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Résistance des Matériaux 1

Cours de Résistance des Matériaux

3ième Année Ingénieur en BTP Cours assuré par Dr Hassan ELMINOR Professeur de Mécanique

Dr Hassan EL MINOR

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Résistance des Matériaux 1

La résistance des matériaux, désignée souvent par RDM, est la science du dimensionnement. C’est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus qui permet de concevoir une pièce mécanique, un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire. Ce dimensionnement fait appel à des calculs qui prévoient le comportement de l’objet dont la conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique. L'objet de la résistance des matériaux est l'étude de la stabilité interne c'est à dire la détermination des contraintes et déformations à l'intérieur de la matière et les déplacements des lignes moyennes des structures générés (machines en génie mécanique, bâtiment en génie civil,…). Elle est basée sur des hypothèses simplificatrices vérifiées expérimentalement. La RDM fait appel à la statique du solide qui est une branche de la statique étudiant l'équilibre des pièces dans un mécanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systèmes mécaniques réels. L’objet de la statique est l'étude de l'équilibre d’un corps ou d’un ensemble de corps solides dans leur géométrie initiale; c’est-à-dire dans la structure non déformée par rapport à un repère Galiléen. Le solide sera considéré comme infiniment rigide. Etudier donc la statique d'une structure revient à étudier sa stabilité externe, d'une part en vérifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mécanisme, et d'autre part en déterminant les actions de liaisons (assemblages entre les différents solides et entre la structure et la fondation ou le sol). La statique et la résistance des matériaux constituent l'outil indispensable de l'ingénieur constructeur pour concevoir et réaliser des ouvrages économiques qui ne risquent ni de se rompre ni de se déformer excessivement sous les actions qui leur sont appliquées. Le polycopié est structuré de manière à fournir à l’étudiant les bases de la statique afin que ce dernier puisse maitriser l’équilibre de systèmes simples, calculer les réactions aux appuis d’une structure isostatique et calculer les efforts intérieurs dans ses barres. Les autres chapitres constituent une introduction à la résistance des matériaux. Le contenu est consacré, en premier lieu, à la mise en place des hypothèses fondamentales de la RDM. Ensuite, afin de dimensionner de petites structures élémentaires isostatiques; c'est-à-dire l'étude de la résistance et de la déformation des éléments d'une structure, de déterminer ou de vérifier leurs dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, dimensions, nature des matériaux ...) des cas de sollicitations simples (traction/compression, cisaillement pur, Torsion, flexion) et sollicitations composées sont étudiées.

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Chapitre 1. Généralités sur la résistance des matériaux 1. 2. 3.

Objectifs de la résistance des matériaux RDM Les différentes théories de la mécanique du solide Construction réelle, son schéma de calcul : Modélisation a. Matériau b. Géométrie de la structure : Notion de poutre c. Charges (sollicitations) d. Conditions aux limites

Chapitre 2 : Statique Plane 1. 2.

Introduction Principe fondamental de la statique (PFS) 2.1 Enoncé du principe 2.2 Utilisations pratiques

3. 4. 5.

6.

7. 8.

Méthode de résolution d’un problème statique Organigramme de la méthode Cas Particuliers a. Solides soumis à deux forces extérieures b. Solides soumis à trois forces extérieures non parallèles Statique graphique a. Cas d’un solide soumis à deux forces b. Cas d’un solide soumis à trois forces Conclusion Applications

Chapitre 3 : Efforts Internes (Torseur de cohésion) 1.

Hypothèses de la résistance des matériaux 1.1 Hypothèses sur le matériau 1.2 Hypothèses sur la géométrie - Hypothèse de la poutre 1.3 Hypothèses sur les déformations

2.

Efforts internes (Torseur de cohésion) 2.1 Repérage de la coupure fictive 2.2 Définition du torseur de cohésion

3.

Détermination des éléments de réduction en G du torseur de cohésion

4. 5. 6.

Repère de définition des sollicitations Nature des Sollicitations Applications

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Chapitre 4. Caractéristiques géométriques des sections planes 1. 2. 3.

