modulations de fréquence autour de sa fréquence de rotation nominale. Pour ce type d’évolution relativement lente (et parfois de grande amplitude) au regard de la fréquence de rotation, on parlera alors plus facilement de modulation de fréquence que de modulation de phase. Lorsque la modulation est plus rapide mais d’amplitude plus faible il est fréquent de parler de modulation de phase. Par exemple, dans le cas des moteurs à combustion interne à mono piston dont le vilebrequin possède une vitesse de rotation instantanée qui varie au cours d’un même cycle (à-coups de couple lors des explosions et àcoups de couple inversés lors des compressions) il est possible de décrire le phénomène non pas en modulation de la vitesse de rotation mais comme des écarts (modulation) de phase autour d’une vitesse de rotation nominale. En transmission de donnée La modulation de phase ou MP ou PM est un mode de modulation consistant à transmettre un signal par la modulation de la phase d'un signal porteur (porteuse). Cette modulation est non linéaire. Soit une porteuse : La phase instantanée de la porteuse est donnée par : Soit un signal modulant : Moduler en phase le signal revient à effectuer l'opération suivante : Le signal modulé s'écrit : Cas d'un signal sinusoïdal modulation de phase Soit un signal modulant sinusoïdal : Le signal modulé devient alors : On remarque que

φ(t) varie entre φ(t) − Δφ et φ(t) + Δφ, où

Δφ représente la déviation maximale de phase. On notera le lien fort existant entre la modulation de phase et la modulation de fréquence. Ainsi sur l'illustration, un signal décroissant produit un écart de fréquence alors qu'un signal croissant produit un écart inverse.

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Modulation de fréquence D’un point de vue mathématique la modulation de phase et la modulation d’amplitude sont des phénomènes équivalents, seul le point de vue de l’observation change. En mécanique vibratoire les phénomènes de modulation de phases et modulation de fréquences sont observés pour des machines tournantes présentant des variations de la vitesse de rotation. Par exemple, un moteur électrique soumis à un couple variable présente des modulations de fréquence autour de sa fréquence de rotation nominale. Pour ce type d’évolution relativement lente (et parfois de grande amplitude) au regard de la fréquence de rotation, on parlera alors plus facilement de modulation de fréquence que de modulation de phase. Lorsque la modulation est plus rapide mais d’amplitude plus faible il est fréquent de parler de modulation de phase. Par exemple, dans le cas des moteurs à combustion interne à mono piston dont le vilebrequin possède une vitesse de rotation instantanée qui varie au cours d’un même cycle (à-coups de couple lors des explosions et àcoups de couple inversés lors des compressions) il est possible de décrire le phénomène non pas en modulation de la vitesse de rotation mais comme des écarts (modulation) de phase autour d’une vitesse de rotation nominale. En transmission de données La modulation de fréquence ou MF ou FM est un mode de modulation consistant à transmettre un signal par la modulation de la fréquence d'un signal porteur (porteuse). On parle de modulation de fréquence par opposition à la modulation d’amplitude. En modulation de fréquence, l'information est portée par une modification de la fréquence de la porteuse, et non par une variation d'amplitude. La modulation de fréquence est plus robuste que la modulation d'amplitude pour transmettre un message dans des conditions difficiles (atténuation et bruit importants). Pour des signaux numériques, on utilise une variante appelée frequency-shift keying ou FSK. La FSK utilise des fréquences discrètes. Exemples les modems (modulateur-demodulateur) bas débit utilisent la modulation de fréquence ; les téléphones analogiques utilisent la modulation de fréquence pour composer le numéro : chaque chiffre est codé par une combinaison de deux fréquences pour former un code DTMF. Il s'agit d'une modulation FSK qui utilise plus de deux fréquences (MFSK, multiple frequency-shift keying) ; les radios de la « bande FM » émettent, comme leur nom l'indique, en modulation de fréquence sur la bande VHF II. On suppose que le signal à transmettre est : avec la restriction suivante sur l'amplitude : La porteuse sinusoïdale est : où fp est la fréquence de la porteuse en hertz et A une amplitude arbitraire. Le signal modulé en FM est le suivant :

où f(t)

= fp + fΔxm(t) Dans cette équation, f(t) est la fréquence

instantanée de l'oscillateur et fΔ la déviation en fréquence, qui

correspond à la déviation maximale par rapport à la fréquence de la porteuse fp, en supposant que limité à l'intervale [-1; +1].

xm(t) est

Bien qu'à première vue on puisse imaginer que les fréquences soient limitées à l'intervalle fp ± fΔ, ce raisonnement néglige la distinction entre fréquence instantanée et fréquence spectrale. Le spectre harmonique d'un signal FM réel possède des composantes qui vont jusqu'à des fréquences infinies, bien qu'elles deviennent rapidement négligeables.

