2 Math 4-6 Man Small [PDF]

Zitiervorschau

Н. А. Сопрунова | М. А. Посицельская С. Е. Посицельский | Т. А. Рудченко И. А. Хованская

математика и информатика

класс учебник | в шести частях | части 4, 5 и 6 2-е издание, доработанное

Москва | 2020 | ЦПМ, МЦНМО

1

2

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я71 С 64

Сопрунова Н. А. Математика и информатика. 2-й класс. Учебник. В 6 ч. Части 4, 5 и 6 / Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская. — М.: ЦПМ, МЦНМО, ИНТ, 2020. — 64 с.: ил. ISBN 978-5-4439-4070-0 (МЦНМО) ISBN 978-5-906085-87-0 (ИНТ)

Курс «Математика и информатика» рассчитан на обучение в течение четырёх лет в объёме четырёх или пяти уроков в неделю. В комплект для второго класса входят учебник в шести частях (объединённых в две книги) и задачник в шести частях.

Дизайн книги — И. Э. Бернштейн, вёрстка — Д. А. Кобринский Иллюстрации — Т. Э. Казанцева Авторы благодарят: за ценные замечания — С. Ф. Сопрунова и В. А. Успенского; за помощь в подготовке издания к печати — Е. А. Акулину. © Центр педагогического мастерства, 2020 © Московский центр непрерывного математического образования, 2020 © Институт новых технологий, 2020 © Н. А. Сопрунова, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Т. А. Рудченко, И. А. Хованская, 2020 © Т. Э. Казанцева, иллюстрации, 2015 © И. Э. Бернштейн, оформление, 2015 Все права защищены.

1

2

3

Работа с таблицей умножения (Текст для учителя) На втором уроке 14-й недели дети коллективно составили таблицу умножения и изучили её свойства. Созданная ребятами таблица была вывешена в классе и с 14-й по 16-ю недели включительно использовалась при решении примеров, задач и других заданий. На первом уроке 18-й недели каждый ученик начинает заполнять свою личную цветную таблицу из середины задачника. Её можно вырезать и наклеить на картон. Первыми заполняются строки и столбцы умножения на 2, на 5 и на 10. К этому времени школьникам уже много раз встречались задания, в которых использовалось деление пополам, удвоение, счёт десятками, «укладывание» пятёрок в число и т. д. С этого момента школьник старается помнить или быстро вычислять ответы к примерам на умножение и деление на 2, 5 и 10. На втором уроке 18-й недели заполняется и выучивается наизусть главная диагональ таблицы умножения. Квадраты чисел от 3 до 9 — это единственные примеры, которые дети выучивают наизусть. По всем остальным клеткам таблицы мы предлагаем способы вычисления соответствующих произведений. На 19-й и 22-й неделях мы постепенно заполняем оставшиеся клетки таблицы: используя уже известные ребёнку произведения, вычисляем новые. К концу 22-й недели все произведения таблицы умножения либо выучены школьником, либо высчитываются удобным и коротким способом. Тем не менее мы не советуем форсировать заучивание таблицы: в некоторых ситуациях можно разрешать подглядывать в цветную таблицу. Вычисление значений произведений и частных из таблицы умножения кажется нам гораздо полезнее прямого заучивания всей таблицы, даже если ученик поначалу тратит на это много времени.

2

3

4

Порядок действий (сложение, вычитание, умножение  и деление) Тимоша купил две булочки по 15 рублей и три рогалика по 8 рублей. Сколько денег он потратил? Для того чтобы решить эту задачу, нужно: 1) узнать, сколько стоили две булочки; 2) узнать, сколько стоили три рогалика; 3) узнать, сколько стоила вся покупка. Попробуем записать решение задачи одним выражением. (2 · 15) + (3 · 8) Скобки показывают, что нужно сначала выполнять умножение, а потом — сложение. (2 · 15) + (3 · 8) 30

24 54

Договорились, что в таком выражении скобки можно не писать: в выражении без скобок всегда сначала выполняются все действия умножения слева направо, а потом — сложение и вычитание слева направо.

3

4

5

Задание: вычисли 100 − 4 · 9 + 2 · 7. Результат: 100 − 4 · 9 + 2 · 7 = 78 36

14

64

78 Задание: вычисли 2 · 3 · 8 + 19 − 9 · 6. Результат: 2 · 3 · 8 + 19 − 9 · 6 = 13 6

54

48 67 13 Математики договорились так. Если в выражении нет скобок, то сначала выполняются умножение и деление по порядку, слева направо. А потом выполняются сложение и вычитание, тоже по порядку, слева направо.

4

5

6

Задание: найди значение выражения 28 − 40 : 4 + 6 · 6. Рисуй дерево вычисления. Результат:   28 − 40 : 4 + 6 · 6 = 54 10

36

18 54

Задание: вычисли 100 − 18 : 3 · 7 + 19. Результат:   100 − 18 : 3 · 7 + 19 = 77 6 42 58 77

5

6

7

Циклы Это цикл из шести бусин. Другими словами, это цикл длины 6. В этом цикле: ровно 6 бусин; ровно две синие круглые бусины; следующая за красной квадратной бусиной — синяя круглая; предыдущая перед фиолетовой бусиной — жёлтая квадратная; третья перед красной квадратной бусиной — фиолетовая треугольная; третья после красной квадратной бусины — фиолетовая треугольная; четвёртая перед красной квадратной бусиной — тоже квадратная; шестая после красной квадратной бусины — красная квадратная; восьмая после красной квадратной бусины — жёлтая квадратная. В цикле нет ни первой, ни последней бусины. Для каждой бусины есть ровно одна предыдущая бусина. Это пустой цикл. Это не цикл. В цикле стрелка идёт от бусины к следующей за ней бусине. Для каждой бусины есть ровно одна следующая бусина. Вот цикл из трёх бусин: В этом цикле: девятая перед красной квадратной бусиной — красная квадратная; двадцать третья после оранжевой треугольной бусины — синяя круглая.

