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CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

Unités d’enseignement CCV107

« RESISTANCE DES MATERIAUX 3 » ___________ COURS THEORIQUE ET APPLICATIONS PRATIQUES

Etabli par M. CAZENAVE

février 2008

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SOMMAIRE

1.

INTRODUCTION......................................................................................................................................... 8

2.

RAPPELS DE MATHEMATIQUES .......................................................................................................... 9 2.1. TRIGONOMETRIE ...................................................................................................................................... 9 2.2. LES FONCTIONS ...................................................................................................................................... 10 2.2.1. Continuité...................................................................................................................................... 10 2.2.2. Dérivation ..................................................................................................................................... 11 2.2.3. Résolution des équations du 2ème degré......................................................................................... 12 2.3. LE CALCUL INTEGRAL ............................................................................................................................ 12 2.3.1. Primitive d’une fonction................................................................................................................ 12 2.3.2. Intégrales simples.......................................................................................................................... 12 2.3.3. Intégrales doubles ......................................................................................................................... 13 2.4. CALCUL DIFFERENTIEL .......................................................................................................................... 14 2.4.1. Notion de dérivée partielle ............................................................................................................ 14 2.4.2. Notion de différentielle totale........................................................................................................ 15 2.4.3. Propriétés...................................................................................................................................... 15 2.5. EQUATIONS DIFFERENTIELLES ............................................................................................................... 16 2.5.1. Equations différentielles à 1 seule dérivée.................................................................................... 16 2.5.2. Equations différentielles du second ordre à coefficients constants............................................... 16 2.6. PRODUIT VECTORIEL .............................................................................................................................. 17 2.7. CALCUL MATRICIEL ............................................................................................................................... 17 2.7.1. Notion de matrice .......................................................................................................................... 17 2.7.2. Opérations de base........................................................................................................................ 18 2.7.3. Matrices carrées............................................................................................................................ 20 2.7.4. Méthodes de résolution de systèmes linéaires............................................................................... 22 2.8. CHANGEMENT DE REPERE ...................................................................................................................... 25

3.

UNITES UTILISEES.................................................................................................................................. 26 3.1. LES UNITES FONDAMENTALES ................................................................................................................ 26 3.2. LES UNITES DERIVEES ............................................................................................................................ 26 3.3. MULTIPLES ET SOUS MULTIPLES ............................................................................................................ 26 3.4. EQUIVALENCE AVEC D’AUTRES SYSTEMES D’UNITES ............................................................................. 26 3.4.1. Pour les forces............................................................................................................................... 26 3.4.2. Pour les contraintes ...................................................................................................................... 26

4.

LES SYSTEMES DE FORCES ................................................................................................................. 27 4.1. LES DIFFERENTS TYPES DE FORCES ........................................................................................................ 27 4.1.1. Notion de forces ............................................................................................................................ 27 4.1.2. Les forces concentrées ou forces ponctuelles................................................................................ 27 4.1.3. Les forces massiques ..................................................................................................................... 27 4.1.4. Les forces réparties ....................................................................................................................... 28 4.1.5. Les couples .................................................................................................................................... 28 4.2. LES SYSTEMES DE FORCES...................................................................................................................... 29 4.2.1. Système de forces en équilibre ...................................................................................................... 29 4.2.2. Système de forces équivalent......................................................................................................... 29 4.2.3. Equilibre d’un point soumis à un système de forces .................................................................... 31 4.2.4. Moment d’une force par rapport à un point.................................................................................. 31 4.2.5. Moment d’un système de forces par rapport à un point................................................................ 32 4.2.6. Position de la résultante dans le cas de forces parallèles............................................................. 32 4.2.7. Conditions d’équilibre d’un corps solide ...................................................................................... 35 4.2.8. Résultante d’une force répartie..................................................................................................... 36 4.3. EXEMPLES .............................................................................................................................................. 37 4.3.1. Exemple 1 : Calcul de l’équilibre d’un nœud................................................................................ 37 4.3.2. Exemple 2 : Calcul de la résultante d’un système de forces ......................................................... 37 4.3.3. Exemple 3 : Calcul de la résultante d’un système de forces ......................................................... 38

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Exemple 4 : Calcul de la résultante d’un système de forces ......................................................... 38

CALCUL DES REACTIONS D’UN SYSTEME ISOSTATIQUE ......................................................... 39 5.1. CONVENTIONS DE SIGNES ...................................................................................................................... 39 5.2. CALCUL DES REACTIONS D’APPUI .......................................................................................................... 39 5.3. LES TYPES D’APPUIS............................................................................................................................... 39 5.3.1. L’appui simple............................................................................................................................... 39 5.3.2. L’appui articulé............................................................................................................................. 40 5.3.3. L’appui encastré............................................................................................................................ 41 5.4. SYSTEME ISOSTATIQUE .......................................................................................................................... 42 5.5. EXEMPLES DE CALCULS DE REACTIONS .................................................................................................. 43 5.5.1. Exemple 1 : Cas d’une poutre sollicitée par une force ponctuelle................................................ 43 5.5.2. Exemple 2 : Cas d’une poutre sollicitée par une force répartie.................................................... 44 5.5.3. Exemple 3 : Cas d’une poutre sollicitée par un système de forces quelconques........................... 44

6.

RAPPELS SUR LA MECANIQUE DU SOLIDE........................................................................................ 46 6.1. LES CONTRAINTES.................................................................................................................................. 46 6.1.1. Qu’est ce qu’une contrainte ? ....................................................................................................... 46 6.1.2. Définitions..................................................................................................................................... 47 6.1.3. Etat plan de contrainte.................................................................................................................. 49 6.1.4. Contraintes planes dans un repère quelconque ............................................................................ 50 6.1.5. Contraintes principales ................................................................................................................. 52 6.1.6. Contraintes de cisaillement maximale et minimale....................................................................... 54 6.1.7. Représentation graphique : Cercle de MOHR .............................................................................. 55 6.1.8. Equations d’équilibre de surface .................................................................................................. 56 6.1.9. Convention de signes..................................................................................................................... 57 6.1.10. Visualisation des contraintes ........................................................................................................ 57 6.2. LES DEFORMATIONS ............................................................................................................................... 59 6.2.1. Définitions..................................................................................................................................... 59 6.2.2. Déplacements ................................................................................................................................ 59 6.2.3. Etat plan de déformation............................................................................................................... 60 6.2.4. Relation entre déplacements et déformations................................................................................ 61 6.2.5. Déformations planes dans un repère quelconque ......................................................................... 63 6.2.6. Déformations principales et cisaillement max/min ....................................................................... 64 6.2.7. Convention de signes..................................................................................................................... 64 6.2.8. Jauge de déformation - Méthode de la Rosette ............................................................................. 64 6.3. THEORIE DE L’ELASTICITE ..................................................................................................................... 65 6.3.1. Essai de traction pure ................................................................................................................... 65 6.3.2. Essai de cisaillement pur............................................................................................................... 69 6.3.3. Principe de superposition des états d’équilibre ............................................................................ 69 6.3.4. Relation Déformations – Contraintes............................................................................................ 69 6.3.5. Relation Contraintes - Déformations ............................................................................................ 70 6.3.6. Calcul du module d’élasticité transversal G ................................................................................. 70 6.3.7. Etat plan de déformation............................................................................................................... 71 6.3.8. Etat plan de contrainte.................................................................................................................. 71 6.3.9. Energie de déformation................................................................................................................. 72 6.4. EXEMPLES .............................................................................................................................................. 74 6.4.1. Exemple 1 : Allongement d’un barreau......................................................................................... 74 6.4.2. Exemple 2 : Etude d’un assemblage bois collé ............................................................................. 75 6.4.3. Exemple 3 : Détermination des contraintes dans une rosette ....................................................... 76 6.4.4. Exemple 4 : Etude des contraintes sur une facette........................................................................ 77 6.4.5. Exemple 5 : Etude d’un système à 2 barres .................................................................................. 79 6.4.6. Exemple 6 : Etude d’un système à 3 barres .................................................................................. 80

7.

CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES D’UNE SECTION........................................................... 82 7.1. MOMENTS STATIQUES – CENTRES DE GRAVITE ...................................................................................... 82 7.1.1. Moment statique d’une aire plane par rapport à un axe............................................................... 82 7.1.2. Centre de gravité........................................................................................................................... 83 7.1.3. Propriétés des moments statiques ................................................................................................. 83 7.2. MOMENTS D’INERTIE ............................................................................................................................. 85

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7.2.1. Définition du moment d’inertie ..................................................................................................... 85 7.2.2. Rayon de giration.......................................................................................................................... 86 7.2.3. Produit d’inertie............................................................................................................................ 86 7.2.4. Calcul du moment d’inertie par rapport à un axe ∆ ..................................................................... 87 7.2.5. Variation du moment d’inertie ...................................................................................................... 87 7.2.6. Propriétés des axes principaux d’inertie....................................................................................... 90 7.3. CALCUL DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES FORMES USUELLES ............................................ 90 7.3.1. Section rectangulaire .................................................................................................................... 90 7.3.2. Section circulaire .......................................................................................................................... 91 7.3.3. Section triangulaire....................................................................................................................... 92 7.4. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES FORMES USUELLES ................................................................ 93 7.5. EXEMPLES DE CALCUL DE MOMENTS D’INERTIE ..................................................................................... 94 7.5.1. Exemple 1 : calcul des caractéristiques d’une cornière à ailes égales ......................................... 94 7.5.2. Exemple 2 : calcul des caractéristiques de la section d’un poteau BA ......................................... 95 7.5.3. Exemple 3...................................................................................................................................... 97 7.5.4. Exemple 4...................................................................................................................................... 98 8.

THEORIE DES POUTRES ..................................................................................................................... 100 8.1. DEFINITIONS ........................................................................................................................................ 100 8.1.1. Qu’est ce qu’une poutre .............................................................................................................. 100 8.1.2. Notion de section droite .............................................................................................................. 100 8.1.3. Notion de fibre moyenne ............................................................................................................. 100 8.2. PRINCIPES ............................................................................................................................................ 101 8.2.1. Principe de NAVIER BERNOUILLI............................................................................................ 101 8.2.2. Principe de St VENANT .............................................................................................................. 101 8.3. DOMAINE DE VALIDITE ........................................................................................................................ 101 8.4. ELEMENTS DE REDUCTION AU CENTRE DE GRAVITE ............................................................................. 101 8.5. SOLLICITATIONS RELATIVES A UNE SECTION DROITE ........................................................................... 102 8.6. CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE........................................................................................... 103 8.7. EQUATIONS INTRINSEQUES DES POUTRES DROITES .............................................................................. 104 8.7.1. Equation intrinsèque des poutres droites planes dans le plan xy................................................ 104 8.7.2. Equation intrinsèque des poutres droites planes dans le plan xz ................................................ 104 8.8. CONVENTION DES SIGNES .................................................................................................................... 105 8.8.1. Plan xy......................................................................................................................................... 105 8.8.2. Plan xz......................................................................................................................................... 105 8.9. METHODE DE DETERMINATION DES DIAGRAMMES N, M ET V.............................................................. 105 8.10. EXEMPLES ........................................................................................................................................ 106 8.10.1. Exemple 1 : Poutre soumise à une charge ponctuelle................................................................. 106 8.10.2. Exemple 2 : Poutre soumise à une charge répartie..................................................................... 107 8.10.3. Exemple 3 : Calcul d’un semi portique ....................................................................................... 108

9.

LES CONTRAINTES NORMALES....................................................................................................... 112 9.1. LES CONTRAINTES DANS LES POUTRES EN TRACTION - COMPRESSION .................................................. 112 9.2. LES CONTRAINTES DANS LES POUTRES EN FLEXION SIMPLE ................................................................. 112 9.2.1. Hypothèses générales.................................................................................................................. 112 9.2.2. Les déformations et rayon de courbure....................................................................................... 113 9.2.3. La relation contrainte - déformation........................................................................................... 114 9.2.4. Les équations d’équilibre ............................................................................................................ 115 9.2.5. L’équation de la contrainte en flexion simple ............................................................................. 115 9.3. FLEXION DEVIEE .................................................................................................................................. 116 9.4. FLEXION COMPOSEE ............................................................................................................................. 117 9.5. FLEXION COMPOSEE DEVIEE ................................................................................................................ 119 9.6. NOYAU CENTRAL ................................................................................................................................. 119 9.6.1. Centre de pression....................................................................................................................... 119 9.6.2. Définition .................................................................................................................................... 120 9.6.3. Application à la section rectangulaire ........................................................................................ 120 9.7. UTILISATION D’UN CATALOGUE DE PROFILS - DIMENSIONNEMENT ...................................................... 122 9.8. EXEMPLES DE COURS ........................................................................................................................... 126 9.8.1. Exemple 1.................................................................................................................................... 126 9.8.2. Exemple 2.................................................................................................................................... 127

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Exemple 3.................................................................................................................................... 129

LES CONTRAINTES DE CISAILLEMENT DUES A L’EFFORT TRANCHANT ..................... 132

10.1. NOTION DE CISAILLEMENT MOYEN .................................................................................................. 132 10.2. CONTRAINTE DE CISAILLEMENT ....................................................................................................... 132 10.3. DEFORMATION DE CISAILLEMENT .................................................................................................... 133 10.3.1. Potentiel interne .......................................................................................................................... 133 10.3.2. Section réduite d’effort tranchant ............................................................................................... 134 10.4. CONTRAINTE DE CISAILLEMENT EN BORD DE SECTION ..................................................................... 135 10.4.1. Contour régulier.......................................................................................................................... 135 10.4.2. Contour discontinu...................................................................................................................... 135 10.5. CAS DES PROFILS MINCES OUVERTS ET FERMES SYMETRIQUES ........................................................ 135 10.6. CARACTERISTIQUES SECTORIELLES DES SECTIONS OUVERTES A PAROIS MINCES ............................. 136 10.6.1. Aire sectorielle ............................................................................................................................ 136 10.6.2. Changement de pôle .................................................................................................................... 137 10.6.3. Caractéristiques sectorielles ....................................................................................................... 137 10.7. CISAILLEMENTS DANS UNE SECTION OUVERTE A PAROIS MINCES ..................................................... 137 10.8. CENTRE DE CISAILLEMENT ............................................................................................................... 139 10.9. EXEMPLES ........................................................................................................................................ 140 10.9.1. Section rectangulaire .................................................................................................................. 140 10.9.2. Section circulaire ........................................................................................................................ 141 10.9.3. Section en I.................................................................................................................................. 142 10.9.4. Profil mince ouvert...................................................................................................................... 143 10.9.5. Profil mince fermé....................................................................................................................... 145 11.

LES CONTRAINTES DE TORSION ................................................................................................. 147

11.1. ETUDE DES SECTIONS CIRCULAIRES EN TORSION PURE ..................................................................... 147 11.1.1. Déformation de torsion ............................................................................................................... 147 11.1.2. Relation contrainte - déformation ............................................................................................... 149 11.1.3. Conditions d’équilibre................................................................................................................. 149 11.2. ETUDE DES SECTIONS FERMEES A PAROI MINCE EN TORSION LIBRE .................................................. 150 11.2.1. Répartition des contraintes de cisaillement ................................................................................ 150 11.2.2. Flux de cisaillement et équilibre ................................................................................................. 150 11.2.3. Calcul de J .................................................................................................................................. 151 11.3. ETUDE DES SECTIONS OUVERTES A PAROI MINCE EN TORSION LIBRE................................................ 152 11.3.1. Section rectangulaire mince........................................................................................................ 152 11.3.2. Application aux profilés minces ouverts...................................................................................... 153 11.4. GAUCHISSEMENT DES SECTIONS PLEINES ......................................................................................... 154 11.5. TORSION GENEE ET NON UNIFORME DANS LES PROFILS MINCES OUVERTS ........................................ 155 11.5.1. Gauchissement des profils minces ouverts .................................................................................. 155 11.5.2. Contraintes normales dues aux gauchissement non uniforme .................................................... 155 11.5.3. Centre de Torsion........................................................................................................................ 156 11.5.4. Equation différentielle de torsion................................................................................................ 156 11.5.5. Résolution de l’équation différentielle de torsion ....................................................................... 157 11.5.6. Contrainte normale et bimoment................................................................................................. 158 11.6. EXEMPLES ........................................................................................................................................ 159 11.6.1. Section circulaire ........................................................................................................................ 159 11.6.2. Poutre en I (IPE 200) .................................................................................................................. 159 11.6.3. Section caisson ............................................................................................................................ 160 11.6.4. Profil mince ouvert (U) ............................................................................................................... 161 11.6.5. Profil mince ouvert (I)................................................................................................................. 163 12.

CALCUL DE LA DEFORMEE – EQUATION GENERALE DES POUTRES ............................. 168

12.1. OPERATEURS DE DIRAC ET HEAVISIDE ............................................................................................ 168 12.1.1. Dirac ........................................................................................................................................... 168 12.1.2. Heaviside..................................................................................................................................... 169 12.2. EQUATION GENERALE DES POUTRES PLANES DROITES ..................................................................... 169 12.2.1. Représentation des charges......................................................................................................... 169 12.2.2. Equation d’équilibre des poutres droites planes......................................................................... 170 12.2.3. Méthode de la quadruple quadrature.......................................................................................... 171

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12.2.4. Conditions aux limites................................................................................................................. 171 12.3. DIMENSIONNEMENT ET CRITERE DE FLECHE .................................................................................... 172 12.4. EXEMPLES ........................................................................................................................................ 173 12.4.1. Poutre soumise à une charge ponctuelle centrée ........................................................................ 173 12.4.2. Poutre soumise à une charge répartie ........................................................................................ 175 12.4.3. Dimensionnement d’une lisse de bardage................................................................................... 177 13.

LES INSTABILTES.............................................................................................................................. 179

13.1. LES PHENOMENES D’INSTABILITES ................................................................................................... 179 13.2. LE FLAMBEMENT SIMPLE ................................................................................................................. 179 13.2.1. Cas d’une poutre console............................................................................................................ 179 13.2.2. Cas d’une poutre bi articulée...................................................................................................... 181 13.2.3. Cas d’une poutre encastrée à une extrémité, articulée à l’autre................................................. 183 13.2.4. Cas d’une poutre bi encastrée..................................................................................................... 184 13.2.5. Longueur de flambement des cas courants ................................................................................. 185 13.3. LE DEVERSEMENT ............................................................................................................................ 186 13.3.1. Principe....................................................................................................................................... 186 13.3.2. Déversement en flexion pure ....................................................................................................... 186 13.3.3. Déversement d’une poutre chargée en son milieu....................................................................... 191 13.4. LE VOILEMENT ................................................................................................................................. 196 14.

POUTRES CONTINUES – THEOREME DES TROIS MOMENTS.............................................. 199

14.1. ROTATIONS SUR APPUIS DES TRAVEES ISOSTATIQUES ...................................................................... 199 14.1.1. Formules de Bresse ..................................................................................................................... 199 14.1.2. Détermination des souplesses a, b et c........................................................................................ 200 14.1.3. Cas d’une poutre soumise à une charge répartie........................................................................ 202 14.1.4. Cas d’une poutre soumise à une charge ponctuelle .................................................................... 203 14.2. THEOREME DES TROIS MOMENTS ..................................................................................................... 204 14.3. METHODE DES FOYERS..................................................................................................................... 208 14.3.1. Foyers de droite .......................................................................................................................... 208 14.3.2. Foyers de gauche ........................................................................................................................ 209 14.3.3. Moments obtenus à l’aide des foyers .......................................................................................... 209 14.4. LIGNE D’INFLUENCE ........................................................................................................................ 211 14.4.1. Définition .................................................................................................................................... 211 14.4.2. Exemples ..................................................................................................................................... 211 14.5. EXEMPLES : POUTRE CONTINUE A DEUX TRAVEES EGALES .............................................................. 213 14.5.1. 1er travée chargée uniformément................................................................................................. 213 14.5.2. 2 travées chargées uniformément................................................................................................ 216 14.5.3. 1 charge ponctuelle au milieu de la 1er travée ............................................................................ 218 14.6. EXEMPLES : POUTRE CONTINUE A TROIS TRAVEES EGALES .............................................................. 222 15.

METHODE DES FORCES .................................................................................................................. 223

15.1. POTENTIEL INTERNE ......................................................................................................................... 223 15.2. THEOREME DE MAXWELL - BETTI.................................................................................................... 224 15.3. FORMULE DE BERTRAND DE FONTVIOLANT ..................................................................................... 226 15.3.1. Démonstration............................................................................................................................. 226 15.3.2. Exemples d’application ............................................................................................................... 227 15.4. METHODE DES COUPURES (OU DES FORCES)..................................................................................... 230 15.4.1. Degré d’hyperstaticité................................................................................................................. 230 15.4.2. Principe de la méthode................................................................................................................ 231 15.4.3. Résolution du système ................................................................................................................. 232 15.4.4. Exemples d’application ............................................................................................................... 233 15.5. CAS PARTICULIER DES PORTIQUES ................................................................................................... 241 15.5.1. Principe de la méthode................................................................................................................ 241 15.5.2. Exemples d’application ............................................................................................................... 241 NOTATIONS..................................................................................................................................................... 248

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l

∫

INTEGRALES DE MOHR ( M i ⋅ M j ⋅ dx ) ............................................................................................... 249 0

FORMULAIRE DE CALCUL DES POUTRES ............................................................................................ 251

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1. Introduction Dérivant de la mécanique du solide, la résistance des matériaux est un ensemble de méthodes de calcul permettant de déterminer contraintes, déformations et déplacements découlant des sollicitations internes. Basées sur un comportement linéaire élastique, ces méthodes sont utilisables quelque soit le matériau dans différents domaines comme le génie civil, le bâtiment, la mécanique, etc. L’estimation des sollicitations internes étant la base à tout dimensionnement, nos prédécesseurs utilisaient principalement des méthodes graphiques pour leurs déterminations. L’avènement de moyens et méthodes de calcul performants ont fait qu’elles ne sont plus utilisées aujourd’hui. Cependant, la représentation graphique des sollicitations, contraintes et déformations reste un aspect très présent en résistance des matériaux pour des raisons de compréhension du fonctionnement des structures. L’étude de cette science est donc indispensable à tous techniciens ou ingénieurs désirant dimensionner une structure dans les conditions de sécurité requises par son utilisation et ce même si les logiciels de calcul actuels permettent de résoudre aisément et rapidement les problèmes de calcul de structures. Elle constitue donc un référentiel de méthodes de calcul permettant au technicien ou à l’ingénieur de vérifier l’ordre de grandeur de ses résultats. Ce cours1 destiné aux futurs ingénieurs en génie civil ou bâtiment, traitera essentiellement les bases de la théorie des poutres, l’objectif étant de maîtriser les calculs des déplacements, des efforts internes et des contraintes (flexion, cisaillement et torsion) dans les sections les plus couramment utilisées. Plusieurs types de méthodes seront abordés pour déterminer les sollicitations internes dans les systèmes hyperstatiques à savoir méthodes des 3 moments, des forces, des rotations et des déplacements. Celles-ci ont cependant été remplacées par des outils informatiques utilisant principalement la méthode dite des éléments finis (de manière simple : une extension de la méthode des déplacements). Elles restent néanmoins essentielles dans la compréhension des phénomènes structuraux simples. En complément de cette partie, des chapitres plus spécifiques comme l’étude des instabilités (flambement, déversement, voilement), le calcul des arcs, la théorie des plaques ou les calculs dynamiques seront abordés dans un but d’initiation à ces techniques. Enfin, les différents chapitres et les phénomènes physiques associés seront (très souvent) illustrés par des calculs informatiques effectués avec les logiciels éléments finis ABAQUS2 ou EFFEL3. Comme dans toute analyse numérique, les résultats en fonction de leur précision ne sont qu’une « image » de la théorie. Ils devront donc être pris comme tels.

