Cours RDM Et Exercice L3 GC SJP 2015 PDF [PDF]

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RESISTANCE DES MATERIAUX COURS ET EXERCICES

L

Pr T. BEDA

RDM

SOMMAIRE PARTIE I : RESISTANCE DES MATERIAUX 1. NOTIONS GENERALES DE LA RDM ........................................................................... 4 1.1. Hypothèses de la RDM ................................................................................................ 4 1.1.1. Homogénéité. ....................................................................................................... 4 1.1.2. Isotropie. ............................................................................................................... 4 1.1.3. Les corps étudies sont des poutres. ...................................................................... 4 1.1.4. Hypothèse de Bernoulli. ....................................................................................... 5 1.1.5. Hypothèse de Hooke (linéarité)............................................................................ 5 1.1.6. Les forces extérieures sont appliquées lentement de telle sorte qu’à chaque instant le corps puisse être considéré comme en équilibre statique. .................................. 5 1.2. Définitions ................................................................................................................... 5 1.2.1. Traction ................................................................................................................ 5 1.2.2. Compression. ........................................................................................................ 5 1.2.3. Cisaillement .......................................................................................................... 5 1.2.4. Torsion ................................................................................................................. 5 1.2.5. Flexion .................................................................................................................. 6 1.2.6. Isostatisme ............................................................................................................ 6 1.2.7. Hyperstatisme ....................................................................................................... 6 1.3. Contrainte, effort longitudinal, effort tranchant, moment fléchissant et moment de torsion ..................................................................................................................................... 6 1.3.1. Torseur relatif à une section d’un corps ............................................................... 6 1.3.2. Contraintes ........................................................................................................... 7 2. TRACTION-COMPRESSION .......................................................................................... 8 2.1. Essai de traction ........................................................................................................... 8 2.2. Module d’élasticité longitudinal ou module de Young ............................................... 9 2.3. Condition de résistance ................................................................................................ 9 2.4. Compression ................................................................................................................ 9 2.5. Barre d’égale résistance ............................................................................................. 10 3. LE CISAILLEMENT ....................................................................................................... 11 3.1. Essai de cisaillement. ................................................................................................. 11 3.2. Module d’élasticité transversal ou module de coulomb ............................................ 12 3.3. Coefficient de Poisson ............................................................................................... 12 4. LA TORSION .................................................................................................................. 13 4.1. Essai ........................................................................................................................... 13 4.2. Equation de contrainte ............................................................................................... 13 4.3. Equation d’équilibre .................................................................................................. 14 5. LA FLEXION SIMPLE ................................................................................................... 15 5.1. Caractéristiques géométriques des sections planes. .................................................. 15 5.1.1. Moment statique d’une aire plane ...................................................................... 15 Page 1/50

T. BEDA 5.1.2. Moment d’inertie axial (moment quadratique) .................................................. 16 5.1.3. Moment produit ou moment d’inertie centrifuge ............................................... 16 5.1.4. Relation entre moments d’inertie lors d’une rotation des axes du repère .......... 16 5.1.5. Axes principaux et moments d’inertie principaux ............................................. 17 5.1.6. Moment d’inertie polaire I0 d’une surface plane S ou moment d’inertie par rapport à un axe perpendiculaire à son plan ..................................................................... 17 5.2. Flexion simple ........................................................................................................... 17 5.2.1. Flexion pure........................................................................................................ 17 5.2.2. Flexion plane ...................................................................................................... 18 5.2.3. Flexion gauche ................................................................................................... 18 5.3. Relation entre moment fléchissant et effort tranchant ............................................... 18 5.4. Etude de la contrainte ................................................................................................ 19 5.4.1. Contrainte normale en fonction du moment fléchissant..................................... 19 5.4.2. Equilibre des moments par rapport à l’axe Gz ................................................... 19 5.4.3. Condition de résistance ...................................................................................... 20 5.5. Etude de la déformation ............................................................................................. 20 5.6. Equation de la déformée y=f(x) ................................................................................. 20 5.7. Charges reparties ....................................................................................................... 21 5.7.1. Propriétés de charges reparties ........................................................................... 21 5.7.2. Calcul de l’effort tranchant et du moment fléchissant ....................................... 21 5.8. Poutres d’égale résistance .......................................................................................... 22 5.8.1. Poutre de hauteur constante (h constante)....................................................... 23 5.8.2. Poutre de largeur constante (b constante) ....................................................... 23 5.9. Influence des caractéristiques de la poutre sur la flèche ........................................... 23 6. SOLLICITATIONS COMPOSEES ................................................................................. 26 6.1. Contraintes de même nature ...................................................................................... 26 6.1.1. Combinaison de contrainte normale agissant sur une même section ................. 26 6.1.2. Combinaison de contrainte de glissement agissant........................................ 29 6.2. Contraintes de nature différente ................................................................................ 30 6.2.1. Matériaux isotropes et ductiles (Rtraction = Rcompression) ....................................... 30 6.2.2. Matériaux non ductiles ....................................................................................... 30 6.3. Noyau central ............................................................................................................. 30 7. LE FLAMBEMENT ........................................................................................................ 32 7.1. Hypothèse de l’étude : Théorie d’Euler ..................................................................... 32 7.2. Charge critique d’Euler ............................................................................................. 32 7.3. Poutre dont les deux extrémités sont parfaitement encastrées .................................. 34 7.4. Longueur libre de flambage ....................................................................................... 35 7.5. Elancement ................................................................................................................ 35 7.6. Résistance au flambage ............................................................................................. 36 7.6.1. Coefficient de sécurité ........................................................................................ 36 7.6.2. Elancement critique c ....................................................................................... 36

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RDM 7.6.3. Résistance au flambage (Euler) .......................................................................... 37 8. EXERCICES .................................................................................................................... 38 15. BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................... 50

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T. BEDA

1.