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De façon simplifiée, le spectre d'une porteuse sinusoïdale modulée en FM par un signal sinusoïdal peut être représenté par une fonction de Bessel, ce qui permet de modéliser formellement l'occupation spectrale d'une modulation FM. De façon approchée, la règle de Carson indique qu'à peu près toute la puissance (~98%) d'un signal modulé en fréquence est comprise dans la bande de fréquences : où fΔ est la déviation maximale de la fréquence instantanée supposant que

f(t) à partir de la fréquence de la porteuse fp (en

xm(t) est dans l'intervalle [-1; +1]), et fm est la plus grande fréquence du signal à transmettre

xm(t). Note : la modulation de fréquence peut être vue comme un cas particulier de la modulation de phase où la modulation en phase de la porteuse est l'intégrale temporelle du signal à transmettre. Dans l'usage courant, la fréquence de modulation est toujours inférieure à la fréquence porteuse, mais ne pas suivre cette règle peut donner des résultats intéressants, notamment en synthèse sonore. Cas d'un signal sinusoïdal La modulation d'une porteuse sinusoïdale par un signal sinusoïdal de fréquence moindre peut s'écrire ainsi :

A : amplitude du signal : indice de modulation En faisant varier

β,

: fréquence porteuse

: fonction de Bessel de première espèce

: fréquence de modulation

: rang harmonique de fm,

on fait varier l'intensité de la modulation, donc l'écart entre la fréquence la plus

grande et la plus petite, qui alternent à la fréquence fm. Spectre de fréquences d’un signal modulé en phase La représentation fréquentielle d’un signal modulé en fréquence apparait sous forme d’une série de diracs centrés sur la fréquence de la porteuse et espacés de la fréquence modulante dans le cas d’un signal modulé par une seule fréquence. Sur les figures suivantes il s’agit d’un signal dont la porteuse à 25 Hz est modulée par un signal à 3Hz.

Pour des modulations plus complexes ou avec plusieurs fréquences modulantes des outils d’analyse plus élaboré deviennent nécessaire (démodulation, analyse cepstrale, …).

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5.2. La transformée de Hilbert En vibration la transformée de Hilbert représente un outil simple d’utilisation et souvent très efficace pour démoduler les signaux ; que la modulation soit en amplitude phase ou fréquence. C’est également un outil performant pour la détection d’enveloppe (démodulation d’amplitude).

Définition et proprieties

Transformée de Hilbert, en rouge, d'un créneau, en bleu En mathématiques et en théorie du signal, la transformée de Hilbert, ici noté , d'une fonction à variable réelle, , est obtenue par convolution du signal Hilbert

avec

, ce qui donne

. De plus, la transformée de

peut être interprétée comme la sortie d'un système linéaire invariant avec comme entrée

, qui

est un système de réponse impulsionnelle . C'est un outil mathématique très utilisé en théorie du signal pour décrire l'enveloppe complexe d'une grandeur réelle modulée par un signal (voir plus loin pour plus d'explications). La transformée de Hilbert tient son nom du mathématicien David Hilbert. Voici la définition exacte de la transformée de Hilbert :

Où Et

vp étant l'abréviation de valeur propre. Il s'ensuit que la transformation de Hilbert d'un signal fréquentiel donné par la transformée de Fourier : , où désigne la transformée de Fourier de h, i le nombre imaginaire, est la fréquence angulaire, et

qui est souvent appelé fonction de signe. Ainsi : , La transformée de Hilbert a pour effet de tourner de +90° la composante de fréquence négative de la composante de fréquence positive. -67 -

et de −90°

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Transformée de Hilbert inverse On peut remarquer que

. Donc si on multiplie l'équation précédente par

on obtient :

où la transformée de Hilbert inverse apparait clairement :

Exemples de transformées de Hilbert Signal

Sinus

fonction

transformée de Hilbert

cardinal

porte

impulsion de Dirac

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Modèle à bande étroite De nombreux signaux peuvent être modélisés par le produit d'un signal harmonique à support borné, d'une "porteuse" sinusoïdale :

Lorsque

n'a pas de composante fréquentielle au delà de la fréquence de la porteuse,

, et

Hz, alors :

Donc, la transformée de Hilbert peut être simplement vue comme un circuit qui produit un déphasage de 90° de la fréquence de la porteuse. De plus :

On peut alors reconstruire la porteuse. Puis le message peut être extrait de cohérente.

par une démodulation

Représentation analytique Une représentation analytique d'un signal est définie ainsi à l'aide de la transformée de Hilbert : Par exemple pour le modèle à bandes étroites, la représentation analytique est :

Cette opération complexe hétérodyne enlève les composantes de fréquence négative de . Dans ce cas, la partie imaginaire du résultat est la transformée de Hilbert de la partie réelle. C'est donc une manière indirecte de former une transformée de Hilbert. Considérations pratiques La fonction h avec h(t) = 1/(π t) est un filtre non causal et donc ne peut pas être faite telle quelle, si s est un signal dépendant du temps. Si s est une fonction à variable non temporelle, par exemple des variables spatiales, la noncausalité ne doit pas être un problème. Le filtre est de plus à support non borné, ce qui peut être un problème dans certaines applications. Un autre problème peut apparaître du fait du comportement à fréquence nulle, ce qui peut être évité en s'assurant que s ne contient pas de composante continue. Une implémentation pratique implique dans de nombreux cas qu'un filtre à support fini, qui peut de plus être rendu causal grâce à un délai raisonnable, est utilisé pour approximer une simulation informatique. Cette approximation peut aussi impliquer que seule une plage de fréquence spécifique est sujette au changement de phase dû à la transformation de Hilbert.