1

On se réfèrera aux chapitres 1 à 15 pour le cours de Résistance des Matériaux 3, de 16 à 21 pour le cours de Résistance des Matériaux 4. Néanmoins et hormis quelques points de détails, les chapitres 2 à 5 et 7 à 9 doivent être considérés comme des révisions ou rappels. 2 De l’éditeur de logiciels Dassault Systèmes. 3 De l’éditeur de logiciels GRAITEC.

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9

2. Rappels de Mathématiques1 2.1.

Trigonométrie y

y

cotg(θ)

1

c θ

a

b

θ ∈ [0,2π ] ou [0,180°]

tg(θ)

θ x

1

x

avec π = 3.1415…

a cos 2 (θ ) + sin 2 (θ ) = 1 c 1 b 2 et 1 + tg (θ ) = cos(θ ) = cos 2 (θ ) c 1 a sin(θ ) 1 = tg (θ ) = = 1 + cot g 2 (θ ) = b cos(θ ) cot g(θ ) sin 2 (θ )

sin (θ ) =

Par ailleurs,

sin (2θ ) = 2 sin (θ ) cos(θ )

1 − cos(2θ ) ⎧ 2 sin (θ ) = ⎪ 2 cos(2θ ) = cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) ⇔ ⎨ (2θ ) 1 + cos ⎪cos 2 (θ ) = ⎩ 2 sin (a ± b ) = sin (a ) cos(b ) ± cos(a ) sin (b ) cos(a ± b ) = cos(a ) cos(b ) m sin (a ) sin (b ) tg (a ± b ) =

tg (a ) m tg (b ) 1 − tg (a )tg (b )

1

Ces rappels de mathématiques ont pour objet de fixer les prérequis nécessaires à la bonne compréhension de ce cours. Ils ne peuvent en aucun cas se substituer au suivi préalable du cours de mathématiques « Analyse et calcul matriciel » qui reste conseillé.

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2.2.

10

Les fonctions

Une fonction est une relation mathématique permettant de faire correspondre une ou plusieurs variables xi à une valeur et une seule de la fonction y. Exemples : •

Courbes unidimensionnelles y = f(x) : y

y

y=ax+b

+

x

Généralement en Résistance de Matériaux (RdM), les fonctions utilisées sont souvent dites polynomiales : ¾ ¾ ¾ ¾ • •

La droite, y = a x + b, La parabole, y = a x2 + b x + c, La cubique, y = a x 3 + b x2 + c x + d, Le polynôme de degré 4, y = a x 4 + b x3 + c x2 + d x + e,

Courbes bidimensionnelles z = f(x, y) : un plan, Courbes tridimensionnelles y = f(x, y, z) : un volume.

2.2.1.

Continuité

Soit une fonction y de la variable x, y = f(x) La fonction est dite continue lorsque l’accroissement ∆y de la fonction tend vers 0, quand l’accroissement ∆x de la variable tend lui-même vers 0.

y

y

x

Fonction continue

x

Fonction discontinue

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2.2.2.

11

Dérivation

Soit une fonction continue y = f(x). La définition de la continuité nous a permis d’écrire que ∆y tend vers 0 quand ∆x tend vers 0.

⎛ ∆y ⎞ ⎟ tend vers une limite finie quand ∆x ⎝ ∆x ⎠

La fonction sera dite dérivable si le rapport de ∆y sur ∆x ⎜ tend vers 0. La dérivée première de la fonction y notée y’, f’(x) ou

dy représente la tangente à la courbe de la dx

fonction y = f(x). Si cette tangente est nulle ce qui correspond à une tangente horizontale et donc à un extremum de la fonction y = f(x). Cette dérivée étant également une fonction de x, qui admet une dérivée y’’ dite seconde. Cette dérivée seconde correspond à la courbure ou l’inflexion de la fonction y = f(x). Les points d’inflexion associés à la résolution de y’’=0 correspondent au(x) changement(s) de courbures de la fonction y = f(x). Dérivées usuelles : Fonction y = Cte y = xn y=u+v+w y = u.v y=

Dérivée y’ = 0 y’ = n.xn-1 y’ = u’ + v’ + w’ y’ = u’.v + v’.u

u v

y’ =

y = sin (x) y = cos (x) y = tg(x)

Exemple :

u' v − v' u v2

y‘=cos (x) y‘= - sin (x) y‘=1+tg2(x)=1/cos2(x)

y = f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇒ f ′( x ) = 2 x + 2 f ′( x ) = 2 x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ y = 0 f ( 0) = 1 y

x

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2.2.3.

12

Résolution des équations du 2ème degré

Soit la fonction y = a x2 + b x + c, La résolution de y = 0 consiste dans un premier temps à calculer le discriminant noté :

∆ = b 2 − 4ac ≥ 0 Puis à calculer les racines réelles en posant :

x1 / 2

− b ± b 2 − 4ac = 2a

⎧∆ = 4 − 4 = 0 ⎩ x1 = x 2 = −1

Exemple : f ( x ) = x + 2 x + 1 = 0 ⇔ ⎨ 2

2.3.

Le calcul intégral 2.3.1.

Primitive d’une fonction

Soit la fonction continue y = f(x), La primitive de la fonction y est une fonction F(x) telle que la dérivée de F(x) est égale à f(x). On a donc : F’(x) = f(x) Cependant, une infinité de primitives peut être associée à la fonction f(x) à une constante près. En effet et comme la dérivée d’une constante est nulle, toute dérivée de F(x)+Cte est égale à f(x) :

[F ( x ) + Cte]′ = F ′( x ) =

f ( x)

Exemples : • • •

2 x 2−1 x2 y = x ⇒ F ( x) = + Cte ⇒ F ′( x ) = =x 2 2 (n + 1)x n+1−1 = x n x n +1 y = x n ⇒ F ( x) = + Cte ⇒ F ′( x ) = n +1 n +1 y = sin( x ) ⇒ F ( x ) = − cos( x ) + Cte ⇒ F ′( x ) = −(− sin( x ) ) = sin( x ) 2.3.2.

Intégrales simples

y

B

Soit la fonction continue y = f(x)

M’ N N’ M

A

a x

f(x + ∆x)

∆S

f(x)

m

n

b

x

∆x

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13

Soit A un point fixe sur la courbe d’abscisse a et d’ordonnée f(a). Considérons un point M quelconque de la courbe situé à l’abscisse x et d’ordonnée y = f(x). En faisant varier le point M sur la courbe, l’aire S = F(x) limitée par am,mn et la courbe y=f(x) variera également. Pour étudier la dérivée de cette fonction S, il suffit de donner un accroissement ∆x qui automatiquement correspond à un accroissement ∆S, c'est-à-dire la trapèze sur la figure ci-dessus. Or l’aire du rectangle (MNmn) est comprise entre celles des deux rectangles (MN’ mn) et (M’Nmn) qui ont tous deux pour base ∆x et respectivement pour hauteur f(x) et f(x+∆x). On a donc :

∆x × f ( x ) < ∆S < ∆x × f ( x + ∆x ) ⇔ f ( x )
0

τxy < 0

6.1.3.2.Equations d’équilibre de volume1 Maintenant et si on effectue la somme des efforts suivant la direction x :

∂τ xy ⎞ ⎛ ∂σ x ⎞ ⎛ dx ⎟dydz + ⎜⎜τ xy + dy ⎟⎟dxdz − σ x dydz − τ xy dxdz + Fx dxdydz = 0 = 0 ⇔⎜ σ x + y ∂x ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂σ x ∂τ xy ⇒ + + Fx = 0 ∂x ∂y

∑F

/x

Puis suivant la direction y :

∑F

/y

=0⇔

∂τ xy ∂x

+

∂σ y ∂y

+ Fy = 0 . La même démarche appliquée aux

deux autres plans permet d’obtenir les relations tridimensionnelles suivantes :

τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz 6.1.4.

∂σ x ∂τ xy ∂τ zx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz + + + Fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ yz ∂σ z + + + Fz = 0 ∂x ∂y ∂z

Contraintes planes dans un repère quelconque

Considérant un infiniment petit d’épaisseur dz, l’état de contraintes se réduit à : σY

σy

τXY

τxy y

Y x

σx

O

1

σX

θ X

O

Les charges massiques ou thermiques sont des forces de volume

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51

dY

θ τXY θ

σx

dy

σX

τxy

τyx

σy

θ

dx Comme le solide est en équilibre, on a :

∑M ∑F

= 0 ⇔ τ xy = τ yx

/z

/X

644 47444 8 644 47444 8 = 0 ⇔ σ X ⋅ dY ⋅ dz − σ y ⋅ dx ⋅ dz ⋅ sin (θ ) − τ xy ⋅ dx ⋅ dz ⋅ cos(θ ) 644 47444 8 644 47444 8 − σ x ⋅ dy ⋅ dz ⋅ cos(θ ) − τ xy ⋅ dy ⋅ dz ⋅ sin (θ ) = 0

et

dx = dY ⋅ sin (θ )⎫ 2 2 ⎬ ⇒ σ X = σ x ⋅ cos (θ ) + σ y ⋅ sin (θ ) + 2 ⋅ τ xy ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) dy = dY ⋅ cos(θ )⎭

De la même façon pour la direction Y, on peut établir que :

644 47444 8 ( τ σ θ ) + τ xy ⋅ dx ⋅ dz ⋅ sin (θ ) F = 0 ⇔ ⋅ dY ⋅ dz − ⋅ dx ⋅ dz ⋅ cos ∑ /Y XY y

+ σ x ⋅ dy ⋅ dz ⋅ sin (θ ) − τ xy ⋅ dy ⋅ dz ⋅ cos(θ ) = 0

τ XY = (σ y − σ x ) ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) + τ xy ⋅ (cos 2 (θ ) − sin 2 (θ )) Sachant que

σX

et

σY

sont forcément perpendiculaires, on déduit :

⎛ ⎝

σ Y = σ X ⎜θ +

π⎞

2 2 ⎟ = σ x ⋅ sin (θ ) + σ y ⋅ cos (θ ) − 2 ⋅ τ xy ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) 2⎠

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52

Il est néanmoins plus aisé d’exprimer ces relations en fonction de l’angle double :

sin (2θ ) = 2 sin (θ ) cos(θ )

1 − cos(2θ ) ⎧ 2 ( ) sin = θ ⎪ 2 cos(2θ ) = cos2 (θ ) − sin 2 (θ ) ⇔ ⎨ 1 + cos(2θ ) 2 ⎪cos (θ ) = 2 ⎩

D’où :

σX = σY =

σx +σ y 2 σx +σ y

+ −

2

σx −σ y 2 σ x −σ y 2

⎛σ x −σ y 2 ⎝

τ XY = −⎜⎜ On remarquera que :

6.1.5.

⋅ cos(2θ ) + τ xy ⋅ sin(2θ ) ⋅ cos(2θ ) − τ xy ⋅ sin (2θ )

⎞ ⎟⎟ ⋅ sin(2θ ) + τ xy ⋅ cos(2θ ) ⎠

σ X +σY = σ x +σ y

Contraintes principales

Reprenant l’expression de la contrainte normale suivant X :

σX =

σx +σ y 2

+

Les contraintes normales seront maximale

σ x −σ y 2

⋅ cos(2θ ) + τ xy ⋅ sin (2θ )

(σ max = σ 1 ) ou minimale (σ min = σ 2 ) lorsque :

σ x −σ y 2τ xy dσ X = 0 ⇔ −2 ⋅ ⋅ sin (2θ ) + 2τ xy ⋅ cos(2θ ) = 0 ⇒ tg (2θ1 ) = dθ 2 σ x −σ y Ce qui nous permet de trouver remplaçant θ par θ1 dans :

σ1 = σ2 =

θ = θ1

σx +σ y 2 σx +σ y 2

+ −

⎛σ x −σ y 2 ⎝

τ 12 = −⎜⎜

correspondant aux directions principales. De plus et en

σ x −σ y 2 σ x −σ y 2

⋅ cos(2θ1 ) + τ xy ⋅ sin(2θ1 ) ⋅ cos(2θ1 ) − τ xy ⋅ sin(2θ1 ) 1

⎞ ⎟⎟ ⋅ sin(2θ1 ) + τ xy ⋅ cos(2θ1 ) = 0 ⎠

On obtient les valeurs des contraintes principales σ1 et σ2. Cependant, il possible d’établir une relation directe entre contraintes principales et contraintes connues en posant que : 1

On a toujours

σ1 + σ 2 = σ x +σ y .

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⎛σ x −σ y ⎜⎜ 2 ⎝

53

2

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠ τxy

2θ1

σ x −σ y 2

σ x −σ y cos(2θ1 ) =

sin (2θ 1 ) =

Comme σ2 est obtenue en posant θ

2 ⎛σ x −σ y ⎜⎜ 2 ⎝

2

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

τ xy ⎛σ x −σ y ⎜⎜ 2 ⎝

2

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

= θ1 + 90° , on déduit alors :

' 1

cos(2θ 1' ) = − cos(2θ 1 )

sin (2θ 1' ) = − sin (2θ1 )

σ1 et σ2 peuvent donc être exprimées de la manière suivante :

⎛σ x −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎜⎜ σx +σ y 2 ⎠ = ± ⎝ 2 2 ⎛σ x −σ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + τ xy2 2 ⎝ ⎠ 2

σ 1/ 2

σ1 = σ2 =

σx +σ y 2

σx +σ y 2

⎛σ x −σ y + ⎜⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

⎛σ x −σ y − ⎜⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

2

2

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6.1.6.

54

Contraintes de cisaillement maximale et minimale

Reprenant l’expression de la contrainte de cisaillement :

⎛σ x −σ y ⎞ ⎟⎟ ⋅ sin (2θ ) + τ xy ⋅ cos(2θ ) ⎝ 2 ⎠

τ XY = −⎜⎜

(τ max = τ 1 ) ou minimale (τ min = τ 2 ) lorsque :

Les contraintes de cisaillement seront maximale

σ −σ y σ −σ y dτ XY = 0 ⇔ −2 ⋅ x ⋅ cos(2θ ) − 2τ xy ⋅ sin(2θ ) = 0 ⇒ tg (2θ 2 ) = − x 2 2τ xy dθ On remarquera que tg (2θ 1 ) ⋅ tg (2θ 2 ) = −1 ce qui signifie que 2θ 1 et 2θ 2 sont séparés de 90° d’où .

θ 1 − θ 2 = ±45°

⎛σ x −σ y ⎜⎜ 2 ⎝

2

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

−

σ x −σ y 2

2θ2

sin (2θ 2 ) = Comme

cos(2θ 2 ) =

On déduit :

τ 1/ 2

−

σ x −σ y

τxy

2

⎛σ x −σ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + τ xy2 2 ⎠ ⎝ 2

τ xy ⎛σ x −σ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + τ xy2 2 ⎠ ⎝ 2

⎛σ x −σ y = ± ⎜⎜ 2 ⎝

2

⎞ σ −σ2 ⎟⎟ + τ xy2 = ± 1 2 ⎠

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6.1.7.

55

Représentation graphique : Cercle de MOHR

Reprenant les équations établies au chapitre 6.1.3 :

σX −

σx +σ y 2

=

⎛σ x −σ y 2 ⎝

τ XY = −⎜⎜

σ x −σ y

⋅ cos(2θ ) + τ xy ⋅ sin(2θ )

2

⎞ ⎟⎟ ⋅ sin(2θ ) + τ xy ⋅ cos(2θ ) ⎠

Et en les mettant au carré, on obtient :

σ +σ y ⎞ ⎛σ x −σ y ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ + τ xy2 ⎜⎜ σ X − x ⎟⎟ + τ XY = ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

⎛σ x +σ y ⎞ Il s’agit donc d’un cercle de centre C ⎜⎜ ,0 ⎟⎟ et de rayon R 2 ⎝ ⎠

⎛σ x −σ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + τ xy2 ⎝ 2 ⎠ 2

σy

σx

σx +σ y

σ x −σ y

2

2

τxy y

τ

x O

A(σx, τxy) R O

σx

τxy σ

C

B(σy, -τxy)

σy

tg (2θ1 ) =

1

2τ xy

⎛σ x −σ y ⎜⎜ 2 ⎝

2

⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠

σ x −σ y

Méthodologie : on positionne dans un premier temps le 1er point (σx, τxy) puis le 2ème (σy, -τxy) et on trace le diamètre en vérifiant que le centre passe bien en C. On trace ensuite le cercle de centre C, les contraintes principales correspondant à l’intersection du cercle et de l’axe σ. 1

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56 σ2

τ σ1 2 2θ1

σ2 O

θ1 1

σ1 σ

C

O

1

6.1.8.

Equations d’équilibre de surface

ds

Ty n σx

y

θ

θ

dy T

Tx

τxy

τxy

x

σy dx

Les équations d’équilibre s’écrivent donc :

dy dx + τ xy ⋅ ds ds dy dx ⋅ +σ y ⋅ ds ds

Tx ⋅ ds = σ x ⋅ dy + τ xy ⋅ dx ⇒ Tx = σ x ⋅ T y ⋅ ds = τ xy ⋅ dy + σ y ⋅ dx ⇒ T y = τ xy

1

On remarque que le cercle de Mohr tourne de

− 2θ

quand la facette tourne de

+θ

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57

Plus généralement et en considérant des infiniment petits, ces relations deviennent :

∂y ∂x ⎫ + τ xy ⋅ ⎪ r ∂s ∂s ⇔ T = nr ⋅ σr ⎬ ∂y ∂x Ty = τ xy ⋅ + σ y ⋅ ⎪ ∂s ∂s ⎭ Tx = σ x ⋅

6.1.9.

Convention de signes

La convention de signes retenue pour ce cours est : • • •

σ > 0 si elle agit dans le sens positif d’un axe, Si σ > 0, on parlera de traction, Si σ < 0, on parlera de compression. 6.1.10. Visualisation des contraintes

Deux techniques sont généralement utilisées pour la visualisation des contraintes : la photoélasticité et la simulation numérique.

6.1.10.1.La photoélasticité Le principe de cette méthode expérimentale consiste à placer un solide transparent entre deux filtres polarisants devant une source lumineuse (par exemple un disque en plexiglas comme ci-dessous).

Etude d’un disque contraint La théorie de la photoélasticité permet d’établir : •

Qu’en tout point d’un solide transparent contraint, les axes de polarisation de la lumière traversant ce solide sont parallèles aux directions des contraintes principales,

•

Qu’au point considéré, la différence des vitesses des deux ondes polarisées dans deux directions perpendiculaires est proportionnelle à la différence de ces deux contraintes principales (ce qui permet de mesurer τ).

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58

6.1.10.2.La simulation numérique De manière très sommaire, la méthode consiste à diviser la structure étudiée en un certain nombre de sous domaines de comportements connus et à simuler l’ensemble par addition de ceux-ci.

Disque déformé

Disque non déformé

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6.2.

59

Les déformations 6.2.1.

Définitions

Sous l’effet de chargements thermiques ou de forces externes, un corps déformable réagit à ces sollicitations de telle manière que chacun des points constituant sa géométrie se déplace dans l’espace. Ce mouvement peut être décomposé en 3 phases distinctes : • • •

Une translation d’ensemble (mouvement de corps rigide en translation), Une rotation d’ensemble (mouvement de corps rigide en rotation), Une déformation pure. y

y

y

x

x

Translation d’ensemble

x

Rotation s’ensemble

Déformation pure

La déformation qui correspond à un mouvement relatif d’un point par rapport à un autre du même corps, suit l’hypothèse de « petits déplacements » généralement utilisée dans les domaines de la construction.

6.2.2.

Déplacements

Considérant un corps de forme quelconque, le déplacement de tout point numéroté de 1 à n correspondant au mouvement de sa position d’origine vers sa position d’arrivée peut se décomposer en trois déplacements u, v et w exprimés dans un repère orthonormé : y v

j

δn

i u

x

k w z

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60

δn = u ⋅i + v ⋅ j + w ⋅ k Où les composantes u, v et w du déplacement sont généralement des fonctions de x, y et z.

6.2.3.

Etat plan de déformation

L’étude tridimensionnelle des déplacements (et donc des déformations) étant relativement complexe, nous nous limiterons à celle de l’état plan de déformation. Dans ce cas, le champ de déplacement se réduit à : • • •

u = u(x,y), v = v(x,y), w = 0.

y C’ C

dy

A’ B’ B

A

y

x dx

x

On définit la déformation normale ε comme étant la variation relative de longueur entre 2 points dont les positions correspondent aux états avant et après déformation. On peut donc écrire :

A' B'− AB AB A' C '− AC ε y = lim dy →0 AC

ε x = lim

dx →0

De la même manière, on peut définir comme déformation de cisaillement associée γ, la variation d’angle correspondant aux lignes AB et AC, soit :

⎛π ⎞ − B ' A' C ' ⎟ ⎝2 ⎠

γ xy = lim tg ( BAC − B' A' C ' ) = lim tg ⎜ dx →0 dy →0

dx →0 dy →0

Comme les déformations sont supposées petites (⇒ tg (θ ) ≈ θ ) , on a :

⎛π ⎞ − B ' A' C ' ⎟ ⎝2 ⎠

γ xy = lim ⎜ dx →0 dy →0

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6.2.4.

61

Relation entre déplacements et déformations

π ∂u u + dy ∂y

y

2

− γ xy

C’

v+

∂v dy ∂y

C A’

dy

B’ v

v+

∂v dx ∂x

B A

u

u+

y

∂u dx ∂x x

x

dx

∂u dx − u − dx A' B'− AB ∂u ∂ x = ε x = lim = lim dx → 0 dx → 0 AB dx ∂x 1 ∂v dy + v + dy − v − dy A' C '− AC ∂v ∂y = lim = ε y = lim dy →0 dy →0 AC dy ∂y dx + u +

γ xy

1

2

⎛ ∂u ⎛ ⎞⎞ ∂v ⎜ dy ⎟ ⎟ ⎜ dx π π ∂y ⎛π ⎞ ⎟ ⎟ = ∂v + ∂u = lim ⎜ − B ' A' C ' ⎟ = lim ⎜⎜ − ⎜ − ∂x − dx →0 →0 2 2 ⎜ 2 dx(1 + ε x ) dy (1 + ε y ) ⎟ ⎟ ∂x ∂y ⎠ dx dy →0 ⎝ dy →0 ⎜ 1424 3 1424 3 ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ≈ dx ≈ dy ⎝ ⎠⎠ ⎝

∂u correspond à un taux d’accroissement du déplacement u par rapport à x ∂x ∂v ∂u correspondent à des angles. ; ∂x ∂y

2

(idem pour v par rapport à y).

