Cours RDM 3 [PDF]

Zitiervorschau

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Frères Mentouri Faculté des Sciences de la Technologie Institut des Sciences Techniques Appliquées

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Polycopié de

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Réalisé par Dr. Fatiha BOUSSALIH

Table des matières Objectifs

4

I - Pré-requis et test de pré-requis

5

1. Pré-requis...................................................................................................................................................5 2. test de pré-requis.......................................................................................................................................5

II - Exercice

6

III - INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE

DES MATÉRIAUX

7

1. Objectifs spécifiques.................................................................................................................................7 2. Introduction à la résistance des matériaux.....................................................................................8 3. Champs d'application.....................................................................................................................9 4. Hypothèses de la résistance des matériaux et de l'élasticité.................................................................10 5. Liaisons mécaniques –réactions d'appuis...............................................................................................10 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Appui simple ( Appui mobile)..........................................................................................................................11 Appui double ( Appui fixe)......................................................................................................................................11 Liaison rotule (Articulation sphérique)....................................................................................................................12 Encastrement dans un plan....................................................................................................................................12 Représentations simplifiées des différentes liaisons..............................................................................................13

6. Actions extérieures et torseur de cohésion (Efforts internes)...............................................................13 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Définition de l'action mécanique.............................................................................................................................13 Caractéristiques d'une force...................................................................................................................................13 vecteur-force............................................................................................................................................................14 Moment d'un vecteur par rapport à un point..........................................................................................................15 Actions extérieures..................................................................................................................................................15 Torseur de cohésion...............................................................................................................................................16

7. Détermination des forces intérieures......................................................................................................17 8. Diagrammes des efforts intérieurs..........................................................................................................18

IV - ÉTAT DE CONTRAINTE ET

DE DÉFORMATION

19

1. Objectifs spécifiques...............................................................................................................................19 2. Notion de contrainte.....................................................................................................................20 3. État de contrainte en un point......................................................................................................21 3.1. État de contrainte plan............................................................................................................................................22

4. Loi de comportement..............................................................................................................................22

5. Contraintes sur un plan incliné.....................................................................................................24 5.1. Contraintes principales............................................................................................................................................25 5.2. Contraintes tangentielles extremum.......................................................................................................................26

6. Cercle de Mohr.......................................................................................................................................27 7. Relation entre contrainte et déformation relative.........................................................................28 7.1. Loi de Hooke...........................................................................................................................................................28 7.2. Allongement relatif, ou déformation........................................................................................................................29 7.3. Module d'élasticité longitudinale E (ou module de Young):...................................................................................29

V - ÉTUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

30

1. TRACTION SIMPLE.............................................................................................................................31 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Objectifs spécifiques................................................................................................................................................31 Torseur de cohésion dans (G; x ; y ; z) :...............................................................................................................31 Contrainte................................................................................................................................................................32 Loi de Hooke...........................................................................................................................................................32 Condition de résistance à la traction......................................................................................................................33

2. COMPRESSION SIMPLE.....................................................................................................................34 2.1. Condition de résistance à la compression.............................................................................................................34 2.2. Systèmes isostatiques et hyperstatiques................................................................................................................35 2.3. Phénomène de concentration de contraintes.........................................................................................................37

3. Exercice..........................................................................................................................................................38 4. CISAILLEMENT SIMPLE....................................................................................................................39 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Objectifs spécifiques................................................................................................................................................39 Torseur de cohésion dans (G; x ; y ; z).................................................................................................................40 Contrainte................................................................................................................................................................41 Distribution des contraintes tangentielles...............................................................................................................43 Déformation angulaire.............................................................................................................................................44 Condition de résistance...........................................................................................................................................45 Assemblage par rivets.............................................................................................................................................45

5. Exercice..........................................................................................................................................................45 6. État de cisaillement pur................................................................................................................46 7. TORSION................................................................................................................................................46 7.1. Objectifs spécifiques................................................................................................................................................46 7.2. Moment de torsion...................................................................................................................................................46 7.3. Moment d'inertie polaire..........................................................................................................................................46 7.4. Contrainte de cisaillement en torsion.....................................................................................................................47 7.5. Déformation de cisaillement....................................................................................................................................47 7.6. Angle de torsion......................................................................................................................................................48 7.7. Torseurs de cohésion , dans (G;x;y;z)...................................................................................................................48 7.8. Angle unitaire de torsion.........................................................................................................................................49 7.9. La contrainte tangentielle due à la torsion.............................................................................................................49 7.10. Relation entre moment et angle de torsion..........................................................................................................49 7.11. Condition de résistance.........................................................................................................................................49