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Détection d’enveloppe : démodulation d’amplitude La détection d’enveloppe est réalisée à partir du module du signal analytique. Le signal analytique xz[n] est obtenu à partir du signal originel x[n] et de sa transformée de Hilbert. La porteuse est considérée comme de fréquence très supérieure au signal modulant qui constitue l’enveloppe.

x z [n]  x[n]  j.~ x [n]  TFD 1 Gx[k ] .x[ n] est la transformée de Hilbert de

x[n] L’enveloppe

du signal est définie par

x  xz



Pour des raisons de post traitement, il est d’usage que le message modulant m(t) soit affecté d’une constante additionnelle qui le rend strictement positif.

Cette méthode est notamment utilisée pour la mesure de l’amortissement sur des signaux de réponse impulsionnelle. L’utilisation d’échelle logarithmique en ordonnée permet de mettre en évidence les enveloppes basées sur les amortissements de type visqueux, modal ou structurale qui font apparaître une droite dont la pente définit l’amortissement. Dans le cas de comportement multi modale, des techniques de filtrages basse bande pourront compléter efficacement cette technique de mesure de l’amortissement. Pour un système supposé à 1DDL sur une plage de fréquence donnée et dont la pulsation propre est o et son amortissement , la courbe enveloppe est du type :

env(t )   .e 0 .t

ce qui conduit à une pente

p sur une courbe de gain (20 log(A)) tel que

p  20.0 .Log10 (e) .

Si la pente est constante, l’amortissement est considéré linéaire.

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Mesure de fréquence instantanée : démodulation de phase et de fréquence Les démodulations de phase et de fréquence sont obtenues à partir de la phase instantanée du signal analytique xz[n]

x z [n]  x[n]  j.~ x [n]  TFD 1 Gx[k ] .x[ n] est la transformée de Hilbert de x[n]

La phase instantanée est l’argument du signal analytique :

 x  argx z [n]

Pour une porteuse de la forme

 









 

x p (t)  sin  p t la démodulation de phase d’un signal modulé de la forme

x m (t)  sin  p t  m(t) se réalise ensuite par simple soustraction de la phase instantanée de la porteuse :

m(t)  argx z [n]  p t .

 traitement, il est d’usage que le message m(t) soit affecté d’un facteur multiplicatif qui le Pour des raisons de post limite à l’intervalle [-,] lorsqu’il est transmis par modulation de phase. La fréquence instantanée du signal est obtenue par dérivation de la phase instantanée. f i (t) 

d argx z [n]. dt

Dans le cas d’un signal transmis en modulation de fréquence, la fréquence de la porteuse est soustraite à la fréquence instantanée. Pour des raisons de post traitement, il est d’usage que le message m(t) soit affecté d’un facteur multiplicatif qui le limite à l’intervalle [0,fm] avec fm 0 variance (nombre réel)

Paramètres

Support

Densité de probabilité (fonction de masse)

Fonction de répartition

Espérance

μ

Médiane (centre)

μ

Mode

μ

Variance

σ2

Asymétrie (skewness)

0

Kurtosis (non-normalisé)

3 (0 si normalisé)

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Espérance mathématique L'espérance est définie pour les variables aléatoires à valeurs dans R (ou C) de la manière suivante : Cas d'une variable discrète : Si X prend un nombre fini n de valeurs réelles : x1, x2, ..., xn avec les probabilités p1, p2, ..., pn alors

Si X prend un nombre dénombrable de valeurs réelles : x0, x1, ..., xi, .... avec les probabilités p0, p1, ..., pi, .... alors

si la série converge absolument. (la convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes) Cas d'une variable à densité de probabilité : Si X a pour densité de probabilité f alors :

à condition que cette intégrale existe. Cas d'une application mesurable sur un espace de probabilité Si X est une application mesurable de (Ω, B, p) dans

(où

R,

positive

ou

P-mesurable,

est la probabilité image).

Moments statistiques En probabilités, on définit le moment d'ordre n d'une variable aléatoire X comme : . Les moments d'une variable aléatoire X permettent de caractériser sa distribution .On définit notamment le moment d'ordre r: Le moment d'ordre un (r = 1) est l'espérance mathématique ou moyenne de la variable aléatoire X. On définit également un moment centré µ par rapport à la moyenne m d'une population. On appelle variance de la population le moment centré du second ordre. Selon Pearson, les quatre moments m,µ1,µ2 et µ4 suffisent à définir la plupart des distributions continues. Certains moments sont utiles pour caractériser une variable aléatoire: Le moment d'ordre un de la variable:

. correspond à l'espérance

Le moment d'ordre deux de la variable centrée:

. correspond à la variance.

Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite: d'asymétrie. (voir Skewness)

. correspond au coefficient

Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite: . correspond à la « gaussianité » (voir Kurtosis) En surveillance des machines tournantes le skewness et le kurtosis sont des descripteurs scalaires souvent employés car leur variation en fonction du temps est un moyen de détection précoce d’avarie. En cas de début d’avarie le signal devient non stationnaire, le vieillissement du système ne respecte plus le principe d’invariance temporelle. Les descripteurs statistiques proposés sont très sensibles aux non stationnarité des machines tournantes.

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Kurtosis En théorie des probabilités et en statistiques, l'anglicisme kurtosis, le plus souvent traduit par coefficient d'aplatissement, correspond à une mesure de l'aplatissement, ou a contrario de la pointicité, de la distribution d'une variable aléatoire réelle. C'est la seconde des caractéristiques de forme, avec le coefficient de dissymétrie. Elle mesure, hors effet de dispersion (donnée par l'écart-type), la disposition des masses de probabilité autour de leur centre, tel que donné par l'espérance mathématique, c'est-à-dire d'une certaine façon, leur regroupement proche ou loin du centre de probabilité. Définition On le définit, sous réserve que les moments impliqués existent, comme :

En français explicite, c'est le rapport entre le moment centré d'ordre 4 et le carré du moment centré d'ordre 2. Pour une distribution de probabilité quelconque, ce coefficient est compris entre 0 et +∞. Pour une distribution de probabilité suivant le loi normale, ce coefficient d'aplatissement vaut 3. Un coefficient d'aplatissement élevé indique que la distribution est plutôt pointue en sa moyenne, et des queues de distribution épaisses (fat tails en anglais). Ceci s'intuite par l'approche alternative suivante : en effet, une autre manière d'exprimer ce coefficient est de considérer les contributions élémentaires au moment d'inertie de la variable aléatoire ; notons cette dernière

X.

Cela revient à s'intéresser à la distribution de

(notations classiques). En moyenne ce paramètre vaut 1, par construction. Son moment d'ordre 2 est le coefficient d'aplatissement. Comme son espérance mathématique est fixée, son moment d'ordre 2 ne peut évoluer que par compensation : pour l'augmenter, il faut de l'inertie en position éloignée, contrebalancée par de l'inertie proche. Du point de vue typologie, si β2 > 3, on parle de distribution leptokurtique. À l'opposé, un coefficient d'aplatissement proche de zéro indique une distribution relativement aplatie pour une même variance. Si β2

< 3, on parlera de distribution platikurtique. Et pour boucler cet aspect de typologie, si β2 = 3, on parle de distribution mésokurtique. L'excès d'aplatissement On normalise parfois le coefficient d'aplatissement en lui soustrayant la valeur correspondant à la loi normale centrée réduite, à savoir 3 : . Cet excès d'aplatissement, kurtosis excess en anglais, est source d'ambiguïté. Avec cette nouvelle acception, un excès d'aplatissement positif correspond à une distribution pointue et un excès d'aplatissement négatif à une distribution aplatie. Un excès d'aplatissement nul correspond à une distribution quasi-normale, d'autant mieux qu'elle sera symétrique (coefficient d'assymétrie proche de 0).

Skewness Coefficient de dissymétrie (Skewness) Il est calculé à partir du cube des écarts à la moyenne et mesure le manque de symétrie d'une distribution.

Un coefficient positif indique une queue de distribution étalée vers la droite. Un coefficient négatif indique une queue de distribution étalée vers la gauche. Dans le cas d'une distribution normale, par symétrie on a: β1 = 0

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7.2. Les fenêtres d’apodisation Position du problème L’objectif principal (et quasi unique) des fenêtres d’apodisation est d’améliorer la lisibilité des représentations fréquentielles. Un petit panel non exhaustif de fenêtres couramment utilisées est traité dans ce chapitre. (Pour plus d’information, voir cours de Traitement du signal) Nous avons vu précédant sur la théorie de l’échantillonnage qu’un signal analogique était numérisé pour être stocké sous forme d’un fichier de points (vecteurs). Cette opération revient à multiplier le signal temporel par un peigne de diracs et par une fonction porte. Dans le domaine fréquentiel la multiplication par la fonction porte (qui limite dans le temps la durée d’acquisition et donc la taille du fichier à stocker) revient à réaliser un produit de convolution entre la TF du signal initial et un sinus cardinal. Le sinus cardinal a pour effet de représenter une raie spectrale initialement pure par un lobe (principal) dont la largeur (2/T) dépend de la durée d’acquisition T. De plus des lobes secondaires apparaissent au voisinage du lobe principal : la lecture spectrale du signal est donc brouillée par la fonction porte qui est la fenêtre d’apodisation par défaut lors de l’acquisition d’un signal. Comme nous allons le voir par la suite, cette première fenêtre peut être substituée par d’autres formes de fenêtres qui améliorent la lisibilité spectrale des signaux : le choix d’une fenêtre d’apodisation est défini par les objectifs de lisibilité du signal étudié dans le domaine fréquentiel.

