29 0 1MB
Institut Supérieur de Technologie d’Antananarivo Mention : Génie Civil Parcours: Génie Civil
2
CDS POUTRE SUR BASE ELASTIQUE
Etabli par : RANDRIAMIRAHO Mamilalaina Tanjona Avosoa N° 19 ROBSON ANDRIANTSARAFARA Mamy Nirina N° 29
Formation de type Initiale Niveau V 6 ème promotion
I-
Recherche des équations de la déformée, du moment fléchissant et de l’effort tranchant :
1.1. Les données géométriques :
2
Béton dosé à 400kg/m3 Sol sableux sec moyen Classe de ciment 325 P= 10 10 000 q= 1 10 B= 60 b= 30 d= 20 e= 15 a= 180 h= 35
1
Tf Kgf Tf / ml Kgf / cml cm cm cm cm cm cm
1.2. Position du centre de gravité :
On le calcul en appliquant la formule suivante : 𝑦𝐺 =
Section S1 S2 S3 S4
Nature Rectangle Rectangle Triangle Triangle TOTAL
∑ 𝑆𝑖 ∗ 𝑦𝑖 ∑ 𝑆𝑖
yi (cm)
Si (cm²) 900 600 150 150 1800
7,5 25 21,67 21,67
yG=
15,69
Si * yi 6750 15000 3250 3250 28250
cm
1.3. Calcul du moment d’inertie Ig :
𝐼𝐺 = 𝐼𝑦𝑖 + 𝑆𝑖. 𝑑𝑖 2 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒: 𝐼𝐺 =
Section S1 S2 S3 S4
Iyi (cm4) 16 875 20 000 3 333,3333 3 333,3333
𝑏ℎ3 12
𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒: 𝐼𝐺 =
Si (cm²) 900 600 150 150 TOTAL
di (cm) 8,19 9,31 5,97 5,97
2
𝑏ℎ3 36
IG (cm4) 77 309,03 71 956,02 8 683,45 8 683,45 166 631,94
IG=
166 631,94
cm4
1.4. Calcul de la longueur élastique le : a- Détermination du coefficient de ballast K du sol ou module de réaction du sol : Semelle de largeur B sur sol cohésion ou très cohérent 𝐵+30
k= 𝑘30 + (
2𝐵
)²
avec: kgf/cm2
k30= 4 E= B=
Sol sableux sec moyen Ciment de classe 325 400kg/m3
133 000 60
dosé
à
cm k=
2,25
kgf/cm3
a- Détermination de la longueur élastique le proprement dite : Elle est donnée par la formule : le 4
4 EI G kB
le=
160,08
cm
a- Vérification si la poutre peut être calculée comme si elle était infiniment raide : 𝜋 Lorsque la longueur de la poutre est telle que < 2 𝑙𝑒 , il n’y a pas lieu de tenir compte de la déformation du sol, donc la poutre peut être calculée comme une poutre sur base élastique. l=
251,45
cm
La condition est vérifiée, la poutre peut être calculée comme si elle était infiniment raide donc on peut le calculé comme sur une base élastique.
3
1.5. Détermination de yo et αo à partir des conditions aux limites : à x=9a (18 ;00m), on a :
Mo=0 Ro=0
D’où les équations suivantes : 1 1 𝑃𝑘1 (𝛽𝑥 + 𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝛽(𝑥 − 8𝑎)) − 2 𝑞𝑘2 (𝛽𝑥) = 0 𝛽 𝛽 1 −4𝐸𝐼𝑦0 𝛽3 𝑘1 (𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼0 4𝛽2 𝑘2 (𝛽𝑥) − 𝑃𝑘0 (𝛽𝑥 + 𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝛽(𝑥 − 8𝑎)) − 𝑞𝑘1 (𝛽𝑥) = 0 𝛽
−4𝑦0 𝐸𝐼𝛽2 𝑘2 (𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼0 4𝛽𝑘3 (𝛽𝑥) −
Avec :
𝛽=
1 𝑙𝑒
Pour βx > 4,5 :
1 𝑘0 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) cos(𝛽𝑥) 2 1 𝑘1 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) (sin(𝛽𝑥) +cos(𝛽𝑥)) 4 1 𝑘2 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) 4 1 𝑘3 (𝛽𝑥) = exp(𝛽𝑥) (sin(𝛽𝑥) −cos(𝛽𝑥)) 8
Pour βx < 4,5 :
𝑘0 (𝛽𝑥) = cosh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥) 1 𝑘1 (𝛽𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) +sinh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥)) 2