Introduction Aire d’une section Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. 3.1 Définition. 3.2 Propriété du centre de surface G de (S) 3.3 Exemple

4.

Moment d’inertie (Moment quadratique) 4.1 Définition 4.2 Propriétés

5. 6.

Moment produit d’une section Moment Quadratique polaire d’une surface plane par rapport à un point de son plan. 6.1 Définition 6.2 Propriétés 7. Moment quadratiques à connaître (O et en G) 8. Conclusion 9. Module de résistance 10. Exemple 11. Rayon de giration 12. Exercices

Sollicitations simples Chapitre 5 : Extension Compression 1.

Extension simple a. Définition b. Eléments de réduction en G du torseur des forces de cohésion c. Hypothèses d. Contrainte dans une section droite (S) e. Condition de résistance

f. Relation entre allongement 2. Compression simple 3. Exercices

∆L et l’effort normal N.

Chapitre 6 : Cisaillement simple (pur) 1. Définitions 1.1 Etat de cisaillement 1.2 Cisaillement simple 2. Exemples 2.1 Action d’une cisaille 2.2 Rivets 3. Etude expérimentale 3.1 Modélisation 3.2 Résultats de l’essai Dr Hassan EL MINOR

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Résistance des Matériaux 1 4. Etudes des déformations élastiques. 5. Etudes des contraintes 5.1 Contrainte moyenne de cisaillement 5.3 Contrainte pratique de cisaillement 5.4 Condition de résistance au cisaillement 6. Exercices

Chapitre 7 : Torsion simple (pur) 1. Définition et hypothèse 1.1 Définition 1.2 Hypothèse 2. Essai de torsion simple 3. Etude des contraintes 3.1 Effort de cohésion 3.2 Loi de Hooke 4. Déformation de torsion rigide 4.1 Equation de déformation élastique 5. Condition de résistance 5.1 Expression de la contrainte de torsion en fonction de Mt 5.2 Condition théorique de résistance à la torsion 5.3 Conditions de réelles de la torsion 6. Exercices

Sollicitations composées Chapitre 8 : Flexion Plane Simple 1. Différents types de flexion. 2. Hypothèses à la flexion plane simple 3. Distribution des contraintes. 3.1 Contraintes normales 3.2 Relation entre σx et Mfz 3.3 Contrainte normale maximale 3.4 Contraintes tangentielle 4. Conditions de résistance 4.2 Condition de résistance aux contraintes tangentielles 5. Equation de la courbe de la déformée 6. Exemple 7. Exercices

Chapitre 9 : Flexion et torsion/Flexion plane et extension ou compression

1. Principe 2. Flexion plane simple et torsion 2.1 Définition 2.2 Analyse des contraintes 2.2.1 Contrainte tangentielle de flexion 2.2.1 Contrainte normale de flexion 2.2.3. Contrainte tangentielle de torsion simple Dr Hassan EL MINOR

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Résistance des Matériaux 1 2.2.4. Zones à contraintes maximales 2.3. Etude des contraintes maximales 2.3.1. Contrainte normale maximale 2.3.2 Contrainte tangentielle maximale 2.4 Définition des moments idéaux de flexion et de torsion 2.4.1 Moment idéal de flexion 2.4.2 Moment idéal de torsion 2.5 Condition de résistance 2.5.1 Condition limite pour les contraintes normales. 2.5.2 Condition limite pour les contraintes tangentielles. 3. Flexion plane et extension ou compression 3.1 Etude des contraintes normales 4. Exercices

Chapitre 10 : Flambage 1. Etude du Flambage – Théorème d’Euler – 1.1 Hypothèses de l’étude. 1.2 Déformation de flambage, charge critique d’Euler. 1.3 Cas d’une poutre dont les extrémités A et B, sont parfaitement encastrés 1.4 Longueur libre de flambage. 1.5 Domaine d’emploi du flambage, Elancement 1.6 Calcul de résistance au flambage (Euler) 1.7 Critères de résistance 2. Exercices

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Chapitre 1. Généralités sur la résistance des matériaux. 1.

