Estadistica II [PDF]

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Estadística II

CONTENIDO IDENTIFICACIÓN ................................................................................................................................. 2 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS......................................................................................... 1 PROGRAMA ANALITICO .................................................................................................................... 1 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS............................................................................................... 8 1. Introducción ............................................................................................................................. 8 1.1.- Objetivos Generales............................................................................................................ 9 2.- Desarrollo .................................................................................................................................... 9 2.1 Núcleos temáticos ................................................................................................................. 9 2.2.- Bibliografía Comentada. ................................................................................................... 13 2.3.- Material Explicativo ........................................................................................................... 14 2.4.-Ejemplificación .................................................................................................................... 14 2.5.- Métodos a utilizar .............................................................................................................. 14 3 . Conclusiones ........................................................................................................................ 14 4. Glosario de términos técnicos. ............................................................................................. 15 TEXTO GUÍA ...................................................................................................................................... 17 UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES ................................................... 17 FENÓMENO ALEATORIO ........................................................................................................ 17 ESPACIO MUESTRAL S ........................................................................................................ 17 EVENTO O SUCESO E ...................................................................................................... 17 PROBABILIDAD P E , P ................................................................................................. 18 __

__

COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E ; P; q ......................................................... 20 EVENTOS INDEPENDIENTES ................................................................................................ 22 EVENTO DEPENDENDIENTE ................................................................................................. 22 PROBABILIDAD CONDICIONAL ............................................................................................. 24 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES .......................................................................... 24 PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS P A B ............................. 24 PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A B ........................................ 25 TEOREMA DE BAYES .............................................................................................................. 27 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................ 30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS ..... 30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA ......... 30 MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................. 31 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................................................ 31 MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA ............................................................ 34 MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON ......................................................................... 37 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL .............................................................. 38 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD ........................................................... 39 UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES ...................................................................... 47 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE .......................................................................................... 47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ........................................................................... 47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES .............................................................. 51 UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES ...................................... 57 Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

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DISTRIBUCIÓN T-STUDENT ................................................................................................... 57 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ........................................................................................... 59 NIVEL DE CONFIANZA 1 .............................................................................................. 59 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL ......................................... 60 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................ 63 MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO ................................................................................... 66 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE .......................................................................................... 66 MUESTREO SISTEMÁTICO .................................................................................................... 67 MUESTREO ESTRATIFICADO ................................................................................................ 67 MUESTREO CONGLOMERADO ............................................................................................. 67 UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES................................. 68 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ...................................................................................................... 68 HIPOTESIS NULA H0 ................................................................................................................ 68 HIPOTESIS ALTERNA H1......................................................................................................... 68 ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER .............................................................................. 69 ERROR TIPO I........................................................................................................................... 69 ERROR TIPO II.......................................................................................................................... 69 GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS............................................................................. 77 Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades .............................................................. 83 Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades ........................................................ 86 Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales ......................... 91 Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales ..................................................... 94 Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial ................................. 99

IDENTIFICACIÓN Modalidad de Estudios

Cursos por Encuentros

Gestión Académica Módulo Carreras

Área Empresarial

Docente

Ing. Rubén Toyama U.

Día de Encuentro (Presencial)

Sábados

Hora Aula Día de Tutoría (Distancia) Hora

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PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS PRIMER SEGUNDO TERCER ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO Unidad 1 1.1 al 1.11 UNIDAD - TEMAS DE AVANCE

CUARTO ENCUENTRO

Unidad 1 1.12 al 1.19

Unidad 2 2.4 al 2.8

Unidad 3 3.14

Unidad 2 2.1 al 2.3

Unidad 3 3.1. al 3.13

Unidad 4

Evaluación

Evaluación

ESTADISTICA II PROGRAMA ANALITICO

IDENTIFICACION Carrera Sigla Materia Carga Horaria Nivel Requisitos En Vigencia

: Ingeniería de Sistemas. Auditoria. Ingeniería Comercial. : MAT - 222 : Estadística II : 4 H Encuentros 4 H Tutorías Virtuales : Quinto Semestre. : Estadística I (MAT – 215) : Año 2005

I. JUSTIFICACION La asignatura de estadística II contribuye a las mallas curriculares de las diferentes carreras en las que se imparte por constituirse en un pilar fundamental desarrollando en su ejecución los conocimientos necesarios y suficientes para encarar con solvencia disciplinas muy importantes, como la investigación de mercados, la investigación de operaciones y la econometría, entre otras. II. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Aplicar correctamente las herramientas y técnicas sobre muestras representativas que conlleven a realizar una eficaz inferencia estadística sobre una población que permitan la racional toma de

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decisiones OBJETIVOS ESPECIFICOS  Identificar el modelo de probabilidad adecuado a aplicar a una distribución muestral para un determinado parámetro  Estimar el valor de un parámetro a partir de una muestra representativa mediante una estimación puntual o intervalar  Plantear adecuadamente las hipótesis estadísticas reconociendo los tipos de errores y tomar una decisión respecto a la hipótesis adecuada.  Identificar y desarrollar los mecanismos adecuados para determinar el tamaño de una muestra representativa en función a la naturaleza del problema  Construir e interpretar intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales. III. CONTENIDOS Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades. Objetivos de la Unidad -

Definir los términos referente a la teoría de probabilidades.

-

Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.

-

Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones.

Contenidos 1.1 Análisis Combinatorio. 1.2 Introducción a la teoría de probabilidades. 1.3 Axiomas fundamentales. 1.4 Cálculo de probabilidades. 1.5 Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. 1.6 Esperanza y varianza matemática. 1.7 Distribución de Probabilidades. 1.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas. 1.9 Distribución Binomial.

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1.10 1.11

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Distribución de Poisson. Distribución de Hipergeométrica.

1.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. 1.13 Distribución. Normal. 1.14 Distribución Exponencial. 1.15 Estandarización de la distribución normal. 1.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal 1.17 Distribución t-student 1.18 Distribución Chi – Cuadrada 1.19 Distribución F de Fisher Unidad 2. Distribuciones muéstrales. Objetivos de la Unidad -

Aplicar los mecanismos adecuados para el cálculo de probabilidades en las distribuciones muestrales.

-

Definir adecuadamente los diferentes tipos de muestreo y los casos de aplicabilidad.

Contenidos 2.1 Teorema central del límite 2.2 Distribución muestral de medias. 2.3 Distribución muestral de la proporción. 2.4 Distribución de la diferencia de dos medias muestrales. 2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones. 2.6 Distribución muestral de la varianza. 2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo 2.8

Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado.

Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones Objetivos de la Unidad -

Desarrollar los procedimientos adecuados en la determinación de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales.

-

Calcular el tamaño de la muestra en diferentes casos.

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Contenidos 3.1 Introducción 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

Estimación de parámetros Características de un buen estimador Estimación puntual. Estimación de parámetros por intervalos de confianza. Intervalo de confianza para la media poblacional. Intervalo de confianza para la proporción poblacional. Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales. Intervalo para la varianza poblacional. Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.

Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales. Objetivos de la Unidad -

Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis.

-

Desarrollar adecuadamente la décima de hipótesis.

-

Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza.

Contenidos 4.1 Introducción y conceptos. 4.2 Hipótesis estadísticas. 4.3 Hipótesis nula y alternativa. 4.4 Error tipo I y Error tipo II. 4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única. 4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. 4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. 4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales.

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4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad. Unidad 5. Análisis de Varianza. Objetivos de la Unidad -

Probar la significancia de las diferencias entre varias medias muestrales.

-

Realizar inferencias acerca de si las muestras fueron tomadas de poblaciones que tienen la misma media.

Contenidos 5.1 Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único. 5.2 Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. 5.3 Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones. 5.4 El contraste F para la hipótesis nula de igualdad de medias. 5.5 Tablas de análisis de varianza. 5.6 Experimentos de dos factores. 5.7 Análisis de varianza para experimentos de dos factores. 5.8 Experimentos de dos factores con repetición. Diseño experimental. IV. METODOLOGIA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la conceptuación de las variadas terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, el mismo que será llevado a cabo mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvia de ideas, durante el desarrollo de la asignatura se realizarán diversos ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación para lograr un aprendizaje significativo en la asignatura. Para cada tema el alumnado resolverá prácticos en los cuales desarrollará sus habilidades y competencias a objeto de asimilar de la mejor manera los contenidos procedimentales de la asignatura. Se realizarán prácticas en el laboratorio de cómputos para la aplicación de software a las unidades desarrolladas.

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En el desarrollo del curso los estudiantes realizarán un proyecto en el cual trabajarán sobre una problemática en la cual tengan que realizar una investigación determinando el tamaño de la muestra, realizando inferencias sobre la población a partir de esta muestra significativa El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la definición de las terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, lo cual se desarrollará mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvias de ideas. Durante el desarrollo de la materia se desarrollarán variados ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación de los distintos estadígrafos en la variedad de casos aplicables a la realidad a objeto de lograr un aprendizaje significativo para los diferentes tipos de contenidos contemplados en la asignatura. Se realizarán prácticas de ejercicios en clases donde los estudiantes de manera cooperativa logren un aprendizaje significativo apuntalando así sus conocimientos conceptuales y habilidades procedimentales Se desarrollará un trabajo final de aplicación donde los estudiantes muestren los conocimientos y habilidades adquiridas V. ACTIVIDADES ACADEMICAS 1. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de probabilidades y distribuciones de probabilidades 2. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de distribuciones maestrales 3. Presentación y defensa del práctico de estimación de parámetros poblacionales 4. Presentación y defensa del práctico de verificación de parámetros poblacionales. Teoría de hipótesis 5. Presentación y defensa del práctico de análisis de varianza VI. MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS - Marcadores y pizarra - Texto guía - Equipos de multimedia

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- Laboratorio de Software VII. TIPOS DE EVALUACION Para la asignatura se emplearán los tres tipos de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa. VIII. FORMAS DE EVALUACIÓN Materia tipo B. Cursos por Encuentros Exámenes

60 Pts.

Actividades Académicas

20 Pts.

Investigación

20 Pts.

TOTAL

100 Pts.

IX. BIBLIOGRAFIA BÁSICA Toyama Rubén. Estadística II. Cursos por Encuentros. UPDS. Mayo 2007. COMPLEMENTARIA 1. Walpole Myers. Probabilidad y estadística. Mc Graw Hill. México. 2000. 2. Spiegel – Murray. Probabilidad y estadística Ed. Mc Graw Hill. Colombia. 2001. 3. John E. Freund – Ronald E. Walpole. Estadística matemática con aplicaciones. Ed. Prentice may hispanoamericana S. A. Mexico. 1990. 4. Paul Neubold. Estadísticas para negocios y la economia. Ed. Prentice Hall. España. 1997. 5. Rufino Moya Calderon – Gregorio Saravia. Probabilidad e inferencia estadística. Ed. San Marcos. Perú. 2000. 6. Richard Levin – David Rubin. Estadística para administradores. Ed. Prentice may. Mexico. 1996. 7. Manuel Córdoba Zamora. Estadística descriptiva e inferencial. Ed. Moshera SRL. 2000. 8. Leonard J. Kazmier. Estadística aplicada a la administración y la economía. Ed. Mc Graw Hill. México. 1990.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Introducción La estadística es una disciplina que como instrumento de investigación se constituye en pilar fundamental en la formación de los profesionales de las diferentes áreas del conocimiento, el aporte a la investigación de la estadística inferencial (Estadística 2) se basa fundamentalmente en que a través de la estadística inferencial el proceso investigativo se centra en como lograr que los resultados obtenidos a través de la muestra logre tener mayor significación y pueda ser proyectado para determinar el verdadero valor del parámetro poblacional. El aporte de la presente asignatura a las demás asignaturas de las diferentes mallas curriculares es importante puesto que las competencias adquiridas durante el estudio de la estadística, constituye la base fundamental para materias como investigación de mercado, investigación en ciencias sociales, e investigación operativa, así como la parte operativa en el desarrollo de las tesis de grado que implica una investigación con información primaria la cual en muchos casos es obtenida a partir de la muestra y debe ser extrapolada a toda la población de interés en la investigación. Cabe resaltar que el presente texto guía ha sido redactado como producto de 5 años de experiencia en la enseñanza de la Estadística en la UPDS en el sistema modular presencial, en el texto guía se ha utilizado un lenguaje claro y sencillo sin perder el sentido técnico propio de la estadística cuyo lenguaje es imposible de eludir. Dentro del estudio de la estadística inferencial es de vital importancia el aprendizaje de los siguientes aspectos: a) El dominio de palabras técnicas propias de la estadística. b) c) d) e) f)

Es conocimiento de los conceptos desarrollados en Estadística descriptiva El cálculo eficaz de las probabilidades El cálculo de probabilidades en distribuciones para variables discretas. El cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua El cálculo de probabilidades para distribuciones muestrales

g) La determinación de intervalos de confianza h) El desarrollo de la décima de hipótesis

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1.1.- Objetivos Generales Aplicar los criterios pertinentes para la inferencia estadística en la estimación de los parámetros poblacionales a partir de estadígrafos muestrales. El objetivo general busca que el estudiante adquiera las competencias necesarias y suficientes para realizar acertadamente las inferencias estadísticas en la determinación de los diferentes parámetros poblacionales. 2.- Desarrollo 2.1 Núcleos temáticos La distribución de los temas en los cuatro núcleos temáticos a lo largo del presente curso obedece a un sentido de co-linealidad de los contenidos para el aprendizaje adecuado de los mismos y a aspectos de tiempo para lograr el alcance de los objetivos y adquisición de las competencias necesarias de parte del estudiante en el estudio de la estadística inferencial en el presente curso.

Primer encuentro Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades. Objetivos de la Unidad -

Definir los términos referente a la teoría de probabilidades.

-

Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.

-

Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones.

Contenidos 1.1 Análisis Combinatorio. 1.2 Introducción a la teoría de probabilidades. 1.3 Axiomas fundamentales. 1.4 Cálculo de probabilidades. 1.5 Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. 1.6 Esperanza y varianza matemática. 1.7 Distribución de Probabilidades.

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1.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas. 1.9 Distribución Binomial. 1.10 1.11

Distribución de Poisson. Distribución de Hipergeométrica.

