Chap IV 1 [PDF]

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Chapitre IV – Contrôle numérique Références bibliographiques principales : Automatique, cours et exercices corrigés, Yves Granjon, Dunod, Paris, 2001 Design and analysis of control systems, Arthur G.O. Mutambara, CRC Press LLC, 1999

4.1 Stabilité et performances des systèmes échantillonnées 4.1.1 Stabilité des systèmes échantillonnés 4.1.1.1 Critère mathématique de stabilité a) Énoncé du critère Pour les systèmes à temps continu ou discret, la définition de la stabilité reste la même : à une entrée finie doit correspondre une sortie finie. Soit un système échantillonné défini par la fonction de transfert suivante :

Les zi et les pj sont respectivement les zéros et les pôles de la fonction de transfert. Plaçons un échelon unité à l'entrée de ce système, soit E(z) =z / (z-1) On a alors :

D'après le théorème de la valeur finale, on a :

Or le système sera stable si et seulement si sk tend vers une valeur finie. La fonction de transfert peut naturellement être décomposée en éléments simples

et il faudra qu'aucun de ces termes ne tende vers l'infini lorsque z → ∞ pour assurer la stabilité du système. Une première analyse nous montre que s'il existe un pôle réel égal à 1, la sortie sk ne pourra converger. Toutefois, les pôles pj peuvent être complexes et dans ce cas, on peut montrer qu'un pôle de module 1 entraînera également l'instabilité du système. On sait par ailleurs que le domaine de convergence (donc d'existence) de la transformée en z est tel que | z | > r. Pour faire tendre z vers 1, il faut bien évidemment que le seuil de convergence r soit inférieur à 1.

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Le seul moyen de garantir qu'aucun terme de la décomposition en éléments simples ne diverge lorsque z tend vers 1 est donc de n'avoir que des pôles pj dont le module sera strictement inférieur à 1. Remarque : Ce développement théorique ne constitue pas une démonstration, mais il permet d'avoir une approche simple du critère mathématique de stabilité. Généralisons donc ce résultat : Un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles pj de sa fonction de transfert sont tels que pj < 1. On traduit souvent cette propriété par la proposition suivante qui concerne la position des pôles dans le plan complexe : un système est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert se trouvent tous à l'intérieur du cercle de rayon 1. b) Exemple .- stabilité en boucle ouverte d'un système du premier ordre On considère un système régi, en boucle ouverte, par une équation de récurrence d'ordre 1 sk = bek + ask-1 En appliquant la transformée en z, on obtient : S(z) = bE(z) + az-1 S(z) G(z)= S(z)/E(z) = b/1 – az-1

d'où

L’unique pôle de la fonction de transfert est a. Par conséquent, la condition de stabilité est : |a| 0, les trois premières conditions se résument à K< 1.21. Afin d’étudier la dernière condition : | 1 - (K-0.21)2 | > | 0.702 + 1.8K | Traçons sur le même diagramme les variations de A(K) =| 1 - (K-0.21)2 | et de B(K) = | 0.702 + 1.8K | pour K variant de 0 à 1.21 (figure)

D’après le diagramme, le système est stable si et seulement si : K< 0.16 b) Calculons l’erreur statique en fonction de K :

Pour 0< K < 0.16, on a : 0.29< εp < 1 L’erreur minimale que l’on puisse obtenir est donc 29% (pour K se situant au voisinage du seuil d’instabilité)

c) Si on introduit un intégrateur dans la chaîne directe, la nouvelle FT en boucle ouverte est :

Soit, en boucle fermée : ou encore : Le dénominateur est :

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La table de Jury est :

Avec : et : Critère de Jury : Le système est stable si et seulement si les conditions suivantes sont respectées :

Comme K > 0, les trois premières conditions se résument à K < 0.79. Pour étudier la dernière condition | 1 - (K+0.21)2 | > | 2.8K – 0.702 |, traçons sur un même diagramme les variations de P(K) = | 1 - (K+0.21)2 | et de Q(K) = | 2.8K – 0.702 | pour K variant de 0 à 0.79 (figure)

Cette condition conduit à : K < 0.45 Étudions la dernière condition |A(K)| > |C(K)| sur le diagramme suivant :

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On constate que |A(K)| > |C(K)| uniquement dans le voisinage de K=0. Cela se traduit, dans la pratique, par l’impossibilité de trouver une valeur de K permettant d’assurer la stabilité du système corrigé par un intégrateur (système difficilement réglable pour être stable).