Propriétés et performances des fenêtres Les fenêtres sont définies par :

w[n]  0  n  0...N  1 x w [n]  x[n].w[n]    x w ( f )  x ( f )  w( f )

Remarques : A l’exception de la fenêtre rectangulaire qui préserve le signal dans sa forme initiale à l’intérieur de la fenêtre, toutes les autres fenêtres déforment le signal dans le domaine temporel en affectant à chaque point un poids différent. Les fenêtres s’appliquent dans le domaine temporel par une multiplication scalaire avec le signal ce qui revient à un produit de convolution dans le domaine fréquentiel. (Pour les fonctions de transfert (et les filtres plus particulièrement), c’est le contraire : un filtre agit dans le domaine temporel par un produit de convolution entre le signal x(t) et le noyau h(t) ce qui revient à un produit scalaire dans le domaine fréquentiel). La performance d’une fenêtre est principalement définie par 2 paramètres : La largeur du lobe principal de la fenêtre (qui introduit une incertitude dans la résolution spectrale) La remontée des lobes secondaires (qui font apparaître des raies d’amplitude non nulle au voisinage de la raie initiale) La fenêtre idéale (non réalisable) posséderait une largeur de lobe principal nulle et des lobes secondaires inexistants. Aucune fenêtre n’est idéale : le choix de la fenêtre est déterminé en fonction de la nature des signaux observés et des informations qui doivent être privilégiées dans l’analyse spectrale du signal.

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Illustration de la résolution fréquentielle des fenêtres : pouvoir séparateur Amplitudes

Fréquences

Le signal initial est composé par l’addition de deux sinusoïdes (fréquences pures) de fréquences voisines et d’amplitudes identiques. La première fenêtre présente un meilleur pouvoir séparateur que la seconde et permet la distinction des deux fréquences voisines. La largeur du lobe principal, donc la durée d’acquisition, est déterminante dans le pouvoir séparateur. Illustration du pouvoir de détection de raies Amplitudes (échelle log)

Fréquences

Le signal initial est composé par l’addition de deux sinusoïdes (fréquences pures) de fréquences voisines et dont l’amplitude de la deuxième composante est 1000 fois inférieure à la première. La première fenêtre présente un meilleur pouvoir de détection que la seconde. Elle permet la détection d’une composante du signal ayant une très faible amplitude. La remontée des lobes secondaires est déterminante dans le pouvoir de détection. Notons que dans l’exemple présenté la largeur des lobes secondaires est identique pour les deux fenêtres alors que la remontée des lobes secondaires diffère entre les deux fenêtres.

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Les fenêtres les plus courantes et leurs applications industrielles Dans la suite de ce paragraphe T défini la durée de la fenêtre.

Rectangulaire (transient, boxcar, …) Définition : W(t)=1 Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

2

10

0

1.8

1.6 10

-1

1.4 1.2

1

10

-2

0.8 0.6 10

-3

0.4 0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10

-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Largeur de lobe principal : 2/T Rapport entre le premier lobe secondaire et le lobe principal : 22 % soit -13 dB Applications industrielles : La fenêtre rectangulaire présente 2 grandes classes d’application : a – lorsque sa largeur est égale à la durée totale d’acquisition, elle est particulièrement bien adaptée à l’analyse des signaux dont la période est PARFAITEMENT CONNUE : c’est le cas lorsque l’excitation d’un système est réalisée par un générateur de signaux numériques avec des signaux de type sinus ou périodiques ou pseudo aléatoires ou aléatoires périodiques. LA LARGEUR DE LA FENETRE DOIT IMPERATIVEMENT COMPRENDRE UN NOMBRE ENTIER DE PERIODES DU SIGNAL ETUDIE. Prendre un nombre non entier de périodes peut conduire à un biais de résolution très important. Exemples : analyse modale des ailes d’avions excitées par des excitateurs électrodynamiques pilotés par des générateurs de signaux numériques. b – lorsque le point de départ et la durée de la fenêtre sont paramétrables au sein d’un bloc d’acquisition, la fenêtre rectangulaire est aussi appelée « transient » ou « transitoire court ». Elle s’applique particulièrement dans l’étude des signaux d’excitation de type impulsion ou choc. La fenêtre est alors calée sur la courte durée du choc afin de réduire le rapport signal sur bruit en excluant de l’analyse les zones temporelles avant et après le choc.

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Hanning

 2t  w(t )  1  cos    T 

Définition :

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

1

10

0

0.9

0.8 10

-1

0.7

0.6

0.5

10

-2

0.4

0.3 10

-3

0.2

0.1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10

-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Largeur de lobe principal : 4/T Rapport entre le premier lobe secondaire et le lobe principal : 2,67 % soit -31 dB Applications industrielles : Tous les signaux dont la période n’est pas connue parfaitement : machine tournantes, excitations aléatoires et d’un point de vue général c’est la fenêtre à utiliser par défaut lorsque aucune des propriétés connues du signal ne permet de faire un autre choix de fenêtre. Cette fenêtre est classiquement utilisée en analyse spectrale où les représentations fréquentielles des signaux sont issues non pas d’un seul bloc spectral mais de plusieurs blocs dont on représente la moyenne des spectres afin d’améliorer (augmenter) le rapport signal sur bruit. Les blocs peuvent être traités avec la fenêtre de hanning. Les blocs peuvent être pris contigus (le début d’un bloc correspond à la fin du précédant sans discontinuité du domaine temporel) ou avec chevauchement (overlap). Le taux de recouvrement est défini comme le rapport entre le domaine temporel commun à deux fenêtres consécutives et la durée totale d’une fenêtre (d’un bloc). Cette technique présente l’avantage de conduire plus rapidement à un résultat convergent en analyse spectrale. Pour une même durée d’acquisition un plus grand nombre de blocs est traité lorsqu’il y a chevauchement. La durée totale d’acquisition en chevauchement est définie par : T=[(1-Ch)(K-1)+1]N.dt Avec : :Ch : taux de recouvrement K : Nombre de blocs traités N : Nombre de points par blocs Dt : période d’échantillonnage (1/Fe)