6

7

8

Циклы и цепочки По любой цепочке можно построить цикл. Для этого нужно просто склеить начало и конец цепочки. понедельник

понедельник

воскресенье

вторник

воскресенье

вторник

суббота

среда

суббота

среда

пятница

четверг

пятница

четверг

Цикл можно разрезать между любыми двумя соседними бусинами, получится цепочка. Направление при этом сохраняется. Ц

Ц1

Вот все цепочки, которые можно получить разрезанием цикла Ц: Ц1 Ц2 Ц3 Ц4

7

8

9

Ш — это цикл длины восемь.

Ш

В цикле Ш можно разрезать любую из восьми стрелок. При этом можно получить только две разные цепочки: Ш1 Ш2

У — это цикл длины 12. У

А

А

Б

А

А

Б

Б

А

А

Б

А

А

Из этого цикла можно получить только три разные цепочки: У1

А А Б А А Б А А Б А А Б

У2

А Б А А Б А А Б А А Б А

У3

Б А А Б А А Б А А Б А А

8

9

10

Во сколько раз больше, во сколько раз меньше? У у а и

Тимоши один пакетик конфет, Ариши четыре таких же пакетика, у Вани один такой же пакетик ещё 4 конфеты.

Тимошины  конфеты 

Аришины  конфеты

У Ариши в 4 раза больше конфет, чем у Тимоши. Если умножить количество Тимошиных конфет на 4, мы узнаем, сколько конфет у Ариши. У Тимоши в 4 раза меньше конфет, чем у Ариши. Если поделить количество Аришиных конфет на 4, мы узнаем, сколько конфет у Тимоши.

Тимошины  конфеты 

Ванины  конфеты

У Вани на 4 конфеты больше, чем у Тимоши. Если к Тимошиным конфетам добавить ещё 4, получится столько же конфет, сколько у Вани. У Тимоши на 4 конфеты меньше, чем у Вани. Если из Ваниных конфет забрать 4, получится столько же конфет, сколько у Тимоши.

9

10

11

В вазе лежало 3 мандарина, а в шкафу — в пять раз больше. Сколько  мандаринов лежало в шкафу? Нарисуем в виде кружочков мандарины, которые лежали в вазе.

В шкафу лежало 5 раз по 3 мандарина.

Если количество мандаринов в вазе умножить на 5, мы узнаем, сколько мандаринов лежало в шкафу. 5 · 3 = 15 Ответ: в шкафу лежало 15 мандаринов. Задание: увеличь число 7 в 5 раз. Результат: 7 · 5 = 35 На нашем острове птицы свили 30 гнёзд. А на соседнем острове птицы свили в 3 раза меньше гнёзд, чем на нашем. Сколько гнёзд свили птицы на соседнем острове? Если количество гнёзд на нашем острове поделить на 3, мы узнаем, сколько гнёзд на соседнем острове. 30 : 3 = 10 Ответ: на соседнем острове птицы свили 10 гнёзд. Задание:  уменьши число 60 в 10 раз. Результат:  60 : 10 = 6

10

11

12

Задание:  определи, во сколько раз число 48 больше, чем число 6. Тимоша решал эту задачу на числовой дорожке. Нужно узнать, сколько раз по 6 кирпичиков помещается в дорожке из 48 кирпичиков. 48 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 0 Результат:  число 48 больше, чем число 6, в

раз.

Умножение и деление чисел 0 и 1 Однажды утром Ариша подумала: а что получится, если 7 поделить на ноль? Думала, думала, ничего не придумала и побежала к бабушке: — Бабушка, что делать? Как 7 на ноль разделить? А бабушка в это время кофе себе варила на кухне. — Ну давай попробуем 7 поделить на ноль. Сколько раз по нулю помещается в числе 7? — Если сложить три нуля, получится ноль. — Может, ты мало нулей взяла? — улыбнулась бабушка. — Если сто нулей сложить — тоже ноль. — А если миллион нулей сложить? — не сдавалась бабушка. — Наверное, всё равно ноль получится… Никак до числа 7 не добраться, — расстроилась Ариша. — Вот поэтому, деточка, люди и решили, что на ноль делить нельзя! На  ноль  делить  нельзя! Бабушка поставила на стол кофе, чай и бутерброды. — Значит, и ноль нельзя разделить на 7? — спросила Ариша. — Да нет, почему же. Вот сколько у нас на столе пирогов?

11

12

13

— Ни одного нет. Ноль. — Можем мы эти пироги поровну на семерых разделить? — задумчиво спросила бабушка. — Можем: каждому по нулю достанется. Всё справедливо. — Да уж, — вздохнула бабушка, — поровну. Такая вот справедливость… Ариша представила себе, как она раздаёт всем по пустой тарелке без  пирога... — Значит, ноль разделить на 7 получится ноль? — сказала Ариша. — Ну да. Хоть на 7, хоть на 2. — И всё равно будет ноль! То есть 0 : 7 = 0, — обрадовалась девочка и убежала гулять. 0 : 16 = 0

0:1=0

0 : 100 = 0

За обедом Ариша спросила бабушку: — А вот ноль поделить на ноль — это сколько? — А сколько нулей нужно сложить, чтобы получить ноль? — Два нуля! Или три! Да хоть миллион! — Получается, что при делении нуля на ноль получается любое число. Поэтому ноль на ноль тоже делить нельзя, — закончила бабушка и стала убирать со стола. Задание:  реши примеры 0 : 6 = Результат:  0 : 6 = , 12 · 0 =

, 12 · 0 =

Задание:  реши примеры 17 · 1 =

, 9:1=

, 25 : 25 =

Тимоша рассуждал так. Умножить на 1 — это значит взять число 1 раз. Если число умножить на 1, получится то же самое число. Чтобы число поделить на 1, нужно узнать, сколько в нём поместилось единиц. Получится опять то же самое число. Чтобы поделить число на само себя, надо узнать, сколько раз оно помещается само в себе. Один раз. Результат:  17 · 1 =

, 9:1=

, 25 : 25 =

12

13

14

Общий множитель Ариша решала пример: 4 · 7 + 7 · 6. Она заметила, что в обоих произведениях есть множитель 7. «Обведу-ка я его в кружок». 4 ·  7  +  7  · 6

                      

7·4

7·6

                                          

              

Ариша представила себе 4 мешка по 7 бусин и ещё 6 таких же мешков.