4.1.1.3 Influence de la fréquence d'échantillonnage sur la stabilité a) Mise en évidence Nous allons tenter, à partir d'un exemple simple, de montrer que la stabilité d'un système échantillonné peut être grandement influencée par le choix de la période d'échantillonnage. Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) placé dans une boucle à retour unitaire avec : G(p) = K / (1 + Tp) Si on se réfère à la table des équivalents Laplace-z, le système échantillonné asservi qui possédera le même fonctionnement aura pour fonction de transfert :

Remarque : Bien noter que l'on n'a pas le droit de déduire la fonction de transfert échantillonnée en boucle fermée à partir de la fonction de transfert continue en boucle fermée. Alors que le système en temps continu H(p) est toujours stable, le système échantillonné ne l'est pas toujours. En effet, H(z) possède un pôle dont le module est susceptible d'être supérieur à 1. Ce pôle a pour expression :

Le système échantillonné sera stable si et seulement si :

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On peut donc avoir:

ce qui ne nous intéresse pas, ou bien :

Le système échantillonné peut donc être instable : pour une période d'échantillonnage donnée, il existe une limite supérieure du gain statique qui délimite le domaine stable. Si c'est le gain statique qui est fixé, on a:

soit:

La période d'échantillonnage doit donc être inférieure à une valeur qui dépend des paramètres du système. Autrement dit la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à un certain seuil. Remarque : Il s'agit là d'un résultat important : en automatique, la fréquence d'échantillonnage n'est pas uniquement dictée par le théorème de Shannon (d'ailleurs il n'est pas toujours possible de connaître à priori les spectres des signaux dans le système) mais aussi par les caractéristiques du système. b) Choix de la fréquence d'échantillonnage La règle traditionnellement adoptée par les automaticiens, en matière de choix de la fréquence d'échantillonnage consiste à évaluer la bande passante du système asservi et de choisir une fréquence d'échantillonnage telle que :

6fpas < fe < 25fpas On rappelle que la bande passante est définie comme la limite supérieure de la plage de fréquences pour lesquelles le gain est constant à 3 dB près.

Exemple 3 : Influence du choix de la fréquence d’échantillonnage sur la stabilité Un système à temps continu de fonction de transfert G(p) est placé dans une boucle de régulation à temps discret à retour unitaire et commandé numériquement. La fréquence d'échantillonnage Te est réglable. On donne: G(p)= K/(p+10) a) Déterminer, en fonction de K les conditions de stabilité du système échantillonné en boucle fermée. b) Comparer les conditions de stabilité du système pour Te = 1s, Te = 0,1s et Te = 0,02 s. c) La valeur du gain étant réglée sur K = 50, déterminer la condition sur Te pour que le système soit stable. Solution a) On calcule la FT équivalente en z du système en boucle fermé :

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Soit en boucle fermée :

Ce système est stable si et seulement si l’unique pôle de cette fonction de transfert en boucle fermée possède un module inférieur à 1. Soit :

Remarquons que : e-10Te – 1) < 0, ∀ Te >0 Si on a alors : d’où : qui est toujours vrai, donc K < 10 e-10Te/( 1 - e-10Te ) est une condition suffisante de stabilité. Si au contraire : on a alors :

-10 e-10Te - K(e-10Te - 1) < 10

d’où : Cette valeur étant supérieure à celle trouvée précédemment, on déduit la condition nécessaire et suffisante de stabilité :

b) Ce seuil de stabilité dépend de la fréquence d’échantillonnage Pour Te = 1s, on a : K < 10 Pour Te = 0.1s, on a : K < 21.6 Pour Te = 0.02s, on a : K < 100 Conclusion : Le seuil de stabilité est d’autant plus important que la période d’échantillonnage est faible. c) K = 50, la condition de stabilité s’exprime :

soit : 50(1- e-10Te ) < 10 + 10 e-10Te d’où : e-10Te > 2/3 Finalement : Conclusion : Le choix d’un critère de stabilité concernant le gain statique impose une condition sur la période d’échantillonnage.

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4.1.2 Précision des systèmes échantillonnés 4.1.2.1 Erreurs de position et de vitesse On définit, pour les systèmes à temps discret, les mêmes performances que pour les systèmes à temps continu. Il en est ainsi de la précision des systèmes qui est ici, toujours définie par les notions d'erreurs de position et de vitesse. Considérons un système échantillonné asservi de fonction de transfert en boucle ouverte G(z), placé dans une boucle à retour unitaire et représenté sur la figure suivante

Schéma d'un asservissement échantillonné à retour unitaire On définit l'erreur de position εp, par :

εp = lim εk pour une entrée en échelon unité, quand k → ∞ appliquant le théorème de la valeur finale, on obtient

Or:

ε(z) = E(z) - S(z) = E(z) - G(z)ε(z)

d'où

ε(z) = E(z) /( 1 + G(z))