8. Exercice..........................................................................................................................................................49 9. FLEXION................................................................................................................................................50 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Objectifs spécifiques................................................................................................................................................50 Hypothèses..............................................................................................................................................................50 Différents types de flexion.......................................................................................................................................51 FLEXION PURE..............................................................................................................................................51

9.5. FLEXION SIMPLE...........................................................................................................................................53 9.6. Calcul de résistance en flexion...............................................................................................................................55 9.7. Système hyperstatique (statiquement indéterminé)...............................................................................................57

10. Exercice........................................................................................................................................................60

Abréviations

61

Références

62

Objectifs A l'issue de ce cours, l'apprenant sera capable de : 

S'entrainer aux calculs et manipuler des équations un peu plus complexes, en mettant en application les théories, après avoir reconnu le type de sollicitations.



Investiguer adéquatement pour une meilleure conception basée sur des critères.



Dimensionner tous types d'éléments de structures isostatiques simples réalisés en acier.

4

Pré-requis et test de pré-requis

Pré-requis et test de pré-requis 1. Pré-requis 

Calculs vectoriels.



Statique des solides

2. test de pré-requis On trouve un questionnaire, type QCM, comportant des questions de cours : il est nécessaire de le faire seul, chez soi, C'est un travail préparatoire, qui permet de s'assurer que les notions de base requises pour la résolution des exercices sont bien comprises. Une correction sera fournie au thème suivant, et l'étudiant pourra alors s'évaluer selon le barème ci-dessous. Chaque question est notée de 0 à 2 points : •

Pas de réponse : 0 point

•

Aucune erreur : 2 points

•

1 erreur : 1 point

•

2 erreurs et plus : 0 point

Le niveau d'acquisition des connaissances est évalué en fonction du nombre de total de points recueillis pour l'ensemble des questions : Total (exemple, avec 5 questions, donc un maximum de 10 points) •

Connaissances acquises supérieur à 7 ?

•

Connaissances en voie d'acquisition de 4 à 7 ?

•

Connaissances non acquises Inférieures à 4 ?

Exercice [Solution p ]

Exercice Une force appliquée à un corps peut permettre de le mettre en mouvement. Vrai

Faux

Exercice Une force appliquée à un corps peut contribuer à le mettre en équilibre et le rendre immobile. Vrai Faux

Exercice Si toutes les forces sont appliquées à un même solide se compensent, alors celui-ci est en équilibre. faux vrai

Exercice Une force appliquée à un corps déjà en mouvement perturbe sa trajectoire initiale Faux Vrai

Exercice Si une force impose à un solide de décrire un mouvement circulaire et uniforme, alors cette force est aussi responsable de l'augmentation progressive de vitesse du solide. Faux vrai

INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE DES

MATÉRIAUX

INTRODUCTION

I

A LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 

INTRODUCTION A LA RESISTANCE DES MATERIAUX



CHAMPS D'APPLICATION



HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX ET DE L'ELASTICITE

 

LIAISONS MECANIQUES –REACTIONS D'APPUIS. ACTIONS EXTERIEURES ET TORSEUR DE COHESION (EFFORTS INTERNES)



DETERMINATION DES FORCES INTERIEURES

 DIAGRAMMES DES EFFORTS INTÉRIEURS

Objectifs spécifiques A l'issue de ce chapitre l'étudiant sera capable de :  Appréhender les hypothèses de la résistance des matériaux et de l’élasticité.  Identifier les liaisons mécaniques.  Reconnaître les actions extérieures.  Comprendre la notion du torseur cohésion. Le temps alloué à ce chapitre est : 2 semaines.

7

INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE DES

MATÉRIAUX

1.1 Introduction à la résistance des matériaux La résistance des matériaux est la science du dimensionnement, afin d'éviter la rupture et entrainer des déformations élastiques, après étude statique ou dynamique. Le but du dimensionnement est de déterminer, les géométries et le choix des matériaux afin de satisfaire la fonction souhaitée. C'est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des structures. Le calcul de RDM consiste à vérifier que les contraintes engendrées par les sollicitations extérieures ne dépassent pas la contrainte limite admissible par le matériau. Dans le cadre des sollicitations d'un élément de la structure, la résolution du problème fait appel à la RDM pour calculer : 

La grandeur des efforts internes du matériau ;



Les déformations



Les déplacements



La distribution des contraintes



Le choix du matériau



Le dimensionnement



la vérification des déformations induites par les charges sont inférieures aux limites acceptables en fonctionnement.