10 мешков «Всего получается 10 мешков по 7 бусин». 4 · 7 + 7 · 6 = 7 · 10 = 70 В выражении 4 · 7 + 7 · 6 число 7 — общий множитель. Общий множитель в выражении удобно обводить в кружок, чтобы показать, какие именно одинаковые мешки мы складываем.

13

14

15

Тимоша решал тот же пример по-другому. Он вырезал из клетчатой бумаги два прямоугольника: 4 клетки на 7 клеток и 7 клеток на 6 клеток.

«Мне нужно узнать, сколько клеток в двух прямоугольниках вместе. Составлю-ка я из них один большой — приложу сторону из 7 клеток оранжевого прямоугольника к такой же стороне зелёного прямоугольника». Получился прямоугольник 10 клеток на 7 клеток. В нём 70 клеток. 4 · 7 + 7 · 6 = 7 · 10 = 70

Умножение на 9 Задание: вычисли 8 · 9. Представим себе, что у нас есть 9 мешков по 8 бусин. Обведём число 8, как будто оно написано на мешке с восьмью бусинами. 8 ·9 Для удобства вычислений возьмём сначала 10 таких мешков, а потом один уберём. Результат:    8 · 9 = 8 · 10 − 8 =80 − 8 = 72

14

15

16

Ариша заметила, что Рустам умножает на 9 с помощью пальцев. Она спросила Рустама, как он это делает. 8

Вот что рассказал Рустам: «Например, умножаю я 8 на 9. Кладу перед собой две руки и нахожу восьмой палец слева.         

7 Слева от этого пальца — десятки. Семь пальцев — семь десятков.

2 8

  

7         

А справа от этого пальца — единицы. Два пальца — две единицы.

8

Получается 72. И так можно умножать любое однозначное число на 9». Ариша стала проверять — действительно, всё сходится!

Циферблат. Пятиминутки Вот часы. На часах две стрелки. Стрелка покороче и потолще — часовая. Стрелка потоньше и подлиннее — минутная. Круг, по которому движутся стрелки, называют циферблатом.

15

16

17

11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

5

На циферблате стоят засечки — большие и маленькие. Около больших засечек написаны цифры. Больших засечек на циферблате 12. Часовая и минутная стрелки поворачиваются от засечки к засечке, часы идут. Часовая стрелка проходит циферблат за 12 часов. Когда часовая стрелка показывает на 3, а минутная показывает вверх на 12, на часах ровно 3 часа ночи или 3 часа дня. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

03:00

ровно  3  часа

5

Пока минутная стрелка проходит от одной маленькой засечки до следующей засечки, проходит одна минута. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

03:01

три  часа  одна  минута

5

Пока минутная стрелка проходит от большой засечки до следующей большой засечки, проходит пять минут. Часовая стрелка тем временем немножко сдвигается в сторону цифры 4. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

03:05

три  часа  пять  минут

5

16

17

18

Пока минутная стрелка проходит половину круга, часовая проходит половину пути от цифры 3 до цифры 4. 11 12

11 12

1

10

2

9

4

8 7

От За от за

03:30

3 6

1

10

три  часа  тридцать  минут

2

9

3 4

8

5

7

6

5

трёх часов дня до четырёх часов дня прошёл ровно час — 60 минут. это время минутная стрелка сделала полный круг: начала движение числа 12 и снова вернулась к числу 12. А часовая стрелка это же время прошла от цифры 3 до цифры 4. 11 12

11 12

1

10

2

9

04:00

3 4

8 7

6

1

10

2

9

четыре  часа 

3 4

8

5

7

6

5

Пока часовая стрелка идёт от цифры 4 до цифры 5, идёт пятый час. Пока часовая стрелка идёт от цифры 8 до цифры 9, идёт девятый час. 11 12

11 12

1

10 9

4 7

3:00

4:00

6

18

19

3 4

8

5

7

5:00

пятый  час

17

2

9

3

8

1

10

2

6:00

7:00

8:00

6

5

9:00

девятый  час

10:00

Одинаковые циклы. Разные циклы Вот цикл: А 

Вот такой же цикл: зима

осень

Б весна

лето

весна

лето

осень зима

А — это цикл из четырёх слов. В цикле А за словом осень следует слово зима, за словом зима — слово весна, за словом весна — слово лето, за словом лето — слово осень. Цикл Б состоит из тех же четырёх слов, и эти слова идут в том же порядке. Циклы А и Б — одинаковые. Цикл А получается склеиванием начала и конца цепочки ЦА. Цикл Б получается склеиванием начала и конца такой же цепочки ЦБ. зима осень ЦА

лето весна

лето

весна

ЦБ осень

зима

Эти четыре цикла — одинаковые.

18

19

20

Если циклы можно разрезать так, чтобы получились одинаковые цепочки, то эти циклы — одинаковые. Вот три одинаковых цикла: М1 Р А К И

М2 К И Р А

М3 И Р А К

Если разрезать цикл М1 между буквами И и Р, получится цепочка РАКИ.

Р А К И

Если разрезать цикл М2 между буквами И и Р, тоже получится цепочка РАКИ.

К И

Если разрезать цикл М3 между буквами И и Р, снова получится цепочка РАКИ.

И

Эти два цикла — одинаковые.

Р А Р А К

Каждый из этих циклов можно разрезать так, чтобы получилась такая цепочка:

Если склеить пустую цепочку, получится пустой цикл. Все пустые циклы — одинаковые. Эти два цикла — разные. В цикле Ц1 есть два квадрата подряд, а в цикле Ц2 нет двух квадратов подряд.