Objectif de la résistance des matériaux

La RDM est une science qui permet à l’ingénieur soit :

Vérification des constructions Ou des pièces de machines.

• •

Dimensionnement

Vérifier une construction c’est s’assurer que certains critères sont respectés par exemple « la résistance du corps reste en tout points inférieure à une certaine limite imposée ». Dimensionner c’est déterminer les dimensions de la construction telle que celle-ci supporte les charges appliquées c’est à dire que les critères (de résistance, de déformabilité) soient vérifiés. Condition de résistance La condition de résistance s’écrit :
 
 



σ max : contrainte maximale en MPa ; σp : Contrainte pratique (ou résistance admissible du matériau) en MPa ; σe : résistance élastique du matériau en MPa ; s : coefficient de sécurité. Que ce soit dans le cas de la vérification ou le dimensionnement, la RDM permet d’étudier l’état de contrainte et de déformation dans les éléments de construction. Elle suit un but pratique à savoir l’établissement de formules simple faciles à appliquer, pour cela elle utilise des hypothèses simplificatrices qui sont plus ou moins vérifiées expérimentalement.

2.

Les différentes théories de la mécanique du solide :

• • • •

La résistance des matériaux (RDM). La théorie de l’élasticité (T.E). La théorie de la plasticité (T.P). La théorie du fluage (T.F). (…etc)

La différence entre ces théories réside essentiellement dans la formulation des lois de comportement : σ = f (ε). (Exemple : dans le cas élastique cette loi se traduit par la loi de Hook :

σ = E ε. La RDM et la théorie de l’élasticité supposent les corps étudiés élastique; la différence entre les deux théories c’est que la première utilise des hypothèses simplificatrices en plus des théories d’élasticités.

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Résistance des Matériaux 1 3. Construction réelle, son schéma de calcul : Modélisation Il est impossible de résoudre le problème d’une construction réelle en tenant compte de la multiplicité de ses propriétés. L’ingénieur est amené, dans un problème donné, à dégager les facteurs essentiels influençant la résistance et la rigidité de la construction.

Modélisation du problème : Etablir le modèle de calcul • • • •

Matériau préciser la géométrie de la structure les forces extérieures les conditions aux limites (les liaisons)

3.1 Matériau En RDM ce schéma commence souvent par la schématisation des propriétés du matériau, on suppose le matériau homogène (même caractéristiques physiques en tout point) et isotrope même caractéristiques mécanique de les trois directions). Les caractéristiques mécaniques du matériau sont souvent déterminées par des essais de traction dite statique.

Cas élastique (cas la RDM) : la loi de comportement est : σ = E ε

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Résistance des Matériaux 1 Les caractéristiques classiques sont : E : le module de young (MPa) (pour les aciers E ≈ 200000MPa) ν : Coefficient de poisson : il exprime le rapport entre la déformation longitudinale et la déformation transversale : ν = -ε’/ ε. σe : la limite élastique du matériau (MPa). A % = 100 (Lu-Lo)/Lo : l’allongement pour cent après rupture.

3.2 Géométrie de la structure : Notion de poutre Lors du choix d’un modèle de calcul on introduit des simplifications dans la géométrie du corps.

Exemple de poutre :

Variation brusque de section : n’est pas une poutre au sens de la RDM Dr Hassan EL MINOR

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3.3 Les charges (Sollicitations) Lors du choix d’un modèle de calcul on introduit aussi des simplifications dans le système des forces appliquées à la construction. On distingue deux groupes de sollicitation d’une construction • Les charges permanentes : Elles comprennent le poids propre des éléments de construction, le poids propre des éléments d’achèvement (par exemple : la poussée des terres sur un mur de soutènement). Les forces provoquées par ces charges ne disparaissent pas en période d’exploitation de l’ouvrage, elles restent, elles vivent avec lui. •

Les surcharges : Ce sont toutes les charges qui ne sont pas fixées en répartition, ni constantes dans le temps, ce sont par exemples les surcharges d’exploitation : marchandise dans un magasin, une foule sur une passerelle.

