Complexe functietheorie Fourier- en Laplacetransformaties : tentamenopgaven met uitwerkingen 9789040711534, 9040711534 [PDF]

Zitiervorschau

Delftse Universitaire Pers

Complexe functietheorie Fourier- en Laplace-transformaties Tentamenopgaven met uitwerkingen

H. Bavinck

libliotheek TU Delft

\\1\',lIl',I''11 \,I\\'1'1'II\"1'1 C

OOOJlS1 J970

Delftse Universitaire Pers

2414 406 3

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIDLIOTHEEK, DEN HAAG Bavinck, H. Complexe functietheorie Fourier- en Laplacetransformaties : tentamenopgaven met uitwerkingen IH. Bavinck. - Delft: Delftse Universitaire Pers. - IJl. Uitg. in opdracht van: Vereniging voor Studie- enStudentenbelangen te Delft. - Oorspr. uitg.: Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij, 1989 ISBN 90-407-1153-4 NUGI 811 Trefw.: functietheorie

©VSSD Tweede druk 1995 Uitgegeven door: Delftse Universitaire Pers Stevinweg 1, 2628 CN Delft tel. 015-783254, telefax 015-781661. In opdracht van: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft tel. 015-(2)782124, telefax 015-(2)787585, e-mail [email protected]

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN 90-407-1153-4

3

Voorwoord De vraagstukken in deze bundel zijn ontleend aan tentamens over Complexe Functietheorie en Fourier- en Laplacetransformaties die in de jaren 1987 t /m 1989 aan de Technische Universiteit te Delft zijn gehouden. Het betreft hier tentamens voor een aantal verschillende vakken bestemd voor studenten van diverse faculteiten, nl . a 14A

Functietheorie TN

a 18

Functietheorie Et

a 23B

Functietheorie Wi en In

a 180A

Fourier- en Laplacetransformaties Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:

a 180B

Complexe Analyse Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:

2 2 2

em Mk

0

3

4

0

3

4

Ik ben me bewust van het gevaar dat studenten deze vraagstukkenbundel wellicht verkeerd zullen gebruiken. Indien men enig profijt van dit boekje wil hebben, zal men de opgaven eerst zelf moeten proberen te maken alvorens naar de uitwerkingen achterin te gaan kijken. Als gebruikers van dit boekje fouten of kleine slordigheden mochten constateren, zou ik dat gaarne van hen vernemen. Veel dank ben ik verschuldigd aan René Swarttouw die de tekst kritisch heeft bekeken, waardoor verschillende fouten konden worden hersteld. Delft, november 1989

H. Bavinck

Bij de tweede druk is een aantal correcties aangebracht. Delft, april 1995

H. Bavinck

4

Inhoud

VRAAGSTUKKEN

1. Differentieerbaarheid

5

2 . Functies. Conforme afbeeldingen

7

3. Singulariteiten. Laurentreeksen

10

4 . Integratie. Residuenstelling

13

5 . Nulpunten . Argumentenprincipe

19

6. Fourierreeksen

21

7 . Fouriertransformatie

23

8 . Laplacetransformatie

26

1.1

1.2

UITWERKINGEN 1.3 1. Differentieerbaarheid

29

2. Functies. Conforme afbeeldingen 3. Singulariteiten. Laurentreeksen

32

4. Integratie . Residuenstelling

41

5 . Nulpunten. Argumentenprincipe

54

6. Fourierreeksen

59

7. Fouriertransformatie

65

Laplacetransformatie

73

8.

37

1.4

1.5

5

Vraagstukken 1. Differentieerbaarheid 1.1

(16-6-87) a18

z is een complex getal . Men stelt Re z

= x:

= y.

lm z

f is een

analytische functie die aan het complexe getal z het comp l exe getal w = f(z) toevoegt. Gegeven is: 2 Re w = log (x + y2) + Y en Bereken lm w vo or y 1 .2

f(i)

1 + i.

O.

~

(26-10-87) a18

Onderzoek voor welke waarde(n) van z de functie

g(z)

e

z+z

analytisch i s . 1.3

(14-6-88) a18

De functie f i s analytisch . We schrijven f(z)

= u(x,y)

+

z

=x

+ iy

en

i v(x ,y). Er is gegeven dat

u(x,y)

= sin

x cosh y

en

f(O)

= i.

Bereken v Ix, y). 1.4

(12-6-89) a14A

De functie f is analytisch i n het gehele complexe vlak. Men stelt

= u(x,y) + i v(x,y), waarbij u en v reële functies zijn en = Re z; y = lm z . Bereken u( x,y) en v(x,y) als nog gegeven is av ax = 12xy + 4x - Y en f(O) = 3 - 2i ; feil = 3~ - i . 2

f(z) x

1.5

(15-6-87) a14A

z is een c omplex getal . Men stelt Re z

= x:

lm z

f i s een analytische functie die aan het complexe comp l exe getal w·

= fez) 2

Re w Bereken lm w.

toevoegt. Gegeven is :

2

eX -y sin 2xy + y

en

f(O) =

o.

= y. getal z het

6

1.6

vraagstukken

(Z5-8-87) aZ3B

Onderzoek voor welke fez)

= sin

z

zee

de functie

differentieerbaar is.

(2

f: C

~

C

gegeven

door

is de complex geconjugeerde

Z.l

van z ) , 1.7

(13-6-88) aZ3B

Zij z

=x

+ iy ,

x,y E

~.

f is een analytische functie en

w = fez). Gegeven is: Im w

=Z

sin x cosh y

+

xy

en

f(O)

= -Z.

Druk w uit in x en y en druk w ook alleen uit in z . .

1 .8

(14-8-89) a14A

Men definieert de complexe logarithme voor alle complexe getallen met uitzondering van die op de negatieve reële as en de oorsprong . Voor welke waarden van z is

log (z +

z)1

analytisch?

(Vermijd het gebruik van het kenmerk van Cauchy-Riemann).

2. ;;

2.:

vraagstukken

2. Functies. Conforme afbeeldingen 2.1 ( 16-6-87) a18

=x

Men ste l t z

+

i y me t r e ë l e x en reë l e y . In he t z - v l a k is

gege ven de hyperbool H bepa a ld doo r: H

= {z I

x

2

-

y2

= 1 }.

Hiervan beschouwt men de t a k T di e in het rechterhalfvl ak ligt . a. Geef e e n parametervoorstelling van T, alsook een parameterinterval. Men beeldt ·het complexe z-vlak af in het complexe w-vlak door te stellen w

b. Bepaal het beeld van T onder deze afbeelding en geef daarbij aan in welke richting dit beeld doorlopen wordt, wanneer T in een door u te kiezen richting wordt doorlopen. Aanwijzing : voer de afbeelding in twee stappen uit. 2.2

(16-6-87) a18

De complexe variabele z loop t langs de geschetste

kro~e

van 0 naar 2.

(z i e figuur) . Men stelt f Iz )

=

I

(z2 +

en spreekt af : f(O)

4) (Z2 - 1) 2

= - ~.

Welke waarde heeft deze functie aangenomen als z de kromme heeft doorlopen van 0 naar 2? 2 .3

(26-10-87) a18

Het gebied G is gegeven door G

= {z

E

IC

I Iz I

< 1

en

0 < arg z < ;}.