Síntesis La unidad 1, es una unidad amplia, por lo que en el primer encuentro nos abocaremos netamente al cálculo elemental de probabilidades, además que realizaremos el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades para variable aleatoria discreta, concretamente las distribuciones: Binomial, Hipergeométrica y de Poisson. En el 1º encentro el estudiante debe llegar con una lectura comprensiva de los conceptos referentes a la teoría elemental de probabilidades, en este 1º encuentro se realizaran las prácticas para el cálculo de probabilidades, así como también se practicará el cálculo de las probabilidades para las distribuciones para variable aleatoria discreta como los son la binomial, Hipergeométrica y Poisson.

Segundo encuentro 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19

Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. Distribución. Normal. Distribución Exponencial. Estandarización de la distribución normal. Aproximaciones de la distribución binomial a la normal Distribución t-student Distribución Chi – Cuadrada Distribución F de Fisher

Unidad 2. Distribuciones muéstrales 2.1.Teorema central del límite 2.2 Distribución muestral de medias. 2.3 Distribución muestral de la proporción.

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Síntesis. En el 2º encuentro se introducirá a lo que es el cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua y en este encuentro se realizará la práctica del cálculo de probabilidades utilizando la tabla de la distribución normal Standard, seguidamente, ingresando a lo que es la 2º unidad se realizará el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades, concretamente nos abocaremos a las distribución muestral de medias y de proporciones.

Tercer encuentro 2.4Distribución de la diferencia de dos medias muestrales. 2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones. 2.6 Distribución muestral de la varianza. 2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo 2.8 Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado. Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones 3.1 Introducción 3.2 Estimación de parámetros 3.3 Características de un buen estimador 3.4 Estimación puntual. 3.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza. 3.6 Intervalo de confianza para la media poblacional. 3.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional. 3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. 3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 3.10 Intervalo para la varianza poblacional. 3.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. 3.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. 3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional Síntesis En el 3º encuentro, el contenido a desarrollar será el estudio de los diferentes tipos de muestreo y su aplicación recomendada en cada caso particular, luego pasaremso al estudio de la

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construcción de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros como ser: Intervalos de confianza para la media poblacional, intervalo de confianza para una proporción poblacional e intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales

Cuarto encuentro 3.14

Determinación del tamaño de la muestra

Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales. Objetivos de la Unidad -

Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis.

-

Desarrollar adecuadamente la dócima de hipótesis.

-

Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza.

Contenidos 4.1 Introducción y conceptos. 4.2 Hipótesis estadísticas. 4.3 Hipótesis nula y alternativa. 4.4 Error tipo I y Error tipo II. 4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única. 4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. 4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. 4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales. 4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad. Unidad 5. Análisis de Varianza Contenidos Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único.

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Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones. Síntesis En el 4º encuentro se iniciará con la determinación de l tamaño de la muestra para la estimación de la media poblacional, así como para la proporción poblacional, seguidamente se introducirá en la unidad de la teoría de hipótesis donde se desarrollarán los pasos para la verificación de las hipótesis estadísticas, y finalmente se realizará una introducción en los que es el análisis de varianza. Nota Para lograr alcanzar con éxito los objetivos planteados en la asignatura, así como la adquisición de las competencias planteadas, es importante tomar en cuenta lo siguiente: Traer a todos los encuentros una calculadora (de preferencia que sea calculadora científica). Leer con anticipación al encuentro todos los conceptos desarrollados en el texto guía, para aclarar dudas durante la clase presencial. Desarrollar en lo posible (reproducir por cuenta propia) los mismos ejemplos resueltos en el texto guía. Estar presente en el aula puntualmente. 2.2.- Bibliografía Comentada El libro de texto de Estadística Inferencial, elaborado en su totalidad por el Ing. Rubén Toyama, se constituye en una guía práctica para el aprendizaje de la estadística y surge como resultado del conjunto de experiencias acumuladas durante 5 años de ejercicio docente en nuestra universidad. Se recomienda la realización de cada uno de los ejemplos mostrados en el texto; puesto que, de esta manera el participante podrá ir adquiriendo las competencias necesarias en lo referente al cálculo de los estadígrafos que en esta asignatura se desarrollan. Es también importante en la medida de las posibilidades de tiempo y de recursos, la lecturas de apoyo de los libros: “Estadística” de Spiegel & Murray para acompañar el aprendizaje y del libro:

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“Estadística y Muestreo” de Ciro Martinez Bencardino para apoyar en la comprensión de los cálculos, puesto que en dicho libro se muestran problemas reales y de mayor comprensión. 2.3.- Material Explicativo El texto guía contiene suficiente material explicativo, puesto que, la redacción de los conceptos está en un lenguaje claro y de uso cotidiano para mayor comprensión pero sin perder el sentido técnico del mismo; además, en cada una de los temas existen los ejemplos que en su integridad desarrollados paso a paso para su mayor comprensión. 2.4.-Ejemplificación El texto guía ofrece al lector suficiente ejemplificación; puesto que, luego de los conceptos existen los ejercicios de aplicación en los que se detallan paso a paso la forma en que se debe proceder para la solución de los diferentes problemas planteados. 2.5.- Métodos a utilizar En el primer periodo del encuentro físico el docente desarrollará los conceptos necesarios con la participación activa de los participantes; puesto que, se sobreentiende que ellos han procedido a la lectura comprensiva de los conceptos, luego se desarrollará un ejemplo práctico con la participación activa del docente y de los estudiantes. Para proceder en el segundo periodo a la solución de ejemplos similares en grupos ó células, con la guía permanente del docente. En los encuentros virtuales se presentarán las tareas planteadas con anterioridad en las clases presenciales, y se aclararán las dudas que surjan durante la solución de las tareas por parte de los estudiantes. 3 . Conclusiones Para concretar el aprendizaje de los temas el estudiante debe desarrollar en su domicilio los prácticos planteados en el texto guía, pudiendo hacer uso de los encuentros virtuales para la aclaración de las dudas en la resolución de los mismos. 3.1.- Preguntas y ejercicios para realizar en forma individual o colectiva – con respuestas. Los prácticos se encuentran al final del Texto Guía, los mismos se encuentran elaborados de acuerdo a la secuencia de avance de la asignatura.

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4. Glosario de términos técnicos El texto guía contiene la conceptuación de todos los términos propios de la estadística utilizados en el presente curso, por lo que se recomienda la lectura comprensiva de cada uno de los títulos y subtítulos desarrollados en el mismo para interconectar la comprensión de los conceptos con la aplicación práctica en el desarrollo de los problemas de aplicación.

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TEXTO GUÍA UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES OBJETIVOS 1.- Conceptuar correctamente los siguientes términos: fenómeno aleatorio, posibilidad, probabilidad, evento o suceso, espacio muestral, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, eventos dependientes, complemento de probabilidad , unión de probabilidades, intersección de probabilidades. 2.- Calcular adecuadamente la probabilidad de diferentes sucesos o eventos. 3.- Realizar operaciones con probabilidades. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque presenta dos o más opciones. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. Ejemplo 1 Al lanzar un dado, el espacio muestral será: S1 1,2,3,4,5, 6

Ejemplo 2 Al lanzar una moneda dos veces seguidas, el espacio muestral será: S 2 SP, PS, SS, PP

Ejemplo 3 Al lanzar una moneda tres veces seguidas, el espacio muestral será: S3 SSS, SSP, SPS, SPP, PSS, PSP, PPS, PPP EVENTO O SUCESO E Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. Para los ejemplos anteriores los eventos podrían ser: E 1 : Que al lanzar un dado el número obtenido sea par: E1 2,4,6 E 2 : Que al lanzar una moneda dos veces seguidas el resultado sea diferente: E 2 SP, PS E 3 : Que al lanzar una moneda tres veces seguidas el resultado sea diferente a las otras dos:

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E 3 SSP, SPS, SPP, PSS, PSP, PPS

POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. NÚMERO DE POSIBILIDADES n S ; n E Es la cantidad de elementos que presenta el espacio muestral o el evento. Para los ejemplos anteriores tenemos: n S1

6

n S3

8

n E1

3

n E3

2 __

COMPLEMENTO DEL EVENTO ( E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. Para los ejemplos anteriores: __

E 1 : 1,3,5 __

E 2 : SS , PP __

E 3 : SSS, PPP

PROBABILIDAD P E ,

P

La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. nE P( E ) nS PE

nº de posibilida des ciertas nº de posibilida des totales

Nota Los valores de la probabilidad se dan entre 0 y 1. Generalmente se expresa en porcentaje al multiplicar el resultado por 100.

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Ejemplo Para los ejemplos anteriores determinar la probabilidad de los eventos 1,2 y 3. P E1

n E1 n S1

P E2

2 4

0,5;

50%

P E3

6 8

0,75;

75%

__

2 4

P E2

3 6

0,5;

0,5;

50 %

50 %

La baraja Una baraja tiene 52 cartas. 26 cartas de cada color. 13 cartas de cada palo. 4 cartas de cada número. Eventos A: Que la carta extraída al azar de la baraja sea diamante. B: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 10 rojo. C: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 6. D: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 7 rojo. E: Que la carta extraída al azar de la baraja sea negra. Hallar la probabilidad de cada evento P A

13 52

0,25;

25%

P B

2 52

0,038;

3,8%

PC

4 52

0,077;

7,7%

P D

2 52

0,038;

3,8%

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P E

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26 52

0,5;

39 52

0,75;

50 52

0,962 ;

96 ,2%

48 52

0,923 ;

92 ,3%

50%

Hallar __

P A __

P B __

P C

75 %

__

__

COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E ; P; q El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra y se calcula con la expresión: __

q

P E

1

P E

Ejemplo En una sala de reuniones hay 8 abogados de los cuales 3 son mujeres además hay 7 arquitectos de los cuales 2 son hombres hallar la probabilidad de que la primera persona que salga aleatoriamente de la sala sea: a) Arquitecta b) Hombre c) De profesión arquitectura a) P A

5 15

0,33;33%

b) P B

7 15

0,466;46,6%

c) P C

7 15

0,466;46,6%

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

20

Ciencias Empresariales

Estadística II

__

Hallar P A __

P A

1

P A

__

P A

1 0,333

__

P A

0,667;66,7%

Ejemplo Graficar las diferentes posibilidades que presenta el fenómeno aleatorio de lanzar dos dados a la vez, este gráfico debe mostrar los diferentes resultados al sumar los números de los dados. Construir además un cuadro que muestre los posibles resultados de la suma y las probabilidades de cada uno de los posibles resultados. Gráfico Dado 1 6

7

8

9

10

11

12

5

6

7

8

9

10

11

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

Dado 2

Posibles Resultados

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Nº de Posibilidades

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 2 36 36

Probabilidad

1 36

Hallar la probabilidad de que la suma sea:

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

21

Ciencias Empresariales

Estadística II

a) P S

7

6 36

0,167; 16,7%

b) P S

10

6 36

0,167; 16,7%

c) P S

4

d) P 5

S

e) P S

6 36 9

0,167; 16,7% 24 36

nº impar

0,667; 66,7% 18 36

0,5;

50%

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. Ejemplo E1: Que al lanzar una moneda salga sol. E2: Que al lanzar un dado salga 3. E3: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol. E1 y E2 son independientes. P E2

1 6

1 2 E2 y E3 son independientes. P E1

EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo.. Ejemplo En un cesto hay 5 bolas blancas y 3 bolas verdes de las cuales se extraen una por una y sin reemplazo. 5B 3V Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

22

Ciencias Empresariales

Estadística II

Sean los eventos: E1: Que la primera bola extraída sea verde. E2: Que la segunda bola extraída sea verde. El E2 es dependiente Si la 1ª es V: P E 2

2 7

0,286

3 0,429 7 Un evento es dependiente cuando es consecutivo de otro y sin reemplazo. Si la 1ª es B: P E 2

CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN UN EVENTO DEPENDIENTE Para calcular la probabilidad de un evento dependiente se lo hace a través de la suma de las probabilidades de los diferentes caminos en que se cumple este evento. Para el ejemplo anterior calcular P E2 . P E2

P V2

P V1 * P V2

P B1 * P V2

3 2 5 3 * * 8 7 8 7 3 15 28 56 0,107 0,2678 0,375; 37,5% Ejemplo En un aula hay 3 arquitectos, 5 médicos y 6 abogados de la cual van a salir las personas una por una y sin reemplazo. Hallar la probabilidad de que la segunda persona sea médico. P M2

P M1 * P M 2

P M1 *P M2

5 4 9 5 * * 14 13 14 13 0,1099 0,2473 0,357; 35,7%

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

23

Ciencias Empresariales

Estadística II

PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. P B A Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido.

Ejemplo En un aula hay 7 mujeres y 9 hombres, de esta aula saldrán las personas una por una y sin reemplazo. Sean los eventos: E1: Que la primera persona que salga sea mujer. E2: Que la primera persona que salga sea hombre. E3: Que la segunda persona que salga sea mujer Hallar a) P E3 E 1

6 15

0,4

b) P E3 E 2

7 15

0,467

c) P E3

P M2

P M1 * P M 2

P M2

7 6 9 7 * * 16 15 16 15

P M1 * P M2 0,4375

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra, como en el caso anterior los eventos E 1 y E2. Ejemplo Sean los eventos D: Que Juan Pérez pase todo el sábado en Aqualand. F: Que Juan Pérez pase ayudantía todo el sábado en la UPDS. Nota Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad de que la intersección es cero. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS

P A

B

La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B y se calcula con la siguiente expresión.

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

24

Ciencias Empresariales

Estadística II

P A

B

P A *P B

Independientes

P A

B

P A *P B A

Dependientes

P A

B

0

Mutuamente excluyentes

Para el ejemplo anterior calcular la probabilidad: a)

P E1

E3

P E1 * P E3 E1

E2

0

7 6 * 16 15

0,175; 17,5%

b) P E1

porque son mutuamente excluyentes

Sea: E4: Al lanzar una moneda salga sol. c) P E2

E4

P E2 * P E4

9 1 * 16 2

9 32

0,2812; 28,12%

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A

B

La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro y se calcula con las expresiones. P A

B

P A

PB

P A

B

PA

B

PA

P B si son mutuamente Excluyentes

Ejemplo En una jaula hay 10 loros y 12 tordos de la cual saldrán una por un y sin reemplazo aleatoriamente. Sean los eventos: E1: Que el primero que salga sea loro. E2: Que la primera ave que salga sea tordo. E3: Que el segundo que salga sea loro. E4: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol E5: Que al lanzar dos dados la suma sea mayor a 9.

