TD RDM - Torseur Cohésion [PDF]

Zitiervorschau

RdM – Torseur de cohésion

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TD : TORSEURS DE COHESION ET DIAGRAMMES DE SOLLICITATIONS 1 - Exercice 1 Soit la poutre chargée suivante :

Question 1: Exprimer le torseur de cohésion le long de la poutre. Question 2: Tracer les diagrammes de sollicitations le long de la poutre.

2 - Exercice 2 L’étude porte sur une poutre articulée en A et en B et chargée par une répartition homogène d’effort linéique, de valeur -1 q en N.m .

y z

q x

A

B

C

3L/4 L

Question 1: Déterminer les actions exercées sur les appuis en A et en B. Question 2: Déterminer les composantes du torseur de cohésion

x  0, L et tracer les diagrammes des efforts

intérieurs correspondants. D’un point de vue modélisation, il est possible de considérer une action mécanique équivalente à la charge répartie de valeur q. Question 3: Représenter la poutre dans ce cas de modélisation Question 4: Déterminer dans ce cas de modélisation équivalente les composantes du torseur de cohésion et tracer les diagrammes des efforts intérieurs. Question 5: Comparer les valeurs maximales des efforts intérieurs obtenues dans les deux cas de modélisation.

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TD : TORSEURS DE COHESION ET DIAGRAMMES DE SOLLICITATIONS - CORRIGE Exercice 1 Soit la poutre chargée suivante :

Question 6: Exprimer le torseur de cohésion le long de la poutre. Il faut tout d’abord déterminer les actions mécaniques en A et D : On isole la poutre et on applique le PFS. On trouve :

1 5 X A  F , YA  F , YD  F 3 3

Question 7: Tracer les diagrammes de sollicitations le long de la poutre.

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Exercice 2 L’étude porte sur une poutre articulée en A et en B et chargée par une répartition homogène d’effort linéique, de valeur -1 q en N.m . q z C 3L/4 L Question 1: Déterminer les actions exercées sur les appuis en A et en B. On isole la poutre et on applique le PFS. On fait, ici, une étude globale de la poutre, on peut donc modéliser la charge répartie par sa charge équivalente globale. y z

qL x

A

B

C

L/2 3L/4 L XA  0

Théorème de la résultante sur x :

Théorème de la résultante sur y : 2

Théorème du moment en A sur z :

3L L YB  q 4 2

YB  q

Question 2: Déterminer les composantes du torseur de cohésion

2L 3

x  0, L

YA  q

YA  YB  qL

L 3

et tracer les diagrammes des efforts

intérieurs correspondants. On fait maintenant une étude locale, on ne peut plus modéliser la charge répartie par sa charge équivalente globale. Sur le premier tronçon, xc  (0,

y

E1

3L ) , on isole la partie E1 : 4

q G(xc)

A

x

xc YA Sur cette partie E1 on peut modéliser la charge répartie par sa charge équivalente locale. On remarque que cette charge équivalente locale et son point d’application dépendent de xc.

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y A

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E1 q.xc x

G(xc)

xc/2 xc

YA

xc  (0,

3L ) 4

xc  (

On isole E1

On isole E2

Ty  YA  q. xc  q. xc  M Fz  xc .YA  q

Ty  q.( L  xc )

qL 3

M Fz  q

xc 2 x2 L  q c  xc q 2 2 3

Pour le tracé : en xc  0

3L , L) 4

( L  xc )2 2

Pour le tracé :

qL Ty   3 M Fz  0

3L en xc  4

5L Ty  q 12 M Fz  q

3L en xc  4

2

L 32

Ty   q

L 4

M Fz  q

xc  L

2

L 32

Ty  0 M Fz  0

Ty x B

A

C

Mfz x B

A

C

D’un point de vue modélisation, il est possible de considérer une action mécanique équivalente à la charge répartie de valeur q. Question 3: Représenter la poutre dans ce cas de modélisation y z

qL x

A

B

C

L/2 YA

YB

3L/4 L

Question 4: Déterminer dans ce cas de modélisation équivalente les composantes du torseur de cohésion et tracer les diagrammes des efforts intérieurs.

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L xc  (0, ) 2

L 3L xc  ( , ) 2 4

xc  (

On isole E1

On isole E1

On isole E2

L Ty  YA  q 3

2L Ty  YA  q. L  q 3

Ty  0

M Fz  xc .YA  xc

L 2L L  M Fz  xc .YA  q L  xc     xc . q q 2 3 2 

2

qL 3

3L , L) 4

M Fz  0

Tyy xx BB

AA

C

Mfz x B

A

C

Question 5: Comparer les valeurs maximales des efforts intérieurs obtenues dans les deux cas de modélisation. Charge répartie :

Ty max  q

5L 12

dMfz Mf z max obtenu pour xc tel que Ty ( xc )  0 car Ty   dxc

Ty ( xc )  0 pour

Charge équivalente :

Ty max  q

xc 

L 3

Mf z max  q

L2 18

2L 3

Mf z max  q

L2 6

La contrainte est supérieure dans le cas de la modélisation avec la charge équivalente.

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