1 𝑘2 (𝛽𝑥) = sinh(𝛽𝑥)sin(𝛽𝑥) 2 1 𝑘3 (𝛽𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛽𝑥) sin(𝛽𝑥) −sinh(𝛽𝑥)cos(𝛽𝑥)) 4
a- Calcul de K1, K2, K3, K4 : K0(βx)
K1 (βx)
K2 (βx)
K3 (βx) -
βx
11,24445663
9 416,22
-13 816,69
18 524,81 -
β(x-a)
9,9951
9 224,73
-1 616,46 -
-7570,67
2 958,30
827,03 22,96
β(x-5a)
4,9975
20,82
25,11
35,52
β(x-8a)
1,2494
0,60
1,15
0,76
0 0,32
a- Calcul de yo et de αo: On a le système de deux équations à deux inconnues : -4.y0.β².EI.K2 (βx) - EI.α0.4.β.K3 (βx)
= (1/β).P.[K1β(x-a) +2 K1β(x-5a) +K1[β(x-9a)] + (1/β²).q.K2(βx)
-4.y0.β3.EI.K1(βx) - EI.α0.4.β².K2(βx)
= P.[K0[β(x-a)] + 2 K0[β(x-5a)] + K0[β(x-9a)]] + (1/β).q.K1(βx)
4
-
64084866159 298587716,3
y0 + y0 +
6432941452677 64084866159
α 0= α 0=
-16944605778 -113942526,8
det = 2 186 072 773 142 790 000 000 det y0 = - 07 189 848 821 000 000 det α0== -2 242 540 433 667 310 000
𝑦𝑜 =
det 𝑦𝑜
𝛼𝑜 =
𝑑𝑒𝑡
y0= a0=
det 𝛼𝑜 𝑑𝑒𝑡
-0,161 -0,0010258
cm rd
1.6. Etablissement des équations proprement dite : Nous allons diviser notre poutre sur base élastique en quatre zones différentes :
2
Zone 1 : 0 ≤ x ≤ a Zone 2 : a ≤ x ≤ 5a Zone 3 : 5a ≤ x ≤ 8a Zone 4 : 8a ≤ x ≤ 9a
a- Equation des moments fléchissants : 𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 9𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2
Pour la zone 1 :
0≤𝑥≤𝑎
𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2
Pour la zone 2 :
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2
Pour la zone 3 :
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2
Pour la zone 4 :
9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎
𝑀𝑓 = −4𝑦0𝛽2𝐸𝐼𝐾2(𝛽𝑥) − 𝛼0𝐸𝐼4𝛽𝐾3(𝛽𝑥) − (𝑃/𝛽)[𝐾1𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾1𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾1𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − qK2(𝛽𝑥)/𝛽2
5
b- Equation des efforts tranchants : 𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾0𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽
Pour la zone 1 :
0≤𝑥≤𝑎
𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽
Pour la zone 2 :
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽
Pour la zone 3 :
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽
Pour la zone 4 :
9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎
𝑇(𝑥) = −4𝐸𝐼y0𝛽3𝐾1(𝛽𝑥) − 𝐸𝐼𝛼04𝛽2𝐾2(𝛽𝑥) − 𝑃[𝐾0𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾0𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾0𝛽(𝑥 − 8𝑎)] − 𝑞𝐾1(𝛽𝑥)/𝛽
c- Equation de la déformée : 𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.
Pour la zone 1 :
0≤𝑥≤𝑎
𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.
Pour la zone 2 :
Pour la zone 3 :
𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.
𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾3(𝑥 − 8𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4
𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.
Pour la zone 4 :
𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4
9𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 10𝑎
𝑦(𝑥) = 𝑦0. 𝐾0(𝛽𝑥) + 𝛼0.
𝐾(𝛽𝑥) K0(𝛽𝑥)EI − (𝑃/𝛽 3 )[𝐾3(𝛽(𝑥 − 𝑎) + 2 𝐾3𝛽(𝑥 − 5𝑎) + 𝐾3(𝑥 − 8𝑎)] + q. − 𝑞𝐾0(𝛽𝑥)𝐸𝐼/4𝛽4 𝛽 4𝛽4
6
Tableau de calcul des Moments fléchissant, des efforts tranchants et de la déformée
1.1.
