Fonctions Hypergéométriques Fonctions de Bessel: Pascal MARONI [PDF]

Zitiervorschau

Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel par

Pascal MARONI Docteur ès sciences mathématiques Directeur de recherche au CNRS

1. 1.1

1.2

1.3

2. 2.1

2.2

2.3

4 - 1997

2.4 2.5

Fonctions hypergéométriques.............................................................. Fonction de Gauss ....................................................................................... 1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique ........ 1.1.2 Propriétés élémentaires ..................................................................... 1.1.3 Équation différentielle ........................................................................ 1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique ......................... 1.1.5 Cas particuliers ................................................................................... Fonctions hypergéométriques confluentes............................................... 1.2.1 Série de Kummer................................................................................ 1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce..... 1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques confluentes.......................................................................................... 1.2.4 Représentations intégrales ................................................................ 1.2.5 Cas particuliers ................................................................................... Fonctions hypergéométriques généralisées ............................................. 1.3.1 Définitions ........................................................................................... 1.3.2 Équation différentielle ........................................................................ 1.3.3 Cas particuliers ...................................................................................

A 160 - 2 — 2 — 2 — 3 — 4 — 5 — 8 — 8 — 8 — 10 — — — — — — —

12 13 14 15 15 15 16

Fonctions de Bessel................................................................................. Fonctions de Bessel d’ordre entier............................................................. 2.1.1 Fonction génératrice........................................................................... 2.1.2 Relations de récurrence ..................................................................... 2.1.3 Équation différentielle ........................................................................ 2.1.4 Origine des fonctions de Bessel ........................................................ Fonctions de Bessel d’ordre quelconque .................................................. 2.2.1 Équation différentielle ........................................................................ 2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce ........................................ 2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce......................................... 2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées .......................................................... 2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier......................................... Représentations intégrales ......................................................................... 2.3.1 Fonctions de première espèce........................................................... 2.3.2 Fonctions de troisième espèce .......................................................... Comportement asymptotique .................................................................... Zéros des fonctions de Bessel .................................................................... 2.5.1 Généralités .......................................................................................... 2.5.2 Propriété des zéros positifs de Jν pour ν > 0 ....................................

— — — — — — — — — — — — — — — — — — —

16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 19 19 19 20 20 21 21 22

Pour en savoir plus...........................................................................................

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près les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonction de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en particulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle.

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A

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FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

Bien qu’elles soient étudiées à part, les fonctions de Bessel constituent un cas particulier notable des fonctions hypergéométriques confluentes dans la mesure où l’on pourrait décrire toutes leurs propriétés à partir de ces dernières. Toutes ces fonctions ont en commun le fait d’être respectivement solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux : l’équation de Gauss, l’équation de Kummer et l’équation de Bessel. Ce fait est à l’origine de toutes les propriétés importantes des fonctions envisagées. Il est aussi responsable de l’extraordinaire développement de la littérature au sujet des fonctions hypergéométriques, surtout à l’égard des fonctions de Bessel, car c’est par l’intermédiaire de l’équation différentielle que celles-ci apparaissent dans de nombreux problèmes de la physique mathématique (électrodynamique, théorie des vibrations, théorie de la chaleur), lorsque l’on pratique, pour résoudre l’équation en cause, la méthode dite de séparation des variables. Dans ce qui suit, nous nous plaçons délibérément sur un terrain élémentaire, en essayant toutefois d’être rigoureux. Sans prétendre à l’exhaustivité – et de loin –, la matière traitée permet une première compréhension des problèmes et donne la possibilité d’aborder, plus aguerris, les ouvrages spécialisés indiqués à la fin de cet article.

1. Fonctions hypergéométriques

En effet, en supposant d’abord que Re γ > Re β > 0, montrons que la fonction de Gauss admet la représentation suivante :

Dans cette partie, nous nous appuyons sur les ouvrages de Lebedev [1] et de Tricomi [2].

Γ (γ ) F ( α , β ; γ ; z ) = ------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β)

1.1 Fonction de Gauss

On a :



1

0

t

β–1

(1 – t )

γ–β–1

( 1 – tz )

–α

dt

Re γ > Re β > 0, z < 1

1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique Par définition, on appelle série hypergéométrique la série entière : ( α )n ( β )n z n - -----(1) ∑ ------------------------( γ )n n! n 0 avec

Γ (λ + n) ( λ ) n = ------------------------, Γ (λ)

n0

Lorsque α ou β est un entier négatif ou nul, la série se réduit à un polynôme. En dehors de ce cas, le rayon de convergence de la série est égal à un, comme on le voit facilement à l’aide du critère de d’Alembert. La somme de la série (1) est appelée fonction hypergéométrique ou fonction de Gauss et notée F (α, β ; γ ; z ) ; cette définition n’est valable, a priori, que pour |z | < 1. En fait, il existe une fonction analytique dans le plan muni de la coupure [1, + ∞] qui coïncide avec la fonction de Gauss pour |z | < 1 : c’est le prolongement analytique de la fonction hypergéométrique dans  – [ 1, + ∞ ] que l’on notera toujours F (α, β ; γ ; z ) dans ce domaine.

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1

t

β+n–1

0

(1 – t )

γ–β–1

dt

en vertu de la formule (28) de l’article Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques [A 154] de ce traité. Substituant dans (1), on obtient : F (α, β ; γ ; z )

z ∈ , α, β, γ paramètres réels ou complexes quelconques (sous réserve que γ ≠ –n, n  0 ), (λ)n symbole désignant (λ)0 = 1 ; (λ)n = λ (λ + 1)...(λ + n – 1), n  1 ,

de sorte que :



( β )n Γ (γ ) Γ (β + n) Γ (γ ) ------------ = -------------- ----------------------- = ------------------------------------Γ (β) Γ (γ + n) Γ (β) Γ (γ – β) ( γ )n

(2)

Γ (γ ) = ------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β) Γ (γ ) = ------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β)

n

z ( α ) n -----n! n0

∑



1

0

t

β–1



1

t

β+n–1

(1 – t )

γ–β–1

dt

0

(1 – t )

γ–β–1



n

( tz ) ( α n ) --------------n! n0

∑



dt

car il est possible d’intervertir l’ordre de la sommation et de l’intégration, puisque : ( α )n ---------------- z n! n0

∑

n



1

0

t

β+n–1



∑

n0

(1 – t )

( α )n ---------------- z n!

γ–β–1 n



1

t

dt Re β + n – 1

(1 – t )

Re γ – Re β – 1

dt

0

Γ ( Re β ) Γ ( Re ( γ – β ) ) = ----------------------------------------------------------- F ( α , Re β ; Re γ ; z ) Γ ( Re γ ) D’autre part, on a : n

z –α ( α ) n ------- = ( 1 – z ) n! n0

∑

, z Re β > 0, arg ( 1 – z ) < π

dt

γ (γ + 1) F (α, β ; γ ; z ) = γ (γ – α + 1) F (α, β + 1 ; γ + 2 ; z ) + α (γ – (γ – β) z ) F (α + 1, β + 1 ; γ + 2 ; z )

(3)

m

µ=0

a µ, m ( α , β ; γ ; z ) F ( α + µ , β + m ; γ + 2 m ; z )

où m ∈  et a µ, m est un polynôme en z. On choisit m tel que Re β + m > 0 et Re γ – Re β + m > 0 ; ainsi, on peut appliquer (3) à chaque fonction intervenant dans la somme, 0µm. La relation (4) se démontre en observant que, dans le développement du second membre, le coefficient de z n s’écrit : ( α )n ( β + 1 )n γ ( γ – α + 1 ) ----------------------------------( γ + 2 ) n n! ( α + 1 )n – 1 ( β + 1 )n – 1 ( α + 1 )n ( β + 1 )n - – α ( γ – β ) ---------------------------------------------------------+ α γ ------------------------------------------( γ + 2 ) n – 1 ( n – 1 )! ( γ + 2 ) n n! ( α )n ( β )n = -------------------------( γ + 2 ) n n!  β+n α+n β+n (γ + n + 1)n  - + α γ -------------- -------------- – α ( γ – β ) --------------------------------   γ ( γ – α + 1 ) ------------β α α β β   ( α )n ( β )n ( α )n ( β )n = -------------------------- ( γ + n ) ( γ + n + 1 ) = γ ( γ + 1 ) -------------------------( γ + 2 ) n n! ( γ ) n n!

1.1.2 Propriétés élémentaires La plupart des propriétés présentées dans ce paragraphe sont des conséquences immédiates de la définition de la fonction de Gauss par la série (1). Par exemple, la propriété de symétrie lorsque l’on permute les paramètres α et β : F ( α , β ; γ ; z ) = F (β , α ; γ ; z )

∑

( α )n + 1 ( β )n + 1 zn ---------------------------------------- -----( γ )n + 1 n!

( α + 1 )n ( β + 1 )n z n α β = ---------- ∑ --------------------------------------------- -----n! ( γ + 1 )n γ n 0 c’est-à-dire :

αβ F ′ ( α , β ; γ ; z ) = --------- F ( α + 1 , β + 1 ; γ + 1 ; z ) γ

(5)

Répétant l’application de (5), on a, après m dérivations : (m )

( α )m ( β )m ( α , β ; γ ; z ) = ---------------------------- F ( α + m , β + m ; γ + m ; z ) ( γ )m

(6)

1.1.2.2 Fonctions contiguës Pour simplifier les notations, on écrira dorénavant : F (α, β ; γ ; z ) := F, F (α ± 1, β ; γ ; z ) := F (α ± 1)

(4)

car alors, par une application répétée de cette identité, on obtient :

∑

( α )n ( β )n z n – 1 -------------------------- -------------------( γ )n ( n – 1 )!

n0

F

Finalement, on peut laisser de côté la condition Re γ > Re β > 0 en considérant l’identité suivante :

F (α, β ; γ ; z ) =

=

Re γ – Re β – 1

où M est la valeur maximale de |1 – t z |–Re α pour t ∈[0,1] et z dans le domaine fermé ci-dessus. Par conséquent, il est possible d’abandonner la condition |z | < 1 dans (2) et le prolongement analytique de la fonction de Gauss est ainsi donné par la formule :

Γ (γ ) F ( α , β ; γ ; z ) = -------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β)

∑

n 1

où R > 0 est arbitrairement grand et ρ > 0, δ > 0 sont arbitrairement petits, car la fonction t β – 1 (1 – t )γ – β – 1 (1 – t z )– α , 0 < t < 1 est continue en t pour chaque z et analytique en z pour chaque t ; de plus, elle vérifie : t

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

F (α, β ± 1; γ ; z ) := F (β ± 1) et F (α, β ; γ ± 1; z ) := F (γ ± 1). Nota : le symbole := signifie que l’on renomme une fonction.

Les fonctions F (α ± 1), F (β ± 1) et F (γ ± 1) sont dites contiguës à F. Entre la fonction F et deux fonctions contiguës quelconques, il existe une relation à coefficients du premier degré en z. Le nombre total de 2 ces relations est évidemment C 6 = 15 . Par exemple, on peut citer les formules : (γ – α – β) F + α (1 – z ) F (α + 1) – (γ – β) F (β – 1) = 0   (γ – α – 1) F + α F (α + 1) – (γ – 1) F (γ – 1) = 0   γ (1 – z ) F – γ F (α – 1) + (γ – β) z F (γ + 1) = 0 

(7)

que l’on peut démontrer par substitution directe de la série (1). La relation de symétrie fournit les trois relations suivantes à partir de (7) : (γ – α – β) F + β (1 – z ) F (β + 1) – (γ – α) F (α – 1) = 0   (γ – β – 1) F + β F (β + 1) – (γ – 1) F (γ – 1) = 0   γ (1 – z ) F – γ F (β – 1) + (γ – α) z F (γ + 1) = 0 

(8)

À côté de ces relations de récurrence, il existe des relations similaires entre la fonction F et deux quelconques fonctions de la forme F ( α +  , β + m ; γ + n ; z ) où  , m , n ∈  . On les obtient par application répétée des relations entre F et ses fonctions contiguës. On a, par exemple : F ( α , β ; γ ; z ) – F ( α, β ; γ – 1 ; z ) α β z = – ---------------------- F ( α + 1, β + 1 ; γ + 1 ; z ) γ (γ – 1) F ( α , β + 1 ; γ ; z ) – F ( α, β ; γ ; z ) α z = ---------- F ( α + 1, β + 1 ; γ + 1 ; z ) γ F ( α , β + 1 ; γ + 1 ; z ) – F ( α, β ; γ ; z ) α (γ – β) z = ----------------------------- F ( α + 1, β + 1 ; γ + 2 ; z ) γ (γ + 1) F ( α – 1, β + 1 ; γ ; z ) – F ( α , β ; γ ; z ) (α – β – 1) z = --------------------------------- F ( α , β + 1 ; γ + 1 ; z ) γ

                  

(9)

Remarque : la relation (4) est de ce type.