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Intuitivement, par observation du comportement des différentes fenêtres, nous remarquons que les discontinuités sur une fenêtre (ou sur ses dérivées) induisent des remontées de lobes secondaires importantes. Si la « progressivité » de la fonction permet de limiter la remontée des lobes secondaires, elle présente l’inconvénient d’introduire une distorsion importante du signal dans le domaine temporel. Une bonne fenêtre devrait donc avoir des bords « progressifs » pour limiter les lobes secondaires et une partie centrale constante pour ne pas distordre le signal. Cette démarche est exactement celle poursuivie dans la technique de chevauchement des fenêtres de Hanning. En prenant un chevauchement Ch=(n-1)/n avec n entier supérieur à 1,. la pondération équivalente au chevauchement des fenêtres de hanning conduit à affecter un poids quasi constant à tous les points de la partie centrale des acquisitions. Pour cette raison les chevauchements les plus judicieux sont 50% (1/2) ; 67% (2/3) ; 75% (3/4) ;… Exemple de chevauchement de fenêtre de Hanning avec 50% de chevauchement 1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Fenê tre de po ndé ratio n éq uiva le nt Fenê tres de Ha nning app liq uées à c haq ue b loc

Exemple de chevauchement de fenêtre de Hanning ave 66,7% de chevauchement 1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Fenê tre de po ndé ratio n éq uiva le nt Fenê tres de Ha nning app liq uées à c haq ue b loc

Les autres coefficients de chevauchement conduisent à des oscillations de pondération dans la partie centrale des acquisitions.

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Flat-top Définition :

 2t   4t   6t   8t  w(t )  1  1,93. cos    1,29. cos    0,388. cos    0,0322. cos    T   T   T   T 

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle 0

5

10

4 -1

10 3

-2

2

10

1 -3

10 0

-1 0

-4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Largeur de lobe principal : 10/T Rapport entre le premier lobe secondaire et le lobe principal : 0,043 % soit -67 dB Applications industrielles : Cette fenêtre est dédiée à l’étalonnage de capteur (microphones, accéléromètres …) : son pouvoir de détection est exceptionnel et le lobe principal possède une hauteur indépendante du biais de résolution : l’identification des amplitudes des signaux est réalisée avec précision quelque soit la fréquence du signal harmonique utilisé. Outre une largeur de lobe principal importante, cette fenêtre possède une partie relativement plate sur la partie haute du lobe principal. Ce « plateau » possède une largeur de 1/T avec des oscillations inférieures à 1/1000 éme dans ce domaine.

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exponentielle

w(t )  e  (t t0 )

Définition : Représentation temporelle

Représentation fréquentielle 0

1

10

0.9 0.8 -1

10 0.7 0.6

-2

0.5

10

0.4 0.3 -3

10 0.2 0.1 0 0

-4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pour un paramètre  tel que w(T)=0,2.w(0) : Largeur de lobe principal : 4/T Rapport entre le premier lobe secondaire et le lobe principal : 26,6 % soit -12 dB Remarques : Plus la décroissance de l’exponentielle est forte, plus les lobes secondaires vont se lisser en remontant jusqu’à n’en former plus qu’un seul. C’est une fenêtre paramétrée par l’instant to initial et  la décroissance de l’exponentielle. Le choix de l’instant initial permet d’écarter les premiers instants de la réponse qui ne seraient pas significatifs du système. Le choix du coefficient  permet d’ajuster la pondération en fonction de la durée de la réponse afin de réduire le rapport signal sur bruit. C’est la seule fenêtre présentée qui ne soit pas symétrique : la phase du signal subit alors une distorsion non linéaire contrairement à toutes les fenêtres symétriques dont la phase est une fonction affine de la fréquence (voir vitesse de phase et vitesse de groupe). Applications industrielles : Tous les signaux pseudo-périodiques et transitoires à décroissance lente. Très utilisée en analyse modale : lorsque l’excitation est réalisée par choc la réponse de la structure (accélération, déplacement …) est très classiquement traitée avec la fenêtre exponentielle. Notons toutefois que cette fenêtre introduit un amortissement artificiel proportionnel au coefficient . Les coefficients d’amortissement des modes propres de la structure peuvent toutefois être obtenus par lecture des Fonctions de Réponse en Fréquence (moyennant la soustraction du coefficient  dans la partie réelle de la fréquence propre complexe).

