Cours RDM 5 Superposition [PDF]

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Cours RDM-5 : Superposition - Elasticité Compétences attendues: - celles du cours RDM1 + connaitre le vocabulaire d'élasticité et les bases de la résolution numérique, afin de pouvoir exploiter au mieux les résultats de simulation.

1 Théorème de superposition Les sollicitations vues dans les cours précédent sont rarement présentes seules. Un méthode pour résoudre des problèmes complexes de façon simple est de se ramener aux problèmes simples que l'on sait résoudre. On utilise ensuite la linéarité des équations de la rdm pour obtenir le résultat du problème complexe par sommation des résultats des problèmes simplifiés.

1.1 Contrainte maximum par superposition Théorème de superposition: La contrainte dans un problème complexe est la somme des contraintes des problèmes de sollicitations simples. Conséquence : la contrainte maximum d'un problème complexe peut être située dans une section différentes des contraintes maximum obtenues en sollicitations simples. Limites du théorème de superposition: - la limite élastique ne doit pas être atteinte, - la somme des actions extérieures des différents problèmes de sollicitations simples doit être égale à celle du problème complexe. y Exemple : problème de flexion / traction-compression F x A B L Figure 1 : Problème de flexion / traction-com pression

y

F

A

B

x

L

y

F

A

B

x

L

Figure 2 : problème de flexion simple

On vérifie que F = F + F

Figure 3 : problème de traction

Théorème de superposition pour les contraintes normales : σ(x)=σ1(x)+σ2(x) soit pour l'exemple :

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=

.

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1.2 Déplacements équivalents La linéarité des équations et notamment des lois de comportement (lois de Hooke), nous conduit à généraliser le théorème précédant aux déformations. Cette méthode permet d'obtenir la déformé d'un problème y(x) comme somme de problèmes simples : y(x)=y1(x)+y2(x)+….+yn(x) = ∑ Cette méthode est surtout intéressante lorsque l'on possède un formulaire des déformés.

Figure 4 : Exemple de formulaire de déformée en flexion

Les problèmes hyperstatiques sont résolus en rendant les problèmes isostatiques puis en écrivant les conditions hyperstatiques. Les conditions hyperstatiques sont généralement des conditions géométriques sur la position ou l'orientation des appuis (respectivement y(a)=0 ou y'(a)=0). Le théorème de superposition concernant les déplacements est alors utile pour résoudre le problème par des résolutions de problèmes simples.

Exemple : liaison pivot hyperstatique

A

y

F

B

L

x

L

Figure 5 : Problème hyperstatique (problème plan ici)

y NA

F

B

A

y

x

A

L

y

+ condition hyperstatique : y'(0)=0

A

L

F

B

x

L

L Y

x

B

Figure 7 : Problème de rdm isostatique é quivalent

L

L

+ superposition y(x)=y1(x)+y2(x) + condition hyperstatique : y(L)=0 Figure 6 : Problèmes isostatiques équivalents par superposition

On obtient par les équations de la rdm, la valeur des composantes des actions aux appuis hyperstatiques: YA=3.F/4 YB= -5.F/2 NA= F.L/2

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2 Elasticité Pour traiter les cas plus complexes que la rdm, on utilise la théorie de l'élasticité. On conserve néanmoins les hypothèses suivantes : - matériau élastique, linéaire, isotrope et homogène. - les déformations sont petites (les moments des forces varient peu avec la déformation et peuvent donc être définis à partir de la géométrie non déformée). Seule l'hypothèse simplificatrice de Navier-Bernoulli d'élément de grande longueur dont les sections droites restent droites n'est plus nécessaire en élasticité.

2.1 Matériau En élasticité, les propriétés du matériau sont caractérisées par le module d'Young E et par le coefficient de poisson ν. Le module d'élasticité transversale s'obtient à partir de ces coefficients par la relation =

!"

2.2 Maillage La détermination numérique d'un problème d'élasticité commence par décomposer la géométrie en éléments de formes simples : les éléments finis. L'objectif est de modéliser un problème complexe comme la somme de problèmes que l'on sait résoudre. Il existe plusieurs formes et plusieurs types d'éléments finis. Le plus courant est l'élément triangulaire défini par 3 nœuds (ici les nœuds sont les sommets des triangles).

Le maillage est construit sur la géométrie, en fonction des chargements ou des déplacements imposés. Eventuellement le maillage peut être affiné dans les zones de grandes variations de contraintes (en fonction des résultats de simulation)

Figure 8 : Structure maillée (6 triangles et 8 nœuds)

La résolution consiste à : - déteminer les déplacements des nœuds (le déplacement des points intérieurs au triangle est obtenu par interpolation des déplacements des nœuds), - lier les déplacements des nœuds des triangles adjacents.