19

20

21

Ц1

Ц2

Вот два разных цикла: Я1 

Я2

В цикле Я1 — три яблока, а в цикле Я2 — четыре. Эти циклы — тоже разные: У

Ф

В цикле У вторая бусина после квадратной — треугольная, а в цикле Ф вторая бусина после квадратной — круглая. Вот ещё два разных цикла: Д

И К Р А

Ж Р А К И

В цикле Д буква Р следует за буквой К, а в цикле Ж буква Р следует за буквой И. Из двух разных циклов нельзя сделать одинаковые цепочки разрезанием.

20

21

22

Пять минут первого, без пяти шесть — Бабушка, который час? Мы не опоздаем? — спросила Ариша. — Двадцать минут третьего, ещё есть время, — ответила бабушка. — Но мы ведь должны были выйти в три часа! — воскликнула Ариша. — Аришенька, не волнуйся. Когда люди говорят, что сейчас сколько-то минут третьего часа, это означает, что идёт третий час. Двадцать минут третьего — значит, прошло только двадцать минут этого часа. Сейчас часы показывают 2 часа 20 минут. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

02:20

двадцать минут третьего

5

— А, поняла. Значит, десять минут пятого — это 4 часа 10 минут? 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

04:10

десять минут пятого

5

А три минуты первого — это 12 часов 3 минуты? 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

12:03

5

— Ну да, совершенно верно.

21

22

23

три  минуты  первого

Ариша задумалась, а потом спросила: — А если много минут какого-то часа прошло, например, 40 минут седьмого — так тоже говорят? — Нет, если уже близко к концу часа, то принято говорить «без скольких-то минут». Смотри, если сейчас 40 минут седьмого, то до семи часов осталось 20 минут. Тогда говорят «без двадцати минут семь». 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

06:40

без  двадцати  минут  семь

5

22

23

24

— Если часы показывают 5 часов 50 минут, до конца шестого часа осталось 10 минут. Значит, надо говорить «без десяти минут шесть»? То есть пройдёт 10 минут — и будет 6 часов? 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

05:50

без  десяти  минут  шесть

5

— Да, молодец! А если часы покажут 12:55, то скажут «без пяти час», — похвалила бабушка, — Ой, что-то заболтались мы совсем, уже без пятнадцати три, так и вправду опоздать можно! — Значит, через 15 минут будет три, и нам нужно будет выходить!

Чётность круглых чисел Ариша с Тимошей делили поровну чистые тетради. — Смотри, — сказал Тимоша. — У нас 40 тетрадей: 4 упаковки по 10 тетрадей в каждой. Очень легко делить: тебе две упаковки и мне две упаковки. У тебя будет 20 тетрадей, и у меня будет 20 тетрадей.

40 : 2 = 20

23

24

25

— Конечно, — сказала Ариша. — Если десятков чётное количество, то делить легко. Числа 20, 40, 60, 80, 100 точно чётные! — Смотри, Ариша, ещё одна упаковка тетрадей нашлась! Теперь упаковок 5, нечётное число. Значит, 50 тетрадей мы уже не сможем поделить поровну?

— Давай разделим эту последнюю стопку пополам: 5 тетрадей тебе, 5 тетрадей мне. У нас станет по 25 тетрадей.

50 : 2 = 25 — Значит, неважно, сколько десятков, и числа 30, 50, 70, 90 тоже чётные. Все круглые числа чётные!

24

25

26

Чётность двузначных чисел Ариша уже знает, что все круглые числа — чётные. Она подумала: а как узнать про любое двузначное число, чётное оно или нет? Ариша решила проверить, чётно ли число 46. Она представила себе 4 вязанки по 10 спичек и ещё 6 отдельных спичек.

Ариша разделила на две равные части сначала десятки, а потом единицы. Значит, 46 : 2 = 23. Число 46 чётное. Ариша решила проверить, чётно ли число 74. Она представила себе 7 вязанок по 10 спичек и ещё 4 отдельные спички.

                              

    

Для того чтобы разделить на две равные части 7 десятков, надо развязать одну вязанку. Получится по 35 спичек в каждой части.

70

4

25

26

27

Осталось разделить пополам единицы.

Значит, 74 : 2 = 37. Число 74 тоже чётное. Ариша подумала: «Какое бы количество десятков ни встретилось в числе, их всегда можно разделить на 2. Значит, чётность числа зависит только от количества единиц. Число 56 можно разделить на две равные части, потому что 50 можно поделить и 6 тоже можно». На числовой дорожке чётные и нечётные числа чередуются: за чётным числом идёт нечётное, потом снова чётное, потом опять нечётное. 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 Задание: подчеркни чётные числа красным цветом, а нечётные — синим. 0, 90, 2, 37, 68, 19, 8, 25, 100, 13, 82, 60 Ариша подумала: «На десятки смотреть не буду. Подчеркну красным цветом числа, которые оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8. Подчеркну синим цветом числа, которые оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9». Результат:  0, 90, 2, 37, 68, 19, 8, 25, 100, 13, 82, 60

26

27

28

Половина часа, четверть часа, без четверти Час — это 60 минут. Половина часа, или полчаса, — это 30 минут. В 2:30 уже прошла половина третьего часа и осталось ещё полчаса до трёх. В такое время говорят «половина третьего». 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

02:30

половина  третьего

5

Если разделить 60 минут на 4 равные части, получится четверть часа. Это 15 минут. В 7:15 уже прошла четверть восьмого часа и осталось ещё 45 минут до восьми часов. В такое время говорят «четверть восьмого». 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

27

6

28

5

29

07:15

четверть  восьмого

В 7:45 уже прошло три четверти восьмого часа и осталось ещё 15 минут до восьми часов. В такое время говорят «без четверти восемь». 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

07:45

без  четверти  восемь

5

28

29

30

Половина и полтора Вот яблоко с половинкой такого же яблока. Это полтора яблока.