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7.3. Fonction de Réponse en Fréquence des systèmes dynamiques

introduction Ce chapitre est principalement centré sur le calcul, la représentation, et l’utilisation de Fonctions de Réponse en Fréquence (FRF) dans le cas de signaux non synchrones (les signaux synchrones seront traités dans le chapitre suivant). Les développements théoriques qui associent statistiques et calcul fréquentiel et sur lesquels s’appuient ces outils ne sont pas présentés ici. Un signal est dit synchrone s’il possède une référence temporelle commune quelque soient ses réalisations. Cette propriété nécessite donc un signal de synchronisation qui peut être obtenu, par exemple, par un top tour dans le cas d’une machine tournante. L’idée récurrente dans ces deux techniques de mesure, analyse spectrale ou analyse synchrone, est de mettre en évidence la partie déterministe d’un système ou d’un signal en pondérant très fortement la partie aléatoire. La réduction de la partie aléatoire est obtenue par un processus de moyenne pour les signaux synchrones comme pour les signaux asynchrones. Pour les signaux synchrones la moyenne est obtenue sur les réalisations du signal dans le domaine temporel, la représentation fréquentielle étant obtenue simplement par une FFT unique sur la moyenne obtenue. Pour les signaux asynchrones les opérations de moyenne et de passage dans le domaine fréquentiel sont inversées : l’analyse spectrale décrite dans ce chapitre est basée sur des moyennes de spectres.

Les outils de base Le spectre complet du signal x est défini par Sx[k]=TFD{x[k]} Gx[k] est le spectre du signal avec toutes les composantes supérieures à N/2 (Fe/2) nulles : Les symétries de la partie réelle (Paire) et de la partie imaginaire (impaire) pour un signal initial réel permettent la connaissance complète du signal à partir seulement de la moitié du spectre : le spectre peut donc être stocké sur N/2 points (complexes) pour N points temporels.

 Sx[k ]  Gx[k ]  2.Sx[k ]  0 

pour k  0 pour 1  k  pour

N 1 2

N  k  N 1 2

L’utilisation de Gx[k] (mono latéral) à la place de Sx[k] (bi latéral) permet également une lecture directe des amplitudes fréquentielles en accord avec les amplitudes du domaine temporel. Dans le cas d’un signal sinusoïdal d’amplitude 3V (6V crête-crête) avec un offset de 5V Gx donne une composante continue à 5 et une composante dynamique à d’amplitude 3 à la fréquence du signal, contrairement à Sx qui donne une composante continue à 5 et une composante dynamique à 1,5V à la même fréquence. Sx réparti l’énergie du signal dynamique en deux parts égales et symétriques autour de Fe/2. Gx représente toute l’énergie du signal entre 0 et Fe/2. Gx présente également l’avantage de déterminer le signal analytique complet par une simple TFD inverse :

x z [n]  x[n]  j.~ x [n]  TFD 1 Gx[k ] .x[ n] est la transformée de Hilbert de x[n]

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Les outils de l’analyse spectrale L’autospectre Dans le cas de signaux aléatoires, l’Autospectre est un estimateur de la Densité Spectrale de Puissance (DSP).

Gxx[k ]  Gx * [k ].Gx[k ]  Gx[k ]

2

L’autospectre est donc réel pur sans information de phase L’interspectre

Gxy[k ]  Gx * [k ].Gy[k ] Fonctions de Réponse en Fréquence Idéalement il devrait être possible de trouver la Fonction de Transfert, image spectrale du noyau d’un système (réponse pulsionnelle) par le simple rapport de la sortie sur l’entré dans le domaine fréquentiel : H[k]=Gy[k]/Gx[k]. Cette méthode ne donne pratiquement jamais de résultat satisfaisant, elle est très fortement bruitée et souvent inexploitable. Si le spectre de l’entré possède une ou des fréquence(s) d’amplitude nulle (ou voisine de 0) H conduit, pour ces fréquences, à un rapport avec un dénominateur nul. Classiquement, la Fonction de Réponse en Fréquence est estimée par la fonction H1[k], H2[k] ou H3[k] : H1

H 1[k ] 

Gxy[k ] Gxx[k ]

Dans le cas d’un système idéal (linéaire et non bruité) H1[k]=H[k] H2

H 2[k ] 

Gyy[k ] Gyx[k ]

Dans le cas d’un système idéal (linéaire et non bruité) H2[k]=H[k]

H 3[k ]  H 1[k ].H 2[k ] 

Gyy[k ] Gxy[k ] . Gxx[k ] Gxy[k ]

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Dans le cas général (signaux bruités en entré et en sortie) H1 sous estime H et H2 le surestime :

H 1[k ]  H [k ]  H 2[k ]

H3 présente un intérêt limité mais se trouve dans le même encadrement que H :

H 1[k ]  H 3[k ]  H 2[k ]

H1 produit une meilleure estimation de H si il existe un important bruit (non corrélé) sur la voie Y (sortie). H1 est préférable pour caractériser des bandes de fréquences avec un niveau de sortie faible (mauvais rapport signal sur bruit). H2 produit une meilleure estimation de H si il existe un important bruit (non corrélé) sur la voie X (entré). H2 est préférable pour caractériser des bandes de fréquences avec un niveau d’entrée élevé. Exemple de Fonction de Réponse en Fréquence spectre instantanné H1 H2 H3 H vrai