Selon le caractère de la mobilité de la sollicitation on peut distinguer les charges statiques et les charges dynamiques : • Les charges statiques : La charge croit très lentement de zéro à sa valeur initiale, puis elle reste invariable. •

Les charges dynamiques : La charge croit vite et sa grandeur change avec une fréquence assez grande (choc, vibration, répétition de charge).

Types de charges et liaisons en génie civil (en génie mécanique) Les actions extérieures (forces extérieures) s’appliquant sur les solides sont, au niveau mathématique, de nature différente. Les efforts connus On retrouve les efforts modélisant, les actions du poids propre des éléments, les actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions d’exploitation. Ces actions sont données par le cahier des charges d’utilisation du bâtiment: poids des machines, action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc… Les efforts inconnus Ils sont développés par les liaisons du solide étudié avec les éléments de transfert des charges. Les liaisons servent à bloquer certains degrés de liberté (ddl) des solides.

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Résistance des Matériaux 1 Exemples de Sollicitations Traction-Compression Une poutre est sollicitée en traction (ou en compression) lorsque les actions aux extrémités se réduisent à deux forces égales et opposées, portées par la ligne moyenne lm.

Cisaillement La direction du chargement est perpendiculaire à la ligne moyenne lm de la poutre.

Flexion

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Résistance des Matériaux 1 Le chargement est un moment autour l’axe Z. Le moment Mz est appelé moment fléchissant.

Torsion Une poutre est sollicitée en torsion lorsque les actions aux extrémités se réduisent à deux moments de torsion Mt égaux et opposés, portés par la ligne moyenne lm.

3.4 Conditions aux limites (liaisons) Un appui est un élément extérieur en contact avec la structure étudiée et la réaction d’appui dépend de la nature de la liaison appui-structure.

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Résistance des Matériaux 1 Liaisons et efforts de liaisons Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Génie Civil. Les liaisons, pour bloquer les déplacements, génèrent des efforts inconnus appelés efforts de liaison. On associera à la liaison un torseur d’efforts lié à ses caractéristiques cinématiques. Les mouvements élémentaires possibles dans le plan sont : deux translations (Δx et Δy), une rotation:

Ω=Ωk.

Modélisation des liaisons La norme voudrait que l'on utilise les mêmes symboles que dans les schémas cinématiques. Cependant la pratique et notamment les logiciels spécifiques à la rdm utilisent fréquemment les représentations suivantes (qui par définition sont variables car non normalisées):

Appui simple - Appui glissant L’appui simple bloque la translation dans la direction de l’appui, il permet une translation Δx dans la direction perpendiculaire et une rotation Ω autour de l’axe perpendiculaire au plan de la liaison. − une inconnue de liaison (réaction verticale) : 1ddl bloqué − deux degrés de liberté ddl (un déplacement suivant x et une rotation).

Modélisation La modélisation d’un appui simple est schématisée sur la figure ci-dessous.

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Fig. Schématisation d’un appui simple. Exemples de réalisation Différents exemples de réalisation d’un appui simple sont schématisés sur la Figure ci-dessous :

Figure : réalisation d’un appui simple

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Résistance des Matériaux 1 Remarque En génie civil, l’appui simple ne sera pas ponctuel mais plutôt du type surfacique. L’appui des éléments s’exercera souvent sur une "certaine surface".

Articulation (Appui double - Appui articulé) L’articulation permet de bloquer les deux translations possibles dans le plan. Elle permet donc une rotation libre Ωk. − Deux inconnues de liaison (réactions verticale et horizontale) : 2 ddl bloqués − un ddl (une rotation).

Modélisation L’articulation est modélisée comme le montre la figure ci-dessous.

ou

Fig. Schématisation d’une articulation

Remarque Les rotations admises sont faibles, de l’ordre de 10-1 radian (voir plus pour certains cas).