NOTIONS GENERALES DE LA RDM

La RDM étudie les conditions d’équilibre des solides (poutres d’un pont, arbre d’une machine, ossature d’un bâtiment, d’un barrage etc.) afin que ces derniers supportent les forces auxquelles ils sont soumis dans les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique. Elle établit les relations mathématiques qui existent entre les dimensions d’un solide, les contraintes et les déformations qu’il subit. Il s’agira souvent : - Soit de déterminer les dimensions d’un corps connaissant la nature du matériau et les forces appliquées - Soit connaissant à priori les dimensions, de déterminer les contraintes et les déformations en tenant compte des conditions de sécurité.

1.1.

Hypothèses de la RDM Des hypothèses simplificatrices servent de base aux fondements de la RDM.

1.1.1. Homogénéité. Le matériau est supposé homogène, c’est à dire en chacun de ses points il possède la même propriété et la même structure. 1.1.2. Isotropie. Il (matériau) est dit isotrope : c’est-à-dire possède les mêmes propriétés mécaniques quelque soit la direction choisie. 1.1.3. Les corps étudies sont des poutres. Ce sont les corps dont une dimension est plus importante que les autres (Le rapport dimension transversale sur longueur du corps doit être petit, de l’ordre de 1/10 ou 1/15). On parlera alors de dimension longitudinale, transversale. Exemples de poutres droite et courbe Poteau; arbre de machine, arc,…etc. Poutre béton lisse

Poutre en béton

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Tubes

Poutre gym (bois)

Poutre IPN

Poutre UPN

Poutres en bois

RDM 1.1.4. Hypothèse de Bernoulli. Au cours des déformations de la poutre, les sections planes et perpendiculaires à l’axe longitudinal (ligne moyenne), demeurent planes et perpendiculaires à l’axe et conservent leurs dimensions. NB : La ligne moyenne est le lieu des centres de gravites des sections. L’axe longitudinal est un cas particulier de ligne moyenne. 1.1.5. Hypothèse de Hooke (linéarité). Dans le domaine élastique, les forces intérieures et les déformations sont proportionnelles aux forces extérieures. Les déformations et les contraintes sont donc proportionnelles entre elles. 1.1.6. Les forces extérieures sont appliquées lentement de telle sorte qu’à chaque instant le corps puisse être considéré comme en équilibre statique. Conséquence de l’hypothèse de Hooke : Si on supprime les forces extérieures, les contraintes et déformations disparaissent. Principe de la superposition des forces : dans le domaine élastique la somme des forces extérieures entraîne la somme des contraintes et la somme des déformations. Forces extérieures contraintes, déformations

1.2.

Définitions

1.2.1. Traction Il y a traction lorsqu’un corps est soumis à une force qui tend à l’allonger. F 1.2.2. Compression. Un corps est soumis à un effort de compression lorsque cet effort tend à le raccourcir. F 1.2.3. Cisaillement Un corps est soumis à un effort de cisaillement si cet effort tend à le séparer en deux tronçons glissant l’un par rapport à l’autre suivant le plan d’une section droite.

F 1.2.4. Torsion Un corps est sollicité en torsion lorsqu’il est soumis à un couple qui tend à faire tourner la section droite autour d’un axe perpendiculaire à son plan. Page 5/50

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F Mf F 1.2.5. Flexion Un corps est soumis à un effort de flexion lorsque la résultante des forces appliquées (coplanaires) comporte un moment fléchissant.

Mf

1.2.6. Isostatisme Il y a isostatisme lorsque les équations de la statique permettent à elles seules de déterminer toutes les actions de liaisons du corps étudié. Forces extérieures = 0 et Moment des forces extérieures = 0.

1.2.7. Hyperstatisme Il y a hyperstatisme lorsque ces équations ne permettent pas de les déterminer. Dans ce cas le nombre d’équations fourni par la statique est inférieur au nombre d’inconnues : ces inconnues étant les actions de liaison. La RDM fournit des équations supplémentaires permettant de s’affranchir de cette difficulté.

1.3. Contrainte, effort longitudinal, effort tranchant, moment fléchissant et moment de torsion 1.3.1. Torseur relatif à une section d’un corps Soit une poutre en équilibre sous l’action des forces F1, F2, F3, F4, F5

F3

F

F5

1

B

A F2

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F4

RDM Considérons la partie A (bloc de gauche). La résultante R aura pour origine G. Le moment résultant sera la somme des moments des forces extérieures par rapport à G. La résultante R peut se décomposer en deux forces : F1 F2 T

R

G N

Mf

-

Mt

- Une force N tangente à la ligne moyenne et par conséquent normale à la section S : elle est appelée effort longitudinal. Une force T située dans le plan de la section : c’est l’effort tranchant.