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

25

Ciencias Empresariales

Estadística II

Hallar a) P E 2 b) P E1

E2

c) P E1

E3

d) P E 2

E4

e) P E1

E5

Solución a) P E3

P L1 * P L2 10 9 * 22 21

P L1 * P L2

12 10 * 22 21

0,4545

45,45 %

b) P E1

0 Porque son mutuamente excluyentes

E2

c) __

__

= 1 0,7402 0,26 ; 26 %

P E1  E 3

1 P E1  E 3

P E1

E3

P E1

P E1

E3

P E1 P P 3 / E1 =

P E3

P T2

P E3

P T1 P T2

P E1

E3

10 12 22 21

=

10 0,5454 0,2597 0,7403 22

0,2597

P T1 P T2

Aquí P E1

d) P E 2

E2

0

E4

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

26

Ciencias Empresariales

Estadística II

__

P E2  E4

1 P E2  E4 1 0,6590 0,341;34,1%

P E2  E4

P E2

P E2  E4

12 13 0,1364 0,6590 22 52 P E2 * P E4

P E4

12 13 * 22 52

P E2  E4

0,1364

e) __

P E1  E 5

__

P E1

P E5

__

P E1  E 5

10 0,8333 0,3787 22 0,9091;90,91% __

P E5

1 P E5 1 0,1667

__

P E1  E 5

0,8333 __

P E1 * P E 5 10 * 0,8333 0,3787 22

TEOREMA DE BAYES Si se tiene dos o más fuentes Ai , fuente (entiéndase como fuente el lugar de donde proviene) además se conoce la proporción de cada uno de las fuentes. Se conoce además la proporción de los elementos de cierta clase (D) en cada una de las fuentes Ai .

Si aleatoriamente se encuentra un elemento (D), entonces la probabilidad de que éste elemento (D), provenga de la fuente Ai viene dado por la expresión: P Ai / D

P Ai * P D / Ai P Ai * P D / Ai

Donde: (D) son los de cierto tipo

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

27

Ciencias Empresariales

Estadística II

Ejemplo 1. En una investigación precia o una elección se determino que la proporción entre votantes de clase baja que votarían por un cierto candidato D es de 40%; la proporción entre votantes de clase media que votarían por ese candidato D es de 30% y la proporción de votantes de clase alta que votarían por el candidato D es de 20%. El día de las elecciones se le pregunta a un votante elegido aleatoriamente por quien votaría y el respondió por el candidato D. Sabiendo que el 15% de los votantes son de clase alta, el 45% son de clase media y el resto son de clase baja. Hallar: a) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase alta. b) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase media. c) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase baja.

Datos

P A

0,15

PD A

0,20

PM PB

0,45 0,40

PD M PD B

0,30 0,40

PD A

P A *P D A

P A *P D A P M *P D M

0,15 * 0,20

0,15 * 0,20 0,45 * 0,30

PB * D B

a) PD A

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

0,40 * 0,40

0,0923

9,23 %

28

b) PD B

0,45 * 0,30 0,325

0,4153

41,53 %

c) PDC

0,4 * 0,4 0,325

0,4923

49 ,23 %

2. Una fábrica produce cierto tipo de productos con tres máquinas. Los respectivos cálculos de producción diaria son: M 1

3200 u; M 2

2800 u; M 3

5000 u La experiencia nos

muestra que el 1% de la producción de la máquina 1 son defectuosas, la correspondiente proporción de defectuosas para las otras máquinas son respectivamente: 2%; 3%. Si se extrae una unidad de la mezcla homogénea de productos y se descubre que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que dicha unidad provenga? a) De la máquina 1. b) De la máquina 2. c) De la máquina 3.

P M1

3200 29,10%

P D M1

0,01

P M2

2800 25, 45%

P D M2

0,02

P M3

5000 45, 45%

P D M3

0,03

P D M1

0,2909 * 0,01 0,2909 * 0,01 0,2545 * 0,02 0,7545 * 0,03

P D M1

0,6569

2,909

3

2,909 3 5,09 3 0,013635

65,69%

3

P D M2 P D M3

5,09 0,1226 12,26% 0,06187 0,013635 0,2205 22,05% 0,06184

EL FACTORIAL X! El factorial de un número x se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta x. Se define también 0!=1

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama

29

Ciencias Empresariales

Estadística II

COMBINATORIA nCr Se define la combinatoria nCr con n y r

N y n r como el número de formas en que n elementos se pueden agrupar en grupos de r sin importar el orden. nCr

n! r! n r !

Ejemplo Un campeonato de baloncesto cuenta con 9 equipos que en su fase clasificatoria tienen que jugar todos contra todos, en partidos de ida y de vuelta. ¿Cuántos partidos se tiene que jugar? n 9 r 2 9

C2

36

36 * 2 72 Se tienen que jugar 72 partidos.

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: Los modelos de distribución de probabilidad se clasifican en modelos para variables discretas y modelos para variable continua. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS Entre los principales modelos de distribución para variables discretas tenemos: - Modelo binomial - Modelo hipergeométrico - Modelo poisson MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA Entre los principales modelos de distribución para variables continuas tenemos: - Normal - t-student

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

30

Ciencias Empresariales

Estadística II

- F-fisher MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas. Rango o recorrido: 0,1,2,…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p. Donde: n: nº de pruebas. p: probabilidad de éxito.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Es la expresión que nos dará la probabilidad de tener x éxitos en n pruebas. Para el caso de la distribución binomial la función de probabilidad es: f x

P X

x

nCx * p x q n

x

Donde: q 1 p Nota: La p y q se expresa en tanto por uno en las formulas. Ejemplo 1 Se sabe que un determinado vendedor de libros en particular tiene la probabilidad de éxito de 20%. a) Hallar la probabilidad de que en 10 visitas logre 4 ventas. b) Hallar la probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas.

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

31

Ciencias Empresariales

Estadística II

c) Hallar la probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas. d) Hallar la probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas. Solución a) Datos n 10 x 4 p 0,2 q 1 0,2

P X

4

4

10C 4 * 0,2 * 0,8 0,0881 8,81%

10 4

0,8

I La probabilidad de que el vendedor en 10 visitas logre 4 ventas es aproximadamente 8,81%. b) Datos n 11

p 0,2 q 0,8 P X 3

?

P X

P X

P X P X

3 0 1

0

P X

1

0

11C 0 * 0,2 * 0,8 1

11

P X

0,2362

2

9

3

8

0,2953 0,2214 0,8387

P X

2

11C 2 * 0,2 * 0,8

P X

3

11C 3 * 0,2 * 0,8

P X

3

0,0858

10

11C1* 0,2 * 0,8

2

I La probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas es aproximadamente 83,9%. c) Datos n 9

p 0,2 q 0,8 P3 X

5

?

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

32

Ciencias Empresariales

Estadística II

3

6

0,176

4

5

5

4

0,066 0,016 0,852

P X

3

9C 3 * 0,2 * 0,8

P X

4

9C 4 * 0,2 * 0,8

P X

5

9C 5 * 0,2 * 0,8

I La probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas es aproximadamente d) Datos n 13

p 0,2 q 0,8 P X 3

?

P X

1

3

P X

0

P X

1

P X

2

1 0,4983 0,51;51% 0

13

P X

0

13C 0 * 0,2 * 0,8

P X

1

13C1 * 0,2 * 0,8

P X

2

13C 2 * 0,2 * 0,8

1

2

12

11

0,0549 0,1786 0,2680 0,4983

I La probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas es aproximadamente 51% Ejemplo 1 Se conoce que el 25% de los estudiantes de un curso han reprobado la materia: a) Si se le pregunta aleatoriamente a 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la probabilidad de que dos o más hayan reprobado la materia. b) Si se le pregunta aleatoriamente a 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia. Solución a) Datos n 10

p

0,25

q 1 0,25

0,75

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

33

Ciencias Empresariales

PX

2

?

PX

2

1 PX

PX

2

1

PX

2

1 0,244

PX

0

10

PX

1

10

Estadística II

1

PX

0

PX

1

0,756 ; 75,6% 0

C 0 * 0,25 * 0,75 1

C1* 0,25 * 0,75

10 0

10 1

0,0563 0,1877

= 0,244

I La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia es aproximadamente el 75,6%. b) Datos n 12

p 0,75 aprobado q 0,25 reprobado P X 3 ? P X

3

1

P X

0

P X

1

P X

2

1 0 1;100% 0

P X

0

12C 0 * 0,75 * 0,25

P X

1

12C1 * 0,75 * 0,25

1

12

0

11

0 0 2 02 P X 2 12C 2 * 0,75 * 0,25 0 I La probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia es del 100%.

MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo).

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

34

Ciencias Empresariales

Estadística II

4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con probabilidad de éxito variable. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados, además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n.

Rango o recorrido

0,1 m si m

n

0,1 n si m

n

Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N, m, n.

f x

PX

x

m

Cx * N N

m

Cn

x

Cn

Donde: N: población n: muestra m: los de cierta clase N-m: los de otra clase Ejemplo De 24 estudiantes que rindieron el 1er. Parcial 10 reprobaron el examen, si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes 1 por 1 y sin reemplazo cual es la probabilidad de que: a) Exactamente cuatro hayan reprobado el examen. b) Por lo menos 5 hayan reprobado el examen. c) Menos de tres hayan aprobado el examen. Solución a)

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

35

Ciencias Empresariales

Estadística II

Datos N 24 n 6 m 10 reprobados N m 14 aprobados P X 4 ?

PX

4

10

C4 *14 C 6 24

4

0,142; 14,2%

C6

I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes, 4 sean reprobados es 14,2%. b) Datos N 24 n 6 m 10 N m 14 P X 5 ? P X

5

P X

5 N

P X

5

10

P X

6

Cn

C 5 *14 C 6

5 24

10

C 6 *14 C 6

6

C6

0,0278; 2,78%

I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes por los menos 5 hayan reprobado es 2,78%. c) Datos N 24 n 6 m 14 aprobados N m 10 reprobados P X 3 ? PX

3

PX

0

PX

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

1

PX

2

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Ciencias Empresariales

P X

3

14

Estadística II

C 0 *10 C 6

14

C1 *10 C 5 24 C 6

14

C 2 *10 C 4

0,17; 17 %

MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada o volumen dado, entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado. Rango ó recorrido: 0,1,2,3... Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio , en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen. Función de probabilidad f x

P X

e

x

* x!

x

Ejemplo Sea observado que en una estación de servicio en promedio ingresaran 3 vehículos cada 30 minutos, Cual es la probabilidad de que: a) En 30 minutos ingresen exactamente 5 vehículos. b) En 20 minutos como máximo ingrese 1 vehículo. Solución a)

x

3vehi / 30 min

P X

5

e 3 * 35 5!

0,10; 10 %

La probabilidad de que en 30 minutos ingresen 5 vehículos es 10%. b) P X

1

P X

0

P X

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

1

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Ciencias Empresariales

Estadística II

3vehi

30 min

x

20 min

x

2vehi / 20 min

x

2

P X

1

P X

1

e 2 * 2 0 e 2 * 21 0! 1! 0,135 0,271 0,406 ;40 ,6%

DISTRIBUCIÓN NORMAL MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL Sea x una variable aleatoria continua ésta se distribuirá normalmente si su recorrido es toda recta real, es decir ésta distribuida en el intervalo

;

La normal general tiene como parámetros la media y la varianza y se la conoce con el nombre de distribución simétrica, campana de Gauss-Jordan ó curva normal. Función de probabilidad P(x). Para la distribución normal general la función de normal general viene dada por:

f x

1 2

e

1 x 2

2

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL 1.- El área bajo la curva representa la probabilidad. 2.- La curva normal es simétrica con respecto al valor de la media. p=1

m

3.- La curva normal tiene un punto máximo para el valor x

.

4.- La curva normal tiene dos puntos de inflexión (puntos donde cambia la concavidad) en: y x x

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

38

Ciencias Empresariales

Estadística II

Asíntota es una línea cualquiera recta que se acerca a la función sin tocarla. 5.- La curva normal es asintótica en sus extremos. Para realizar el cálculo de probabilidades, es decir el área bajo la curva se debe integrar la función de probabilidad, cosa que es muy difícil y en su lugar integramos las tablas estadísticas. MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional

y dividir este

resultado entre la desviación standard poblacional z

x

La función de probabilidad quedaría:

f x

1 e 2

1 2 z 2

Gráfico simétrico Ambos lados son iguales porque el gráfico es simétrico

z( ) z

0

z( )

x z

CARACTERÍSTICAS DE LA NORMAL STANDARD Los valores de z siguen las siguientes condiciones: En el centro z 0 (cero); desde el centro hacia la derecha los valores de z son positivos y hacia la izquierda son negativos. RELACIÓN ENTRE DESVIACIÓN STANDARD POBLACIONAL Y LA CURVA NORMAL

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

39

Ciencias Empresariales

Estadística II

El valor de la desviación standard poblacional influye sobre la probabilidad que es el área bajo la curva de la siguiente manera: El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable

y

es igual a 68%.

68%

El área bajo la curva entre los puntos de la variable

y

2

2

es 95%.

95%

2

2

El área bajo la curva entre las áreas de la variable

3

y

3

es 99,7%.