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1.1.2.3 Limite de F (  ,  ;  ; z ) , z → 1 lorsque Re (  –  –  ) > 0

–

Supposons que les paramètres α, β, γ satisfont les conditions suivantes : Re (γ – α – β ) > 0, Re γ > Re β > 0

(10)

Alors, d’après (2), on a :

Γ (γ ) lim F ( α , β ; γ ; z ) = ------------------------------------– Γ (β) Γ (γ – β) z→1



1

t

β–1

0

(1 – t )

γ–α–β–1

dt

Γ (γ ) Γ (γ – α – β) = -----------------------------------------------Γ (γ – α) Γ (γ – β)

t

(1 – t )

γ–β–1

(1 – t z )

–α

t



1

(1 – t )

λ–1

Re β – 1

d t converge puisque t (1 – t ) De plus, l’intégrale 0 les conditions (10) sont réalisées. Montrons maintenant que la condition Re γ > Re β > 0 n’est pas essentielle. Supposons que les paramètres vérifient les conditions plus faibles : Re (γ – α – β) > 0, Re (γ – β ) > – 1, Re β > – 1 Alors, d’après (4) où les paramètres des deux fonctions hypergéométriques au second membre satisfont (10), on obtient :

γ – α + 1 Γ (γ + 2) Γ (γ – α – β + 1) lim F ( α , β ; γ ; z ) = ----------------------- ------------------------------------------------------------------– γ + 1 Γ (γ – α + 2) Γ (γ – β + 1) z→1

En répétant autant de fois qu’il est nécessaire (en fait, on procède par récurrence), on peut ainsi prouver que (11)

sous la seule restriction Re (γ – α – β ) > 0. La condition précédente implique que la série hypergéométrique converge absolument sur le cercle unité {|z | = 1}. Pour le voir, il suffit d’appliquer la règle de Raabe-Duhamel qui s’énonce ainsi :

Lemme (critère de Raabe-Duhamel). La série

∑

n0

a n converge

absolument s’il existe une constante λ > 1 telle que :

 

   

- + O ------n     1 – -----------n  1+γ–α–β 1 = 1 – -------------------------------- + O ------n n  1 1 + Re ( γ – α – β ) = 1 – ----------------------------------------------- + O ------n n 



∞

γ+1

1 α+β 1 + -------------- + O ------2n n

1

2

2

2

Pour z fixé dans  – [ 1, + ∞ ] , la fonction F (α, β ; γ ; z ) est une fonction entière de α et β et une fonction méromorphe de γ avec des pôles simples aux points γ = – n, n  0 entier. Considérons la fonction suivante : 1 f ( α, β ; γ ; z ) = -------------- F ( α, β ; γ ; z ) Γ (γ ) et montrons qu’elle est une fonction entière de chacun des paramètres α, β et γ pour z fixé. D’après (3), on a : 1 f ( α , β ; γ ; z ) = -------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β)



1

0

t

β–1

(1 – t )

γ–β–1

(1 – t z)

–α

dt

Re γ > Re β > 0, |arg (1 – z )| < π

α β Γ (γ + 2) Γ (γ – α – β) Γ (γ ) Γ (γ – α – β) + ----------------------- ------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------γ (γ + 1) Γ (γ – α + 1) Γ (– β + 1) Γ (γ – α) Γ (γ – β)

an + 1 1 λ ------------- = 1 – --n- + o --n- , n → + an

1 α+β 1 + -------------- + O ------2n n = --------------------------------------------------1 γ+1 1 + ------------- + O ------2n n

1.1.2.4 F (  ,  ;  ; z ) comme fonction de ses paramètres

λ–1

Γ (γ ) Γ (γ – α – β) lim F ( α , β ; γ ; z ) = -----------------------------------------------– Γ (γ – α) Γ (γ – β) z→1

 

 

ce qui prouve l’assertion.

si Re α > 0 si Re α  0

 Re ( γ – α – β ) λ =   Re ( γ – β )

où :

Re β – 1

 

=

en vertu de l’équation (28) de l’article Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques [A 154] de ce traité. Pour justifier le passage à la limite, il suffit de montrer que l’intégrale (2) est uniformément convergente pour 0  z  1 sous les conditions (10). En effet, on a pour 0  z  1, 0  t  1 : β–1

( α )n ( β )n z n Soit alors a n = -------------------------- ------ . On a sur |z | = 1 : ( γ )n n! α β 1 + ---- 1 + ---an + 1 n n n n ( + α ) ( + β ) -------------- = --------------------------------------- = ----------------------------------------an (n + γ ) (n + 1) 1 γ 1 + ---- 1 + ---n n

Or la fonction sous le signe somme est une fonction entière de α, β, γ pour chaque 0 < t < 1 et puisque, pour A, B, C et δ > 0 donnés, l’intégrale converge uniformément sur :

α  A , δ  Re β  B , δ  Re ( γ – β )  C il en résulte que f (α, β ; γ ; z ) est une fonction holomorphe de ses paramètres dans le domaine : |α | < + ∞, Re β > 0, Re (γ – β ) > 0 Pour s’affranchir des conditions sur β et γ , il suffit d’observer que f vérifie la relation suivante, obtenue d’après (4) : f (α, β ; γ ; z) = γ (γ – α + 1) f (α, β + 1 ; γ + 2 ; z) + α (γ – (γ – β ) z) f (α + 1, β + 1 ; γ +2 ; z) Une application répétée de cette formule conduit à la représentation : m

f (α, β ; γ ; z) =

∑

µ=0

bµ , m ( α , β ; γ ; z ) f ( α + µ , β + m ; γ + 2 m ; z )

où b µ, m est un polynôme en α, β, γ et z. D’où la conclusion.

1.1.3 Équation différentielle La série hypergéométrique (1) vérifie l’équation différentielle z (1 – z )u’’ + (γ – (α + β + 1) z )u’ – α β u = 0

(12)

appelée équation hypergéométrique (ou aussi équation de Gauss). Il est facile de constater que l’équation (12) est du type de Fuchs en chacun de ses points singuliers, y compris l’infini. C’est l’équation

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différentielle linéaire du second ordre la plus générale possédant trois points singuliers de Fuchs, qu’on peut toujours placer en zéro, un et l’infini à l’aide d’une transformation homographique convenable. Si on cherche à résoudre l’équation (12), on est conduit, selon la méthode de Frobenius, à une solution de la forme : u = z

σ

∑

n 0

cn z

n

Après division par Γ (γ ), les deux membres de l’égalité précédente sont des fonctions entières de β et γ . Par le principe du prolongement analytique, l’égalité reste valable pour β et γ arbitraires, à l’exception des valeurs γ = 0, – 1, – 2, ... On a donc :

c 0 σ (σ – 1 + γ ) = 0

(14)

(σ + n ) (σ + n – 1 + γ ) cn – (σ + n – 1 + α ) (σ + n – 1 + β ) cn – 1 = 0, n  1 (15) On suppose c 0 = 1. Alors, de (14), on a σ = 0 ou σ = 1 – γ . Choisissant σ = 0 et en supposant γ ≠ 0, – 1, – 2, ..., on obtient de (15) :

F (α, β ; γ ; z ) = (1 – z)

Par conséquent, si γ ∉  , les deux solutions précédentes existent simultanément et sont linéairement indépendantes. La solution générale de (12) est alors : u = A 1 F (α, β ; γ ; z)

+ A 2 z 1 – γ F (1 – γ + α, 1 – γ + β ; 2 – γ ; z), |z | < 1, |arg z | < π (17)

Lorsque γ ∈  , la méthode précédente ne permet d’obtenir qu’une seule solution ; en l’adaptant, il est toujours possible de construire une seconde solution linéairement indépendante de la première qui contient, en général, un terme logarithmique.

1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique Considérons le groupe des transformations homographiques z Œ z ′ avec : z 1 1 z–1 z ′ = ------------, z ′ = 1 – z , z ′ = ------------- , z ′ = ---- , z ′ = ------------ , z–1 1–z z z

isomorphe au groupe des permutations de {0, 1, ∞}. Il est clair qu’un élément quelconque du groupe z Œ z ′ transforme l’équation (12) au point z en une équation hypergéométrique au point z ’. On a ainsi un procédé permettant de relier des fonctions hypergéométriques aux points z et z ’. En particulier, on pourra résoudre simplement le problème du prolongement analytique de la fonction hypergéométrique dans toute partie de  – [ 1, + ∞ ] . Indiquons une première formule qui fournit le prolongement analytique de la fonction de Gauss dans le demi-plan Re z < 1 /2. S o i t z ∈  – [ 1, + ∞ ] e t s u p p o s o n s p o u r l e m o m e n t Re γ > Re β > 0. Alors de (2), on a, en changeant la variable d’intégration t Œ 1 – t : F (α, β ; γ ; z)

–α

= (1 – z) où β ’ = γ – β,

–α

(18)





z F γ – α , β ; γ ; ------------ , arg ( 1 – z ) < π (19) z–1

= (1 – z)

–α

z  1 – z-----------–1

–( γ – β )

F (γ – α, γ – β ; γ ; z )

c’est-à-dire : F (α, β ; γ ; z ) = (1 – z ) γ – α – β F (γ – α, γ – β ; γ ; z ), |arg (1 – z )| < π (20) Donnons maintenant une formule reliant la fonction hypergéométrique au point z avec la fonction hypergéométrique au point z ′ = 1 Œ z . Pour cela, on utilise une méthode générale basée sur la théorie des équations différentielles linéaires. Observons d’abord que la solution générale de l’équation (12) peut se mettre sous la forme (17) sous réserve que γ ∉  et pour z dans le domaine |arg z | < π, |arg (1 – z )| < π. Sous la transformation z Œ z ′ = 1 – z , le domaine précédent est transformé en lui-même et l’équation (12) est transformée en une équation de Gauss au point z ’ avec les paramètres α ’ = α, β ’ = β, γ ’ = 1 + α + β – γ. Il en résulte que l’équation (12) possède également la solution générale suivante : u = B 1 F (α , β ; 1 + α + β – γ ; 1 – z )

+ B 2 (1 – z ) γ – α – β F (γ – α, γ – β ; 1 – α – β + γ ; 1 – z ) (21)

1.1.4.1 Transformations homographiques

= (1 – z)

–β

F (α, β ; γ ; z )

u 2 = z 1 – γ F (1 – γ + α, 1 – γ + β ; 2 – γ ; z ), |z | < 1, |arg z| < π (16)

α + β – γ ∉ , arg z < π , arg ( 1 – z ) < π Cela implique en particulier l’existence de deux constantes C 1 et C 2 telles que : F (α, β ; γ ; z ) = C 1 F (α, β ; 1 + α + β – γ ; 1 – z )

+ C 2 (1 – z ) γ – α – β F (γ – α, γ – β ; 1 – α – β + γ ; 1 – z ) (22)

avec α + β – γ ∉  . Afin de déterminer les constantes C 1 et C 2 , on suppose pour le moment que Re (α + β ) < Re γ < 1. Dans ce cas, on a, lorsque z → 1–

Γ (γ ) Γ (γ – α – β) C 1 = -------------------------------------------------Γ (γ – α ) Γ (γ – β) Ensuite, lorsque z → 0 +

Γ (1 – α – β + γ ) Γ (1 – γ ) Γ (1 + α + β – γ ) Γ (1 – γ ) C 1 ---------------------------------------------------------------------- + C 2 ---------------------------------------------------------------------- = 1 Γ (1 – α) Γ (1 – β) Γ(1 + α – γ ) Γ (1 + β – γ ) compte tenu de (11). On en déduit :

1

0



1 z < 1 , on a bien le prolonObservant que Re z < --- implique -----------2 z–1 gement analytique de la série hypergéométrique dans le demi-plan Re z < 1 /2. En permutant α et β et compte tenu de la propriété de symétrie, on obtient aussi :

C’est la solution u 1 = F (α, β ; γ ; z ). De la même façon, en prenant σ = 1 – γ et en supposant γ ≠ 2, 3, 4, ..., on obtient la solution :





Lorsque l’on applique successivement (18) et (19), on obtient :

( α )n ( β )n 1 c n = -------------------------- ------- , n  0 ( γ )n n!