Bepaal het beeld H van G onder de transformatie 1 - z3

f'{z ) = - 1 + z3

Aanwijzing: voer de afbe elding in t wee stappen u it .

7

B vraagstukken 2 .4

2.9

(14-6-88) a18 Het gebied G is gegeven door

=

G

{z E

(Re z)'(Im z) > 1

ij;

Im z > Ol.

en

Bepaal het beeld van G onder de transformatie f

= !.-2 +

Cz )

2.10

i.

Z

2. 5

(14-6-88) a18 Men brengt in het complexe vlak een coupure aan en beschouwt

D w(z)

V+T

= vz = -1.

,

{z

I

Im z

=0

en

Re < Ol.

is de tak van de wortelfunctie op D bepaald door Bepaal het beeld wel) van de rechte lijn L

2 .6

= ij;

=

{z

I

Im z

2.11

= 2}.

(15-4-88) a180B Men beschouwt de transformatie

z -

1

w = log Z"""+1 ' waarbij de hoofdwaarde van de logarithme wordt bedoeld. a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? 2.12

b) Bepaal het beeld van het reële interval

- 1 < Re z < I, Im z

= O.

c) Bepaal het beeld van het bovenhalfvlak Im z > O. 2 .7

(14-8-89) a14A Los z op uit:

2.8

i sinh 1.

cos z

(29-1-88) a180B Men beschouwt de transformatie

w =

Z + 1 z-=-r

a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? b) Toon aan dat deze transformatie de cirkel zichze lf overvoert (d.w.z. in de cirkel

Iz - 1\ = V2 Iw - 11

= V2 ).

Bepaal de punten z die onveranderd gelaten worden (d.w.z. waarvoor geldt w

z).

c) Waar gaat het gebied

Iz - 11 < V2

d) Bepaal de beeldfiguur van de cirkel

in over? Iz + 11 = V2

in

v r a ag s t uk k e n

2.9

(12-6-89) a23B Bewijs voor reële x en y de volgende identiteit : Isin (x + i~)12 = Isin x + sin iyl 2

2. 10 (12-6-89) a23B De complexe variabele z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar -3 . Men stelt fez)

def inieert f(O)

=

= ~ z2+

1

en

1. Schrijf de waarde die

deze functie heeft aangenomen, als z de kromme K heeft doorlopen van 0 naar -3, in de vorm a + bi (a,b

E ~).

2. 11 (19-6-87) a23B De complexe variabele z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar -iY3. Men stelt

definieert: f(O)

= -1.

Hz) =

~ z4

- 1 en

Welke waarde heeft

deze functie aangenomen als z de kromme K heeft doorlopen van 0 naar -iY3

-1

?

2. 12 (14-1-88) a23B De complexe variabele .z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar 2. Men stelt fez) =

en definieert f(O)

= 1.

~(z

+ 1)(Z2 + 1)

Schrijf de waarde die

deze functie heeft aangenomen, als z de kromme K heeft doorlopen van 0 naar 2, in de vorm a + bi (a, b

E

IR) .

-2

9

10

vraagstukken 3 .6

3. Singulariteiten. Laurentreeksen 3. 1

(1 6-6-87) a18

De functie f is gedefin ieerd door : 1

2 2(e z - 1) sin z

Iz )

f

Z

3

a . Geef de ligging en de a ard van de singulari t e i ten va n f, .

3. 7

alsmede de ligging en de multiplici teit van de nulpunten van f. b. .In dit onderdeel wordt met E de eenheidsci rkel bedoeld . Geef de waarde van

f f(z)

dz

in de vorm va n e en oneindig

E+

voort lopende. reeks en geef daarvan de a l ge mene t erm aan .

3 .2

(26-10-87) a18

Bepaal het residu in nul van de functie gIz)

1 = --=-. 2 Z

3.3

SIn

z

3 .8

(14-6-88) a18

Bepaal de Laurentontwikkeling van f(z) 3.4

= z(z 1 _

1)

in het gebied

G

(z ]

Izl

> H.

(14-6-88) a18

Bepaal de singulariteiten van de funct ie f

3 .5

Iz )

=

(12-6-89) a14A

Bepaal de aard en de ligging van de singulari te iten van e

2iz

- 1

z2 sin 3z alsmede het residu in elk van de polen.

3.9

vraagstukken

3. 6

( 14-8- 89) a14A Men ontwikkelt

( z + i) (z

om het punt

3iJ

4i

in een Laurent-

reeks die conve r ge e r t in het gebied , bepaald door 1 < Iz - 4il < S}

{z e" Cl

Geef de coëfficiënt van (z - 4i)n in deze ontwikkeling voor n ~ 0 en voor n < O. 3. 7

(14-8-89) a14A f Iz ) = (sin z)(sin

De functie f is gegeven door : Men ontwikkelt

fez)

.!.). z

in een Laurentreeks om O.

a) Toon aan dat in deze ontwikkeling geen termen voorkomen met oneven machten van z. b) Geef de coëfficiënt van

z

z

en ook die van

Z

4

in de vorm van

een oneindige reeks. c ) Geef de coëfficiënt

a

Zn

van

zzn

in de gedaante van een

oneindige reeks, maar met behulp van het E-teken, voor n 3.8

~

(12-6-89) a23B De functie f is gedefinieerd door iz f Iz ) = e - 1 3 z sin z a ) Bepaal de ligging en de aard van de s i ngul a r i t e i t en van f. b ) Bereken het residu van f in O.

3.9

( 17- 8- 88 ) a23B Bepaal de Laurentontwikkeling van 1 (Zz + l)(z - 1)

z = -

om het punt

21 '

geldig voor

o

1 3 < [z + 21 < 2 .

3. 10 ( 17- 8- 88 ) a23B Zi j

Cl

C = {z e

Izl =

l}

en

g(z) Z

Bep aal de Laurentreeks van

f

C+

Z

6

g(z) dz

g

om z

=0

3

, z '" O.

en bereken

O.

11

12

vraagstukken

3 .11 (14-1-88) a23B Z

Men ontwikkelt (Z2 -

z

= 1.

2

in een Laurentreeks om het punt

1) (z - 2)

Geef van deze reeksontwikkeling de algemene term en het

4.1

gebied waar deze ontwikkeling geldig is. 3.12 (25-8-87) a23B Geef de ligging en de aard van de singulariteiten van de functie f bepaald door: sin z z3(e 4Ï z - 1) en bereken het residu in elk der polen . fez)

3.13 (25-8-87) a23B Bepaal de Laurentontwikkeling van 1 4iz - 3 z = 4i, geldig voor

Z2 -

om het punt

1
2.

a. Bepaal de Fouriergetransformeerde van f .

.

co

b . Bereken

SIn

Jo

co

3

u

COS u du

u

en

Jo

.

SIn3 u

COS

2

u

met behulp van de omkeerstelling van de Fouriertransformatie .

