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RESISTANCE DES MATERIAUX LP Fontaine des eaux

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1) Généralités : La résistance des matériaux est l’une des branches de la mécanique utilisée pour prévoir comment les solides résistent et se déforment sous l’action des charges qui les sollicitent. Les résultats permettront de prédire le comportement et prévenir des risques de rupture.

Les éléments du viaduc de Millau, ci-dessus, supportent pratiquement tous les types de sollicitations rencontrées en RDM : traction-compression, cisaillement, torsion, flexion…. 1-1) Notion de poutre : Une poutre est un profilé dont les dimensions de la section droite (S) sont faibles par rapport à la longueur (L). Le centre de gravité (G) de la section droite décrit une courbe appelée ligne moyenne (Lm). La ligne moyenne est droite (ou de faible courbure). Il n’y a pas de brusque variation de section (trous, épaulements).Le solide admet un seul et même plan de symétrie pour les charges et la géométrie.

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1-2) Hypothèses fondamentales : - Les matériaux sont supposés homogènes et isotropes. - Les déformations de la poutre seront très petites par rapport à ses dimensions. - Pas de gauchissement des sections. - Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenus dans un plan de symétrie

2) Sollicitations :

Ce sont des forces ou des couples appliqués à un solide. On dit que ce

solide est sollicité. Classification des sollicitations :

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3) Traction : 3-1 Rappels sur l’essai de traction :

 en MPa

L en mm

3-2 Contrainte normale Sigma : N

 = S

N : effort normal en N S : section en mm²  : contrainte normale en MPa

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3-3) Conditions de résistance : Rpe résistance pratique à l’extension ou contrainte limite admissible. Elle est définie à partir de la limite élastique Re. N

≤ Rpe

 =

Rpe résistance pratique à l’extension en MPa

S Afin de tenir compte des incertitudes dans les caractéristiques des matériaux, dans les hypothèses, dans la valeur des sollicitations…. Et afin d’être certain que les conditions de résistance soient remplies, on affecte à Re un coefficient de sécurité s pour ne pas dépasser la limite élastique. Rpe : Résistance pratique élastique en Mpa. Re : Résistance élastique en Mpa. s : coefficient de sécurité sans unité. Choix du coefficient de sécurité : Coefficient de sécurité s 1,5 à 2

Re Rpe = s

3à4

Conditions générales de calculs Cas exceptionnels de grande légèreté. Hypothèses de charges surévaluées. Construction où l’on recherche la légèreté (aviation) Calculs soignés, haubans fixes.

4à5

Construction courante.

5à8

Calculs sommaires, efforts difficiles à évaluer (cas de chocs, appareils de levage, manutention). Matériaux non homogènes. Chocs, élingues de levage. Chocs très importants, très mal connus (presses, ascenseurs).

2à3

8 à 10 10 à 15

3-4) Applications : 3-4-1) Soit une poutre de diamètre 50mm soumise à deux efforts F = 55N

-

Déterminer la contrainte normale :

-

Sachant que la résistance élastique est de 165 Mpa et que le coefficient de sécurité est de 5, déterminer la résistance pratique à l’extension.

-

Vérifier la condition de résistance :  ≤ Rpe

-

Conclusion :

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3-4-2) Soit une poutre de diamètre 100mm soumise à deux efforts F = 6 daN

-

Déterminer la contrainte normale :

-

Sachant que la résistance élastique est de 165 Mpa et que le coefficient de sécurité est de 4, déterminer la résistance pratique à l’extension.

-

Vérifier la condition de résistance :  ≤ Rpe

-

Conclusion :

3-5) Déformation longitudinale Epsilon : Pour un grand nombre de matériaux l’essai de traction montre qu’il existe une zone élastique pour laquelle l’effort de traction F est proportionnel à l’allongement L, cette propriété est énoncée par la loi de Hooke.  : allongement relatif (sans unité). L : allongement en mm. L0 : longueur initiale

=

L L0

N . L0 L = S0 . E loi de Hooke  = E.

E : module d’élasticité longitudinal en MPa (module de Young).  : allongement relatif (sans unité).  : contrainte normale MPa.

Remarque : E est une constante caractéristique du matériau déterminé par essais. Valeurs de E des matériaux usuels :

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3-5-1) Application : un tirant de palan {2} d’une longueur de 3,2m et de diamètre 32mm doit supporter un effort axial de 65000 N. Les caractéristiques de l’acier employé sont les suivantes : Re = 450 N/mm² et E = 200 000 N/mm². Prendre un coefficient de sécurité de 5.

- Déterminer la contrainte normale :  = - Déterminer la résistance pratique à l’extension : Rpe = - Vérifier la condition de résistance :

 ≤ Rpe

- Déterminer l’allongement relatif :  = - Déterminer l’allongement du tirant : L = 3-6) Concentration de contrainte : Toute modification de forme d’une poutre tendue fait apparaître une concentration de contrainte. Au voisinage du changement de section la répartition des contraintes n’est plus uniforme. Exemple :

RESISTANCE DES MATERIAUX LP Fontaine des eaux max = Kt . 

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Kt est le coefficient de concentration de contrainte (sans unité), dépendant de la forme de la poutre (voir ci-dessous). Remarque : pour éviter une trop grande concentration de contrainte on évite les changements brusques de section, on place un arrondi de rayon aussi grand que possible.

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3-6-1) Application : Une tige cylindrique avec épaulement supporte un effort de traction de 1000 daN. On donne d1 = 20mm, d2 =14mm et r = 3mm. -

Schématiser cette tige avec la cotation.

-

Calculer la contrainte 1 dans la section S1.

-

Calculer la contrainte 2 dans la section S2.

-

Calculer la contrainte max au niveau du changement de section.

4) Compression : 4-1) Contrainte normale  : N  = S N : effort normal en N.  : contrainte normale en Mpa. S : section en mm². Remarque : La longueur de la pièce doit être moyenne (L=3a à 8a) pour éviter le flambage.

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4-2) Condition de résistance : N

≤ Rpc

 =

Rpc : Résistance Pratique à la compression en MPa. Elle est définie à partir de la résistance élastique à la compression Rec.

S

Re

avec

Rpc = s

Remarque : pour les acier la résistance élastique est la même en traction et en compression.

4-3) Déformation longitudinale : mêmes conditions que pour la traction.

4-4) Application : Une barre cylindrique de diamètre 50 mm et de longueur 250 mm est soumise à un effort de compression de 2000N. On donne : s=5 Re=350MPa E=200 000 MPa -

Schématiser cette barre avec les annotations nécessaires.

-

Déterminer la contrainte normale .

-

Déterminer la résistance pratique à la compression Rpc.

-

Vérifier la condition de résistance.

-

Déterminer le raccourcissement.

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5) Cisaillement : Une poutre est sollicitée en cisaillement lorsque sa section S est soumise à une résultante T contenue dans le plan (S).

5-1) Contrainte tangentiel  (tau):

 : contrainte tangentielle en

T



MPa ou N/mm² (Tau). T : effort tangentiel (tranchant) en N. S : aire de la section droite cisaillée en mm².

= S

5-2) Condition de résistance : Rpg : Résistance Pratique au Glissement en Mpa.

T



≤ Rpg

= S

avec

Reg Rpg =

s : coefficient de sécurité. Reg : résistance élastique au glissement en Mpa.

s

5-3) Relations entre la résistance élastique Re et la résistance élastique au glissement Reg : Matériaux Aciers doux (Re