99,7%

3

z

x

3

f x

1 e 2

1 2 z 2

El uso de la tabla estadística para la distribución normal standard (apéndice II). Nota Cuando los dos signos son diferentes se suman, cuando los signos de z son iguales se restan Cuando z es mayor a 3,9 se asume que p 0,5 . EJEMPLOS Dado el valor z hallar P 1.- Hallar P entre z 0 y z 1,12

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

40

Ciencias Empresariales

z

Con z 1,12

Estadística II

0

1,12

tabla

P

2.- Hallar P entre z

z

1,28

Con z

-1,28 y z

0

0 tabla

1,28

P

3.- Hallar P entre z

Con z1

0,3686

2,1

Con z2 1,08

0,3997

2,1 y z 1,08

tabla

P1

0,4821

tabla

P2

0,3599

P*

0,8420

4.- Hallar P entre z1

z

0,81 y z 2

z1

2,1

z2

Con z1

0,81

tabla

P1

0,2910

Con z2

2,11

tabla

P2

0,4826

P*

0,4826

5.- Hallar P entre z P*

0,4834

P*

0,2910

2,13 y z

0,3790

P*

6.- Hallar P a la izquierda de z Con z 1,15 P*

P1

0,3708

0,5 0,3708

0,1292

7.- Hallar P a la derecha de z1 P1

0,3106

P1 P2

P*

P2

0,1916

1,17

0,1044

1,13

0,88

0,5

0,8106

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

41

Ciencias Empresariales

Estadística II

8.- Hallar P a la derecha de z 1 P1

0,3413

P*

0,5 0,3413

P*

0,1587

Dado el valor P (área) determinar el valor de z 1.- Hallar el valor de z si P 0,3531 Sea P

0,3531

z 1,05

2.- Hallar z si el área a su derecha es 0,0582 P 0,5 0,0582 0,4418 Z 1,57 3.- Hallar z si el área a su derecha es 0,8461 0,8461 0,5 0,3461 z 1,02 4.- Hallar

z si el área entre 2 valores de z es P*

P1

0,4236

P2

0,4236

P*

0,8472

z1

0,8472 2

1,43

z2

1,43

INTERPOLAR Es realizar una operación para encontrar un valor que no aparece en la tabla. Ejemplos Si P 0,4874 .Hallar z a

c

0,4871

2,23

0,4874

z

0,4875

2,24

d

b

a

0,4875 0,4871 0,0004

b

0,4874 0,4871 0,0003

c

2,24 2,23

d

0,0075

z

2,23 d

z

2,24 0,0075

z

2,2475

Hallar z para P

0,01

a ________ b c ________ d d d

c * b 0,01 * 0,0003 a 0,0004 0,0075

0,3

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

42

Ciencias Empresariales

a

c

Estadística II

0,2996

z 2,23

0,3

z

0,3023

z 0,85

d

b

a 0,0027 b 0,01 c 0,0004 d 0,0014815 z 0,84 0,0014815 z 0,8414815

a ________ b c ________ d d

0,01* 0,0004 0,0027

0,0014815

Ejemplos 1.- Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 Kg. y una desviación standard de 100 Kg. Hallar la probabilidad de que la demanda mensual sea superior a 500 Kg. Datos

650 Kg.

100 Kg. Px

z

500

?

500 650 100

1,50

z

P*

650

500

1,5

0

x z

1,5

tabla

P1

0,4332

P*

0,5 0,4332

P*

0,0668 6,7%

2.- Suponga que el ingreso mensual por familia en una comunidad tiene una distribución normal con una media de 600 $ y una varianza de 10000 $. a) Calcular la probabilidad de que al interrogar sobre el ingreso mensual a una familia elegida aleatoriamente esta responda que es menor a 450 $us. Datos 600 $us

10000$us

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

43

Ciencias Empresariales

Px

z

Estadística II

450

450

600

150 100

10000

1,50

P*

x z

600

450 1,5 0

z

1,5

P1

0,4332

P*

0,5 0,4332 0,0668 6,7%

b) Determinar la proporción de familias cuyo ingreso mensual este entre 500 $us y 680 $us. Datos

600 $us

100 $us P 500

z1 z2

x

680

500 600 100 680 600 100

?

1 0,3413 0,8

0,2881 0,6294

P*

62 ,94 %

P*

500 1,00

600

0

0,6294

680

0,80

x z

I La proporción de familias con ingreso mensual entre 500 y 680 $us es 62,94%. 3.- Los pesos de los conscriptos en un cuartel se distribuyen normalmente con una media de 69 Kg. y una varianza de 52 kg2. A partir de esta información determinar:

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44

Ciencias Empresariales

Estadística II

a) Cual es la proporción de conscriptos que pesan 65 ó más Kg. b) Si se escoge aleatoriamente a un conscripto cual es la probabilidad de que su peso este comprendido entre 60y 75 Kg. c) Que peso deja por encima de 100 al 60% del total de los pesos. d) Entre que pesos se encuentra el 68% del total de pesos, los pesos centrales

Solución a) Datos 69 Kg.

52 Kg2. Px

65

?

Px

65

65 69 7,211

z

0,5547

0,5547

P 0,2088 69

52

P* 0,5 0,2088

0

0,55

P* 0,7088;70,88%

x z

I La proporción de los conscriptos que pesan más de 52 Kg. es de 70,88%.

b) Datos 69 Kg.

52 Kg2. P 60 Kg.

Px Px

60 75

x

75 Kg.

60 69 7,211 75 69 7,211

?

1,25 0,83

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

z1 z2

1,25

P1

0,3944

0,83

P2

0,2967

*

0,6911

P

45

Ciencias Empresariales

69 75

60 1,25

Estadística II

0

0,83

x z

I La probabilidad de que pesen 60 y 75 Kg. es de 69,11%.

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46

Ciencias Empresariales

Estadística II

UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

INTRODUCCIÓN Las distribuciones muestrales son distribuciones de probabilidades de los indicadores estadísticos muestrales, es decir de los estimadores para muestras del tamaño n seleccionados de una población determinada N . De las distribuciones muestrales lo que nos interesa conocer es su media y su varianza es decir como se distribuye cada estimador estadístico, cual es su forma para luego realizar inferencia respecto a los parámetros poblacionales, es decir que en base a indicadores estadísticos muestrales podamos averiguar el comportamiento de los parámetros de la población. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo. Ejemplo Si deseamos estimar

_

y tenemos de una muestra el valor x . _

Si n es grande entonces x se acerca al valor de

.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Si la distribución es normal y el tamaño de la muestra es grande n 30 entonces la media muestral se distribuye como una normal stándard y en este caso el valor de z se calcula con la expresión:

x

Z

x

Donde:

: Error típico de la media x

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47

Ciencias Empresariales

Estadística II

n

x

Reemplazando _

z

x n

z

0

x z

Si el tamaño de la población “N” es finito (se conoce población) y además se cumple que: n N

0,05

Entonces: _

x

z n

N n N 1

Ejemplo Se conoce que los pesos en Kg. de los estudiantes de una determinada universidad se distribuye normalmente con una media de 72 Kg. Y con una varianza de 58 Kg 2. a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 35 estudiantes, ¿cual es la probabilidad de que esta media sea inferior a 75 Kg.? Datos

72 Kg 58 Kg 2 n 35 _

P x 75

?

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48

Ciencias Empresariales

Estadística II

_

z

x n

75 72 58 35

2,33 p*

72

z

z

2,33

p1

75

0

x z

0, 4901

p* 0,5 p1 p* 0,9901;99, 09%

b) Hallar la probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 Kg. Datos P(70 x 77) ?

72

70

x z

77

z1

z

0

n

70 72 58 35

z2

_

z1

x

1,55

77 72 3,88 tabla  p2 58 35 p* 0,9393;93,93%

z2

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

p1

0, 4394

0, 4999

49

Ciencias Empresariales

Estadística II

La probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 es de 93,93%. c) Cual es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 68 y 70 Kg.

x z

68 70 72

z

68 72

z1 z2

0

35

58 70 72

35

58

3,99

p1

0, 4991

1,55

p2

0, 4394 0, 0597

La probabilidad de que la media muestral este entre 68 y 70 es 5,97%. Ejemplo 2 1200 postulantes darán examen de ingreso para una facultad de la U pública, estas notas se distribuyen normalmente con una media de 54,5 pts. Y una desviación estándar de 5,5 pts. a) Halla la probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts. b) Si se toma una muestra aleatoria de 80 calificaciones cual es la probabilidad de que la media se la muestra sea mayor a 56 pts. Solución a) Datos 54,5

5,5 P(9 z1

x 53) ? x

z2

49 54,5 1 5,5 53 54,5 0, 27 5,5

p1

0,3413

p2

0,1064 0, 2349

49 53 54,5

z

0

x z

La probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts. es de 23,49% b) Datos

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50

Ciencias Empresariales

Estadística II

P ( x 56) ? n 80

z

x

si

n N

0, 05 N n * N 1 n 56 54,5 1,5 z 0, 61 0,966 5,5 1200 80 * 1200 1 80 p* 0,5 0, 4941 0, 0059;0,59%

54,5

z 0

56

2,52

p

0, 4941

x z

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población

N. Ai N Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el P

cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra a i y el tamaño de la muestra n ai n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por p

100. Si en una población que se distribuye como una normal se extrae una muestra de tamaño n y en ella se identifican un cierto número de elementos que tiene una característica específica y a partir de ella se estima la proporción poblacional, entonces para realizar el calculo de probabilidad con respecto a una proporción muestral se utiliza como estadístico la normal stándard.

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51

Ciencias Empresariales

Estadística II

El estadístico "z" para la distribución muestral de proporción se calcula con la expresión:

z

p

P

donde:

p

p

P*Q n

Donde: p proporción muestral P proporción poblacional

Q complemento de la proporción poblacional Reemplazando z

p P P *Q n

Si el tamaño de la población “ N ” es finito y el cociente debe ser dividida entre el factor de finitud:

n N

0, 05 entonces la formula anterior

N n N 1

Y la expresión de z se convierte en: z

p P P*Q N n * n N 1

Ejemplo De una población 1200 estudiantes de cierta carrera de la U pública, se han seleccionado una muestra aleatoria de 200 estudiantes y en ellos se investiga los que están de acuerdo con las propuestas de un candidato a Rector para las elecciones. A partir de investigaciones previas se conoce que la proporción de los que están de acuerdo con la propuesta de dicho candidato es 15%. a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior al 18%.

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52

Ciencias Empresariales

Estadística II

Datos P p

0,18

?

n 200 P 0,15 Q 1 P 1 0.15 0,85

N 1200 z

z

p P P*Q N n * n N 1 0,85 0,15 0,15 * 0,85 1200 200 * 200 1200 1

1,30

En la tabla encontramos que para z 1,30 por tabla p1 Como p * p*

0,4032

0,5 0,4032

0,9032

; 90,3 %

b) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este entre 12% y el 17%.

P 0,12

0,12

p 17

0,15

z

z

z

p1

0,17

0

x z

0,12 0,15 0,15 0,85 1200 200 * 200 1200 1 0,17 0,15 0,15 0,85 1200 200 * 200 1200 1 p2 0, 711;71,1%

1,30

0,87

p1

p2

0, 4032

0,3078

c) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 18% y 22%.

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53

Ciencias Empresariales

P 0,18

Estadística II

p 0, 22

x z

0,15 0,18 0, 22

z

z

z

p*

0

0,18 0,15 1,30 p1 0,4032 0,15 * 0,85 1200 200 * 200 1200 1 0,22 0,15 3,03 p2 0,4988 0,15 * 0,85 1200 200 * 200 1200 1 p2 p1 0,4988 0,4032 0,0956 ; 9,56 %

d) Entre que valores de proporción se encuentran el 50% de las proporciones muestrales más cercanas a la proporción poblacional.

P pn

p

p2

0, 25

P* 0,5 p1

0, 25

p2

0, 25

x z

0,15

z1

z2

a 0, 0032 b 0, 01 c 0, 0014 d

b*c a

0,01 * 0,0014 0,0032

0,0043

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54

Ciencias Empresariales

z

0, 67 0, 0043

z1

0, 6744

z2

0, 6744

Estadística II

Despejando p del expresión: z

Tenemos p

z

P*Q N n * n N 1

p P P*Q N n * n N 1 P

Calculando p1 y p2:

p1

0,6744

0,15 * 0,85 1200 200 * 200 1200 1

p1

0,0155

0,15

p1

0,15

0,134 ; 13,4%

De la misma manera se calcula el valor de p2 con la diferencia de que al estar z 2 a la derecha este valor es positivo z

0,6744 y así p2 será:

p2

0,6744

0,15 * 0,85 1200 200 * 200 1200 1

p2

0,0155

0,15

p2

0,165 ; 16 ,5%

0,15

Rta. El 50% de las proporciones muestrales, las más cercanas a la proporción poblacional se encuentran entre 13,4% y 16,5%.

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55

Ciencias Empresariales

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Estadística II

56

Ciencias Empresariales

Estadística II

UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES INTRODUCCIÓN En esta unidad analizaremos de qué manera se puede estimar el valor de un parámetro poblacional a partir de datos muestrales, los parámetros que analizaremos en la presente unidad serán la media, la proporción y la diferencia de medias. Para esto es importante en ciertos casos la utilización de la distribución t-student. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir n 30 . El área bajo la curva representa a la proporción ó probabilidad por lo tanto el área bajo la curva de la distribución t-student es igual a 1; la gráfica de la distribución t-student tiene una forma similar a la gráfica de la distribución normal Standard; el valor del estadístico “t” en el centro del gráfico es igual a 0; los valores de “t” en el lado derecho son de signo positivo (+) y los valores de

P1

“t” en la izquierda son de signo negativo (-).

t

t

0

t

t

CARACTERÍSTICAS DE LA TABLA T-STUDENT La tabla t-student (apéndice III), nos muestra los valores de la variable t en el cuerpo de la tabla (adentro), en la parte superior se encuentran las probabilidades o proporciones para ciertos valores los cuales son 99,5%, 99%, 97,5%... Los grados de libertad

en una estimación se definen como la diferencia entre el tamaño de la

muestra y la cantidad de parámetros que se está estimando k entonces generalmente k 1 por lo tanto

n k

n 1

En la parte izquierda de la tabla aparecen los grados de libertad

,

n 1 Para valores menores a 50% se trabaja por el complemento para entrar a la tabla.

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57

Ciencias Empresariales

Estadística II

0,1

t 0 ,10

t 0 ,9

USO DE LA TABLA Ejemplo 1 Hallar t0,95 para

2

t

2,92

Ejemplo 2 Hallar t 0,75 para

20

t

0,687

El ejemplo anterior se expresa Pt

0,75 con

t

0, 75

20

t

0

t

0

t

0

t

0, 687

t

Ejemplo 3 Hallar “t” si:

P t t

0,1 y n 19 0,1

t0,1

t0,9 t0,9

1,33 t

n 1 19 1 18 Ejemplo 4 Hallar “t” si: Pt

t

0,3

15 1 14 t0,7 t0,3

y n 15

0,537

t

0, 537

t

t0,7

Ejemplo 5 Hallar “t” si:

P

t t t

0,95 y n 7

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58

Ciencias Empresariales

6 t0,975

Estadística II

0,95

0,975 2, 45

0, 025

t1

t0

t2

t

ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir de el valor de un estadígrafo muestral ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1

, también llamado nivel de

certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo.

1 x1 z

z

0

x2 z

x z

NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo.