M

Le moment résultant M peut se décomposer en deux moments : - Un moment Mt porté par la tangente à la ligne moyenne : c’est le moment longitudinal ou moment de torsion. Un moment Mf perpendiculaire à la ligne moyenne : c’est le moment fléchissant ou moment de flexion.

1.3.2. Contraintes Soit une surface élémentaire dS autour d’un point a de S, soit dF l’action de la partie B sur A relativement à dS. La contrainte relative à cette facette est par définition la limite vers laquelle tend le rapport

dS

dF . dS

Quand dS tend vers 0, c’est un vecteur qui a pour origine le point a et le sens de la force d F . -

est la contrainte tangentielle ou contrainte de glissement ou scission. est la contrainte normale.

Facette

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2. TRACTION-COMPRESSION 2.1.

Essai de traction Eprouvette cylindrique S0 F

L0

Courbe obtenue expérimentalement : F

B

Fm A Fe

L

O

Re

Fe S0

OA : Phase réversible, L est proportionnelle à F (loi de Hooke). Si on supprime l’effort, l’éprouvette reprend sa forme initiale Lo. Par définition on appelle limite d’élasticité la valeur :

(1)

So est la section de l’éprouvette AB : Phase de déformation permanente. Dès que F > Fe, il y a allongement brusque de l’éprouvette, le phénomène n’est plus réversible et L n’est plus proportionnelle à F. Fm est la charge maximale supportée. Par définition on appelle résistance à la traction la valeur : Rm

Fm S0

(2)

Le point B : Au point B la matière s’écoule comme un corps plastique, l’éprouvette s’allonge même si la charge décroît : c’est le phénomène de striction.

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RDM

2.2.

Module d’élasticité longitudinal ou module de Young

Dans le domaine élastique on sait que l’allongement est proportionnel à la force: L c’est-à-dire que F = . La contrainte longitudinale est donnée par : k F S0

F S0

L kS0

L0 L kS0 L0

L = k F,

(3)

L0 kS0

L L0

(4)

L0/kS0 est une constante notée E, c’est-à-dire que E

L0 . E est le module de Young. D’où : kS0

E

(5)

Cette relation est la loi Hooke. Exemples Pour l’acier E = 21 1010 Pa; Pour la fonte E = 16 1010 Pa; Pour l’aluminium E = 7.5 106 Pa

2.3.

Condition de résistance

Pour être dans le domaine élastique, la contrainte longitudinale limite d’élasticité Re, c’est-à-dire : σ Re Pour qu’il n y ait pas détérioration de l’éprouvette, la contrainte c’est-à-dire : σ Rm

doit être inférieure à la (6) doit être inférieure à Rm, (7)

C’est la condition de résistance à la traction. On définit à cause de l’incertitude, la limite pratique p de la contrainte normale admissible dans une section droite. Elle est donnée par : Re (8) p est appelé coefficient de sécurité. D’où la condition de sécurité : p

2.4.

(9)

Compression

On peut considérer la compression comme un phénomène symétrique (dual) de la traction si la poutre n’est pas trop longue par rapport à la dimension transversale. Dans ce cas la contrainte et la déformation sont négatives par convention. Notons que les limites d’élasticité en traction et en compression peuvent être différentes.

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2.5.

Barre d’égale résistance

On appelle barre d’égale résistance en traction (compression) une barre qui présente dans chaque section transversale des contraintes constante égales à la contrainte admissible. L’aire F de la section transversale d’une telle barre, figure ci-contre, varie suivant la fonction : z

F

Aire minimale :

F z

F0e

F0

a

P a L

Aire maximale :

Fmax

Exemples d’application Tours de réfrigération d’une centrale nucléaire

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F0e

a

RDM

3. LE CISAILLEMENT

T dx

T C

A

dy

C’

T

T

3.1.

dx = AC : distance entre deux sections droites très proches dy = CC’ : glissement des deux sections droites l’une par rapport à l’autre T : effort tranchant : angle de glissement est supposé petit (tg )

Essai de cisaillement.

Le diagramme de cisaillement, diagramme de l’effort tranchant en fonction de l’angle de glissement a même allure que celui de la traction. T B Tm Te

A

O

On a :

T S0

(10) est la contrainte tangentielle. La limite d’élasticité au glissement (ou au cisaillement) est définie par : Te (11) Reg S0 La résistance de rupture au glissement est définie par : Tm Rrg S0

(12)

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3.2.

Module d’élasticité transversal ou module de coulomb

Les essais montrent que dans le domaine élastique T est proportionnel à tangentielle l’est également, d’où : G

donc la contrainte (13)

G est le module de coulomb. Le module de Young E est lié à celui de coulomb G par : E G (14) 2 1 est le coefficient de Poisson.

3.3.

Coefficient de Poisson

L'allongement d'une éprouvette provoque une contraction de ces dimensions transversales. Pour une section circulaire, Si le diamètre initial Do passe à D, alors on pose :

'

D D0 D0

(15)

Pour une section rectangulaire, si la hauteur passe de ao à a et l'épaisseur de bo à b alors on pose : a a0 b b0 (16) ' a0 b0 Le coefficient de poisson est donc définie par : '

étant la déformation longitudinale. pour les matériaux isotropes. Exemples Acier : 0.3 ; gomme : Remarque :

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zz =

yy =

est une grandeur adimensionnelle telle que : 0< Fc :

compression simple flexion de la poutre équilibre statique la flèche croit jusqu’à rupture.