Jo

c. Bereken

cos 2

sin6 u

met behulp van de stelling van

==---=.----::..:..:=---=u du u

2

Plancherel. 7.5

7.8

(17-8-88) a180A Zij

f

f Ix ) = Cl +

de functie gegeven door

lxi) e- 1xl .

a . Toon aan dat de Fouriergetransformeerde van

ff rr

[(u) = 2 ee

b. Bepaal

7.9

)2

cos u duo u2 ) 2

\Xl

c. Bereken

J Cl +

0 7.6

u2 ) 4

duo

(17-1-89) a180A Zij f de functie gegeven door voor

0 < x < i,

voor -1 < x < 0,

f(x)

elders. a. Bepaal de Fouriergetransformeerde van f . eo

b . Bepaal

J0

2 1 sin "2 u sin u du u

C. Bereken

I Si~3 \Xl

en

0

co

sin

4

t

J0 - -t - dt. 2

gelijk is aan

1 2 Cl + u

J Cl + 0

f

t dt

vraagstukken

7.7

(19-8-87) a180A Zij

f

de functie gegeven door 2

~-

[(x) = {

l xi

voor

lxi

~

voor

1
ei ITl/3 => =0

I' . t

Tl

Il1. z = x e

0 x=l

i Tl / 3

=~ 1 + t

1 0

1

t=-l

_ Tl)

arg f, dan geldt:

-

z-vlak

Maar

1[(2) I = IS.3 = I;: f ~ (0 )

2

1

-

=x

3

-

(l

=

':=0 e 3i

=>

I". w

lIl'. t

.

t-vla k

dus

3~ + iv'3 ) 'I' 3 .

+ e

_x

3

1

-

t

= '1+t I ~=O'

ITl/3 = eit/J I~=o =0

-e -it/J/2 + e it/J/2 -2i -it/J/2 it/J/2 2I e

,

t

= '1+t

JálL

--r'

Tl

3

3~ 1 + iv'3 -2 'I' 3

Il' . t

It/J=o =

11" . w

III" .w

=6

(6 arg (z+2i) + 6 arg (z-2i) + 6 arg (z+l) + 6 arg (z-l))

3~ 3~ iTl /3 [(2) = 'I' 6 (-'I' 4 ) e

Zi j

I~~~~I f(O) ei(arg f(2) - arg f(O))

.

= 31 (ïl7 Tl

2. 3

+ l)(z - 1).

arg f(2) - arg f(O) 1

w-vlak

s-vlak

z-vlak

Tl

It/J=o

3 0 0 x=l = x 1x=-l

1

-i tan

2't/J ITlt/J=o'

2. 5

uitwerkingen

33 '

I

2.4

4 2 t(z) = z, s et ) - t en w(s) = s + i. 2 2 t(z) = x - y + 2ixy, dus het beeld van 1. xy I' . t = x 2 - 1 + 2i 1:=0 = p + 2i 2

Zij

+ 2i

-8

b

P b

4(p - 2il

4

=p 2

p2 zodat

+ 4

= a ·+

Zij s

4

+

5

p

2 en dus

p

-8

=

bij

t(z)

is

1:=_00'

X

I" . s

1

a=~ en

ib . Dan is

p2 + 4

-2 ~

Invullen levert

b

O. Dit is een cirkel met

middelpunt (0, -1) en straal 1. I''', w = s + i. Tr-ans l at Ie naar de eenheidscir~el u

2

+ v2

1.

o

l.~ ~i. t-vlak

z-vlak

2.5

s-vlak

kan genomen worden arg 1 w = u + iv =

,-00 . Aangezien Y+f x=oo

+ 2i

loopt

en

arg z

van

x + 2i, dus u 2 - v2 + 2iuv = x + 2i

2rr

en

uv = i, een orthogonale hyperbool , en omdat

Er volgt: rr naar

I

= 2rr

=x

z

We parametri s e ren de lijn L door

w -vlak

naar

arg w =

=

-i,

3rr.

21 arg

z.

arg w 'l oop t van

~rr, i s het beeld van L de tak van de hyperbool in het de r de 2

kwadrant. 2i

z-vlak

2.6

a. De afbeelding

w

w-vlak

= log

s , waarbij de hoofdwaarde van de l og i s

bedoeld, i s niet conform als

~

0

< _

z + 1

y

=0

*=* A

x

2

1)'

z ( log Z+1

s

~

(x - 1) + iy < 0 (x + 1) + iy -

- 1

d.W.Z.

0,

~

2

z2 - 1

~

0

Y

O. Het gaat er dus om: wanneer is 2 (x + y2 - 1) + 2iy 12.

DI

uitwerkingen

z = -1 + VZ eil/>

d. We parametriseren de cirkel met VZ eil/> -2 + VZ eil/>

w =

2 1l

11/>=0'

35

Dan is

-VZ eil/> + 1 (-VZ e-il/> + 1) (-VZ eil/> + 1)

1

-VZ e-il/> +

1 - VZ cos I/> - iVZ sin I/>

3 - 2VZ cos I/> VZ cos I/>

Dus

en

- VZ sin I/>

v

3 - 2VZ cos I/>

3 - 2VZ cos I/>

Omdat we uit de theorie van de gebroken, lineaire transformaties weten dat cirkels worden afgebeeld in cirkels of rechte lijnen, berekenen we u

2

+

v

3 - 2VZ cos I/>

2

1 - 2u

(3 - 2VZ cos 1/»2 (u + 1)2 + v

Iw ~. 9

11

+

of

3 - 2V2 cos I/>

Iz + 11

= 2, dus het beeld van

VZ is

vz.

=

[s in (x + iy) 1

e i (X + iy) _ e-i(x + i Y)12= 2i

2

l

e i x - y _ e- i x + y

e-i x - y _ e i X + y

2i e- 2Y - e

Isin x + sin iyl2

-2i

2i x 4

- e-

2i x

+ e

2Y =

21 (cash 2y - cos 2x)

-ix - e 2i

+

e- y - e Y

-2i

)

1 - e 2 i x _ e- 2 i x + 1 + e i x-y _e i x + y _ e- i x-y + e- i x + y 4

e- y- i x _ e- y + i x _ e y- i x + e y + i x + e- 2Y _ 1 _ 1 + e2Y + 4

21 (cash 2y - cos 2x). Dus linkerlid

~. l o

f {z ) =

I

(z -

rechterlid =

i)(z + t ). i arg f(-3)

(cash 2y - cos 2x).

= If(-3)1 f(O) ei(arg f(-3) - arg f(O)) f(O) arg f(-3) - arg f(O) = ~ arg f, dan geldt:

f(-3) = If(-3)1 e Stellen we

21

36

uitwerkingen _ 1

6 arg f

arg (z - i) +

- 3

(6

_ 1

Srr (- -z + arctan

- 3 Dus [(-3)

-3)1 = [( [(0)

[(0)

.,

arg (z + i))

6

3rr

1

4rr 3

1

3 - -Z - arctan 3)

~(_.!.Z

e- 4rri / 3 =

1

+.!.i 113) Z

a

.

3,------------~

Z.ll fez)

=

1 (z

- il(z + i)(z - I I Iz + 1).

If(-i1l3)I ei arg f(-i1l3) =

f(-i1l3)

waarbij 6 arg f 6 arg f

Dus

= arg

f(O) ei 6 arg f

=~

(6 arg (z-i) + 6 arg (z+i) + 6 arg (z -l) + 6 arg (z+l))

=~

(-Zrr + rr +

ï

(z

j - j)

j.

=-

Z (-1)

feZ) = I[(Z)

+ 1

1) (z

1

f(-i1l3) - arg f(O).

f(-i1l3)

Z.lZ fez) =

'fl;~~l'

(~

1 i1l3)

2

- 1 + i1l3.