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59

Ciencias Empresariales

Estadística II

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Si de una población que se distribuye normalmente se selecciona una muestra aleatoria grande mayor a 30 n 30 y se tiene una varianza poblacional conocida entonces el intervalo de confianza se construye a partir del estadístico normal estándar

1 z

z

cola 1

x z

0

z

2

cola 1 2cola 1 1 cola

1

2

0,9 1 0,9 0,1 0, 05 / 2 2

2

Para hallar el intervalo de confianza se debe llevar a un extremo y al otro extremo del valor de la _

media poblacional al valor de la media muestral x sumando y restando el estadístico z 2

multiplicado por el error estándar de la media muestral x

n

Reemplazando

P x z 2

x z

n

2

n

1

Si el tamaño de la muestra es pequeño n 30 y la población es normalmente distribuida se utiliza el estadístico t

y la construcción del intervalo de confianza para el verdadero valor de la 2

media poblacional, se realiza mediante la expresión:

P x t 2

S n

x t 2

S n

1

Ejemplo 1 Las calificaciones de los estudiantes de un curso se distribuyen normalmente con una varianza de 149 pts2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 40 estudiantes y en ella se calcula la

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60

Ciencias Empresariales

Estadística II

media de 65 pts. Construya un intervalo de confianza al 90% para el verdadero valor de la nota promedio poblacional. Datos 2

entonces

149 pts 2

149 pts

n 40 x

65 pts

1

0,9

1 z

z

0

x z z

2

0,9 1

1 0,9 0,1 dividiendo ambos miembros entre 2 tenemos: 2 2

Con P1

0,1 2 0,05

2

0,05 tenemos que según la tabla de z

0, 4500

Interpolando 0, 4495 1, 64

0, 4500

z 1, 645

0, 4505

1, 65

z

1,645 2

Reemplazando en P x z 2

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

n

x z 2

n

1

61

Ciencias Empresariales

Estadística II

149 40

P 65 1, 645

149 40

0,9

65 3,17

0,9

68,17

0,9

65 1, 645

P 65 3,17 P 61,82

Con un nivel de confianza del 90% se puede afinar que el verdadero valor del promedio de notas está entre 61,82 pts. Y 68,17 pts. Calcular el intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% 1 0,95

1 0,95 0, 05 2

0, 025

Con P1

0,45 0,025

Con P1

P1

0,475

0,475 en la tabla encontramos que: z

1,96 2

0,95 0, 025

z

x z

0

Reemplazando P 65 1,96

149 40

149 40

0,9

65 3, 78

0,9

68, 78

0,9

65 1,96

P 65 3, 78 P 61, 2

I. Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que el verdadero valor del promedio de notas esta entre 61,22 pts. Y 68,78 pts. Ejemplo 2

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

62

Ciencias Empresariales

Estadística II

Se han tomado los pesos de 11 estudiantes de un curso muy numeroso el cual se construye de una muestra aleatoria, estos pesos son los siguientes: 58, 61, 64, 69, 66, 62, 62, 60, 62, 63, 65 Kg. Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95 % Datos n 11 1 0,95 0,95 0, 025

z

x z

0

1 0,95 0, 05 2 0, 025 2 0,95 0, 025 0,975

3, 015 3, 015 62,91 2, 23 11 11 P 62,91 2, 027 62,91 2, 027

P 62,91 2, 23

P 60,88

64,94

0,95 0,95 0,95

Con un nivel de confianza del 95%. Se puede afirmar que el verdadero valor del promedio poblacional se encuentra entre 60,88 y 64,94 Kg. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA Tamaño de la muestra para la estimación de una media poblacional. El tamaño mínimo de la muestra para estimar una media se realiza o calcula en 2 pasos: 1º Paso 2

z nº

*

2

2

e2

2º Paso

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

63

Ciencias Empresariales

n

Estadística II

nº nº 1 N

Donde: nº: (casi muestra) e : error que podemos cometer (absoluto) Si e está en %

entonces e

_

x e%

Si no tenemos N o es muy grande no se puede calcular el paso 2. Tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional. 1º Paso 2

z

* p*q 2

nº

e2

2º Paso n

nº nº 1 N

Nota: Si

2

no es conocido se hace una prueba piloto y se reemplaza E2con S2.

Si no se puede determinar p, q se asume p

0,5; q

0,5 , porque esta combinación nos

produce un mayor producto p * q . El error en la formula para estimar proporciones siempre esta en unidades relativas, al reemplazar en la fórmula se expresa en tanto por uno. Ejemplo1 Un sindicato tiene 1000 afiliados los cuales deben renovar su directorio se desea determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato A, esta estimación se desea determinar con una confianza del 90%. Para esto se realiza una prueba piloto con 20 afiliados elegidos aleatoriamente y se encuentra en esta muestra que 8 apoyaran al candidato A. suponer que se va a cometer un error del 5%. Datos

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

64

Ciencias Empresariales

N 1

1000 0,9

n

?

Estadística II

Prueba piloto De 20 personas entrevistadas 8 apoyarán al candidato A, entonces: p

8 20

p

e

5%

0,05

1

0,4

y

q

0,6

0,9 1 0,9 0,1

2

0,1 0, 05 2 0,9

z

nº

z

0, 4495 0, 4500 0, 4505 2

1, 64 z 1, 645 1, 65 ^

0, 05

2

x

z

^

/ 2 * p* q E2 2

nº

1, 645 *0, 4*0, 6 0, 05

nº

259, 78 259, 78 1 1000

2

206, 2

259, 78 207

lo redondeo a un número mayor

Ejemplo2 Se desea saber el tamaño de la muestra para estimar la edad promedio en una Universidad Privada que tiene 7000 alumnos, si se sabe que la desviación standard es de 3 años. Asumir que el error que se puede cometer es de 5% y la estimación deseamos hacerla a un nivel de confianza del 95%. Mediante una prueba piloto se determino que el promedio de edad era de 21 años.

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

65

Ciencias Empresariales

Estadística II

Solución n ? N 7000 E 1

2 3 9 años 2 5% 0, 05 1 0,95 0, 05

2

0, 05 2

E E

E% * x 0, 05* 21 1, 25

0, 025 _

0,95

z p1

z

0,3 0,025 0, 475

2

nº

1,96 * 3 1, 05

nº

0, 025

2

2

1,96

2

31,36

2

31,36 31,36 1 7000

z

x

31, 22

32

lo redondeo a un número mayor

MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población al realizar un muestreo se debe aplicar diseños muestrales entre los que tenemos: Aleatorio Sistemático Estratificado Conglomerado MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma

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66

Ciencias Empresariales

Estadística II

probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos, etc. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el país.

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67

Ciencias Empresariales

UNIDAD Nº 4

Estadística II

VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES

INTRODUCCIÓN La verificación de hipótesis es un procedimiento mediante el cual se puede tomar decisiones acerca de la población este procedimiento también se llama prueba de hipótesis o décima de hipótesis. La verificación de hipótesis permite determinar cual es la región crítica de rechazo (Re) y cual es la región de aceptación (Ra). Las regiones se determinan mediante el estadístico adecuado. Si el estadístico calculado ó obtenidos mediante formulas cae en la zona de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna por el contrario si cae en la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alterna. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y varianza,etc. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas HIPOTESIS NULA H0 Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestral. HIPOTESIS ALTERNA H1 Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa. H0

H1

TABLA 2 Colas 1cola 1cola

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Ciencias Empresariales

Estadística II

ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER Al momento de tomar una decisión sobre las hipótesis planteadas hay la posibilidad de cometer dos tipos de errores. ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Gráficamente tenemos: VERDADERA

FALSA

ACEPTAR

Decisión Correcta

Error Tipo II

RECHAZAR

Error Tipo I

Decisión Incorrecta

PASOS PARA EL PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS 1) Planteamiento de Hipótesis 2) Especificar el nivel de confianza 3) Recolección de datos 4) Selección del estadístico pertinente z ó t 5) Determinación de la zona de aceptación y rechazo (Ra) y (Rr). (Tabla). 6) Determinación o calculo de Zi ó ti (Formula). 7) Toma de decisión FORMULAS PARA ESTADÍSTICOS Muestra Grande P/u

Zc

Muestra Pequeña

_

_

x

x

tc n

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S n

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Estadística II

^

P/p

Zc

p p p*q n

Ejemplo 1 Según la información histórica de una fábrica se sabe que ésta produce el 50% de los productos en calidad superior. Se desea verificar esta situación y para esto se tomo una muestra aleatoria de 36 productos y se detectó que 27 estaban con calidad superior. Verificar a un nivel de confianza de 95% si la proporción de los productos de calidad superior actual es mayor a la proporción histórica. Solución 1) H0 : p

2) 1

0,5 H 0 : p

0,5

0,95 0, 05

3)

n 36

productos

27 calidad ^

p

27 36

0, 75

4) ^

Zc

p p p*q n

5) 05 0, R

RA

R

Z p 0,5 0,05 0, 45

Z

1, 64 1,645

x

6)

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70

Ciencias Empresariales

Zc

0, 75 0,5 0,5*0,5 36

Estadística II

3

7) Se rechaza la H0 de que p 5 y se acepta la H1 de que p

5

A un nivel de confianza del 95% se verifica que la proporción de productos de calidad superior es mayor a la histórica.

Ejemplo 2 Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por un deficiente llenado que debe ser un promedio 32,5 oz para ello toma una muestra de 60 botellas encontrando que el contenido medio es 31,9 oz, se sabe que la máquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación standard de 3,6 oz. A un nivel de significancia de 5% puede el inspector concluir que están llenando por debajo de su especificación de contenido. Solución 1) H0 :

32,5 H 0 :

32,5

2)

0, 05 3) n 60 _

x 31,9 oz 3, 6 4) _

Zc

x n

5) 5

0 0,

RA

RR Z

x

1, 64 p1

0, 45

Zt

1, 645

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

71

Ciencias Empresariales

Estadística II

6) 31,9 32,5 3, 6 60

Zc

1, 29

7) Como cayó en la RA entonces es valida la H0 y el inspector no debe concluir que se está embotellando el producto por debajo de su especificación a un nivel de significancia del 5%.

Ejemplo 3 Se sabe que la proporción de habitantes de una región que consume habitualmente un producto es de 50%, si se extrae una muestra de 100 habitantes y en ella 63 afirmaron que consumían dicho producto. Verificar a un nivel de confianza del 95% que la proporción de habitantes que consumen dicho producto sigue siendo 50%. Solución 1) H0 : p

2) 1

0,5 H1 : p

0,5

0,95 0, 05 2

0, 025

3) n 100

consumian 63 ^

p

63 100

0, 63

4) ^

Zc

p p p*q n

5)

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Ciencias Empresariales

RA

RR z

Estadística II

0, 025

2

RR

1,96

zt

1,96

x

p1 0,5 0,025 0,475 con p1 0,475 Zt 1,96

6) Zc

0, 63 0,5 0,5*0,5 100

2, 6

7)

Se rechaza la H0 y se acepta la H1. Se verifica que la proporción de la población que consume dicho producto no sigue siendo 50% a un nivel de confianza del 95%. Ejemplo 4 Un agrónomo mide el contenido de humedad en cierta variedad de trigo que fue secado, si tomo una muestra de 16 toneladas la cual la subdivida en 16 muestras midiéndose el contenido de la humedad que se presentan a continuación. 7,2 6,8 7,3 7,0 7,3 7,3 7,5 7,3 7,4 7,2 7,6 7,1 7,4 6,7 7,4 6,9 Si el contenido de humedad excede a 7,1 el proceso de secado debe continuar ¿Deberá continuar con el proceso de secado tomando un nivel de confianza del 95%? Solución 1) H0 :

2) 1

7,1 H1 :

7,1

0,95 0, 05

3)

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

73

Ciencias Empresariales

Estadística II

_

x 7, 21 S 0, 25 n 16

4) _

tc

x S n

0, 0

5

5) RA tc 0,05 0,95 n 1 16 1 15

RR

1, 75

x

tc 1,75

6) tc

7.21 7,1 0, 25 16

0,11 1, 76 0, 0625

7) Se rechaza la H0 y se acepta la H1. A un nivel de confianza del 95% se concluye que se debe 7,1 . continuar con el proceso secado por que Ejemplo 5 Un fabricante de productos naturales afirma que su medicina puede reducir la fiebre en 90% de los casos de alergia. En una muestra de 200 personas con alergia su medicina redujo la fiebre en 160 personas. Determinar si la afirmación del fabricante es legitima a un nivel de significancia de 1%. Solución 1) H0 : p

0,9 H1 : p

0,9

2)

0, 01

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

74

Ciencias Empresariales

3) n 200 ^ 160 p 200 4)

Estadística II

0,8

^

Zc

p p p*q n

0, 0

1

5) RA

RR Zt

x

2,3267

0, 4898

2,32

0, 4900 0, 4901

z 2,33

0, 0002*0, 01 0, 0003 0, 0067

6) Zc

0,8 0,9 0,9*0,1 200

4, 72

7) Se rechaza H0 y se acepta H1. La afirmación del fabricante no es cierta a un nivel de significancia de 1%. Ejemplo 6 Un trabajador social que cree que el peso promedio de los muchachos de 10 años que viven e un sector rural determinado es inferior a 34 Kg. Una muestra aleatoria de 25 muchachos tomada en esa población arrojo un peso promedio de 30 Kg. Y una desviación típica de 10 Kg. Verificar la aceleración del trabajador social a un nivel de significancia del 5%. Solución 1) H0 :

34 H1 :

34

2)

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Ciencias Empresariales

Estadística II

0, 05 3) n 25 _

x 30 S 10

4) _

x

tc

S n

0, 0

5

5) RA

RR tc

x

1, 71

0, 05 0,95 n 1 25 1 24

1, 71 tc

6) tc

30 34 10 25

4 2

2

7) Se rechaza H0 y se acepta H1. La aceleración del trabajador social es legítima.

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Estadística II

GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS __

COMPLEMENTO DEL EVENTO ( E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. __

__

COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E ; P; q El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra. ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadero. ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir del valor de un estadígrafo muestral. ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1

, también llamado nivel de

certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional. EVENTO O SUCESO

E

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Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque presenta dos o más opciones. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y varianza, etc. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas. HIPOTESIS NULA H 0 Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestral. HIPOTESIS ALTERNA H 1 Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa.

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Estadística II

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas. Rango o recorrido: 0,1,2,…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p. Donde: n: nº de pruebas. p: probabilidad de éxito. MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con probabilidad de éxito variable. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados,

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Ciencias Empresariales

Estadística II

además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n.