La déformée est de la forme: y(x) = B sin x Que représente B ? Le maximum de la flèche est obtenu pour : sin x = 1 x

2

Or, on a:

L

(k = 1)

L 2 B est donc la flèche maximale au milieu de la poutre.

D’où:

x

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T. BEDA

L’équation de la déformée est :

7.3.

y

B sin

L

(74)

x

Poutre dont les deux extrémités sont parfaitement encastrées

Au point A : A

Fx ;

Au point B : B

Fx ;

A

A

B

B

z

z

B

B

La symétrie du problème A

G’

B

En G’, on a : M f

A

Fyz

x Mf

Fy

EI z y" A

A

D’où l’équation :

EI z y " Fy

(75)

Solution particulière :

y

(76)

F

Solution générale : y(x) = A cos x + B sin x + y

F

2

;

F EI z

(77)

Conditions aux limites : en A et en B, il n’y a ni flèche, ni rotation. y( 0 ) 0 y'( 0 ) 0

y L y'( L )

Les équations (78) et (80) Cas

k=1

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A

(78)

F B

Acos L Asin

F 0

B=0

(79)

=0

(80)

cos L = 1 2 L

(81) L = 2k

RDM 2

D’où, on tire la charge critique:

Fc

EI z

L 2

(82)

2

On peut avoir une écriture similaire au cas précédent en posant l

L , d’où : 2

2

Fc

EI z l2

l désigne la longueur libre de flambage et dépend de la nature des liaisons aux extrémités. Elle est également appelée longueur réduite.

7.4.

Longueur libre de flambage

-

Poutre articulée-articulée (A-A) :

-

Poutre encastrée-encastrée (E-E) :

-

Poutre encastrée-articulée (E-A) : Poutre encastrée-libre (E-L) :

l=L L l 2 l = 0,7 L l=2L

Les équations obtenues précédemment ne permettent pas le calcul de A et de . On a : A

et B = 0 F Pour F = Fc, on a L = 2 . D’où l’équation de la déformée : 1 cos x F La flèche est maximale lorsque : cos x = -1 x= ( = 2 /L) 2 Soit on a ymax à x = L/2. Alors : ymax . Notons que , donc A est indéfini. F y

7.5.

(83)

Elancement

En flambage, la charge critique d’Euler est donnée par : 2

Fc

EI z l2

La sollicitation de flambement suit et se compose à une sollicitation de compression. Quand est-ce que le calcul se fait en flambage ?

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T. BEDA En effet, on conçoit qu’une poutre courte et trapue doit être calculée en compression alors qu’une poutre longue et élancée doit l’être en flambage, d’où la notion d’élancement.

l r

On définit, pour une poutre, l’élancement :

(84)

l : longueur libre de flambage,

Iz (85) S Iz : moment d’inertie quadratique minimal de la section suivant l’axe principale perpendiculaire au plan de la déformation de flambage. r : rayon de giration de la section défini par :

7.6.

r

Résistance au flambage

7.6.1. Coefficient de sécurité On définit la charge axial limite (admissible) Fa par : Fc (86) Fa k k est le coefficient de sécurité, en général, on prend pour k le double du coefficient de sécurité habituel : k=2 , avec

e

(

e

: contrainte limite élastique,

pc

: contrainte limite

pc

élastique). D’où :

Fa

pc

2

7.6.2. Elancement critique c L’équation différentielle de la déformée est : -

-

Fc

(87)

e

EI z y"

M fz

Lorsque M f z 0 , on a y" 0 ; ce qui définit le point d’inflexion de la déformée. En ces points, seule la contrainte normale de compression est à prendre en compte: Fa . c S Lorsque M f z est maximum, on admet pratiquement que la contrainte normale totale atteindra le double de la contrainte de compression (un fait expérimental). Cette contrainte maximale 2 c doit alors être égale a la contrainte pratique de compression pc. 2 Fa (88) pc S

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RDM

pc

En remplaçant Fa par sa valeur ci-dessus, on obtient :

e 2

EI z l2

Fc

2

2

EI z 2 2 rl r2

eS

Fc S

e

S. Or, (89)

e

Cette relation fait apparaître la notion d’élancement critique poutre devra être calculée au flambage. 2

, soit donc Fc =

E 2

2 c

pc

c,

élancement à partir duquel la

E

(90)

e

7.6.3. Résistance au flambage (Euler) 2

La charge admissible Fa d’après Euler est, en considérant la charge critique Fc

EI z , l2

2

Fa

On sait que :

2 c

2

E e

et

2

l r

2

EI z l2

pc

2

e

(91)

l 2S , il vient que la charge admissible d’après Euler Iz

est : pc

Fa

2

S 2

2

EI z l2

(92)

c

-

Le numérateur pcS représente la force axiale que l’on pourrait appliquer en compression simple; Le dénominateur apparaît comme un terme correctif tenant compte de l’élancement de la poutre.