Γ (γ ) = ------------------------------------Γ (β) Γ (γ – β)

–α

z F α , γ – β ; γ ; ------------ , z–1 arg ( 1 – z ) < π

F (α, β ; γ ; z) = (1 – z)

(13)

Après substitution de (13) dans (12), on trouve les conditions

z ′ = z,

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

t

γ–β–1

Γ (γ ) ----------------------------------------Γ (β′) Γ (γ – β′)

(1 – t )



1

0

t

β–1

β′ – 1

F (α, β ′ ; γ ; z ′ )

Re γ > Re β ’ > 0,

(1 – z + t z)

(1 – t )

γ – β′ – 1

–α

dt

(1 – t z ′ ) dt

Γ (γ ) Γ (α + β – γ ) C 2 = ---------------------------------------------------Γ (α) Γ (β) à l’aide de la formule des compléments. On se libère des restrictions superflues imposées aux paramètres en remarquant qu’après multiplication par sin [π (γ – α – β )] /Γ (γ ), les deux membres de (22) sont

z z ′ = -----------z–1

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A 160 − 5

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

des fonctions entières des paramètres ; selon le principe du prolongement analytique, l’égalité reste valable pour toutes les valeurs des paramètres, excepté celles pour lesquelles α + β – γ ∈  . On a ainsi :

1.1.4.2 Transformations quadratiques Dans l’équation (12), faisons le changement de variable suivant :

Γ (γ ) Γ (γ – α – β) F ( α , β ; γ ; z ) = -------------------------------------------------- F ( α , β ; 1 + α + β – γ ; 1 – z ) Γ (γ – α ) Γ (γ – β )

1 z ′ = ---  1 – 1 – z 2

Γ (γ ) Γ (α + β – γ ) + --------------------------------------------------Γ (α) Γ (β) (1 – z )

γ–α–β

α+β–γ

où l’on a choisi la détermination du radical de sorte qu’il soit positif lorsque 0 < z < 1. On trouve, en posant  u (z ′ ) = u (z) :

F (γ – α, γ – β ; 1 – α – β + γ ; 1 – z )

∉ ,

argz < π , arg ( 1 – z ) < π

(23)

D’autres relations peuvent être obtenues en combinant les précédentes. Par exemple, en appliquant successivement (18) et (23), on a : F (α, β ; γ ; z )

  1 F  γ – α , β ; 1 – α + β ; -------------  (24) 1–z

Γ (γ ) Γ (β – α) 1 –α = ----------------------------------------- ( 1 – z ) F α , γ – β ; 1 + α – β ; ------------Γ (γ – α ) Γ (β) 1–z Γ (γ ) Γ (α – β) –β + ----------------------------------------- ( 1 – z ) Γ (γ – β ) Γ (α) α–β

∉ ,

arg ( – z ) < π ,

arg ( 1 – z ) < π

Ici, on a le prolongement analytique de la fonction de Gauss dans le domaine |z – 1| > 1, |arg (1 – z )| < π. Une autre formule est obtenue en combinant (24) avec (18) et (19). D’après (18), on a :



1 F α , γ – β ; 1 + α – β ; ------------1–z



–z = ------------1–z





–α



1 F α , 1 + α – γ ; 1 + α – β ; ---z



1 1   z ′ ( 1 – z ′ ) u ″ +  α + β + --- – 2 α + β + --- z ′ 2 2  –1  2 1 + (1 – z ) γ – α + β + --2



 

On voit que l’équation (12) est transformée en une équation de 1 même type si et seulement si γ = α + β + --- et alors les paramètres 2 sont : 1 α ′ = 2 α , β ′ = 2 β , γ ′ = α + β + --2 1 Le domaine |arg (1 – z )| < π est transformé en Re z ′ < --- . 2 1 La fonction F 2 α , 2 β ; α + β + --- ; (1 – 1 – z )  2 est alors une 2 solution de l’équation (12), analytique au voisinage de l’origine. Il en résulte nécessairement :





1 α + β + --2



–β



1 F β , 1 + β – γ ; 1 + β – α ; ---z



1 F ( α , β ; α + β + --- ; z ) = 2

∉ – ,

arg ( 1 – z ) < π

+ 1–z  1-------------------------- 2



1 Γ (γ ) Γ (α – β) –β + ----------------------------------------- ( – z ) F β , 1 + β – γ ; 1 + β – α ; ---Γ (γ – β ) Γ (α) z



α–β



1 F ( α , β ; α + β + --- ; z ) = 2

 (25)



F (α, β ; γ ; z )

Γ ( γ ) Γ ( γ – α – β ) –α z–1 = -------------------------------------------------- z F α , 1 + α – γ ; 1 + α + β – γ ; -----------z Γ (γ – α ) Γ (γ – β)





Γ (γ ) Γ (α + β – γ ) + --------------------------------------------------Γ (α) Γ (β)

α+β–γ



∉  , |arg z | < π, |arg (1 – z )| < π

1+ 1–z

1 α + β + --2

Cette formule donne le prolongement analytique de la fonction de Gauss dans le domaine |z | > 1, |arg (1 – z )| < π. En dernier lieu, appliquant d’abord (23) et ensuite (18), on obtient :

z–1 F γ – α , 1 – α ; 1 + γ – α – β ; -----------z

  -------------------------2

 (26)

qui fournit le prolongement analytique de F (α, β ; γ ; z ) dans le domaine Re z > 1/2, |arg (1 – z )| < π.



∉ – ,

(28)

12 – α – β

1 1 1 1– 1–z F α – β + --- , β – α + --- ; α + β + --- ; --------------------------2 2 2 2

∉  , |arg (– z )| < π, |arg (1 – z )| < π

γ–α–β

(27)

–2 α



Γ (γ ) Γ (β – α) 1 –α = ----------------------------------------- ( – z ) F α , 1 + α – γ ; 1 + α – β ; ----z Γ (γ – α ) Γ (β)

A 160 − 6



1–z –1 1 1 F 2 α , α – β + --- ; α + β + --- ; --------------------------2 2 1–z +1

F (α, β ; γ ; z )

(1 – z )



1 1 1– 1–z F ( α , β ; α + β + --- ; z ) = F 2 α , 2 β ; α + β + --- ; --------------------------- , 2 2 2

d’où, selon (24) :

α–γ



   u ′ – 4 α β u = 0

On peut appliquer à (27) les formules de la section précédente ; de nombreuses identités en découlent. Par exemple, appliquons successivement (18) et (20) au second membre de (27). On trouve :

–z = -----------1–z

z



 



et, d’après (19) : 1 F γ – α , β ; 1 – α + β ; -----------1–z





(29)

arg ( 1 – z ) < π

Utilisant (18) pour transformer les premiers membres respectifs de (27), (28) et en opérant les substitutions 1 z  ( z – 1 ) Œ z , α + β + --- Œ γ , on obtient : 2 1 F ( α , α + --- ; γ ; z ) 2 = (1 – z )

–α



1 1 F 2 α , 2 γ – 2 α – 1 ; γ ; --- – ---------------------2 2 1–z

1 F ( α , α + --- ; γ ; z ) 2 1+ 1–z = ---------------------------2





–2 α





(30)

1– 1–z F 2 α , 2 α – γ + 1 ; γ ; ---------------------------1+ 1–z

|arg(1 – z )| < π

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(31)

___________________________________________________________________________________

De même avec (20) et en faisant les substitutions 1 1 α Œ α – --- , β Œ β – --- , on obtient pour (27) et (28) : 2 2 1 F ( α , β ; α + β – --- ; z ) 2 = (1 – z )

–1  2

Appliquons (23) au second membre : 1 1–z F 2 α , 2 β ; α + β + --- ; ------------2 2



  ---------------------------2 1+ 1–z

1 – 2α







∉ – ,

  

arg ( 1 – z ) < π



1 1 Γ α + β + --- Γ – --2 2 1 1 3 2 + ------------------------------------------------------- z F α + --- , β + --- ; --- ; z Γ (α) Γ (β) 2 2 2

1–z –1 1 1 F 2 α – 1, α – β + --- ; α + β – --- ; --------------------------- (33) 2 2 1–z +1 1 α + β – --2

      

 

1 1– 1–z F 2 α – 1, 2 β – 1 ; α + β – --- ; ---------------------------- (32) 2 2

1 1 F ( α , β ; α + β – --- ; z ) = ---------------2 1–z



1 1 Γ α + β + --- Γ --2 1 2 2 = ----------------------------------------------------- F α , β ; --- ; z 2 1 1 Γ α + --- Γ β + --2 2





FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

1 α + β + --2

∉ – ,





(37)

arg ( 1 – z ) < π

Revenons à l’équation (12). Lorsque γ = 2 β, et seulement dans ce cas, le changement de variables suivant :

– 1–z On remarque que si |arg (1 – z )| < π, alors 1 --------------------------- < 1 de sorte 1+ 1–z que (28), (31) et (33) constituent naturellement le prolongement analytique dans  – [ 1, + ∞ ] de la fonction hypergéométrique envisagée. Si, dans (27), on fait les transformations 2 α Œ α , 2 β Œ β et ( 1 – 1 – z )2 Œ z , on obtient :



1+ 1–z u = ---------------------------2



–2 α



1– 1–z v , z ′ = ---------------------------1+ 1–z



2

transforme cette équation en une équation hypergéométrique avec les paramètres : 1 1 α ′ = α , β ′ = α – β + --- , γ ′ = β + --2 2 On en déduit l’égalité :





1 F α , β ; --- α + β + 1 ; z 2 1 1 1 1 = F  --- α , --- β ; --- ( α + β + 1 ) ; 4 z ( 1 – z ) --- ( α + β + 1 ) 2  2 2 2 1 Re z < --2

F (α, β ; 2 β ; z) =

∉ – ,



1 1 4z F --- α , --- ( α + 1 ) – β ; α – β + 1 ; – --------------2 2 2 1–z

α–β+1

∉ – ,





(35)



4z F α , β ; 2 β ; --------------------2 (1 + z )

= (1 – z )

γ–1



1 1 F --- ( γ + α – 1 ) , --- ( γ – α ) ; γ ; 4 z ( 1 – z ) 2 2



et





arg ( 1 – z ) < π

2α



2 1 1 F α , α – β + --- ; β + --- ; z 2 2

∉ – 2  – 1,

= (1 + z ) 2β



2



(39)

z 0 .On en tire :

d t = A Φ* (α, γ ; z )

γ–α–1

1–γ

compte tenu de (50) et (58) pour m = 1. On en déduit lorsque z → 0 + :

A

1

Φ* ( 1 + α – γ , 2 – γ ; z )

D’autre part, on a de (76) :

On en déduit, pour z = 0 : A --------------- = Γ (γ )

–γ

+ (1 + α – γ ) B z

d t est

Cette solution est une fonction entière de z. D’après (55), lorsque γ n’est pas entier, on a nécessairement :

0

+∞

car l’intégrale converge normalement pour Re z  0 . Le second membre s’exprime à l’aide de la fonction bêta et l’on trouve :

L’équation (72) donne tout de suite, à un facteur constant près :





+

– zt

sans supposer, pour le moment, que le chemin d’intégration  soit nécessairement le demi-axe réel positif du plan de t. Portant (71) dans (52), on trouve que w doit satisfaire :   

Or, de (76), on a dans les mêmes conditions :

–γ

e



– zt

t

+∞

zA

e

γ–1

–ξ

ξ

1

 1 + O  --t-   d t γ–1

dξ

avec ξ = z t, γ

∈

(75)

Cette égalité est valable également pour γ entier, comme on peut le vérifier directement.

+

z u 3′ ( α , γ ; z ) → – Γ ( γ ) , z → 0 . donc On en déduit B (α, γ ) = Γ (γ – 1) Γ (2 – γ ). On introduit alors la fonction Ψ (α, γ ; z ), appelée fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce et définie par l’intégrale : 1 Ψ ( α , γ ; z ) = -------------Γ(α)

1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce



+∞

0

e

– zt

t

α–1

(1 + t)

γ–α–1

dt (78)

Re α > 0, Re z > 0 1.2.2.1 Définition D’après (73) et (74), l’équation (52) possède aussi la solution suivante : u 3 (α, γ ; z ) =



+∞

0

e

– zt

t

α–1

(1 + t )

γ–α–1

dt

sous réserve que Re α > 0 et Re z > 0. D’après (55), lorsque γ il existe A (α, γ ) et B (α, γ ) tels que :

(76)

∉,

u 3 (α, γ ; z ) = A (α, γ ) Φ* (α, γ ; z )

+ B (α, γ ) z 1 – γ Φ* (1 + α – γ, 2 – γ ; z ),

|arg z | < π (77)

Il s’agit de déterminer A et B. Supposons pour le moment 0 < Re γ < 1 avec toujours Re α > 0. Alors pour z > 0, z → 0 + : + A (α, γ ) u 3 ( α , γ ; 0 ) = -----------------------Γ (γ )

Elle s’exprime à l’aide de la fonction Φ par :

Γ (1 – γ ) Ψ ( α , γ ; z ) = ---------------------------------- Φ ( α , γ ; z ) Γ (1 + α – γ ) Γ (γ – 1) 1 – γ + ------------------------- z Φ ( 1 + α – γ , 2 – γ ; z ) , γ ∉  , arg z < π Γ (α) (79) où, en vertu du principe de permanence des relations entre fonctions analytiques, aucune restriction ne pèse plus sur le paramètre α ; quant à celle touchant γ, elle est réduite à la condition que γ ne soit pas un entier relatif. Le second membre de (79) fournit le prolongement analytique de la fonction Ψ dans  – ] – ∞, 0] . En fait, il est possible de définir la fonction Ψ pour les valeurs entières de γ. Supposons que γ → 1 + n, n ∈  . Si α = –m, m ∈  , on a directement de (79) : m ( m + n )! Ψ ( – m, n + 1 ; z ) = ( – 1 ) ------------------------ Φ ( – m , n + 1 ; z ) , m , n  0 (80) n!

Dans ce cas, les fonctions hypergéométriques confluentes se réduisent à des polynômes de Laguerre, comme on le verra plus

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FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

loin. Lorsque α ∉ –  , on écrit d’abord (79) sous la forme, en revenant à la fonction Φ* :

La fonction Ψ est bien définie pour tout couple (α, γ ) et cela pour chaque z tel que z + |z | ≠ 0.

 π 1 Ψ ( α , γ ; z ) = -------------------------  ----------------------------------- Φ * ( α , γ ; z ) sin ( π γ )  Γ ( 1 + α – γ )

1.2.2.2 Quelques propriétés de la fonction de seconde espèce

1–γ  z – -------------- Φ * ( 1 + α – γ , 2 – γ ; z )  Γ (α) 

π = ------------------------sin ( π γ )

La fonction Ψ possède de nombreuses propriétés analogues à celles de la fonction Φ. Par exemple, de (78) on déduit immédiatement :

Ψ (m ) (α, γ ; z ) = (–1)m (α )m Ψ (α + m, γ + m ; z ), m  0

{S 1 (z ) – S 2 (z )}

(84)

De manière analogue, on a les équations (85) : Puisque :

m

d –z m –z -----------  e Ψ ( α , γ ; z )  = ( –1 ) e Ψ ( α , γ + m ; z ) m dz

1 lim S 1 ( z ) = ------------------------- Φ* ( α , 1 + n ; z ) Γ (α – n )

γ→1+n

m

n

–n

z lim S 2 ( z ) = -------------- ( α – n ) n Γ (α) 1 = ------------------------- Φ* Γ (α – n )

d α+m– 1 ----------Ψ ( α, γ ; z )  m z dz α–1 = ( α )m ( α – γ + 1 )m z Ψ ( α + m, γ ; z )

z ------ Φ ( α , n + 1 ; z ) n!