Encastrement (Appui triple) Cette liaison bloque les trois degrés de liberté possibles: deux translations élémentaires et une rotation. -s’oppose à tout déplacement toute rotation. Dans ce cas nous avons zéro degré de liberté. -Aucun ddl

Modélisation Dr Hassan EL MINOR

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Résistance des Matériaux 1 L’encastrement est modélisé comme le montre la figure

Fig. Schématisation d’un encastrement Exemple Une balançoire 3 est articulée en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2 représentent les poids respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqués respectivement en H1 et H2. Schématiser toutes les actions s’exerçant sur la balançoire.

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Résistance des Matériaux 1 Les actions s’exerçant sur la balançoire sont: • Le poids de la balançoire • Les poids des deux enfants • L’action de liaison au point O

Récapitulation sur la modélisation des liaisons : Les différentes liaisons souvent réalisées en domaine du génie civil sont récapitulées sur la figure cidessous :

Fig. Représentations simplifiées des différentes liaisons du génie civil.

Exercice 1 Soit un plongeoir, schématisé par la figure ci-dessous.

- Repérer, identifier et schématiser tous les efforts s’exerçant sur la planche (1).

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Chapitre 2 : Statique Plane 9. Introduction La statique du solide est la branche de la statique étudiant l'équilibre des pièces dans un mécanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systèmes mécaniques réels. L’objet de la statique est l'étude de l'équilibre d’un corps ou d’un ensemble de corps solides dans leur géométrie initiale; c’est-à-dire dans la structure non déformée par rapport à un repère Galiléen. Le solide sera considéré comme infiniment rigide. Etudier donc la statique d'une structure revient à étudier sa stabilité externe, d'une part en vérifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mécanisme (hypostatique), et d'autre part en déterminant les actions aux liaisons (assemblages entre les différents solides et entre la structure et la fondation ou le sol. D’autre part, la statique graphique est une méthode entièrement géométrique de résolution de problèmes de statique. Elle permet de s’affranchir de nombreuses lignes de calculs et de mieux visualiser et appréhender le dispositif étudié mais elle est particulièrement adaptée aux problèmes plans. 10. Principe fondamental de la statique (PFS) 2.1 Enoncé du principe Soit un solide (S) soumis à un système de forces extérieures modélisé parle torseur référentiel associé à (S); (S) est en équilibre si et seulement si:

. Soit R le

2.2 Utilisations pratiques L’égalité de deux torseurs entraînait l’égalité de leurs éléments de réduction. Soit O le point choisi:

Les équations (1) et (2) sont deux équations vectorielles qui donnent: - 6 équations scalaires en l’espace - 3 équations scalaires en plan En plan, l’équation des forces (1) possède deux équations scalaires et l’équation des moments (2) une équation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours à (P) (plan de sollicitations); le moment est autour de l’axe z (z étant perpendiculaire au plan (P)).

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Fig. Illustration en plan.

Remarque En génie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible à l’étude des problèmes plans, c'est-àdire l’étude de structures chargées dans leur plan de symétrie.

11. Méthode de résolution d’un problème statique Résoudre un problème de statique consiste à trouver des efforts inconnus (en direction et/ou en sens et/ou en intensité) en fonction d’autres efforts qui eux sont connus; le principe fondamental de la statique met en relation les efforts inconnus avec les efforts connus. Hypothèses • Les solides étudiés sont parfaits (indéformables et de géométrie idéale). • Les liaisons dans les mécanismes sont sans jeu; les frottements pourront ou non être considérés. 12. Organigramme de la méthode La méthode de résolution d’un problème statique peut être schématisée par l’organigramme ci dessous. Cet organigramme permet de déterminer les actions mécaniques qui agissent sur un solide.

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Résistance des Matériaux 1 13. Cas Particuliers a.

Solides soumis à deux forces extérieures

Soit un solide (0) soumis à deux forces extérieures F1/0 et F2/0. Soit P le point d'application de la force F1/0 . D'après le principe de la statique, l'équilibre du solide (0) se traduit par:

Théorème Si un solide est en équilibre sous l'action de deux forces extérieures, alors ces deux forces sont égales et opposées. Leur direction passe par les deux points d'application des forces.

b.