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T. BEDA

8. EXERCICES Exercice 1 Un élément de machine est constitué de deux pièces cylindriques distinctes, de même longueur L, dont une creuse 1 et l’autre pleine 2. Elles sont montées en « série » et soumise à une force F de traction, figure 1. Les caractéristiques sont indicées: Ej, Gj, Dj, Ij, I0j … j=1,2 F Figure 1

L

Figure 2

F

2 L

1

M 1

L

1

2

1

D2 D1 1) Donner la contrainte dans chacune des pièces. 2) Déterminer les allongements relatifs. Les pièces sont maintenant en « parallèle », figure 2. Par l’intermédiaire d’un plateau, elles sont soumises à la force F, le moment étant nul (M=0), figure 2. 3) Donner les contraintes dans chacune des pièces. 4) Déterminer les allongements relatifs. La force F est remplacée par un moment de torsion M 0, figure 2. 5) Déterminer l’angle maximal de torsion et les lieux correspondants. 6) Déterminer le déplacement maximal et les lieux correspondants. 7) Déterminer la contrainte maximale et les lieux d’application : a – sur la pièce 1. b – sur la pièce 2. 8) Discuter, en fonction des caractéristiques des matériaux, de la contrainte maximale globale et de la contrainte minimale globale. Exercice 2 Un fil en acier de longueur L=AB et de section S est lié en A et B par deux liaisons pivot parfaites. On suspend au milieu I du fil une masse de poids P et le fil prend la configuration élastique AiB, voir figure. Soit E le module de Young de l’acier. Le poids du fil est négligé. Les déformations sont supposées petites : tg ; sin ; cos 1- 2/2.

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RDM

α

α

I

A

B

i P

Figure

exprimer Ii

1) Exprimer l’effort normal N d’extension dans le fil en fonction de P et . 2) Exprimer l’allongement relatif L/L en fonction de . Puis en fonction de N. 3) En négligeant 2 par rapport à la valeur deux,

d en fonction de P.

Exercice 3 Une structure symétrique est formée de trois poutres 1, 2 et 3 suspendues à un bâti par des liaisons pivot sans adhérence, faisant un angle entre elles, de module de Young E, de section S, de résistance à la traction m. Elle est soumise à une force de traction verticale P , voir figure. 3

1

α

2 1) Déterminer la force Pi dans chacune des poutres. En déduire les contraintes. 2) Donner le critère de résistance dans chaque poutre en considérant le coefficient de sécurité α. 3) En déduire le critère de résistance de l’ensemble de la structure.

α

Figure

Exercice 4 Une barre étagée est formée de deux poutres en séries, de différentes épaisseurs h1 et h2, de mêmes caractéristiques suivantes : longueur L, largeur b, module de Young E. Elle est sollicitée en traction par un effort F, figure 1. h2

h2 F

h1 F

L

L

Figure 1

h2 Figure 2

Figure 3

1) Déterminer l’allongement de la barre. Pour la structure repliée, les deux poutres sont en parallèle. Elles sont soumises par l’intermédiaire d’un plateau à un même allongement , figure 2. 2) Déterminer la force nécessaire FN pour produire cet allongement des poutres. Pour la suite on met en parallèle deux barres étagées identiques, figure 3. Par l’intermédiaire d’un plateau, on les soumet à la traction de force F. 3) Donner les allongements des deux barres.

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T. BEDA Exercice 5 Deux plaques identiques rectangulaires de côtés a, b et d’épaisseur e, sont assemblées à l’aide d’un boulon, figure 1. L’écrou et la tête du boulon ont pour rayon R et le noyau pour rayon r. Le pas de vis est égal à p. e Pour un serrage convenable à partir du contact entre l’écrou, la tête et les plaques, on effectue un tour et demi de serrage. e b b 1) Donner les différentes sollicitations : a a - sur le boulon Figure 1 b - sur les plaques On soumet les plaques à des forces longitudinales F, figure 2. F

2) F

Figure 2

Donner les sollicitations qui s’ajoutent : asur le boulon bsur les plaques

3) Donner les contraintes dues aux forces F : a- dans le boulon b- dans les plaques On enlève la force (F=0) pour la suite. Soit e’ l’épaisseur des plaques après serrage. 4) Exprimer la variation de longueur L du boulon en fonction de la force de serrage N. 5) Exprimer la variation de l’épaisseur e des plaques en fonction de la force de serrage N. 6) Montrer qu’on a : L – 2 e = 1.5 p 7) Soit x = L – 2 e, donner x en fonction de N. En déduire l’effort N. Exercice 6 Un arbre étagé en acier, de caractéristiques E, G et , est sollicité en traction par un effort F , voir figure. 1) Déterminer l’allongement de l’arbre dû à cette traction. On remplace la force F par un couple de D D 1

l1

2

l2

Figure

torsion M = M x , voir figure. 2) Déterminer M pour que les sections d’extrémité tournent d’un angle l’une par rapport à l’autre.