γ→1+n

(α, n + 1 ; z)

m

le second membre devient indéterminé ; selon la règle de L’Hospital, on a :

Ψ (α, n + 1 ; z ) =

Ψ (α, γ ; z )

lim

γ→n+1

= ( –1 )

n+1



∂ S1 -----------∂γ

γ

∂ S2 -----------∂γ

γ = n+1

1 = ------------------------Γ (α – n )

γ = n+1

1 = ------------------------Γ (α – n )

∑

∂ S2 – -----------∂γ = n+1

ν

γ = n+1

et



, arg z < π

la

m

( α )ν z ----------------------------- ψ (α – n ) – ψ (n + ν + 1) ( n + ν )! ν ! ν

( α )ν z ----------------------------( n + ν )! ν ! 0

∑

 ψ ( 1 + ν ) – ψ ( α + ν ) + ψ ( α – n ) – log z 

1 + --------------Γ (α)

n–1

∑ ( –1 )

n–ν

ν=0

( n – ν – 1 )! ( α – n ) ν ν – n ------------------------------------------------------ z ν!

ce qui conduit au développement : n+1  ( –1 ) Ψ ( α , n + 1 ; z ) = -------------------------  Φ * ( α , n + 1 ; z ) log z Γ (α – n )  ν ( α )ν z  + ∑ ----------------------  ψ ( α + ν ) – ψ ( 1 + ν ) + ψ ( n + ν + 1 ) -------  ν!  ( n + ν )! ν0

1 + --------------Γ (α)

n–1

∑ ( –1 )

ν

ν=0

n  0,

α

ν–n

z ( n – ν – 1 )! ( α – n ) ν --------------- , ν!

∉ – ,

(81)

arg z < π

–1

On a posé

∑ ... = 0 . Rappelons que la détermination choisie de

ν=0

log z est celle qui se réduit à log x pour z = x > 0. D’autre part, il est clair, selon (79), que la fonction Ψ satisfait la relation :

Ψ (α – γ + 1, 2 – γ ; z ) = z γ – 1 Ψ (α, γ ; z ), |arg z | < π On en déduit, lorsque γ → – n, n

Ψ (α , – n ; z ) =

zn + 1

∈

d γ–1 ----------- z Ψ (α, γ ; z ) m dz m γ–m–1 = ( –1 ) ( α – γ + 1 )m z Ψ (α, γ – m ; z )

formule

ν

ν 0

(85)

m

Γ ′ (z ) O r, a v e c l a n o t a t i o n ψ ( z ) = ----------------Γ (z ) d ------- ( λ ) ν = ( λ ) ν  ψ ( λ + ν ) – ψ ( λ )  , on a : dλ ∂ S1 -----------∂γ

–z γ – α + m – 1 d Ψ (α, γ ; z ) ----------- e z m dz m –z γ – m – 1 = ( –1 ) e z Ψ (α – m, γ ; z )

(82)

:

Ψ (α + n + 1, 2 + n ; z ), |arg z | < π

d –z γ – 1 ----------- e z Ψ (α, γ ; z ) m dz m –z γ – m – 1 = ( –1 ) e z Ψ (α – m, γ – m ; z ) avec la condition m0 De ces formules de dérivation, envisagées dans le cas m = 1 et en éliminant Ψ ’, on obtient des relations analogues aux formules (64), (65), (66), (67), (68) et (69) entre trois fonctions Ψ contiguës :  Ψ (α – 1) – (2 α – γ + z ) Ψ + α (α – γ + 1) Ψ (α + 1) = 0   (γ – α – 1) Ψ (γ – 1) – (γ – 1 + z ) Ψ + z Ψ (γ + 1) = 0   Ψ – α Ψ (α + 1) – Ψ (γ – 1) = 0  (γ – α)Ψ – z Ψ (γ + 1) + Ψ (α – 1) = 0   (α + z )Ψ + α (γ – α – 1) Ψ (α + 1) – z Ψ (γ + 1) = 0   (α – 1 + z )Ψ – Ψ (α – 1) + (α – γ + 1) Ψ (γ – 1) = 0 

(86)

La formule (79) fournit de façon explicite le saut de la fonction Ψ, le long de sa coupure, c’est-à-dire le long du demi-axe négatif :

Ψ (α, γ ; – x + i 0) – Ψ (α, γ ; – x – i 0) 2 i π 1–γ = – -------------- x Φ * ( α – γ + 1 , 2 – γ ; – x ) , x > 0 (87) Γ (α) car (–z )ν = z ν e – ε νi π où : +1 ε =   –1

si

0 < arg z  π

si

– π < arg z  0

Remarquons que la formule (87) est valable aussi pour γ ∈  en vertu de (51) et (83). Le wronskien de Φ* et Ψ est égal à – (Γ (α)) –1 z – γ e z. Lorsque α ∉ –  , le couple (Φ*, Ψ ) constitue un système fondamental de l’équation (52). Selon (54), avec Ψ (α, γ ; z ) la fonction e z Ψ (γ – α, γ ; – z ) est aussi solution de (52). Ces deux fonctions forment toujours un système fondamental, puisque leur wronskien s’écrit e ε (γ – α ) i π z – γ e z. Mais ce système n’est pas très commode,

(83)

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A 160 − 11

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

car le cas de z positif mène sur la coupure de la fonction Ψ. Quoi qu’il en soit, on a de (79) : α π i

(α – γ ) π i

On a donc le développement asymptotique suivant :

Ψ (α, γ ; z )

e e z Φ* ( α , γ ; z ) = ------------------------ Ψ ( α , γ ; z ) + -------------------------- e Ψ ( γ – α , γ ; – z ) Γ (γ – α) Γ (α )

= z



–α

Im z > 0

n

∑

ν =0

–α π i

ν

( –1 ) ( α ) ν ( 1 + α – γ ) ν – ν 1 --------------------------------------------------------------- z + O ----------------n+1 ν! z

Im z < 0

(88)

m

∑

ν=0



1 + O -----------------m+1 z



γ–α–1

n

∑ ( –1 )

=

n+1

n+1

t ( 1 + α – γ ) n -------------n!



1

0

n

(1 – ξ ) (1 + ξ t )

γ–α–n–2



n

∑

ν=0

(89)

ν

( –1 ) ( α ) ν ( 1 + α – γ ) ν – ν -------------------------------------------------------------z + ρn ( z ) ν!





0

e

–z t

t

 (1 – ξ) 1

n+α

∞

n

0

+

e

–z t

t

α + ν– 1

0

(1 + ξ t )

γ–α–n–2

dξ

d t = (α) ν z

– ( α + ν)

∞

e

i φ

e

0

–z t

t

α–1

(1 + t )

γ–α–1

d t , Re α > 0



1.2.3.2 Représentation asymptotique de la fonction  lorsque |z | → + ∞

,

On utilise (90) et (88). Im z > 0 implique :

Estimons | ρ n (z )|. On a :

α πi

∞ 

e Φ* ( α , γ ; z ) = -----------------------Γ (γ – α)

+

0 1 0

e

– z t sin δ

t

n

n + Re α

(1 – ξ) (1 + ξ t )

Re ( γ – α ) – n – 2

dξ

 dt

On choisit n de sorte que Re ( γ – α ) – n – 2  0 et ainsi : ( 1 + α – γ )n ρ n ( z )  -------------------------------------( n + 1 )! Γ ( α ) Re α

π I

α

m 1 Γ ( n + Re α + 1 ) z e -------------------------------------------------------------------------------------- = O ----------------n+1 n + Re α + 1 z ( z sin δ )

A 160 − 12







 dt

Re α > 0, Re z > 0, ν ∈ 

( 1 + α – γ )n α ρ n ( z )  -------------------------------- z n! Γ ( α )



1 + O ----------------n+1 z

 π π  + ---- si – ( π – δ )  arg z  – ----- – δ  2 2 φ =  π π  – ---- – δ  arg z  π – δ  2- si ---2 

compte tenu du résultat élémentaire : 1 ---------------Γ (α )



où :

n+1

( 1 + α – γ )n α ( –1 ) ρ n ( z ) = -------------------------------------------------------- z n! Γ ( α )

∞

ν = n+1

1 + O -----------------m+1 z

Le développement s’applique aux deux fonctions du second membre ; on peut montrer, au terme d’un calcul facile, qu’il reste valable pour la fonction Ψ (α, γ ; z ). Autrement dit, si le développement (90) est valable pour l’indice α + 1, il reste valable pour l’indice α. Par conséquent, il a lieu sans restriction sur α. Enfin, on peut affaiblir la condition sur z et supposer seulement que arg z  π – δ . Il suffit de définir la fonction Ψ par : 1 Ψ ( α , γ ; z ) = ---------------Γ (α )

où :

+

∑

Ψ (α, γ ; z ) = (α + z ) Ψ (α + 1, γ ; z ) + (α – γ + 2) Ψ (α + 1, γ – 1 ; z ) dξ ,

Substituant dans (78), on obtient : –α

(90)

Il en résulte que le développement (90) est valable pour tout n ∈  . On peut aussi abandonner la condition Re α > 0. Car si Re α > –1, en considérant la dernière relation de (86) où l’on change α en α + 1, on a :

n0

Ψ (α, γ ; z ) = z

∑

ν=0

t ( 1 + α – γ ) ν ----ν!

ν=0

+ ( –1 )

m

+

ν=0

=

ν

ν

arg z  π – δ

n

∑

=

n

1.2.3.1 Représentation asymptotique de la fonction  lorsque |z | → + ∞ On utilise la représentation (78) où l’on suppose π π arg z  ---- – δ , 0 < δ < ---- . On a, de façon standard : 2 2



En effet, lorsque n < Re (γ – α ) – 2, il existe toujours un entier m > n tel que m  Re ( γ – α ) – 2 . Pour cet entier, le développement (90) est valable et on peut écrire de façon évidente :

1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques confluentes

(1 + t )

∞,

z →+

–( α – γ ) π i

e e z Φ* ( α , γ ; z ) = ------------------------ Ψ ( α , γ ; z ) + ----------------------------- e Ψ ( γ – α , γ ; – z ) Γ (γ – α) Γ (α )





z

–α



n

∑

ν=0

ν

( –1 ) ( α )ν ( 1 + α – γ )ν –ν -------------------------------------------------------------- z + O  z ν!

1 z –( γ – α ) + --------------- e z Γ (α)



n

∑

ν= 0

–( n + 1 )





(γ – α) ν (1 – α) ν – ν -------------------------------------------- z + O  z ν!



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(91) –( n + 1 )





___________________________________________________________________________________

Im z < 0 implique : –α π i

e Φ * ( α , γ ; z ) = -----------------------Γ (γ – α) z



–α

n

∑

ν =0

ν

( –1 ) ( α ) ν ( 1 + α – γ ) ν – ν -------------------------------------------------------------- z + O  z ν!



1 z –( γ – α ) + --------------- e z Γ (α)

n

∑

ν =0

–( n + 1 )





(γ – α) ν (1 – α) ν – ν -------------------------------------------- z + O  z ν!

(92) –( n + 1 )





Lorsque Re z > 0, |z | → + ∞, on a, en vertu de (91) et (92) :

Γ (γ ) Φ ( α , γ ; z ) = --------------Γ (α) z

e z



–( γ – α )

n

∑

ν =0

( γ – α )ν ( 1 – α )ν –ν -------------------------------------------- z + O  z ν!

–( n + 1 )



∑

ν =0

z





ν

0

(93)

–( n + 1 )





0

e

– tz





t

a–1

(95)

(99)

 z  v (z ) = 0 

(100)



A ( t ) cos  z B ( t ) + C ( t )  d t

γ 





A ( t ) B ( t ) sin  z B ( t ) + C ( t )  d t = 0

1 2 1 On choisit B de sorte que --- + B ( t ) = --- B ′ ( t ) , B (0) = 0, 2 4 1 c’est-à-dire B ( t ) = --- tan t . On a ainsi : 2





A ( t ) cos  z B ( t ) + C ( t )  { γ – 2 α + C ′ ( t ) – C ′ ( t ) – z B ′ ( t ) } d t

z 2 v ’’ (z ) + z (2 τ + γ – z ) v ’ (z ) + {τ (τ – 1 + γ ) – (τ + α ) z } v (z ) = 0 (96)

–2 γ

On cherche une solution sous la forme :





–

Elle se réduit à (78) lorsque a = α, en vertu de (41). Soit u une solution de (52). La fonction v définie par u (z ) = z τ v (z ) vérifie l’équation :



dt

1  1 2 A ( t ) cos  z B ( t ) + C ( t )   --- γ – α – z --- + B ( t )  d t 2 4  

F ( α , α – γ + 1 ; a ; –t ) d t

Re a > 0, Re z > 0

v (z ) =

, Re γ < 0 , z > 0



ce qui amène à écrire :

On a la représentation suivante : +



z cos ---- tan t + ( 2 α – γ ) t 2

On cherche une solution v sous la forme suivante :

∉ –  , Re z < 0

1.2.4.1 Représentation intégrale de la fonction 

∞

–γ

1 1 z v ″ ( z ) + γ v ′ ( z ) +  --- γ – α – --4 2

(94)

1.2.4 Représentations intégrales

a–α

( cos t )

∉ ∗

α

v (z ) =

z Ψ ( α , γ ; z ) = ---------------Γ (a )

π --2

S i u e s t u n e s o l u t i o n d e ( 5 2 ) , a l o r s v d é fi n i e p a r u (z ) = exp (z /2) v (z ) vérifie l’équation :

( –1 ) ( α ) ν ( 1 + α – γ ) ν – ν -------------------------------------------------------------- z + O  z ν!