Rango o recorrido

0,1 m si m

n

0,1 n si m

n

Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N, m, n.

f x

PX

x

m

Cx * N N

m

Cn

x

Cn

MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada o volumen dado, entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado. Rango ó recorrido: 0,1,2,3... Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio , en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen. Función de probabilidad f x

P X

x

e

* x!

x

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional

y dividir este

resultado entre la desviación standard poblacional z

x

La función de probabilidad quedaría:

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

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Ciencias Empresariales

f x

1 e 2

Estadística II

1 2 z 2

MODELO DE DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir n 30 . MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos, etc. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el país. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo.

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Ciencias Empresariales

Estadística II

NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo. POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. PROBABILIDAD P E , P La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. P B A Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido.

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS

P A

B

La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A

B

La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población N. P

Ai N

PROPORCIÓN MUESTRAL Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra a i y el tamaño de la muestra n

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Estadística II

ai n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por 100.. p

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo y poblacional. Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades I. Cálculo de probabilidades 1. Hallar la probabilidad en porcentaje de que: a) Al lanzar 2 dados la suma sea menor que 5 b) c) d) e) f)

Al lanzar 1 dado el Número sea mayor que 4 Al lanzar 2 dados el producto sea igual o mayor que 25 Al lanzar 2 dados la suma de los números sea mayor que 12 Al sacar una sola carta al azar de la baraja esta sea 10 de diamantes ó 2 de corazones. Al sacar una carta al azar de la baraja esta no sea trébol

2. Sean: E1= Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2= Sacar 3 de corazones de la baraja en la 1º extracción Hallar p ( E1

E2 )

3. Sean: E1 = Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2 = Sacar un 8 de la baraja en la 1º extracción Hallar: P( E1

E2 )

4. Una caja contiene 6 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Hallar la probabilidad en porcentaje de que:

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

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Ciencias Empresariales

Estadística II

a) Sacar una bola roja en la 1º extracción b) Sea E1 = Sacar una bola verde en la 1º extracción y con reemplazamiento E2 = Sacar una bola verde en la 2º extracción Hallar: P( E1

E2 )

c) No sacar una bola blanca en la 1º extracción

5. Si se lanzan dos dados a la vez hallar la probabilidad de que: a) La suma sea por lo menos 8 b) Sean: E1 = Sacar 7 ó 8 en la suma E2 = Sacar 4 como máximo en la suma Hallar

p( E1

E 2 ) además hallar

P( E1

E2 )

6. En una sala de aulas hay 8 rubios de los cuales 3 son hombres y 5 mujeres. Además hay 7 morenos de los cuales 4 son hombres y 3 son mujeres. Sean los eventos E1 = Que la primer persona que salga al azar sea hombre y no retorne E2 = Que la segunda persona que salga sea mujer E3 = Que la primer persona que salga sea morena y con reemplazamiento E4 = Que la segunda persona que salga sea rubia E5 = Que la primer persona que salga sea mujer rubia y no retorne E6 = Que al lanzar dos dados la suma sea mayor que 9 Hallar: a) P( E 1

E2 )

b) P( E 3

E4)

c) P( E 5

E 2 ) d) P( E5

E 6 ) e) P ( E 5

E6 )

7. En una canasta hay muy bien mezcladas 7 bolas verdes, 3 bolas blancas y 5 manzanas rojas. Sean los eventos: E1 = La primer bola en ser extraída sea blanca o roja y sin remplazamiento E2 = La segunda bola extraída sea verde E3 = La primer bola extraída sea roja y sin reemplazamiento E4 = La segunda bola extraída sea roja E5 = La suma al lanzar dos dados sea 5 ó menos

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

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Ciencias Empresariales

Estadística II

E6 = La primer bola extraída sea blanca Hallar: a) P( E1

E2 )

b) P ( E3

E4 )

c) P ( E3

E2 )

d) P( E 1

E5 )

e) P( E3

E5)

f) P ( E 3

E6 )

8. Sean los eventos: A = Obtener 1 sola vez sol al lanzar la moneda 2 veces B = Que la suma sea 10 ó más al lanzar dos dados juntos C = Obtener sol 1 sola vez al lanzar una moneda 3 veces Calcular la probabilidad: a) P( A

B)

b) P( A C ) c) P( B

A)

d) P( B C ) e) P( A

C)

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Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades Distribuciones discretas de probabilidades 1. Se ha estimado que el 10 % de los jugadores de una liga de baloncesto son pelirrojos, si se selecciona una muestra aleatoria de 12 basquetbolistas uno por uno y con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) La tercera parte sea pelirrojo b) Como máximo dos sean pelirrojos c) 7 no sean pelirrojos d) 4 o más sean pelirrojos 2. Se sabe que el 25 % de los estudiantes de un curso han reprobado la materia, si se selecciona aleatoriamente a 13 estudiantes uno por uno y con reemplazo y se averigua su nota. Determinar: a) La probabilidad de que 4 hayan reprobado la materia b) La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia c) La probabilidad de que más de 2 hayan reprobado la materia d) La probabilidad de que 9 o más hayan aprobado la materia 3. En una clase hay 20 alumnos, 15 de ellos no están conformes con el texto que utilizan. Se les pregunta a 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y sin reemplazo su opinión acerca de dicho texto. Cuál es al probabilidad de que: a) 3 de ellos estén conformes con su texto b) Como máximo 2 no estén conformes con su texto c) Como máximo 3 estén conformes con su texto d) Si se extraen 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y con reemplazo, cuál es la probabilidad de que 3 o más no estén de conformes con el texto e) Si se extraen 6 de ellos uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que como máximo 2 esté conforme con el texto. 4. Se sabe que el 40 % de los estudiantes de la U.A.G.R.M. son provenientes de alguna provincia. Si se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes al azar uno por uno y con

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reemplazo. Calcular la probabilidad de que: a) 4 de ellos sean de provincia b) 3 o menos sean de provincia c) Más de 11 no sean de provincia d) 12 o más sean de provincia 5. En una clase de Cálculo 1 hay 32 estudiantes, de los cuales 18 son de Auditoria. Si se toma una muestra al azar de 13 estudiantes, uno por uno y sin reemplazo. Calcular: a) La probabilidad de que 2 o menos sean estudiantes de auditoría b) La probabilidad de que 4 o más sean estudiantes de auditoría c) La probabilidad de que 8 de ellos no sean estudiantes de auditoría d) Si se toma una muestra aleatoria de 8 estudiantes, uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 de ellos no sean de auditoría 6. Se sabe que el 22% de los estudiantes de medicina de la UCB son extranjeros. Si se toma una muestra al azar de 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo. Hallar la probabilidad de que: a) 2 o menos estudiantes sean extranjeros b) mas de 9 estudiantes asean extranjeros c) 7 estudiantes sean bolivianos. En promedio 6 personas utilizan un cajero automático cada hora, en el periodo de horas más transcurridas de cierta agencia bancaria; Cuál es la probabilidad de encontrar: d) Exactamente 6 persona utilizar el cajero en una hora e) Menos de 6 personas utilizar el cajero en 1,5 horas f) Que nadie utilice dicho cajero en el lapso de 10 minutos 7. Una persona que pesca en cierto lugar del río Beni puede esperar pescar 1,6 peces por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que pesca en ese lugar. a) En una hora no logre pescar nada b) Saque exactamente un pez en una hora c) Saque al menos 3 peces en 1,5 horas 8. En un aula hay 50 estudiantes de los cuales 18 son partidarios del partido colorado, si se extrae una muestra aleatoria de 13 estudiantes uno por uno y sin reemplazo, cual es la probabilidad de que a) A lo sumo 4 sean partidarios del partido colorado b) Por lo menos 5 sean partidarios del partido colorado

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c) Más de 3 no sean partidarios del partido colorado d) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que como máximo 3 sean partidarios del partido colorado e) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cuál es la probabilidad de que 6 o menos no sean partidarios del partido colorado 9. En un hospital se tiene un promedio de 3 pacientes admitidos de emergencia por hora, determinar la probabilidad de que: a) En una hora sea admitido un paciente de emergencia b) En 3 horas sean admitidos 6 o menos pacientes de emergencia c) En media hora sea admitido a lo sumo 1 paciente de emergencia 10. Los defectos de cierta clase de tejido de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por cada 100 pies cuadrados. Calcular la probabilidad de que en una pieza de 50 por 10 pies no contenga defectos. 11. Un estudiante de la facultad de medicina tiene la certeza de aprobar una asignatura cualquiera con una probabilidad de 0.8. Si tiene inscrito 8 asignaturas cual es la probabilidad de que: a) Apruebe 6 asignaturas b) Repruebe 3 asignaturas c) Apruebe como máximo 5 asignaturas d) Apruebe todas las asignaturas 12. Una canasta tiene 13 bolas de las cuales 5 son rojas. a) Si se extraen 4 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean rojas? b) Si se extraen 5 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que más de 2 no sean rojas? c) Si se extraen 7 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 3 sean rojas? d) Si se extraen 6 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 sean rojas? e) Si se extraen 7 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de que 5 o menos no sean rojas? 13. En un área geográfica determinada se sabe que el 40% de la población pertenece al partido demócrata. Si se selecciona una muestra aleatoria de 12 personas con reposición

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Cuál es la probabilidad de que: a) Como máximo 4 pertenezcan al partido demócrata b) Como mínimo 3 no pertenezcan al partido demócrata c) Entre 3 y 5 pertenezcan al partido demócrata

Teorema de Bayes 1. Una empresa tiene fábricas en Chicago y en Houston, la fábrica en Chicago produce el 40 % del total de unidades, con un índice de defectos del 10 %, la de Houston tiene un índice de defectos del 20 %. Si una unidad extraída al azar se encuentra defectuosa ¿De dónde es más probable que provenga de Chicago o de Houston? R. De Houston, porque P H / D

0.75

2. Estudios de la asociación nacional de educación indican que el 30 % de los maestros de la nación dejan la profesión antes de los 10 años. Además que el 60 % de los que abandonan son titulados superiores, mientras que el 20 % de los que no abandonan son también lo son. El profesor favorito de la clase acaba de obtener su título superior ¿Cuál es la probabilidad de que abandone a los estudiantes y acepte otro trabajo en otro rubro? R.56.25% 3. Una fábrica produce ciertos tipos de productos con 3 máquinas, los respectivos cálculos de producción son: Máq. 1: 3200 unidades Máq. 2: 2800 unidades Máq. 3: 5000 unidades La experiencia muestra que 1 % de los artículos fabricados por la Máq. 1 son defectuosos, las correspondientes fracciones de las defectuosas de las otras máquinas son 2 % y 3 % respectivamente. Se extrae in artículo aleatoria mente del total de producción de un día, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga a) de la Maq 1 b) de la Maq 2 c) De la Maq 3? R. 13,4 %; 23,5 %; 63%.

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4. Una compañía de seguros de automóviles ha asegurado a 35000 conductores de la clase A (Riesgos buenos), a 50000 conductores de la clase B (Riesgos medianos) y a 15000 conductores de la clase C (Riesgos malos), la probabilidad de que el conductos de la clase A, B ó C tenga 1 ó más accidentes durante 1 año es de 0.01, 0.04 y 0.15 respectivamente. La compañía vende a la señora garcía una póliza de seguro y en un año tiene un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. Sea a) conductor de clase A, b) conductor de clase B c) conductor de clase C R. 7,6 %; 43,5 % 48,9 %

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Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales 1. Hallar el valor de z tal que: a) El area a su derecha sea 0,2266 b) El area a su izquierda sea 0,0314 c) El area entre z1 =-0,23 y z sea de 0,5722 d) El area entre –z y z sea de 0,9 2. Hallar el valor del area: a) A la derecha de z=-1,12 b) A la izquierda de z=-2,10 c) A La derecha de z=0,88 d) Entre z=-1,1 y z=1,1 e) Entre z=-2,07 y z=-095 f) Entre z=1 y z=3,12 g) Entre z=1,56 y z=5 h) A la izquierda de z=4.8 3. Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z tal que: a) P(Z z)=0.8708 b) P(Z z)=0.3665 c) d) e) f) g)

P(Z P(Z P(Z P(Z P(Z

z)=0.9913 z)=0.0033 z)=0.0885 z)=0.9236 z)=0.2514

h) P(Z z)=0.9744 i) P(-z Z z)=0.7924 j) P(-z Z z)=0.0.9476

4. Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z que satisfaga la

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condición planteada en el gráfico siguiente: a) Si 1-

= 0.95

b) Si 1-

= 0.90

c) Si 1-

= 0.98

d) Si 1-

= 0.99

5. Si las estaturas de 300 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 68 in y desviación típica de 3 in ¿Cuántos estudiantes tienen alturas: a) Mayor que 72 in b) Menor o igual a 64 in c) Entre 65 y 71 in 6. La nota media en un examen es de 72 pts, la desviación típica es de 9. El 10 % del curso recibirá grado A ¿Cuál es la nota mínima para optar a el? 7. Los pesos en Kg. de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con media de 75 Kg. y varianza de 120 kg2 ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Al seleccionar un estudiante al azar su peso esté comprendido entre 77 y 80 Kg. b) ¿A partir de qué peso queda por encima de si el 90 % de los pesos? c) ¿Hasta que peso de los estudiantes están los que constituyen el 10 % inferior de todos los pesos? 8. Se conoce que los pesos en Kg. de los estudiantes de Economía se distribuyen normalmente con media igual a 72 kg y varianza de 58 kg 2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes de esta carrera a) ¿cuál es la probabilidad de que esa media muestral sea superior a la media poblacional? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 75 kg. c) Que la media muestral esté comprendido entre 70 y77 kg d) Que la media muestral esté entre 68 y 70 kg e) ¿Cuál es el peso que deja por encima de si al 99 % de las medias muestrales? 9. De una población con media 12,2 y desviación típica de 4,1 se toma una muestra de 50:

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a) ¿Cuál es el error típico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre 10 y 14? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 8? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 14? 10. Las estaturas de 3000 estudiantes varones de una universidad están normalmente distribuidas con una media de 68 pulg. y desviación típica de 3 pulg si se toma 80 muestras de 25 estudiantes cada una, en cuantas esperaríamos encontrar una media muestral de: a) Entre 66,8 y 68,3 pulg b) Menor que 66,4 pulg 11. La media de clientes en Madison es de 40,7 clientes diarios con una desviación típica de 12,9 clientes. Si se toma una muestra de 100 días: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº medio de clientes sea superior a 43? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de clientes sea inferior a 45? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes esté entre 30 y 50 clientes? 12. Suponer que las calificaciones del primer examen parcial de la asignatura de Cálculo 1 tiene una distribución normal, a este examen se presentaron 44 alumnos para rendirlo, la media del examen es de 65 Pts. Y la desviación estándar de 10 Pts. Calcular el nº de alumnos que a) aprobaron el examen. b) Reprobaron el examen c) Sacaron nota mayor a 85 d) Sacaron nota entre 65 y 85 13. Por el problema de accidentes que ocurren en la carretera Santa Cruz – Montero, transito ha decidido colocar una estación de control de velocidad 100 mt antes de la entrada al aeropuerto Viru Viru, ella consiste en apuntar una pistola radar a la movilidad que pasa y el instrumento determina la velocidad a la que viaja, si consideramos que la velocidad a la que viajan las movilidades está normalmente distribuida con una media de 70 Km/h y una varianza de 150 km2/hs2. Si sabemos que la máxima velocidad permitida es de 90

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km/h, determinar: a) La proporción de los vehículos infractores b) Se ha determinado que por ese punto pasa un promedio de 1 vehículo cada 12 sg y la multa aplicada a cada infractor es de 100 bs ¿Cuál debe ser la recaudación mínima del encargado del pto de control en 12 hs? c) ¿Cuál es la recaudación si a aquellos que sobrepasen los 120 km/h se le recarga el 30 % a la multa? 14. Según la revista Soler el 60 % de todos los directores de empresas están de acuerdo en que los programas de ordenador se deben escribir de manera que puedan enlazarse con redes locales. Si se toma una muestra aleatoria de 112 a) ¿Cuál es el error típico de la proporciones muestrales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor a 5 %? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 70 %? d) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción esté entre 40 y 80 %? 15. En una investigación realizada en 1993 se encontró que el 34 % de los ejecutivos utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su ordenador: a) ¿Si se toma una muestra 50. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 30 %? b) ¿Si se toma una muestra de 110 cual es la probabilidad de que la proporción muestral sea a 40? 16. De una población de 1200 estudiantes de la universidad publica se ha seleccionado una muestra de aleatoria de 200 estudiantes, a partir de investigaciones previas se ha establecido que la proporción poblacional que está de acuerdo con ese candidato es 15 %. a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 20 % b) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 18 % c) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 12 y 17 % d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 18 y 22%? Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales

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1. Una muestra aleatoria de 100 lugares de una ciudad indica que el promedio de los ingresos mensual es de 500 $us. Encuentre el intervalo de confianza de 95 % para una media poblacional de los ingresos de todos los lugares de la ciudad, suponga 50 $us 2. Las calificaciones de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con varianza 149 pto2 si se selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y se calcula una media de las notas obteniéndose X = 65 pto a) construya un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera nota media poblacional. b) Construya un intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95 % para la verdadera nota media poblacional c) Resolver el inciso anterior para un grado de confianza de 98 % 3. Un analista de investigación de mercado escoge una muestra aleatoria de 100 clientes de un conjunto de 500 clientes de una gran tienda. Se encuentra que los clientes gastaron un promedio de 2500 Bs cada vez, si con este valor de la muestra se estima que el gasto promedio de la población finita varia de 2446 Bs a 2554 Bs ¿Qué nivel de confianza se utilizó? Supóngase que la desviación estándar de la población es de 300 Bs. 4. Sean los pesos en Kg de 10 estudiantes de un curso los cuales constituyen la muestra 57

62

65

60

58

64

60

63 66

54

a) construya un intervalo de confianza al 90 % para el verdadero valor del peso medio poblacional b) ¿Cuál es el error de estimación? c) Construya un intervalo de confianza para un nivel de significancia de 1 % 5. La media y la desviación Standard de los depósitos en una cooperativa de un grupo de 65 socios está dado por X =1350 Bs y

= 85 Bs Construya un intervalo de confianza

para media con una confianza del 90 %. 6. De los 12000 estudiantes de la facultad de ciencias económicas se toma una muestra

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aleatoria de 600 a los cuales se les preguntó si estaban de acuerdo con cierto candidato a rector y respondieron afirmativamente 130. a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción poblacional de los estudiantes que están de acuerdo con ese candidato. b) Construya un intervalo de confianza para el verdadero valor de la proporción poblacional a un nivel de confianza de 99 % 7. Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55 % de ellos estaban a favor de un cierto candidato. a) Hallar los límites de confianza a 95 % para la para la proporción de todos los votantes a favor de ese candidato. b) Hallar el intervalo de confianza para un índice de 99 % 8. Una empresa encuestadora utilizó una muestra aleatoria de 600 electores que acababan de votar y encontró que 240 votaron por el candidato “A”. a) Estimar entre que porcentajes de electores votaron por el candidato “A” en toda la población, a un nivel de significancia del 5 % b) Resolver el inciso anterior a un nivel de significancia de 2 % c) Si la proporción de aceptación se estima en 40 % ¿Cuál es el máximo error de estimación si se quiere tener un nivel de confianza de 98 %? d) ¿Qué tan grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 94 % de que el error de estimación sea como máximo del 2 %? 9. Una muestra al azar de 50 notas de matemáticas de entre un total de 200 revela una media de 75 y una desviación típica de 10. a) ¿Cuáles son los límites de confianza al 95 % para las determinaciones de media de las 200 notas? b) ¿Con que grado de confianza podemos decir que la media poblacional de notas sea de 75 1? 10. Existe un sindicato de 100 afiliados, los cuales deben renovar su directorio, se desea determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato “A” con un nivel de confianza del 90 %, para esto se hace una prueba piloto de 20

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afiliados elegidos aleatoriamente y en ellos se encuentra que 8 apoyarán al candidato “A” Determinar el tamaño de la muestra suponiendo un error global del 5 % 11. Se desea estimar el peso promedio de una población de cierta especie de pez marino en el mes de Octubre y para ello de determina a partir de una prueba piloto que el peso promedio muestral es de 10 Kg, Se conoce que la varianza poblacional en esta especie y para este mes es de 40 Kg2 Determinar el tamaño de la muestra necesario para estimar con un nivel de confianza del 95 % considerando que se puede cometer un error del 3 % 12. Cierto candidato por una agrupación ciudadana desea postularse como candidato a diputado uninominal, para ello hace un sondeo y encuentra que la preferencia hacia su candidatura es del 35 % en una determinada unidad vecinal que tiene 7500 habitantes ¿Cuál es el número mínimo de personas que deberá muestrear para tener una confianza del 90 % y un error del 9 % de que pueda ser ganador. ¿Cuáles son los límites de confianza? 13. Se desea estimar la verdadera proporción de trabajadores que están a favor de la nueva legislación laboral. Se hizo un sondeo y se determinó que de 100 encuestados 30 estaban a favor y 70 estaban en contra, construya un intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional a un nivel de confianza de 90 %. Determine el error de estimación. 14. En un laboratorio de psicología los investigadores hicieron llegar por diferentes conductos una sustancia tóxica al sistema nervioso central de varios animales experimentales. La variable fundamental en este experimento era el tiempo en horas en que existe entre la administración de la sustancia tóxica y la aparición de los síntomas. Los datos obtenidos fueron los siguientes: n Conducto A

11

X 40

Conducto B

7

31

S2 10 20.9

a) Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza al 90 % para la diferencia entre las medias maestrales. b) Resuelva el inciso anterior un nivel de confianza de 95 %

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15. Se está investigando los rendimientos en dos grupos de estudiantes, y a partir de muestras aleatorias de ellos se obtuvo la siguiente información: n Grupo I

8

X 89

Grupo II

7

78

S2 36 48

a) Construya un intervalo de confianza para la verdadera diferencia de medias poblacionales con un nivel de significancia de 10 % b) Repita el inciso anterior a un nivel de significancia de 5 % 16. Una muestra de 200 baterías de radio de la marca A muestra una duración media de 140 hs y una desviación típica de 10 hs Y otra muestra de 120 baterías de radio de la marca B tiene una duración promedio de 125 hs y una desviación típica de 18 hs. Construya un intervalo de confianza para la verdadera diferencia de promedios de duración De ambas marcas de baterías a) para 1

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0.95

b) para 1

0.90

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Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial Objetivos: 1. Aplicar el EXCEL en el cálculo de probabilidades para distribuciones Binomial, Hipergeométrica, Poisson y Normal. 2. Aplicar el EXCEL en la resolución de problemas en los que se utilicen distribuciones de probabilidades. Generalidades. Una de las aplicaciones más importantes de EXCEL es la utilización de funciones, entre estas, se destaca el conjunto de funciones estadísticas. Las funciones se encuentran en EXCEL en la pantalla principal con el símbolo de fx , al hacer clic en dicha ficha, se desplaza el cuadro de diálogos Insertar función, en la segunda ventana “Insertar categoría” se hace clic en “Estadísticas” y en la ventana “seleccionar una función” se busca la función que se desea utilizar. “Distribución Binomial” Para el cálculo de probabilidades para distribuciones que se comportan como una binomial, se siguen los pasos que se mencionó en el párrafo anterior, y en el momento de “Seleccionar función” se elige DISTR.BINOM, Luego aparecerá el cuadro de diálogos “Argumentos de función”, En este cuadro de diálogos se necesita llenar cuatro ventanas que son: Núm_éxito, Ensayos, Prob_éxito y Acumulado. Núm_éxito Es la cantidad de éxitos que se desea encontrar Ensayos Es el tamaño de la muestra o número de pruebas Prob_éxito Es la probabilidad de éxitos que se tiene Acumulado Es una ventana de valor lógico, con dos opciones, si colocamos “verdadero” calculará pa probabilidad acumulada para los valores de x desde 0 hasta el valor Num_éxito. Si colocamos el valor “Falso” Calculará la probabilidad para el valor dado Num_éxito solamente. Ejemplo 1. Calcular la probabilidad en una distribución binomial con probabilidad de éxito de 60 % para un tamaño de muestra de n=6 para obtener: a) x=2 éxitos solamente b) x=2 ó menos

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Solución. Se hace “clic” en la ficha fx , en el cuadro de dialogo que aparece, en la ventana seleccionar una categoría se busca la categoría “Estadísticas”, y se selecciona la función: DISTR.BINOM, En el siguiente cuadro de diálogos que aparecerá se rellena las cuatro ventanas que aparecen. En primer lugar vamos a resolver el inciso a) del problema, para lo cuál en la 1º ventana colocamos 2, en 2º ventana colocamos 6, en la 3º ventana colocamos 0,6 y en la 4º ventana colocamos de valor lógico, como deseamos calcular la probabilidad para 2 éxitos solamente colocamos la palabra “Falso” hacemos clic en Aceptar y aparece la respuesta, que en este caso es 0,13824. Esto equivale a lo que en la calculadora es: 5 C2 0,6

2

0,4

3

Para resolver el inciso b) Se repite todo el proceso anterior, colocando en la 4º ventana el valor lógico “Verdadero” porque se desea conocer el valor acumulado, y se obtiene la respuesta de 0,1792, el cual es el resultado del cálculo de probabilidad P x

2

Ejemplo 2. Se encuentran 5 amigos cierto día, a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos hayan nacido un día martes? Rta. 12,85 % b) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 8 amigos a lo sumo 4 hayan nacido (un viernes o un sábado o un domingo)? Rta. 77,9 % c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 amigos por lo menos 6 no hayan nacido (un viernes o un sábado o un domingo)? Rta. 56,01 % d) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 12 amigos entre 3 y 6 amigos hayan nacido (o lunes o martes)? Rta. 67,17 % Distribución Poisson. Para la distribución de Poisson procedemos igual que para la distribución Binomial, en este caso escogemos la POISSON aparecerá el cuadro de dialogo que tiene 3 ventanas de entrada que son X, media y Acumulado. Siendo X: El número de elementos que cumplirán la condición Media: El promedio Acumulado: Valor lógico, siendo “Falso” para un determinado resultado y “verdadero” para el acumulado desde 0 hasta x.

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Ejemplo 1. Supongamos que

2 y deseamos calcular a) P(x) cuando x=0, x=1, x=2, x=3 y x=4 b) P(x) cuando x=3

Solución: Seguimos los pasos hasta llegar a la función POISSON, a) En la ventana X colocamos el en número 4, en la ventana Promedio colocamos el promedio que es 2, y en la ventana Acumulado colocamos el valor lógico “Verdadero” porque lo que queremos es el acumulado desde X=0 hasta x=4 y la respuesta es: 94,73% b) Procedemos como en el caso anterior, colocando en la ventana de X el valor 3, en la ventana Promedio colocamos el promedio que es 2, y en la ventana Acumulado colocamos el valor lógico “Falso” porque solo queremos obtener el valor POISSON para el valor puntual de x=3. y la solución es: 18,04 % Ejemplo 2. En un proceso de manufactura textil se tiene que el promedio de defectos es de 6 por cada 30 mt de tela. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 fallas o defectos a) En una pieza de 30 mts. b) En una pieza de 10 mts. Solución: a) 98,27 %

b) 59,4 %

Ejemplo 3. Supongamos que, en promedio, una de cada 2000 casas, en cierta zona de Buenos Aires se incendia durante el año. Si hay 6000 casa en dicha zona ¿Cuál es la probabilidad de que : a) Más de 3 casas se incendien durante el año. b) Exactamente 2 se incendien durante el año Distribución Hipergeométrica Para la distribución hipergeométrica procedemos igual que en el caso anterior escogiendo la función DISTR_HIPERGEOM , en la ventana Muestra _ éxito colocamos el número de éxitos en la muestra que deseamos encontrar, es decir x, en la ventana Núm_de_muestra colocamos el tamaño de la muestra es decir n, en la ventana Población_éxito colocamos el número de éxitos en la población o sea m, y en la ventana Num_de_población colocamos el tamaño de la población o sea N. Seguidamente hacemos clic en “Aceptar” y se desplegará el resultado, esta función no genera el resultado acumulado.