3) Quelle est la contrainte maximale ? 4) Quelle est la contrainte minimale ? 5) Donner leurs lieux d’application respectifs. Soit l’angle de rotation d’une section quelconque S du tube de diamètre D1. 6) Donner l’angle de rotation 1 de la section S1 du même tube, située à une distance d1 de S. 7) Déterminer l’angle relatif de rotation φ2 de la section S2 du tube de diamètre D2, située à une distance d2 de S, c’est-à-dire l’angle que fait S2 par rapport à S. 8) Déduire celui que fait S2 par rapport à S1. Page 40/50

RDM Exercice 7 On considère une poutre AB de section droite rectangulaire S0 (de largeur b et d’épaisseur e). La limite d’élasticité en traction est Re, les contraintes de résistance sont : en Rm traction Rm et en cisaillement m . On prendra pour le coefficient de sécurité. La 2 poutre est encastrée à l’extrémité A. En B, Elle est sollicitée par une force F suivant son axe x , comme l’indique la figure ci-dessous. b F

x A

S

S0

e

z

B Figure

1) Donner la contrainte longitudinale 0. 2) Déterminer la contrainte normale et la contrainte de cisaillement dans une section S faisant un angle avec la verticale, voir figure. 3) Déterminer la force F pour qu’il y ait rupture suivant la section S lorsque : a- = /4 b- = /3 La force F devient verticale. 4) Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant 5) Déterminer la flèche y(x). En déduire la rotation maximale. Exercice 8 Pour découper un corps cylindrique de diamètre D, de limite d’élasticité au glissement Reg, de résistance de rupture au glissement Rrg, on utilise une cisaille en acier dur, de longueur AB=L, sur laquelle on applique une force verticale F , voir figure. Le coefficient de sécurité est et la distance AC=d. 1) Déterminer les réactions RA et RC. B 2) Donner d’abord la condition pour être dans le domaine élastique en tenant compte de la sécurité. C 3) Quelle force appliquée pour pouvoir découper le D corps ? A Figure

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T. BEDA

Exercice 9 Pour découper un trou cylindrique de diamètre d dans une tôle 1, on utilise un outil 2 appelé poinçon. La tôle est placée sur un bâti 3, voir figure. Une presse soumet le poinçon à une force verticale F . La tôle est en acier doux de rupture au glissement Rg, tandis que le poinçon, en acier très dur, a une résistance de rupture à la compression Rc. 2 1 e

d 3 Figure

1) Donner la condition vérifiée par F pour qu’il y ait découpage. 2) Etablir la relation entre d, e et les caractéristiques des deux matériaux (tôle et poinçon) pour que le poinçon ne soit pas détérioré lors du découpage. Le coefficient de sécurité par rapport à Rc est α.

Exercice 10 On considère une poutre de session constante et de longueur L, libre en A et encastrée en B. Elle est soumise entre A et C à une charge répartie comme l’indique la figure. On a AC=a. a 1) Déterminer les réactions d’appui. 2) Déterminer l’effort tranchant et le moment q fléchissant. Déduire A C B Figure

Exercice 11 Soit une poutre sur deux appuis simple, de longueur L et de caractéristiques autres : , S, E, Iz. On applique une force transversale F au milieu de la poutre, figure 1. 1) Déterminer l’effort tranchant et le moment fléchissant. 2) Calculer la flèche y(x). En déduire la flèche maximale ymax. 3) Commenter sur l’influence des L différents facteurs : F, L, E, I. Figure 1 4) Calculer la rotation de la ligne élastique aux appuis. Une autre poutre de longueur double 2L et de mêmes autres caractéristiques, symétriquement chargée. L’origine est à une distance L/2 de l’extrémité de gauche de cette poutre (point B), figure 2. 5) Calculer la nouvelle flèche v(x). A D B C 6) Montrer qu’on peut déduire v(x) à partir de y(x). L/2 L L/2 2 Figure 2 Page 42/50

RDM 7) Déduire la flèche w(x) lorsque l’origine est plutôt prise à l’extrémité gauche (point A), figure 2. Exercice 12 On considère une poutre de caractéristiques: L, E, I, appuyée à ses deux extrémités A et B. Elle est soumise à une distance d de A à un moment de flexion M, voir figure. A

B

M d Figure

1) Déterminer les réactions d’appui ; 2) Déterminer l’effort tranchant et le moment fléchissant ; 3) Calculer la flèche y x ; 4) Déduire cette flèche y x lorsque le moment M est

appliqué au milieu de la poutre. Comment peut-on déduire dans ce cas la flèche y x L L et L à partir de la flèche obtenue entre 0 et ? 2 2 5) Déduire également y x lorsque le moment M est appliqué à l’extrémité B de la poutre.

entre

Exercice 13 On considère une poutre horizontale de longueur L, de caractéristiques: , E, S, I, encastrée-libre, soumise à une force verticale F située à une distance d de l’encastrement, figure 1.

d

F

Figure 1 6) 7) 8) 9)

F

L Figure 2

Déterminer les réactions de liaison : la force et le moment d’encastrement. Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant. Déterminer la flèche. En déduire la flèche lorsqu’on a plutôt la force F appliquée à l’extrémité libre, voir figure 2.

Exercice 14 Soit une poutre de caractéristiques : , L, S, E, I, appuyée aux deux extrémités et soumise à un moment de flexion M = M z , voir figure 1. a

a

F

F

M

x y

x y

Figure 1

y

Figure 2

Figure 3

1) Déterminer les réactions de liaison. 2) Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant.