2.3 Conditions aux limites En plus de la géométrie et du matériau, un problème d'élasticité est défini par des conditions aux limites : - chargement imposé (côtés 2 à 4 sur la Figure 8), - déplacements imposés (nœud 1,2,6,7 sur la Figure 8). On ne peut pas imposer des conditions aux limites à un même nœud. Dans le cas où cela se produit (nœud 2), le logiciel choisira entre les 2 conditions ou signalera l'erreur.

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2.4 Principe de la résolution numérique Dans le cas d'un élément triangulaire à 3 nœuds (il existe aussi des éléments avec des nœuds au milieu de chaque coté), les déplacements des nœuds peuvent être déterminé par les déplacements ui et vi des 3 nœuds de coordonées (xi,yi). Exemple de paramétrage pour la définition du déplacement d'un nœud i: • déplacement selon la direction x : ui=a.xi+b.yi+ c • déplacement selon la direction y : vi=d.xi+e.yi+f a,b,c,d,e,f sont les constantes qui dans le triangle permettent de connaître le déplacement de n'importe quel point (interpolation). Ces coefficients dépendent des déplacements ou des contraintes imposées (les déplacements et les contraintes étant liés par les lois de comportement). On obtient donc pour tous les triangles et pour tous les nœuds l'écriture matricielle: = La résolution du problème passe par le calcul des inconnues a,b,c,… de la matrice colonne et donc par l'inversion de la matrice des coordonnées des noeuds . par ailleurs est obtenu à partir des conditions aux limites : • d'une part en identifiant les déplacements imposés aux déplacements des nœuds correspondants, • d'autre part en utilisant les conditions aux limites en chargement par utilisation des lois de comportement : = . Au final, on obtient les déformations et les contraintes en tout point M de la structure pour toutes les directions de sections : σ% τ%' τ%( =#τ'% σ' τ'( ) (appelé tenseur des contraintes) τ(% τ%' σ( On retrouve sur la première ligne de la contrainte sur une facette de normale x : σ% σ% 1 * + = σ M,x = . x = . #0) = #τ%' ) = #τ' ) τ%( τ( 0 exemples : en traction selon x : =#

σ% = F/S 0 0 0 τ 0 ) en torsion selon x : =# 0 0 0 τ 0 0) 0 0 0 0 0 0

Par ailleurs le théorème de Cauchy (hors programme) montre que les contraintes de cisaillement sont symétriques : τ%' = τ'% , τ(% = τ%( et τ%' = τ'( . La matrice de est donc symétrique, on montre (en mathématiques) qu'elle est diagonalisable. Il existe donc une base , , 2 dans laquelle est diagonale. σ 0 0 0 ) où σ , σ ,σ3 sont appelées les contraintes principales. =# 0 σ 0 0 σ3

De la même façon, on obtient le tenseur des déformations : 89: 8;: 6 ε% > 89:= 589; =5 ε' (mêmes propriétés que pour le tenseur de contrainte). = 58:; 8:9 = ε( < 4

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Enfin la loi de Hooke généralisée (hors programme): = retrouver: • •

la loi de Hooke en traction : ε = 8

la loi de Hooke en torsion =

!?

!?

?

.

− .

F

=

!? CD

. τ soit γ = . (avec

?

− . AB =

!"

. permet de

).

Avec des éléments finis en triangle, on montre que ε est constant sur l'élément. Cela génère des discontinuités entrainant des erreurs sur les contraintes donc sur les conditions aux limites en chargement du résultat obtenu. L'amélioration du résultat est alors obtenu en affinant le maillage dans les zones de grande variation des déformations (et donc des contraintes).

2.5 Critères de résistances en élasticité σ% Dans le cas des contraintes planes : =Gτ'% 0 Critère de Von Mises :

I

=

√

. KL

MN

−

τ%' 0 σ σ' 0H = # 0 , ,2 0 0 0

+L MN +

+ 6LP MN ≤

0 σ 0

0 0) 0

,

,2

Q

Ce critère est issue de considération énergétique, il est largement utilisé pour les matériaux ductile (notamment l'acier doux) car il prend en compte l'ensemble des composantes. Critère de Tresca-Guest : PRS = T

CU CV

T ≤ PQ

Même application que le critère de Von Mises.

ou encore |

−

Critère de Rankine (plutôt pour les matériaux fragiles) : sup | |, |

|≤ | ≤

Exemple : pour la traction, les 3 critères donnent le même résultat : | | ≤

car PQ ≈

Q

Q /2

Q

Q

2.6 Courbes isovaleurs Les résultats de résolutions numériques sont visualisables sous forme de courbes isovaleurs tracées sur la géométrie. Certains logiciels donnent un pourcentage d'erreur.

Figure 9 : Courbes iso valeurs de la contrainte de Von Mises (Torsion)

Figure 10 :Courbes iso valeurs des déplacements (Torsion)

Références : "Mécanique 2" de P. Agati Chez Dunod "Mécanique des systèmes et des milieux déformables" de L.Chevalier Chez Ellipses "Introduction à la RDM" d'Armel Baguet (http://breeze.mines-douai.fr/p37598916)

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