γ, γ – α

Une autre représentation de Ψ (α, γ ; z ) est la suivante : 1–γ

Γ (γ ) Φ ( α , γ ; z ) = -------------------------Γ (γ – α) ( –z )

1.2.4.2 Autre représentation de la fonction 

---2 2 Ψ ( α , γ ; z ) = ------------ Γ ( 1 – α ) e π

On en déduit de (93) et (56) :

–α

 = [0, + ∞ [ , on voit que la condition (97) est réalisée. On constate facilement que l’intégrale de (95) est effectivement une solution de (96). Cette solution est équivalente à Γ (a )z –a lorsque z → + ∞, d’après le lemme de Watson (cf. § 1.1.3.3 de l’article Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques [A 154] de ce traité). D’où la représentation (95), selon (90).

∉ –  , Re z > 0

α, γ

n

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL





A ( t ) B ( t ) sin  z B ( t ) + C ( t )  d t = 0

ou e

–t z

w (t ) dt





ce qui amène à poser les conditions : e – t z {(t 2 + t ) w ’ (t ) + [z (t 2 + t ) + (2 – 2 τ – γ ) t + 1 – τ – α ] w (t )}

z B (t ) + C (t ) γ – 2 α + C ′ (t )dt

A ( t ) cos

– A ( t ) sin  z B ( t ) + C ( t )  

=0

(97)

(t 2 + t ) w ’’ (t ) + {(4 – 2 τ – γ ) t + 2 – τ – α } w ’ (t ) + (τ – 1) (τ + γ – 2) w (t ) = 0 (98) L’équation précédente est une équation hypergéométrique au changement de variable t Œ – t près. Elle possède la solution        = 1 – τ, β w ( t ) = F ( α , β ; γ ; – t ) avec α = 2–τ–γ, γ = 2–τ–α . elle possède aussi la solution D’après (16), w (t ) = t a – 1 F (α, α – γ + 1 ; a ; –t ) où on a posé a = τ + α. On vérifie que la fonction F est à croissance lente lorsque t → + ∞ (c’est-à-dire se conduit comme une puissance de t ), de sorte que, en prenant

+







{ A ′ ( t ) – 2 γ A ( t ) B ( t ) } sin  z B ( t ) + C ( t ) d t = 0

On pose C ’ (t ) = 2 α – γ , A’ (t ) – 2 γ A (t ) B (t ) = 0, donc A ( t ) sin

z B (t ) + C (t )



= 0

(101)

π Prenons  = 0, ----- . 2 On a C (t ) = (2 α – γ ) t + C 0 , A (t ) = K |cos t | – γ

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A 160 − 13

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

La condition (101) est satisfaite si C 0 = 0, z fonction : v (z ) =



π 2

0

( cos t )

–γ

∈

et Re γ < 0. La

z cos ---- tan t + ( 2 α – γ ) t  d t 2



  π λ On en déduit J ( α, γ ) = A ( λ, µ )  2 . Montrons que A ( λ, µ ) = ----2 et la représentation (99) sera démontrée en supposant α ∉ * . Car si α ∈ * , on a nécessairement K+ (α, γ ) = 0 et donc, selon (103) :

(102)



est donc formellement une solution de (100) ; on peut montrer qu’elle est effectivement une solution sous réserve des restrictions Re γ < 0 et z ∈  – { 0 } . De plus, elle est bornée sur  . Cela implique, selon (93) et (90), qu’il existe K + et K – tels que z  --- K+ (α, γ ) Ψ (α, γ ; z ) = e 2 v (z ), z > 0  z ---z  2  K – ( α , γ ) e Ψ ( γ – α , γ ; –z ) = e v ( z ) , z < 0

On en déduit :

K+ (α, γ ) = K – (γ – α, γ )

0

( cos t )

–γ



z cos --- tan t + ( 2 α – γ ) t 2 Re γ 0

  π on a donc A ( 0, µ ) = ----- = A ( n , µ ) , n  0 , relation qui reste vraie 2 par continuité pour µ entier. On tire de (108) l’estimation :  µ n π 1 Γ (n + 1) A (n, µ) 1 c ( n, µ ) = -----n- ---------------------------------- -------------------------  ------n- ----- ------------------------- , n → + ∞ Γ ( µ + 1 ) Γ ( n + 1 – µ ) 2 2 Γ (µ + 1) 2

K + (α, γ ) Ψ (α, γ ; 0) = K + (γ – α, γ ) Ψ (γ – α, γ ; 0) = v (0)

Mais on a aussi :

c’est-à-dire, d’après (79) :

µ

λ π c ( λ, µ )  -----λ- ----2 2  Il en résulte lim A ( λ , µ ) = λ → +∞  tion A est périodique.

Γ (1 – α ) K+ (α, γ ) = Γ (1 + α – γ ) K+ (γ – α, γ )

0

( cos t )

–γ

cos ( ( 2 α – γ ) t ) d t

:= J ( α , γ )

(109)

(104)

Donc avec (104) :



dt = 0

(103)

K + (α, γ ) Ψ (α, γ ; 0) = v (0) = K – (α, γ ) Ψ (γ – α, γ ; 0)

π ----2



sin π µ  De (108), on a c ( 0, µ ) = ---------------------- A ( 0, µ ) et, d’après la définition, πµ sin π µ c ( 0, µ ) = ---------------------- . Pour µ non entier et en vertu de la périodicité, 2µ

De (103), on a, lorsque z → 0 :

Γ (1 – α ) Γ (1 + α – γ ) = -------------------------------------------------------------Γ (1 – γ )

π ---2

(105)

1 ------------------------- , λ → + ∞ Γ (µ + 1)

π ----- , d’où le résultat, puisque la fonc2

La représentation est (99) complètement démontrée.

Posant :

λ:= – γ , µ : = α – γ , c ( λ , µ ) :=



π ----2 0

1.2.5 Cas particuliers λ

( cos t ) cos ( ( 2 µ – λ ) t ) d t ,

1.2.5.1 Fonctions élémentaires

on a facilement, par des intégrations par parties, en supposant Re λ > 0. 1 λ+1 c ( λ + 1, µ ) = --- ----------------------- c ( λ , µ ) (106) 2 λ+1–µ

On a les relations évidentes :

λ–µ c ( λ, µ + 1 ) = -------------- c ( λ , µ ) µ+1

1.2.5.2 Polynômes de Laguerre

(107)

z

e –1 Φ ( 1, 2 ; z ) = ---------------z

z

Φ (α, α ; z ) = e ,

On a :

Ψ (–n, γ + 1 ; z ) = (–1)n (γ + 1)n Φ (–n, γ + 1 ; z )

De (106), on a :

n

γ

n

Ln ( z ) =

 A (λ, µ) A (λ, µ) A ( λ, µ + 1 ) = ----------------------- , donc A ( λ , µ ) = ------------------------µ+1 Γ (µ + 1)     avec A ( λ + 1 , µ ) = A ( λ , µ ) , A ( λ , µ + 1 ) = A ( λ , µ ) Finalement, on obtient :

∑

ν =0

ν

( –z ) Γ (n + γ + 1) ---------------------------------- --------------------------Γ ( ν + γ + 1 ) ν ! ( n – ν )!

En écrivant l’équation (52) où α = – n, γ Œ γ + 1 , sous forme d –z γ + 1 –z γ autoadjointe --------  e z u ′ ( z )  + n e z u ( z ) = 0 , on obtient dz immédiatement la relation d’orthogonalité :

∞ +

(108)

0

e

–z

Γ (n + γ + 1) γ γ γ z L n ( z ) L m ( z ) d z = ---------------------------------- δ n , m n! n , m  0 , Re γ > – 1

A 160 − 14

(110)

où :

avec A (λ + 1, µ ) = A (λ, µ ). La relation (107) implique :

 1 Γ (λ + 1) c ( λ, µ ) = -----λ- ------------------------------------------------------------ A ( λ , µ ) 2 Γ (λ – µ + 1) Γ (µ + 1)

γ

:= ( –1 ) n! L n ( z ) , n  0

1 Γ (λ + 1) c ( λ, µ ) = -----λ- ---------------------------------- A ( λ , µ ) 2 Γ (λ + 1 – µ)

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___________________________________________________________________________________

1.2.5.3 Polynômes d’Hermite

1.2.5.6 Fonctions de Bessel 1 C’est le cas où, dans l’équation (52), on a γ = 2 α. Posant α = --- + ν , 2 – ν z / 2 γ = 1 + 2 ν, u (z ) = z e v (ξ ), z = 2 i ξ, l’équation (52) se transforme en l’équation de Bessel :

Avec la définition : n

Hn ( z ) = ( –1 ) e

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

z

2

n

–z

2

d e -------------------, n  0 n dz



1 2 n ( 2 n )! H 2n ( z ) = ( – 1 ) ---------------- Φ – n , --- ; z , n  0 n! 2





3 2 n ( 2 n + 1 )! H 2 n + 1 ( z ) = ( – 1 ) ------------------------ 2 z Φ – n , --- ; z , n  0 n! 2





La fonction d’erreur Erf z =

Erf z =

0

e

–t

2

d t admet le développement :

∑

n 0

2 n  --2- n- (----------------–z ) ∑ ----------3 n! n  0 -- 2 n

v (ξ) = 0

(111)

–i ξ

ν

ξ e 1 - Φ --- + ν ,1 + 2 ν ; 2 i ξ , arg ξ < π J ν ( ξ ) = -------------------------------ν 2 2 Γ (ν + 1)





(112)

Il s’agit d’une fonction de Bessel de première espèce à laquelle on peut associer la fonction de Bessel modifiée, par le changement de i ξ en ξ : ν

–ξ

1 ξ e - Φ --- + ν , 1 + 2 ν ; 2 ξ , arg ξ < π I ν ( ξ ) = -------------------------------ν 2 2 Γ (ν + 1)

1

n

( –1 ) 2n + 1 -------------------------------- z = z n! ( 2 n + 1 )



Une solution de cette équation, notée Jν (ξ), s’exprime par :



1.2.5.4 Fonction d’erreur et fonctions liées z

2

ν v ′ (ξ) v ″ ( ξ ) + --------------- + 1 – ------2ξ ξ

on a :





(113)

L’étude de ces fonctions fait l’objet du paragraphe 2.

donc :



1 3 2 Erf z = z Φ --- , --- ; – z 2 2



1.3 Fonctions hypergéométriques généralisées

De même, la fonction d’erreur complémentaire : Erfc z =



+∞

e

z

–t

2

2 1 –z d t = --- z e 2



+∞

0

–z τ 2

e ------------------- d τ , z > 0 1+τ

1.3.1 Définitions Considérons la série entière suivante :

peut s’exprimer par :







2 3 1 –z 2 1 1 1 –z 2 2 Ψ 1, --- ; z = --- e Ψ --- , --- ; z Erfc z = --- z e 2 2 2 2 2

p



∑

π arg z < ---2 d’après (78) et (82). 2 –z La fonction S ( z ) = e

∑

n 0

n



z t

2

e dt, z

0

n 0

n

∏ (2 ν + 1)

n

z ν =1 ------------------------- -----q n! ∏ (γ µ) n

(114)

µ =1

∈  admet le développement :

( –1 ) 2 2n + 1 --------------------------------- z = z n

∏ ( αν ) n

∑

n 0

( 1 ) n ( – z 2 )n ------------ ---------------3 n! --2 n

 

ν =0

où p, q

∈

(lorsque p = 0 ou q = 0, on pose par conven-

0

tion ∏ = 1 ou ν=1

αν

0

∏

= 1) satisfont la condition p  q + 1 et z

∈ ,

µ= 1

∈  , γ µ ∈  – { –  } . On constate que la série (114) est une fonc-

tion entière si p  q et que son rayon de convergence est égal à 1 si p = q + 1.

d’où :





3 2 S ( z ) = z Φ 1, --- ; – z , z 2

∈

1.2.5.5 Fonction exponentielle intégrale Par définition : Ei ( –z ) = – donc : Ei ( –z ) = – e

–z



+∞ 0



+∞

z

–t

La somme de la série (114) est appelée fonction hypergéométrique généralisée et notée par le symbole : p Fq

1

e -------- d t , z > 0 t

–z τ

e –z ------------- d τ = – e Ψ ( 1, 1 ; z ) 1+τ

ou encore : Ei (z ) = –ez Ψ (1, 1 ; –z ), |arg (–z )| < π

α 1 , ... α p ; z

 γ , ... γ

q

 ou aussi

p Fq

( αν ; γ µ ; z )

1.3.2 Équation différentielle La fonction u = p Fq (αν ; γ µ ; z ) satisfait l’équation différentielle d’ordre q + 1 suivante :





q

∏

µ =1

p

( + γ µ – 1) – z

∏ (  + αν )

ν =1



u = 0

d où  := z --------- . Lorsque p = 2, q = 1, on retrouve l’équation (12) et dz lorsque p = 1, q = 1, on a l’équation (52). Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales

A 160 − 15

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

1.3.3 Cas particuliers

On en déduit, effectuant la dérivation : n n J′n ( z ) + --- J n ( z ) = J n – 1 ( z ) , Jn′ ( z ) – --- J n ( z ) = – J n + 1 ( z ) z z

Les séries hypergéométriques généralisées suivantes sont les plus simples : 0 F0 ( α ν ; γ µ ; z ) =

∑

n0

d’où les relations de récurrence :

n

z z ------ = e n!