+ i)(z - il .

ei arg [(Z)

[(0) I~I

[(0)

3. 2

6 arg f e i

~

waarbij 6 arg f = arg [(Z) - arg [(0) . 6 arg f

_ 1 - "4 (6 arg (z + 1) + 6 arg (z + i) + 6 arg (z - i)) _ 1 rr - "4 (-Zrr + arctan .!.Z _ 2

Dus

feZ) = \f(Z)1 f(O) e [(0)

-rnzz

arctan 21 + ~) Z

rr

a

2'

i~.

3. 5

uitwe rki ngen

3]

3. Singulariteiten. Laurentreeksen . 2 2 (ez - 1) SIn z a . f( z ) _ =---'-=--_--,-::c-=--:....:..:.c.---'.

z

f heeft een essentiële singulariteit in

3

1 2krri

z = 0, enkelvoudige nulpunten in z 1 .

2 (ez - 1) SIn

b.

Z

en tweevoudige

I '{O})

(k E

(k E I '{O}).

nulpunten in z = krr

1

2

z

3

Z

(eZ - 1)(1 - co s 2z)

3

1 (~ + _1_ +

z3

z

2! z 2

3! Z3

Het gaat hier om a_I' dus om de coëff ic iënt van z2 in ( . .. )( . .. ) . 28 00 (-1 )n- l 22n _2 4 26 ~! fez) dz = a = [ (2n - 2) ! (2n)!' 2! 4! + 4! 6! - ~!+ 2rrl -1 n=2 E+

:r

3. 2

1

g(z)

z sin sin

2

g(z) a

3. 3

0

z =

2

fez)

1 ((2z)

"2

2 1

. dan is

z(z -

1)

z

fez) e

Z

-

(2Z)4 + 4!

.. . )

3. 5

f ez )

I '{O}) e

...

).

Dus

1

Res g(z) - 3 z=o

< 1. We s chri jven du s

TZT

z2(l - ~) z

2 Z

(l +

Z

+

1

2 Z

00

+

...

)

=[ z n=o

- 2-n

De te ller heef t een enke l voud i g nulpunt als

, Izl > 1.

z = O.

1

fez) heeft in E

1 2 2 (l - 3 z + ... L

z

De noeme r heeft enke lvoudige nul punten voor (k

z

1 2 - - 3 (a 0 + a 1 z + a 2 z +

1 1

2

2!

3 1 2 Z 1 z + . .. 3 1 1, a = O. a - 3 1 2 Izi >

Als

z

1 - cos 2z

z = 0

z = 2k rri (k E I) . Dus

een ophefbare singularitei t en voor

z = ' 2krri

polen van de eerste orde .

2iz - 1

. De teller heeft e nkelvoudige nul punten a ls z = krr z2 sin 3z (k E I) en de noemer heeft een drievoudig nulpunt als z = 0 en e nk e l -

vou dige nulpunten als de tweede orde in

z = k; • (k

z = 0

E

I'{O}). Dus

f(z) heeft een poo l van

en polen van de eerste orde al s

1

z = (k + 3) rr

38

uit werkingen

en

z

=

2 (k + 3)1[,

e 2i z _ 1 4z

fez)

+ .. .

=

3

-!2

-2

(3z-

~

= a_ 1

Res Hz) z= (k+!.)1[

I ) . We schrijven nu

E

s in 3z (a

2

-zT

2iz -

~~3

= z2

(k

+ a

z

9

2 z

3

-1

c.

- + . .. ) hetgeen le idt tot Z

+ .. . )(a_ + a 2

~1

.. . ) .

z +

Dus

a

2i

en

:3

-2

.

2i(k + ~ )1[ 3 - 1 1 3(k + .!.) 21[2 cos 3(k + 3)1[ 3 e

lim (z-(k + !)1[) fez) 1 3 z-Hk+-)1[ 3

3.8

a.

(_llk(_9 + 3iV3) 2(3k + 1)2 1[2

z Lfk Res Hz) 2 z= (k+-)1[ 3

+

e

lim (z-(k + ~)1[) fez) 2 3 z-Hk+-) 1[

~)1[ 3

1

-

3

b.

(_1)k-l(9 + 3iV3) 2(3k + 2)2 1[2 3.6

Ihl

= h,

dan 1 < < 5. 1 1. 1 i 14 411 1 (z + i)(z 3i) z + i z - 3i - 4 i h + Si 4 i 1 i --4 1 -.!.i 1 5i(1 + 5~) 4 h(l + ~)

Stel

z - 4i

r (_ ~)n hn _ .!. ~ r (_Onn

1 20 n~o

4 h n~o

51

'"

n+l co (- i) + -! \ ( 4 n~o h n+ 1 20 n~o 1

\

r'"

1

~

- 4 L

+

n=-l (_i)n

Dus

3.7

a

1 1 .n _ (- 51.)n - _1__ n 20 Sn 20 '

n

Hz) = (sin z ) (sin

_ ~)n

hn

51 -!)n h n

n=o 0

=

en

.

41

a n

lon

,n < 0 .

.!.). z

a . In de Laurentontwikkeling van Z

2::

-

h

rL (_ Si

1

20

1

~

f

om

0

komen geen oneven machten van

voor , omdat f een even functie is.

b. fez)

=

z3 z5 (z - 3! + ST

coëfficiënt van z

2 4

:

coëfficiënt van z :

z7

- 7T -

1

+ .. .

1

3T1T 1

5T1T

)(z 1

3. 10 g 1

1

+

3! z3

5! z5

1

7!

+ .. .

J.

z7

1

3! 5! - 5! 7! 1 1 + 7! 3! + 9! 5! +

fc

uitwe rkingen

39

z2i +1 ) ( !Xl t 1 (2i+ll! tt( -ll (2t+ll! 2n , d.w .z. i = t + n. Eis: 2i + 1 - 2t - 1 !Xl (_lln Dus a 2n =Jo (2t + 2n + ll! (2t + ll! .

= (.[

c . f'Lz )

( _lli

1=0

3.8

a.

iz

e

f fz )

- 1 .

Z Sin

3

(k e I) , de noemer heeft een viervoud ig nulpunt a l s

= kll

drievoudige nu lpunten als z

=0

z

iz

-

(k e I) z sin

1

z

iz -

en in

2

iz

Z

(a

3 + ...

F

2T

3

z

= 2kll

z

=

z = 0 fe z )

(2k + 1 )1l een pool van de

e en poo l van de t weede orde

3

Dus

a

i

Res f'{z ) z=o We schrijven

1

h

z

! T+ C

Z6

g

+

1 6" i = a -1

-

3

2:'

Ihl

0
e- c ~ IeR (cos ~ + i .sin ~)I = Ih(z) l · Ig(z)!

g(z) heeft binnen C één nulpunt. Volgens de stell ing van Rouché heeft

fez)

= g(z)

+ h(z)

nulpunt is reëel omdat

dan ook één nulpunt binnen

f(-2)

= e-

2

> 0

en

f(-l)

= e-

C. En di t 1

i < 0,

en

continu is. 1 Aangezien dit geldt 'voor alle c met 0 < c < "2 • volgt dat f in het halfvlak

Re z < 0

één nulpunt heeft en dat dit reëel is.

f

6.1

uitwerk i n g e n

6. Fourierreeksen 6. 1

àx ] ,

f Ix ) = Isin

a

a . Zi j

o

L(a

+

n=l

cos nx + b

n

even is, geldt

f

b

rr

a

~J

n

sin

= 0 voor alle n E IN " {a}

n

cos

[-

1 cos nx dx - n

1

2x

(1

1

2

IR.

