Derivation &etudes de Fonctions [PDF]

Zitiervorschau

ELITE MATHS La pédagogie de la réussite CLASSE : ELITE TS2

DERIVATION & ETUDES DE FONCTIONS

Il faut désirer le savoir jusqu’à l’obsession et définir un plan précis pour son acquisition EXERCICE 1 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f en précisant l’ensemble de dérivabilité. 4 x 2 2 1 ; 3°) f ( x)  2 1°) f ( x)  4 x 3  3x 2  1 ; 2°) f ( x)  ; 4°) f ( x)  3x  2   2 ; x3 x x x 1 x 1 2 1 x2 6) f ( x)  ( ) ; 7°) f ( x)  ; 8°) f ( x)  ; 10°) f ( x)  ( x 2  3x  2) 2 ; 11°) 2 x 1 (4 x  2) x 1 f ( x)  x 3  2 x  2

EXERCICE 2: Après avoir préciser l’ensemble de dérivabilité de f, calculer sa dérivée. 2x2  x  3 4x2  5  2x  3  a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) =   ; d) f(x) = x6 x 2 2 3x  2 x  3 x 2  x2  3 e) f(x) = ; f) f(x) = x 2  9 ; g) f(x) = x3  7 x  6 3 5  3x  3

EXERCICE 3: Dans chacun des cas suivants, déterminer le ou les points de Cf ou la tangente (T) à Cf répond à la condition indiquée. a. f(x) = x3 +3x2, le coefficient directeur de (T) est 0. 1 b. f(x) = (T) passe par le point B(2,-4). x 8 c. f(x) = x -1 + 2 (T) parallèle à la droite (D) : y = x – 1 x 1

EXERCICE 4: Soit f la fonction f la fonction définie sur IR par : f(x) = (1-x)

1  x2 .

1. Etudier la dérivabilité de f en 1 et en -1. Donner l’ensemble de dérivabilité de f. 2. calculer f’(x) dans chaque intervalle où elle est dérivable.

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

1

EXERCICE 5 : 3. On se propose d’étudier la fonction 4. f : IR IR x² + x - 2 5. x  x +1 6. 1. Déterminer Df. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur chacun des intervalles de Df et, en particulier au point x = 2. 7. 2. Etudier les limites de J aux bornes de Df. 8. 3. Etudier les variations de f. 9. Vous préciserez les asymptotes ainsi que la position de la courbe par rapport à ces asymptotes EXERCICE 6: Soit f la fonction définie par 1. 2. 3. 4. 5.

Etudier la continuité de f en 0 Etudier la dérivabilité de f en 0 .interpréter graphiquement ces résultats. Etudier les branches infinies de Cf. Dans les intervalles ou f est dérivable calculer f(x) puis dresser le tableau de variation de f. Soit g la restriction de f à l`intervalle] 0 ; +∞ [. a) Montrer que g réalise une bijection de]0 ; +∞ [vers J à préciser. b) g-1 la bijection réciproque de g .Montrer que g-1est dérivable en ½. 6. Construire Cg et Cg-1 dans un même repère. EXERCICE 7: Soit f la fonction définie par f(x)=1-8cosx-4cos (2x). 1. a) Démontrer que f est périodique de période 2π b) Etudier la parité de f. c) En déduire que l`on peut restreindre l`étude de f sur [0 ; π]. 2. a) Calculer f `(x) et vérifier que f `(x)=8sinx (1+2cosx) b) Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π. 3. a) Vérifier que, pour tout réelx, f(x)= -8cos2x-8cosx +5 b) En déduire la résolution par calcul de l`équation f(x)=-1sur [-2π ; 3π]. EXERCICE 8 : Soit f la fonction définie par .On désigne par Cf. sa courbe représentative dans un plan rapporte a un repère orthonormé(O ; i ; j). 1) Déterminer (Df) le domaine de définition de f .puis démontrer que pour tout x de Df 2) 3) 4) 5)

ou p est un polynôme de degré 3 que l`on précisera. Etudier les variations de la fonction p sur IR et de démontrer que l`équation p(x)=0 admet une solution unique α. vérifier que -1,68 < α < -1,67. Donner le signe de p(x) selon les valeurs du réel x. En utilisant les questions précédentes, Dresser le tableau de variation de f. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf. au point A d`abscisse 0 b) Préciser la position de Cf. par rapport à (T), Tracer Cf.

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

2

EXERCICE 9 : 1. a) Montrer que l’équation x3 – 5x + 3x +2 = 0 admet trois solutions dans IR b) Trouver un encadrement d’amplitude 10-1 de chacune de ses solutions. 1 2. Montrer que l’équation : x2 +4x3 + 11x – 3 = 0 admet une seule solution  dans [-2 ; 2] 5 Trouver un encadrement d’amplitude 10-1 de  .

EXERCICE 10 : Soit la fonction de la variable x définie sur IR {

1 8 x ² - 14 x  5 } par f (x) = 4 4x 1

1. Etudier les variations de f. 2. Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère ortho normal. Montrer que (C) admet pour asymptotes de la droite d’équation y = 2x – 3 et pour centre de symétrie le point 1 5 ,- ) . 0’ ( 4 2 Calculer les abscisses des points d’intersections A et B de la courbe. Exercice 11 : x3  x 2  4 On considère la fonction f définie par f(x) = x2 1. Etudier les limites aux bornes de ensemble de définition . 2. Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation . 3. Montrer que l’équation (E) : x3 – x2 + 4 = 0 admet une seule solution réelle  qu’on encadrera par deux entiers consécutifs. 4. Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse -2 5. Déterminer les abscisses des points de la courbe Cf ou la tangente est parallèle à la droite d’équation y = -7x+1. Problème 1 : x 2  3x  2 Soit f la fonction définie par f(x) = , et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé 2x  2 (O, i , j ). 1. Déterminer Df , étudier les limites aux bornes des intervalles de Df . 2. Montrer qu’ils existent des réels a, b et c tels que pour tout x de Df ; f(x) = ax + b +