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62

Pour les non initiés aux calcul différentiel, il est possible d’établir cette relation en considérant quatre infiniment petits du , dv, du1 , dv1 ce qui permet d’écrire :

π 2

− γ xy

du1

y

C’

v + dv C B’

A’

dv1

dy v B A

u

u + du

y

x x

dx

A' B'− AB dx + u + du − u − dx du = = lim dx → 0 AB dx dx A' C '− AC dy + v + dv − v − dy dv ε y = lim = lim = dy →0 dy → 0 AC dy dy

ε x = lim

dx →0

⎛π ⎞ dv du − B' A' C ' ⎟ = 1 + 1 dx → 0 2 dy ⎠ dx dy →0 ⎝

γ xy = lim ⎜

La même démarche appliquée aux deux autres plans permet d’obtenir les relations tridimensionnelles suivantes :

∂u ∂v ∂u γ xy = + ∂x ∂x ∂y ⎡ε xx ε xy ⎢ ∂w ∂v ∂v ce qui donne sous forme matricielle : ⎢ε xy ε yy εy = γ yz = + ∂y ∂z ∂y ⎢⎣ε xz ε yz ∂w ∂u ∂w + εz = γ zx = ∂z ∂z ∂x 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ + avec ε ij = ⎜ et (γ ij = 2 ⋅ ε ij 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠

εx =

ε xz ⎤ ⎥ ε yz ⎥ ε zz ⎥⎦ qd i ≠ j)

On parlera dans ce cas de tenseur des déformations.

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6.2.5. y

63

Déformations planes dans un repère quelconque

X = x cos(θ ) + y sin(θ )

Y

Y = − x sin(θ ) + y cos(θ ) x = X cos(θ ) − Y sin(θ ) y = X sin(θ ) + Y cos(θ )

X V

U

v

θ u x

Les déplacements suivant les mêmes règles de transformation, il est possible d’établir :

U = u cos(θ ) + v sin(θ )

V = −u sin(θ ) + v cos(θ ) Les relations différentielles liées au changement de base1 nous permettent d’écrire :

∂U ∂U ∂x ∂U ∂y ∂U ∂U ⋅ sin (θ ) = ⋅ + ⋅ = ⋅ cos(θ ) + ∂y ∂X ∂x ∂X ∂y ∂X ∂x ∂V ∂V ∂x ∂V ∂y εY = = ⋅ + ⋅ ∂Y ∂x ∂Y ∂y ∂Y

εX =

γ XY =

∂U ∂V ⎛ ∂V ∂x ∂V ∂y ⎞ ⎛ ∂U ∂x ∂U ∂y ⎞ ⎟+⎜ ⎟ ⋅ ⋅ + ⋅ + =⎜ ⋅ + ∂Y ∂X ⎜⎝ ∂x ∂X ∂y ∂X ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x ∂Y ∂y ∂Y ⎟⎠

⎛ ∂u ⎞ ∂v ∂v ⎛ ∂u ⎞ cos(θ ) + sin(θ )⎟ cos(θ ) + ⎜⎜ cos(θ ) + sin (θ )⎟⎟ sin (θ ) ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

εX = ⎜ d’où pour εX : ε X =

⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂u ∂v cos 2 (θ ) + sin 2 (θ ) + ⎜⎜ + ⎟⎟ sin (θ ) cos(θ ) ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠

ε X = ε x cos 2 (θ ) + ε y sin 2 (θ ) + γ xy sin (θ ) cos(θ )

En utilisant les relations trigonométriques de l’angle double, on obtient pour :

εX = εY = γ XY 2 On remarquera que : 1 2

«

εx +εy 2 εx +εy 2

=−

+ −

εx −εy 2 εx −εy

εx −εy 2

2

cos(2θ ) + cos(2θ ) −

sin (2θ ) +

γ xy 2

γ xy 2

γ xy 2

sin (2θ ) sin (2θ ) 2

cos(2θ )

ε X + εY = ε x + ε y

On se réfèrera au chapitre 2.4.3 pour plus de détails sur ces développements Ces relations sont très similaires à celles trouvées pour les contraintes. Cependant, on notera néanmoins que le

γ xy 2

» correspond à τ XY pour les contraintes (cf. exemple 3 - § 6.4.3).

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6.2.6.

64

Déformations principales et cisaillement max/min

Comme pour les contraintes principales vues au chapitre 6.1.3, il serait possible d’établir que la direction θ1 peut être déterminée à partir de : tg (2θ 1 ) =

γ xy εx −εy

et que les déformations principales

selon les directions 1 et 2 (dans ce cas γ = 0) sont obtenues par :

ε1 =

εx +εy 2

⎛εx −εy + ⎜⎜ ⎝ 2

ε +εy ⎞ ⎛ γ xy ⎞ ⎛εx −εy ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ; ε 2 = x − ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2

2

De la même façon, les cisaillements extrêmes seront égaux à :

6.2.7.

⎞ ⎛ γ xy ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

max γ min = ± (ε 1 − ε 2 ) .

Convention de signes

La convention de signes retenue pour ce cours est : • •

ε > 0 s’il y a allongement, γ > 0 si l’angle formé par des cotés dirigés dans le sens positif des axes de référence diminue.

6.2.8.

Jauge de déformation - Méthode de la Rosette

Les contraintes n’étant pas mesurables directement, la méthodologie généralement utilisée pour estimer contraintes et déformations passe par l’utilisation de jauge de déformation. Utilisant la loi d’Ohm U = RI et sachant que la résistance électrique d’un matériau est donnée par : R = respectivement longueur et section du filament,

ρ

ρ⋅

L L, S S

résistivité du matériau en

Ohm.mètre, le principe consiste à mesurer la variation de résistance ∆R résultant de la variation de longueur ∆L liée à la mise en charge de la pièce sur laquelle est collée la jauge. De plus et en utilisant un assemblage de 3 jauges appelé « Rosette » (généralement à 45° ou 60°), il est possible très rapidement d’établir les contraintes principales en un point. Par exemple et pour une rosette à 45°, il suffit de poser :

εc

εb

εX =

εx +εy 2

+

εx −εy 2

ε x = ε a ;ε y = ε c ;ε b = θ = 45°

εa

ε 1/ 2 =

εx +εy 2

cos(2θ ) +

εx +εy 2

⎛εx −εy ± ⎜⎜ ⎝ 2

+

γ xy

γ xy

2

εx +εy 2

+

γ xy 2

2

⎞ ⎛ γ xy ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ 2 2

sin(2θ ) ⇔ ε X =

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

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6.3.

65

Théorie de l’élasticité 6.3.1.

Essai de traction pure

y

H

Section S

D P

∆L

L z La contrainte normale appliquée est égale à

εx =

x

σx =

P alors que la déformation peut être évaluée par S

∆L 1 . En faisant varier P, l’évolution de la contrainte normale en fonction de la déformation L

axiale pour un matériau élastique isotrope peut être schématisée dans le cas d’un acier doux2 de la manière suivante :

σu σe

Essai de traction pure

σx

E=

Zone linéaire élastique

σx εx

Zone plastique

εx Raffermi ssement

Rupture

Avec : • • • •

fy,σe : contrainte limite d’élasticité, fu,σu : contrainte limite de rupture, E : module d’élasticité longitudinal ou module de Young (pour l’acier E = 2.1 1011 N/m2), Les matériaux peuvent être ductiles3 ou fragiles.

1

On notera que la déformation est sans unité. Elle est néanmoins évaluée en m/m. Il s’agit bien évidemment d’un exemple de comportement. Celui-ci peut en effet varier sensiblement d’un matériau à un autre. Ceci étant, ils ont tous une zone linéaire élastique d’ampleur variable. 3 Ductilité : capacité d’un matériau à s’allonger en phase plastique. 2

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La zone élastique linéaire1 est caractérisée par une relation

66

σ xx = E ⋅ ε xx , appelée loi de Hooke,

liant

linéairement contraintes et déformations. En plus de la déformation axiale, une déformation transversale dite de striction est observée également dans le domaine élastique :

σ ∆H = −ν ⋅ ε x = −ν ⋅ x H E σx ∆D = −ν ⋅ ε x = −ν ⋅ εz = D E

εy =

Avec ν coefficient de Poisson et 0 ≤ ν < 0.5. La valeur de ν = 0.5 correspond aux matériaux incompressibles dont le volume demeure constant. A titre d’exemple, prenons un barreau en acier (σ e = 235MPa ) de section 10 x 20 mm et de longueur 200 mm. Sachant qu’une des ses extrémités est fixe, il est soumis à un allongement de 0.8 mm appliqué à une vitesse de 0.02 mm par seconde. Le temps de chargement est donc de 40 secondes. Le chargement est ensuite relâché suivant la même vitesse.

Allongement du barreau à t = 40 secondes2 1

On se limitera dans le reste du cours à cette zone linéaire élastique. Il s’agit bien sûr d’une simulation numérique. On notera l’effet de striction (exagéré 4 fois plus que l’allongement). 2

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67

D’après la loi de Hooke, la plastification du barreau devrait arriver pour une déformation égale à

σe

235 = 1.12 ⋅ 10 −3 E 210000 −3 ce qui correspond à un allongement ∆L de 1.12 ⋅ 10 ⋅ 200 = 0.224mm soit un temps t = 0.224 / 0.02 = 11.2 s .

ε xx =

=

Lors de la décharge, la courbe contrainte – déformation suit une parallèle à celle de la montée en charge. On observe alors une déformation permanente lors de l’obtention de la contrainte nulle.

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68

6.3.1.1. Le matériau Acier

Caractéristiques des aciers en fonctions de leur épaisseur t Limites élastique fy (MPa) t ≤ 16 mm 16 < t ≤ 40 mm 40 < t ≤ 63 mm

Nuances d’aciers (EN 10025) S 235

S275

S355

235 225 215

275 265 255

355 345 335

360/510 340/470

430/580 410/560

510/680 490/630

18 % 23 %

15 % 19 %

15 % 19 %

Contrainte de rupture en traction fu (MPa) t ≤ 3 mm 3 < t ≤ 100 mm Allongement minimal moyen ε t ≤ 3 mm 3 < t ≤ 40 mm

6.3.1.2.Le matériau Béton • • • •

fc28 : résistance caractéristique à la compression, ft28 : résistance caractéristique à la traction, ft28 = 0.6 + 0.06 fc28, Module pour les déformations instantanées :

Eij = 11000 •

3

fcj avec fcj = fc28 × log(1 + j) en MPa

Module pour les déformations différées : Evj=Eij/3

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Fc28 (Mpa) 20 22 25 30 35

Ft28 (Mpa) 1.8 1.92 2.1 2.4 2.7

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6.3.2.

69

Essai de cisaillement pur

Dans ce cas et si on étudie le cisaillement pur1 dans le plan xy, on peut supposer mais aussi

εx = εy = εz = 0

γ yz = γ xz = 0 .

La seule déformation présente est donc

γ xy

qui peut être reliée à la contrainte de cisaillement par le

module d’élasticité transversal G. On a donc pour le plan xy :

γ yz = autres plans, on peut établir que :

γ xz =

6.3.3.

τ yzz

τ xy G

. Par extension sur les deux

G

τ xz G

Principe de superposition des états d’équilibre2

P1

P2

P1+P2

=

+ u1, ε1 6.3.4.

γ xy =

u2, ε2

u1+u2, ε1+ ε2

Relation Déformations – Contraintes

Se basant toujours sur une hypothèse de linéarité élastique, l’application de la démarche précédente à deux autres essais de traction dans les directions y et z, amènerait à des résultats tout à fait similaires (permutations croisées des indices x, y et z). De ce fait et en raison de la linéarité, la relation entre déformations et contraintes normales peut être obtenue par superposition des 3 états d’équilibre soit :

1 [σ x − ν (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )] E 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )] E

εx =

γ xy = γ yz = γ xz = avec

τ xy G

τ yzz G

τ xz G

⎡ 1 ⎢ E ⎢ ν ⎢− ⎢ E ⎢− ν ⎢ ⇔ {ε } = [D ]{σ } avec [D ] = ⎢ E ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

{σ }T = {σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ xz }

−

ν

E 1 E

−

ν

E

− −

ν E

ν

E 1 E

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G

0

0

0

0

1 G

0

0

0

0

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ G⎦

{ε }T = {ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ xz }

Pour cela, il suffit de faire un essai biaxial d’intensité + σ (traction) dans une direction et − σ (compression) dans l’autre. Dans ce cas, le cercle de Mohr est centré. 2 Le principe de superposition des états d’équilibre n’est valable que dans le domaine linéaire élastique. 1

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6.3.5.

70

Relation Contraintes - Déformations

[

]

[

]

[

]

E ε (1 − ν ) + ν (ε y + ε z ) (1 + ν )(1 − 2ν ) x E σy = ε (1 − ν ) + ν (ε x + ε z ) (1 + ν )(1 − 2ν ) y E σz = ε (1 − ν ) + ν (ε x + ε y ) (1 + ν )(1 − 2ν ) z τ xy = Gγ xy

σx =

τ yz = Gγ yz τ xz = Gγ xz Soit sous forme matricielle :

ν ν ⎡1 − ν ⎢ ν ν 1 −ν ⎢ ⎢ ν ν 1 −ν ⎢ E 0 0 ⎢ 0 {σ } = [H ]{ε } avec [H ] = (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 6.3.6.

0 0 0 1 − 2ν 2

0 0 0 0

0

1 − 2ν 2

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ = [D ]−1 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2ν ⎥ 2 ⎥⎦ 0 0 0

Calcul du module d’élasticité transversal G

Considérant un état plan de déformation, la relation déformations – contraintes exprimée dans le repère principal nous permet d’écrire en cisaillement pur que :

1 [σ 1 − νσ 2 ] = 1 + ν τ E E 1 1 +ν ε 2 = [σ 2 − νσ 1 ] = − τ E E

ε1 =

Par ailleurs, on sait que la déformation maxi de cisaillement est donnée par :

γ xy = ε 1 − ε 2 = ⇒G =

τ 2(1 + ν ) τ= E G

τ

σ2=-τ

σ1=τ O

C

E 2(1 + ν )

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σ

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6.3.7.

71

Etat plan de déformation

Considérant un solide de section transversale constante, l’hypothèse de déformations planes consiste à considérer un comportement plan identique quelque soit la profondeur. En d’autres termes, le solide peut être décomposé en « tranches » d’épaisseur unitaire, le calcul se limitant à l’étude d’une seule de ces tranches. En conséquence, toutes les déformations associées à l’axe transversal, z en l’occurrence, seront prises égales à zéro. y

ε yy

x

ε xx ε zz = 0

z

⎡ ε zz = γ xz = γ yz = 0⎫ ⎧σ xx ⎫ ν ⎢1 − ν E ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ν 1 −ν τ xz = τ yz = 0 ⎬ ⇒ ⎨σ yy ⎬ = ( )( ) + − 1 1 2 ν ν ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ σ zz = ν (σ xx + σ yy )⎭ ⎩τ xy ⎭ 0 ⎢ 0 ⎣

6.3.8.

⎤⎧ ⎫ ⎥ ⎪ε xx ⎪ 0 ⎥ ⎨ε yy ⎬ 1 − 2ν ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ γ xy 2 ⎦⎩ ⎭ 0

Etat plan de contrainte z

σ zz = 0

x

σ xx σ yy

y

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72

A l’inverse des déformations planes, l’hypothèse de contraintes planes suppose que toutes les contraintes associées à l’axe transversal, z dans notre cas, sont nulles.

⎫

σ zz = τ xz = τ yz = 0 ⎪ ⎧σ xx ⎫ E ⎪ ⎪ ⎪ γ xz = γ yz = 0 ⎬ ⇒ ⎨σ yy ⎬ = 2 ⎪ ⎪τ ⎪ 1 − ν ν ε zz = − (σ xx + σ yy )⎪ ⎩ xy ⎭ ⎭

E

⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎧ε xx ⎫ ⎢1 ν ⎪ ⎪ ⎢ν 1 0 ⎥ ⎨ε yy ⎬ ⎢ 1 −ν ⎥⎪ ⎪ ⎢0 0 ⎥ γ xy 2 ⎦⎩ ⎭ ⎣

Cette hypothèse sera d’ailleurs retenue pour les plaques qui de part leur géométrie (faible épaisseur comparée aux autres dimensions) ont un comportement de ce type.

6.3.9.

Energie de déformation

6.3.9.1.Cas du chargement uniaxial

Px

Px dy

dz

y dx

x

z Considérant une charge Px appliquée à un infiniment petit de dimensions dx, dy, dz, l’énergie de déformation par unité de volume associée à l’allongement δx s’écrira : δx

∫ P ⋅ dδ x

dW =

0

V

x

δx

ε

ε

x x Px dδ 1 σ2 =∫ ⋅ x = ∫ σ x ⋅ dε x = ∫ E ⋅ ε x ⋅ dε x = ⋅ E ⋅ ε x2 = x dy2 ⋅3 dz { dx 2 2⋅E 0 1 0 0

S

dε x

De la même façon, il est possible de démontrer pour les contraintes de cisaillement que l’énergie développée est égale à : γ xy

γ xy

0

0

dW = ∫ τ xy ⋅ dγ xy = ∫ G ⋅ γ xy ⋅ dγ xy =

τ xy 1 ⋅ E ⋅ γ xy2 = 2 2⋅G

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2

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73

6.3.9.2.Cas général Plus généralement et si ce même infiniment petit subit successivement les cas de chargement suivants : • • •

σ x uniquement, Cas 2 : les contraintes σ x et σ y appliquées simultanément, Cas 3 : les contraintes σ x , σ y et σ z appliquées simultanément,

Cas 1 : la contrainte

L’énergie de déformation s’exprime alors pour ces 3 cas : •

•

Cas 1 : dW1 =

Cas 2 : dW2 =

εx

εx

0

0

εy

εx

∫ σ x ⋅ dε x = ∫ E ⋅ ε x ⋅ dε x =

∫σ

y

0

D’où dW2 =

•

σ y2 2⋅ E

Cas 3 : dW3 =

εy

−ν ⋅ε y

0

0

σ x ⋅σ y E εy

εx

εz

∫σ

εy

σ ⎞ ⎛ ⋅ dε y + ∫ σ x ⋅ d ε x = ∫ E ⋅ ε y ⋅ dε y + ∫ σ x ⋅ d ⎜⎜ − ν ⋅ y ⎟⎟ { E ⎠ ⎝ 0

−ν ⋅

σ2 1 ⋅ E ⋅ ε x2 = x 2 2⋅ E

z

⋅ dε z + ∫ σ x ⋅ d ε x + ∫ σ y ⋅ d ε y { { 0 0 −ν ⋅ε z

0

−ν ⋅ε z

εz εz ε σ y ⋅σ z σ ⋅σ σ ⎞ z σ ⎞ σ2 ⎛ ⎛ dW3 = ∫ E ⋅ ε z ⋅ dε z + ∫ σ x ⋅ d ⎜ − ν ⋅ z ⎟ + ∫ σ y ⋅ d ⎜ − ν ⋅ z ⎟ = z − ν ⋅ x z − ν ⋅ E⎠ 0 E ⎠ 2⋅ E E E ⎝ ⎝ 0 0

De plus, l’énergie de déformation liée aux cisaillements est égale à : γ xy

γ yz

γ xz

dW4 = ∫ τ xy ⋅ dγ xy + ∫ τ yz ⋅ dγ yz + ∫ τ xz ⋅ dγ xz = 0

0

0

τ xy2 2⋅G

+

τ yz2 2⋅G

+

τ xz2 2⋅G

Après cumul, l’énergie de déformation totale a pour expression finale :

dW = dW1 + dW2 + dW3 + dW4 ⇒ W =

ν 1 1 σ x2 + σ y2 + σ z2 ⋅ dV − ∫ (σ x ⋅ σ y ⋅ +σ y ⋅ σ z + σ x ⋅ σ z ) ⋅ dV + τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 ⋅ dV ∫ 2⋅E V 2 ⋅ G V∫ EV

(

)

(

)

d’où la relation en fonction des contraintes et déformations :

W=

1 (σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ xz ⋅ γ xz )⋅ dV = 1 ∫ {σ }T ⋅ {ε }⋅ dV ∫ 2V 2V

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6.4.

74

Exemples 6.4.1.

Exemple 1 : Allongement d’un barreau

A x C L

B

x

On suspend un barreau de section uniforme par son extrémité supérieure. Le matériau du barreau a une masse volumique ρ et un module d’élasticité E. Sous l’effet u poids du barreau : a) Démontrer que la déformation axiale au point C situé à une distance x de l’extrémité supérieure est égale à

⎛L− x⎞ ⎟ , où g est l’accélération terrestre, ⎝ E ⎠

ρ ⋅ g ⋅⎜

b) Calculer le déplacement vertical du point C ; déduire l’allongement total du barreau.

Réponse :

a)

σ=

ρ ⋅ g ⋅ S ⋅ (L − x ) ρ ⋅ g ⋅ (L − x ) P = E ⋅ε ⇒ ε = = S E⋅S E

x x du ρ ⋅ g ⋅ (L − x ) ρ⋅g ⎡ x2 ⎤ b) ε = ⇒ u ( x ) = ∫ ε ⋅ dx = ∫ ⋅ dx = ⋅ − L x 2 ⎥⎦ 0 dx E E ⎢⎣ 0 0 ρ ⋅ g ⋅ L2 Allongement total du barreau (x = L) : δ = 2E

x

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6.4.2.

75

Exemple 2 : Etude d’un assemblage bois collé

Un barreau de bois est fait de 2 morceaux collés ensemble à un angle α (0 < α < 90°). La colle et le bois peuvent supporter respectivement une contrainte normale en tension de 4 et 10 MPa. Le barreau est soumis à une charge P en tension. Plan d’assemblage b = 20 mm P h = 30 mm α a) Lorsque α = 55°, calculer la plus grande valeur de P qu’on peut appliquer au barreau, b) Serait il possible de spécifier une valeur de α de sorte que la résistance en traction du barreau soit la plus grande possible. Réponse : AT

A

b = 20 mm

P

h = 30 mm α

sin α =

A et A = 20 x 30 = 600 mm2 AT a) A l’interface, la contrainte normale suivant x est égale à :

x

σx =

α α

D’où

α

n

P P = sin α et σ n = σ x sin α AT A

σn =

P 2 sin α A

Sachant que la colle a une contrainte normale limite de 4 MPa, on déduit pour α = 55 ° que :

P=

σn ⋅ A = 3576 N sin 2 α

b) On sait que la contrainte normale admissible par le bois est de 10 MPa. On déduit donc la charge maximale admissible par le bois en posant :

⎛ σn ⋅ A ⎞ ⎟ = 39.2° ⇒ Pmax = 6000 N et α = asin⎜⎜ ⎟ P A max ⎠ ⎝

(σ x )max = 10MPa = Pmax

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6.4.3. c

εc

76

Exemple 3 : Détermination des contraintes dans une rosette

εb

La rosette à 45° enregistre les déformations suivantes en un point I situé sur une surface libre d’une plaque en acier (module d’élasticité E de 200 GPa ; coefficient de Poisson ν de 0.3) :

b

εa= 640 µ ; εb= 480 µ ; εc= -200 µ 1 θ = 45°

εa

I

Déterminer les contraintes principales ainsi que la contrainte de cisaillement maximale qui agissent en ce point. Illustrer les résultats à l’aide de Mohr de déformations.

a

Vérifier les résultats précédents à l’aide du cercle de Mohr de Contraintes.