1

2 -

n)x

cos

en

(!2

+ n)x

1 + n

- n

2

J:

1

cos (2 + 1

2

n

+ n

1 4 n 4n 2 _ 1

i -1--2

4 -

(2 -

cos (2 - n)n

1

1

1

1

-1-- + -1-2- n 2+ n

1

E

sin nx).

n

0

-n1

X

Cl)

f(x) '" 2

Omdat

f(x) = f(x + 2n) voor alle

x < n,

~

-n

n

f(x) is continu op IR en is overal links- en rechtsdifferentieerbaar. Dus is de Fourierreeks van f overal puntsgewijs convergent. Dus:

Isin

a

àxl

Cl)

= 20

+

La

n=l

4

2

1

4n

n=l

=

cos nx

Cl)

- \ n L

n

n

2

cos nx. - 1 Cl)

b . Invullen van

x

=0

L

levert:

n=l Cl)

x = n

Invullen van

levert:

L n=l

1 2

4n

1

- 1 (- 1)n 2 4n - 1

2 1

n

2

4

c . De formule van Parseval luidt: n -n Hier wordt dat: rr

2

J (sin àx)2

16 4 ) 2n (- 2 + n 2

dx

n

o Maar n

J0 n

(sin

= -8n

n

L--=---~ Cl)

n=l

n

1

2 +

x)

16

2

dx

Cl)

nL

n=l

(4n

J0 1 2

- cos x dx

n

2'

2

- 1)2

Cl)

, zodat

L

n=l

dus invullen levert

1 2 (4n - 1)2

2 n 16

1

2

59

60

6.2

uitwerkingen

= cos

f(x)

a. f(x) ~ 2

co

0

+ [ (a n=1

cos nx + b n sin nx).

n

a voor alle n

Omdat f even is, geldt b n n

J

~

E

IN , {a}

en

n

n

a

f(x + 2n) voor all e x E R

ocx , -n ~ x < n , a ER ' I en f(x) a

1 n

cos ocx cos nx dx

J

[cos (a - n)x + cos (a + n )x ] dx

a

a

1n [ 1 1] --- + -- (_l)n sin an [1 a-n a+n n

sin (a n)n + sin (a + n)n ] a + n a - n

= (_On 2a sin an n (a 2 _ n 2)

f(x) is continu op R en is overal links- en rechtsdifferentieerbaar. Dus is de Fourierreeks van f overal puntsgewijs convergent. [(x) =

sin an an

Si~ = cos

co

~

an (

b. Invullen van x fen)

r (_l)n 2a sin2) an cos nx

+ L n=l

an

n (a 2

+ntl (_l)n a 22: n 2 cos nx ).

=n

levert:

= si~

an (

~

+ [ n=l a

2

2a

n=l a

I

2) zodat

- n

2a

= n cot an _ 1 a 2 - n c . Deze reeks is voor a < lal ~ y < 1 [

=

n

_

2

2a 2 2 a-n

I

=

al 21 2

n-a

2y

2

n

2

- y

2

, n

uniform convergent omdat ~

1.

d . Dus levert termsgewijze integratie: y co y 2a 2 2 da . Uitwerking geeft: (n cot an - ~) da =[ n=l a a - n

J

J

a

[ ln (sin an) - ln a ]:=0

ntl[ln ly2 - n21 - ln n co

dus

ln sin ny _ lim ln sin na y a~o a

n n-)

~

2,

2.

a. f is een even functie, dus is 2

2

~(fl

If I o

(2 - x) cos ux dx

~ !u II

I o

(2 - x) d sin ux

65

66

uitwerkingen

2

ff n

.!.u

ff !n u

sin ux 1o

(2 - x)

(1 - cos 2u)

2

= _1u I sin ux

vf?"'_2 n

+

2

ffn

=2

dx

o

sin u

2

u

2

is con t i nu en heeft in elk punt een linker- en een rechterafge l e ide .

b. f

Volgens de omkeerstelling is dan a>

I vzn

f Lx) = _1_

a>

2

ff

e i ux 2

sin

n

u

2

•

(cos ux

u du

U

-a>

-a>

x = 1 vinden we

Dus voor

I a>

1 = [(1) = -2 n

a>

2 sin u du cos u ----u

-a>

Io

dus

2

2

n

sin2 u cos u d u u

"4

c. De formule van Plancherel is:

Il

fI1

11

2=11:f(f)

2'

2

2

='I

linkerlid

Ix l )2

(2 -

2

dx

= ~n

rechterlid

Dus:

7 .3

2)

16

dx

---:3

I sin u

4 4

16

I

u du

n

sin

o

u

4

u du

4

4

•

Io

- 4x + x

a>

-a> a>

I (4

o

-2 a>

sln u du _ n

u

- '3

4

a. f Ix) = xe-lxi. a>

a>

f Iu )

= ~I

e -iux ,[ (x ) dx

=

~I

vzn -

I

-iux

-

lxi x dx

!XI

e -~ux + x x dx +

-a>

1

vzn

e

-a>

-a>

0

_1_

[ 1

0

~

iu

I

e x d

~I0

e

-iux - x x dx a>

x tr-Lu)

1

~

iu

I

vzn [

[vzn 1

--

1

~

iu

I

e

xrr-Lu)

dx + ,

1 1 + iu

Cl - iu)2

I

]

e- XI1+iU) dx ]

0

-a>

1

-x rr-Lu)

a>

0

-

x d e

0

-a>

1

+

2

i sin ux ) ~ du

+

1 Cl + iu)2 ]

-i

ff n

2u 2)2 (1 + U

2

uitwerkingen

b. De formu l e van Plancherel i s: IIfI1 2=11~(flI12'

linkerlid

=Jx

2

e- 2 lx l dx

J

2 00

- x

2

e

x e

I: I:

- 2x

-2x

00

~

00

f' { x )

-00

2 U 2 du Cl + u ) 4

J0 7. 4

J

={

a . f is [(u)

=

4u

Jx

J0 e

+

-2x

1

dx

2: 00

du o

-1

voor

1
2.

:S

:S

I,

:S

2,

u2 ) 4

[ J cos

Si~

I~

ux

_ si~

ux

2~ sin u (1 - c os u )

u

Tl

~ 1

.

Tl

du

en

16

2

ux dx -

o

[

n

+

1

~

f(x) cos ux dx

0

8

(1

2

Tl

lxi lxi

~

u

J

Dus

32

even, dus er geldt 2

=

dx

- 00

0

J

e

2

voor

=~

00

-2x

0

00

u2 ) 4

+

Cl

2

+

x 2 e -2X dx

o

-00

rechter lid

00

00

00

3 U

I~

]

=

J cos

ux dx ]

1

~ 2 sin Uu- sin 2u

2~ ~ u U U Tl u 2 sin 2: cos 2: 2 sin 2 2:-

u

ti s i n 2: cos 2:

b . Uit de omkeerstelling volgt : 00

vr'['J8r'['~ i vi u

. 3 2: U cos 2: u Sln cos ux d u

D

{

1

voor -1 < x < 1,

0

voor x

- 1 1

2:

±1,

lxi

voor 1
2,

67

68

uitwerkingen

21

Invullen x =

levert :

Jti

al

al

16 -rr

Jo

1 Sln . 3 2 U U cos 2 2 du = 1 , dus

o

.