c . En déduire que x 1

1 x + 1 est asymptote à Cf. 2 Déterminer la position de D par rapport à Cf en +  . Montrer que Cf admet une asymptote parallèle à (oy) et donner son équation. Etudier le sens de variation de f dans les intervalles ou elle est définie. On désigne par A le point de la courbe Cf ayant pour abscisse 0, déterminer une équation de la droite T, tangente à la courbe Cf en A. Construire, les asymptotes de Cf , le point A, la droite T et la courbe Cf.

la droite D d’équation y = 3. 4. 5. 6.

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

3

Problème 2 : Soit f la fonction définie par f(x) =

2 x 2  3x  2 et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé x2  1

(O, i , j ). 1. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que f(x) =a + 2. 3. 4. 5. 6.

bx . x 1 2

Etudier la fonction f. Montrer que le point I de Cf d’abscisse 0 est un centre de symétrie de la courbe Cf . Donner une équation de la tangente T à Cf en I. Etudier la position de Cf par rapport à T. Tracer la courbe Cf et sa tangente en I.

Problème 3 : Soit la fonction numérique définie par : 1) Donner l’ensemble de définition 2) Donner la dérivée de 3) Montrer que

de

.

puis les limites aux bornes

puis établir son tableau de variation. . En déduire les points d’intersection de la courbe de

est une racine de

abscisses. 4) Montrer que le point

puis sur 7) Montrer que

avec l’axe des

est un centre de symétrie de la courbe de .

5) Donner l’équation réduite de la tangente de la courbe de 6) Montrer que

.

en .

admet deux extrémums relatifs que l’on précisera. En déduire le signe de

sur

. est une bijection de

8) Dans un repère orthonormé

vers un intervalle à préciser. , tracer la tangente

et la courbe de .

Problème 4 : Soit la fonction numérique définie par : 1) Donner l’ensemble de définition 2) Trouver les réels ,

de

puis les limites aux bornes

et c tels que pour tout réel

En déduire que la droite

d’équation

3) Préciser la position de la courbe

. de

, on ait :

.

est une asymptote oblique à

.

par rapport à la droite .

4) Déterminer les points d’intersection de la courbe de 5) Montrer que le point

.

avec l’axe des abscisses.

est un centre de symétrie de la courbe de .

6) Etudier les variations de . 7) Déterminer une équation de la tangente à 8) Montrer que

au point d’abscisse

.

admet un minimum relatif e . En déduire le signe de f(x) sur

9) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique sur 10) Dans un repère orthonormé

.

.

, tracer les asymptotes, la tangente et la courbe de .

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

4

EN ROUTE VERS LA TERMINALE S2 AVEC ELITE MATHS ELITE 1 :  x 2  x si x  0  On considère la fonction f définie par f x    1 x  1  si x  0 x 1  1) Justifier que f est définie sur IR 2) Ecrire la fonction sans le symbole de la valeur absolue. 3) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats 4) Etudier la dérivabilité de f en -1. Interpréter les résultats 5) Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition 6) Etudier les branches infinies de Cf en l’infini

7) Dresser le tableau de variations de f 8) Tracer Cf dans un repère orthonormé unité 2cm 9) Soit g la restriction de f à 0; a) Montrer que g admet une bijection réciproque g 1 dont on précisera son ensemble de définition et ses variations.  b) Etudier la dérivabilité de g 1 . Calculer g 1  0  c) Tracer Cg 1 dans le même repère

ELITE 2 : 1  si x  0 x  2  1  x  Soit la fonction f définie par f x    x 1 si x  0   x 2  2x  1  1) justifier que la fonction est définie sur IR 2) Ecrire f x  sans valeur absolue 3) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 puis interpréter les résultats 4) Etudier la dérivabilité de f en 2. Interpréter les résultats. 5) Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition. 6) Etudier les branches infinies de Cf 7) Etablir le tableau de variations de f 8) Tracer Cf dans un repère orthonormé unité 2 cm 9) Soit g la restriction de f à 2; a) Montrer que g admet une bijection réciproque g 1 dont on précisera son ensemble de définition et ses variations.

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

5

b) Etudier la dérivabilité de g 1  c) Calculer g 1 2

 

d) Expliciter g 1  x  e) Tracer Cg 1 ELITE 3 :

 x  x 2  4 si x  0  Soit la fonction f définie par f x    4  x 2 si x  0   1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Ecrire f(x) sans valeur absolue 3) a) Etudier la continuité de f en 0 b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats. c) Etudier la dérivabilité de f en 2. Interpréter. 4) Etudier les branches infinies en l’infini  3 5) Montrer qu’il existe un unique   0;2 solution de l’équation f(x)=x.Vérifier que   1;  . Que  2 représente graphiquement  . 6) Tracer soigneusement Cf dans un repère orthonormé. 7) Soit g la restriction de à 2; a) Montrer que g admet une bijection réciproque g-1 dont on précisera son ensemble de définition et ses variations. b) Etudier la dérivabilité de g-1  c) Calculer g 1  5 d) Exprimer g-1(x) e) Tracer Cg 1 dans le même repère

 

3 7  3 8) a) Montrer que  x  1;  f  x   7  2 3 7 x  b) En déduire que f  x     7

Tel : 77 794 92 51 / 33 825 25 77 Email : [email protected]

6