On a donc

Comme le signal d'entrée est un échelon unité, on a :

On définit également l'erreur de vitesse εv, par : εv = lim εk pour une entrée en rampe, quand k → ∞ On a toujours

avec cette fois

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4.1.2.2 Précision d'un système échantillonné du premier ordre On considère un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) placé dans une boucle à retour unitaire (figure), avec :

Nous savons déjà que le système est stable en boucle fermée si l'unique pôle de la fonction de transfert en boucle fermée est inférieur à 1. Soit a / (b+1) < 1 a) Calcul de l'erreur de position L’erreur de position de ce système asservi a pour expression

soit:

Remarque : Compte tenu de la condition de stabilité, le dénominateur de cette expression ne peut être nul. Cette erreur de position est nulle, autrement dit le système est parfaitement précis en boucle fermée, si a= 1, donc si la fonction de transfert en boucle ouverte G(z) possède un pôle égale à 1. b) Calcul de l'erreur de vitesse L’erreur de vitesse du système asservi a pour expression :

soit :

L'erreur de vitesse d'un système du premier ordre placé dans une boucle d'asservissement est donc infinie, sauf si a=1, auquel cas :

Généralisation :

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La présence d'un pôle égal à 1 dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure donc une bonne précision statique mais n'assure pas une bonne précision dynamique. Considérons à présent un système de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) quelconque de la forme :

Un tel système possède n pôles égaux à 1. On dit aussi que la fonction de transfert en boucle ouverte est constituée, notamment, de n intégrateurs, étant donné que la forme 1/(1- z-1) correspond à une constante multiplicative près à l'intégration 1/p (voir tables des équivalents). L'erreur de position de ce système en boucle fermée a pour expression :

Quelle que soit la valeur de n supérieure ou égale à 1 : εp =0. La présence d'au moins un intégrateur dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure donc bien la nullité de l'erreur statique. L’erreur de vitesse du système en boucle fermée a pour expression

soit :

Si n = 1 :

Si n ≥ 2 :

En conclusion, la présence d'un intégrateur dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure une erreur de vitesse finie d'autant plus faible que la période d'échantillonnage est faible. La présence d'au moins deux intégrateurs assure la nullité de l'erreur de vitesse.

4.1.3 Performances dynamiques d’un système échantillonné Nous allons à présent nous intéresser aux performances dynamiques dans le cas des systèmes à temps discret. Nous allons utiliser la méthode qui consiste à assimiler le fonctionnement d'un système quelconque à celui d'un système du second ordre. 4.1.3.1 Fonction de transfert échantillonnée équivalente à un système du second ordre

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On considère un système à temps continu du second ordre, caractérisé en boucle ouverte, par une fonction de transfert G(p) telle que :

Nous nous limiterons à l'étude du cas ξ< 1, pour mettre en évidence les paramètres liés au temps de montée et au dépassement. Nous savons déjà, que cette fonction possède dans ce cas deux pôles complexes conjugués :

Soit :

Calculons à présent, à l'aide d’une table d'équivalence, la fonction de transfert en z équivalente à G(p) :

Comme: p1p2 = ωn2 , on obtient:

p1Te

Notons au passage que les deux pôles de la fonction de transfert en z sont e pour finir p1 et p2 par leurs expressions. On obtient :

et e

p2Te

et remplaçons

4.1.3.2 Prévision des performances dynamiques a) Principe L'une des méthodes les plus simples consiste à rechercher l'équivalent en temps continu de la boucle d'asservissement en temps discret en prenant soin de ne pas oublier les bloqueurs d'ordre 0, si nécessaires. On évalue alors les performances dynamiques de ce système en temps continu en assimilant son fonctionnement à celui d'un système du second ordre. Pour simplifier les calculs, on prend l'habitude d'effectuer une approximation sur la fonction de transfert du bloqueur d'ordre 0, approximation qui apparaît comme raisonnable si la fréquence d'échantillonnage est suffisamment élevée :

b) Exemple On considère le système échantillonné asservi représenté sur la figure suivante et soumis à un échelon unitaire la période d'échantillonnage est réglée sur T= 0,2 s.