2 sln3 t cos

11:

16

t

c. De formule van Plancherel is :

11

f

11

= 11

2

~ (f) I1

2'

2

1

[J dx J

=2

linkerlid

+

o

1

J

~ ~2

al

rechterlid

2

64

Dus:

7 .5

f(x)

sin6 t c os

Jo

t

sin6

11:

o al

4.

dx ]

~2

cos 2

~2

al

du

= 128 11:

2

6 t 2 cos

t

'

t dt.

0

U

2

J sin

t dt

11:

32

2

0 + 1x] ) e-I xl.

a . f is even, dus er geldt

7.6

al

~

f Iu)

J

(1 + x) e-

x

cos ux dx

o al

_1

a

J

x ) [ e xr-r-Lu) + e X(-l -iU)] dx

+

0

O

1

a

x(-l+iu)

[0

e·

+ x) - - - ' - -1 + iu

J

al

I:

e X(-l+iU) -1 + iu dx -

o

~[ -

1

- -

1

a

al

e

X(-l+ iu)

(-1

a

2

lal

o

+

+ 1 + 2iu - u ri + u 2)2

I: __

iu)2

+

x( - l- i u) _ (-1 - i U)2

e

1

1 + [ -2 -+ 2 + iU)2 (-1 1 + u [ 2 + 2u

x r-v- Lu i

x) -- 1 --iu

eX(-l-iU) ] -1 _ iu dx

Jo

-1 -1 -1 + iu + -1 - iu

e

0 +

+

=

o 2

+ iU)2 ]

+ 1 - 2i u - u

2

]

= 2IT 11:

1

o

2)2 + U

rechterafge l eide . b. f is continu en heeft overal een linker- en e en Dus volgt uit de omkeerstelling: al

1

cos ux du

(1 +

lxi) e- Ixl.

uitwerkingen

1 levert:

Invullen x

IX)

IX)

~J 0

cos u du = ~ e u + u 2)2

cos u du U2)2

Jr

dus

0

II

2e

i +

c. De formule van Plancherel is: IlfI12=11~(f) 11 2

IX)

IX)

Jo

linkerlid = 2

x)

(l +

2

e

-2X

J (1

dx

+ Y +

~

2

) e - Y dy

o

f ( l ) + f(2) +

1

4

5

f (3 )

2:

IX)

rechterlid

2

J

2

4

II

(l +

0

U2 ) 4

duo

IX)

J

Dus

0

ti

+ u2) 4

,

vo or 7.6

f

Ix ) = {

-1

voor

5

du

32

ll .

0 < x < 1,

< x < 0,

-1

elders. a. Omdat f oneven is , ge ldt: 0

f

Iu )

-i f

1

J

IX)

/fJ

f (u) s

vr?'_: :

f (x ) s in ux dx

sin ux

Ir' 1 1 - i Ir' II

dx

o

0

[(u) =

(u ) .

s

cos U u - co s u

u

II

-i

sin

1r'2

2 u

2:

U

II

b. f heeft ove r a l een link er- en een rechterafgeleide. Dus vo l g t uit de omkeerstell i ng: IX)

/f J

fs( U) sin ux du

2:1 {f (x

+

0 ) + f( x - a)}, dus

o IX)

/fJ

Ir'

2 sin

II

2 u

2: sin ux du U

Invullen

Jo

x = 1

levert :

. 2 U SIn 2:

u

{

2: 0

0

IX)

1 1

s i n u du

II

8"

voor 0 < x < I, voor

x = I,

voor

x > 1.

69

70

uitwerkingen 1 Invullen x = 2: levert : oo 3 U sin 2: n ---du :4 dus na u

oo

.

J

1

t

volgt:

u

2:

JSi~3

n

t dt

:4

0

0

c. De formule van Plancherel is :

Il fI1

2=11:'f(f)

I1

2'

linkerlid = 2. oo

J

rechterlid =

2 n

sin

4

u

2

4

-"1

co

'oo

1

4

J

Dus:

si.n - u n 2 du - :4 , en na 2

={

2: u volgt:

t

~-

J

•

4

t

~dt

t

0

2

n

:4

voor lxi ::s 1, voor 1 < lxi < 3, voor [x] ~ 3.

2 f Ix)

1·

U

-oo

7.7

1 2: u duo

lxi

a. f is even, dus geldt: oo

If J

f Iu)

[(x) cos ux dx

0 1

3

If J

2

cos ux dx

+

~ sin ux 1

1

n

(3 - x) cos ux dx

1

0

2

IfJ

u

+

0

~ n

3

3 sin rz: - ux - 1 +1/'=(3 - x) U 1 n

J

sin - ux - dX u

1

2 ~ sin u _ ~ 2 sin u n

~

u

n

n

cos Dus:

u

= -2 =4 ~

cos 3u

U -

[(u)

u

cos u - cos 3u

rr

2

sin 2u sin (-u)

2

4 sin u cos

U.

2

sin u cos u . u

2

b . f is continu en heeft overal een linker- en een rechterafgele ide . Dus geldt volgens de omkeerformule: co

1/r?'rr '2=-

J

f Cu) cos ux du = f'{x ) . A

o

7.8

ui twerkin gen

Dit wordt hier : 0)

4

~

Tr

J sin2 u cos

u Invu llen van 0)

-8 tt

J sin

~

0

f Ix ) .

l ever t : 0)

2

u cos u d u

= 2,

2

o

J

=0

x

waa r Ul·t volg t

Jo

u

I nvu l l en van 0)

u cos ux du

2

o

=1

x

.

sln

2

U

levert:

2 2 sin u cos u du = 2 , waaruit volgt 2 u

J 0

4

2

0)

J

sin

2

0

u cos 2 u

(sin 2U)2 du 2 u

t leidt tot

wat na 2u

Tr,

2

rr

u du

4

0)

0)

Dus

rr

u cos u du

J sin 22 t

dt

t

0

rr

2:

c. De formule van ·Plancherel is :

11 2 =

11 f

11 2,

11 :'f(O

1

linkerlid

3

=J4 o

~J

Dus:

sin

4

u cos

sin

J0

4

u cos

2

3

.

20

13

3

1

u

4

2 u duo

4

U

0

0)

4 - ~ (3 _ x)3

x)2 dx

1

0)

= 16

rechter lid

J (3

dx +

20

du

5

rr

24 rr.

3 32

I;l

0)

7. 8




= à~ [~'(1) -i

Dus:

:'f(x cos x)

~

+

~'(-1)]

[ < o(x - 1) ,

~'(x)

~(x)

> + < o(x + 1) ,

i

~

[< 0' (x - r).

i

~

[0 ' (x - II + 0' (x + llJ.

> + < 0' (x

+ i

i,

~'(x)

~( x)

>]

>J.

71

72

uitwerkingen lJ)

7 .9




=
8.1

< ~(u -1) , ~ >.