Вот десяток яиц и ещё полдесятка яиц. Это полтора десятка яиц.

Вот батон и ещё полбатона. Это полтора батона.

Когда мы делим целое на две равные части, получается две половины этого целого. Например: дюжина платков — это 12 платков, полдюжины — это 6 платков; час — это 60 минут, полчаса — это 30 минут; пуд — это 16 кг, полпуда — это 8 кг. Полтора — это целое и ещё половина этого целого. Например: полторы дюжины платков — это 12 платков и ещё 6, то есть 18 платков; полтора часа — это 60 минут и ещё 30, то есть 90 минут; полтора пуда — это 16 кг и ещё 8 кг, то есть 24 кг.

29

30

31

Порядок действий (все действия и скобки) Математики договорились так. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют все действия внутри скобок по обычным правилам: сначала все умножения и деления по порядку, а затем все сложения и вычитания по порядку. После того как выполнены все действия в скобках, переходят к действиям снаружи от скобок. Найдём значение выражения: 70 − (15 + 3 · 8) − 40 : 5 Чтобы решить такой пример, сначала нужно выполнить все действия внутри скобок. 70 − (15 + 3 · 8) − 40 : 5 24 39 Теперь можно переписать этот пример, заменив выражение в скобках на значение этого выражения. 70 − (15 + 3 · 8) − 40 : 5 = 70 − 39 − 40 : 5 24 39

30

31

32

Выполним оставшиеся действия по тем же правилам: сначала все умножения и деления слева направо, потом сложения и вычитания, тоже по порядку. 70 − (15 + 3 · 8) − 40 : 5 = 70 − 39 − 40 : 5 = 23 24

31

8

39 Задание: найди значение выражения 38 + (73 − 59) : 7 Результат:  38 + (73 − 59) : 7 = 40 14 2 Задание:  найди значение выражения 90 − (5 · 5 + 18) + 15 Результат:  90 − (5 · 5 + 18) + 15 = 90 − 43 + 15 = 62 25

47

43

Задание:  реши пример 6 · (12 − 8) : 3 − (7 · 9 − 59) Результат:  6 · (12 − 8) : 3 − (7 · 9 − 59) = 4 4 24

4 8

31

32

33

63

Цифровые часы и часы со стрелками Однажды Тимоша заметил, что часы в гостиной стоят. — Дедушка, у нас часы остановились! — Ничего, сейчас поправим. Дедушка потянул за гирю, и часы затикали: тик-так, тик-так, тик-так... — Почти десять часов стояли часы. Давай-ка выставим правильное время! Который час? — На моём телефоне 14:27. — Ага, почти полтретьего. Дедушка стал крутить минутную стрелку. Тимоша обратил внимание, что часовая стрелка при этом тоже двигалась, но гораздо медленнее. Пока минутная стрелка обходила целый круг, часовая стрелка проходила одно большое деление, то есть переходила от предыдущего числа к следующему. Дедушка прокрутил 9 оборотов, потом довёл минутную стрелку почти до половины третьего и остановился. Часы показывали 14: 27. Когда мы пишем 3: 07 или 14: 45, это означает, что на часах такое время. Когда мы пишем 72 ч, 3 ч 7 мин, 14 ч 45 мин, это означает, что прошло столько времени.

32

33

34

Час — это 60 минут. За первые двенадцать минут часа часовая стрелка сдвигается на одно маленькое деление.

11 12 10 9

3 6

3 4

8

5

13:12

7

6

5

13: 12

+12 мин За вторую двенадцатиминутку часовая стрелка сдвигается ещё на одно маленькое деление.

11 12

13: 00

13: 12

11 12

1

10 9

3 6

5

34

35

6

5

13: 24

4

7

+12 мин

4 7

13:24

8

13: 12

3

8

+12 мин +12 мин За следующую двенадцатиминутку 11 12 1 часовая стрелка сдвигается 10 2 ещё на одно маленькое 9 3 деление.

13: 00

2

9

4

8

1

10

2

7

33

2

9

4

8

1

10

2

7

13: 00

11 12

1

13: 24 +12 мин

6

1

10

2

9

3 4

8

5

13:36 +12 мин

11 12

13:36

7

6

5

За четвёртую двенадцатиминутку часовая стрелка сдвигается ещё на одно маленькое деление.

11 12 10 9

4

13: 12 +12 мин

13:24 +12 мин

6

13: 00

13: 12

13:48

+12 мин

+12 мин

+12 мин 11 12

1

4 6

+12 мин

3 4

8

5

13:36

2

9

3

8

1

10

2

9

+12 мин

5

6

13:48

10

13:24

4

8 7

13:36

7

3

5

11 12

Ещё 12 минут — и час закончится.

2

9

3

8

1

10

2

7

13: 00

11 12

1

7

14:00 13:48 +12 мин

5

6

14:00 +12 мин

34

35

36

Для того чтобы определить время по часам со стрелками, нужно сначала посмотреть на часовую стрелку и понять, сколько целых часов прошло после полуночи (или после полудня). Потом нужно посмотреть на минутную стрелку. Например, если часовая стрелка стоит в промежутке между четырьмя и пятью, а минутная стрелка показывает на цифру 3, это значит, что после полуночи прошло 4 часа и ещё 3 раза по 5 минут. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

04:15

5

Через две минуты после этого будет 4:17 утра. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

04:17

5

Когда минутная стрелка показывает на число 11, от начала часа прошло 11 раз по 5 минут. 5 · 11 = 55 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

35

6

36

5

37

04:55

Задание. Рядом с каждыми часами напиши, какое время они показывают. Напиши два варианта — до полудня и после полудня. 11 12

1

10

2

9

:

4 7

6

5

:

:

1

10

2

9

3

8

11 12

3

:

4

8 7

6

5

На левых часах часовая стрелка — между тремя и четырьмя. Значит, часы показывают 3 часа (или 15 часов) и сколько-то минут. Минутная стрелка прошла цифру 4 и сдвинулась ещё на одно маленькое деление, то есть от начала четвёртого часа прошло 5 · 4 = 20 минут и ещё одна минута. Получается, что нужно написать 3:21 (или 15:21). На правых часах часовая стрелка — между шестью и семью. Значит, часы показывают 6 часов (или 18 часов) и сколько-то минут. Минутная стрелка прошла цифру 8 и сдвинулась ещё на четыре маленьких деления, то есть от седьмого часа прошло 5 · 8 + 4 = 44 минуты. Получается, что нужно написать 06:44 (или 18:44). Результат: 11 12

1

10

2

9

:

4 7

6

5

:

:

1

10

2

9

3

8

11 12

3

:

4

8 7

6

5

36

37

38

Задание:  нарисуй положение стрелок на часах в тот момент, когда  цифровые часы показывают данное время. 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

13:47

5

Сначала нарисуем часовую стрелку. На цифровых часах 13 часов  — это час дня. Часовая стрелка должна быть между часом и двумя. Часовая стрелка сдвигается на одно маленькое деление за 12 минут. За 48  минут она бы сдвинулась на четыре деления. А 47 минут — это  почти 48. Ставим часовую стрелку почти на четвёртую засечку. 11 12

1

10

2

9

3

13:47

4

8 7

6

5

Теперь нарисуем минутную стрелку. В число 47 пятёрка помещается 9 раз, и остаётся ещё две единицы. Значит, стрелка дошла до цифры 9 и сдвинулась ещё на два маленьких деления. Результат: 11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

37

6

38

5

39

13:47

Двадцать три минуты пятого, без семи минут три Бабушка крикнула из кухни: «Внученька, глянь, который час! Я поставлю пирог в духовку, ему нужно печься ровно час». Ариша посмотрела на часы.

11 12

1

10

2

9

3 4

8 7

6

5

Ариша подумала: «Скоро три часа. От начала часа считать минуты слишком долго. Посчитаю, сколько минут осталось до трёх часов. Через две минуты минутная стрелка покажет на цифру 9, и до конца часа останется три раза по пять, то есть 15 минут. Значит, до трёх часов осталось ещё 17 минут». Бабушка выглянула из кухни: «Посмотрела на часы?» «Да, бабуля, без семнадцати три!» — ответила Ариша. 11 Когда часы показывают 4:52, на вопрос «который час?» 10 можно ответить «четыре часа пятьдесят две минуты», 9 а можно и «без восьми минут пять».

12

1 2 3 4

8 7

Правда, «без десяти минут один» обычно не говорят. Вместо этого говорят «без десяти час».

6

11 12

5

1

10

2

9

3 4

8 7

38

6

5

39

40

Римская запись чисел от 1 до 100 В римской записи чисел используются буквы латинского алфавита I, V, X, L, C, D и M (они произносятся так: и, вэ, икс, эль, цэ, дэ и эм)*. Для записи чисел первого десятка используются три символа.

I

X

V

I обозначает число 1,

V обозначает число 5,

X обозначает число 10.

Соседи числа 5 записываются так: Цепочка IV обозначает 4 — предыдущее число перед числом 5. Цепочка VI обозначает 6 — следующее число за числом 5. 1

I

6

VI

2

II

7

VII

3

III

8

VIII

4

IV

9

IX

5

V

10

Х

Обрати внимание: если I стоит после V, то единица прибавляется к пяти, а если I стоит перед V, то единица вычитается из пяти. Если I стоит после Х, то единица прибавляется к десяти, а если I стоит перед Х, то единица вычитается из десяти.

* Чтобы отличить римскую запись числа́ от латинского слова, на письме обычно проводят две черты — над и под числом. Например: Х, ХVII.

39

40

41

В римской записи круглых чисел от 10 до 100 тоже используются три символа: X, L, C. Число 10 обозначается буквой X, число 50 — буквой L, а число 100 — буквой C. 10

X

60

LX

20

XX

70

LXX

30

XXX

80

LXXX

40

XL

90

XC

50

L

100

C

Если X а если Если X а если

стоит после L, то десяток прибавляется X стоит перед L, то десяток вычитается стоит после С, то десяток прибавляется X стоит перед С, то десяток вычитается

к пятидесяти, из пятидесяти. к сотне, из сотни.

Теперь мы можем записать римскими цифрами любое двузначное число. Для этого сначала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Затем слева римскими цифрами записываем десятки, а потом справа приписываем к ним единицы, тоже записанные римскими цифрами. Обрати внимание: число 55 записывается как LV, а не двумя одинаковыми цифрами, как мы привыкли. Единицу из пятидесяти или из ста не вычитают, поэтому число 49 нельзя записать как IL. Задание:  запиши числа 12, 99, 64, 49 римскими цифрами. Ариша рассуждала так. Двенадцать — это 10 + 2. Записываю 10 — это Х. И справа нужно приписать два. Получается XII. 99 = 90 + 9. Девяносто — это XC, девять — это IX. Получается XCIX. 64 = 60 + 4. Шеcтьдесят — это LX, четыре — это IV. Получается LXIV. 49 = 40 + 9. Сорок — это XL, девять — это IX. Получается XLIX. Результат: 12 = XII, 99 = XCIX, 64 = LXIV, 49 = XLIX

40

41

42

Задание:  запиши числа XIX, XCVI, XLVIII, LXXIV арабскими цифрами. Тимоша рассуждал так. Сначала отделю десятки от единиц. Запись единиц начинается либо с I, либо с V. Иду по римской записи слева направо, пока не встречу I или V. Все знаки до этого обозначают десятки, а этот знак и все знаки после него обозначают единицы. В числе XIX десятки записаны как X, единицы — как IX. Получается 19. В числе XCVI десятки записаны как XC, единицы — как VI. Получается 96. В числе XLVIII десятки записаны как XL, единицы — как VIII. Получается 48. В числе LXXIV десятки записаны как LXX, единицы — как IV. Получается 74. Результат: XIX = 19, XCVI = 96, XLVIII = 48, LXXIV = 74