Solides soumis à trois forces extérieures non parallèles

Soit un solide (0) soumis à trois forces extérieures F1/0, F 2/0 et F 3/0. On suppose parfaitement connues la force F1/0 ainsi que la direction de F 2/0. Soit «I» le point d'intersection des directions des forces F1/0 et F 2/0. D'après le principe de la statique, l'équilibre du solide (0) se traduit par:

Théorème Un solide soumis à l'action de trois forces extérieures non parallèles est en équilibre, si: • La somme des trois forces est nulle. • Les trois forces sont concourantes en un point.

Exemple Appliquer l’organigramme de la méthode de résolution d’un problème statique au système schématisé par la figure ci-dessous

Supposons que le système est en plan. Notons les poids des trois éléments constituant la grue par P1, P2, P3 et le poids du panneau maintenu par Pn comme montré sur la figure suivante: Dr Hassan EL MINOR

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Le système schématisé ci-dessus est isolé de son environnement; c-à-d que l’action du sol sur la grue est représentée par les actions de liaison qui sont, en plan, les deux composantes RX et RY et le moment µ autour de l’axe Z. Après avoir fait le bilan de toutes les actions s’exerçant sur le système on applique le principe fondamental de la statique (PFS) et par conséquent on obtient les équations suivantes:

14. Statique graphique Les constructions graphiques permettent de résoudre simplement et rapidement un problème de statique. Toutefois, leur mise en œuvre devient compliquée et fastidieuse pour certains problèmes, c’est pourquoi le recours à la statique graphique se limite aux problèmes à deux ou trois glisseurs. a. Cas d’un solide soumis à deux forces Un solide soumis à deux forces est en équilibre si elles sont: - colinéaires (directions confondues), - de sens contraire, - de même intensité.

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b. Cas d’un solide soumis à trois forces Un solide soumis à trois forces est en équilibre si: - elles sont concourante (elles se coupent en un même point), - le dynamique est fermé.

Fig. Dynamique et schématisation d’un solide soumis à trois forces.

Trouver la direction et le module de la force F3sur la figure suivante:

Les trois forces F1, F 2 et F3 doivent être concourantes au point « I » et la somme des trois forces doit être nulle.

Nous déterminons d’abord le point d’intersection de F1et F 2puis la direction de F3 qui est portée par la droite IC. Nous traçons le dynamique des forces. Les directions du triangle des forces doivent être parfaitement parallèles à celles de la figure initiale ayant servi à déterminer le point « I ». On choisit une échelle Dr Hassan EL MINOR

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Résistance des Matériaux 1 pour tracer F1sur le triangle des forces; les modules de F 2 et F3 seront mesurés à partir de cette même échelle. L’extrémité de chaque force coïncide avec l’origine de la force suivante. L’ordre de construction et le résultat est montré sur la figure suivante.

15. Conclusion Selon la complexité du problème à traiter, nous avons à disposition différentes expressions du principe fondamental de la statique (PFS). Pour les problèmes «complexes», c’est à dire si on a plus de trois glisseurs ou si les efforts ne sont pas des glisseurs, la statique graphique devient fastidieuse, les méthodes analytiques prennent le relais. Si l’expression vectorielle possède elle aussi des limites d’utilisation (limites liées à la difficulté de mise en œuvre), l’utilisation des torseurs permet de résoudre efficacement tous les problèmes (2D, 3D, avec ou sans glisseur), notamment ceux où interviennent des liaisons mécanique telles que glissière, hélicoïdale, …

16. Applications Exercice 1 Soit la poutre montrée sur la figure ci-dessous.

1- Calculer les torseurs des forces F et q par rapport aux points A, B, C et D. 2- Etudier l’équilibre de cette poutre.

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Exercice 2 Soit à soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie et câbles (Figure suivante).