Bij (1) hepben we de omkeerstelling gebruik t. i x) Dus: ~ (e = ~ (u -ll .

vzn

Uit de omkeerstelling volgt :

co

J~(u)

lJ)

~(x)




ix) Dus: ~(x e

< x e

ix

~

= _ i vzn < = i vzn ~'(u

~«(1 + x)e i X )

= vzn

>

J

u

e iu ~(u) du

~(u - 1), ~' >

- 1)

i

= -i vzn

vzn

en

[~(u - II + i ~' (u - t l l .

~' (1 )

=

< ~' (u - 1), ~ >.

uitwerkingen

8. Laplacetransformatie 8. 1

Volgens de omkeerformule voor de Laplacetransformatie is c+ioo st (s - 1) e 1 -1 s 1 ) ds, [(t) = :f. - 2rri 4 (s 2 + 1) (s + 1)4 (s 2 + 1) (s + 1) c-ioo + met c E IR • Voor t ~ o beschouwen we de volgende contour C.

(

1. de lijn

J

Re z

=c

naar

van

Izl = R van

II.de grootste boog van

c +

i~2

-

- c

2

C

2

naar

Ri IJ

c

als

dsl

R

~ 00.

+ 1)

st (s - 1) ,dan heeft g polen van de (s + 1)4 (s2 + 1) s = i en s = -i en een pool van de vierde orde i n e

eerste orde in s = -1. ~~r ges)

eit (i - 1)

= ~~T

(s - i) ges)

1

it (1 + 1 0 ).

~ge

Res

s=-I

2:1 e it Cl

+ i) (YZ

- it 1 -it ges) = e (-i - 1) =-ge Cl -i). (-i + 1)4 ( -2i)

Om

~~~1

(w

=s

ges) te vi nden beschouwen we de vo lgende Laurentontwikkeling + 1):

(w -

2)

-4

a w W4 (w2 _ 2w + 2) -4 2 W - 2 = (w - 2w + 2) (a

4

-3

+ a w -3

-2

+ a w -2.

-1

+ a w

+

o

.

0'

dus

-1

+ a w + a w2 + a w3 + . .. l , ~

-2

-1

Gelijkstel l i ng van de machten van waan beide kanten levert: a - 2 a -4 , 0 = 2 a -2 - 2 a -3 + a -4 -3 + a 0 2 a -2 -3 1 1 en a We vinden: a = - 1, a -1 4 2: , a -2 = 0 -3 -4 -2

eirr/4)-4__

(i + 1)4 2i

= 2 a -4 = 2 a -1 -

, 1

=2

73

74

uitwerkingen

Dus e-t e wt (w _ 2) w4 (w2 _ 2w + 2) Dan is ~;~1 ges)

e

-t

(1 + wt +

W2 t2 -zr-

1 +~+ . .. ) 3 2w 4w W4 ontwikke ling . in bovenstaande

W3 t3 + ~ + .. . )(1

de coëfficiënt van w-

1

3) Res () = e -t(l4 14 t 2 - -61 t . s=-1 g S Als we R naar 00 laten naderen is volgens de residuenste lling

f

f(t) = 2~i

.

ges) ds

~;r ges) + ~;~ I ges) + ~;~ 1 ges )

c+ 1

8

e

it (1 + i) _ ~ ~-it (1 8

e-t(~ _ ~ t 2_ ~ t 3) - ~ cos t + ~ sin t 4

Voor t < 0

(t '" 0) . 4 6 4 4 . toont men met een contour bestaande uit I en 11' ,waarbij

i naar 11' de kleinste boog van Iz\ = R van c + - c is, aan dat f(t) = 0 voor t < O. Binnen deze contour ligt namelijk geen

i~2

van de polen van g .

8 .2

Volgens de omkeerformule voor de Laplacetransformatie i s c+ioo f (t) =

:e-

1

(

(s2 + 2s

+s2)(S + 1)4) =

2~i

J.

C-lOO

st (S2 +e 2S + :)(S + 1)4 ds , .

met c e R+. Voor t '" 0 beschouwen we de volgende contour C. I. de lijn

Re z = c

van

c -

II.de grootste boog van Izl

i~2

=R

- c

2

van c +

naar

i~2

- c

2

naar c -

i~2

-

ci.

Ri II

c

8. 3

IJ

II

st s e dsl 2 + 2s· + 2) 1)4 (s (s +

Stellen we

ct

R (R - 1)4 (R2 - 2R - 2) 21lR e

~

0

als R

~

st s e , dan heeft g polen van de 1)4 (s2 + 2s + 2) (s + s = -1 + i en s = -1 - i en een pool van de v ierde

ges)

eerste orde in

::S

00 .

uitwerkingen

orde i n

75

s = -1. e(-I+i>t (-1 + i)

~~ ~ 1 +1 ges) = H~I+1 (s + 1 - i) ges)

2i (i)4

=21 (1 +1i ) e (- I +i>t . ~~ ~ 1-1 ges) = ~~~1-1

e (-I-ilt (-1 - i ) + 1 +

(s

_ 1 (1 _ I )

- 2 ~~~1

Om

1

e

ges )

i)

( - 1-

i )t

-2i (_0i)

4

.

ges) te vinden beschouwen we de volgende Laurentontwikkeling

s + 1) :

(w

(w - 1)

-4 -3 -2 -1 dus aw+aw+aw+aw+ -4 -3 -2 -1 3+ 2+ 1 = (w2+ l)(a + a w + a w a w ... J, zodat

w4 (w2 + W -

1)

-4

-1=a_

4 a -4 = -1

a -3

Dus: e -t e wt (w w4 (w2 + 1)

-2

-1

en we vinden

O=a_

3

1 1 1 1 W3 t3 + ~ + . . . )(- ~ + ~ + ~ - - . . . ) w w w w 1 de coëfficiënt van w- in bovenstaande ontwikkeling

1)

~~~1 ges)

Dan is

-3

a_ ,O=a_ 1+a_ 3 2+ 4 = 1 , a -2 = 1 , a _I = -l.