εX =

εx +εy

+

εx −εy

2 ε x = ε a = 640µ

2

cos(2θ ) +

γ xy 2

sin(2θ ) ⇔ ε X =

εx +εy 2

+

γ xy 2

ε y = ε c = −200µ ε b = 480 =

ε1 = ε2 =

εx +εy 2

εx +εy 2

εx +εy 2

+

γ xy 2

=

640 − 200 γ xy + ⇒ γ xy = 520 µ 2 2

2 2 ⎛ ε x − ε y ⎞ ⎛ γ xy ⎞ 640 − 200 ⎛ 640 + 200 ⎞ ⎛ 520 ⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 714 µ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

2

2 2 ⎛ ε x − ε y ⎞ ⎛ γ xy ⎞ 640 − 200 ⎛ 640 + 200 ⎞ ⎛ 520 ⎞ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = −274 µ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

2

2

γ/2 (640,260)

2θ1

ε2 O

ε1

C

ε

(-200,-260)

1 2

µ = 10-6 (notation synthétique) Attention : le cercle de Mohr de déformation a pour ordonnée γ/2.

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77

2 E11 62.7 8 E σx = ε x + ν (ε y ) = 127.5MPa 1 −ν 2 E σy = ε y + ν (ε x ) = −1.75MPa 1 −ν 2 τ xy = Gγ xy = 40MPa

(

(

σ1 = σ2 =

σ x +σ y 2

σ x +σ y 2

[ ) [ )

]

]

⎛σ x −σ y + ⎜⎜ 2 ⎝

⎞ 127.5 − 1.75 ⎛ 127.5 − (−1.75) ⎞ 2 ⎟⎟ + τ xy2 = + ⎜ ⎟ + 40 = 138.9MPa 2 2 ⎝ ⎠ ⎠

⎛σ x −σ y − ⎜⎜ 2 ⎝

⎞ 127.5 − 1.75 ⎛ 127.5 − (−1.75) ⎞ 2 ⎟⎟ + τ xy2 = − ⎜ ⎟ + 40 = −13.1MPa 2 2 ⎝ ⎠ ⎠

2

2

2

2

ou 2 E11 62.7 8 E [ε 1 + ν (ε 2 )] = 138.9MPa σ1 = 1 −ν 2 E σ2 = [ε 2 + ν (ε 1 )] = −13.1MPa 1 −ν 2

6.4.4.

(

)

(

)

Exemple 4 : Etude des contraintes sur une facette

Au point I situé sur la surface d’une plaque en aluminium (module d’élasticité E de 70 GPa ; coefficient de Poisson ν de 0.3) en état plan de contrainte, les déformations mesurées se réduisent aux composantes suivantes : εx= -500 µ ; εy= 900 µ ; γxy= 400 µ

z I

a) Déterminer les contraintes associées au système d’axes (x,y), b) Déterminer les contraintes principales ainsi que la contrainte de cisaillement maximale qui agissent en ce point. Illustrer les résultats à l’aide du cercle de Mohr.

y x

On rappelle que la loi de Hooke en état plan de contrainte s’exprime sous la forme :

E (1 − ν 2 ) [ε x + ν (ε y )] E σy = (1 −ν 2 ) [ε y + ν (ε x )] σz = 0

σx =

τ xy = Gγ xy

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78

7.69 E 10 6 78 E σx = (1 − ν 2 )[ε x + ν (ε y )] = −17.7 MPa E σy = (1 −ν 2 ) [ε y + ν (ε x )] = 57.7 MPa τ xy = Gγ xy = 10.8MPa

σ1 = σ2 =

σ x +σ y 2

2 ⎛σ −σ y ⎞ − 17.7 + 57.7 ⎛ − 17.7 − 57.7 ⎞ 2 + ⎜⎜ x ⎟⎟ + τ xy2 = + ⎜ ⎟ + 10.8 = 59.2 MPa 2 ⎠ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝

σ x +σ y 2

2

2 ⎛σ x −σ y ⎞ − 17.7 + 57.70 ⎛ − 17.7 − 57.7 ⎞ 2 2 − ⎜⎜ ⎟⎟ + τ xy = − ⎜ ⎟ + 10.8 = −19.2 MPa 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛σ −σ y ⎞ σ −σ2 = ± ⎜⎜ x ⎟⎟ + τ xy2 = ± 1 = ±39.2 MPa 2 ⎠ 2 ⎝ 2

τ 1/ 2

tg (2θ ) =

2τ xy

σ x −σ y

= −0.286 ⇒ θ = −7.98°

τ

(-17.7,10.8)

σ2

2θ

σ1 O

σ

C

(57.7,-10.8)

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6.4.5.

79

Réaction qui équilibre F en C

Exemple 5 : Etude d’un système à 2 barres H VC

VA Y

A

HA

C

X

HC

F

E, S

α

L

α

F

F

B P

VB

α

δ CB = δ AB

AN : α = 30° ; L = 6 m, P = 10 kN ; E = 210 GPa ; S = 100 mm2 d° Hyper = 4 -3 =1 mais on sait par symétrie que les efforts dans les barres AB et CB sont égaux. Donc les résultantes des réactions sont égales, les composantes de celles-ci étant liées avec la tangente de l’angle α. La symétrie de la structure nous permet d’établir que : FAB = FCB = F

∑ F / x = − F ⋅ sin (α ) + F ⋅ sin (α ) = 0 D’où F grâce à l’équilibre du nœud B : ∑ F / y = F ⋅ cos(α ) + F ⋅ cos(α ) − P = 0 ⇒F= Réactions :

∑F / X = H + H = 0 ∑ F /Y = V +V − P = 0 A

A

1

1

P = 5.773kN 2 cos(α )

C

C

Dans ce cas, l’inconnue est une force.

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∑ M / A = −P × H + V

C

tg (α ) =

80

P P ⇒ V A = = 5kN 2 2

× 2 H = 0 ⇒ VC =

HC ⇒ H c = Vc ⋅ tg (α ) = 5 × tg (30) = 2.89kN ⇒ H A = −2.89kN Vc

Contraintes – Déformations :

σ AB =

σ δ FAB 5773 = = 57.73MPa ⇒ ε AB = AB = 2.75 10 − 4 ε AB = AB ⇒ δ AB = 1.65 10 −3 m S 100 E L

Déplacement en B : en raison de l’hypothèse de petites déformations (et petits déplacements), on peut considérer que l’angle α a peu varié durant la déformation de la structure. On a donc : cos(α ) =

δ AB VB

6.4.6.

⇒ VB =

δ AB = 1.90 10 −3 m . cos(α )

Exemple 6 : Etude d’un système à 3 barres H VD

VA

A

VC

D

HA

HD

HC

E, S

α

L

C

α

FBD F

F

B P

VB

α

δ CB

AN : α = 30° ; L = 6 m, P = 10 kN ; E = 210 GPa ; S = 100 mm2

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81

d° Hyper = 6 -3 =3 mais on sait par symétrie que les efforts dans les barres AB et CB sont égaux. Donc les résultantes des réactions sont égales, les composantes de celles-ci étant liées avec la tangente de l’angle α. La symétrie de la structure nous permet d’établir que : FAB = FCB = F (car rien ne permet de dire que FBD = F). L’équilibre du nœud B nous donne donc :

∑ F / x = − F ⋅ sin (α ) + F ⋅ sin (α ) = 0 ∑ F / y = F ⋅ cos(α ) + F ⋅ cos(α ) + F

BD

Par ailleurs, on sait que

δ AB = δ CB = VB ⋅ cos(α )

et

−P=0

.

δ DB = VB 1.

ε AB = ε CB = Il en résulte pour leurs déformations respectives :

δ DB

δ AB L

=

VB ⋅ cos(α ) L

VB LDB L ⋅ cos(α ) V ⋅ cos(α ) F = σ CB = = Eε AB ⇒ F = ES ⋅ B S L VB F = DB = Eε DB ⇒ FDB = ES ⋅ S L ⋅ cos(α )

ε DB =

σ AB puis leurs contraintes :

σ DB

=

En reportant ces deux expressions dans celle obtenue pour l’équilibre du nœud B, on obtient :

2 F ⋅ cos(α ) + FBD − P = 0 ⇔ 2 ⋅ ES ⋅ P ⋅ cos(α )

⇒ VB =

(

)

VB ⋅ cos(α ) VB ⋅ cos(α ) + ES ⋅ −P=0 L L ⋅ cos(α )

= 1.076 10 −3 m

ES 1 + 2 ⋅ cos 3 (α ) L V ⋅ cos(α ) cos(α ) P ⋅ cos(α ) P ⋅ cos 2 (α ) = 3.26kN F = ES ⋅ B = ES ⋅ ⋅ = 3 ES L L ( ) α 1 + 2 ⋅ cos 3 1 + 2 ⋅ cos (α ) L d’où : VB 1 P ⋅ cos(α ) P FDB = ES ⋅ = ES ⋅ ⋅ = = 4.35kN 3 L ⋅ cos(α ) L ⋅ cos(α ) ES ( ) α 1 + 2 ⋅ cos 3 1 + 2 ⋅ cos (α ) L

) (

(

(

)

) (

)

Réactions :

∑F / X = H + H + H = 0 ∑ F /Y = V +V +V − P = 0 A

A

C

C

D

D

∑ M / A = −P × H + V

C

tg (α ) =

× 2 H + VD × H = 0 ⇔ − P + 2VC + VD = 0 ⇒ VC =

P − VD = 2.825kN = V A 2

HC ⇒ H c = Vc ⋅ tg (α ) = 2.825 × tg (30) = 1.631kN ⇒ H A = −1.631kN Vc

L’orientation verticale de la barre BD nous permet de déduire aisément que HD=0 et donc que

VD =

1

P = 4.35kN . 1 + 2 ⋅ cos 3 (α )

(

)

Dans ce cas, l’inconnue est un déplacement.

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82

7. Caractéristiques géométriques d’une section 7.1.

Moments statiques – Centres de gravité

7.1.1.

Moment statique d’une aire plane par rapport à un axe

Considérons dans un plan, un contour fermé (C) qui délimite une aire que nous désignerons par Ω et un axe ∆ quelconque :

y C dω A

Ω

δ

H ∆ O z Soit A un point situé à l’intérieur du contour et δ la distance AH de ce point A à l’axe ∆. Cette distance sera comptée positive pour tous les points A situés d’un côté de ∆ et négative pour ceux situés de l’autre côté. Considérons autour de A un élément d’aire infiniment petit dont nous désignerons la grandeur par dω. On appelle moment statique de l’aire Ω par rapport à l’axe ∆, la quantité :

S ∆ = ∑ δ ⋅ dω 1 En posant les distances du point A aux axes Oy et Oz égales à l’ordonnée y et à l’abscisse z de ce point, les moments statiques par rapport aux axes de coordonnées s’exprimeront alors :

S y = ∑ z ⋅ dω S z = ∑ y ⋅ dω En adoptant les notations du calcul intégral, ces moments statiques s’écrivent sous la forme:

S ∆ = ∫ δ ⋅ dω Ω

S y = ∫ z ⋅ dω Ω

S z = ∫ y ⋅ dω Ω

1

Les moments statiques sont exprimés en L3 (m3 par exemple)

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On notera que la quantité δ . dω est le produit d’une longueur δ par une surface dω. Du point de vue des unités, il en résulte qu’un moment statique s’exprime en unité de longueur au cube, par exemple m3 ou cm3.

7.1.2.

Centre de gravité

On appelle centre de gravité de l’aire Ω le point G qui a pour coordonnées :

yG =

En remarquant que

∑ dω

∑ y . dω ; z ∑ dω

G

=

∑ z . dω ∑ dω

peut être remplacée par l’aire Ω (égale à la somme de tous les éléments

d’aire dω contenus à l’intérieur du contour C) et moments statiques (1), on déduit que :

yG =

en tenant compte des relations définissant les

Sy Sz ; zG = Ω Ω

Ces expressions sont valables quels que soient les axes de coordonnées Oy et Oz choisis. Sous formes intégrales, les coordonnées du centre de gravité deviennent :

yG =

∫ y ⋅ dω

Ω

∫ dω

Ω

7.1.3.

; zG =

∫ z ⋅ dω

Ω

∫ dω

Ω

Propriétés des moments statiques

A- Le moment statique d’une aire plane par rapport à un axe ∆ passant par son centre de gravité est nul. Prenons l’axe ∆ confondu à l’axe Ox. Le point G a donc pour ordonnée : y = 0 y

G O

On a donc : S z =

z

∫ y ⋅ dω = 0

Ω

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Inversement si le moment statique par rapport à un axe ∆ est nul, cet axe passe par le centre de gravité de l’aire. Démonstration : Prenons l’axe ∆ confondu avec Oz, on a alors par hypothèse : S z =

∫ y ⋅ dω = 0 ⇒ y = 0

Ω

En conséquence, le centre de gravité G de l’aire est situé sur l’axe Oz, c’est à dire ∆. B- Le moment statique d’une aire plane par rapport à un axe ∆ est égal au produit de la grandeur Ω de cette aire par la distance de son centre de gravité G à l’axe ∆. Prenons l’axe ∆ pour axe des z. On a alors : S ∆ = S z = Ω ⋅ Y

Ce qui démontre bien la propriété puisque Y représente la distance du centre de gravité G de l’aire à l’axe Oz (ou ∆).

C- Si une aire présente un axe de symétrie ZZ, son centre de gravité se trouve obligatoirement sur cet axe. En vertu de la propriété décrite ci-dessus en A, il suffit de démontrer que le moment statique de l’aire par rapport à l’axe ZZ est nul : Considérons deux points A et A’, symétriques par rapport à l’axe ZZ et, autour de ces points, deux éléments d’aires égaux : dω = dω’ A et A’ étant de part et d’autre de ZZ, on a : δ = - δ’ Donc : δ . dω + δ’ . dω’ = 0 En raison de la symétrie, on pourra toujours associer de la même façon les éléments d’aires situés de part et d’autre de l’axe ZZ. Du fait de la relation précédente, le moment statique :

S z = ∑ δ ⋅ dω Z

dω

dω

A’

A δ’

δ

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Conséquence : Si une aire présente deux axes de symétrie, son centre de gravité est à l’intersection de ces deux axes.

G

D- Pour calculer le moment statique d’une aire plane par rapport à un axe ∆, on pourra décomposer l’aire Ω en aires élémentaires Ω1, Ω2, Ω3 … puis calculer les moments statiques S1 ,S2 ,S3 plus aisément. Le moment statique S de la section sera alors la somme des moments statiques des aires élémentaires.

7.2.

Moments d’inertie 7.2.1.

Définition du moment d’inertie

Considérant la courbe C décrite au chapitre 7.1, on appelle moment d’inertie de l’aire Ω par rapport à l’axe ∆ la quantité :

I ∆ = ∑ δ 2 ⋅ dω 1 y C dω A

Ω

δ

H ∆ O z 1

Les moments d’inertie sont exprimés en L4 (m4 par exemple)

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Cette somme étant étendue à l’ensemble des éléments dω compris à l’intérieur du contour C. Plus particulièrement pour les axes Oy et Oz, les moments d’inertie de l’aire Ω s’expriment sous la forme :

I y = ∑ z 2 ⋅ dω I z = ∑ y 2 ⋅ dω En notation intégrale, ces moments d’inertie deviennent :

I ∆ = ∫ δ 2 ⋅ dω Ω

I y = ∫ z 2 ⋅ dω Ω

I z = ∫ y 2 ⋅ dω Ω

Remarque : La quantité δ ⋅ dω est le produit du carré d’une longueur par une surface. Il en résulte qu’au point de vue des unités, un moment d’inertie s’exprime en unité de longueur à la puissance 4 soit des m4, des cm4, etc… 2

On remarquera également qu’un moment d’inertie est toujours positif.

7.2.2.

Rayon de giration

On appelle rayon de giration de l’aire Ω autour de l’axe ∆ , la quantité r∆ tel que :

r∆2 =

I∆ Ω

Plus particulièrement pour les axes Oy et Oz, les rayons de giration correspondants ry et rz sont définis par :

ry2 = 7.2.3.

Iy Ω

; rz2 =

Iz Ω

Produit d’inertie

On appelle produit d’inertie de l’aire Ω par rapport aux axes de coordonnées, la quantité :

I yz = ∑ y ⋅ z ⋅ dω

1

ou en notation intégrale :

I yz = ∫ y ⋅ z ⋅ dω Ω

1

On notera que le produit d’inertie peut être négatif.

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Cette somme étant étendue à l’ensemble des éléments dω compris à l’intérieur du contour C. Le produit d’inertie est une grandeur algébrique qui peut être positive ou négative. Calcul du moment d’inertie par rapport à un axe ∆

7.2.4.

Théorème de HUYGHENS : Le moment d’inertie d’une aire plane Ω par rapport à un axe quelconque ∆ est égal au moment d’inertie de Ω par rapport à un axe ∆G parallèle à ∆ et passant par le centre de gravité G de l’aire augmenté du produit de la grandeur Ω par le carré de la distance qui sépare ∆ et ∆G Démonstration : Considérons en effet l’aire Ω et les axes ∆ et ∆G dont la distance est δ0. Considérons un point A de la surface et un petit élément d’aire dω entourant le point A. Par définition le moment d’inertie I∆ a pour grandeur :

dω

I ∆ = ∑ δ ⋅ dω 2

∆G

δG

G

Ou

I ∆ = ∫ δ 2 ⋅ dω

δ0

Ω

δ ∆

Ce qui permet de déduire que : δ = δG + δ0 En désignant par δG, la distance de l’élément dω à l’axe ∆G. On retrouve donc :

δ2 = (δG + δ0) 2 δ2 = δG2 + 2.δ0.δG + δ0 2

D’où I ∆ =

∑δ

2

⋅ dω = ∑ δ G2 ⋅ dω + 2∑ δ 0 ⋅δ G ⋅ dω + ∑ δ 02 ⋅ dω . I ∆ = ∑ δ G2 ⋅ dω + 2 ⋅ δ 0 ⋅ ∑ δ G ⋅ dω + δ 02 ⋅ ∑ dω

De plus et comme δ0 est constant, on déduit : Or • •

I ∆ G = ∑ δ G2 ⋅ dω correspond au moment d’inertie de l’aire Ω par rapport à l’axe ∆G,

∑δ

G

⋅ dω = 0 car le moment statique de l’aire Ω par rapport à l’axe ∆G passant par le

centre de gravité G de l’aire est nul, •

∑ dω = Ω aire totale limitée par le contour.

D’où la relation de HUYGHENS : I ∆ = I ∆ G + δ 0 ⋅ Ω 2

7.2.5.

Variation du moment d’inertie

Nous venons de voir que le moment d’inertie I ∆ par rapport à un axe ∆ quelconque se ramène au calcul du moment d’inertie par rapport à l’axe parallèle à ∆ et passant par le centre de gravité G.

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88

Nous allons étudier la variation du moment d’inertie par rapport à un axe tournant autour du centre de gravité G. y ∆G dω θ G

z

Rapportons l’aire Ω à deux axes de coordonnées fixes Gy et Gz passant pas le centre de gravité G et désignons par θ l’angle que fait Gz avec l’axe ∆G par rapport auquel on veut déterminer le moment d’inertie. L’inertie par rapport à ∆G s’écrit alors :

I ∆ G = I z cos 2 θ + I y sin 2 θ − I zy sin 2θ

tg 2θ = −

2 I yz Iz − Iy

On voit que le moment d’inertie I∆G dépend de l’angle θ, c’est à dire de l’angle que fait ∆G avec l’axe Oz. Bien sur, si θ varie, I∆G varie ; SI maintenant, on fait subir à l’axe ∆G une rotation de 2π autour du point G à partir de sa position initiale confondue avec l’axe Gz, le moment d’inertie variera de façon continue sans valeurs infinies puisque sin2 θ, cos2 θ et sin 2θ sont toujours compris entre –1 et +1. Au cours de cette variation, I∆G passera donc par deux valeurs l’une plus grande que toutes les autres, l’autre plus petite que toutes les autres. C’est ce que confirme l’étude de variation de I∆G définie par la formule ci dessus. Il existe deux valeurs de θ différent de π/2, c’est à dire deux positions rectangulaires de l’axe ∆G qui correspondent l’une à un maximum de I∆G et l’autre à un minimum. Ces positions de l’axe ∆G s’appellent les axes principaux d’inertie et les moments d’inertie correspondants, les moments d’inertie principaux. On démontre que le produit d’inertie est nul par rapport à ces axes principaux. En résumé : Si l’on considère tous les axes passant par G et les moments d’inertie correspondants, il existe deux axes perpendiculaires l’un à l’autre appelés axes principaux d’inertie pour lesquels les moments d’inertie sont pour l’un maximum et pour l’autre minimum.

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89

Démonstration :

Z = z cos(θ ) + y sin (θ )

Y = − z sin (θ ) + y cos(θ )

y Y

Z

θ z

I Z = ∫∫ Y 2 ds = ∫∫ (− z sin (θ ) + y cos(θ )) ds = I z ⋅ cos 2 (θ ) + I y ⋅ sin 2 (θ ) − 2 ⋅ I yz ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) 2

S

S

I Y = ∫∫ Z 2 ds = ∫∫ ( z cos(θ ) + y sin (θ )) ds = I z ⋅ sin 2 (θ ) + I y ⋅ cos 2 (θ ) + 2 ⋅ I yz ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) 2

S

S

I YZ = ∫∫ Z 2 ds = ∫∫ (− z sin (θ ) + y cos(θ ))( z cos(θ ) + y sin (θ ))ds S

S

(

)

I YZ = (I z − I y ) ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) + I yz ⋅ cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) =

Iz − Iy 2

⋅ sin (2θ ) + I yz ⋅ cos(2θ )

Iz + Iy Iz − Iy ⎛ 1 − cos(2θ ) ⎞ ⎛ 1 + cos(2θ ) ⎞ IZ = Iz ⋅⎜ + ⋅ cos(2θ ) − I yz ⋅ sin (2θ ) ⎟ − I yz ⋅ sin (2θ ) = ⎟ + Iy ⋅⎜ 2 2 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Iz + Iy

IY =

−

2

Iz − Iy 2

⋅ cos(2θ ) + I yz ⋅ sin (2θ )

Iz − Iy 2 I yz dI Z = 0 = −2 ⋅ ⋅ sin (2θ ) − 2 ⋅ I yz ⋅ cos(2θ ) ⇒ tg (2θ ) = − ⇒ θ1 1 2 dθ Iz − Iy

I Z maxi ⇔ On a donc :

Iz + Iy

I1 = I2 =

2 Iz + Iy

I 12 =

1 2

θ1

+

2 Iz − Iy

2

−

Iz − Iy 2 Iz − Iy 2

⋅ cos(2θ 1 ) − I yz ⋅ sin (2θ 1 ) ⋅ cos(2θ 1 ) + I yz ⋅ sin (2θ 1 )

⋅ sin (2θ 1 ) + I yz ⋅ cos(2θ 1 ) = 0 2

correspond à l’angle entre l’axe x du repère (x,y) et l’axe 1 du repère principal noté généralement (1,2).

Le produit d’inertie calculé dans le repère principal est toujours nul.

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7.2.6.