La résistance des matériaux est un processus de fabrication entre les étapes de conception et de réalisation d'une pièce. Cette conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité et d'économie tout en satisfaisant aux exigences suivantes : 

Résistance : la pièce doit supporter les charges externes qui lui sont soumis ;



Rigidité : la pièce doit subir de déformation admissible ;

 Stabilité : la pièce doit garder sa géométrique ; 

Endurance : la pièce, ne doit pas dépasser la limite d’élasticité si elle est soumise à un chargement cyclique, afin d’éviter la rupture.

8

1.2

Champs applic ation

La RDM est couramment utilisée dans de différents domaines d'applications tels que :

Génie mécanique (piston, essieu ,Jante , tambour ,......).

Fig 1.1

a ) Bielle , manivelle, b) essieu, c) piston

Génie civil (bâtiments, turbine, structures métalliques...).

Fig 1.2 Viaduc

Aéronautique (aile).

Fig 1.3 Aile d'avion

Génie électrique (câbles, pylônes, centrales, ......).

Fig 1.4 Pylône

LOIS DE COMPORTEMENT

1.3 Modèle mécanique Les modèles généralement utilisés en mécanique sont :

1. 3.1 Modèle de poutre Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres. Plan de symétrie de la poutre

Section droite A’

A

Ligne moyenne

Fig 1. 5 Elément de poutre

1.3.1.1 Poutres planes curvilignes Plusieurs éléments de machines courants et des pièces de structure métallique sont assimilables à des poutres planes en forme de cadre ou à des poutres incurvées.

1.3.2 Modèle de plaque et coques Les corps minces, plaques et coques, pour lesquels une dimension, l’épaisseur, est beaucoup plus petite que les deux autres.

Fig 1.6

Eléments : plaque et des coques

1.4 Hypothèses de la résistance des matériaux 1.4.1

Hypothèses sur le matériau

1. Homogénéité Un milieu est dit homogène s'il existe une configuration particulière qu'on prend pour référence dans laquelle la masse volumique est constante et si les lois de comportement sont indépendantes de la particule considérée. 2. Isotropie Un milieu est dit isotrope si les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. 3.Elasticité et la réversibilité du matériau Lors du chargement et le déchargement, le matériau revient à sa position initiale. Les déformations dues aux charges sont négligeables par rapport aux dimensions des éléments.

Contrainte

Déformation

Fig 1.7 Élasticité du matériau

4.Continuité : Le matériau ne contient pas d’aspérités, il y a continuité de la matière.

LOIS DE COMPORTEMENT

1.4.2 Hypothèses sur les déformations et les déplacements On suppose que les déformations sont petites et restent dans le domaine élastique. De plus le déplacement est aussi considéré petit devant la taille de la poutre. 1. Hypothèse de Navier Bernouli Les sections droites de la poutre demeurent planes et perpendiculaires à l'axe de celle-ci après déformation.

a) Avant déformation

b) Après déformation b)

Fig 1. 8 Illustration de l’hypothèse de Navier Bernouli

2. Hypothèse de Saint Venant Les contraintes et les déformations dans une région éloignée du point d’application des efforts ne dépendent que du torseur des efforts de cohésion au point considéré [1] Tous les efforts qui interviennent dans la théorie peuvent être représentés par leur torseur résultant. F/2

F/2

Fig 1.9 Principe de Saint Venant

F

1.5 Liaisons mécaniques –réactions d'appuis 

Liaisons mécaniques : On appelle, liaison tout ce qui limite les déplacements d'un corps donné dans l'espace ou contact d'assemblage entre les différents solides.



Réactions d'appuis : On appelle forces de liaisons, de réaction, les forces avec lesquelles les liaisons données agissent sur un corps limitant ses déplacements.

1.5.1 Appui simple ( Appui mobile) Appui simple permet la translation ∆ x introduit une inconnue dans la direction perpendiculaire et une rotation Ω autour de l'axe perpendiculaire au plan de la liaison.

Poutre

Poteau

. Fig 1.10 Modélisation de l’appui simple

1.5.2

Appui double ( Appui fixe) L'articulation ne permet pas la translation dans les deux sens du plan représentés par ∆ x et ∆y. Elle permet uniquement une rotation Ω autour de l'axe perpendiculaire au plan de la liaison.

