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14 TD Sujet - Torseur cinétique et torseur dynamique

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Centrifugeuse humaine On s’intéresse à une centrifugeuse humaine dont on donne une description structurelle ainsi que la modélisation cinématique. Le système étudié est constitué de 4 éléments principaux :  un massif-bâti en béton 0 sur lequel Sous ensemble 1 est rigidement ancré un axe assurant le guidage en rotation du sous Anneau 2 ensemble 1 autour d’un axe vertical,  un sous ensemble 1 en rotation autour de l’axe vertical qui est composé d’un contrepoids c, d’une virole v et d’un bras en treillis Nacelle 3 tubulaire b,  un anneau 2, interposé entre la nacelle et le bras, autorisant les rotations autour des 2 axes orthogonaux (roulis et tangage),  une nacelle instrumentée 3 équipée du siège pour le pilote. Aux 4 éléments précédents s’ajoutent des équipements complémentaires comme :    

Massif bâti 0

un générateur de puissance hydraulique, un réducteur pouvant transmettre une puissance de l’ordre de 1MW pour le mouvement de rotation du sous ensemble 1 par rapport à 0, une motorisation embarquée pour les mouvements de rotation de roulis et de tangage, un système d’asservissement pour chaque actionneur.

Cette conception permet de lier de façon univoque, les profils de position (ou de vitesse relative) engendrés au niveau de chaque liaison à l’évolution temporelle des 3 composantes d’accélération que subit le pilote. Ainsi les consignes de position ou de vitesse à appliquer aux liaisons sont directement déduites de l’accélération à reproduire. La vitesse de rotation du bras détermine l’intensité de l’accélération imposée au pilote et l’orientation de la nacelle en roulis et tangage fixe la direction de l’accélération imposée au pilote.

Réel

Modèle

 y1  y0

Sous ensemble 1 Nacelle 3

ψ

 x1  x0 Bâti 0

O

  y 2 , y3

θ

 x3

  z0 , z1   x1 , x2

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I

φ

Anneau 2

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Modélisation cinématique et paramétrage : Sur le modèle on considère que :     le repère R o  O, x0 , y0 , z0  est lié au bâti 0, ce repère sera considéré comme galiléen. Le   champ de la pesanteur est définit par g   g z0 ,     le repère R 1  O, x1 , y1 , z0  est lié au sous ensemble 1 (composée du contrepoids c, de la virole v et du bras en treillis tubulaire b). La liaison 1/0 est considérée comme une liaison pivot    parfaite d’axe O , z0  , sa position est paramétrée par l’angle ψ(t)  x0 , x1  ,     le repère R 2  I , x2 , y2 , z2  est lié à l’anneau 2. La liaison 2/1 est considérée comme une    liaison pivot parfaite d’axe I , x1  , sa position est paramétrée par l’angle θ(t)   y1 , y2  , θ est appelé angle de roulis,     le repère R 3  I , x3 , y2 , z3  est lié à la nacelle 3 dans laquelle prend place le pilote. La liaison  3/2 est considérée comme une liaison pivot parfaite d’axe I , y 2  , sa position est paramétrée   par l’angle φ (t)  x2 , x3  Données massiques :   Sous ensemble (1) : Masse m1 , centre de gravité G1 tel que OG1  a y1 F1 E1 B1 D1  E1 D1 C1  (G1, x1, y1, z1)  A1

Matrice d’inertie IG 1 (1)   F1

  Le plan O, y1 , z1  est un plan de symétrie pour le sous ensemble 1.   Anneau (2) : Masse m2 , centre de gravité I tel que OI   R y1  A2

Matrice d’inertie II (2)   F2

 E2

F2 B2 D2

E2  D2  C2 

(I, x2, y 2, z2 )

    Les plans I , x2 , y2  et I , y2 , z2  sont des plans de symétrie pour le solide 2.  Nacelle et pilote (3) : Masse m3 , le centre de gravité reste confondu avec le point I  A3 Matrice d’inertie II (3)   0  0

0 B3 0

0  A3  0   0 0 C3  (I, x3 , y 2, z3 ) 

0 B3 0

0 0  C3  (I, x2, y 2, z2 )