90

Propriétés des axes principaux d’inertie

A- Si une aire plane présente un axe de symétrie, cet axe est un axe principal d’inertie

G

G

En vertu de ce qui a été dit au chapitre 7.3.3, le second axe principal d’inertie passe par le point G et est perpendiculaire à l’axe de symétrie B- Si une aire plane présente deux axes de symétrie. Ceux ci sont les axes principaux d’inertie

G

G

C- Si une aire plane présente plus de deux axes de symétrie, tous les axes de symétrie passant par le centre de gravité G sont des axes principaux d’inertie et tous les moments d’inertie par rapport à ces axes sont égaux.

7.3.

Calcul des caractéristiques géométriques des formes usuelles

7.3.1.

Section rectangulaire

y

Y

dy h

y G

Z z

b

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A = ∫∫ ds = ∫

h

0

S

∫

b

0

dydz = ∫

h

0

91

{∫ dz}dy = ∫ {b}dz = bh b

h

0

0

bh 2 b h ⎡ y2 ⎤ bh 2 h bh 2 h S z = ∫∫ yds = ∫ ∫ ydydz = b ⎢ ⎥ = = bh ⋅ = ⇒ yG = 2 = 0 0 bh 2 2 2 2 ⎣ 2 ⎦0 S h

hb 2 h b ⎡ z2 ⎤ hb 2 b hb 2 b S y = ∫∫ zds = ∫ ∫ zdydz = h ⎢ ⎥ = = bh ⋅ = ⇒ zG = 2 = 0 0 bh 2 2 2 2 ⎣ 2 ⎦0 S b

h

⎡ y3 ⎤ 2 2b h 3 bh 3 y 2 dydz = b ⎢ ⎥ = = 3 8 12 ⎣ 3 ⎦−h

b h 2 2 b h − − 2 2

I Z = ∫∫ y 2 ds = ∫ S

∫

2

b 2

h b ⎡ z3 ⎤ 2h b 3 hb 3 I Y = ∫∫ z 2 ds = ∫ 2h ∫ 2b z 2 dydz = h ⎢ ⎥ = = − − 3 8 12 ⎣ 3 ⎦ −b 2 2 S 2

h b 2 2 h b − − 2 2

I ZY = ∫∫ yz ⋅ ds = ∫ S

∫

b 2 b − 2

yz ⋅ dydz = ∫

h

⎡ y2 ⎤ 2 ⎢ 2 ⎥ h ⋅ dz = 0 ⎣ ⎦− 2

I z = ∫∫ y ds = ∫ 2

b

0

S

I y = ∫∫ z ds = ∫ 2

h

0

S

∫

0

∫

b

0

I zy = ∫∫ yz ⋅ ds = ∫

h

0

S

7.3.2.

h

h

⎡ y3 ⎤ bh 3 bh 3 ⎛h⎞ y dydz = b ⎢ ⎥ = = + bh ⋅ ⎜ ⎟ 3 12 ⎝2⎠ ⎣ 3 ⎦0

2

2

b

⎡ z3 ⎤ hb 3 hb 3 ⎛b⎞ z dydz = h ⎢ ⎥ = = + bh ⋅ ⎜ ⎟ 3 12 ⎝ 2⎠ ⎣ 3 ⎦0

2

2

∫

b

0

yz ⋅ dydz = ∫

h

0

b

⎡ z2 ⎤ b2 y dy ⋅ ⋅ = ⎢2⎥ 2 ⎣ ⎦0

h

⎡ y2 ⎤ h 2b 2 h b = = (bh ) ⋅ ⋅ ⎢2⎥ 4 2 2 ⎣ ⎦0

Section circulaire

Y

dS = dr ⋅ r ⋅ dθ avec r ⋅ dθ longueur de l’élément d’arc

R

r

dθ θ dr

Z

G

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92

R2 = πR 2 0 ∫0 S 2 2π R R 4 πR 4 πd 4 2 2 I P = ∫∫ r dS = ∫ ∫ r ⋅ r ⋅ dr ⋅ dθ = 2π ⋅ = = 0 0 S 4 2 32 4 I πR πd 4 I P = I Z + I Y ⎯Symétrie ⎯⎯ ⎯→ I P = 2 I Z ⇒ I Z = P = = = IY 2 4 64 A = ∫∫ dS = ∫

7.3.3.

2π

R

r ⋅ dr ⋅ dθ = 2π ⋅

1

Section triangulaire

Y y

b(y) h

dy Z

G

y z

b

En posant ds = b( y ) ⋅ dy et sachant que

A = ∫∫ ds = ∫ S

h

0

b( y ) h − y h− y = ⇒ ds = ⋅ b ⋅ dy b h h h

h− y b⎡ y2 ⎤ bh ⋅ b ⋅ dy = ⎢hy − ⎥ = 2 ⎦0 2 h⎣ h

bh 2 h h− y b ⎡ hy 2 y 3 ⎤ bh 2 h S z = ∫∫ yds = ∫ y ⋅ ⇒ YG = 6 = ⋅ b ⋅ dy = ⎢ − ⎥ = bh h h⎣ 2 3 ⎦0 6 3 0 S 2 h 3 4 h 3 h− y b ⎡ hy y ⎤ bh I z = ∫∫ y 2 ds = ∫ y 2 ⋅ ⋅ b ⋅ dy = ⎢ − ⎥ = 4 ⎦ 0 12 h h⎣ 3 0 S h

I Z = I z − A ⋅ YG2 =

1 2

bh 3 bh h 2 bh 3 − ⋅ = 12 2 9 36

Définition de l’inertie polaire :

2

(

)

I P = ∫∫ r 2 dS = ∫∫ y 2 + z 2 dS = I Z + I Y S

S

ère

1 méthode de calcul : détermination des inerties de la section par rapport à un repère arbitraire (y,z) puis calcul de celles-ci au CDG en utilisant le théorème de Huygens à l’envers.

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7.4.

93

Caractéristiques géométriques des formes usuelles y v

h

Ω= b . h

z

IZ =

v’

∆

b.h 3 12

I∆ =

b.h 3 3

v = v’ = h/2

b y d Ω= π . d2/4

z

IZ =

π.d 4 64

v = v’ = d/2

y b v h

z v’

B+b Ω= .h 2

IZ = v=

B

[

h 3 B 2 + 4Bb + b 2 36[B + b]

]

h[2B + b] h[B + 2b] v' = 3[B + b] 3[B + b]

y v h v’

z

Ω=

bh 2

IZ =

b.h 3 36

v=

2h 3

v'=

h 3

b

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7.5.

94

Exemples de calcul de moments d’inertie 7.5.1.

Exemple 1 : calcul des caractéristiques d’une cornière à ailes égales

1

y

1

Y

y1 y1

u (1)

G1

v(2)

h

45°

G

Z y2 z2

e

G2

z

h

2

AN : h = 100 mm, e = 10 mm

A = ∫∫ ds = (h − e ) ⋅ e + eh = 2eh − e 2 = 1900mm 2 S

1 2 64447 444 8 67 8 e e 2 ⎛h−e ⎞ S z = ∫∫ yds = (h − e )e ⋅ ⎜ h − e 2 + eh = S y + e ⎟ + he ⋅ = 2 2 2 ⎝ ⎠ S 2 e 2 h − e 2 + eh h 2 − e 2 + eh 2 ⇒ YG = = = Z = 28.68mm (h − e) ⋅ e + eh 2((h − e ) + h ) G

[(

[(

)

] (

)

]

)

1 2 6444444 47 4444444 8 6444 47 4444 8 2 2 3 3 e(h − e ) he ⎛h−e ⎞ ⎛e ⎞ IZ = + (h − e )e ⋅ ⎜ + e − YG ⎟ + + he ⋅ ⎜ − YG ⎟ = 1800044mm 4 = I Y 3 12 2 12 ⎠ ⎝42244 ⎠ { 14 1 424 3 1444⎝ 4244443 3 607500 mm 4

623468 mm 4

8333 mm 4

560742 mm 4

1

Décomposition de la section en deux sous parties 1 et 2. On notera que le CDG est à l’extérieur de la section. 3 ème 2 méthode de calcul : détermination des inerties de la section au CDG en utilisant le théorème de Huygens directement. 2

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I zy

95

2 1 7 8 6444 47 4444 8 6 2 2 e ⎛h−e ⎞ e h = ∫∫ yz ⋅ ds = (h − e )e ⋅ ⋅ ⎜ + e⎟ + 2 ⎝ 2 4 ⎠ S

I zy =

(h

2

)

(

1

)

− e 2 e 2 e 2 h 2 e 2 2h 2 − e 2 + = = 497500mm 4 4 4 4

I zy = I ZY + A ⋅ YG ⋅ Z G ⇒ I ZY = I zy − A ⋅ YG ⋅ Z G = 497500 − 1900 ⋅ 28.68 2 = −1065330mm 4 2

tg 2θ = −

2 I ZY 2 × 1065330 = = ∞ ⇒ 2θ = 90° ⇒ θ = 45° I Z − IY 0

I 1 = I min = I Z cos 2 (θ ) + I Y sin 2 (θ ) − 2 I ZY cos(θ ) ⋅ sin (θ ) ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ I Z + IY ⎟⎜ ⎟ = I Z − I ZY = 734713mm 4 = I u − 2 I ZY ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ I 2 = I max = I Z sin 2 (θ ) + I Y cos 2 (θ ) + 2 I ZY cos(θ ) ⋅ sin (θ )

=

=

⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ I Z + IY ⎟⎜ ⎟ = I Z + I ZY = 2865374mm 4 = I v + 2 I ZY ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 7.5.2.

Exemple 2 : calcul des caractéristiques de la section d’un poteau BA

Un poteau en béton armé a une section particulière définie par la figure ci dessous : y 20

80

60 120

100

30

z

Les dimensions sont données en cm.

a) Trouver les moments statiques Sy et Sz selon les axes y et z b) Trouver les coordonnées du centre de gravité de la section yG et zG c) Déterminer les inerties selon les directions Oy et Oz d) Déterminer les inerties principales et leurs directions

1

Calcul du produit d’inertie par rapport au repère (y,z). Le produit d’inertie par rapport au CDG (G1 ou G2) des parties 1 et 2 est nul. 2 Expression du théorème de Huygens pour le produit d’inertie.

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96

Y y

2

20

1 80

30

90

3

20

Z G -34.2°

100

2 1 z

Ω = 20 × 80 + 90 × 20 + 100 × 30 = 6400cm 2 80 3 × 20 20 3 × 90 100 3 × 30 Iz = + 80 × 20 × 120 2 + + 90 × 20 × 90 2 + + 100 × 30 × 50 2 = 48533333cm 4 12444244443 14 1244424444 12444244443 14 3 14 23893333 cm 4

Iy =

14640000 cm 4

10000000 cm 4

20 3 × 80 90 3 × 20 30 3 × 100 + 80 × 20 × 10 2 + + 90 × 20 × 652 + + 100 × 30 × 1252 = 56133333cm 4 12 12 12 1444424444 3 1444424444 3 14444 4244444 3 213333 cm 4

8820000 cm 4

47100000 cm 4

I yz = 80 × 20 × 120 ×4 10 + 90 × 20 × 90 ×3 65 + 100 30 × 125 50 = 31200000cm 4 14 4 42 44 3 14 42 44 14×4 42 44×4 3 1920000 cm 4

10530000 cm 4

18750000 cm 4

m z = 80 × 20 × 120 + 20 × 90 × 90 + 100 × 30 × 50 = 504000cm 3 m y = 80 × 20 × 10 + 20 × 90 × 65 + 100 × 30 × 125 = 508000cm 3 I Z = I z − S × yG2 = 8843333cm 4

504000 = 78.75cm 6400 508000 zG = = 79.375cm 6400 yG =

tg 2θ = −

I Y = I y − S × zG2 = 15810833cm 4 I YZ = I yz − S × yG × zG = −8805000cm 4

2 I YZ − 2 × −8805000 = = −2.52 =⇒ θ = −34.2° I Z − I Y 8843333 − 15810833

I1 = I Z cos 2 (θ ) + I Y sin 2 (θ ) − 2 I ZY cos(θ ) ⋅ sin (θ )

I 2 = I Z sin 2 (θ ) + I Y cos 2 (θ ) + 2 I ZY cos(θ ) ⋅ sin (θ ) Tronçon 1 2 3

h 80 20 100

b 20 90 30

y 120 90 50

z 10 65 125 ∑

S 1600 1800 3000 6400

Iz Iy Iyz 23893333,33 213333,33 1920000,00 14640000,00 8820000,00 10530000,00 10000000,00 47100000,00 18750000,00 48533333,33 56133333,33 31200000,00

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Tronçon 1 2 3

h 80 20 100

b 20 90 30

y 120 90 50

tg2θ=

7.5.3.

z 10 65 125 ∑

97

S 1600 1800 3000 6400

mz 192000 162000 150000 504000

my 16000 117000 375000 508000

zG=

79,375

yG=

78,75

IZ=

8843333,33

Imax=

21796219,5

Imin=

2857947,2

-2,52745

θ=

-34,2067 °

I1=

2857947

IY= 15810833,33

I2= 21796219

IZY= -8805000,00

Exemple 3

Déterminer Iy, Iz et Iyz pour la plaque rectangulaire percée de trois trous circulaires égaux. y 10 cm

10 cm

r=3 cm 5 cm 20 cm

z 5 cm

•

40 cm

Rectangle plein :

20 3 × 40 403 × 20 4 Ω = 40 × 20 = 800cm ; I z = = 26666.67cm ; I y = = 106666.67cm 4 12 12 2 4 π ×6 π ×6 • Cercle plein : Ω = = 28.27cm 2 ; I y = I z = = 63.61cm 4 4 64 2

•

Rectangle plein - Cercle plein1:

Ω = 800 − 3 × 28.27 = 715.19cm 2

(

)

I z = 26666.67 − 3 63.67 + 28.27 × 5 2 = 24355.41cm 4

(

)

I y = 106666.67 − 3 63.67 + 28.27 × 10 2 = 97994.66cm 4

I yz = −(28.27 × 10 × 5 + 28.27 × −10 × 5 + 28.27 × −10 × −5) 2

= −((2 − 1) × 28.27 × 10 × 5) = −1413.5cm 4

1

On procède par soustraction des trous circulaires.

2

Le produit d’inertie du rectangle étant nul dans le repère (y,z), le calcul revient à soustraire les

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" I yz " des trous.

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7.5.4. a) b) c) d) e)

98

Exemple 4

Calculer les moments statiques mz et my Déterminer les coordonnées yG et zG du centre de gravité Déterminer les moments d’inerties par rapport à G IY, IZ, IYZ, Déterminer les moments d’inerties principaux Imax et Imin, Tracer les axes principaux. 100 mm 20 mm 10 mm

100 mm

10 mm

Y

10 mm X 50 mm

50 mm

100 mm 20 mm

1 10 mm

Y

2

G 10 mm

Z

100 mm

θ = -17.75°

y

10 mm z 50 mm

3

50 mm

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Tronçon i h (mm) b (mm)

zGi (mm)

yGi (mm)

Ω (mm ) 2

99

mZ 3 (mm )

mY 3 (mm )

1

10

100

80

115

1000

115000

80000

2

100

10

50

60

1000

60000

50000

3

10

100

50

5

1000

5000

50000

∑

3000

180000

180000

Tronçon i h (mm) b (mm)

zG=

60 mm

yG=

60 mm 3/

zGi (mm)

yGi (mm)

Ω (mm ) 2

zGi-zG

YGi-YG

bh 12 4 (mm )

1

10

100

80

115

1000

20

55

8333

2

100

10

50

60

1000

-10

0

833333

3

10

100

50

5

1000

-10

-55

∑

3000

8333

3

hb /12 4 (mm )

IZ 4 (mm )

IY 4 (mm )

833333 3033333 1233333 1100000 8333

833333

108333

0

833333 3033333

933333

550000

∑

6900000 2275000 1650000

tg2θ= -0.713514 θ= -17.75419 °

IZ =

6900000

mm

4

Imin=

1746698

mm

4

IY=

2275000

mm

4

Imax=

7428302

mm

4

IZYz=

1650000

mm

4

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IZY 4 (mm )

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100

8. Théorie des poutres 8.1.

Définitions

(S) (C) G

P 8.1.1.

(dS)

Qu’est ce qu’une poutre

Une poutre (ou solide allongé) est un solide engendré par une aire plane (S) délimité par un contour fermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l’espace de telle sorte que : • •

Le plan de (S) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C), La trajectoire décrite par un point P quelconque de (S) soit toujours parallèle à la courbe (C).

8.1.2.

Notion de section droite

L’aire (S) est appelée section droite ou profil. Elle peut être : • •

Pleine ou évidée, Constante ou lentement variable.

Les dimensions de la section droite doivent être petites par rapport à la longueur de la poutre.

8.1.3.

Notion de fibre moyenne

On appelle fibre moyenne, la courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite. Cette courbe est appelée également fibre ou ligne moyenne. Sa forme peut être : • • •

Droite, on parlera alors de poutre droite, Gauche, on parlera alors de poutre gauche ou courbe, En arc.

On appelle également fibre, le volume engendré par l’aire élémentaire (dS) entourant le point P.

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8.2.

101

Principes 8.2.1.

Principe de NAVIER BERNOUILLI

Au cours des déformations d’une poutre, les sections droites restent planes, normales à la fibre moyenne et invariables de forme. 8.2.2.

Principe de St VENANT

Les contraintes, et par conséquent les déformations, dans une section droite (S) suffisamment éloignée des points d’application des forces extérieures, ne dépendent que de la résultante générale F et du moment résultant M des forces extérieures appliquées à l’une des deux parties de la poutre séparées par la section droite (S).

8.3.

Domaine de validité

Considérant : • • • •

h comme la plus grande dimension de la section transversale de la section droite, b comme la plus petite dimension de la section transversale de la section droite, R comme le rayon de courbure de la poutre, L comme la longueur développée de la poutre.

La théorie des poutres sera applicable si :

h ≤ 10 b 1 h 1 ≤ ≤ (Poutres ) 30 L 5 h 1 r 1 ≤ ≤ ( Arcs ) ; > 5 h 100 L 5 8.4.

1

Eléments de réduction au centre de gravité

y

qj(x)

Pi GD

x

G GG

(SD) (S) z

(SG)

1

Le plus important est le rapport d’élancement ou élancement géométrique

L ≥5 H

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102

Soit 3 sections successives d’une poutre en équilibre soumise à diverses charges quelconques (actions ou réactions) Pi ou qj. Sachant que ces charges s’appliquent dans les 3 directions de l’espace, l’équilibre de la section S sera caractérisée par : •

L’équilibre des forces dans les 3 directions x, y ou z :

∑P + ∑ ∫ q i

i

•

j

( x) ⋅ dx = 0 1

j lj

L’équilibre des moments suivant les 3 axes x, y, ou z :

∑ (P ∧ G G ) + ∑ ∫ q i

i

j

( x) ∧ g j G ⋅ dx 2

j lj

i

avec Gi : coordonnées du point d’application de la charge Pi gj : coordonnées du point d’application de la résultante de la charge répartie qj Si on sépare maintenant les efforts venant des parties gauche et droite, on obtient :

⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢∑ Pi + ∑ ∫ q j ( x) ⋅ dx ⎥ + ⎢∑ Pi + ∑ ∫ q j ( x) ⋅ dx ⎥ = 0⎪ ⎪ ⎢⎣ i ⎥⎦ ⎢⎣ i ⎥⎦ j lj j lj Gauche Droite ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ + PDroite = 0 P ⎢∑ Pi ∧ Gi G + ∑ ∫ q j ( x) ∧ g j G ⋅ dx ⎥ + ⎪⎬ ⇒ ⎧⎨ Gauche ⎢⎣ i ⎥⎦ j lj ⎪ ⎩M Gauche + M Droite = 0 Gauche ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ ⎢∑ Pi ∧ Gi G + ∑ ∫ q j ( x) ∧ g j G ⋅ dx ⎥ = 0⎪ ⎢⎣ i ⎥⎦ j lj Droite ⎭⎪

(

)

(

)

Conclusion, la résultante des efforts venant de gauche est égale à l’inverse de celle venant de droite3, la somme des deux caractérisant encore une fois l’équilibre de la section S. Dans le reste du cours, nous considèrerons uniquement les efforts venant de gauche.

8.5.

Sollicitations relatives à une section droite

Si on supprime maintenant la partie gauche tout en appliquant les résultantes PG et MG, la section est de fait toujours en équilibre. On a donc pour la résultante PG :

y

Effort Tranchant Vy

Pi

x

GD

PG

G

(SD)

(S) Effort Tranchant Vz

1

Le terme

∫q

j

z

Effort Normal N

( x) ⋅ dx correspond à la résultante de la charge répartie qj appliquée sur la longueur lj.

lj 2

Le produit vectoriel noté « ^ » est assimilable dans ce cas à un couple résultant du produit d’une force par un bras de levier. 3 Propriété très intéressante lors du calcul de ces efforts.

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103

Celle-ci qui peut être de direction et de sens quelconques, se décompose en trois composantes : • • •

Un effort normal dans la direction x noté N, Un effort tranchant dans la direction y noté Vy, Un effort tranchant dans la direction z noté Vz.

La même démarche appliquée à MG permet d’établir que la résultante des moments se décompose en : • • •

Un moment de torsion autour de x noté Mx, Un moment fléchissant autour de l’axe y noté My, Un moment fléchissant autour de l’axe z noté Mz.

y

Moment de flexion My

Pi

x

GD

MG G

(S)

Moment de flexion Mz

8.6.

(SD) z

Moment de torsion Mx

Contraintes dans une section droite

y

τz

x

σ

z

τy y

G

z

(S)

N = ∫∫ σ ⋅ dS

M x = ∫∫ ( y ⋅τ z − z ⋅τ y )⋅ dS

V y = ∫∫τ y ⋅ dS

M y = ∫∫ z ⋅ σ ⋅ dS

Vz = ∫∫τ z ⋅ dS

M z = − ∫∫ y ⋅ σ ⋅ dS

S

S

S

1

S

1

S

S

Nous établirons ces différentes relations lors de l’étude de ces différentes contraintes.

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8.7.

104

Equations intrinsèques des poutres droites 8.7.1.

Equation intrinsèque des poutres droites planes dans le plan xy

+ y

Vy+dVy

qy(x)

Mz

Mz+dMz

N

N+dN G

x

G’

Vy

dx

z

⎧∑ F/ y = −(V y + dV y ) + V y − q y ( x) ⋅ dx = 0 ⎧ dV y = −q y ( x) ⎪⎪ ⎪⎪ dx dx ⇒ ⎨∑ M / G ' =( M z + dM z ) − M z − V y ⋅ dx + q y ( x) ⋅ dx ⋅ =0 ⎨ dM z 1 ⎪ ⎪ 14424243 = Vy ⎪⎩ dx ⎪⎩ ≈ 0 car dx petit d 2 M z dV y ⇒ = = −q y ( x) dx 2 dx 8.7.2.

Equation intrinsèque des poutres droites planes dans le plan xz

+

y

z

Vz+dVz

qz(x)

My

My+dMy

N

N+dN G

x

G’

Vz

dx

⎧∑ F/ z = −(Vz + dVz ) + Vz − q z ( x) ⋅ dx = 0 ⎧ dVz = −q z ( x) ⎪⎪ dx ⎪⎪ dx ⎨∑ M / G ' =( M y + dM y ) − M y + Vz ⋅ dx − q z ( x) ⋅ dx ⋅ =0 ⇒ ⎨ dM y ⎪ ⎪ 14424243 = −Vz ⎪ ≈ 0 car dx petit ⎩ dx ⎩⎪ ⇒

1

d 2M y dx

2

=−

dVz = q z ( x) dx

Physiquement, la variation d’effort tranchant par rapport à x correspond à l’inverse de la charge répartie.

