Ab - Chap 1 (Bode) - RTT [PDF]

Zitiervorschau

B.ABBOUD

Introduction à l'électronique analogique

2015/2016

DIAGRAMME DE BODE Diagramme Bode:  Moyen de représenter le comportement en fréquence d´un (quadripôle)  Permet une résolution graphique (méthode rapide)

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1. FONCTIONS DE TRANSFERT Z (éléments de base de l’électrocinétique): variable avec la pulsation (fréquence) de la source d’alimentation. Cette propriété est utilisée dans les fonctions électroniques où interviennent des signaux à fréquence variable. Les circuits : FT (grandeur de sortie/d’entrée) et son étude permet de décrire les propriétés du circuit associé. En régime sinusoïdal, c’est une fonction complexe de la variable fréquence. C’est donc la vision fréquentielle des signaux qui sera étudiée, se substituant à la vision temporelle. Les amplitudes et phases relatives des signaux en fréquence constitueront le centre des études. Méthode d´étude: circuit électronique = ‘’boîte noire’’ et on considère l’entrée et la sortie sous leur représentation complexe.

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Vs( ) T ( )  Ve( )

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La fonction T(ω) est couramment appelée Fonction de Transfert du

quadripôle. Il est plus commode d’utiliser la transformation complexe et de définir T(jω) telle que :

T ( j ) 

Vs ( ) Ve ( )

T(jω) = nombre complexe dont le module et l’argument dépendent de la fréquence (pulsation), entièrement défini par les expressions:

de son module T = fT(ω) et de son argument ϕ = fϕ(ω) Habituelement on trace les deux courbes correspondant aux évolutions de son

module et de son argument en fonction de la fréquence. Pour des raisons de commodité on préfère utiliser des échelles logarithmiques,

d’où l’introduction du décibel. B.ABBOUD

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Le décibel: Le décibel (dB) est une échelle logarithmique définie à partir des puissances de la façon suivante :

[P = Watts] (sur une échelle linéaire) Pour les tensions, le facteur devant le Log est 20 (puissance Le module de FT s’exprime comme le rapport

Vs Ve

 au carré

tension).

du système considéré.

En dB, on aura donc :

Pour la suite, on utilisera log pour signifier le logarithme en base 10 (Log10). B.ABBOUD

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1.1. Rappels : quelques propriétés du logarithme et de l’Arc tangente L’intérêt du dB réside dans certaines propriétés de la fonction logarithme qui rendent l’expression du gain en décibel plus facile à manipuler. Certaines opérations se font graphiquement.  log(a×b) = Log(a) + Log(b)  log(a/b) = Log(a) – Log(b)  log(an) = n×Log(a) Il est de plus intéressant d’avoir en tête quelques valeurs particulières :  log (1) = 0  log(10n) = n  log(2) ≅ 0,3

→ → →

20.log(1) = 0 dB 20.log(10n) = n.20 dB 20.log(2) ≅ + 6 dB

Pour l’étude de la phase :  Arctan (0) = 0  Arctan(± 1) = ± π/4  Arctan(± ∞) = ± π/2 B.ABBOUD

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1.2 Définitions de dB Soit H(jω): FT d’un quadripôle.

On désire connaître son comportement en fréquence en régime harmonique (càd: signal à l’entrée est purement sinusoïdale (*) ).

Rq:  

La fréquence: peut varier de 0 à +∞. Le diagramme de Bode qui va servir à décrire ce comportement, aura donc en abscisse des fréquences (ou des pulsations au choix à un facteur 2π près).

(*) Le régime sinusoïdal est un cas particulier des régimes variables. Il est intéressent pour 2 raisons : - C’est le régime sous lequel est produite et distribuée l’énergie électrique. -Tout régime périodique peut être décomposés en  régimes sinusoïdaux . B.ABBOUD

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Séries de Fourier réelles Comme le signal électrique est représenté par une fonction réelle à valeurs réelles, on peut aussi traiter ce cas sans passer par les nombres complexes. On a le développement suivant, pour les séries de Fourier réelles :

26/09/2016

 On définit: diagramme de Bode en gain par la fonction

NB: Calculer module |H(jω)| puis 20 log(module) pour passer en unité de db  On définit: diagramme de Bode en phase par la fonction

L’unité en ordonnée est le degré ou le radian. On définit d’autre part les notions suivantes : Décade : rapport 10 entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport 10 entre deux fréquences. Octave : rapport 2 entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport 2 entre deux fréquences. B.ABBOUD

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1.3. Produits de formes canoniques Si on connaît l’expression d’une FT H(jω) , il est possible de la mettre sous la forme d’un produit : où les H(jω) sont des FT de formes canoniques du premier ordre ou du second ordre. Grâce au logarithme, le diagramme en gain se transforme alors en une somme de fonctions :

De même pour la phase :

Il est alors possible d’effectuer ces sommes très simplement d’une manière graphique ce qui rend l’étude du diagramme de Bode particulièrement utile. B.ABBOUD

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exemple : Lorsqu’une fonction de transfert T est le produit de 2 fonctions de transfert T1 et T2 alors son diagramme de Bode peut être tracé en faisant la somme des deux diagrammes de Bode de T1 et T2 :

T T 1T 2

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20logT 20logT120logT2

 Arg T Arg T 1  Arg T 2

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1.4 Fonction de transfert

La FT H( j) d’un système quelconque est un nombre complexe.

Trois solutions sont utilisées en pratique pour le représenter graphiquement. 1) Partie imaginaire en fonction de la partie réelle avec paramétrage en fréquence : plan de Nyquist. 2) Module en fonction de la phase avec paramétrage en fréquence : plan de Black. 3) Module en décibels en fonction de la fréquence et phase en fonction de la fréquence sur une échelle de fréquence logarithmique : diagrammes de Bode. Dans ce chapitre, nous décrivons la représentation par les diagrammes de Bode. Les autres représentations seront abordées dans d´autre module.

NB:

Pour la suite, on notera H, HdB et j le module linéaire, le module en décibels et la phase de la fonction de transfert respectivement.

..\..\..\bode-Nyquist-Black B.ABBOUD

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Exemple

On rappelle les expressions des impédances et des admittances complexes des dipôles linéaires :

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Remarques : L’axe des fréquences est en échelle logarithmique (graduée par décade), ce qui permet une représentation sur une plus large plage de valeurs ( compression d’échelle).

Les diagrammes de Bode peuvent se représenter sous forme de courbe réelles ou de diagrammes asymptotiques :  courbes réelles : c’est la représentation graphique des fonctions HdB et ϕ en fonction de f ou de ω.  diagramme asymptotique : c’est la représentation graphique simplifiée des fonctions à l’aide de leurs équivalents aux bornes du domaine de définition (ω → 0, ω →  et ω → ωc).

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Fréquence de coupure On appelle la pulsation de coupure à -3 dB la pulsation c pour laquelle : TdB = ( TMax-3 ) dB. avec Tmax : valeur maximale du gain en décibels. à

c

correspond

fc=c/2

- fc : fréquence de coupure B.ABBOUD

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Bande passante

BP  f  fC ( HF )  fC ( BF ) B.ABBOUD

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2. Forme canonique de 1er ordre 2.1. Le gain pur Soit la fonction de transfert constante en fréquence H(

HdB()

j )  H Si H>1

Module: si H  1 alors H dB  0 dB 0 H dB ( )  20 log H   si H  1 alors H dB  0 dB

 Si H