Poutre

Poteau

Fig 1.11 Modélisation de l’appui double

LOIS DE COMPORTEMENT

1.5.3 Liaison rotule (Articulation sphérique) La réaction au point A à 3 degrés de liberté (rotations) et trois composantes

Fig 1.12 Modélisation de la liaison sphérique

1.5.4 Encastrement dans un plan L’encastrement ne permet pas la translation de la section droite de l'appui dans les deux sens du plan ∆ x et ∆y et la rotation Ω du moment Mz qui est perpendiculaire en plan moyen donc l'encastrement introduit trois inconnues.

Pout re

Pote au

Fig 1.13

Modélisation de l ‘encastrement

1.6 Représentations simplifiés des différentes liaisons Les différentes liaisons sont schématisées sur le tableau suivant :

1.7 Actions extérieures et torseur de cohésion (Efforts internes) 1.7.1 Définition de l’action mécanique Le mouvement d'un objet est provoqué par une action, appelée action mécanique. Les actions exercées sur un objet peuvent le mettre : 

En mouvement.



Modifier sa trajectoire



Le déformer.

1.7.2 Caractéristiques d’une force Une force est déterminée par : 

La direction (Support).



Le sens.



L'intensité



Le point d'application

Origin e

F

LOIS DE COMPORTEMENT

Fig 1.14

Représentation du vecteur force

Dans un repère cartésien la force (F) forme respectivement avec les axes X, Y, Z les angles α, β,γ. Les trois projections de cette force selon les axes X, Y, Z sont :

F x= cos α , Fy = cos β , Fz= cos γ

Ces composantes sont souvent représentées sous la forme matricielle suivante : Fx ⃗ F = Fy Fz

[]

1.7.3

Moment d'un vecteur par rapport à un point V d'origine B par rapport à un point A est égal au Le moment d'un vecteur ⃗ AO par le vecteur ⃗ V . Il s'écrit produit vectoriel du vecteur position ⃗

⃗ ⃗ )=⃗ M A (V AO ⋀ ⃗ V Fig 1.15

Illustration du moment d'un vecteur par rapport à un point

17.4 Actions extérieures Soit un corps, soumis à plusieurs actions extérieures (poids propre, force concentrée, charges...) en se référant au données du cahier de charges tels que : la nature du matériau , masse volumique .

Fig 1. 16 Modélisation des charges extérieures (Pierre Badel 2012)

[2].

1.8 Torseur de cohésion Définition L'action entre les deux tronçons est une action d'encastrement qui se modélise par une résultante et un moment. Le calcul des efforts de cohésion est une étape nécessaire au dimensionnent ou à la vérification d’une poutre.

LOIS DE COMPORTEMENT

Fig 1. 17 Illustration d'une coupe fictive des efforts internes.

Effort / Moment 𝑁 𝑇𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑡 𝑀𝑓𝑦 𝑀𝑓z

Désignation Effort normal suivant x Effort tranchant suivant y Effort tranchant suivant z Moment de torsion Moment fléchissant suivant y Moment fléchissant suivant z

Type de sollicitation Traction Compression Cisaillement Cisaillement Torsion Flexion Flexion

Déformations Allongement/Raccourcissement de la poutre Glissement relatif des sections Glissement relatif des sections Rotation relative des sections Allongement/Raccourcissement des fibres selon leur position par rapport au plan neutre (Modification de la courbure de la poutre)

1.8.1 Effort Normal La composante N de la résultante F est la somme des projections de toutes les forces intérieures selon l'axe longitudinal de l'élément. Convention : N est positif si il s'agit d'une traction et négatif dans le sens contraire.

N

N

N N

N

a) Compression

b) Traction Fig 1.18 Pièce soumise à des efforts axiaux Compression

1.8.2 Efforts tranchants Ty et Tz sont perpendiculaires à la ligne moyenne

et

représentent

la

projection de toutes les forces intérieures sur les axes centraux principaux de la section. Ces efforts tranchants provoquent le cisaillement dans la direction des axes y et z . Convention : T est positif quand il tend à faire tourner un élément entre deux sections dans le sens d'une aiguille d'une montre.

Fig 1.19 Pièce cisaillée et effort tranchant F 1, F 2

LOIS DE COMPORTEMENT

1.8.3 Moments fléchissant My et Mz représentent les sommes des moments de toutes les forces intérieures par rapport aux axes d'inerties y et z principaux de la section. Convention :My et Mz sont positifs si les fibres inférieures sont tendues et les fibres intérieures

sont comprimées.

a) Poutre sans charge

b) Poutre avec charge Fig 1.20 Flexion d’une poutre

1.8.4 Torsion et moment de torsion 

Torsion La torsion est la sollicitation subie par un corps soumis à l'action d'un couple de forces opposées agissant dans les plans parallèles et dont l'élément de réduction est un moment agissant dans l'axe de la barre.