2n J n – 1 ( z ) + J n + 1 ( z ) = -------- J n ( z ) z

n

–α z - = (1 – z ) 1 ∑ ( α1 )n ----1 F0 ( α ν ; γ µ ; z ) = n! n0

0 F1

( αν ; γ µ ; z ) =

∑

n0

(γ 1 – 1)

– --1 z 2 --------------- ------- = Γ ( γ 1 ) z ( γ 1 ) n n!

Iγ 1 – 1 ( 2 z

12

)

La première relation (118) permet d’exprimer Jn en fonction de J 0 et J 1 .

2.1.3 Équation différentielle

1 F 1 (αν

; γ µ ; z ) = Φ (α 1, γ 1 ; z )

2 F 1 (αν

; γ µ ; z ) = F (α 1, α 2 ; γ 1 ; z )

De (118), on a successivement :

où I γ 1 – 1 est la fonction de Bessel modifiée donnée par (113).

n J′n ( z ) + --- J n ( z ) = J n – 1 ( z ) z

2. Fonctions de Bessel

 J ′ ( z ) + n--z- J

2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier

 J ′ ( z ) + n--z- J ( z ) ′ + 1--2- J ( z )

n

n

2.1.1 Fonction génératrice

z --2

 t – --t-  = ∑

 J ′ ( z ) + n--z- J

n

∈

n

z exp --- t = 2

 

z

∑  --2-  n 0

z –1 exp – --- t = 2



et



n

n

t -----n!

z

∑  – --2- 

n0

n

Jn ( z ) =

∑

µ0

µ

 

n+2 µ

–n

t --------n!

, n  0, z

∈

(116)

–n

A 160 − 16

–n

′ + J

n

n–1 ( z ) = -------------z

n–1

( z ) – Jn ( z )

 J ′ ( z ) + n--z- J n

n

(z )





J

n

(z ) = 0

On verra plus loin comment on détermine une seconde solution linéairement indépendante de Jn (on est dans le cas logarithmique au voisinage de l’origine), qu’on appellera fonction de Bessel de deuxième espèce ou aussi fonction de Neumann, notée Nn (z ) et dont voici l’expression :

1 – ---π

∑

ν 0

ν

( –1 ) z ----------------------------- --ν ! ( n + ν )! 2

 

n + 2ν

n–1

∑

ν=0

( n – ν – 1 )! z ------------------------------ --ν! 2

 

2ν – n

(119)

{ψ (ν + 1 ) + ψ (n + ν + 1)}, n  0 ν

–1

∑

= 0 , ψ ( 1 ) = –γ , ψ ( ν + 1 ) = – γ +

ν =0

∑

µ =1

1 ---- , ν  1 µ

(γ est la

2.1.4 Origine des fonctions de Bessel

2

n

J n ( z ) )′ = – z

(z )

–1 J  2 n------------z

L’équation (111) intervient dans la recherche de solutions particulières de l’équation divgrad Φ = 0. Lorsqu’on exprime celle-ci dans un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z ), on obtient :

Utilisant (116), on a, après des calculs élémentaires :

(z

1 = --2

n

constante d’Euler).

2.1.2 Relations de récurrence

( z J n ( z ) )′ = z J n – 1 ( z )

n

1 ( z ) = ---  J n – 2 ( z ) – J n ( z )  2



où

La série converge dans tout le plan et représente ainsi une fonction entière. On la nomme fonction de Bessel d’indice ou d’ordre entier de première espèce.

n

n–1

2 z 1 N n ( z ) = ---- J n ( z ) log --- – ---π 2 π

on trouve le développement suivant, en accord avec (112) où ν=n: ( –1 ) z ------------------------------- --µ! ( n + µ )! 2

′ = J ′

2 J′n ( z ) n - + 1 – ------J ″n ( z ) + ----------------2 z z

(115)

On a G (z, –t ) = G (z, t –1), ce qui entraîne J–n (z ) = (–1)n Jn (z ), n  0 . Il suffit ainsi de connaître Jn pour n  0 . En faisant le produit de :

(z )

d’où l’équation différentielle, en accord avec (112) :

1

Jn ( z ) t

n

n

n

Considérons la fonction suivante et son développement de Laurent au voisinage de l’origine : G ( z,t ) := e

(118)

J n – 1 ( z ) – J n + 1 ( z ) = 2 Jn′ ( z )

1

n

, n0

, n0

(117)

2

2

1 ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ 1 ∂Φ ------------+ ---- ---------- + -----2- ------------+ ------------= 0 2 2 r ∂ r r ∂ θ2 ∂z ∂r

Jn + 1 ( z )

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___________________________________________________________________________________

Par la méthode de séparation des variables qui consiste à chercher des solutions de la forme Φ (r, θ, z ) = R (r ) T (θ ) Z (z ), on trouve les équations : r 2 R ’’ (r ) + r R ’ (r ) + (k 2 r 2 – ν 2) R (r ) = 0 T ’’ (θ ) + ν 2 T (θ ) = 0

On a :

∂ Jν ( z ) ---------------------∂ν

où k et ν sont des constantes de séparation. Les deux dernières équations fournissent respectivement les solutions exp (±i ν θ ) et exp (± k z ) et, en posant k r = z, R (r ) = u (z ), dans la première, on retrouve (112). C’est la raison pour laquelle on appelle aussi fonctions cylindriques les fonctions de Bessel.

2.2 Fonctions de Bessel d’ordre quelconque

∂ J–ν ( z ) ------------------------ = ∂ν

∑

µ

z ( –1 ) ------------------------------------------ --µ! Γ ( ν + µ + 1 ) 2

 

ν + 2µ

, arg z < π

(120)

(z 2

–

ν 2)

u=0

(121)

car le wronskien de deux solutions u 1 , u 2 de (121) s’écrit W (u 1, u 2) (z ) =C z –1 où C est une constante. Ici : 2 sin ν π W ( J ν , J – ν ) ( z ) = – -----------------------π z Les relations (118) sont valables pour Jν , ν sur la coupure ]– ∞, 0] est donné par :

∈.

= lim

– ν + 2µ

  z  – log --2- + ψ ( µ – ν + 1 )   

= ( –1 )

1 ----- Γ ( ν – µ ) sin ( π ( ν – µ ) ) { ψ ( ν – µ ) + π cot ( π ( ν – µ ) ) } π

n–µ

( n – µ – 1 )! , 0  µ  n – 1

Il en résulte :

∂ J–ν ( z ) -----------------------∂ν

n–1

= ( –1 )

n

ν =n

∑

( n – µ – 1 )! z ------------------------------ ---µ! 2

∑

( –1 ) z ---------------------------- ---µ! ( n + µ )! 2 0

µ=0

+ ( –1 )

n

µ 

µ

Le saut de Jν

 

µ

2µ – n

 

n + 2 µ

 z - + ψ (µ + 1)   – log --2  

ψ ( µ + 1 ) = –γ +

∑

λ =1

2 z ( n – 1 )! N 0 ( z )  ---- log ---- , N n ( z )  – -------------------π 2 π

Introduisons les fonctions de Bessel de deuxième espèce notées Nν (z ) et définies dans  – ] – ∞, 0] par : (122)

La fonction Nν est bien solution de (121) pour ν ∉  ; pour de telles valeurs de ν, les fonctions Jν et Nν sont linéairement indépendantes, car : 2 W ( J ν , N ν ) ( z ) = ---------π z 2.2.2.2 Fonctions de Neumann d’ordre entier Lorsque ν est un entier, le second membre de (122) devient indéterminé. On définit alors Nn (z ) comme limite : N n ( z ) = lim N ν ( z ) , n  0 ν→n

ν =n

–n

 z--- , n  1, z → 0 (123)  2

Un calcul un peu long, mais simple, montre que :

2.2.2.1 Fonctions de Neumann d’ordre quelconque

J ν ( z ) cos ν π – J – ν ( z ) N ν ( z ) = ---------------------------------------------------------------sin ν π

1 ----- , µ  1 . C e d é v e l o p p e m e n t f o u r n i t l e λ

comportement à l’origine de Nn :

2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce

ν =n

 

On en déduit (119) car on peut écrire ψ (1) = –γ,

Jν (–x + i 0) – Jν (–x – i 0) = 2 i sin (ν π ) Jν (x ), x > 0

n ∂ J–ν ( z ) – ( – 1 ) -----------------------∂ν

( –1 ) z ---------------------------------------- --µ! Γ ( µ – ν + 1 )! 2

ψ (µ – ν + 1) lim ---------------------------------Γ (µ – ν + 1) ν→n

C’est une fonction entière de ν pour z fixé. On vérifie facilement que, pour chaque ν ∉  , Jν et J–ν sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation :

1  ∂ Jν ( z ) = ----  --------------------π  ∂ν

  z - – ψ (µ + n + 1)   log --2  

π cos π z Γ ( z ) Γ ( 1 – z ) = --------------------- , ψ ( z ) – ψ ( 1 – z ) = – π ---------------------- , sin π z sin π z

ν→n

u ’’ + z u ’ +

n + 2µ

Mais, pour 0  µ  n – 1 , on a Γ (µ – ν – 1) → ∞, ψ (µ – ν + 1) → ∞ lorsque ν → n. À l’aide des formules :

Lorsque n est remplacé par un nombre complexe ν quelconque, on introduit la fonction de Bessel de première espèce d’ordre quelconque :

z2

 

µ

µ 0

on obtient :

∑

µ 0

ν =n

2.2.1 Équation différentielle

µ 0

µ

( –1 ) z --------------------------- ---µ! ( n + µ )! 2

∑

=

Γ ′ (z ) où ψ ( z ) = ------------------ . De même : Γ (z )

Z ’’ (z ) – k 2 Z (z ) = 0

Jν ( z ) =

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

 m d Nn ( z ) 1  ∂ ---------------------------- = ---  -------π ∂ ν d zm 



m

∂ Jν z --------------------∂ zm



n ∂ – ( – 1 ) -------∂ν

ν =n



m

∂ J–ν z ------------------------∂ zm



ν =n

  , m  0  

(124)

ce qui prouve, en particulier, que Nn est bien solution de (121) lorsque ν = n. Les solutions Jn et Nn forment un système fondamental. En résumé, la fonction Nν est analytique dans  – ] – ∞, 0] pour chaque ν ∈  et est une fonction entière de ν pour chaque z fixé. D’après (122), on a : N ν ( – x + i0 ) – N ν ( – x – i0 ) = 2i  J ν ( x ) cos ν π + J – ν ( x )  , x > 0

  

d’après la règle de L’Hospital.

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A 160 − 17

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

π – i ----π P o u r – π < arg z < ----- , o n a I ν ( z ) = e 2 2 de (120), on trouve :

2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce

(1)

( z ) := J ν ( z ) + i N ν ( z )

(2)

( z ) := J ν ( z ) – i N ν ( z ) (i )

Chaque H ν couple

) . Car

π i ----2

π i ----- ν 2

) = e

Jν ( z e

∑

µ 0

1 z ------------------------------------------- --µ! Γ ( µ + ν + 1 ) 2

 

ν+2 µ

π i ----- ν 2

= e

Iν ( z )

π i ----- ν – i ----π De même, pour – ----- < arg z < π , on a I ν ( z ) = e 2 J ν ( z e 2 ) 2 De plus Iν (– x + i 0) – Iν (– x – i 0) = 2 i sin (ν π ) Iν (x ), x > 0

∈  – ] – ∞ , 0], ν ∈  (125)

2.2.4.2 Fonctions de Macdonald (i = 1, 2) est une fonction entière de ν pour z fixé. Le

(1)

(2)

H ν , H ν

(1) Hν

Introduisons une autre solution de l’équation (128) :

π I–ν ( z ) – Iν ( z ) K ν ( z ) = ---- ---------------------------------------- , ν 2 sin π ν

constitue un système fondamental pour

l’équation (121), car W couples J ν ,

π i ----2

π

,z Hν

Jν ( z e

(2)

(1)

On note H ν ( z ) et H ν ( z ) , qu’on appelle fonctions de Bessel de troisième espèce ou fonctions de Hankel, les fonctions définies par : Hν

ν

(1) (2) H ν H ν

et J ν ,

(2) Hν

4i ( z ) = – ---------- . De même pour les π z

K n ( z ) = lim K ν ( z ) , n

car, par exemple,

ν→n

2i (2) W J ν , H ν ( z ) = – ---------π z

iπ ν

e Jν ( z ) – J–ν ( z ) (2) H ν ( z ) = --------------------------------------------------------i sin π ν

(126)

Il en résulte : (1)

iπ ν

(1)

Hν

(2)

( z ) , H–ν ( z ) = e

–i π ν

(2)

Hν

(z )

(127)

Les fonctions de Bessel de deuxième et de troisième espèce satisfont les relations de récurrence (118) où n = ν ∈  . D’autre part, on a : (1)

(1)

H ν ( –x + i 0 ) – Hν ( – x – i 0 ) = – 2  J–ν ( x ) + e (2)

(2)

H ν ( –x + i 0 ) – Hν ( – x – i 0 ) = 2  J–ν ( x ) + e

(131)

 π i ----π i ----2π- ν ( 1 ) π  i ---- e H ν ( z e 2 ) , – π < arg z < ----2 2  Kν ( z ) =   π –i ---π π π  – i ----- e 2- ν H ν( 2 ) ( z e–i ---2 ) , – ----- < arg z < π 2  2