Q.1. En tenant compte des données du problème, définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie du sous ensemble 1 en G1 dans la base 1. Q.2. Déterminer le torseur cinétique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.3. En tenant compte des données du problème, définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie de l’anneau 2 en I dans la base 2. Q.4. Déterminer le torseur cinétique de 2/0 au point I du solide 2 dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.5. Déterminer le torseur cinétique de 3/0 au point I du solide 3 dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.6. En déduire le torseur cinétique de l’ensemble E 1=2+3 au point I dans son mouvement par rapport au repère 0. 18/01/2014

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Q.7. Déterminer le torseur dynamique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.8. A partir des données du problème, proposer sous forme d’organigramme les différentes étapes de calcul afin de déterminer le moment dynamique au point O  O ,E2 / 0 de l’ensemble E2=1+2+3 dans son mouvement par rapport au repère 0.

Virage à plat d’un avion à hélice On s’intéresse à un avion léger à hélice dont on donne une description structurelle ainsi qu’une modèle cinématique en phase de vie de virage à plat. Dans cette phase de vie, on suppose que l’avion est en régime moteur constant en vol horizontal d’abord rectiligne puis amorçant un virage à plat (action simplement sur le palonnier).

Modèle

  z0  z1

 y2  φ y1

G1 G2

H

 y1   x1  x2

 y0 O θ

 x1

 x0 Modélisation cinématique :     L’avion 1 auquel est associé le repère R 1  G1 , x1 , y1 , z1  est en vol horizontal par rapport à un    référentiel galiléen lié au sol (repère R 0  O, x0 , y0 , z0  ).A l’instant initial de l’étude, le pilote    amorce un virage à plat et l’avion tourne autour de l’axe (G1, z1 ) d’un angle θ = ( x0 , x1 ).  La partie rotorique 2 de l’avion, de masse m, est constituée de l’hélice et de l’arbre porte hélice,    en liaison pivot d’axe (H, x1 ) par rapport à l’avion 1 de paramètre φ= ( y1 , y2 ). L’ensemble 2 à 0  A2 0  pour centre de gravité G. On donne IG 2 (2)   0 B2 0  .  0  0 C2  G2 ( x2, y 2, z2 )

Q.1. Déterminer le moment cinétique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère R 0 . Q.2. Déterminer le moment dynamique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère R 0 . Q.3. On a φ = Ω.t avec Ω = cte >0 et θ = ω.t avec ω = cte >0. Montrer que dans le cas où B2 = C2 (cas  d’une hélice tripale), le moment dynamique se réduit à  G2 , 2 / 0  A2 ... y1 .

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Éolienne

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Manège  x2 x

2

 y0 x

 y1 x

 y2 x

G

 x1 x α

1

O

β

Les plus imaginatifs reconnaitront une modélisation en vue de calculs dynamiques d’un manège. Le solide 1 est une barre de longueur L dont la masse est négligée, le solide 2 est un disque de masse m, de rayon R et de centre de gravité G. Le solide 1 est en liaison pivot  d’axe (O, z0 ) par rapport au bâti 0 et le solide 2 est en  liaison pivot d’axe (A, z0 ) par rapport au bâti 1.

A

 x0 x

0

Q.1. Déterminer le torseur cinétique de l’ensemble E=1+2 au point O dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.2. Déterminer le torseur dynamique de l’ensemble E=1+2 au point O dans son mouvement par rapport au repère 0.

Dispositif bielle-manivelle

Sur cet exercice on reconnaitra une modélisation d’un système bielle manivelle en vue de calculs dynamiques. Les solides 1, 2 et 3 sont considérés comme étant des barres homogènes de longueur L, de masse m et ont pour centres de gravité respectifs les points G1, G2 et G3.

 y0 A

O

 z0 A

A 1

 x1 A2

x

 x0 A β  x2 A

3

B



0

Q.1. Déterminer le torseur cinétique de l’ensemble E=1+2+3 au point O dans son mouvement par rapport au repère 0. Q.2. Déterminer le torseur dynamique de l’ensemble E=1+2+3 au point O dans son mouvement par rapport au repère 0.

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