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Asservissement continu commandé par un signal échantillonné On donne : A(p) = 4/(1+p) Recherchons l'équivalent en temps continu de cette boucle d'asservissement en temps discret : un bloqueur d'ordre 0 est nécessaire pour assurer la commande du système A(p). On obtient alors le schéma équivalent, de la figure suivante : La fonction de transfert en boucle ouverte de ce système en temps continu a pour expression :

Équivalence du système en temps continu Calculons la pulsation de coupure à 0 dB et la marge de phase de ce système :

La seule solution réelle positive de cette équation est : ωc0= 3,6 rad/s Par conséquent, en considérant les relations approchées à propos des performances des systèmes à temps continu, nous pouvons en déduire une estimation du temps de montée en boucle fermée

Calculons à présent la marge de phase :

soit :

Ce coefficient d'amortissement en boucle fermée correspond à un dépassement de 0,6 %, autrement dit, le système devrait présenter un dépassement imperceptible. GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV

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En conclusion, nous considérerons que le système échantillonné initial possède pour performances dynamiques: tm ≈ 0,8 s dep ≈ 0 Cette étude a par ailleurs permis de démontrer que le dispositif était caractérisé par une marge de phase relativement importante, montrant ainsi que le système est très stable en boucle fermée.

c) Validation des résultats obtenus Considérons, pour valider les résultats obtenus précédemment, l'équivalent en z de la boucle d'asservissement étudiée. D'après la table d'équivalence :

Modèle à temps discret de la boucle d'asservissement

La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :

soit:

Or:

soit:

Ce qui correspond à l'équation de récurrence suivante :

Le système étant commandé par un échelon, la suite (ek) est connue et cette équation nous permet de calculer, échantillon par échantillon, les différentes valeurs de la suite (Sk) (tableau suivant).

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SIMULATION DE LA SUITE D'ÉCHANTILLONS.

La figure suivante propose une représentation graphique de ces résultats. Nous y remarquons l'absence de dépassement perceptible et pouvons y mesurer le temps de montée qui est tout à fait conforme aux prédictions calculées à partir de notre modèle. Nous pouvons également vérifier la valeur de l'erreur de position prévue par notre modèle :

soit :

Ce qui est tout à fait conforme au graphe présenté.

Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée

Exemple 4 : Mesure des performances dynamiques d’un système échantillonné Un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) est placé dans une boucle de régulation à retour unitaire : G(z) = 0.16K/(z – 0.8)2 avec K > 0 . La période d'échantillonnage est : Te = 0,1s. a) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la condition de stabilité du système en boucle fermée. b) Le gain étant réglé sur K=1, déterminer, en boucle fermée : L’erreur de position, l'équation de récurrence, et calculer, puis tracer, les premiers éléments de la suite des échantillons de sortie lorsque l'entrée est un échelon unitaire. En déduire la valeur du temps de montée et du coefficient d'amortissement en boucle fermée. c) Répondre aux mêmes questions en réglant le gain sur K = 2. Conclure.

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Solution a) La FT en boucle fermée :

Le dénominateur : D(z) = z2 - 1.6z + 0.64 + 0.16K Critère de Jury : Le système est stable si et seulement si les conditions suivantes sont respectées :

La condition de stabilité : K< 2.25

b) Avec K=1, on a : d’où :

sk=0.16ek-2 + 1.6sk-1 – 0.8sk-2

L’erreur de position :

Le calcul des premiers échantillons de sortie et leur tracé (tableau et figure) permet de mettre en évidence le temps de montée et la valeur de dépassement

Un calcul, plus approfondi des échantillons suivants, montre la convergence assez rapide vers la valeur finale du signal (soit pour une entrée échelon unité : s∞ = 1 - 0.2 = 0.8). Le temps de montée se situe entre le cinquième et le sixième échantillon, soit : tm≈0.6s et : dep ≈ 20% ce qui correspond à un facteur d’amortissement, en boucle fermée égal à : GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV

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ξBF ≈ 0.45 c) Avec K = 2, on a :

d’où : L’erreur de position est:

sk=0.32ek-2 + 1.6sk-1 – 0.96sk-2

Le calcul des premiers échantillons de sortie et leur tracé (tableau) permet de mettre en évidence le temps de montée et la valeur de dépassement. Un calcul, plus approfondi des échantillons suivants, montre la convergence très lente vers la valeur finale du signal (soit pour une entrée échelon unité : s∞ = 1 - 0.11 = 0.89).

Le temps de montée se situe entre le troisième et le quatrième échantillon, soit :

et :

tm≈0.4s dep ≈ 70%

ce qui correspond à un facteur d’amortissement, en boucle fermée égal à : ξBF ≈ 0.1 Le graphe précédent représente la suite d’échantillons pour K=2 en même temps que pour K=1. Les conséquences des deux réglages différents sont facilement observables. La limitation du gain se traduit par un amortissement plus grand (un dépassement plus faible) et un temps de montée légèrement plus grand. Le système est donc, à priori, plus stable et moins rapide. Avec K=2, proche du seuil d’instabilité, on a un dépassement plus important (système moins amorti) et un temps de montée plus faible. Cette rapidité est relative car c’est pour K=1 que le temps de réponse est faible.

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