25 0 441KB
Chapitre III : Les lignes d’influence (Partie I) 3.1. Définition On considère une poutre sur deux appuis simples soumise à une charge ponctuelle unitaire mobile d’abscisse x. On cherche à mesurer dans une section k quelconque d’abscisse α l’effet de cette charge mobile.
Cet effet (S) pourra être l’effort tranchant, le moment fléchissant, ou le déplacement (flèche, rotation) dans la section k. La courbe représentative de l’effet, lorsque la charge mobile se déplace sur la poutre, est appelée ligne d’influence. Cette ligne d’influence est relative à une section α donnée. Utilisons la lettre «ℒ» ou la notation «𝐿𝐼» pour indiquer la ligne d’influence de la grandeur« S » : ℒ 𝑆 ≡ 𝐿𝐼(𝑆). Remarque : a) Il ne faut pas confondre entre les deux notions : LI et diagramme (Epure) : -Diagramme (épure) : les ordonnées du diagramme caractérisent la variation de la grandeur S dans différents sections, quand les charges appliquées reste immobile (section varie, charges immobiles). -Ligne d’influence : les ordonnées de la LI représentent la variation de la même grandeur S mais dans une seule section définie, quand P=1se déplace (Section fixe, charge unitaire mobile). b) Forme de LI : la forme de la ligne d’influence est une droite (rectiligne, brisée) ou une courbe. Partiellement, pour les systèmes isostatiques les LI des réactions et des sollicitations forment avec l’axe des abscisses des triangles ou des polygones. c) Dimensions de l’ordonnée des LI : l’ordonnée de LI(S) fournit la valeur de S quand P=1 est applique au droit de cette ordonnée. Par conséquent, la dimension de l’ordonnée de LI(S) vaut ; 1
𝑦 =
𝑆 𝑃
𝑃 : la dimension de la force unitaire concentrée 𝐾𝑁 Exemple : les ordonnées de la LI du moment fléchissant sont mesurées en unités de longueur 𝑒𝑛 𝐾𝑁. 𝑚 𝑚 = 𝑚 ; celle de l’effort tranchant et de la réaction sont des grandeurs sans dimensions. 3.2 Ligne d’influence des réactions d’appuis 3.2.1 Réaction d’appui gauche 𝑅𝐴 Lorsque la charge P est à l’abscisse x, la réaction d’appui gauche vaut: En utilisant les équations d’équilibre, déterminons la valeur de 𝑅𝐴 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝐴 𝐿 − 𝑃 𝐿 − 𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐴 = 𝑃
𝐿−𝑥 𝐿
Pour 𝑃 = 1, on a la fonction qui exprime la variation de 𝑅𝐴 par rapport à x : 𝐿𝐼 𝑅𝐴 =
𝐿−𝑥 𝑥 =1− 𝐿 𝐿
Quand x varie, on peut déterminer la L.I de 𝑅𝐴 seulement avec deux valeurs particulières (cas d’une poutre isostatique). Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐴 = 1 Si 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑅𝐴 = 0 La ligne d’influence de 𝑅𝐴 est donc une droite de représentation :
Figure 1 - Ligne d’influence de 𝑅𝐴 Lorsque P se situe au droit de A, on retrouve bien 𝑅𝐴 = P = 1. De même, lorsque P se situe en B, la charge est directement équilibrée par la réaction d’appui 𝑅𝐵 , d’où 𝑅𝐴 = 0. 3.2.2 Réaction d’appui droite RB Lorsque la charge P est à l’abscisse x, la réaction d’appui gauche vaut : En utilisant les équations d’équilibre, déterminons la valeur de 𝑅𝐵 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑅𝐵 𝐿 − 𝑃𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐵 = 𝑃
𝑥 𝐿
Pour 𝑃 = 1, on a la fonction qui exprime la variation de 𝑅𝐵 par rapport à x : 2
𝐿𝐼 𝑅𝐵 =
𝑥 𝐿
Quand x varie, on peut déterminer la L.I de 𝑅𝐵 seulement avec deux valeurs particulières (cas d’une poutre isostatique). Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐵 = 0 Si 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑅𝐵 = 1 La ligne d’influence de 𝑅𝐵 est donc une droite de représentation :
Figure 2 - Ligne d’influence de 𝑅𝐵 Exemple 1 : Tracer les LI des réactions
3.3 Ligne d’influence de l’effort tranchant. Plaçons-nous dans une section 𝑘 d’abscisse α. Evaluons l’effort tranchant 𝑇𝑘 dans k lorsque la charge mobile parcourt la poutre. Deux cas sont à considérer : -Premier cas : 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝛼: la charge est située à gauche de la section k.
3
Alors 𝑇𝑘 = −𝑅𝐵 En utilisant l’opérateur L.I et en remplaçant LI(𝑅𝐵 ) par sa valeur, on obtient : 𝑥 𝐿𝐼(𝑇𝑘 )𝑔 = − 𝐿 Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑇𝑘 = 0 𝛼 Si 𝑥 = 𝛼 ⇒ 𝑇𝑘 = − 𝐿 Si 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑇𝑘 = −1 Deuxième cas : 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ L : la charge est située à droite de la section k.
Alors 𝑇𝑘 = 𝑅𝐴 En utilisant l’opérateur L.I et en remplaçant LI(𝑅𝐴 ) par sa valeur, on obtient : 𝑥 𝐿𝐼(𝑇𝑘 )𝑑 = 1 − 𝐿 Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑇𝑘 = 1 𝛼 Si 𝑥 = 𝛼 ⇒ 𝑇𝑘 = 1 − 𝐿 Si 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑇𝑘 = 0 La courbe représentative est donc :
Figure 3 - Ligne d’influence de 𝑇𝑘 L’effort tranchant en k est maximal lorsque la charge est située au droit de k. 4
Exemple 2: Tracer la LI de l’effort tranchant à la section k
En utilisant les équations d’équilibre, déterminons les valeurs de 𝑅𝐴 et 𝑅𝐵 6−𝑥 6 𝑥 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑅𝐵 6 − 𝑃𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐵 = 𝑃 6
𝑀𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝐴 6 − 𝑃 6 − 𝑥 = 0 ⇒ 𝑅𝐴 = 𝑃
Pour 𝑃 = 1, on a la fonction qui exprime la variation de 𝑅𝐴 et 𝑅𝐵 par rapport à x : 𝑥
𝑥
𝐿𝐼 𝑅𝐴 = 1 − 6 et 𝐿𝐼 𝑅𝐵 = 6 -Premier cas: 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚: la charge est située à gauche de la section k. 𝑇𝑘 = −𝑅𝐵 En utilisant l’opérateur L.I et en remplaçant LI(𝑅𝐵 ) par sa valeur, on obtient : 𝑥 𝐿𝐼(𝑇𝑘 )𝑔 = − 6 Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑇𝑘 = 0 4
Si 𝑥 = 4𝑚 ⇒ 𝑇𝑘 = − 6 = −0,67 Deuxième cas : 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 8m : la charge est située à droite de la section k. Alors 𝑇𝑘 = 𝑅𝐴 En utilisant l’opérateur L.I et en remplaçant LI(𝑅𝐴 ) par sa valeur, on obtient : 𝑥 𝐿𝐼(𝑇𝑘 )𝑑 = 1 − 6 Si 𝑥 = 4𝑚 ⇒ 𝑇𝑘 = 0,33 Si 𝑥 = 6𝑚 ⇒ 𝑇𝑘 = 0 Si 𝑥 = 8𝑚 ⇒ 𝑇𝑘 = 0,33
5