Moment de torsion Mx est le moment de torsion qui représente la somme de toutes les forces intérieures par rapport à l'axe de la barre. Convention : Mx est positif lorsqu' il tend à tourner le corps dans le sens inverse d'une aiguille d'une montre. y

M x M x

z Géneratrice déformée

x

Fig 1.21 Poutre soumise à un moment de torsion

1.9 Determination des forces intérieures Définition La force intérieure est une exercée par une partie du système sur une partie du système. La méthode des sections consiste à couper la barre en deux tronçons et à étudier l'équilibre de chacun de ces tronçons. A l'aide de cette méthode nous pouvons déterminer les efforts internes. Cette méthode est basée sur le fait que dans chaque partie de cet élément sous l'influence du chargement extérieur est équilibrée par un système de forces internes agissant dans cette section [3]. Afin de pouvoir déterminer les efforts internes il suffit de

:



Découper en différents tronçons selon les actions mécaniques rencontrées selon la géométrie de la ligne moyenne.



Écrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local. On isole la partie droite ou gauche. Déterminer des composantes d'efforts internes grâce au bilan des actions extérieures [2].



Remarque La somme des forces intérieures d'un corps indéformable est nulle Exemple Soit, la poutre AB soumise au chargement extérieur indiqué dans la figure cidessous Pour déterminer les efforts internes il suffit d'effectuer une section dans la poutre, les valeurs de N, T et M sont égaux à la somme algébrique des forces et des moments extérieurs agissant sur l'une des partie (droite ou gauche) de l'élément sélectionné.

LOIS DE COMPORTEMENT

.

1.9.1 Diagrammes des efforts intérieurs L'établissement des diagrammes correspondant aux différentes sollicitations, nous permet d'évaluer la section la plus dangereuse nécessitant une vérification de la résistance. Exemple La poutre ci-dessous, de longueur 2 mètres, est sur deux appuis, soumise à une charge centrée de 200 daN

P 2m

2m

T(daN)

100

Mfz(daN.m)

200

Solution Le diagramme montre les cas les plus défavorables du moment

fléchissant et de l’effort tranchant : Mfz = 200 daNm, T = 100 daN.

ÉTAT DE CONTRAINTE

II

  Notion de contrainte NOTION DE CONTRAINTE  État de contrainte en un point EN UN POINT ÉTAT DE CONTRAINTE 

Contraintes sur un plan Cercle de Mohr CONTRAINTES SURincliné UN PLAN INCLINE 

CONTRAINTES PRINCIPALES

 CERCLE DE MOHR

Objectifs spécifiques A l'issue de ce chapitre l'étudiant sera capable de : 

Appréhender la notion de vecteur contrainte, état de contrainte, tenseur de contrainte.



Déterminer les contraintes au sein de la matière.



Représenter l'état de contrainte plan sur un cercle de Mohr. Le temps alloué à ce chapitre est : 2 semaines.

LOIS DE COMPORTEMENT

2.1

Notion de contrainte

Le torseur des efforts internes n'est qu’une vision globale au niveau de la section considérée. Pour déterminer la répartition de ces efforts dans la surface de la section on fait appel à la notion de contrainte qui permet de passer de l'échelle la plus globale (actions extérieures à la structure) à une échelle locale l a cohésion de la matière alors, que se passe-t-il, localement, en chaque point de l'élément ? [2]◆ ds

y M

x

M S

Fig 2.1

Zoom local sur le point de coupure

En résistance du matériau une contrainte mécanique est une force divisée par une surface. F σ= . A Le vecteur contrainte peut être décomposé en une composante normale et une composante tangentielle

Fig 2.2 Projection du vecteur contrainte

2.2 État de contrainte en un point L'ensemble des contraintes normales et tangentielles qui s'appliquent sur un point d'un corps et dans toutes les directions est appelé « état de contrainte »

Fig 2.3 Représentation de l'état de contrainte en un point

Représentation de l'état de contrainte en un point par un tenseur

.

Les contraintes représentent respectivement les contraintes normales selon les axes x ,y, z avec

2.2.1

État de contrainte plan

Dans le cas de l'état de contrainte plan le tenseur de contrainte est représenté comme suit :

LOIS DE COMPORTEMENT

.

Fig 2.4

Représentation de l'état de contrainte plan

2.3 Contraintes sur un plan incliné Soit l'état de contrainte plan dont la normale fait un angle α avec l'axe (ox) comme le montre la figure ci-dessous :

Fig 2.5 État de contrainte sur un plan incliné.