41

42

43

В полтора раза больше, в полтора раза меньше Чтобы увеличить число в два раза, нужно сложить это число с самим собой. Чтобы увеличить число в полтора раза, нужно к этому числу прибавить его половину. Точно так же в полтора раза можно увеличить величину: длину, массу, продолжительность времени. Задание: увеличь в полтора раза каждую величину. 7 дм → 4 ч 30 мин → Тимоша рассуждал так. Сначала нужно найти половину от семи дециметров. Если бы дециметров было 6, я бы их сразу разделил пополам: 6 дм = 3 дм + 3 дм. Но у меня на 1 дм больше. Разобью этот 1 дм на две половинки: 1 дм = 5 см + 5 см. Значит, 7 дм = 3 дм 5 см + 3 дм 5 см. Добавим к величине 7 дм её половину: 7 дм + 3 дм 5 см = 10 дм 5 см = 1 м 5 см. Для того чтобы увеличить 4 часа 30 минут в полтора раза, найдём половину этой величины. Это 2 часа 15 минут. Добавим к исходной величине её половину: 4 ч 30 мин + 2 ч 15 мин = 6 ч 45 мин. Результат: 7 дм → 1 м 5 см 4 ч 30 мин → 6 ч 45 мин

42

43

44

Полтора килограмма вишен стоят 60 рублей. Сколько стоит один килограмм вишен?

                    

        

Ариша рассуждала так. Полтора килограмма — это целый килограмм и ещё полкило. Но целый килограмм — это два раза по полкило.

1 килограмм

полкилограмма

Значит, три раза по полкило стоят 60 рублей.

                    

        

60 : 3 = 20, поэтому полкило вишен стоит 20 рублей, а килограмм — 40 рублей.

20 р + 20 р

20 р

Ответ:  килограмм вишен стоит 40 рублей.

43

44

45

Уравнения с умножением и  делением При решении уравнений с умножением и делением мы будем пользоваться такой схемой:

5·8

В верхней строке записываются два множителя, а внизу — их произведение.

5·8

Так как 5 · 8 = 40, в окошке стоит число 40. Неизвестное число могло оказаться и на месте одного из множителей. Например:

40 ·5 45

Запишем к этому примеру на умножение соответствующий пример на деление.

45 : 5 =

Значит, в окошке должно стоять число 9.

9 ·5

· 5 = 45

45 9 · 5 = 45

44

45

46

Задание:  заполни окошко так, чтобы получилось верное равенство.

:4=8

·

Нарисуем схему.

Неизвестное число разложилось на два множителя, значит, оно стоит внизу, а 4 и 8 — наверху.

Чтобы найти неизвестное число, надо умножить 4 на 8.

4 · 8

4 · 8 32

Результат:  32 : 4 = 8

Вместо окошка можно поставить переменную, получится уравнение. Задание:  реши уравнение x · 4 = 20 ·

Нарисуем схему.

x · 4 = 20 х · 4

Заполним схему.

20 Найдём неизвестное число.

х = 20 : 4 x=5

Сделаем проверку.

5 · 4 = 20 И

Результат:  x · 4 = 20 x = 20 : 4 x=5

x · 4 20

5 · 4 = 20 И

45

46

47

Задание:  реши уравнение t : 6 = 2 ·

Нарисуем схему.

t:6=2 Заполним схему.

6 · 2 t

Найдём неизвестное число. t = 6 · 2 t = 12 12 : 6 = 2 И

Сделаем проверку. Результат:  t:6=2 t=6·2 t = 12

2 · 6 t

12 : 6 = 2 И

46

47

48

Задачи «на разницу» В 4-й «А» привезли пять одинаковых коробок с мелками, а в 4-й «Б» — три такие же коробки. Оказалось, что в 4-й «А» привезли на 16 мелков больше, чем в 4-й «Б». Сколько всего мелков привезли в два четвёртых класса? Ариша прочла задачу и задумалась: «Если в задаче написано, что чего-то на 16 больше, то вроде как надо складывать. А я не понимаю, какое число надо увеличить на 16…» — Папа, — сказала Ариша, — что-то необычная задача попалась. Требуется узнать, сколько мелков привезли в два класса. Наверное, сначала надо понять, сколько мелков в одной коробке. А как это узнать?

47

48

49

Папа заглянул в Аришин задачник. — Давай разберёмся. Как ты думаешь, а почему мелков в 4-м «А» оказалось больше, чем в 4-м «Б»? — Это понятно. Ведь коробок-то привезли больше, вот и получилось больше мелков. Папа допил кофе и поставил чашку на стол. — Точно! А на сколько больше коробок? — На две. — А на сколько больше мелков? — На 16. — А где, по-твоему, оказались эти «лишние» мелки? — Ну они в этих двух коробках, наверное, лежали. А-а-а, поняла: раз 16 мелков в двух коробках лежат, значит, в каждой по 8! Коробки-то одинаковые! 16 мелков                 

4 «А»

4 «Б» — Молодец! Практически сама решила! Дальше всё просто. — Ага. В 4-й «А» привезли 5 коробок по 8 мелков, то есть 40 мелков. А в 4-й «Б» — 3 коробки по 8 мелков, значит, 24 мелка. Папа улыбнулся: — Точно! Можно было бы узнать, сколько в 4-й «Б» привезли, а потом на 16 увеличить. — Ну да, 24 и 16 — в сумме как раз 40 и получается. А всего 64 мелка! Ответ:  в два четвёртых класса привезли 64 мелка.

48

49

50

Угол. Имя угла

•

Два отрезка с общим концом образуют угол. Эти отрезки называются сторонами угла. Общий конец отрезков называется вершиной угла.