Nous allons dresser sur un grand tableau les calculs des moments fléchissant, des efforts tranchants ainsi que de la déformée. Nous allons considérer un pas de 25cm en partant de 0 à 10a. Le calcul s’effectuera par zone de 1 à 4. Le tableau suivant servira d’hypothèse de données au calcul dans le grand tableau de calcul des moments fléchissant, des efforts tranchants et de l’allure de la déformée : E=
133000
bars
I= 166631,944 cm4 x= 1800 cm a= 200 cm q= 10 kg/cml P= 10000 kgf β= 0,00624692 cm-1 1/β= 160,078878 cm y0= -0,161 cm a0= -0,001 rd
7
Moment fléchissant : Mf (x) Zone 0 Zone 1 0≤𝑥≤𝑎
Zone 2
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
50 100 150 200 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1000 1050
K2(βx)
K3(βx)
0,000 0,049 0,195 0,435 0,759 0,759 1,139 1,518 1,794 1,811 1,344 0,103 -2,249 -6,045 -11,524 -18,683 -27,073 -35,517 -41,818 -42,435 -32,270 -4,681 -4,681 48,095
0,000 0,005 0,041 0,137 0,321 0,321 0,617 1,033 1,555 2,127 2,636 2,886 2,584 1,331 -1,368 -6,045 -13,168 -22,964 -35,137 -48,502 -60,529 -66,851 -66,851 -60,831
-8-
K1[β(x-a)]
0,000 0,312 0,622 0,913 1,148 1,254 1,116 0,571 -0,582 -2,564 -5,566 -9,677 -14,765 -20,326 -25,288 -27,809 -25,106 -25,106 -13,362
K1[β(x-5a)]
0,000 0,312
K1[β(x-8a)]
Mf(x) [daNm] 0 17626 81933 209156 412009 412009 194923 50574 -36083 -82389 -104563 -115844 -125556 -138624 -155171 -170020 -172120 -144097 -61919 103344 378862 798159 798159 368747
Zone 3
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎
Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800
133,838 258,287 421,842 614,819 811,287 961,883 986,649 769,799 159,518 -1022,824 -2958,300 -2958,300 -5784,260 -9519,771 -13957,902 -18524,805
-33,367 26,824 132,089 293,465 516,606 795,600 1104,512 1386,925 1544,536 1427,031 827,034 827,034 -514,104 -2881,816 -6535,446 -11616,458
-9-
12,134 56,517 124,339 217,852 334,409 462,926 579,507 642,709 589,362 332,566 -235,727 -235,727 -1234,252 -2770,038 -4899,711 -7570,666
0,622 0,913 1,148 1,254 1,116 0,571 -0,582 -2,564 -5,566 -9,677 -14,765 -14,765 -20,326 -25,288 -27,809 -25,106
0,000 0,312 0,622 0,913 1,148
78746 -98326 -192670 -231265 -234109 -212622 -169466 -99342 9325 171653 402062 402062 208163 86221 17092 0
Effort tranchant :T (x) Zone
Zone 1 0≤𝑥≤𝑎
0 50 100 150 200 200
Zone 2
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
K1(βx) 0,00 0,31 0,62 0,91 1,15 1,15 1,25 1,12 0,57 -0,58 -2,56 -5,57 -9,68 -14,76 -20,33 -25,29 -27,81 -25,11 -13,36 12,13 56,52 124,34
K2(βx) 0,00 0,05 0,19 0,44 0,76 0,76 1,14 1,52 1,79 1,81 1,34 0,10 -2,25 -6,05 -11,52 -18,68 -27,07 -35,52 -41,82 -42,43 -32,27 -4,68
- 10 -
K0[β(x-a)]
1,00 1,00 0,97 0,87 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82
K0[β(x-5a)]
K0[β(x-8a)]
T(x) [daN] 0 763 1865 3268 4863 -5137 -3573 -2253 -1272 -635 -297 -186 -219 -304 -341 -217 188 1013 2372 4343 6910 9901
Zone 3
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎
Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800
124,34 217,85 334,41 462,93 579,51 642,71 589,36 332,57 -235,73 -1234,25 -2770,04 -4899,71 -7570,67 -7570,67 -10540,31 -13275,91 -14844,91 -13816,69
-4,68 48,09 133,84 258,29 421,84 614,82 811,29 961,88 986,65 769,80 159,52 -1022,82 -2958,30 -2958,30 -5784,26 -9519,77 -13957,90 -18524,81
- 11 -
20,82 56,91 109,14 177,57 258,04 339,51 401,14 409,28 315,33 55,78 -443,85 -1258,63 -2444,75 -2444,75 -4008,10 -5859,11 -7753,77 -9224,73
1,00 1,00 0,97 0,87 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82
1,00 1,00 0,97 0,87 0,60
-10099 -7122 -4570 -2615 -1249 -362 210 641 1103 1741 2657 3886 5358 -4642 -3129 -1791 -743 0
Allure de la déformée : y(x) Zone 0 50 Zone 1 0≤𝑥≤𝑎
Zone 2
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎
100 150 200 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1000 1050