–i π ν

H–ν ( z ) = e

, arg z < π

∈

La fonction K ν est connue sous le nom de fonction de Macdonald. Selon la définition, on a K – ν (z ) = Kν (z ), ν ∈  . D’après (126), on a pour chaque ν ∈  :

De (122) et (124), on a : Jν ( z ) J–ν ( z ) – e (1) H ν ( z ) = ------------------------------------------------------------ , i sin π ν

∉

–i ν π

iν π

Jν ( x )

, x>0

Jν ( x )

(132)

Il en résulte que Kn (z ), n ∈  est bien solution de (128). On a, selon la méthode utilisée plus haut : 1 K n ( z ) = --2 1 n + --- ( – 1 ) 2

n–1

∑

µ =0

∑

µ 0

µ

( – 1 ) ( n – µ – 1 )! z ----------------------------------------------- ---µ! 2

 

 

1 z -------------------------- ---µ ! ( n + µ )! 2

2µ + n

2µ – n

z n – ( – 1 ) log ---- I n ( z ) 2

{ ψ ( µ + 1 ) + ψ ( n + µ + 1 ) } (133)

–1

avec

∑

= 0 . D’où la représentation asymptotique :

µ =0

2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées Si, dans l’équation (121), on change z en tion de Bessel modifiée : z2

v ’’ + z v ’ –

(z 2

+

ν 2)

± i z, on obtient l’équa-

v=0

(128)

Les solutions de cette équation sont appelées fonctions de Bessel modifiées. 2.2.4.1 Fonctions de Bessel modifiées de première espèce

∑

µ 

 

–n

1 z ------------------------------------------- ---µ! Γ ( µ + ν + 1 ) 2 0

 

ν+2 µ

, arg z < π

(129)

définies dans  – ] – ∞, 0] pour chaque ν ∈  et qui sont des fonctions entières de ν pour z fixé. Pour chaque ν ∉  , le couple (Iν , I–ν ) est un système fondamental pour l’équation (128). Lorsque ν = n ∈  , on a I–n = In . On a facilement les relations :

La fonction K ν est analytique dans z + |z | ≠ 0 pour chaque ν ∈  et est une fonction entière de ν pour z fixé. Le couple (Iν , Kν ) est toujours un système fondamental pour l’équation (128), car W (Iν , Kν )(z ) = – 1 /z. Enfin, on a facilement les relations : (z ν Kν (z ))’ = – z ν Kν –1 (z ), (z –ν Kν (z ))’ = z –ν Kν +1 (z ), ν

∈

On en tire :

2ν K ν – 1 ( z ) – K ν + 1 ( z ) = – -------- K ν ( z ) z

(135)

De (131), on a : K ν ( – x + i0 ) – K ν ( – x – i0 ) = – i π  I – ν ( x ) + I ν ( x )  , x > 0 Remarque : selon (132), on appelle aussi Kν fonction de Bessel modifiée de troisième espèce.

(z ν Iν (z ))’ = z ν Iν – 1 (z ), (z –ν Iν (z ))’ = z –ν Iν + 1 (z ), donc

2ν I ν – 1 ( z ) + I ν + 1 ( z ) = 2 Iν′ ( z ) , I ν – 1 ( z ) – I ν + 1 ( z ) = -------- I ν ( z ) (130) z

A 160 − 18

, n  1, z → 0 (134)

K ν – 1 ( z ) + K ν + 1 ( z ) = – 2 K ν′ ( z )

Ce sont les fonctions : Iν ( z ) =

2 ( n – 1 )! z K 0 ( z )  log ---- , K n ( z )  -------------------- ---z 2 2

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FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier

On part de l’identité :

Ce sont les fonctions de Bessel pour lesquelles l’indice vaut ν = n + 1 /2, n ∈  . Dans ce cas, il est possible de les exprimer à l’aide des fonctions élémentaires. On a par un calcul direct :

1 1 ------------------------------------ = ---------------------------------------------------1 1 Γ (ν + µ + 1) Γ ν + --- Γ µ + --2 2



2 J 1 ( z ) = --------π z --2



12

sin z , J

1 – --2



2 ( z ) = --------π z



12

1 n + --2

= ( –1 )

n

Jν ( z ) = 12

 ----π-  2

z

1 n + --2

n

--------------- , n  0  -----------zdz   z  d

sin z

1 – n – --2

 

2 ( z ) = ----π

12

z

1 n + --2

n

----------------- , n  0  -----------zdz   z  d

cos z



(137)

On peut obtenir des formules analogues à (136) et (137) pour les autres fonctions de Bessel en remarquant que :



2



12



2 (2) iz e , H 1 ( z ) = i ---------π z --2



12

e

–i z



2



2 I 1 ( z ) = ---------π z --2



12

sin h z , I

1 – --2



2 ( z ) = ---------π z



12



12

cos z





12

e

Il existe de nombreuses représentations dans la littérature. Nous n’en donnerons que quelques-unes.

2.3.1 Fonctions de première espèce

ν

+1 1  --2-  2 ν – --J ν ( z ) = -------------------------------------  ( 1 – t ) 2 cos ( z t ) d t –1 1 π Γ  ν + ---  2

1 2 ν – --2

(1 – t )

dt

(139)

ν+2 µ



1 ---------------------------------------------------1 1 Γ ν + --- Γ µ + --2 2

 



+1

t

–1

2µ

1 2 ν – --2

(1 – t )

dt



∑

µ 0



µ

( –1 ) 2µ ----------------------------------------------------------------- ( z t ) dt 2µ 1 2 Γ ( µ + 1 ) Γ µ + --2





ν

où on a utilisé la formule de duplication de Legendre pour la fonction 1–2 µ 1 Γ : Γ ( µ ) Γ µ + --- = 2 π Γ ( 2 µ ) . L’interversion de la somma2 tion et de l’intégration est justifiée par le fait que :



z 2µ --2 ---------------------------------1 µ! Γ µ + --2





=





+1 –1

t

+1 –1

2µ

2

(1 – t )

1 2 Re ν – --2

(1 – t )

1 Re ν – --2

∑

µ 0

1 = --------π



1 = --------π



+1 –1

1 2 Re ν – --2-

(1 – t )

–1

1 ----------------------------------------------------------------- z t 2µ 1 2 Γ ( µ + 1 ) Γ µ + --2



∑ µ

+1

1 2 Re ν – --2-

(1 – t )

dt

2µ

( z t) ------------------------( 2 µ )! 0



2µ



dt

cos h ( z t ) d t < + ∞

Posant t = cos τ dans (138), on a aussi :

On a la représentation suivante pour la fonction de Bessel de première espèce :

1 arg z < π , Re ν > – --2

1 2 ν – --2

(1 – t )

–z

2.3 Représentations intégrales

z

–1

z

∑

π K 1 ( z ) = ---------2 z ---

2µ

+1 1  --2-  2 ν – --= ------------------------------------  ( 1 – t ) 2 cos ( z t ) d t –1 1 π Γ  ν + ---  2

µ 0

cos h z ,

2

+1



,

2 N 1 ( z ) = – ---------π z ---

t

ν

z



2 (1) H 1 ( z ) = – i ---------π z ---

 

 --2-  = ------------------------1 Γ  ν + ---  2

en faisant ν = – 1 /2 dans d n ν ν– n -------------  z J ν ( z )  = z J ν – n ( z ) , n  0 , obtenue à partir de la zdz formule (117).



µ 

µ

z ( –1 ) --------------- --µ! 2 0





J

∑

(136)

en faisant ν = 1 /2 dans la relation suivante : d n –ν n –ν – n -------------  z J ν ( z )  = ( – 1 ) z J ν + n ( z ) , n  0 , obtenue par zdz application répétée de la seconde formule (117) où n = ν. De même





+1

–1

qui est une conséquence de la formule généralisée des compléments. Substituant (139) dans (120), on obtient :

cos z

On trouve facilement : J

 





(138)

ν

π  --2-  2ν J ν ( z ) = ------------------------------------  sin τ cos ( z cos τ ) d τ 1 0 π Γ  ν + ---  2

z

(140)

1 arg z < π , Re ν > – --2

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A 160 − 19

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

Comparant avec (79) où α = ν + 1 /2, γ = 2 ν + 1, on trouve :

On déduit de (138) et de la définition de Iν : z ν ---2 I ν ( z ) = -----------------------------------1 π Γ ν + --2

  





+1

1 2 ν – --2-

(1 – t )

–1

2 i i (z – ν (1) H ν ( z ) = – --------- e π

cos h ( z t ) d t



π

0

cos ( z sin θ – n θ ) d θ , z

∈ , n  0

2.3.2 Fonctions de troisième espèce (2)

(1)

admettent respectivement les repré-

– i νπ

 

2e z (1) H ν ( z ) = -------------------------------------- --2 1 i π Γ ν + --2





ν



+∞

e

1

iz t

1 ν – --2

2

(t – 1)

1 Re ν > – --- , I m z > 0 2 i νπ

 

2e ) = – -------------------------------------1 i π Γ ν + --2 1 Re ν > – --- , 2





z --2

ν



+∞

e

1

–i z t

2

(t –

1 ν – --1) 2

π



i ----2 i –i ( z – νπ ) 2 ν (2) 1 H ν ( z ) = --------- e ( 2 z ) Ψ ν + --- , 2 ν + 1 ; 2 e z 2 π

 (146)

– π < arg z < π La représentation (78) fournit :



+∞

1 1 1 ν – --2 i t z ν – --1 e t 2 (1 + t ) 2 dt Ψ ν + --- , 2 ν + 1 ; – 2 i z = ------------------------1 2 0 Γ ν + --2 1 Re ν > – --- , I m z > 0 2









1 D’où (143) après avoir fait le changement de variable t Œ --- ( t – 1 ) . 2 On obtient de même (144) à partir de (146). De (132), (143) et (144), on obtient pour la fonction de Macdonald :

dt (143)

(2) H ν (z

π – ----- < arg z < π 2

(142)

Il est facile de vérifier que l’intégrale est une solution de l’équation (121) où ν = n ∈  et, d’après (123), son comportement à l’origine indique bien qu’il s’agit, à un facteur près, d’une fonction Jn .

Les fonctions H ν et H ν sentations intégrales :



De même :

Mentionnons également la représentation suivante de la fonction de Bessel d’indice entier : 1 J n ( z ) = ----π



(145)

(141)

1 arg z < π , Re ν > – --2

π ν 1 – ---( 2 z ) Ψ ν + --- , 2 ν + 1 ; 2 e i 2 z 2

π)

π z K ν ( z ) = ------------------------- ---2 1 Γ ν + --2





 



ν

+∞

1

e

–z t

2

1 ν – --2

(t – 1)

dt

1 Re ν > – --- , Re z > 0 2

(147)

dt (144)

Im z < 0

2.4 Comportement asymptotique

Démontrons (143). De (126) et (112), on a : (1) H ν (z

– i νπ

 

e –i z z --) = – --------------------------------------------------- e i sin ν π Γ ( ν + 1 ) 2

 

1 –i z z --+ -------------------------------------------------------- e 2 i sin ν π Γ ( – ν + 1 )

ν

–ν



1 Φ ν + --- , 2 ν + 1 ; 2 i z 2





1 Φ – ν + --- , – 2 ν + 1 ; 2 i z 2

arg z < π

µ

( –1 ) 1 ( ν , 0 ) = 1 , ( ν , µ ) = --------------- --- – ν µ! 2

Mais de (56), on a :



1 Φ ν + --- , 2 ν + 1 ; 2 i z 2



Les représentations asymptotiques qui suivent décrivent le comportement des fonctions de Bessel et des fonctions de Bessel modifiées lorsque |z | → + ∞ pour ν fixé. Grâce aux formules (145) et (146), ce sont les fonctions de Hankel qui apparaissent le plus faciles à traiter, puisqu’on peut bénéficier directement du développement asymptotique de la fonction Ψ. On a, compte tenu de (90) et avec les notations suivantes :

 = e2 i z Φ  ν + 1--2- , 2 ν + 1 ; –2 i z 



2 (1) H ν ( z ) = ---------π z



12

π π i z – ----- ν – ----2 4

e

n

∑

D’autre part, la formule des compléments implique :

π π sin ( ( ν + 1 ) π ) Γ ( ν + 1 ) = ----------------- , sin ( ν π ) Γ ( 1 – ν ) = -------------- , Γ ( –ν ) Γ (ν) donc : (1) Hν





2 (2) H ν ( z ) = ---------π z

A 160 − 20

1



µ

( –1 ) ( ν , µ ) ( 2 i z )



12

e

π π – i z – ----- ν – ----2 4





 







1 + O ----------------n+1 z

–µ

1 + O ----------------n+1 z

(148)



n

∑



–µ

(ν, µ) (2 iz )

µ=0

i νπ  e Γ ( ν ) –2 ν 1 + ---------------------------- z Φ – ν + --- , – 2 ν + 1 ; – 2 i z  2 π 



µ  --2- + ν µ , µ  1

µ =0

i i ( z – νπ ) ν ( z ) = – --------- e (2 z ) π  Γ ( –ν ) 1 - Φ ν + --- , 2 ν + 1 ; – 2 i z  -------------------2ν 2  π 2





z → + ∞ , arg z  π – δ

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(149)

___________________________________________________________________________________

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL

(2)

Remarques : le développement asymptotique de H ν est obtenu en changeant i en – i (1) dans celui de H ν . A priori, le domaine de validité de (148) est δ  arg z  π – δ ; mais on peut l’étendre à arg z  π – δ en considérant une intégrale de Laplace oblique pour définir la fonction Ψ. Même observation au sujet de (149).