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T. BEDA 3) Déterminer la flèche y1(x). En déduire la rotation à l’extrémité x=L. La poutre est maintenant soumise à une force F , voir figure 2. 4) Déterminer les nouvelles réactions de liaison. 5) Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant. 6) Déterminer la flèche y2(x). L’extrémité droite de la poutre est finalement encastrée, voir figure 3. 7) Déduire les réactions de liaison relatives à partir des résultats précédents. Exercice 15 Une poutre AB de longueur L, de section constante circulaire S de rayon R, de caractéristiques , E, I, est en mouvement longitudinal. Le déplacement au point d’abscisse x est défini par u(x). u(x)

x A

L

B Figure 1

1) Donner l’allongement de la poutre. En déduire la déformation et la loi de Hooke. 2) Donner l’allongement d’une portion élémentaire dx située à l’abscisse x. En déduire la déformation et la loi de Hooke également.

Pour la suite, la poutre est encastrée en A et soumise à une force longitudinale F en B, figure 2. 3) Déterminer la fonction déplacement u(x) x u(x) et la représenter graphiquement. 4) Représenter graphiquement la B L contrainte. En déduire la contrainte A Figure 2 maximale et les lieux d’application. Reprendre les questions 3) et 4) si la section est variable et définie par : 5) S(x) = S0 x + S0 6) S(x) = S0 eAx. Ensuite, commenter sur la contrainte, ses lieux d’application, de la propriété de forme de la poutre si on donne A =

g

, où

p

est la contrainte

p

admissible et g la pesanteur. Exercice 16 Soit une poutre de section constante circulaire S de rayon R, de caractéristiques L, , E, G, I. On considère une section S0 d’abscisse x. Une section S1 situé à une distance élémentaire dx de S0 tourne par rapport à cette dernière d’un angle d autour de l’axe x de la poutre, voir figure. 1) Donner l’angle de torsion par unité de longueur. En déduire en fonction de x. dx S0 S1 2) Donner l’angle de glissement en fonction de ; on donne tg . 3) Est-ce que dépend de x ? Figure 4) Donner la contrainte en fonction de .

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RDM 5) En déduire la contrainte en un point de la section de coordonnées x, y, z ; le plan de la section étant (y, z). Exercice 17 Soit une poutre de caractéristiques : L, S, E, I, encastrée à l’extrémité A et libre en B. Elle est sollicitée par deux forces F1 et F2 comme l’indique la figure 1.

b

a

A

A

B

B

Figure 2

Figure 1

1) Déterminer les réactions de liaison. 2) Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant. 3) Déterminer la flèche y(x). En déduire la flèche maximale et la rotation en ce point. La poutre est maintenant soumise en son milieu à une force F , et appuyée en B, voir figure 2. 4) Déterminer les nouvelles réactions de liaison. 5) Déterminer la nouvelle flèche.

Exercice 18 Une poutre en bois, de section circulaire, d’axe x est soumise à une torsion. Expliciter le type de contrainte qui détériore le matériau si après la torsion : 1) On a des fissures transversales, figure 1. Déduire la direction des fibres. 2) On a des fissures longitudinales, figure 2. Déduire encore la direction des fibres. 3) La poutre est maintenant soumise à une flexion simple (flexion + cisaillement) dans le plan x , y . Mêmes questions si les fissures sont longitudinales, figure 2.

Figure 1

Figure 2

Exercice 19 On considère une poutre droite à section constante encastrée en B libre en A, chargée uniformément de A à B de taux de charge p, Figure 1. p A

B Figure 1

1) Déterminer les actions d’appui en A et en B. 2) Donner l’effort tranchant et le moment fléchissant.

3) Calculer la flèche y1(x). En déduire la flèche maximale. La charge repartie est remplacée par une force ponctuelle F appliquée au point A, Figure 2.

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T. BEDA 4) Déterminer la nouvelle flèche y2(x). En déduire la flèche maximale relative.

La poutre uniformément chargée est maintenant appuyée au point A, Figure 3. 5) Déterminer les nouvelles réactions à partir des résultats précédents. p

F A

A

B

B

Figure 2

Figure 3

Exercice 20 Un parallélépipède rectangle de côtés a, b, c repose sur un plan horizontal. Il est soumis à une force verticale descendante F excentrée et placée sur un axe de symétrie, voir figure. On pose X = G’P, où P est le point d’application de la force F. 1) Quelles sont les types de sollicitations en présence ? x 2) Donner pour chaque type de G’ sollicitations, la force généralisée la créant. y B 3) Déterminer les différentes contraintes en A un point d’une section droite. 4) En déduire la contrainte résultante. b a 5) Déterminer la contrainte résultante aux Figure points A et B. 6) Déterminer la contrainte maximale et c ses lieux d’application. 7) Donner la condition sur X, pour que la contrainte minimale soit égale à zéro. c 8) Quelle est le signe de la pression au point B si X ? Commenter. 6 C

z

D

Exercice 21 Un parallélépipède rectangle de cotés a, b, c, respectivement suivant les axes x, y, z (Origine du repère en G, centre de gravité du parallélépipède) repose sur un plan horizontal. Il est soumis à une charge verticale descendante F passant par un point N de l’axe z , d’ordonnée z sur cet axe, voir figure.