3

2.5

2 Mo dul e

1.5

1

0.5

50

100

150

200

250 300 Fréquence en Hz

350

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400

450

500

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Cohérence Dans le cas idéal :

Gxx[k ].Gyy[k ]  Gxy[k ]

Pour un système non idéal :

2

Gxx[k ].Gyy[k ]  Gxy[k ]

2

Il est donc possible de quantifier l’écart par rapport au système idéal équivalent par la fonction  :

 2 [k ] 

Gxy[k ]

2

Gxx[k ].Gyy[k ]



H 1[k ] H 2[k ]

La fonction  permet donc d’identifier le « niveau de relation linéaire » entre X et Y.

0   2 [k ]  1 Idéalement  doit être égale à 1. Lorsque  s’éloigne de 1 c’est significatif soit de bruits externes (non corrélés) en entré ou en sortie, soit de la présence de non linéarité dans le système étudié. Aucun estimateur H1, H2 ou H3 ne peut être lu et interprété sans lui associer la fonction de cohérence. 3 spectre instantanné H1 H2 H3 H vrai

2.5 2 Mo dul 1.5 e 1 0.5 50

100

150

200

250 300 Fréquence en Hz

350

400

450

500

350

400

450

500

Fonction de Cohérence Gamma 1 0.8 Co hé 0.6 re nc e 0.4 0.2

50

100

150

200

250 300 fréquence en Hz

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Les techniques de moyennage Les techniques de moyennage ont pour objectif de réduire les erreurs statistiques des mesures vibratoires. Rappels …

Pour N réalisations (indépendantes) du signal (blocs d’acquisition), dans le cas d’une moyenne arithmétique linéaire les erreurs statistiques des différentes fonctions spectrales sont :









 r Gxx[k]  1

 r Gxy[k] 

N

1 2 [k] N

  21[k][Nk] 

 r  [k] 

2

2

 rH[k] 

2

1[k] 2 2[k]

2

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L’effet de moyenne spectrale permet donc de limiter l’erreur statistique du signal mais ne corrige pas les erreurs systématiques tels que : le biais de résolution qui ne dépend que de la résolution spectrale donc de la durée d’une réalisation (d’un bloc) du signal, l’erreur d’appodisation ou erreur de convolution qui ne dépend que de la fenêtre utilisée (largeur du lobe principal et remontée des lobes secondaires), le retard non compensé lorsque le décalage temporel entre les voies devient non négligeable au regard de la durée d’acquisition (les effets de l’entrée n peuvent intervenir partiellement sur la sortie du bloc n+1 qui perçoit alors le signal comme non corrélé par rapport à l’entrée n+1 : la cohérence chute), la présence de bruit (ou pollution) non corrélé sur les voies d’entrée et sortie (à ne pas confondre avec l’excitation aléatoire, de type bruit blanc, qui peut être parfaitement corrélée avec la sortie), la pollution peut provenir des méthodes électroniques de traitement et d’acquisition des signaux ou d’un environnement électromagnétique sévère. les non linéarités du système étudié. Classiquement, la moyenne retenue est une moyenne arithmétique linéaire. Pour des raisons de coût de calcul, cette moyenne Xn est obtenue par récurrence à l’arrivée de chaque nouveau bloc x n en fonction de la moyenne précédente Xn-1 : Moyenne linéaire

 

X n  1 1 X n 1  xn n n Toutefois, afin de pondérer l’importance des blocs anciens et donner plus de poids au blocs récemment acquis on préférera une moyenne de type exponentielle souvent utilisée en cours de réglage des instrumentations afin d’obtenir une bonne réactivité du système et une plus grande faculté d’oubli des perturbations engendrées. Elle est également utilisée pour les phases de montée et descente en régime des machines tournantes ou lors de balayage sinus. La moyenne exponentielle est obtenue en définissant un poids est compris entre 0 et 1) au dernier bloc : Moyenne exponentielle

X n 1 X n1.xn

La troisième technique de moyenne « MAX » couramment présente sur les analyseurs de signaux du commerce est à employer avec précaution, il ne s’agit pas d’une moyenne mais d’une méthode qui ne retient que les maximums d’une fonction : cette méthode permet d’obtenir de bons résultats dans le cas montée-descente en régime de machine tournante et lors de balayage sinus. Cette méthode est principalement utilisée sur l’Autospectre. Pour une bonne identification à la Fonction de Transfert, cette méthode suppose (impose) que pour toute fréquence, la réponse du système à la fréquence d’excitation soit la plus forte des composantes spectrales instantanées de la fonction étudiée (cette condition peut ne pas être remplie dans le cas de systèmes très fortement non linéaires ou dans le cas d’un mauvais choix de la fonction représentée).

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8. Dynamique des machines tournantes 8.1. Introduction

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8.2. Rotor rigide en présence d’un effort centrifuge

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8.3. Prise en compte des effets gyroscopiques

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8.4. Conclusion

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