.

2.4 Contraintes principales Les contraintes normales et tangentielles prennent des valeurs différentes pour des raisons de résistance, les valeurs de ces contraintes maximales et minimales sont données par les équations suivantes :



Les contraintes tangentielles sont nulles sur les plans principaux.



Les angles notés α entre l'axe des x et les plans dans lesquels apparaissent les contraintes principales sont données par la formule suivante :

2.4.1

Contraintes tangentielles extremum Les contraintes tangentielles qui s'y trouvent sont extremum :

.



La contrainte normale à ces plans est donnée par l'expression suivante :

2.5 Cercle de Mohr Pour tracer le cercle de Mohr il suffit de :  Fixer les points A ( σ x , τ xy ) et B ( σ y , τ xy )

sur un repère perpendiculaire

et orthonormé (O, σ, τ) . 

Déterminer le point C, point d'intersection de la droite AB et l'axe des abscisses

Fig 2.6 Cercle de Mohr

Exercice : Considérons l'état plan de contraintes au point P représenté sur la figure cidessous 1- Écrire le tenseur des contraintes au point P dans le repère (O,x,y,z). 2-

Représenter l'état de contrainte au point P à l'aide du cercle du

Mohr . 3- A l'aide du cercle du Mohr : déterminer les éléments principaux des contraintes. 4- Calculer les valeurs des contraintes de cisaillement extremums.

LOIS DE COMPORTEMENT 

 COMPORTEMENT DES SOLIDES



RELATION DEFORMATION-DEPLACEMENT 

III

  CAS PARTICULIERS

 CRITERES DE LIMITE D'ELASTICITE POUR LES MATERIAUX ISOTROPES

Objectifs spécifiques A l'issue de ce chapitre l'étudiant sera capable de :  Appréhender la relation entre les efforts intérieurs et les déformations qui leur sont

associées.  Identifier la loi de Hooke.  Utilisation des critères pour que le matériau reste dans le domaine élastique en tout

point de la structure.

Le temps alloué à ce chapitre est : 2 semaines.

3.1. Comportement des solides 3.1.1 Description du comportement élastique Le comportement élastique est caractérisé par une relation linéaire entre contraintes et déformations. En mécanique la relation entre les contraintes et les déformations s’écrit au moyen des tenseurs de la formulation matricielle. Dans le cadre de l’élasticité tridimensionnelle la loi de comportement est donnée par la loi de Hooke, cette relation s’écrit :

( D1 /D3 =0 . 5 , 1,2 et D2 /D3=0 . 5 ) Les tenseurs des rigidités Cijkl comporte = 81 composantes et de même pour Sijkl, la symétrie des tenseurs de contraintes σij et de déformation εij réduit le nombre des constantes élastiques à 21 pour l'anisotropie complète. La loi de Hooke relie les contraintes aux déformations par l’intermédiaire d’une matrice de rigidité dans le cadre des déformations élastiques.

( D1 /D3=0. 5, 1,2

et D2 /D3 =0.5, 1,2 )

.

Cijkl: tenseur de rigidité Sijkl : tenseur de souplesse σij : tenseur de contraintes εij : tenseur de déformations Les Sijkl sont les 81 composantes du tenseur des complaisances élastiques ou tenseur de de souplesse S.

3.1.1.1 Potentiel élastique L’énergie de déformation volumique

D1/D3=2

D 2 / D 3 =1 (3.1)

Avec :

D1 / D3 =0 . 5

(3.2)

Forme quadratique définie positive des composantes du tenseur des déformations :

D 2 / D 3 =1 (3.3) La notation matricielle permet d’écrire matériellement

D1 / D3 =1 En conclusion la relation indicielle

,

D 2 / D3 =1

D1 / D3 =2

(3.4) s’écrivant sous la forme :

D 2 / D 3 =2

(3.5)

En conclusion en tout point M d’un milieu continu, l’état des contraintes est entièrement déterminé par la connaissance des contraintes. Pour l’anisotropie 21 constantes indépendantes sont nécessaires. Les lois de comportement expriment la relation qui existe entre les contraintes et les déformations d’un corps élastique (Lois de Hooke). Ces relations ont été obtenues à la suite de nombreuses observations expérimentales. Pour un corps isotrope se déformant linéairement, les lois de comportement sous forme matricielle sont :

D1/D3=0.5

(3.6)

D 2 / D3 =2

(3.7)

oit : Où :