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8.8.

105

Convention des signes 8.8.1.

Plan xy

Partant du principe qu’il est habituel de travailler dans la plan xy et dans la mesure où l’on désire avoir la fibre inférieure tendue sous moment positif, il en résulte un sens positif pour les moments fléchissants inverse de celui du trièdre direct (x vers y).

Efforts extérieurs

Eléments de réduction des forces de gauche y

+ F

y

+

Mz

Vy

N

x

x

Réactions d’appui Fibre tendue 8.8.2.

Plan xz

Le sens du moment fléchissant positif dans le plan xy étant inverse de celui du trièdre direct, il est normal que celui dans le plan xz (le sens direct dans le plan xz est z vers x) le soit aussi et ce dans un souci d’homogénéité. En d’autres termes, la contrainte en fibre inférieure sera tendue quand le moment My sera négatif.

Efforts extérieurs

Eléments de réduction des forces de gauche z

+ F

z

My+

Vz

N

x

x

Réactions d’appui Fibre tendue

8.9. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Méthode de détermination des diagrammes N, M et V

Calculer les réactions, Calculer V aux différents changements de charges, Tracer le diagramme de V en fonction de x, Déterminer les points correspondant à V = 0 (⇔ extrémas de M), Calculer les valeurs de M correspondant à V = 0, Tracer le diagramme de M en fonction de x.

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106

8.10. Exemples 8.10.1. Exemple 1 : Poutre soumise à une charge ponctuelle

+

P

y

b

a

x

x GE

x

GO

l RO

∑F = R

+ RE − P = 0

O

∑M

/ GO

⇒ RO =

= RE ⋅ l − P ⋅ a = 0 ⇒ R E =

P⋅a l

P⋅b l

RE P ⋅b P ⋅ (l − a ) ⎧ x ⎪M ( x) = RO ⋅ x = l x = l 0 ≤ x ≤ a⎨ dM P ⋅ (l − a ) ⎪V ( x) = = RO = dx l ⎩ Pa(l − x ) ⎧ ⎪M ( x) = RO ⋅ x − P( x − a ) = l a ≤ x ≤ l⎨ dM P⋅a ⎪V ( x) = = − RE = − dx l ⎩

V(x) Pb/l

Pa/l

M(x) P.ab/l

a Remarques : • •

Le diagramme de M(x) est linéaire, Le diagramme de V(x) est constant.

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107

Dans le cas le plus général et « en regardant » uniquement à gauche bien sur, les équations des moment fléchissant et effort tranchant sont obtenues en pratiquant une coupure à l’abscisse x avant et après les changements de charges. Cependant et particulièrement pour les charges ponctuelles, ceci s’avère assez lourd. Il est en effet plus aisé de tracer les diagrammes directement : •

Pour l’effort tranchant, il suffit de considérer le cheminement des efforts c'est-à-dire : 9 En GO, l’effort tranchant vaut RO et est constant jusqu’à la charge P, 9 Au niveau de la charge P, l’effort tranchant qui valait RO descend à RO-P, 9 Restant à valeur RO-P jusqu’à GE, l’effort tranchant remonte de RE pour revenir à zéro.

V(x) Pb/l

Pa/l Remarque : un effort tranchant qui revient à zéro est un gage de succès. •

Pour le moment flechissant, il suffit de calculer les moments aux niveaux des charges elles mêmes et de tracer des droites entre ces différents points (moments linéaires).

8.10.2. Exemple 2 : Poutre soumise à une charge répartie

+

Y

q X

x

l

GO

RO

∑F = R

O

∑M

/ GO

GE

+ RE − ql = 0

=RE ⋅ l − ql ⋅

RE

l ql ql = 0 ⇒ RE = ⇒ RO = 2 2 2

x ql x qx ⋅ (l − x ) ⎧ ⎪⎪ M ( x ) = RO ⋅ x − qx ⋅ 2 = 2 x − qx ⋅ 2 = 2 ⎨ l l ql 2 ⎪V ( x ) = RO − qx = q⎛⎜ − x ⎞⎟ ⇒ V ( ) = 0 ⇒ M max = ⎪⎩ 2 8 ⎠ ⎝2

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108

V(x) ql/2

ql/2

M(x) ql2/8

l/2 Remarques : • •

Le diagramme de M(x) est parabolique, Le diagramme de V(x) est linéaire.

8.10.3. Exemple 3 : Calcul d’un semi portique L Repères locaux

y q

x

D C + H

Y

B

P

VD

x H/2 y

X

HA

A

VA a) Déterminer les réactions aux appuis A et D, b) Tracer les diagrammes de l’effort normal, effort tranchant et du moment fléchissant.

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109

A.N. : L = 10 m ; H = 5 m ; P = 2000 N ; q = 1000 N/m

∑F / X = H Calcul des réactions :

A

+ P = 0 ⇒ H A = − P = −2000 N

P ⋅ H qL + = 4500 N 2L 2 L H P ⋅ H qL ∑ M / A = VD ⋅ L − qL ⋅ 2 − P ⋅ 2 = 0 ⇒ VD = 2 L + 2 = 5500 N

∑ F /Y = V

A

+ VD − qL = 0 ⇒ V A = −

Pour tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant, les mêmes méthodologies sont applicables aux portiques. Néanmoins, il faudra considérer les répères locaux de chacun des éléments de structure et non le repère global (XY) qui sert uniquement au calcul des réactions. Cependant, attention « en regardant à gauche » car il faut prendre en compte tous les efforts venant de gauche et non pas uniquement ceux de l’élément de structure considéré. Par exemple et pour la traverse, il faut prendre en compte HA, VA, P et une partie de q (fonction de la position sur la traverse). Concernant l’effort normal et dans la mesure où les barres AC et CD sont en équilibre, nous avons : L y q

x

D C

NCD

NCD

NAC

VD

Y

B

P

H

+

x H/2

NAC

y

X

HA

A

VA Remarque : la convention retenue est celle correspondant aux actions des barres sur les nœuds. D’où pour la barre :

•

AC : N AC + V A = 0 ce qui caractérise l’équilibre du nœud A,

•

CD : − N CD + 0 = 0 ce qui caractérise l’équilibre du nœud D.

Donc : •

En A : ¾ ¾ ¾

N = -VA = -4500N, V = -HA = 2000 N, M = 0,

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•

En B : ¾ ¾ ¾

•

NAC = -VA = -4500 N, NCD = 0, VAC = -HA - P= 2000-2000 = 0, VCD = VA = 4500 N, M = -HAxH – PxH/2 = 5000 N.m,

Sur CD : ¾ ¾ ¾

•

N = -VA = -4500 N, V = -HA - P= 2000-2000 = 0, M = -HAxH/2 = 5000 N.m,

En C : ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

•

110

N = 0, V = VA-q.x = 4500-1000.x d’où V=0 pour x=4.5m, M = -HAxH-PxH/2+VA.x-q.x2/2=5000+4500x-1000.x2/2 d’où Mmax(4.5m)=15125 N.m.

En D : ¾ ¾ ¾

N = 0, V = VA-qL= -5500, M = -HAxH-PxH/2+VAxL-qLxL/2=5000+ 45000-50000= 0.

Effel2002 - Structure - 11.1

Ech=1/45

EFFORT NORMAL D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Controle2-RDMA1-Exo3 22/04/04 à 14 h 04 - Date 18/11/01 - Fichier Controle2-RDMA1-Exo3 -

Efforts (N) Cas n°1 Filaires

Fx 0.00

-450.00

-4500.00

-900.00

-1.35e+003

-1.80e+003

-2.25e+003

-2.70e+003

-3.15e+003

-3.60e+003

-4500.00

-4.05e+003

-4.50e+003

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111

Effel2002 - Structure - 11.1

Ech=1/53

EFFORT TRANCHANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Controle2-RDMA1-Exo3 22/04/04 à 14 h 01 - Date 18/11/01 - Fichier Controle2-RDMA1-Exo3 -

Efforts (N) Cas n°1 Filaires

4500.00

Fy 4.50e+003

3.50e+003

2.50e+003

-5500.00 1.50e+003

500.00

2000.00 -500.00

-1.50e+003

-2.50e+003

2000.00 -3.50e+003

-4.50e+003

-5.50e+003 Effel2002 - Structure - 11.1

Ech=1/53

MOMENT FLECHISSANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Controle2-RDMA1-Exo3 22/04/04 à 14 h 02 - Date 18/11/01 - Fichier Controle2-RDMA1-Exo3 -

Efforts (N*m) Cas n°1 Filaires

15125.00 5000.00

Mz 1.51e+004

1.36e+004

5000.00 1.21e+004

1.06e+004

9.07e+003

5000.00 7.56e+003

6.05e+003

4.54e+003

3.02e+003

1.51e+003

0.00

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112

9. Les contraintes normales 9.1.

Les contraintes dans les poutres en traction - compression

La figure suivante représente une poutre de section quelconque Ω (en m²), de longueur initiale L (en m) et soumise à une effort de traction P appliqué de telle sorte que la sollicitation soit purement uni axiale, c’est à dire sans excentricité. On sait que sous l’action de la force P la poutre subit un allongement δ. Elle subit aussi une contrainte constante sur toute la section d’intensité : σ = P/Ω

P

P

σ = P/Ω

Par exemple : Une poutre de section Ω= 0.54 m² est sollicitée par une traction P de 125 kN La contrainte de traction est donc de σ = 0.125 / 0.54 = 0.231 MPa Si l’effort est une compression centrée, la contrainte RdM dans la section est également égale à σ = P/Ω. Mais dans ce cas, on verra qu’il est nécessaire de tenir compte d’une majoration des contraintes pour éviter le flambement de la pièce.

9.2.

Les contraintes dans les poutres en flexion simple 9.2.1.

Hypothèses générales

Nous avons vu aux chapitres précédents comment calculer les moments fléchissants dans une poutre. Nous allons maintenant établir les relations qui permettent de calculer les contraintes de flexion en chaque point.

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113

On considèrera les hypothèses suivantes : • • • •

La poutre est droite avant le chargement, Le matériau est élastique et ses propriétés sont les mêmes en traction et en compression1, Le matériau est homogène tout le long de la poutre, La flexion se produit dans un seul plan de flexion,

9.2.2.

Les déformations et rayon de courbure

Considérant le moment fléchissant dans une poutre soumise à une charge quelconque :

Sous l’effet de ce moment fléchissant et dans chaque section considérée de la poutre, les fibres supérieures se rétrécissent alors que celles inférieures s’allongent :

Rayon de courbure ρ

les fibres supérieures se rétrécissent fibre neutre

les fibres inférieures s’allongent

Il existe donc un plan médian longitudinal dans lequel les fibres ne changent pas, par définition ce plan est appelé plan neutre. L’axe horizontal formé par l’intersection du plan neutre et de la section horizontale est appelé fibre neutre ou axe neutre. Sous l’effet de la flexion, la fibre neutre a une courbure dont le rayon est appelé ρ.

1

On verra en cours de béton armé que ce matériau a un comportement différent en traction et en compression et que les calculs menés aux états limites ultimes utilisent une autre loi que celle décrite dans ce chapitre.

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114

Examinons les déformations longitudinales des fibres ABED dans le plan de flexion. Après flexion, une fibre quelconque GH située à une distance y au dessus de la fibre neutre IJ devient G’H’. Sa déformation normale εx est donc égale à la différence (G’H’ – GH) divisé par GH. A

B

x D

E 0

dρ ρ

A

B

G

A’

H

G’

B’ H’

y I

J

x

D

E

I’

J’

D’

εx =

G ' H '−GH or initialement GH = IJ et par définition IJ = I’J’ alors on trouve : GH

εx =

G ' H '− I ' J ' ( ρ − y )dρ − ρdρ = d’où I' J' ρ .dρ

εx = −

y

ρ

E’

1

Cette équation montre que : •

La déformation normale

εx

varie linéairement en fonction de y ce qui est dû au fait que les

sections planes demeurent planes après déformation (Navier – Bernouilli), •

Pour un moment fléchissant M positif, les fibres supérieures (y>0) se rétrécissent et les fibres inférieures se rallongent ; Bien entendu pour un moment négatif, les fibres supérieures (y>0) se rallongent et les fibres inférieures se rétrécissent. 9.2.3.

La relation contrainte - déformation

D’après le chapitre 6.3.1, la relation contrainte - déformation pour un matériau élastique s’écrit :

σ x = E.ε x = −

E

ρ

.y

1

Les déformations évoluent linéairement sur la hauteur de la section et passent par zéro au niveau de la fibre neutre.

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9.2.4.

115

Les équations d’équilibre

Les équations d’équilibre donnent : Pour obtenir l’équilibre, la somme des efforts doit être nulle d’où :

∑F

x

N

= 0 => N − ∫ σ x .dω = 0

x

Ω

σx y

σx < 0 et y > 0 ⇒ σx . y < 0

et M

x

∑M

Z

= 0 => ∫ σ x ⋅ y.dω + M = 0 Ω 14243 0 et y < 0 ⇒ σx . y < 0 9.2.5.

L’équation de la contrainte en flexion simple

En combinant l’équation d’équilibre de la flexion définie ci-dessus et l’équation qui lie les contraintes aux déformations, on trouve :

∑M

or

∫y

Z

2.

⎫ = 0 => ∫ σ x . y.dω + M = 0⎪ E ⎪ 2. Ω ⎬ ⇒ M = .∫ y dω E ρ Ω ⎪ σ x = E.ε x = − . y ⎪⎭ ρ dω est par définition le moment d’inertie de la section Ω par rapport à l’axe neutre ;

Ω

Si nous le représentons par le symbole I, nous obtenons : M = Avec I =

∫y

2.

E.I

ρ

soit

1

ρ

=

M EI

dω

Ω

L’équation

1 M = nous permettra d’évaluer les déplacements (cf. chapitre « Calcul de la ρ EI

déformée »).

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116

Pour obtenir la contrainte, on combine cette équation avec celle reliant les contraintes aux déformations : y

⎫ ⎪⎪ M M ρ ⇒ σ x = − . y 1 σ x = − I .v ⎬ E I σ x = E.ε x = − . y ⎪ ρ ⎪⎭ 1

=

M EI

v

z

y ∈ [− v' , v ]

v’

σx =−

M .v' I

x

9.3.

Flexion déviée

Dans ce cas, deux moments fléchissant My et Mz caractérisant les efforts de gauche s’appliquent au centre de gravité de la section droite. En vertu du principe de superposition, la contrainte de flexion s’exprime alors sous la forme :

σx =

My Iy

.z −

Mz .y . Iz

Remarque : comme le sens positif de My est inverse de celui de Mz, il est normal d’obtenir +

My Iy

.z .

En d’autres termes et dans le plan xz, la fibre inférieure est tendue quand My est négatif.

(

A titre d’exemple et dans le cas d’une section carrée de côté a I y = I z

) soumise à des moments

M y et M z égaux, le plan neutre sera à 45°. Plan neutre ⇔ σ x =

My Iy

.z −

My a Mz a Mz . = . . y = 0 ⇒ z = y . On pose σ = Iy 2 Iz 2 Iz

y

y

+σ −σ

−σ z

z

+σ x x Moment M z seul

Moment M y seul

1

Comme pour les déformations, les contraintes évoluent linéairement sur la hauteur de la section et passent par zéro au niveau de la fibre neutre qui dans le cas de la flexion simple est confondu avec la fibre moyenne. Enfin, on notera que les contraintes normales sont maximales au niveau des fibres extrêmes de la section soit y = v ou y = -v’ ce qui signifie dans ce dernier cas que la contrainte en fibre inférieure est bien positive pour un moment positif.

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117

y

− 2σ z

+ 2σ x Moments M y + M z simultanés 1

9.4.

Flexion composée

Une pièce est soumise à la flexion composée lorsque au droit d’une section droite quelconque de la pièce, les éléments de réduction des forces à gauche comprennent un effort normal N et un moment fléchissant M. Ce sera par exemple le cas pour une poutre dont la charge est inclinée par rapport à son axe : F

α L

La décomposition de cette force engendre un moment fléchissant sous l’effet de F cos α et un effort normal (dans ce cas de traction) sous l’effet de F sin α. A l’encastrement on trouve : M = F. L cos α N = - F sin α Ce qui correspond bien à de la flexion composée. En utilisant le principe de superposition des effets dus au moment fléchissant et à l’effort normal (on peut toujours admettre que la flexion composée résulte de la superposition d’un effort de flexion simple et d’un effort normal), Nous allons déterminer la distribution des contraintes normales produites par le moment fléchissant M et l’effort normal N et ce en tout point de la section droite. 1

Il faut imaginer deux quarts d’une pyramide, l’un dans le sens des x positifs, l’autre dans le sens des x négatifs.

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118

Nous savons que sous l’effet du seul moment fléchissant la contrainte normale en un point d’ordonnée

M .y . Inversement et si on applique uniquement l’effort normal N, la I N contrainte normale a pour expression σ N = . Ω

y a pour grandeur σ M = −

Superposons maintenant les effets de M et N. La contrainte résultante sera en vertu du principe de superposition des états d’équilibre égale à : σ x = σ M + σ N soit

σx =

N M − .y Ω I

G y0

Section

Contrainte de flexion

σM = −

M .y I

contrainte de l’effort normal

σN =

N Ω

flexion composée

σx =

N M − .y Ω I

On s’aperçoit que la contrainte est maximum sur la fibre supérieure ou inférieure suivant les signes des sollicitations. Par contre, on constate qu’au niveau de la fibre neutre, la contrainte n’est plus nulle. Celle ci est égale à la contrainte due à l’effort normal. Cependant, il existe une fibre (appelée axe neutre) qui n’est ni comprimée ni tendue en flexion composée. Il est aisé de calculer son ordonnée y0 en écrivant que la contrainte de flexion composée est nulle :

σx =

N I N M * − . y 0 = 0 d’où : y 0 = M Ω Ω I

Or si on désigne par rz le rayon de giration de l’aire de la section droite par rapport à l’axe transversal passant par G, on a :

r2z =

I N d’où : y 0 = * rz2 Ω M

Si l’effort normal N est très important comparativement au moment fléchissant, il est possible de trouver un point de contrainte nulle se situant en dehors de la section :

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9.5.

119

Flexion composée déviée

Si la section droite subit deux moments fléchissant My et Mz ainsi qu’un effort normal, la flexion est alors définie comme étant composée déviée. On écriera alors :

σx =

M N My + .z − z . y Ω Iy Iz

Exemple : section rectangulaire

y

h

Ω = b⋅h⎫ h⎪ y=± ⎪ 2 b ⎪ z=± ⎪ N 6M z 6M y ± ± 2 ⎬⇒σ = bh bh 2 hb 2 bh 3 ⎪ Iz = 12 ⎪ hb 3 ⎪⎪ Iy = 12 ⎭

z

G

b Dans ce cas, l’axe neutre est caractérisé par :

9.6.

σx =

N My M + z − z y = 0 ⇔ y = a⋅z +b Ω Iy Iz

Noyau central 9.6.1.

Centre de pression

y

y

M+z yc

x

N+ G

(S)

x

N+ G zc

M+y

z

(S)

z

Mz ⎧ N ⋅ yc = M z ⎫ ⎪⎪ yc = N ⎬⇒ ⎨ My N ⋅ zc = − M y ⎭ ⎪ zc = − ⎪⎩ N

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Année : 2007/2008

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9.6.2.

120

Définition

On appelle noyau central, la zone de la section droite dans laquelle doit se trouver le centre de pression, pour que cette dernière ne subisse que des contraintes de même nature (traction ou compression)1.

⎡1

σ = N⎢

⎢⎣ Ω

9.6.3.

−

z. z c y. y c ⎤ − ⎥ Iy I z ⎥⎦

Application à la section rectangulaire

y h/6

h

z

G b/6

b ⎡1

Pour déterminer l’axe neutre, il suffit de poser que : 0 = N ⎢

⎢⎣ Ω

−

z.z c y. y c ⎤ − ⎥. Iy I z ⎥⎦

bh 3 hb 3 , Iy = , on suppose dans un premier temps que l’axe neutre 12 12 h b⎞ ⎛ passe par le coin supérieur droit du rectangle ⎜ y = ; z = ⎟ d’où sa nouvelle expression : 2 2⎠ ⎝ 6 6 1 − zc − yc = 0 . Il s’agit de l’équation d’une droite faisant intervenir les coordonnées du centre de b h 6 h pression. Supposant que celui-ci est sur l’axe Gy ( z c = 0 ) , on déduit 1 − yc = 0 ⇒ yc = . h 6 6 b Inversement et pour Gz ( y c = 0 ) , on obtient cette fois 1 − z c = 0 ⇒ zc = . b 6 ⎛b ⎞ ⎛ h⎞ En fait, le centre de pression suit une trajectoire rectiligne passant par les points ⎜ ,0 ⎟ et ⎜ 0, ⎟ . ⎝6 ⎠ ⎝ 6⎠ Sachant que Ω = b ⋅ h , I z =

En répétant l’opération pour les trois autres coins du rectangle, on obtient finalement quatre droites formant un losange qui délimite la position du centre de pression associée à des contraintes de même signe sur le rectangle. Ce losange correspond au noyau central de la section rectangulaire. Dans le cas par exemple des fondations superficielles, on pourra déterminer aisément si la semelle de longueur A et largeur B (B < A) se soulève ou pas. Pour ce faire, il suffira de calculer le centre de pression e0 =

B M B et de le comparer à . Si e0 ≤ , le centre de pression est donc dans le noyau N 6 6

central, le diagramme des contraintes normales est alors trapézoïdal. En d’autres termes l’effort normal est prépondérant. La semelle s’appuie donc sur toute sa largeur avec un côté plus chargé que l’autre du fait du moment. 1

Pour le calcul des fondations superficielles, cette notion de noyau central est utilisée en prenant en compte uniquement les contraintes de compression.

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e0 ≤

B 6

121

M

N

e0

σ min =

N ⎛ e ⎞ ⎜1 − 6 0 ⎟ AB ⎝ B⎠

σ max =

N (réaction)

N ⎛ e ⎞ ⎜1 + 6 0 ⎟ AB ⎝ B⎠

B Si e0 >

B , le centre de pression est en dehors du noyau central. Le schéma de contraintes devrait 6

alors être bi triangulaire puisque les contraintes de traction (à l’extrémité gauche) dues au moment ne sont plus compensées par celles de compression dues à l’effort normal. Dans la réalité, la partie en traction n’existe pas puisque la semelle n’est pas liée mécaniquement au sol. Elle est en fait uniquement posée sur le sol ce qui entraîne un soulèvement.

M

N

e0 > e0

B 6

X/3

σmin=0

N (réaction)

σ max =

B X

1

σ max 2

AX

⎛ 3 A⎜ ⎝

car N =

2P B ⎞ − e0 ⎟ 2 ⎠

σ max 2

AX ; e 0 +

X B = 3 2

1

correspond à l’aire du triangle x longueur de semelle.

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9.7.