K ν (z ) = e

–z

π

 ------2z 

Les formules (125) associées aux précédentes donnent les développements asymptotiques respectifs de Jν et Nν :



2 J ν ( z ) = ---------π z



π π cos z – ----- ν – ----2 4

12



∑ n

( –1 ) ( ν , 2 µ ) ( 2 z )

–2 µ

µ= 0







12

n



1 + O -------------------2n + 2 z

π π sin z – ----- ν – ----2 4



µ

∑



( – 1 ) ( ν ,2 µ + 1 ) ( 2 z )

π π cos z – ----- ν – ----2 4

12





n

(150)

– 2µ – 1



1 + O -------------------2n + 3 z





µ

∑

( –1 ) ( ν , 2 µ + 1 ) ( 2 z )



–2 µ–1

1 + O -------------------2n + 3 z

µ=0



2 + ---------π z

∑



12

π π sin z – ----- ν – ----2 4

µ

–2 µ

n



( –1 ) ( ν , 2 µ ) ( 2 z )

µ =0





(151)



1 + O -------------------2n + 2 z



z



1 --------------2π z



+ e–z + i π  ν + --2-  1

∑

12

µ

( –1 ) ( ν , µ ) ( 2 z )

–µ

µ= 0

ε (z )

 --------------2π z  1

12





1 + O ----------------n+1 z

n

∑

(ν, µ) (2 z )

µ= 0

z → + ∞ , arg z  π – δ

(153)

z → + ∞ , arg z  π – δ

–µ



Notant Zν (z ) une solution non réduite à zéro de l’équation (121), alors un zéro z 0 ≠ 0 de cette fonction, s’il existe, est nécessairement simple. Car si Z ν (z 0) = 0 et Z ν′ ( z 0 ) = 0 , alors Z ″ν ( z 0 ) = 0 (m ) d’après (121) et donc, par récurrence Z ν ( z 0 ) = 0, m  0 , ce qui impliquerait Z ν (z ) = 0 identiquement, contrairement à l’hypothèse.

Dans la suite, on suppose ν ∈  et Z ν = Jν . Donnons un résultat dû à Bessel et Lommel : l’équation Jν (z ) = 0 possède une infinité de racines réelles pour chaque ν ∈  . Il suffit de montrer la propriété pour – 12 < ν  12 , car les relations (117) où n = ν, associées au théorème de Rolle, fournissent le résultat pour les autres valeurs de ν. On utilise la représentation (138) et on montre que Jν (x ) a un nombre impair de 1 zéros dans l’intervalle ( n + --- ) π , ( n + 1 ) π pour chaque n ∈  . 2





1 x = n + --- θ π , 0  θ  1 , 2

Posant







π ν 2 ----4 J ν ( x ) = -------------------------------------------------------------ν 1 π Γ ν + --- ( 2 n + θ ) 2

   



2 n+θ

0

1 + O ----------------n+1 z



(152)

 ( 2 n + θ )2 – ξ2 

1 ν – --2

π cos ----- ξ d ξ 2





π Lorsque n = 0, on a Jν (x ) > 0, 0  x  ------ . Pour n  1 , on écrit 2 l’intégrale, notée Ln , sous la forme : n

∑ ( –1 )

Ln =

λ

n

a λ + ( –1 ) bn

λ =1

avec : λ

( –1 ) a λ =

où :  +1 ε (z ) =   –1



1 n π  x  n + --- π ; on a : 2

On en déduit le comportement asymptotique des fonctions modifiées : Iν ( z ) = e



1 + O ----------------n+1 z

c’est-à-dire :

z → + ∞ , arg z  π – δ

n

–µ

2.5.1 Généralités

z → + ∞ , arg z  π – δ



(ν, µ) (2 z )

µ= 0

2.5 Zéros des fonctions de Bessel





µ =0

2 N ν ( z ) = ---------π z

n

∑



µ

2 – --------π z



12

, Im z > 0 , Im z < 0



2λ

(2 n + θ)

2λ – 2

2

–ξ

1 --2 ν–2

π cos ------ ξ d ξ 2

1 2 ν – --2-

π cos ------ ξ d ξ 2







1λn n

( –1 ) bn =



2n + θ

(2 n + θ)

2n

2

–ξ







Or, on a : λ

( –1 ) a λ =



2λ – 1

2λ – 2

+



2λ

2λ – 1

= ( –1 )

λ



1

0

π ρ λ ( η ) sin ------ η d η 2

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A 160 − 21

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES FONCTIONS DE BESSEL ____________________________________________________________________________________

En ce qui concerne I ν , cette fonction n’a que des zéros purement imaginaires si ν > – 1. Quant à la fonction de Macdonald K ν , elle n’a pas de zéro dans le demi-plan Re z  0 , si ν ∈  . Pour Re z > 0, c’est évident d’après (147), si ν > – 1 /2 et, si ν  – 12 , la propriété sera admise, car elle fait appel à une représentation intégrale que l’on n’a pas donnée. Lorsque Re z = 0 et ν ∈  , on a, d’après (131) :

après avoir posé successivement : ξ = 2 λ – 1 – η et ξ = 2 λ – 1 + η et où on a noté : 1 2 ν – --2-

2

ρ λ (η) = (2 n + θ) – (2 λ – 1 + η) 

1 2 ν – --2-

2

– (2 n + θ) – (2 λ – 1 – η) 

K ν ( i y ) Kν ( –i y ) = Kν ( i y )

π ----2 2 2 - J ν ( y ) + J – ν ( y ) – 2 cos ( ν π ) J ν ( y ) J – ν ( y )  , y > 0 = ---------------------2 sin ν π

 

1 Or, lorsque ν  --- , la fonction λŒ ρ λ est positive et non décrois2 sante pour λ  1 . Il en résulte que la suite {a λ} est non décroissante

Mais selon (122), on parvient à écrire :

et ainsi, puisque bn > 0, le signe de Ln est le signe de (–1)n, car on peut écrire : n–1 n

( –1 ) Ln =

∑ ( –1 )

λ

La continuité de Jν permet de conclure. Indiquons un autre résultat : lorsque ν > – 1, la fonction Jν n’a pas de zéro complexe. Soit z 0 un tel zéro, avec Im z 0 ≠ 0. Alors Re z 0 ≠ 0 car Jν (iy ) ≠ 0 pour y ≠ 0. D’autre part, le conjugué z 0 est aussi un zéro de Jν et, puisque ν > – 1, z 0 – z 0 ≠ 0 , on a : 2



Kν ( i y )

a n – λ + b n > 0, n  1

λ=0

2



z

t Jν ( z 0 t ) Jν ( z 0 t ) d t = 0

ce qui est contradictoire avec t J ν ( z 0 t ) J ν ( z 0 t ) > 0 dans ]0, 1[. Les fonctions Jν et Jν + 1 ont leurs zéros positifs entrelacés ; précisément, entre deux zéros consécutifs de Jν , il y a un zéro et un seul de Jν +1 et, entre deux zéros consécutifs de Jν +1 , il existe un zéro et un seul de Jν . C’est une conséquence des relations (117) (où n = ν ) et du théorème de Rolle. D’ailleurs, ces relations sont valables pour une solution quelconque de l’équation (121) ; il en résulte que les deux fonctions réelles Z ν et Z ν + 1 où Z ν (x ) = α Jν (x ) + β Nν (x ), α, β ∈ , ν ∈  ont leurs zéros positifs entrelacés. Deux solutions réelles linéairement indépendantes de l’équation (121) ont aussi leurs zéros positifs entrelacés. Car, notant :

arg z < π , Re ν > 0

∈,

2ν 2 z V ′ ( z ) + V ( z ) = – -------- u ( z ) , z ≠ 0 z 1 1 ∂ u (z ) Il suffit de multiplier par --- ------------------- l’équation (121) et par --- u ( z ) ∂ν z z l’équation obtenue en la dérivant par rapport à ν, puis de soustraire membre à membre. On en tire, si u = J ν et en supposant Re ν > 0 , arg z < π



z

(1)

En deux zéros positifs consécutifs de Z ν ( x ) = 0 , la dérivée (1) Z ν ′ prend des valeurs de signes opposés, donc, selon la (2) relation précédente, Z ν ( x ) prend aussi des valeurs de signes (2) opposés ; ainsi Z ν possède au moins un zéro entre ces deux (1) Zν .

racines consécutives de Le même raisonnement fait avec (2) Z ν montre que ce zéro est unique, d’où le résultat. (1)

(2)

En particulier, prenant Z ν = J ν et Z ν = N ν , on voit que Nν possède une infinité de zéros positifs.

A 160 − 22

2

Jν ( t ) ∂ Jν ( z ) ∂ J ′ν ( z )   ----------------- d t = – z  J ′ν ( z ) --------------------- – J ν ( z ) ----------------------t ∂ν ∂ ν  0  ν Compte tenu de J ν′ ( z ) = --- J ν ( z ) – J ν + 1 ( z ) , on obtient (154) z Soit maintenant j = j (ν ) pour ν > 0 un zéro positif quelconque de Jν : Jν (j (ν )) = 0. On a : 2ν

∂ Jν ( z ) J ν′ ( j ) j ′ ( ν ) + --------------------∂ν

on a pour le

2 (α 1 β 2 – β 1 α 2) (1) (2) (2) (1) Z ν ( x ) ( Z ν ( x ) )′ – Z ν ( x ) ( Z ν ( x ) )′ = -----------------------------------------------πx

(154)

Si u désigne une solution quelconque de l’équation (121), on a, ∂ u (z ) ∂ u ′ (z ) en posant V ( z ) = u ′ ( z ) ------------------- – u ( z ) --------------------- : ∂ν ∂ν

Z ν ( x ) = α 1 J ν ( x ) + β 1 N ν ( x ) et Z ν ( x ) = α 2 J ν ( x ) + β 2 N ν ( x ) ,

α i , β i ∈  (i = 1, 2) avec α 1 β 2 – β 1 α 2 ≠ 0 et ν wronskien de ces deux solutions :

2 2  Jν ( y ) + Nν ( y )  > 0

∂ Jν ( z ) ∂ Jν + 1 ( z )  1 z  2 = -------  J ν + 1 ( z ) ---------------------- – J ν ( z ) -----------------------------  + -------- J ν ( z ) , ∂ν ∂ν 2ν   2ν

(2)

(1)

2

2

1

0

 

Jν ( t ) -----------------dt t 0

identité qu’il est facile de vérifier en dérivant les deux membres. On en tire :



π = ----2

Indiquons d’abord une identité importante :

t Jν ( z 0 t ) Jν ( z 0 t ) d t x = -------------------- { J ν ( z 0 x ) J ν′ ( z 0 x ) – J ν ( z 0 x ) J ν′ ( z 0 x ) } , x > 0 2 2 z 0– z 0

2

2.5.2 Propriété des zéros positifs de Jν pour ν > 0

x

0

2

2

= 0 z= j

(car la fonction j est analytique, puisque Jν (z ) est analytique par rapport à ν et z ). D’autre part, il est clair que J ν′ ( j ) = – J ν + 1 ( j ) ≠ 0 tant que j ≠ 0. On a ainsi de (154)



j

2

∂ Jν ( z ) Jν ( t ) j ---------------- d t = -------- J ν + 1 ( j ) --------------------∂ν t 2ν 0

c’est-à-dire : 2ν j′ ( ν ) = -------------------------------------------------2 j (ν ) J ν + 1 (j (ν ))

z= j



j 2 = -------- J ν + 1 ( j ) j ′ 2ν

j (ν ) 2 jν

0

(t ) ---------------- d t t

Par conséquent, la fonction j est croissante pour ν > 0.

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(155)

P O U R

Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel

E N par

Pascal MARONI Docteur ès sciences mathématiques Directeur de recherche au CNRS

Bibliographie Références [1] [2]

LEBEDEV (N.N.). – Special functions and their applications, Dover (1972). TRICOMI (F.G.). – Fonctions hypergéométriques confluentes. Mémorial des sciences mathématiques 140, Gauthier-Villars (1960).

DIEUDONNÉ (J.). – Calcul infinitésimal. Hermann (1968). GOSTIAUX (B.). – Cours de mathématiques spéciales, tome 2 Topologie, analyse réelle ; tome 3 Analyse fonctionnelle et calcul différentiel. PUF (1993).

Monographies

COPSON (E.T.). – An introduction to the theory of functions of a complex variable. Oxford University Press (1935) (réimprimé en 1970). CARTAN (H.). – Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann (1961).

KAMPÉ DE FÉRIET (J.). – La fonction hypergéométrique. Mémorial des sciences mathématiques 85, Gauthier-Villars (1937). APPELL (P.) et KAMPÉ DE FÉRIET (J.). – Fonctions hypergéométriques et hypersphériques. Polynômes d’Hermite. Gauthier-Villars (1926).

Doc. A 160

4 - 1997

Ouvrages généraux

WHITTAKER (E.T.) et WATSON (G.N.). – A course of modern analysis. Cambridge Univ. Press, 4e édition (1928). HILLE (E.). – Ordinary differential equations in the complex domain. Wiley-Interscience Publ. (1976). WANG (Z.X.) et GUO (D.R.). – Special functions. World Scientific Publ. (1989). PETIAU (G.). – La théorie des fonctions de Bessel. CNRS (1955). WATSON (G.N.). – A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge Univ. Press, 2e édition (1966).

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales

Doc. A 160 − 1

S A V O I R P L U S