K0(βx) 1,00 1,00
K1(βx) 0,00 0,31
K3[β(x-a)] 0,00 0,00
0,97 0,87 0,60 0,60 0,02 -1,00 -2,60 -4,90 -7,89 -11,38 -14,88 -17,45 -17,60 -13,20 -1,47 20,82 56,91 109,14 177,57 258,04 258,04 339,51
0,62 0,91 1,15 1,15 1,25 1,12 0,57 -0,58 -2,56 -5,57 -9,68 -14,76 -20,33 -25,29 -27,81 -25,11 -13,36 12,13 56,52 124,34 124,34 217,85
0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,04 0,14 0,32 0,62 1,03 1,55 2,13 2,64 2,89 2,58 1,33 -1,37 -6,04 -13,17 -22,96 -22,96 -35,14
- 12 -
K3[β(x-5a)]
0,00 0,01
K3[β(x-8a)]
y(x) [m] -0,161 -0,213 -0,261 -0,300 -0,315 -0,315 -0,291 -0,246 -0,193 -0,145 -0,105 -0,078 -0,063 -0,062 -0,078 -0,110 -0,162 -0,233 -0,320 -0,412 -0,495 -0,529 -0,529 -0,491
Zone 3
5𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑎
Zone 4 8𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑎
1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1600 1650 1700 1750 1800
401,14 409,28 315,33 55,78 -443,85 -1258,63 -2444,75 -4008,10 -5859,11 -7753,77 -9224,73 -9224,73 -9512,10 -7512,28 -1774,02 9416,22
334,41 462,93 579,51 642,71 589,36 332,57 -235,73 -1234,25 -2770,04 -4899,71 -7570,67 -7570,67 -10540,31 -13275,91 -14844,91 -13816,69
- 13 -
-48,50 -60,53 -66,85 -60,83 -33,37 26,82 132,09 293,46 516,61 795,60 1104,51 1104,51 1386,92 1544,54 1427,03 827,03
0,04 0,14 0,32 0,62 1,03 1,55 2,13 2,64 2,89 2,58 1,33 1,33 -1,37 -6,04 -13,17 -22,96
0,00 0,01 0,04 0,14 0,32
-0,409 -0,318 -0,237 -0,178 -0,144 -0,136 -0,152 -0,187 -0,233 -0,277 -0,302 -0,302 -0,289 -0,253 -0,210 -0,158
II-
Construction des diagrammes :
2.1. Diagramme des moments fléchissant :
Mf (x) -400000
-200000
0
200
400
600
800
1000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
- 14 -
1200
1400
1600
1800
2000
2.2.
Diagramme des efforts tranchants :
T (x) 15000
10000
5000
0 0
200
400
600
800
1000
-5000
-10000
-15000
- 15 -
1200
1400
1600
1800
2000
2.3. Allure de la déformée :
y (x) 0,000 0
200
400
600
800
1000
-0,100
-0,200
-0,300
-0,400
-0,500
-0,600
- 16 -
1200
1400
1600
1800
2000
2.4. Schéma de mise en place des armatures :
Mise en place des armatures -400000
-200000
0
200
400
600
800
1000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
- 17 -
1200
1400
1600
1800
2000
TABLE DES MATIERSES I-
II-
Recherche des équations de la déformée, du moment fléchissant et de l’effort tranchant : 1 1.1.
Les données géométriques : ..................................................................................... 1
1.2.
Position du centre de gravité : .................................................................................. 2
1.3.
Calcul du moment d’inertie Ig : ............................................................................... 2
1.4.
Calcul de la longueur élastique le : .......................................................................... 3
1.5.
Détermination de yo et αo à partir des conditions aux limites : ................................ 4
1.6.
Etablissement des équations proprement dite : ........................................................ 5
1.1.
Tableau de calcul des Moments fléchissant, des efforts tranchants et de la déformée 7
Construction des diagrammes : ................................................................................... - 14 2.1.
Diagramme des moments fléchissant :.............................................................. - 14 -
2.2.
Diagramme des efforts tranchants : .................................................................. - 15 -
2.3.
Allure de la déformée :...................................................................................... - 16 -
2.4.
Schéma de mise en place des armatures : ......................................................... - 17 -
TABLE DES MATIERSES ............................................................................................ - 18 -
- 18 -