D1/D3=1

Vecteur des contraintes

C 

Vecteur des déformations

(D1/D3=0.5,1,2 et D2/D3=0.5)

Vecteur des constantes élastiques

3.2 Relation déformation-déplacement

(D1/D3=0.5, 1,2 et D2/D3=1)

σ eqMises

,

√

,

3 S :S 2 ij ij ,

σ eqMises

,

√

2 ε :ε 3 p p

,

1 S ij=σ ij − σ kk δ ij 3 (3.8)

2

3 1 2k

2

1 2 2 2 Vm 1 2 2 3 3 1 2 2 2 12 13 23

2

1 2 2 2 Vm I I I I I I I 1

Où : σ =2 σ σ −2σ , σ =2[(σ −σ )+(σ −σ )+(σ −σ )]+3(σ +σ +σ ) , σ =2[(σ −σ ) +(σ −σ ) +(σ −σ ) ] représentent les déplacements du corps dans les directions x, y et z respectivement. Vm ij ij

3.2.1 Matrice de rigidité d’un matériau isotrope Un corps homogène est isotrope vis à vis d’une propriété mécanique si cette dernière est indépendante de la direction considérée dans le corps. Un matériau est isotrope quand la matrice du tenseur d’élasticité reste identique à elle-même pour tout changement d’axes. Les propriétés mécaniques des matériaux homogènes et isotropes peuvent être caractérisées par leur résistance et leur constante d’élasticité, le module de Young et le coefficient de Poisson. Pour un matériau isotrope, c'est-à-dire un matériau pour lequel les caractéristiques mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions de l’espace. Dans un milieu

isotrope, toutes les directions sont équivalentes. Ce milieu est caractérisé par deux modules d’élasticité

et

appelés coefficients de

Lamé, ou bien par le module d’Young E et par le coefficient de Poisson. Dans toute la base, la matrice de rigidité s’écrit sous la forme :

p γ θz

(3.9)

Alors la matrice de souplesse d’un matériau s’écrit sous la forme :

σTresca=sup(|σI−σI|, σI −σI |, σI −σI|) Le module d’élasticité de cisaillement

σeqTresca=√σ2z+4τ2θz

(3.10)

ou le module de glissement relie les

contraintes tangentielles aux déformations angulaires.

La matrice de rigidité s’écrit : (3.11)

√

ε eqTresca= ε zz + ¿

4 γ θz

¿

9

La relation entre les déformations et les contraintes seront :

σ eqMises =√

2 2 σ zz+3τ θz

3.3 Cas particuliers 3. 3.1 État de contraintes-déformations planes

(3.12)

3.3.1.1 Loi de Hooke.

La relation contrainte σ et déformation ε est représentée par un segment On observe dans le palier OA une proportionnalité linéaire entre σ et ε, qui représente le domaine élastique appelé loi de Hooke donnée par la relation suivante :

σ=E .ε

(3.13)

Fig 3.1 Courbe contrainte –déformation

Durant le chargement et le déchargement de la barre, la barre reprend sa forme initiale (palier (OA) élastique). La pente E de la droite (OA) est appelée module d'élasticité linéaire ou module de Young représentant le rapport entre la contrainte σ et la déformation ε. La partie (AC) représente le domaine la plasticité. Dans ce cas, la barre ne reprend pas sa forme initiale.

3.3.1.2 Module d'élasticité longitudinale E (ou module de Young)

Cette grandeur caractérise la pente de la droite et l'élasticité du matériau dans le sens longitudinal, σ=E.ε

Unité : N/mm2 (ou MPa)

Remarque Quand le module de Young E du matériau, croit sa rigidité augmente.

3.3.1.3 Déformation axiale L’allongement de la barre Δl est la différence entre la longueur actuelle de la barre Lf, et la longueur initiale L0 ε=

Fig 3.2

∆L L0

Eprouvette soumise à la traction

Lo : longueur avant déformation (mm) L : longueur âpres déformation (mm) Δ L : allongement de la poutre (mm)

(3.14)

3.3.1.4 Déformation transversale On constate qu'en plus de la déformation longitudinale dans le sens de la traction, le matériau subit aussi une déformation transversale dans la direction verticale (direction perpendiculaire à la déformation longitudinale). Sous l’effet de l’effort normal N, le diamètre de la barre diminue du diamètre initial d0 à la valeur actuelle d . La déformation transversale relative est donnée par la formule suivante :

ε

t=

d −d0 d0

Δd = d - d0.

(3.15)

3. 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes Les contraintes équivalentes les plus utilisées sont celles de Von Mises et Tresca pour les matériaux isotropes représentant des valeurs limites pour les contraintes maximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux déformations.