122

Utilisation d’un catalogue de profils1 - Dimensionnement

Dans le cas de l’utilisation de profils standards du commerce pour un dimensionnement, il est généralement plus aisé d’utiliser la notion de module de flexion (noté « el » pour élastique a contrario de « pl » pour plastique) plutôt que celle d’inertie, soit : Ii avec v : distance de la fibre moyenne à la fibre supérieure v I = i avec v' : distance de la fibre moyenne à la fibre inférieure v'

•

Wel .i. sup =

•

Wel.i. inf

Le dimensionnement en flexion simple s’effectue ensuite en posant :

σx =

M Weli. inf/ sup

≤ σ e ce qui

permet de déduire la valeur minimale de Weli . inf ou Weli. sup respectant la condition de contrainte. Une fois cette limite connue, il suffit de sélectionner le premier profilé de la gamme sélectionnée (par exemple IPEA ou IPE) ayant un module de flexion supérieur. Cependant et pour ce qui concerne les profils dissymétriques, Il est important de préciser que le dimensionnement doit s’effectuer par rapport au module de flexion le plus faible (celui qui donne la contrainte la plus forte). De plus, il est également possible d’utiliser cette méthodologie dans le cas de la flexion composée en dimensionnant en flexion simple dans un premier temps puis en « corrigeant » le profilé sélectionné en fonction de l’importance de l’effort normal.

1

On prendra garde aux hypothèses de calcul de ces catalogues qui diffèrent parfois de celles utilisées en RDM (la dénomination des axes par exemple).

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123

designation G

h

b

tw

tf

r

A

kg/m

mm

mm

mm

mm

mm

cm

2

hi

d

AL

AG

mm

mm

m /m

2

m /t

2

G

Iy

kg/m

cm

Wel.y 4

cm

3

Wpl.y cm

3

iy

Avz

Iz

cm

cm

2

cm

Wel.z 4

cm

3

Wpl.z cm

iz

ss

It

3

cm

mm

cm

Iwx10 4

cm

-3

6

IPE A 100

6.9

98

55

3.6

4.7

7

8.78

88.6

74.6

0.397

57.57

6.9

141.2

28.81

32.98

4.01

4.44

13.12

4.77

7.54

1.22

21.20

0.77

0.28

IPE 100

8.1

100

55

4.1

5.7

7

10.32

88.6

74.6

0.400

49.33

8.1

171.0

34.20

39.41

4.07

5.08

15.92

5.79

9.15

1.24

23.70

1.20

0.35

IPE A 120

8.7

117.6

64

3.8

5.1

7

11.03

107.4

93.4

0.472

54.47

8.7

257.4

43.77

49.87

4.83

5.41

22.39

7.00

10.98

1.42

22.20

1.04

0.71

IPE 120

10.4

120

64

4.4

6.3

7

13.21

107.4

93.4

0.475

45.82

10.4

317.8

52.96

60.73

4.90

6.31

27.67

8.65

13.58

1.45

25.20

1.74

0.89

IPE A 140

10.5

137.4

73

3.8

5.6

7

13.39

126.2

112.2

0.547

52.05

10.5

434.9

63.30

71.60

5.70

6.21

36.42

9.98

15.52

1.65

23.20

1.36

1.58

IPE 140

12.9

140

73

4.7

6.9

7

16.43

126.2

112.2

0.551

42.70

12.9

541.2

77.32

88.34

5.74

7.64

44.92

12.31

19.25

1.65

26.70

2.45

1.98

IPE A 160

12.7

157

82

4.0

5.9

9

16.18

145.2

127.2

0.619

48.70

12.7

689.3

87.81

99.09

6.53

7.80

54.43

13.27

20.70

1.83

26.34

1.96

3.09

IPE 160

15.8

160

82

5.0

7.4

9

20.09

145.2

127.2

0.623

39.47

15.8

869.3

108.7

123.9

6.58

9.66

68.31

16.66

26.10

1.84

30.34

3.60

3.96

IPE A 180

15.4

177

91

4.3

6.5

9

19.58

164.0

146.0

0.694

45.15

15.4

1063

120.1

135.3

7.37

9.20

81.89

18.00

27.96

2.05

27.84

2.70

5.93

IPE 180

18.8

180

91

5.3

8.0

9

23.95

164.0

146.0

0.698

37.13

18.8

1317

146.3

166.4

7.42

11.25

100.9

22.16

34.60

2.05

31.84

4.79

7.43

IPE O 180

21.3

182

92

6.0

9.0

9

27.10

164.0

146.0

0.705

33.12

21.3

1505

165.4

189.1

7.45

12.70

117.3

25.50

39.91

2.08

34.54

6.76

8.74

IPE A 200

18.4

197

100

4.5

7.0

12

23.47

183.0

159.0

0.764

41.49

18.4

1591

161.6

181.7

8.23

11.47

117.2

23.43

36.54

2.23

32.56

4.11

10.53

IPE 200

22.4

200

100

5.6

8.5

12

28.48

183.0

159.0

0.768

34.36

22.4

1943

194.3

220.6

8.26

14.00

142.4

28.47

44.61

2.24

36.66

6.98

12.99

IPE O 200

25.1

202

102

6.2

9.5

12

31.96

183.0

159.0

0.779

31.05

25.1

2211

218.9

249.4

8.32

15.45

168.9

33.11

51.89

2.30

39.26

9.45

15.57

IPE A 220

22.2

217

110

5.0

7.7

12

28.26

201.6

177.6

0.843

38.02

22.2

2317

213.5

240.2

9.05

13.55

171.4

31.17

48.49

2.46

34.46

5.69

18.71

IPE 220

26.2

220

110

5.9

9.2

12

33.37

201.6

177.6

0.848

32.36

26.2

2772

252.0

285.4

9.11

15.88

204.9

37.25

58.11

2.48

38.36

9.07

22.67

IPE O 220

29.4

222

112

6.6

10.2

12

37.39

201.6

177.6

0.858

29.24

29.4

3134

282.3

321.1

9.16

17.66

239.8

42.83

66.91

2.53

41.06

12.27

26.79

IPE A 240

26.2

237

120

5.2

8.3

15

33.31

220.4

190.4

0.918

35.10

26.2

3290

277.7

311.6

9.94

16.31

240.1

40.02

62.40

2.68

39.37

8.35

31.26

IPE 240

30.7

240

120

6.2

9.8

15

39.12

220.4

190.4

0.922

30.02

30.7

3892

324.3

366.6

9.97

19.14

283.6

47.27

73.92

2.69

43.37

12.88

37.39

Résistance des Matériaux 3

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124

designation G

h

b

tw

tf

r

A

hi

d

AL

AG

kg/m

mm

mm

mm

mm

mm

cm

mm

mm

m /m

2

IPE O 240

34.3

242

122

7.0

10.8

15

43.71

220.4

190.4

IPE A 270

30.7

267

135

5.5

8.7

15

39.15

249.6

219.6

IPE 270

36.1

270

135

6.6

IPE O 270

42.3

274

136

7.5

10.2

15

45.95

249.6

12.2

15

53.84

249.6

IPE A 300

36.5

297

150

6.1

9.2

15

46.53

278.6

248.6

IPE 300

42.2

300

IPE O 300

49.3

304

150

7.1

10.7

15

53.81

278.6

152

8.0

12.7

15

62.83

278.6

IPE A 330

43.0

327

160

6.5

10.0

18

54.74

307.0

271.0

IPE 330 IPE O 330

49.1

330

160

7.5

11.5

18

62.61

307.0

57.0

334

162

8.5

13.5

18

72.62

307.0

IPE A 360

50.2

357.6

170

6.6

11.5

18

63.96

334.6

298.6

IPE 360

57.1

360

170

8.0

12.7

18

72.73

334.6

IPE O 360

66.0

364

172

9.2

14.7

18

84.13

334.6

IPE A 400

57.4

397

180

7.0

12.0

21

73.10

373.0

331.0

IPE 400

66.3

400

180

8.6

13.5

21

84.46

373.0

IPE O 400

75.7

404

182

9.7

15.5

21

96.39

373.0

IPE A 450

67.2

447

190

7.6

13.1

21

85.55

420.8

378.8

IPE 450

77.6

450

190

9.4

14.6

21

98.82

420.8

IPE O 450

92.4

456

192

11.0

17.6

21

117.7

420.8

IPE A 500

79.4

497

200

8.4

14.5

21

101.1

468.0

426.0

Résistance des Matériaux 3

2

G

Iy

m /t

kg/m

cm

0.932

27.17

34.3

4369

361.1

1.037

33.75

30.7

4917

219.6

1.041

28.86

36.1

219.6

1.051

24.88

42.3

1.156

31.65

248.6

1.160

248.6

1.174

iy

Avz

Iz

ss

It

cm

cm

2

cm

cm

mm

cm

410.3

10.00

21.36

328.5

53.86

84.40

2.74

46.17

17.18

43.68

368.3

412.5

11.21

18.75

358.0

53.03

82.34

3.02

40.47

10.30

59.51

5790

428.9

484.0

11.23

22.14

6947

507.1

574.6

11.36

25.23

419.9

62.20

96.95

3.02

44.57

15.94

70.58

513.5

75.51

117.7

3.09

49.47

24.90

87.64

36.5

7173

483.1

541.8

12.42

22.25

519.0

69.20

107.3

3.34

42.07

13.43

107.2

27.46

42.2

8356

557.1

628.4

23.81

49.3

9994

657.5

743.8

12.46

25.68

603.8

80.50

125.2

3.35

46.07

20.12

125.9

12.61

29.05

745.7

98.12

152.6

3.45

50.97

31.06

157.7

1.250

29.09

43.0

10230

625.7

701.9

13.67

26.99

685.2

85.64

133.3

3.54

47.59

19.57

171.5

271.0

1.254

25.52

49.1

11770

271.0

1.268

22.24

57.0

13910

713.1

804.3

13.71

30.81

788.1

98.52

153.7

3.55

51.59

28.15

199.1

833.0

942.8

13.84

34.88

960.4

118.6

185.0

3.64

56.59

42.15

245.7

1.351

26.91

50.2

14520

811.8

906.8

15.06

29.76

944.3

111.1

171.9

3.84

50.69

26.51

282.0

298.6

1.353

23.70

298.6

1.367

20.69

57.1

16270

903.6

1019

14.95

35.14

1043

122.8

191.1

3.79

54.49

37.32

313.6

66.0

19050

1047

1186

15.05

40.21

1251

145.5

226.9

3.86

59.69

55.76

380.3

1.464

25.51

57.4

20290

1022

1144

16.66

35.78

1171

130.1

202.1

4.00

55.60

34.79

432.2

331.0 331.0

1.467

22.12

66.3

23130

1156

1307

16.55

42.69

1318

146.4

229.0

3.95

60.20

51.08

490.0

1.481

19.57

75.7

26750

1324

1502

16.66

47.98

1564

171.9

269.1

4.03

65.30

73.10

587.6

1.603

23.87

67.2

29760

1331

1494

18.65

42.26

1502

158.1

245.7

4.19

58.40

45.67

704.9

378.8

1.605

20.69

77.6

33740

1500

1702

18.48

50.85

1676

176.4

276.4

4.12

63.20

66.87

791.0

378.8

1.622

17.56

92.4

40920

1795

2046

18.65

59.40

2085.0

217.2

341.0

4.21

70.80

109

997.6

1.741

21.94

79.4

42930

1728

1946

20.61

50.41

1939

193.9

301.6

4.38

62.00

62.78

1125

4

cm

3

Wpl.y cm

3

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Wel.z 4

cm

3

Wpl.z cm

3

Iwx10

-3

iz

2

Wel.y

4

cm

6

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125

designation G

h

b

tw

tf

r

A

hi

d

AL

AG

kg/m

mm

mm

mm

mm

mm

cm

mm

mm

m /m

2

IPE 500

90.7

500

200

10.2

16.0

21

115.5

468.0

426.0

IPE O 500

107.0

506

202

12.0

19.0

21

136.7

468.0

IPE A 550

92.1

547

210

9.0

15.7

24

IPE 550

106

550

210

11.1

17.2

24

117.3 134.4

IPE O 550

123

556

212

12.7

20.2

24

156.1

2

G

Iy

m /t

kg/m

cm

1.744

19.23

90.7

48200

1928

426.0

1.760

16.40

107.0

57780

515.6

467.6

1.875

20.36

92.1

515.6

467.6

1.877

17.78

106.0

515.6

467.6

1.893

15.45

123.0

2

Wel.y

iy

Avz

Iz

cm

cm

2

cm

2194

20.43

59.87

2142

214.2

2284

2613

20.56

70.21

2622

59980

2193

2475

22.61

60.30

67120

2441

2787

22.35

72.34

79160

2847

3263

22.52

4

cm

3

Wpl.y cm

3

Wel.z

iz

ss

It

cm

mm

cm

335.9

4.31

66.80

89.29

1249

259.6

408.5

4.38

74.60

143.5

1548

2432

231.6

361.5

4.55

68.52

86.53

1710

2668

254.1

400.5

4.45

73.62

123.2

1884

82.69

3224

304.2

480.5

4.55

81.22

187.5

2302

4

cm

3

Wpl.z cm

3

Iwx10 4

cm

-3

6

IPE A 600

108

597

220

9.8

17.5

24

137.0

562.0

514.0

2.013

18.72

108.0

82920

2778

3141

24.60

70.14

3116

283.3

442.1

4.77

72.92

118.8

2607

IPE 600

122

600

220

12.0

19.0

24

156.0

562.0

514.0

2.015

16.45

122.0

92080

3069

3512

24.30

83.78

3387

307.9

485.6

4.66

78.12

165.4

2846

IPE O 600

154

610

224

15.0

24.0

24

196.8

562.0

514.0

2.045

13.24

154.0

118300

3879

4471

24.52

104.40

4521

403.6

640.1

4.79

91.12

318.1

3860

IPE 750 x 147

147

753

265

13.2

17.0

17

187.5

719.0

685.0

2.510

17.06

147.0

166100

4411

5110

29.76

105.40

5289

399.2

630.8

5.31

67.12

161.5

7141

IPE 750 x 173

173

762

267

14.4

21.6

17

221.3

718.8

684.8

2.534

14.58

173.0

205800

5402

6218

30.49

116.40

6873

514.9

809.9

5.57

77.52

273.6

9391

IPE 750 x 196

196

770

268

15.6

25.4

17

250.8

719.2

685.2

2.552

12.96

196.0

240300

6241

7174

30.95

127.30

8175

610.1

958.8

5.71

86.32

408.9

11290

Résistance des Matériaux 3

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9.8.

126

Exemples de cours 9.8.1.

Exemple 1

Calculer la contrainte de flexion maxi dans une poutre de section rectangulaire (b = 0.20 m h = 0.30 m), de longueur égale à 4 m et soumise à une charge répartie de 50 kN/m. P=50kN/m h = 0.3 m

b = 0.2 m

L = 4m On sait que le moment fléchissant maximum est au milieu de la poutre et a pour valeur :

qL2 50000 ⋅ 4 2 M max = = = 100000 N .m 8 8 M La contrainte maxi est donnée par la formule : σ x = − . y avec I bh 3 0.2 ⋅ 0.33 I= = = 0.00045m 4 . 12 12 On trouve donc la répartition des contraintes en fonction de la hauteur y : compression

M max h ⋅ = −33.33MPa I 2 M (σ x )mid = − max ⋅ 0 = 0Mpa I (σ x )inf = − M max ⋅ − h = 33.33MPa I 2

(σ x )sup

=−

traction

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127

En utilisant maintenant un profil en I de mêmes hauteur et largeur, on obtient :

e = 0.02 m h =0.3 m

(b − a )e 3 ah 3 ⎛ h − 2e e ⎞ + 2 ⋅ (b − a )e ⋅ ⎜ + ⎟ +2 12 2⎠ 12 ⎝ 2 2

I=

I = 0.000186m 4

a = 0.02 m

(σ x )sup (σ x )inf

b = 0.2 m

M max I M = − max I =−

h = −80.6 MPa 2 h ⋅ − = 80.6 MPa 2 ⋅

On remarquera que les contraintes se concentrent dans les semelles du I.

9.8.2.

Exemple 2

Une poutre métallique en T encastrée à son extrémité gauche et de longueur L = 1.20m, est sollicitée par une force ponctuelle P = 1 kN. Déterminer les contraintes à l’encastrement.

P= 1kN

50 mm 10mm 50mm

10 mm L= 1,20 m

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128

On sait que le moment fléchissant à l’encastrement est égal à : M = - P.L = -1.00 * 1.20 = -1.20 kNm Le moment est négatif, c’est à dire que les fibres supérieures sont tendues et les fibres inférieures sont comprimées.

σx = −

Pour calculer les contraintes, on utilise la formule :

M .y I

Au préalable, il est nécessaire de calculer l’inertie I et la fibre neutre.

50 A2 = 10 *50 = 500 mm²

10

50 40

A1 = 10 *50 = 500 mm²

10

∑ A .y ∑A

Le centre de gravité est situé à une distance : y =

i

i

i

Soit : y =

(500 * 55) + (500 * 25) = 40mm 500 + 500

Et l’inertie est égale à : I =

I=

⎡ bi .h 3 i ⎤ ∑ ⎢ 12 + Ai .( yi− y)²⎥ ⎣ ⎦

50 *10 3 10 * 50 3 + 500 * (55 − 40) 2 + + 500 * (25 − 40) 2 = 0.333.10 6.mm 4 12 12

La contrainte maxi est donnée par la formule : Soit :

σx = −

σx = −

M .y I

− 1.20 *10 −3 . y = 3604. y 0.333.10 −6

A la fibre supérieure extrême y = 20 mm, on trouve

σ x = 3604 * 0.02 = 72.1MPa

C’est une contrainte de traction. A la fibre inférieure extrême y = -40 mm on trouve

σ x = 3604 * −0.04 = −144.2MPa

C’est une contrainte de compression.

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9.8.3.

129

Exemple 3

Y

13.8 kN

20 kN/m

X

10 kN

10 kN/m

C

A 0.6 m

B

∑M / B = R

0 .6 1⎞ ⎛ − 13.8 × 1 − 10 × 2 − 20 × ⋅1 × ⎜ 3 + ⎟ = 0 ⇒ R E = 34kN ⇒ R B = 15.8kN 2 2⎠ ⎝

V = 0, M = 0,

VAB = -10 x 0.6 = - 6 kN, VBC = -10 x 0.6+15.8 = 9.8 kN, M = -10 x 0.6 x 0.6/2= -1.8 kN.m,

V = -10 x 0.6+15.8 -13.8= -4 kN, M = -10 x 0.6 x (0.6/2+1)+15.8 x 1= 8 kN.m

V = -10 x 0.6+15.8-13.8-10 = -14 kN, M = -10 x 0.6 x (0.6/2+2)+15.8 x 2-13.8 x 1= 4 kN.m

En E : ¾ ¾ ¾

•

× 3 + 10 × ⋅0.6 ×

En D : ¾ ¾

•

+ R E − 10 × 0.6 − 13.8 − 10 − 20 × 1 = 0 ⇔ R B + R E − 49.8 = 0

En C : ¾ ¾

•

VDE = -10 x 0.6+15.8-13.8-10 = -14 kN, VEF = -10 x 0.6+15.8-13.8-10+34 = 20 kN,1 M = -10 x 0.6 x (0.6/2+3)+15.8 x 3-13.8 x 2 -10 x 1= -10 kN.m 2

En F : ¾ ¾

V = 0, M = 0,

On vérifie grâce aux forces de droite que V est bien égal à : V = − correspond à la transformation des efforts de droite en efforts de gauche).

1

2

1m

En B : ¾ ¾ ¾

•

1m

1m

En A : ¾ ¾

•

E

F

E 1m

∑ F /Y = R

•

D

B

On vérifie grâce aux forces de droite que M est bien égal à :

(− 20 x1) = 20kN

(le premier « - »

M = −(20 ⋅ 1 ⋅ 0.5) = −10kN .m .

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130

Effel2005 - Structure - 14.1

Ech=1/17 Effort tranchant + réactions D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\ContraintesNormalesExo3 17/12/07 à 13 h 44 - Date 18/11/01 - Fichier ContraintesNormalesExo3 -

9.8 15.80

9.8

34.00 20

-4

-6

Y Z

X

Effel2005 - Structure - 14.1

Ech=1/17

Moment fléchissant D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\ContraintesNormalesExo3 17/12/07 à 13 h 46 - Date 18/11/01 - Fichier ContraintesNormalesExo3 -

8 -1.8-1.8 -10

Y Z

σx = 1

X

M z 10 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 = ≤ 235MPa ⇒ W z ≥ 42553mm 3 ⇒ IPEA120 1 Wz Wz

En choisissant la famille IPEA et un acier S235 comme hypothèses de calcul.

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131

Effel2005 - Structure - 14.1

Ech=1/17

Contraintes normales D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\ContraintesNormalesExo3 17/12/07 à 13 h 47 - Date 18/11/01 - Fichier ContraintesNormalesExo3 -

41.1241.12 -41.12-41.12

182.77

228.47

-182.77

-228.47

Y Z

X

1 Effel2005 - Structure - 14.1

Ech=1/17 Contraintes de cisaillement D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\ContraintesNormalesExo3 17/12/07 à 13 h 48 - Date 18/11/01 - Fichier ContraintesNormalesExo3 -

18.11

18.11

36.97

-7.39

-11.09

Y Z

X

2

1 2

Diagramme des contraintes normales (MPa) obtenu avec un IPEA120. Contraintes de cisaillement (MPa) dues à l’effort tranchant (cf. chapitre 10).

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132

10. Les contraintes de cisaillement dues à l’effort tranchant Le chapitre 8.4 concernant les éléments de réduction a permis d’établir qu’il y avait équilibre entre efforts et contraintes dans la section droite. Ceci donne pour les efforts tranchants Vy et Vz :

V y = ∫∫ τ y ⋅ ds S

Vz = ∫∫ τ z ⋅ ds S

10.1. Notion de cisaillement moyen Cette approche consiste à ne pas considérer la répartition des contraintes dans la section. On a donc :

τy =

Vy S

;τ z =

Vz S

10.2. Contrainte de cisaillement

y

ds

Vz

My

σ'=σ+dσ

Vy τ

σ

τ

τ

G’

x

G

(S’)

Vy

Vz (S)

Mz z

dx

La poutre ayant une section constante S sur le tronçon dx et de part le principe de réciprocité des contraintes de cisaillement (cf. chapitre 6.1.3), l’équilibre peut donc s’écrire :

∫∫ (σ − σ ') ⋅ dS − dx ⋅ ∫ τ (s ) ⋅ ds = 0 S

1

s

τ (s ) désignant la contrainte moyenne de cisaillement sur le tronçon (de largeur) ds .