1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions extérieures s’exerçant sur celle-ci. 2- En appliquant le principe fondamental de la statique, déterminer les tensions des câbles AB et AC et l’effort T que doit exercer l’opérateur pour maintenir l’ensemble en équilibre. Exercice 3 Le système montré par la figure suivante est constitué de quartes barres rigides en acier: deux barres supérieures AB et AC et deux barres inférieurs BD et CD, ayant chacune un module de Young E et une même section transversale A. Le système est sollicité par une force concentrée au point D (P=17,3 kN= et une charge répartie (q = 3,46 kN/m).

1- Déterminer les efforts dans les barres AB et AC. On donne 2- Déterminer les efforts dans les barres BD et CD. Dr Hassan EL MINOR

.

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Exercice 4 Déterminer la résultante de toutes les forces s’exerçant sur le solide (S) montré sur la figure suivante.

Exercice 5

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Chapitre 3 : Efforts Internes (Torseur de cohésion) Dans le cours de la résistance des matériaux, nous nous intéresserons exclusivement aux matériaux élastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures étudiées sont suffisamment faibles pour que les déformations soient élastiques.

3. Hypothèses de la résistance des matériaux 1.1 Hypothèses sur le matériau Continuité La matière est continue (les distances entre les molécules sont toujours très petites; à l'échelle de la RDM, la matière apparaît continue). Autrement, ses propriétés sont des fonctions continues de l’espace, les discontinuités microscopiques dues à la nature des matériaux de construction (grains, mailles…) sont négligées. Homogénéité On admettra que tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique. Ses propriétés sont identiques en chaque point. Isotropie On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, les matériaux possèdent les mêmes propriétés mécaniques. 1.2 Hypothèses sur la géométrie - Hypothèse de la poutre On utilise le modèle de la poutre pour étudier la RDM (voir chapitre 1) 1.3 Hypothèses sur les déformations On fera l’hypothèse que les déformations sont petites par rapport à toutes les dimensions de la poutre. Ainsi, on assimilera la géométrie en configuration déformée à la géométrie en configuration non déformée. Les efforts sont donc considérés invariants en dépit de la déformation des poutres.

Fig. Poutre droite déformée.

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Hypothèses de Navier-Bernoulli • Les sections planes, normales aux fibres avant déformation restent planes et normales aux fibres après déformation. • Les sections droites normales à la fibre neutre restent donc perpendiculaires à la fibre neutre après déformation. Si l’on connaît la déformée de la fibre neutre, on peut donc en déduire le déplacement de n’importe quel point de la poutre. Dans la suite, on ne représentera donc que la fibre neutre pour représenter une poutre.

Fig. Schématisation de l’hypothèse de Navier - Bernoulli.

Hypothèse de Barré de Saint-Venant On fera l’hypothèse que les résultats de calculs seront valables loin des points d’application des charges. L’état des sollicitations dans une région suffisamment éloignée des points d’application des charges extérieures appliquées à la poutre ne dépend donc que du torseur associé à ces charges.

Fig. Schématisation de l’hypothèse de Barré de Saint-Venant.

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2_ Efforts internes (Torseur de cohésion) 2.1 Repérage de la coupure fictive

(E) le solide assimilé à une poutre et (E ) r r r l’ensemble extérieur à (E) . R0 =(x0, y0, z0) est le r repère lié à (E) tel que x0 est confondu avec la ligne moyenne. Considérons un plan (P) normal r à x0 définissant la section droite (S) de (E) . Soit r G le centre de surface de (S) , OG=x.x0 Soit

définissant la position de la section droite par rapport à R0 . La coupure fictive par le plan

(P) partage la

poutre en deux tronçons (E1) et (E2) 2.2 Définition du torseur de cohésion

{ }

Le torseur de cohésion GS Tcoh R0 est le torseur associé à l'ensemble des actions mécaniques exercées par le tronçon (E2) sur le tronçon (E1) de la poutre dont les éléments de réduction sont exprimés au point G centre de la surface (S)

r   R r G{Tcoh}=  M G  G

Remarque : Ces actions, non visibles, sont internes au matériau et lui permettent de garder son intégrité physique d'où le nom de cohésion. Le torseur de cohésion est toujours le torseur des actions mécaniques exercées par le tronçon de droite (E2) sur le tronçon de gauche (E1)

r v R et M G sont fonctions de l’abscisse x du centre de surface G de (S)