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Ejemplo 1. De 24 estudiantes que rindieron el examen parcial, 10 reprobaron el examen: a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes, uno por uno y sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que 4 de ellos hayan reprobado el examen. (Rta. 14,19 %) b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes, cual es la probabilidad de que por lo menos 5 hayan reprobado el examen. (Rta. 2,77 %) c) Si se selecciona igualmente una muestra aleatoria de 7 estudiantes, cual es la probabilidad de que menos de 3 hayan aprobado el examen. Distribución Normal. Para calcular el area bajo la curva de la normal Standard, EXCEL calcula el acumulada desde la izquierda hasta el valor de z correspondiente al valor de x, luego de aplicar la expresión: z

x

, para entenderlo mejor veremos un ejemplo en el que x

64,8

62,3 y

2,4 ; reemplazando en la formula el valor de z será 1,041667 con este dato redondeado a 1,04 yendo a la tabla del apéndice II de Schawn encontramos que el area bajo la curva desde z 0 , hasta z 1,04 es 0,3508. Este procedimiento utilizando EXCEL se procede de la siguiente manera: Se despliega la función DISTR_NORM y aparecerá un cuadro de diálogos que tiene 4 ventanas, en la ventana X se coloca el valor de la variable, en la ventana Media se coloca el valor de la media poblacional , en la ventana Desv_Estandard se coloca el valor de , en la ventana acum. Se coloca el valor verdadero, luego clic en Aceptar y se desplegará el area bajo la curva, desde la izquierda hasta el valor de

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

102

Ciencias Empresariales

Estadística II

Apendice II

z

0

1`

Áreas bolo la curv a normW i e stá nda r , cbsde F 2

3-

4

5

6

7

8

9 . .0 03 .75 .159 1.54 812. 271.2 9.21 5 .3844 315.9 323 . 83.6 3 924 8 .013 4.10 345 . 14. 4 .495 .4164 47.35 7043 . 6.8 4 714 8 .875 .497 940 . 3.9 .4 654. 49 42996 .917 4 4.846 9.641 949 09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.0000 .0398 .0793 .1179 .1554

.0040 .0438 .0832 .1217 .1591

.0080 .0478 .0871 .1255 .1628

.0120 .0517 .0910 .1293 .1664

.0160 .055/ .0948 .1331 .1700

.0199. .0598, .0987 .1368 .1736

.0239 A636 .1026 .1406 .1772

.0279 .0675 .1064 .1443 .1808

.0319 .0714 .1103 .1480 .1844

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.1915

.1950

.1985

.2019

.2088

.2123

.2157

.2190

.2258 .2580 .2881 .3159

.2291 .2612 .2910 .3186

.2324 .2642 .g939 .3212

.2357 .2673 .2967 .3238

.2054 .2389 .2704 .2996 .3264

.2422 .2734 .3023 .3289

.2454 .2764 .3051 .3315

.2486 .2794 .3078 .3340

.2518 .2823 .3106 .3365

1.0

.3413

.3438

.3461

.3485

.3508

.3531

.3554

.3577

.3599

1.1 1.2 1.3 1.4

.3643 .3849 .4032 .4192

.3665 .3869 .4049 .4207

.3686 .38, .400 .4222

.3708 .3907 .4082 .4236

.3729 .3925 .4099 .4A1

.3749 .3944 .4115 .4265

.3770 .3962 .4131 .4279

.3790 .3980 .4147 .4292

.3810 .3997 .4162 .4306

1.5

.4332

.4345

.4357

.4370

.4382

.4406

.4418

.4429

1.6 1.7 1.8 1.9

.4452 .4554 .4641 .4713

.4463 .4564 .4649 .4719

.4474 .4573 .4.656 .4726

.4484 .4582 .4664 .4732

.4495 .4591 .4671 .4738

.4505 .4599 .4678 .4744

.4515 .4608 .4686 .4750

.4525 .4616 .4693 .4756

.4535 .4625 .4699 .4761

2.0

.4772

.4778

.4783

.4788 _

.4.793

.4798

.4803

.4808

.4812

2.1 2.2 2.3 2.4

.4821 .4861 .4893 .4918

.4826 .4864 .4896 .4920

.4830 .488a, .4898 .4922

.4834 .4871 .4901 .4925

'' .4-838 ..,.4875 ".4904 .4927

.4842 .4878 .4906 .4929

14846 .4881 .4909 .4931

.4850 .4884 .4911 .4932

.4854 .4887 .4913 .4934

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.4938 .4953 .4965 .4974 .4981

' .494C. .4155 .4966 .4975 .4982

.4941 .4956 - .4937 .7.41:76 .4982

.4943 .4957 .4968 .4977 _4983

.4945 .4959 .4939 .4977 .4984

.4946

.4948

.4949

.4951

.4960 .4970 .4978 .4984

.4961 .4971 .4979 .4985

.4962 .4972 .4979 .4985

.4963 .4973 .4980 .4986

3.0 3.1 3.2

.4987 .4990 .4993

.4987 .4991 .4993

.4987 .4991 .4994

.4988 .4991 :.4994

' .4988 .4992 .4994

.4989 .4992 .4994

.4989 .4992 .4994

.4989 .4992 .4995

.4990 .4993 .4995

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

103

93 5

Ciencias Empresariales

Estadística II

3.3 3.4

.4995 .4997

.4995 .4997

.4995 ,4997

, .4996 .4997

.4996 .4997

.49N .4997

.4996 .4997

.4996 .4997

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

.4998 .4998 ' .4999 .4999 .5000

.4998 .4998 .4999 .4999 .5000

.4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.4998 .4999 .4999 .4999.5000

.4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.4998 .4999 .4999 .4999 .5000

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

.4996 . .4997 4. 4 .4998 9. 9 .4999 '4 .4999 97.9 .4999 8.94 .5000 .498 599 099 09 0

104

Ciencias Empresariales

Estadística II

Apéndice III

Valor es per cen tiles (tn) p ar s l a di str ibu ción t d e Student, con v gr ado s d e li ber tad (ár ea so mbr eada = p )

1.75

t .70

•

1.376 1.061 .978 .941

1.000 .816 .765 .741

.727 .617 .584 .569

.325 .289 .277 .271

.158 .142 .137 .134

.920 .906 .896 .889 .883

.727 .718 .711 .706 .703

.559 .553 .549 .546 .543

.267 .265 .263 .262 .261

.132 .131 .130 .130 .129

1.37 • 1.36 1.36 1.35 1.34

.879 .876 .873 .870 .868

.700 .697 .695 .694 .692

.542 .540 .539 .538 .537

.260 .260 .259 .259 .258

.129 .129 .128 .128 .128

1.75 1.75 1.74 1.73 1.73

1.34 1.34 1.33 1.33 1.33

.866 .865 .863 .862 .861

.691 .690 .689 .688 .688

.536 .535 .534 .534 .533

.258 .258 .257 .257 .257

.128 .128 .128 .127 .127

2.09 2.08 2.07 ' 2.06 7

1.72 1.72 1.72 1.71 2.0 1.71

1.32 1.32 1.32 1.32 1.32

.860 .359 .858 .858 .857

.687 .686 .686 .685 .685

.533 .532 .532 .532 .531

.257 .257 .256 .256 .256

.127 .127 .127 .127 .127

2.48 2.48 2.47 2.47 2.46

2.06 2.06 2.05 2.05 2.04

1.71 1.71 1.70 1.70 1.70.

1.32 1.32 1.31 1.31 1.31

.856 .856 .855 .855 .854

.684 .634 .684 .683 .683

.531 .531 .531 .530 .530

.256 .256 .256 .256 .256

.127 .127 .127 .127 .127

2.46 2.42

2.04 2.02

1.70 ' 1.68

1.31 1.30

.854 .851

.683 .681

'.5N0 .529

.258 .255

.127 .126

V

1.995

(49

1.975

t.ns

1,90

1.110

1 2 3 4

63.66 9.92 5.84 4.60

31.82 6.96 4.54 3.75

12.71 4.30 3.18 2.78

6.31 2.92 2.35 2.13

3.08 1.89 1.64 1.53

5 6 7 8 9

4.03 3.71 3.50 3.36 3.25

3.36 3.14 3.00 2.90 2.82

2.57 2.45 2.36 2.31 2.26

2.02 1.94 1.90 1.86 1.83

1.48 1.44 1.42 1.40 1.38

10 11 12 13 14

3.17 3.11 3.06 3.01 2.98

2.76 2.72 2.68 2.65 2.62

2.23 2.20 2.18 2.16 2.14

1.81 1.80 1.78 1.77 1.76

15 16 17 18 19

2.95 2.92 2.90 2.88 2.86

2.60 2.58 2.57 2.55 2.54

2.13 2.12 2.11 2.10 2.09

20 21 22 23 24

2.84 2.83 2.82 2.81 2.80

2.53 2.52 2.51 - 2.50 2.49

25 26 27 28 29

2.79 2.78 2.77 2.76 2.76

30 40

2.75 2.70

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

.

(.55

105

Ciencias Empresariales

60 120 oo

• 2.62 66 2.58

2.39 2. 2.36 2.33

Estadística II

2.00 1.90 1.96

1.67 1.66 1.645

1.30 1.29 1.28

.848 .845 .842

.679 .677 .674

.527 .526 .524

.254 .254 .253

Fuente: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical Tables for Biological. Agricultural and Medical Research (5n. edici6n), tabla Oliver y Boyd Ltd., Edinburgh, bajo permiso de los autores y los editores.

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

106

.126 .126 .126

Ciencias Empresariales

Estadística II

Apéndice IV Valores percentiles (4) para la distribution chi cuadrada, con v grados de libertad (area sombreada = p) _2 X 995

V

1

_2 X.99

2 X.975

2 X 95

_2 A.90

_2 X.75

_2 A.50

_2 A.25

2 X.10

N.05

2 X.025

.102 .575

.0158 .211

.0039 .103

.0010 .0506

.0002 .0201

.0000 .0100

.352 .711

.216 .484

.115 .297

.072 .207

2

2 X.01

1

X.0 0 5

2

7.886.63 10.6 9.21

5.02 7.38

3.84 5.99

2.71 4.61

1.32 2.77

.455 1.39

3 4

12.8 11.3 14.9 13.3

9.35 11.1

7.81 9.49

6.25 7.78

4.11 5.39

2.37 3.36

1.21 1.92

.584 1.06

5 6

16.7 15.1 18.5 16.8

12.8 14.4

11.1 12.6

9.24 10.6

6.63 7.84

4.35 5.35

2.67 3.45

1.61 2.20

1.15 1.64

.831 1.24

7

20.3 18.5

16.0

14.1

12.0

9.04

6.35

4.25

2.83

2.17

1.69

1.24

8 9

22.0 20.1 23.6 21.7

17.5

15.5

13.4

10.2

7.34

5.07

3.49

2.73

2.18

1.65

1.34

19.0

16.9

14.7

11.4

8.34

5.90

4.17

3.33

2.70

2.09

1.73

13 14

25.2 26.8 28.3 29.8 31.3

23.2 24.7 26.2 27.7 29.1

20.5 21.9 23.3 24.7 26.1

18.3 19.7 21.0 22.4 23.7

16.0 17.3 18.5 19.8 21.1

12.5 13.7 14.8 16.0 17.1

9.34 10.3 11.3 12.3 13.3

6.74 7.58 8.44 9.30 10.2

4.87 5.58 6.30 7.04 7.79

3.94 4.57 5.23 5.89 6.57

3.25 3.82 4.40 5.01 5.63

2.56 3.05 3.57 4.11 4.66

2.16 2.60 3.07 3.57 4.07

15 16 17 18 19

32.8 34.3 35.7 37.2 38.6

30.6 32.0 33.4 34.8 36.2

27.5 28.8 30.2 31.5 32.9

25.0 26.3 27.6 28.9 30.1

22.3 23.5 24.8 26.0 27.2

18.2 19.4 20.5 21.6 22.7

14.3 15.3 16.3 17.3 18.3

11.0 11.9 12.8 13.7 14.6

8.55 9.31 10.1 10.9 11.7

7.26 7.96 8.67 9.39 10.1

6.26 6.91 7.56 8.23 8.91

5.23 5.81 6.41 7.01 7.63

4.60 5.14 5.70 6.26 6.84

20 21 22 23 24

40.0 41.4 42.8 44.2 45.6

37.6 38.9 40.3 41.6 43.0

34.2 35.5 36.8 38.1 39.4

31.4 32.7 33.9 35.2 36.4

28.4 29.6 30.8 32.0 33.2

23.8 24.9 26.0 27.1 28.2

19.3 20.3 21.3 22.3 23.3

15.5 16.3 17.2 18.1 19.0

12.4 13.2 14.0 14.8 15.7

10.9 11.6 12.3 13.1 13.8

9.59 10.3 11.0 11.7 12.4

8.26 8.90 9.54 10.2 10.9

7.43 8.03 8.64 9.26 9.89

25 26 27 28 29

1 • 46.9 44.3 40.6 48.3145.6 41.9 49.6 47.0 43.2 51.0 48.3 44.5 52.3 49.6 45.7

37.7 38.9 40.1 41.3 42.6

34.4 35.6 36.7 37.9 39.1

29.3 30.4 31.5 32.6 33.7

24.3 25.3 26.3 27.3 28.3

19.9 20.8 21.7 22.7 23.6

16.5 17.3 18.1 18.9 19.8

14.6 15.4 16.2 16.9 17.7

13.1 13.8 14.6 15.3 16.0

11.5 12.2 12.9 13.6 14.3

10.5 11.2 11.8 12.5 13.1

30 40

53.7 50.9 47.0 66.8 63.7. 59.3

43.8 55.8

40.3 51.8

34.8 29.3 4 6 . 6 . 39.3

24 .5 33.7

20.6 29.1

18.5 26.5

16.8 24.4

15.0 22.2

13.8 20.7

10 11 12

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

.554

.412

.872

.676 .989

107

Ciencias Empresariales

50 60 70 80 90 100

79.5 76.2 92.0 88.4 104.2 116.3 128.3 140.2

71.4 83.3

Estadística II

67.5 79.1

63.2 74.4

100.4 95.0 90.5 85.5 112.3 106.6 101.9 96.6 12411118.1 113.1 107.6 135.8 129.6 124.3 118.5

56.3 67.0

49.3 ' 59.3

77.6 69.3 88.1 79.3 . 98.6 89.3 109.1 99.3

42.9 52.3

37.7 46.5

34.8 432

32.4 40.5

29.7 37.5

28.0 35.5

61.7 71.1 80.6 90.1

55.3 64.3 73.3 82.4

51.7 60.4 69.1 77.9

48.8 57.2 65.6 74.2

45.4 53.5 61.8 70.1

43.3 51.2 59.2 67.3

2

fruente: Catherine M. Thompson, Table of percentage points of the x distribution, Biometrika, Vol. 32 (1941), bajo permiso del autor y el

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

108