1

Le terme

∫ τ (s ) ⋅ ds correspond à la résultante des contraines de cisaillement obtenues sur le tronçon ds . s

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En posant σ ' = σ +

133

∂σ ∂σ dx , cette expression devient : − ∫∫ ⋅dx ⋅ dS = dx ⋅ ∫ τ (s ) ⋅ ds . ∂x ∂x S s

La contrainte normale en flexion déviée ayant pour expression

σx =

My Iy

.z −

Mz . y , on déduit : Iz

dM y dM z z dM y y dM z ∂σ . De plus et comme = −V z et = V y (cf. chapitre 8.7), on = ⋅ − ⋅ dx dx I z dx ∂x I y dx obtient :

∂σ z y = − ⋅ V z − ⋅ V y d’où finalement : ∂x Iy Iz

⎛ z

∫ τ (s ) ⋅ ds = ∫∫ ⎜⎜ I S

s

⎝

⋅ Vz +

y

⎞ Vy V y ⋅ mz ⋅ V y ⎟ ⋅ dS = z ⋅ m y + ⎟ Iz Iy Iz ⎠

Où my, mz représentent les moments statiques par rapport aux axes z et y. En reprenant la notion de cisaillement moyen, cette relation s’exprime alors sous la forme :

τ ⋅ b( s ) = Cas particulier de la flexion simple :

V Vz ⋅ m y + y ⋅ mz Iz Iy

τ ( y ) ⋅ b( y ) =

Vy Iz

⋅ mz

Par analogie avec la notion de cisaillement moyen, on nommera la section de cisaillement comme étant la quantité : S c ( y ) =

I z ⋅ b( y ) . mz

10.3. Déformation de cisaillement Soit un élément de poutre droite plane dont la forme après déformation est la suivante : y

Vy

Ω’

τ

Ω

γ

x δ

Vy+dVy 10.3.1. Potentiel interne Nous avons établi au chapitre 6.3.9 que le potentiel interne ou énergie de déformation associé au cisaillement était égal à:

W=

1 1 τ2 2 τ γ γ ⋅ ⋅ dV = G ⋅ ⋅ dV = ∫v 2G ⋅ dV 2 ∫v 2 ∫v

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134

Pratiquement, le potentiel interne correspond à l’aire formée par la fonction 6.3.2) dans la partie linéaire élastique.

τ

τ = G ⋅γ

(cf. chapitre

Vy W

δ

γ

La structure étant supposée en équilibre, on a forcément égalité entre énergie de déformation et

1 1 ⎛1 ⎞ ⋅ V y ⋅ δ ⎟ , d’où : ⋅ V y ⋅ δ = ⋅ ∫ τ ⋅ γ ⋅ dV 2 2 V ⎝2 ⎠

énergie produite par l’effort tranchant ⎜

10.3.2. Section réduite d’effort tranchant L’équation d’équilibre vue précédemment nous permet alors d’écrire :

1 1 τ2 ⋅ V y ⋅ δ = ⋅ ∫ τ ⋅ γ ⋅ dV ⇒ V y ⋅ δ = ∫∫ ⋅ dΩ ⋅ dx 2 2 V G Ω On a par ailleurs établi au chapitre précédent que

τ (y) =

Vy Iz

⋅

mz ce qui permet d’obtenir b( y )

finalement :

V y ⋅ δ = ∫∫ Ω

2 b ( y )⋅dy V y2 m z2 1 ⎛ Vy mz ⎞ } ⎟ ⋅ dΩ ⋅ dx = ⋅ dΩ ⋅ dx = ∫∫ ⎜⎜ ⋅ ⋅ dy ⋅ dx G G Ω ⎝ I z b( y ) ⎟⎠ G ⋅ I z2 ∫ b( y )

τ2

⇒δ =

dx ⋅Vy 1 G ⋅ S1 y

ce qui permet de déduire pour la section réduite d’effort tranchant : S1 y

I z2 = m z2 ∫ b( y) ⋅ dy

1

Cette expression est une relation de souplesse liant le déplacement du à l’effort tranchant à l’effort tranchant luimême. La section réduite est donc une quantité équilibrant la déformation (au sens déplacement du terme) due à l’effort tranchant. Elle intervient donc surtout dans le cas des poutres ayant un élancement géométrique faible (généralement inférieur à 5). En fait et dans cette hypothèse, l’effet de l’effort tranchant devient prépondérant par rapport à celui du moment fléchissant d’où l’importance de sa prise en compte dans ce cas de figure.

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135

10.4. Contrainte de cisaillement en bord de section 10.4.1. Contour régulier y

τn τn τ

τt

Le contour n’étant pas chargé sur la surface, on déduit que :

τn = 0 d’où

τ =τt

z

10.4.2. Contour discontinu Le contour n’étant pas chargé sur la surface, on déduit que :

y

τ1 τ

τ2

τ1

τ1 = 0 τ2 = 0

τ2 z

10.5. Cas des profils minces ouverts et fermés symétriques Considérant dans le cas des profilés minces que la contrainte de cisaillement est constante suivant l’épaisseur e du profil, il est parfois plus aisé d’introduire la notion de flux de cisaillement, soit q ≈ τ ⋅ e d’où l’expression :

q =τ ⋅e =

Vy Vz ⋅ my + ⋅ mz Iy Iz

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136

Supposant le profil étudié comme indéformable (dans le cas contraire, un gauchissement apparaît provoquant une contrainte normale), la méthodologie de calcul consiste à évaluer la variation du flux de cisaillement au niveau des différentes arêtes de celui-ci. On a donc entre deux points quelconques : e2

q2

q 2 − q1 = τ 2 ⋅ e2 − τ 1 ⋅ e1 =

Vy Vz ⋅ my + ⋅ mz Iy Iz

q1 e1 Ceci étant, cette équation ne peut être résolue directement en raison des deux inconnues présentes (τ1, τ2). La solution consiste à déduire en des points particuliers une première valeur de τ. Pour les profils minces ouverts et à partir des conclusions du chapitre 10.4.2, nous pouvons établir que la contrainte de cisaillement est nulle au niveau de leurs extrémités. Pour les profils minces fermés, aucun point de contrainte nulle est connu. Par contre et pour les profils possédant un axe de symétrie, on arrive à démontrer que la contrainte de cisaillement est nulle si l’effort tranchant est appliqué suivant ce même axe. Enfin et comme le centre de cisaillement est confondu avec le centre de gravité de la section, la formule ci-dessus peut être appliquée directement.

10.6. Caractéristiques sectorielles des sections ouvertes à parois minces 10.6.1. Aire sectorielle y

Q P s+

Γ r

M’ M

O

yO

e

ds z

zO Considérant une section ouverte d’épaisseur e et indéformable, on définira l’aire sectorielle de pôle P (yP, zP) comme étant la grandeur vectorielle suivante : S

ω P = ∫ PM ∧ ds O

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137

avec O (yO, zO) point d’origine et M (y, z) point courant de Γ ligne moyenne du profil mince ouvert. ωP est représentée par un vecteur perpendiculaire au plan zOy donc colinéaire à Ox ce qui explique que l’on ait l’habitude d’omettre ce caractère vectoriel. Sous forme différentielle, cette relation devient dω P = PM ∧ ds . Comme PM ∧ ds représente le double de l’aire du triangle PMM’, on a :

1 2 APMM ' = PM ∧ ds = 2 ⋅ r ⋅ ds = r ⋅ ds ⇒ dω P = r ⋅ ds 2 10.6.2. Changement de pôle Considérant le nouveau pôle Q (yQ, zQ), on a :

PM ∧ ds = (PQ + QM ) ∧ ds = PQ ∧ ds + QM ∧ ds ⇒ dω P = dω Q + PQ ∧ ds S

ce qui donne après intégration :

S

ω P = ω Q + ∫ PQ ∧ ds = ω Q + PQ ∧ ∫ ds = ω Q + PQ ∧ OM O

1

O

⎧ zQ − z P ⎫ ⎧ z − zO ⎫ ⎬ = (z Q − z P ) ⋅ ( y − y O ) − ( y Q − y P ) ⋅ ( z − z O ) ⎬∧⎨ y − y y y − Q P O ⎭ ⎩ ⎭ ⎩

Comme : PQ ∧ OM = ⎨

D’où :

ω Q = ω P − (z Q − z P ) ⋅ ( y − y O ) + ( y Q − y P ) ⋅ ( z − z O ) 10.6.3. Caractéristiques sectorielles2

Les caractéristiques sectorielles intervenant dans l’étude des cisaillements d’efforts tranchants et de torsion, on définit en plus de l’aire sectorielle : •

Le moment statique sectoriel : mω =

∫ ω ⋅ e ⋅ ds , Γ

•

Les moments linéaires sectoriels : m yω =

∫ z ⋅ ω ⋅ e ⋅ ds Γ

•

Le moment d’inertie sectoriel : I ω =

∫ω

2

et m zω =

∫ y ⋅ ω ⋅ e ⋅ ds , Γ

⋅ e ⋅ ds .

Γ

10.7. Cisaillements dans une section ouverte à parois minces Nous avons vue au chapitre 10.5 que le flux de cisaillement dans une section ouverte à parois minces symétriques s’exprimait sous la forme :

q=

1 2

Vy Vz ⋅ my + ⋅ m z avec m y = ∫ z ⋅ e ⋅ ds et m z = ∫ y ⋅ e ⋅ ds Iz Iy Γ Γ

La distance PQ est une constante. On se réfèrera aux exemples des chapitres 11.6.4 et 11.6.5 pour le calcul de ces quantités.

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138

y P s+

Γ q

M’ M

O e

ds z

Considérant le moment élémentaire de torsion dMx engendré par le flux de cisaillement q par rapport à un pôle P quelconque :

dM x = PM ∧ (q ⋅ ds )

son expression en fonction de l’aire sectorielle sera égale à : dM x = q ⋅ PM ∧ ds = q ⋅ dω P Après intégration, cette équation devient : M x =

Vy Vz ⋅ ∫ m y ⋅ dω P + ⋅ m z ⋅ dω P Iy Γ I z ∫Γ

En considérant la fonction my comme dérivable, on peut écrire que :

∫m Γ

[

Remarque : m y ⋅ ω p

]

extrémité 2 extrémité1

y

[

]

⋅ dω P = m y ⋅ ω p extrémité1 − ∫ z ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds 1442443 Γ extrémité 2

0

= 0 car le moment statique my est nulle d’une extrémité à l’autre du

profil. On a donc finalement

∫m Γ

y

⋅ dω P = − ∫ z ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds et Γ

∫m Γ

z

⋅ dω P = − ∫ y ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds ce qui Γ

d’établir pour le moment de torsion :

Mx = −

Vy Vz ⋅ m yω P − ⋅ m zω P Iz Iy

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139

10.8. Centre de cisaillement Le moment de torsion par rapport à un pôle P quelconque étant généralement non nul, il existe néanmoins un point particulier C appelé centre de cisaillement qui permet d’annuler sa valeur. On a donc dans ce cas

∫ y ⋅ω

C

⋅ e ⋅ ds = 0 et

Γ

∫ z ⋅ω

C

⋅ e ⋅ ds = 0 .

Γ

Les axes y et z étant supposés principaux, on sait que

∫ z ⋅ e ⋅ ds = ∫ y ⋅ e ⋅ ds = ∫ y ⋅ z ⋅ e ⋅ ds = 0 , Γ

Γ

Γ

I y = ∫ z ⋅ e ⋅ ds et I z = ∫ y ⋅ e ⋅ ds . Le changement de pôle nous permet d’écrire également : 2

2

Γ

Γ

ω C = ω P − (z C − z P ) ⋅ ( y − yO ) + ( yC − y P ) ⋅ (z − z O ) 1

∫ z ⋅ω Γ

C

⋅ e ⋅ ds = 0 = ∫ z ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds − ( z C − z P ) ⋅ ∫ ( y − y O ) ⋅ z ⋅ e ⋅ ds + ( y C − y P ) ⋅ ∫ (z − z O ) ⋅ z ⋅ e ⋅ ds Γ

Γ

⇒ ∫ z ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds + ( y C − y P ) ⋅ ∫ ( z − z O ) ⋅ z ⋅ e ⋅ ds = 0 ⇒ y C Γ

Γ

2

Γ

⎧ ∫Γ z ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds m zω P ⎪ = zP + ⎪zC = z P + Iz Iz ⎪ ⇒⎨ ∫Γ y ⋅ ω P ⋅ e ⋅ ds ⎪ m yω P ⎪ yC = y P − = yP − Iy Iy ⎪⎩

zO = yO = 0

1

On suppose

2

On suivra la même démarche pour

3

(origine).

zC .

3

Le principe de calcul consiste à déterminer les coordonnées du centre de cisaillement C à partir des caractéristiques sectorielles d’un pôle P a priori quelconque (on essaye de le choisir judicieusement pour minimiser les calculs).

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140

10.9. Exemples 10.9.1. Section rectangulaire

y

y h

z

G

3 Vy 2 b⋅h

τ max =

b

•

•

S1 y =

h ⎛h ⎞ +y ⎜ −y ⎟ ⎞ h b ⎛ h2 ⎞ ⎞⎜ 2 ⎛ ⎛h 2 = ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ + y ⎟ = b⎜ − y ⎟ m z = b⎜ − y ⎟ 2⎝ 4 ⎠ 2 ⎠⎜ 2 ⎝2 ⎝2 ⎟⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ bh 3 Contrainte de cisaillement : I z = 12 6 ⋅Vy ⎛ h 2 Vy ⎞ b ⎛ h2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − y 2 ⎟⎟ τ (y) = ⋅ − = y 3 3 ⎜ ⎜ ⎟ bh 2 ⎝ 4 ⎠ bh ⎝ 4 ⎠ b⋅ 12 Section réduite d’effort tranchant :

I = m ∫ b( y) ⋅ dy 2 z 2 z

b2 ⋅ h6 144 2

⎡b ⎛ h2 ⎞⎤ h ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟⎥ ⎢ 2 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4 ⋅ dy ∫h b

−

S1 y =

2

b ⋅ h6 36

h 2

⎡ h4 h2 3 y5 ⎤ y y + ⎥ − ⎢ 16 6 5 ⎦−h ⎣

2

=

b2 ⋅ h6 144 2

⎡b ⎛ h2 ⎞⎤ h ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟⎥ ⎢ 2 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4 ⋅ dy ∫h b

−

=

b2 ⋅ h6 144 h 2

b ⎡h4 h2 2 4⎤ − + y y ⎢ ⎥ ⋅ dy ∫h 4 ⎣ 16 2 ⎦ − 2

2

b ⋅ h6 36 = = 5 ⎡h h5 3 h 5 ⎤ y + 2⋅⎢ − 160 ⎥⎦ ⎣ 32 48

b ⋅ h6 72

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 5 ⎢15 − 10 + 3 ⎥ h ⋅ ⎢ 14480 243 ⎥ ⎢ ⎥ 8 1 ⎣⎢ 480 = 60 ⎦⎥

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=

5 5 ⋅ bh = ⋅ Ω 6 6

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141

10.9.2. Section circulaire

y

R

dy y

G

τ max =

z

4 Vy 3 S

dy ⋅2 R 2 − y 2

} dS

m z = ∫∫ y ⋅ S

Contrainte de cisaillement : I z =

•

1

4 4 ⋅Vy 2 32 2 (R − y 2 ) ⋅ ⋅ (R 2 − y 2 ) = 4 π R 3 3 π R 2 R2 − y2 ⋅ 4 Vy

4

Section réduite d’effort tranchant :

π 2 R8 S1 y =

I z2 = m z2 ∫ b( y) ⋅ dy

R

∫ (R

2

− y2

)

52

(

)

2

⎡2 2 2 32⎤ ⎢⎣ 3 ⋅ R − y ⎥⎦ ∫ 2 R 2 − y 2 ⋅ dy −R R

=

16 R

∫ 9 ⋅ (R 2

2

− y2

)

52

= ⋅ dy

9 9 ⋅ πR 2 = ⋅ Ω 10 10

−R

5πR 6 16

y2 + z2 = R2 ⇒ z = ± R2 − y2 2 z ⋅ dy .

L’équation du cercle est

la côte y est égale à

π 2 R8

16

⋅ dy =

−R

1

y

32 2 ⋅ (R 2 − y 2 ) 3

πR 4

τ (y) =

•

R

= ∫ 2 R 2 − y 2 ⋅ y ⋅ dy =

.De ce fait, la surface de l’élément de section à

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142

10.9.3. Section en I

b τ1

τ2

y

h

τmax

h1 z

b1 e τ1 •

τ2

Contrainte de cisaillement :

h1 h ≤ y≤ 2 2 h

m z = ∫ 2 y ⋅ dS = y

V ⎞ b ⎛ h2 ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ ⇒ τ ( y ) = y 2⎝ 4 b⋅ Iz ⎠

(

2 2 h1 ⎛ h1 ⎞ V y h − h1 en y = ⇒ τ 1 = τ ⎜ ⎟ = 2 8I z ⎝2⎠ h 0≤ y≤ 1 2

)

⎡b ⎛ h2 ⎞⎤ ⋅ ⎢ ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟⎥ ⎠⎦ ⎣2 ⎝ 4

⎞ b ⎛ h 2 h12 ⎞ b1 ⎛ h12 m z = ∫ y ⋅ dS = ∫ y ⋅ dS + ∫ y ⋅ dS = ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ y y 2⎝ 4 4 ⎠ 2⎝ 4 ⎠ 2 2 2 Vy ⎡b ⎛ h ⎞⎤ h ⎞ b ⎛h ⇒ τ (y) = ⋅ ⎢ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ + 1 ⎜⎜ 1 − y 2 ⎟⎟⎥ 4 ⎠ 2⎝ 4 b1 ⋅ I z ⎣⎢ 2 ⎝ 4 ⎠⎦⎥ h

2

h

h1

2 h1 2

(

2

)

2 2 h1 ⎛ h1 ⎞ V y h − h1 b ⋅ en y = ⇒ τ 2 = τ ⎜ ⎟ = 2 8I z b1 ⎝2⎠ V y ⎡ bh 2 h12 ⎤ ⋅⎢ − (b − b1 )⎥ en y = 0 ⇒ τ max = 8 b1 ⋅ I z ⎣ 8 ⎦

Remarques : ¾

On notera la discontinuité de contraintes de cisaillement à la jonction âme - semelle,

¾

τ 2 = τ1 ⋅

¾ ¾

La majeure partie des contraintes de cisaillement est reprise par l’âme, La contrainte de cisaillement max située à la fibre moyenne correspond à un point de contrainte nulle en flexion simple. A contrario, la contrainte maximale de flexion correspond à une contrainte de cisaillement nulle.

b , b1

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143

Section réduite d’effort tranchant :

En posant e =

h − h1 , on trouve aisément que le moment d’inertie autour de l’axe z est égal à : 2 2 (b − b1)e 3 b1 ⋅ h 3 (b − b1) ⋅ e ⋅ (h − e ) IZ = + + 12 2 6

Le calcul de la section réduite étant assez compliqué compte tenu des expressions de mz et Iz, on peut établir en considérant l’épaisseur e petite que : S1 y =

I z2 ≈ b1 ⋅ h1 . m z2 ∫ b( y) ⋅ dy

10.9.4. Profil mince ouvert e b K = a(1 − b ) si a < b

⎡ (1 − b )2 ⎤ ⋅ M1M 3 1 3 a + − ⎢ ⎥ 1− a ⎦ 6 ⎣ si a > b

l

b 2 (2 − b ) ⋅ M1 ⋅ M 3 3 6b 2 − 4b 3 − 1 M 1M 3 3

⎡ b 2 ⎤ M 1M 3 2 3 − − a − ⎢ ⎥⋅ a 6 ⎣ ⎦

1 ⋅ M1 ⋅ M 3 3 1 ⋅ M1 ⋅ M 3 4

M3 ⋅ (M 1 + M 2 ) 3 M3 ⋅ (3M 1 + M 2 ) 12

1+ a − a2 ⋅ M1 ⋅ M 3 3 3 − 3a + a 2 ⋅ M1 ⋅ M 3 12

8 ⋅ M1 ⋅ M 3 15 1 ⋅ M1 ⋅ M 3 5

1 ⋅ M1 ⋅ M 4 12

M4 ⋅ (M 1 + 3 M 2 ) 12

1+ a + a2 ⋅ M1 ⋅ M 4 12

1 ⋅ M1 ⋅ M 4 5

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251

Formulaire de calcul des poutres Conventions y

V+ M+ A

MA

MB

E,I v(x)

ωA

f

x

B

ωB

RA

RB l

l : longueur de la poutre E : module de Young I : inertie de flexion M : moment fléchissant V : effort tranchant RA, RB : réactions aux appuis MA, MB : moments d’encastrement aux appuis

ωA, ωB : rotations sur appuis v(x) : équation de la ligne élastique f : déplacement maximum (max de v(x))

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Cas

a

P

b B

A l

Réactions Pb RA = l Pa RB = l l si a = b = 2 P RA = RB = 2

RA = RB =

q B

A l

Résistance des Matériaux 3

ql 2

252

Sollicitations Rotations 0≤x≤a Pa (l − a )(2l − a ) ωA = − Pb Pb 6 EIl ;M = x V = Pa 2 l l l − a2 ωB = a≤ x≤l 6 EIl Pa Pa (l − x ) si a = b = l ;M = V =− 2 l l Pl 2 ω = − ω = − A B Pab 16 EI M max = l l Pl si a = b = M max = 2 4 ql ql 3 V = − qx ω A = −ω B = − 2 24 EI qx(l − x ) M = 2 ql 2 M max = 8

(

)

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Déplacements

0≤ x≤a v( x) = −

(

Pbx 2 l − b2 − x2 6 EIl

)

a≤x≤l

Pa(l − x ) x(2l − x ) − a 2 6 EIl l Pl 3 si a = b = f =− 2 48 EI v( x) = −

[

qx 3 ( l − 2lx 2 + x 3 ) 24 EI 5ql 4 f =− 384 EI

v( x) = −

]

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Cas

a

P

Réactions RA = P

Sollicitations 0≤x≤a

M A = Pa

V =P M = − P(a − x )

b

RA = ql B

ql 2 MA = 2

Pa 2 (3x − a ) 6 EI Pa 2 (3l − a ) f =− 6 EI q (l − x )4 + 4l 3 x − l 4 v( x) = − 24 EI ql 4 f =− 8 EI v( x) = −

[

q(l − x ) 2

2

l

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Px 2 (3a − x ) 6 EI

a≤ x≤l

V = q(l − x ) M =−

Déplacements

0≤x≤a

v( x) = −

V =0 M =0

l

q

A

Rotations

a≤ x≤l B

A

253

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]

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Cas

a A

P

b B

l

q

A

l

B

Réactions Pb 2 RA = 3 (2a + l ) l Pa 2 RB = 3 (l + 2b ) l Pab 2 MA = 2 l Pa 2b MB = − 2 l l si a = b = 2 P RA = RB = 2 Pl M A = −M B = 8 ql RA = RB = 2 ql 2 M A = −M B = 12

Résistance des Matériaux 3

254

0≤ x≤a

Sollicitations

Rotations

Pab 2 Pb 2 M = − 2 + 3 (l + 2a ) ⋅ x l l a≤ x≤l

v( x) = −

Pba 2 Pa 2 + 3 (l + 2b ) ⋅ (l − x ) l2 l 2 2 2 Pa b

si a = b =

l3 l 2

M max =

Déplacements

Pb 2 x 2 [2a(l − x ) + l (a − x )] 6 EIl 3

a≤ x≤l

M ( x) = − M max =

0≤ x≤a

Pa 2 (l − x ) [b(l + 2 x ) + l (x − l )] 6 EIl 3 l Pl 3 si a = b = f =− 2 192 EI 2

v( x) = −

Pl 8

ql − qx 2 ql 2 ql qx 2 + ⋅x− M =− 12 2 2 2 ql M max = 24

(

qx 2 2 v( x) = − l − 2lx + x 2 24 EI ql 4 f =− 384 EI

V =

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)