сторона

• сторона

• вершина • Вот отрезки АВ и ВС с общим концом В*. A Они образуют угол. Отрезки АВ и ВС — стороны угла, точка В — вершина этого угла. На чертеже угол обозначен • • зелёным отрезочком. B C Этот угол можно назвать В. А можно назвать тот же угол тремя буквами, как ломаную из двух звеньев — АВС или СВА. Над именами углов мы ставим значок , чтобы отличать имя угла от имени точки или имени ломаной. Продлим отрезок ВА за точку А. Получится отрезок ВD, на котором лежит точка А. От такого продления угол не меняется. Угол DBC — это тот же самый угол В.

B

•

•

•

A

•

C

* Теперь точки на чертежах мы будем называть латинскими буквами, как принято в геометрии. Буква В читается как «бэ», буква С — как «цэ». Как читаются другие латинские буквы, ты можешь узнать на 61-й странице.

49

50

51

D

•

Отметим на стороне ВС точку N. Мы можем укоротить отрезок ВС — заменить его на ВN. Угол от этого не изменится.

•

Угол В можно называть по-разному: NВА, СВА, NBD, CBD, ABN, ABC, DBN, DBC. B

•

•

Назвать только вершину угла бывает недостаточно. Например, на этом чертеже непонятно, что такое угол P — имеется ли в виду верхний угол с вершиной P (из треугольника RPS), нижний угол с вершиной P (из треугольника SPQ) или большой угол (из треугольника RPQ).

P

A

•

N •

C

R

•

•Q

•

R

•

P

S

•

На этом чертеже синим отрезочком обозначен угол SPQ, а красным отрезочком — угол RPQ.

D

S

•Q

•

50

51

52

Сравнение углов Вот углы АОС и ВОС c общей вершиной О и общей стороной ОС. Сторона ОВ угла ВОС проходит между сторонами угла АОС. Поэтому угол BОС меньше, чем угол AОС. А угол AОС больше, чем BОС. Это записывается так: ВОС < АОС АОС > ВОС

O

A •

•

Вот углы PQT и RQS c общей вершиной Q. Угол RQS целиком лежит внутри угла PQT. Поэтому угол RQS меньше угла PQT. RQS < PQT • Q PQT > RQS

B •

•

C

P •

R • • •

T

Если углы расположены не так удобно, для их сравнения приходится использовать специальный инструмент — транспорти́р.

51

52

53

S

Сравним углы P и Q.

P

•

Q

•

Приложим транспортир к углу P так, чтобы одна из сторон угла шла вдоль красной линии, вторая сторона была видна в окошке транспортира, а вершина угла совпадала с концом красной стрелки. Поставим засечку на транспортире в том месте, где проходит вторая сторона угла.

P

•

Q

•

Теперь приложим транспортир к углу Q. Засечка, показывающая величину угла Р, оказалась между сторонами угла Q. Значит, угол Q больше угла Р. P

•

Q

•

52

53

54

Бывает так, что сторона угла не дотягивается до края окошка транспортира. A•

Тогда надо продлить эту сторону, ведь угол от этого не изменится. A•

B•

B•

C •

C •

•B

В треугольнике АВС есть три угла — А, В и С. Попробуем выяснить, какой из углов больше.

A•

•C •B

Отметим на транспортире величину угла А.

A

A

53

54

55

•

• C

•B

A

C

A

Теперь отметим на транспортире величину угла С.

•

• C

Наконец, отметим на транспортире величину угла В. •B

B C

A

A

• C

•

Получается, что в треугольнике АВС угол А — самый маленький, а угол В — самый большой. B

C A

54

55

56

Деление с остатком Разложим 60 ягод в мешки по 7. Получается 8 мешков и ещё «лишние» 4 ягоды, из которых нельзя собрать полный мешок.

Такое действие называется делением с остатком. Количество мешков — это неполное частное, количество «лишних» ягод — остаток. Деление с остатком записывается так: делитель

остаток

60 : 7 = 8 (ост. 4) делимое

неполное частное

Если 60 разделить на 7, получится 8 и в остатке 4. Значит, 60 = 7 · 8 + 4. +7

+7

+7

0

+7

+7

+7

+7

+7

60 4

Мы начали от 0 и рисовали на числовой дорожке стрелки +7 , пока до 60 не осталось 4. Ещё одна стрелка +7 до числа 60 уже не поместится. Получилось 8 стрелок.

55

56

57

Ариша сказала папе: — Я научилась делить с остатком! Смотри:

47 : 9 = 4  (ост.  11) Папа сказал: — Гм… Ты хорошо проверила? — Ну да, конечно, ведь 47 = 9 · 4 + 11. — А больше ни одного мешка с девятью пуговицами нельзя собрать? — Ой, да... Можно!

47 : 9 = 5  (ост.  2) — Понимаешь, 11 больше, чем 9. Значит, мы разложили по мешкам не все пуговицы, которые можно разложить. А при делении с остатком нужно образовать как можно больше мешков.

56

57

58

Остаток всегда меньше делителя. Если то, что осталось, оказалось больше делителя или равно ему, то можно собрать ещё один мешок. То есть мы разделили не до конца. Бывает, что ни одного мешка собрать нельзя — получается 0 мешков, а все предметы попадают в остаток. 3 : 7 = 0  (ост.  3) Остаток тоже может оказаться нулевым, если все предметы удалось разложить по мешкам. 42 : 7 = 6  (ост.  0) 42 : 7 = 6 Если при делении одного числа на другое получается 0 в остатке, говорят, что первое число делится на второе. Например, 12 делится на 2 и 12 делится на 4. Но 12 не делится на 8. 72 делится на 36 и на 24, но не делится на 16. 100 делится на 10 и на 25, но не делится на 40. Задание:  раздели с остатком, сделай проверку. 98 : 20 28 : 36

69 : 7

Результат:  98 : 20 = 4 (ост. 18)

28 : 36 = 0 (ост. 28)

69 : 7 = 9 (ост. 6)

18 < 20 И 98 = 20 · 4 + 18 И

28 < 36 И 28 = 36 · 0 + 28 И

6