N

b

b a

Figure Page 46/50

c

N G’ ’ z P

c

RDM

1) Quels sont les types de sollicitation en présence ? 2) Déterminer la contrainte résultante en un point quelconque M sur l’axe z de coordonnée . 3) Déterminer l’ensemble des points du noyau central situés sur l’axe z . 4) En faisant la même approche sur l’axe y , déterminer le noyau central d’une section rectangulaire de côtés b et c. Exercice 22 On considère un anneau complet de section circulaire. Il est ouvert en un point P. De part et d’autre de ce point, on applique la force F (et – F ) suivant l’axe y : F F y , voir figure. Le petit diamètre est d et le grand diamètre D = 2 GA. B -

G

A /3

C

1) Déterminer les différents types de sollicitation et les contraintes relatives dans les sections droites (de normale la tangente à la ligne moyenne) aux points A, B et C. 2) Mêmes questions si F F x 3) Si plutôt F F z 4) Déterminer les contraintes dans la section horizontale au point B lorsque F F y .

B

Exercice 23: Noyau central Pour déterminer le noyau central d’une section droite rectangulaire de côtés a et b, on demande de faire l’étude sur les axes de symétrie x et y de la section. On utilisera une traction excentrée, voir figure. y F z

x

b a

Figure y

1) Déterminer les points du noyau central en réduisant l’étude sur l’axe x . 2) Déterminer ceux situés sur l’axe y , en réduisant l’étude sur cet axe. 3) Déduire des résultats précédents, le noyau central de la section rectangulaire. Page 47/50

T. BEDA Exercice 24 On considère un tube rectiligne AB, horizontal, de longueur L, encastré en A et libre en B, de section circulaire constante telle que d 0.9 (d étant le diamètre intérieur et D le D diamètre extérieur). Une bielle rectiligne BC, horizontale de longueur R, située dans le plan perpendiculaire à l’axe du tube en B, est fixée sur celui-ci en ce point B. On applique en C une force verticale descendante F , voir figure. On néglige les poids. C

R

Figure A

B

L

1) Quelles sont les différentes sollicitations auxquelles est soumis le tube ? 2) Déterminer les efforts et moments existant dans une section quelconque du tube. 3) Calculer en précisant les points où elles se trouvent dans le tube AB : a. les contraintes normales maximales ; b. les contraintes tangentielles maximales. 4) Déterminer l’abaissement du point C sous l’effet de la force F en négligeant la déformation de la bielle BC et le cisaillement du tube AB. 5) La bielle BC est à section pleine rectangulaire (largeur b, hauteur h). En conservant b constante, déterminer la fonction qui définit h le long de BC pour que la contrainte normale maximale dans chaque section droite soit constante de B à C et égale à p. Exercice 25 On considère une poutre console AB (encastrée-libre) de caractéristiques L, S, E, Iz. On applique a l’extrémité B, une force transversale F située à une distance d de A, figure 1.

d

A

B Figure 1

1) Déterminer les actions de liaison et donner l’effort tranchant et le moment fléchissant. 2) Calculer la flèche y(x). On applique longitudinalement F Fc (charge critique d’Euler) en B et on y place transversalement un ressort de traction de raideur k. La poutre devient soumise à un flambage, figure 2.

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RDM 3) Donner les différentes équations d’équilibre de la poutre (la force de rappel du ressort sur la poutre est FR=- k ). En déduire les composantes (XA, YA) de la force d’encastrement RA et celle A du moment d’encastrement A . 4) Calculer le moment fléchissant Mf au centre de gravité G’ d’une section d’abscisse x. 5) En déduire l’équation différentielle sachant qu’on a également Mf = - EIz y . 6) Montrer que la solution générale est de forme : kyB kL Fc 2 y x C cos x D sin x x yB 1 avec Fc Fc EI z

B G’ y(x)

A

k

x L

7) En appliquant les conditions aux limites à l’extrémité x = 0 (encastrement), déterminer C et D. 8) En appliquant celle à l’extrémité x = L, c’est-à-dire y(L) = yB, déterminer tg L. 9) Lorsqu’on supprime le ressort, donner tg L et en calculer L. En déduire la longueur libre de flambage dans ce cas. 10) En considérant le ressort rigide (k = ), trouver tg L et la nouvelle longueur libre de flambage. (On rappelle que tg x = x a pour solution x = 4.488).

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15. BIBLIOGRAPHIE Mécanique des solides déformables C. Bacon et J. Pouyet, Hermes science publications, Paris 2000 Résistance des matériaux M Kerguignas, G. Caignaert, Dunod, 4e édition, Paris 1995 Bases pour la Résistance des matériaux R Cravero, Ellipses, Paris 1997 Théorie d’élasticité Stephen Timoshenko, J.N. Goodier, Edition Béranger, 1961 Aide-mémoire résistance des matériaux G Pissarenko , A Yakovlev, Edition Mir, Moscou 1974 Systèmes mécaniques : Théorie et dimensionnement M Aublin, R Boncompain, M Boulaton, Edition Dunod, Paris 1998 Résistance des matériaux et structures Tome 1 : Milieu continus solides Tome 2 : Théorie des poutres S Laroze, Eyrolles, Paris 1974 La mécanique par les problèmes A Campa, R Chappert, R Picand, Edition Foucher, Paris 1975 Aide mémoire résistance des matériaux J. Goulet, JP. Boutin, F. Lerouge, Edition Dunod Leçons sur la théorie d’élasticité H Poincaré, Edition Jacques Gabay, 2008 Elasticité linéaire D. Dartus, Editions Cépaduès, 2002 Problèmes d’élasticité D. Bellet 1990, Editions Cépaduès, 1995

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