1=a_

~~~1 ges) = e -t(_l + t + ~ t 2_

i

t

3 ) .

laten naderen i s volgens de residuenstelling

Als we

00

f Lt l =

ges) ds = ~~~1+ 1 ges ) + ~~~1-1 ges) + ~~~1 ges) 1 Cl +

2

e

-t

Voor t < 0

L)

1

e

(-1 +i) t

+

1 (1

2

1

2

1

3

[cos t - sin t - 1 + t + 2 t - 6 t]

voor t

toont men met een contour bestaande uit

11' de kleinste boog van

Izl

= R van c +

i~2

- c

i

~

o.

en II',waarbij naar

C

-

. ~2

1

-

C

2

is, aan dat f(t) = 0 voor t < O. Binnen deze contour ligt namelijk geen van de polen van g. 00

8. 3

J0

v(t,a) 00

~(v)

ta + x dx , r(a + x + 1) 00

J e-~t[ J 0

0

a > -1,

t > O. 00

00

ta + x dx r(a+x + 1) ] dt

J0

1 r(a: + x + 1) [

Je 0

-st

t

a

+ X dt]dX

76

ui t werkingen

'" '"

- x in

~ J e- x in 5 dx

= h(t) ,

yfl + 4y

---a+l 5

0

5

8.4

1

t ~ 0,

met

1

1"'0 in

(-

,

5

> 1.

5)

{~

het)

5

e

voor

R

voor

0 s t < R

S

t

S

2R, en · t > 2R.

Verder geldt y(O) = 1, y' (0) = O. 2R -RS - e -2RS -st e I:R = ::.e =--_ Je-st dt .i(h) 5

-5

R

Dus:

=S

yes) (s2 + 4)

-RS

__

+ ::.e_ _~=--

e

-RS

- e

-2RS

+ ------

yes)

, zodat

Terugtransformatie levert: t

y(t)

= cos

2t + het)

= cos

2t + g(t) .

•

1

2

. 2(t - • ) h l • cos 2t + 1 J Sln

sin 2t

2

) d•

o

g(t) = O.

Voor

0 s t < R

geldt :

Voor

R s t

geldt: . g(t)

t S

2R

=~

J sin

41

41

2(t _ . ) d.

cos 2 ( t - R)

= cos

2(t - . ) 4

= 41 - 41

IRt

8. E

cos 2 t.

2R Voor

t > 2R

geldt :

1 J

2

g(t)

i 2(t _ ~) d~ -_ cos 2(t - . ) 12R sn. . 4 R

R

cos 2(t - 2R) 4 1

x fl - 2x '

8 .5

{2

yl

-

met x(O)

met

cos 2t + g(t)

Dus: y(t)

+ 3y' + 2y

x' + 3y

= x'

(0)

g(t)

{~

{

= 0,

= y(O) = o.

2 -

x(s)- 25 X(s) + 3s yes) + 2 yes)

25 yes) -

5 X(s) + 3

yes)

1 2t , 4 cos

= o.

R s t

S

2R,

elders.

8 . 'i

= 4,

Laplacetransformatie levert: 5

cos 2( t - R) 4

0

-45

uit werkingen

{

(s

2

-

Zs )

+ 3) -(3s + 2)

s

x( s) + (2 s + 3) y es )

- s

I (Zs

4

x( s) + (3s + 2) y es )

0

8s + 12 s

x(s) [ (s2 - 2s) (2 s + 3 ) + s (3s + 2) I 4s + 6

x(s)

D

1) + Ds

s = - 2 7

=

C

6 ;

=

C

3

2(s

1

2 , dus

x( s)

IX(t)

= 4,

ye s)

Dus :

s=O y es )

2

= A(s

- l)(s + 2) + Bs(s + 2) + Cs(s - 1) .

=

=

3e

[(t)

Ie-st e

eS

2

1

e

I

erf

-.

(vt)

- (!. t + s )2

00

s2

dt

4

..fii -.1 e ..fii s

t

1

e e

I

e

2

0

2 2 s d• =..fiie erfc (s) .

e

t

-

2

Ivt _.2

e d• .

..fii O

00

~( f)

=-

I

OO

2

[(t)

s

t +3 1 e -zt. .

1

o

8. 7

2

3

=e 00

fe s)

s+~+s+2

A-i ; s =1 B 1 2 1 - - + 3 (s - 1 ) + "= 3----(-s=-+~2'""'") s

-1+ 2

8 .6

ABC

2 s Cs + 2)(s - 1)

y es )

I

e

-st

et [

-. ~I 00

e

0

-2

Ivt _.2 e

d. ] dt

..fii o

0

2

77

00

[I 2e-

•

st

e

t

dt ] dr

dt

-t+s=.

00

2

2 e

s2

I s

e

-.

2 d.

+ 2)

78

uitwerkin g en ' IX>

~J0 e

-T

-

J

1

e

-ST

-fii (s - 1) 0 1 (s - 1)

8.8

2y" - 4y

+

= ~J

e

-T

2

e

- cs-r rr

IX>

.[;;T;x 2 1 2 dT -fii ( s - 1)

~J0

8 .1

= 2t

9y • sin 2t

met

v' (0 )

y(O)

yes) - 25 y(O) - 2 v' (0) - 4 yes) + 9 yes)

yes) [2s 2 - 4 +

~l 2 5

+

2 s2 + 4

B A (S3 + S2 + 1)(5 2 + 4) + + 2 2 s2 (5 + 1)2 s S 2 Dus : sS + 5 4 + 45 3 + 55 + 4 = A (5 2 + 1)2 + B s(s2 + 1 )2 + (Cs

A

coëff.s 4 ~ coëff .s 2 ~ yes)

= __ 4

y(t)

4;

=1 ~ D + F =5

A + F 2A + 3s

+

+

52

(S2 + 1)2

4t

~ t sin t

+

(_1)n 8.9

~ B = 0;

coëff.s

+

F

= -3;

52

D) 5 2

=5

~

D

1

+

cos t - 3 sin t .

tno Laplacetransformatie levert : 1

(_1)n ~ = 1 [ neo (n! ) 2 sn+l s n-o

{:

=

+ (Es + F ) s 2(s2 + 1). s coëff.s ~ E = 1; 3 c oëff. s ~ C + E =4 ~ C +

~ 8 + D - 3

voor 0 :s t :s 1,

8 .1 0 f(t )

2

= 0:

s - 3 , zodat terugtransfo rmatie geeft

= [

Q

5

Es + F + - -s2 + 1

(nl )2 ~ [J (2vt ) 1

2

=

2 + 2s + 2 s2

4

1.

. yes)

=0 ~

2 e - x dx

vs

'2 -

s

dT

s -

Laplacetransformatie levert : 2s

2

0

IX>

2

IX>

2 e - (S-ll t -(s -1) 1: 2 dT

voor 1 < t < 2 ,

f(t) - H(t - 2) [(t - 2) = Hierbij is H gegeven door

0

{

1 _ _ -=_e n!

s

n

s

en ' [(t + 2) = [(tl. voor t > 2,

f(t) voor 0 :s t < 2. ~ 0 , = { 1 voor t H(t) o voor t < O.

Laplacetransformatie levert :

5

3;

uitwerkingen Q)

1

Q)

J f (t )

e-

st

J H(t

dt -

o

- 2) f(t - 2) e-

st

dt =

fes) - ef es )

-st . fes)

e_

I~

s

s (l + e- s)

8. 11{3 ~: : 3::

2t, met

-10,

y' (0)

x(O)

0 , y(O)

Laplace transformatie levert : 3s2 x (s) {

2

15 + s yes) + 3

2

S 10

S2 yes) + 3s - 3s x(s) 3s2 x(s) + s

{

_

2

-3s x(s) + s

yes)

2

-

s

=-

yes)

s

2

+ 12

10 3s - s

s

1

-1

s 2

2 10 3(4 + 5s ) 3s(s2 + 1) x(s) - - + 12s + 3s + - - - - - - s s s 2 2) 4 + 5s (4 + 4s + S2 4 x(s ) + 2 s2(s2 + 1) s2(s2 + 1) S zodat terugtransformatie geeft : Ix(t) - 4t + sin ti. 2

-

s(l + s ) yes)

2 =~

+ 12 - 3s

2

2-3s 4 2+2s - 10 = - ---=2---

s yes)

_3s

4

+ 2s

2

S

+ 2

s3(s2 + 1)

=~ s2 + 1

zodat terugtransformatie geeft: Iy( t )

e- s t dt

o

2 2s

J [(t)

= -3

cos t + t

2

1.

2

+ S

3

= -3 ,

x' (0)

5.

79

•

ISBN 90-407-LL53-4

9 789040711534