3. 4.1 Critères de plasticité de Von Mises

Le critère de Von Mises (1883-1953) est basé sur l’énergie de déformation que le matériau peut stocker avant plastification. Il considère que le seuil de plasticité est lié à l’énergie élastique de cisaillement. Cela revient à négliger l’influence du troisième invariant et à prendre une expression linéaire pour la fonction f.

Pour un chargement unidimensionnel représente un point dans l’espace de la contrainte à une dimension qui sépare le domaine élastique du domaine plastique, la limite d’élasticité est représentée par une fonction, dans l’espace de contrainte à trois dimensions, cette limite est représentée par une surface séparant les deux domaines. La contrainte équivalente appliquée à un matériau représente l’ensemble du tenseur des contraintes est un scalaire, ce scalaire sera comparé à la limite d’élasticité pour savoir si le matériau a plastifié ou non. La représentation graphique de la fonction de charge initiale dans l’espace des contraintes principales ℜ3 est une surface cylindrique non bornée d’axe (1, 1, 1) de rayon √2 σs comme indiqué sur la (figure 3.3).

b)

a)

Fig 3.3 Fonction de charge initiale dans l’espace des contraintes principales pour le critère de Von Mises (a) matériau élasto- plastique avec écrouissage, (b) vue dans le plan σ1 + σ2 + σ3=0

La contrainte équivalente au sens de Von Mises est définit par :

σeqTresca= σ2zz+4τ 2θz

√

=

2 d X = C dε p 3

(3.16)

d X et

(σ, R )=J 2 (σ )−σ y−R=0 ¿

¿

d εp

=

 

(3.17)

 : est la partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy ¿

¿

n :σ

¿

ε p = λ n= ¿ ¿ n et ¿ H ¿

n= ¿

3 s¿ 2J

 

(3.18)

¿

λ

  (3.19)

Le tenseur des contraintes est symétrique pour les trois valeurs propres I, II et III de ce tenseur diagonalisé, la contrainte équivalente de Von Mises s’écrit : 

σ (3.20)

¿ p

ε =

J ( σ )−σy ¿

H

n ¿

(3.21)

 

R1 1

1

f = J(σ −X )− −R 10 =0 ¿

¿

 

(3.22)

Où : σzz et τθz sont respectivement la contrainte axiale et la contrainte de cisaillement. ¿

R2

f 2 = J(σ−X2)− −R20 =0 ¿ ¿

¿ 2 εp=¿ 1 ∂f1n1+∂Ω2 n2 et ¿ ∂Ω ¿ ¿ ∂f ¿

sont respectivement la déformation plastique axiale et la

déformation plastique de cisaillement.

3.4.2 Critère de Tresca

Critère est aussi appelé critère de cisaillement maximal, il est dû à Henri Edouard Tresca (1814-1885) qui fut professeur titulaire de la chaire de mécanique du Cnam. Tresca a déduit que la rupture se fait par glissement du aux contraintes de cisaillement. La contrainte de cisaillement pour la direction α est donnée par la formule suivante :

'

τ=

−σ x −σ y sin 2 α + τcos 2 α (3.23) 2

Avec : σ y =0 et τ=0 pour un état de traction suivant⃗x =0, τ ' =

σy sin 2 α est maximal pour 2

α =45° En tridimensionnel, on peut trouver 3 directions principales associées à 3 contraintes principales σ1, σ2 et σ3 (figure 2.11) Dans la base principale¿ ) le tenseur des contraintes s’écrit : σ1 0 0 (3.24) S= 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ( ⃗n , n⃗ , ⃗n )

[

]

1

2

3

Fig. 3.4 : Trois plans des contraintes rincipales en tridimensionnel (Antoine Legay 2017) [1]

La représentation graphique de la fonction de charge initiale dans ℜ3, espace des contraintes principales, est une surface cylindrique de base hexagonale non bornée d’axe (1, 1, 1) indiquée sur la figure 2.12.

1,1,1

3 fo()

2 1 b)

a)

Fig. 3.5 : Fonction de charge initiale dans l’espace des contraintes principales pour le critère de Tresca (a) matériau élasto-plastique avec écrouissage, b) vue dans le plan σ1 + σ2 + σ3=0

On peut tracer 3 cercles de Mohr (figure 3.6)

Fig. 3.6 : Tri cercle de Mohr (Antoine Legay 2017) [1]

Le cisaillement maximal égal :

Le critère de Tersca est donné par

τ max