Pour simplifier les écritures, il n’y aura pas d’indices sur les éléments de réduction

3_Détermination des éléments de réduction en G du torseur de cohésion Etude de l’équilibre de la poutre

(E) :

v  RE →E =0r  Le PFS nous permet d’écrire : {TE → E }=  ={0} M GE →E =0 G

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Résistance des Matériaux 1 En utilisant la coupure fictive, les actions mécaniques extérieures peuvent êtres séparées en deux groupes :

 RE →E1    M GE →E1 G

•

le torseurs des AM extérieures à la poutre appliquées sur (E1) :

{TE →E1}=

•

le torseurs des AM extérieures à la poutre appliquées sur (E2) :

{TE →E2}=

L’équilibre de

 RE → E2    M GE → E2  G

    (E) peut s’écrire : {TE → E }={TE → E1}+{TE →E2}=  RE → E1 +  RE →E2 ={0} M GE → E1 G M GE →E2  G

Etude de l’équilibre de (E1) . Relation entre

{TE →E1} et {T

cohesion

}

(E1) est en équilibre sous l’action de deux torseurs : •

•

action du milieu extérieur :

action de E2 → E1 :

PFS appliqué à (E1) :

 RE →E1    M GE →E1 G

{TE →E1}=

r   R r  G{Tcoh}=  M G  G  RE →E1+ R=0   ={0} M GE →E1+M G =0 G

{TE →E1}+{Tcoh}=

Les éléments de réduction en G du torseur des actions de cohésion peuvent donc s’exprimer de deux façons :

r  =  −RE →E1  R r G{Tcoh}=  M G  −M GE →E1 G G

r  =  RE → E2  R r G{Tcoh}=  M G  G M GE → E2  G

Suivant le cas (simplicité), nous utiliserons l’une ou l’autre des relations

4_Repère de définition des sollicitations

rrr R=(G, x, y, z ) le repère local associé à la section droite r fictive (S). Ce repère est tel que x définit la normale extérieure à r r (S) relative à (E1) . y et z appartiennent alors au plan (P) de la

Soit

section (S). Ce repère sera toujours direct.

Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion

r r r r   R R r r {Tcoh}= M G ⇒ M G ==MNr t++TMr f  G

Dr Hassan EL MINOR

29

Résistance des Matériaux 1 r r R sur l’axe x r r rr Effort tranchant T : projection de R sur la section droite (y, z ) r r r Moment de torsion M t : projection de M G sur l’axe x r r rr Moment de flexion Mf : projection de M G sur la section droite (y, z ) r r rr T et Mf n’ayant pas de direction privilégiée dans (y, z ) , il est préférable d’utiliser les composantes r

Effort normal N : projection de

algébriques de ces vecteurs

r  R r {Tcoh}= M G =  G

 N Mt  Ty Mfy Tz Mfz R G

r r r N : composante algébrique de Nr sur xr R Ty : composante algébrique de Tr sur y r Tz : composante algébrique de T sur z r r r Mt : composante algébrique de Mrt sur xr M G Mfy : composante algébrique de Mr f sur y r Mfz : composante algébrique de Mf sur z

Diagrammes Les composantes algébriques

N,Ty,Tz,Mt,Mfy,Mfz varient en fonction de la position du centre de

surface G de la section droite fictive (S). La représentation graphique des fonctions N(x);Ty(x);Tz(x);Mt(x);Mfy(x);Mfz(x) donne les diagrammes des composantes des éléments de réduction en G du torseur de cohésion 5_Nature des Sollicitations En fonction de « l’allure » du torseur de cohésion, une typologie des sollicitations est établie. On appelle sollicitation simple l'état de contrainte d’une poutre dont le torseur de cohésion ne comporte qu'un élément. Nature des sollicitations Traction

(N>0)

Compression

(N